Distribusi Peluang

NOTASI PENTING Jumlah (sum)

n

D = X 1 + X n + ... + X n = ∑ X i i =1

Rata-rata (average) X + X n + ... + X n X= 1 = n

n

Xi 1 n = ∑Xi ∑ n i =1 i =1 n

Hasil kali (product)

n

P = X 1 × X n × ... × X n = ∏ X i i =1

SIFAT-SIFAT NOTASI SIGMA n

∑ kX i =1

n

i

=k ∑ X i

i =1

∑( n

i =1

1

∑ k =nk i =1

i =1

n

∑( k X

n

i

n

n

i =1

i =1

+ k 2Yi ) = k1 ∑ X i + k 2 ∑Yi

n 1 n  X i − X Yi − Y = ∑ X iYi − n X Y = ∑ X iYi −  ∑ X i ∑Yi  n  i =1 i =1  i =1 i =1

)(

)

n

n

PELUANG DAN FREKUENSI RELATIF P(A)= #(A)/#(S) dari teoritis Fr(A)= n(A)/n(S) dari kejadian riil Untuk n-> ∞ P(A)=Fr(A)

0.5 0.4 0.3 0.2

P dan Fr

0.6

0.7

0.8

Peluang dan Frekwensi Relatif

0

200

400

600

800

N-Sampel

1000

1200

1400

JENIS DARI CARA PEGAMBILAN Hasil pengukuran, bersifat kontinu.

Data metrik Hasil pencacahan, bersifat diskrit:

banyaknya orang yang antri, data enumeratif, banyaknya kecelakaan

JENIS DATA DARI SKALANYA Nominal: Penggunaan angka hanya sebagai label,

sama sekali bukan menunjukkan bilangan (misalnya 1: untuk Laki-laki, 0: untuk perempuan). Tidak bisa dibandingkan , tidak ada urutan superioritas. Contoh: faktor (jenis kelamin, asal daerah) Ordinal: Angka menunjukkan urutan (nilai 0-4), dapat diurut, tidak dapat dibandingkan (rasio), jarak tidak sama, belum ada skala 0. Interval: Angka menunjukkan pengukuran dengan jarak yang relatif sama, sudah ada nilai 0 (tetapi tidak mutlak), belum bisa dibandingkan (rasio) Rasio: Angka memiliki sifat bilangan secara sempurna. Dapat dirasiokan 60=2x30. Sudah ada 0 mutlak. Contoh berat badan, tingi badan

JENIS DATA Diskrit: Pencacahan (jumlah orang yang

antri, jumlah kecelakaan pada suatu titik/waktu & tempat) Percobaan Bernoulli Antrian

Kontinu:Pengukuran (waktu dibutuhkan

seseorang dalam antrian) Nilai ujian, tinggi badan Produksi (nonnegatif)

DISTRIBUSI PELUANG

DISTRIBUSI PELUANG Distribusi Peluang Diskret: sebuah tabel atau

rumus yg memcantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskret berikut peluangnya Distribusi Peluang Kontinu: Peubah acak kontinu berpeluang nol untuk mengambil salah satu nilainya sehingga distribusi peluangnya tidak dpt diberikan dalam bentuk tabel, tapi menghitung peluang bagi berbagai selang peubahn acak kontinu seperti P(a<x
Contoh: Ad 1. Distribusi peluang bagi jumlah bilangan bila

sepasang dadu dilempar: dua buah dadu dapat mendarat dalam 62 = 36 cara Peubah acak diskret

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X-x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Peluang

Ad 2. Misal distribusi normal  peluang harga x

antara a dan b: b

1 P(a < x < b) = ∫ ⋅e a σ 2n

1 x−π  −   2 σ 

2

dx

Yang termasuk distribusi peluang diskret yaitu distribusi binom, multinom, hipergeometrik dan distribusi poisson. Sedangkan peluang kontinu yaitu distribusi normal, chi-square dan distribusi F

1. Distribusi Binom Percobaan binom: dlm pelemparan sekeping uang

logam sebayak 5 kali, hasil tiap ulangan mungkin muncul sisi G atau A, kita dapat menentukan salah satu diantara keduanya sebagai “berhasil”. Definisi Distribusi binom: bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p & kegagalan q = 1-p, maka dist peluang bagi acak binom x, yaitu banyaknya keberhasilan dlm ulangan yang bebas adalah:

 n  x n− x  N x N− x     b( x; n, p) =  p q atau P( X = x ) =  π (1 − π) x x Untuk x = 0, 1, 2,…, n; 0 < π < 1

N N!   =  x  x! (N − x )!

