Tugas Madis 5

Nama: Imawan Avicena Robert Lie N Rendi Agung Wijaya Rifqi Annora Mu’alif W Wahyu Bagus Deza Arifandi (06) Ririn (06)

1. Buktikan melalui induksi matemetik bahwa: a. 1(2)+2(3)+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 untuk semua n≥ 1

Penyelesaian: i. Basis induksi : p(1) benar, karena n=1. Kita peroleh bahwa 1=1(1+1)(1+2)/3 1=1 ii.Langkah induksi: misal p(n) benar yaitu mengasumsikan bahwa 1(2)+2(3)+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu 1(2)+2(3)+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)(n+3)/3 Untuk membuktikan ini tunjukan bahwa 1(2)+2(3)+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)(n+3)/3 n(n+1)(n+2)/3+ =( )/3 )/3=( )/3 ( )/3=( )/3 =

b.

untuk setiap n≥ 1

Penyelesaian: i. Basis induksi: p(1) benar, karena n=1. Kita peroleh 1/1(2)=1/1+1 = ii.Langkah induksi: Misal p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa = adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu Untuk membuktikan ini tunjukan bahwa +

c.

untuk semua n≥ 1 Penyeesaian: i. Basis induksi: p(1) benar, karena n=1. Kita peroleh 1 =1 ii.Langkah induksi: Misal p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu

Untuk membuktikan ini bahwa

d.

untuk semua n≥ 0 dan a≠1 Penyelesaian: i. Basis induksi: p(0) dan a=0 benar, karena n=0 dan a=0. Kita peroleh 1=1 ii.Langkah induksi: Misal p(n) dan a≠1 benar, yaitu mengasumsikan bahwa adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu Untuk membuktikan ini bahwa

untuk semua n≥ 0

e.

Penyelesaian: i. Basis induksi: p(0) benar, karena n=0. Kita peroleh 3=3 ii.Langkah induksi: Misal p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu Untuk membuktikan ini bahwa

2. Buktikan melalui induksi matematik bahwa

habis dibagi 3 untuk semua

n≥ 2. Penyelesaian: a. Basis induksi: p(2)benar, karena n=3. Kita peroleh →habis dibagi 3 → habis dibagi 3 b. Langkah induksi: Misal p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa habis dibagi 3 adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu →habis dibagi 3 Untuk menyatakan ini bahwa

= = = dibagi 3

→ habis

3. Carilah dan kemudian buktikan melalui induksi matematik suatu rumus berdasarkan pengamatan berikut

Rumus:

belum selesai

4. Buktikan dengan induksi matematik bahwa jumlah pangkat tiga dari tiga bilanga bulat positif berurutan habis dibagi 9. Penyelesaian: Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa jumlah pangkat tiga dari tiga buah bilangan bulat positif berurutan habis dibagi 9. → habis dibagi 9

Rumus: a. Basis induksi: p(0) benar, karena

→ hasil ini habis dibagi 9 b. Langkah induksi: Misalkan p(n) benar. Kita asumsikan bahwa bilangan 0,1,2,3,...,n.

Jika hasil pangkat tiga dari tiga buah bilangan yang dijumlahkan habis dibagi 9 (hipotesis induksi). Kita perlu membuktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu untuk semua n≥ 0 adalah benar habis dibagi 9.

Dari data di atas, yaitu terlihat bahwa ketiga suku penjumlahan tersebut adalah suku dari bilangan yang berurutan.

Karena dari langkah (a) dan (b) sudah benar, maka terbukti bahwa jumlah pangkat tiga dari tiga bilangan bulat posiif berurutan habis dibagi 9.

5. Ketika n pasangan tamu tiba di pesta, mereka disambut oleh tuan dan nyoya rumah di

pintu. Setelah saling berjabat tangan, tuan rumah bertanya kepada para tamu maupun istrinya untuk mengatakan berapa kali mereka masing-masing telah berjabat tangan. Ia memperoleh 2n+1 jawaban yang berbeda. Jika tidak seorangpun berjabat tangan dengan isrti atau suaminya sendiri, berapa kali nyonya rumah telah berjabat tangan? Buktikan jawaban Anda dengan induksi matematik.

Penyelesaian: Minimal tamu yang datang n pasang. Jadi,banyaknya jabat tangan nyonya rumah adalah . a. Basis induksi: p(1)benar, karena untuk n=1 pasang, nyonya rumah berjabat tangan

sebanyak 2.1=2 b. Langkah induksi: Misakan p(n) benar, yaitu asumsikan jumlah jabat tangan nyoya

rumah terjadi sebayak 2n (hipotesis induksi). Kita harus menunjukan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu jumlah jabat tangan yang dilakukan nyonya rumah dengan n+1 pasang tamu adalah 2(n+1). Hal ini ditujukan sebagai berikut: Untuk n+1 pasang, maka jumlah jabat tangan nyonya rumah yang terjadi haruslah jumlah jabat tangan nyonya rumah dengan tamu n pasang ditambah pasangan tamu ke-(n+1). Menurut hipotesis induksi, untuk n pasang tamu, jumlah jabat tangan nyonya rumah adalah sebanyak 2n. Dengan ditambah pasangan tamu ke-(n+1) maka jumlah jabat tangan nyonya rumah bertambah 2 kali jabat tangan sehimgga menjadi: 2n+2=2(n+1)

