Tugas_distribusi Peluang

Beberapa Distribusi peluang Diskret 1. Distribusi Seragam Diskret Distribusi peluang diskret yang paling sederhana ialah yang peubah acaknya memperoleh semua nilainya dengan peluang sama. Distribusi ini dikenal dengan distribusi seragam diskret. Distribusi Seragam Diskret Bila peubah acak X mendapat nilai dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskret diberikan oleh : f(x;k) =

,

,...........

Contohnya adalah

•

•

peluang munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada dadu yaitu 1/6

•

pelemparan koin yang memiliki peluang antara kedua sisi samasama 1/2 Rataan dan variasi distribusi seragam diskret f( x;k) adalah Dengan fungsi MGF

2. Distribusi Bernoulli Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Ulangan percobaan bebas satu sama lain dan peluang sukses tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya disebut proses Bernoulli, sedangkan tiap usaha disebut usaha Bernoulli. Peubah acak X dengan peluang sukses adalah p dan gagal adalah q = (1-p) , x = 0,1. = pq dengan fungsi MGF 3. Distribusi Binomial

Secara singkat, proses Binomial harus memenuhi persyaratan sebagai berikut : • Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang. • Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokan menjadi sukses dan gagal • Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. • Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Banyaknya X yang sukses dalam n usaha bernoulli disebut peubah acak binomial. Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial dan akan dinyatakan dengan , karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p). Distribusi Binomial Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas ialah , x = 0,1,2.....

dengan

fungsi MGF 4. Distribusi Multinomial Percobaan Binomial menjadi percobaan multinomial bial setiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil kemungkinan. Umumnya, bila suatu usaha dapat menghasilkan k hasil yang mungkin ....... dengan peluang maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa terjadi sebanyak x1 kali, terjadi sebanyak x2 kali,........, terjadi sebanyak xk kali dalam n usaha bebas dengan x1 + x2 +......xk = n Distribusi peluang gabungan seperti ini akan dinyatakan dengan dimana , karena hasil tiap usaha haruslah salah satu dari k yang mungkin. Distribusi Multinomial Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil ....... dengan peluang maka distribusi peluang peubah acak yang menyatakan banyak terjadinya ....... dalam n usaha bebas adalah Dengan 5. Distribusi Hypergeometrik Perbedaan antara ditribusi binomial dan hypergometrik terletak pada cara pengambilan sampelnya. Untuk kasus binomial, diperlukan kebebasan antara usaha. Akibatnya binomial diterapkan misalnya, pada sampling dari sejumlah barang 9sekotak kartu, sejumlah barang produksi) sampling dikerjakan dengan pengembalian setiap barang yang diamati. Pada distribusi Hypergeometri tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada sampling tanpa pengembalian. Contoh kasus pada pengujian elektronik, pengendalian mutu Misalkan ada N benda yang terdiri atas k benda yang akan diberi nama sukses sedangkan sisanya, N-k akan diberi nama gagal. Umumnya yang ingin dicari ialah peluang memilih sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n-x yang gagal dari sebanyak N-k yang tersedia, bila sampel acak ukuran n diambil dari N benda. Ini dikenal dengan percobaan Hypergeometrik.

Suatu percobaan Hypergeometrik memiliki kedua sifat berikut: •

Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda

•

Sebanyak K benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, Nk, diberi nama gagal.

Banyaknya sukses X dalam percobaan hypergeometri disebut peubah acak hypergeometri. Karena itu distribusi peluang peubah acaknya disebut ditribusi Hypergeometri dan nilainya dinyatakan dengan h (x;N,n,k), karena nilainya dihitung pada banyaknya yang sukses k dalam n barang yang dipilih secara acak dari sebanyak N. Distribusi Hypergeometrik Ditribusi peluang peubah acak hypergeometri X yaitu banyaknya yang sukses dalam sampel acak ukuran n yang dipilih dari sebanyak N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k gagal, ialah h (x;N,n,k) =

,

x = 0,1,2.....n

= 6. Distribusi Binomial Negatif Berbeda dengan distribusi binomial mencari peluang x sukses dalam n usaha. Dalam hal ini yang ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke-x. Percobaan ini disebut percobaan binomial negatif. Banyaknya usaha ke x untuk mengahasilkan k sukses dalam suatu percobaan binomial negatif disebut peubah acaka binomial negatif dan distribusinya disebut ditribusi Binomial Negatif. Distribusi Binomial Negatif Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukes dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1-p,maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknyya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k, diberikan oleh , x= k,k+1,k+2........ Rataan dan variansi distribusi poisson p(x;λt) keduanya sama dengan λt = dengan fungsi MGF = Beberapa Distribusi Variabel Kontinu 1. Distribusi Normal.

Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter , yaitu rataan dan simpangan bakunya. Jadi fungsi padat X akan dinyatakan dengan .

Distribusi Normal fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan rataan , ialah = Dengan

= 3,14159....

dan

;dan e = 2,71828...

Adapun lima sifat kurva normal yaitu : a. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva

terhadap pada x = . b. Kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan . c. Kurva mempunyai titik belok pada x =

, cekung dari bawah bila dan cekung dari atas untuk nilai x lainnya.

d. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai x

bergerak mnejauhi

baik ke kiri maupun ke kanan.

e. Seluruh luas dibawah kurva dan di atas sumbu datar = 1 2. Distribusi Gamma Distribusi Gamma memainkan peranan penting dalam teori antrian dan teori keandalan (reabilitas). Fungsi Gamma didefenisikan sebagai dx untuk Distribusi Gamma Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter , bila fungsi padatnya berbentuk ,x> 0 dengan dengan fungsi MGF = 3. Distribusi Eksponensial Hubungannya dengan distribusi lain yaitu : •

Distribusi gamma yang

= 1 adalah distribusi eksponensial.

Contoh kasus Jarak antara waktu tiba di fasilitas pelayanan misal bank,loket, dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik, sering menyangkut distribusi eksponensial.

Distribusi Eksponensial Peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial dengan parameter , bila fungsi padatnya berbentuk ,x> 0 dengan dan memiki fungsi MGF = 4. Distribusi Khi Kuadrat Distribusi Khi Kuadrat memiliki peranan penting dalam statistika informasi. Bahkan digunakan tidak hanya untuk megkaitkan distribusi khi-kuadrat dengan distribusi normal tetapi juga untuk meletakan dasar penggunaanya pada pengujian hipotesis. Hubungannya dengan distribusi lain yaitu : •

Dapat

•

Akan didapatkan distribusi distribusi Khi kuadrat dengan derajat bebas 1 yang diturunkan dari distribusi normal baku ).

diperoleh

dari distribusi Gamma dengan parameter untuk v adalah bilangan positif. Distribusi ini mempunyai parameter tunggal yaitu v yang disebut dengan derajat kebebasan.

Distribusi Khi Kuadrat Peubah acak kontinu X berdistribusi Khi Kuadrat, dengan derajat kebebasan v, bila fungsi padatnya diberikan oleh

dengan v bilangan bulat positif,

memiliki fungsi MGF = 5. Distribusi sebaran t Apabila varians populasi diketahui dan populasinya normal berapa pun sampel yang digunakan maka distribusi sampel rataan akan berdistribusi normal baku. Varians populasi pada sampel acak jarang sekali diketahui. Bila ukuran sampelnya kecil, nilai penduga yaitu berubah cukup besar dari satu sampel ke sampel lainnya maka kita akan dihadapkan dengan distribusi suatu statistik

yaitu distribusi t dengan

. Dimana

berdistribusi normal baku dan

berdistribusi khi kuadrat dengan derajat bebas n-1. Misalkan Z peubah acak normal baku dan v peubah acak Khi Kuadrat dengan derajat kebebasan v. Bila Z dan V, maka distribusi peubah acak T, bila diberikan oleh h(t) =

,

dikenal Distribusi t dengan derajat bebas v. distribusi ini tidak memiliki fungsi MGF


6. Distribusi Weibull Teknologi modern telah memungkinkan orang merancang banyak sistem yang rumit yang penggunaannya atau barangkali keamanannya, bergantung pada keandalan berbagai komponen sistem tersebut. Sebagai contoh, suatu sekering mungkin putus, tiang saja mungkin melengkung, atau alat pengindera panas tak bekerja. Komponen yang sama dalam lingkungan yang sama akan rusak dalam waktu yang berlainan yang tak dapat diramalkan. Salah satu distribusi yang digunakan dalam menangani masalah ini adalah distribusi Weibull. Hubungannya dengan distribusi lain adalah merupakan distribusi eksponensial bila parameter . Peubah acak kontinyu X berdistribusi weibull, dengan parameter fungsi padatnya berbentuk

jika

Distribusi Weibull tidak memilki fungsi MGF 7. Distribusi F Statistik F didefenisikan sebagai rasio antara distribusi khi kuadrat dengan derjat bebasnya. Dapat dituliskan F =

dengan U dan V masing-masing

berdistribusi khi kuadrat dengan derajat bebas v1 dan v2 yang saling independent Fungsi PDF dari distribusi F dengan derjat bebas v1 dan v2 adalah

g(F) =

, 0
Distribusi F memiliki rataan dan variansi dengan derajat bebas v1 dan v2 yaitu dengan 2 <

dan

dengan 4 <

distribusi ini tidak memiliki fungsi MGF 8. Distribusi Beta Variabel F dapat ditransformasi menjadi distribusi Beta. Jika X dengan peubah acak dimana

dengan parameter a dan b. .

Distribusi Beta Dengan parameter

memiliki fungsi PDF yaitu ,

, distribusi ini juga tidak memiliki fungsi MGF

9. Distribusi Uniform Memiliki Peubah acak dengan a dan b.

.Paremeter dinotasikan

Distribusi Uniform dengan parameter a dan b memiliki fungsi PDF yaitu dengan Dengan fungsi MGF yaitu

Daftar Pustaka Bain, Lee J. 1992. Introduction to probability and mathematical statistic. Edisi kedua. Boston: PWS-KENT Publishing company. Walpole, Ronald E. & Raymond H. Myers. 1995. Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuwan edisi ke-empat. Bandung: Penerbit ITB.