Dist. Binom mempunyai parameter, yaitu rata-rata μ & simpangan baku σ

µ = Nπ

atau

σ = Nπ(1 − π)

µ = np σ = npq

Contoh: Tentukan peluang memdapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setimbang dilemparkan 5 kali? Jawab:

3

2

2  5  1   5  5! 5 P( x = 3) =      = ⋅ 5 = 0,032 3! 2! 6  3  6   6 

Contoh: Peluang seekor ikan sembuh dari penyakit adalah 0,4. Bila 15 ekor diketahui menderita penyakit, berapa peluang: a. Sekurang2nya 10 ekor ikan dapat sembuh b. Ada 3 sampai 8 ekor yang sembuh c. Tepat 5 ekor yang sembuh Jawab:

9

a. P( x ≥ 10 ) = 1 − P( x < 10 ) = 1 − ∑b( x;15, 0.4 x =0

= 1 − 0.9662 = 0.0338 8

8

2

x =3

x =0

x =0

b. P(3 ≤ x ≤ 8) = ∑b( x;15, 0.4) = ∑b( x;15, 0.4) − ∑b( x;15, 0.4) = 0.9050 − 0.0271 = 0.8779 5

4

x =0

x =0

c. P( x = 5) = ∑b( x;15, 0.4) − ∑b( x;15, 0.4) = 0.4032 − 0.2173 = 0.1859

2. Distribusi Multinom Seandainya dalam percobaan binom tersebut tiap

ulangan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil disebut percobaan multinom Misal – percobaan pelemparan dua dadu; muncul bilangan yang sama, total kedua bilangan = 7 atau 11 atau bukan keduanya Defenisi: bila tiap ulangan menghasilkan salah satu dari k hasil percobaan E1,E2,…,Ek dengan peluang p1,p2,..,pk, maka dist. peluang bagi peubah acak x1,x2,…,xk yg menyatakan berapa kali E1,E2,…,Ek terjadi dalam dan ulangan yang bebas adalah n   x1 x 2 x k p1 p 2 ...pk f ( x1, x 2 ,.., x k ; p1, p 2 ,.., pk , n) =   x1, x 2 ,.., x k  k

dengan ∑ x i = n dan i=1

k

∑p i =1

i

=1

Contoh: Dalam pelemparan sebuah dadu sebanyak 12 kali, peluang munculnya mata 1, mata 2,…,mata 6 masing-masing tepat dua kali? Jawab: 1 1 1 1 1 1 f (2, 2, 2, 2, 2, 2; , , , , , , 12 ) = 6 6 6 6 6 6 2

2

2

2

2

2

12   1   1   1   1   1   1               =  2, 2, 2, 2, 2, 2  6   6   6   6   6   6  12! 2! 2! 2! 2! 2! 2!

 1     6 

2

6

  = 0.0034 

3. Distribusi Hipergeometrik Percob. Hipergeometrik yaitu peluang terambilnya x

keberhasilan dari k benda (berhasil) & n-x kegagalan dari N-k benda (gagal), bila suatu contoh berukuran & diambil dari sebuah populasi terhingga berukuran N Distr. Hipergeometrik yaitu distribusi peluang dari banyaknya keberhasilan x dalam percobaan di atas disebut peubah acak hipergeometrik  k  N − k     x  n − x   h( x; n, k ) = N   n untuk x = 0, 1, 2,..., k

Nilai tengah ( ) dan ragam ( ) dist. Hipergeometrik

µ=

nk N−n k  k  ; σ= ⋅ n 1 −  N N −1 N  N

Contoh: Segerombolan ikan t.a. 50 ekor & 3 diantaranya ikan layang sec. acak diambil 5 ekor. Brp peluang diantara 5 ekor tadi: a. Tidak terdapat ikan layang b. Terdapat tidak lebih dari seekor ikan layang

