Tugas Nilai Awal Syarat Batas

TUGAS NILAI AWAL SYARAT BATAS Soal : 4 x 2 y ' '+4 xy '+ ( x − n 2 ) y = 0 Dengan z = x . ubahlah PD tersebut menjadi persamaan bessel dengan substitusi yang diberikan. Carilah solusi tersebut dan diucapkan dalam fungsi besel Jawab: 4 x y ' '+4 xy '+( x − n 2 ) y = 0 misal : z= x dy dy  dz  =   dx dz  dx  1 dy dy  1 − 2   = x  dx dz  2 

d 2 y d  dy  = dx 2 dx  dx  1 d 2 y d  dy  1 − 2  =   x  dx dx  dz  2  1 1 d 2 y d  dy  1 − 2  dy  d 1 − 2  =   x  +  x  dx dx  dz  2  dz  dx 2  1 3 2 2 d y d y  1 − 2  dy  1 − 2   x  + − x  =  dz  4  dx dxdz  2    1 3 2 2 d y d y  dz  1 − 2   1 − 2  dy = 2   x  −  x  dx dz  dx  2  4  dz 1 1 3 d 2 y d 2 y  1 − 2  1 − 2   1 − 2  dy = 2  x  x  −  x  dx dz  2  2  4  dz 3 d 2 y  1 −1  d 2 y  1 − 2  dy =  x  2 −  x  dx  4  dz 4  dz

Sehingga diperoleh: 4 x 2 y ' '+4 xy '+ ( x − n 2 ) y = 0 3 2  1  dy  1 − 1    d y  1 −  dy  4 x 2   x −1  2 −  x 2   + 4 x  x 2   + ( x − n 2 ) y = 0  4   dz 2   dz 4  dz      1

1

d2y dy dy − x2 + 2x 2 + (x − n2 ) y = 0 2 dz dz dz 1 2 d y dy x 2 + x2 + (x − n2 ) y = 0 dz dz misal x

z= x

( x)

( )

( )

2 d2y dy + x + ( x − n2 ) y = 0 2 dz dz 2 d y dy z2 2 + z + z 2 − n2 y = 0 dz dz 2

(

)

Persamaan bessel dengan n merupakan bilangan bulat Solusi umum: y ( z ) = A0 J n ( z ) + B0Yn ( z ) y

( x) = A J 0

n

( x ) + B0Yn ( x )