6. Buktikan bahwa surat pos yang menggunakan perangko 24 sen atau lebih dapat hanya

menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen saja. Penyelesaian: Kombinasi biaya pos dengan perangko 5 sen dan 7 sen saja untuk biaya sebesar n≥ 24 dapat ditulis sebagai kombinasi 5n+7m

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk biaya pos sebesar n≥ 24 hanya dapat menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen. a. Basis induksi: p(24) benar, karena untuk biaya pos sebesar 24 dapat digunakan 2 buah perangko seharga 5 sen dan 2 buah perangko seharga 7 sen. b. Langkah induksi: Misalkan p(n) benar yaitu biaya pos sebesar n≥ 24 sen selalu dapat

menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) benar adalah biaya pos sebesar n+1 juga dapat menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen, yaitu

Jika untuk membayar biaya pos sebesar n sen digunakan perangko 5 sen dan 7 sen, maka paling sedikit digunakan 2 buah perangko 5 sen dan 2 buah perangko 7 sen (sebab n≥ 24), maka dengan mengganti 2 buah perangko 7 sen dengan 23 buah perangko 5 sen sehingga menggunakan 5 buah perangko 5 sen dapat dibayarlah biaya pos sebesar n+1. 7. Untuk biaya pos berapa saja dapat digunakan perangko 5 sen dan 6 sen? Buktikan jawaban Anda dengan menggunakan induksi matematik! Penyelesaian: Kombinasi biaya pos dengan perangko 5 sen dan 6 sen dapat ditulis sebagai kombinasi 5m+6n Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk biaya pos sebesar n≥ 20 sen selalu dapat menggunakan perangko 5 sen dan 6 sen. a. Basis induksi: p(20) benar, karena untuk biaya pos sebesar 20 sen dapat digunakan 4 perangko 5 sen. b. Langkah induksi: Misalkan p(n) benar, yaitu biaya pos sebesar n≥ 20 sen selalu dapat menggunakan perangko 5 sen dan 6 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukan bahwa p(n+1) benar, yaitu biaya pos sebesar n+1 sen juga dapat menggunakan perangko 5 sen dan 6 sensaja. Ada dua kemungkinan yang harus ditinjau: 1) Jika untuk membayar pos sebesar n sen digunakan perangko 5 sen,maka paling sedikit digunakan 4 buah perangko 5 sen (sebab n≥ 20), maka dengan menggganti sebuah perangko 5 sen dengan perangko 6 sen selalu dapat dibayar biaya pos sebesar n+1. 2) Jika untuk membayar pos n sen menggunakan perangko 6 sen, maka paling sedikit digunakan 4 bguah perangko 6 sen (sebab n≥ 20), maka dengan mengganti 4 buah perangko 6 sen dengan 5 buah perangko 5 sen diperoleh biaya pos sebesar n+1 sen. 8. Sebuah kios penukaran uang hanya mempuyai pecahan Rp2000 dan Rp 5000. Untuk uang senilai berapa saja yang dapat ditukar dengan kedua pecahan tersebut? Buktikan jawaban Anda dengan menggunaknan induksi matematik. Penyelesaian: Dengan menggunakan pecahan Rp2000 dapt ditukar dengan Rp2000, Rp4000, Rp6000,..., sedangkan dengan pecahan Rp5000 dapat ditukar dengan Rp5000, Rp10000, Rp15000, .... Misalkan p(n) adalah proposisi yang menujukan jumlah uang n 1000n senilai yang akan ditukar dengan uang Rp2000 dan Rp5000. Kita akan butikan p(n) dengan induksi matematik. a. Basis induksi: p(4) benar, karena uang Rp4000 dapat ditukarkan dengan 2 buah pecahan Rp2000. b. Langkah induksi: Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa kios penukaran dapat menukarkan uang senilai 1000n rupiah dengan pecahan Rp2000 dan Rp5000 (hipotesis induksi). Kita harus membukikan bahwa p(n+1) benar yaitu kios penukaran dapat menukarkan uang senilai 1000(n+1) rupiah dengan menggunakan pecahan Rp2000 dan Rp5000. Ada dua kemungkinan yang kita tinjau:

1) Jika untuk uang senilai 1000n rupiah, kios penukaran menggunakan minimal 2

buah pecahan Rp2000 (sebab n≥ 4). Dengan mengganti 2 buah pecahan Rp2000 tersebut dengan pecahan Rp5000, maka selalu diperoleh uang senilai 1000(n+1) rupiah. 2) Jika untuk uang senilai 1000n rupiah, kios penukaran menggunakan minimal 1 buah uang pecahan Rp5000 (sebab n≥ 4), maka dengan mengganti 1 uang pecahan Rp5000 dengan 3 buah uang pecahan Rp2000 selalu dapat diperoleh uang senilai 1000(n+1) rupiah.