Jawab: a. dik: n = 5; k = 3; N = 50; & x = 0

 3  47     0 5 P(0) = h(0;50,3) =    = 0,724  50    5

b. dik: x = 0,1 & P(0)=0,724

 3  47     1  4   P(1) = h(1;50,3) = = 0,253 50     5 Jadi peluang paling byk seekor ikan layang diantara 5 ekor ikan yg diambil adalah 0,724 + 0,253 = 0,977

Contoh: Rata2 jmlh hari tutup krn salju selama musim dingin di suatu kota di AS adalah 4. Brp peluang bhw sekolah2 di kota itu akan tutup selama 6 hari dalam suatu musim dingin

Jawab: a. dik: μ = 4 & x = 6 e −4 4 6 P(6 ; 4) = = 0,1042 atau 6! 6

5

x =0

x =0

∑ P( x;4) − ∑ P( x;4) = 0,8893 − 0,7851 = 0,1042

4. Distribusi Poisson Percob. Poisson: percob.yg menghslkan nilai2 yg terjd

selama selang wktu tertentu atau di daerah tertentu Dist. Poisson: dist. peluang dr bil. x yg menyatakan banyaknya hsil percob. dlm percob. Poisson. −µ

e µ P( x; µ ) = x!

x

Untuk x = 1, 2, …. μ = rata-rata e = 2,71828

5. Distribusi Normal  Suatu peubah acak kontinu x yg memiliki dist.

berbentuk genta disebut peubah acak normal, dengan persamaan kurva normal yg bergantung pada parameter μ dan σ adalah

1 f ( x ) = n( x, µ, σ) = ⋅e σ 2π

1  x −µ  −   2 σ 

2

μ

Untuk -∞<x< ∞; π = 3,14159; e = 2,71828

Daftar F pada lampiran buku Sudjana medruapakan daftra distribusi normal baku rata2 μ = 0 & simpangan baku σ =1

x

 Mengubah dist. Normal umum ke dist. normal baku dengan

transformasi: μ=0

x−µ z= σ

0,5

σ =1

0,5

Luas seluruh kurva = 1 -z

0

z

 Penggunaan daftar dist normal baku lihat buku Sudjana hal 140 –

141 & Walpole hal 182 - 188 Contoh: Berat bayi yg baru lahir rata2 3.750 g dg simp. baku 325 g. Jika berat bayi berdist. normal maka tentukan: a. Brp % bayi yg beratnya lebih dari 4.500g b. Brp bayi yang beratnya antara 3.500g & 4.500g jika semuanya ada 10.000 bayi

0,4894

Jawab: a. Dik: μ = 3.750g dan σ =325 ; x = 4.500

0,0104

x − µ 4.500 − 3.750 z= = = 2,31 σ 325 P(z>2,31) = 0,5 – P(z<2,31) = 0,5 – 0,4898 = 0,0104 = 1,04%

2,31

0 0,2794

0,4894

b. x1 = 3.500g & x2 = 4.500g

x − µ 3.500 − 3.750 z= = = −0,77 σ 325

-0.77

0

P(3.500<x<4.500) = P(-0.77-0,77) + P(z<2,31) = 0,2794 – 0,4898 = 0,7690 Jadi banyaknya bayi antara 3.500g & 4.500g diduga ada 0,7690 x 10.000 = 7.690 bayi

2,31

Hubungan dist. binom dan dist. normal, jika untuk

fenomena yang berdistribusi binom berlaku: N cukup besar π = P(A) = tidak terlalu dekat dengan nol maka µ = Nπ & σ = Nπ(1 − π) serta transforma sin ya x − Nπ z= Nπ(1 − π) Contoh: Lihat Buku Sudjana hal 144 – 145 & Walpole hal 196 - 202

6. Distribusi t-Student Fungsi densitas dist t-Student : f ( t ) = 0,5

0,5 0

k

 t2  1 +   n − 1

1 n 2

t

t

• Bila ukuran n  ∞ ; semakin menyerupai kurva normal baku • Bila n ≥ 30 

x−µ s

masih menghampiri

n

dist. normal baku • Bila n < 30, tidak lagi berdist. normal baku, oleh karena itu berhadapan dgn dist t-Student yang nilai-nilainya adalah: