Tugas Laplace Revisi
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- Words: 851
- Pages: 3
Tugas Kalkulus Lanjut NURAINI/KELAS A/NIM:0809715014 Senin/9 Agustus 2009 ∞
− st 1. L ( f (t ) = ∫ e . f (t )dt ,
jika f (t ) = e at maka:
0
∞
= ∫ e −( s −a ) t dt 0
=
− 1 −( s − a ) t e ( s − a)
] ∞0
−1 1 ∞ ( ( s − a )t ) ] 0 ( s − a) e 1 1 1 = −( )( ∞ − 0 ) s−a e e 1 = −( ).(0 − 1) s−a 1 = −( ). − 1 s−a 1 = s−a =
∞
− st 2. L ( f (t ) = ∫ e f (t ) dt
,jika f (t ) = sin at maka:
0
∞
− st L (sin at ) = ∫ e .sin at.dt 0
Misal : U = e − st → du = − se − st dt −1 dv = sin atdt → v = cos at a Sehingga, ∞ 1 −1 − st = e .( cos at ) − ∫ ( cos at ).(− s.e − st )dt −a a 0 ∞
1 s = − e − st cos at − ∫ e − st cos atdt a a0 Misal :
U = e − st → du = − se − st dt 1 dv = cos atdt → v = sin at a
Sehingga, ∞
1 s 1 1 = − e − st cos at − (e − st . sin at − ∫ sin at.(− se − st )dt ) a a a a 0 ∞
1 − st s − st s 2 − st = − e cos at − 2 e sin at − 2 ∫ e sin atdt a a a 0 (pindah ke ruas kiri) 2 ∞ s 1 s 1 + 2 ( ∫ e − st sin atdt ) = −( e −st cos at + 2 e −st sin at ) a a 0 a ∞
a2 + s2 1 ( ∫ e − st sin atdt ) = −( 2 e − st (cos at + s. sin at ) 2 a a 0 ∞
a2 1 −st ∫0 e sin atdt = −( a 2 + s 2 ) . a 2 e (a cos at + s.sin at ) 1 ∞ =− 2 e − st (a cos at + s. sin at ) ] 0 2 a +s 1 a cos ∞ + s sin ∞ a cos 0 + s. sin 0 = −( 2 )(( )−( )) 2 ∞ a +s e e0 1 a.1 + 0 Jadi, = −( 2 )(0 − ( )) 2 1 a +s − st
1 )(−a) a + s2 a L (sin at ) = 2 a + s2 = −(
2
∞
− st 3. L ( f (t ) = ∫ e f (t ) dt ,
Jika f (t ) = cos at maka:
0
∞
− st L (cos at ) = ∫ e cos atdt 0
Misal: U = e − st → du = − se − st dt 1 dv = cos atdt → v = sin at a Sehingga, ∞ 1 − st 1 − st L ( f ) = e . sin at − ∫ sin at.(− se ) dt a a 0
=
∞
1 − st s e sin at + ∫ sin at.e − st dt a a0 ∞
1 s = e − st sin at + ∫ e −st sin atdt a a0 Misal: U = e − st → du = − s.e − st dt 1 dv = sin atdt → v = − cos at a Sehingga, ∞ 1 − st s − st 1 1 ( f ) = e sin at + ( e . − cos at − − cos at. − s.e − st dt L ∫ a a a a 0 1 s = ( e − st sin at − 2 e −st cos at ) a a
]
∞ 0
∞
s2 − 2 ∫ e − st cos atdt a 0
1 sin at sin 0 s cos ∞ cos 0 s2 L (f ) =( ( ∞ − 0 )− 2 ( − 0 )) − 2 . L ( f ) a e e∞ e a e a 2 1 0 s 1 s L ( f ) = ( (0 − ) − 2 (0 − )) − 2 . L ( f ) a 1 a 1 a 2 1 s s L ( f ) = ( (0) − 2 (−1)) − 2 . L ( f ) a a a 2 s s s a2 + s2 (1 + 2 ) . L ( f ) = 2 ⇔ . L (f) = 2 a a a a 2 s a L (f)= 2. 2 a a + s2 s L (f)= 2 a + s2
− st 1. L ( f (t ) = ∫ e . f (t )dt ,
jika f (t ) = e at maka:
0
∞
= ∫ e −( s −a ) t dt 0
=
− 1 −( s − a ) t e ( s − a)
] ∞0
−1 1 ∞ ( ( s − a )t ) ] 0 ( s − a) e 1 1 1 = −( )( ∞ − 0 ) s−a e e 1 = −( ).(0 − 1) s−a 1 = −( ). − 1 s−a 1 = s−a =
∞
− st 2. L ( f (t ) = ∫ e f (t ) dt
,jika f (t ) = sin at maka:
0
∞
− st L (sin at ) = ∫ e .sin at.dt 0
Misal : U = e − st → du = − se − st dt −1 dv = sin atdt → v = cos at a Sehingga, ∞ 1 −1 − st = e .( cos at ) − ∫ ( cos at ).(− s.e − st )dt −a a 0 ∞
1 s = − e − st cos at − ∫ e − st cos atdt a a0 Misal :
U = e − st → du = − se − st dt 1 dv = cos atdt → v = sin at a
Sehingga, ∞
1 s 1 1 = − e − st cos at − (e − st . sin at − ∫ sin at.(− se − st )dt ) a a a a 0 ∞
1 − st s − st s 2 − st = − e cos at − 2 e sin at − 2 ∫ e sin atdt a a a 0 (pindah ke ruas kiri) 2 ∞ s 1 s 1 + 2 ( ∫ e − st sin atdt ) = −( e −st cos at + 2 e −st sin at ) a a 0 a ∞
a2 + s2 1 ( ∫ e − st sin atdt ) = −( 2 e − st (cos at + s. sin at ) 2 a a 0 ∞
a2 1 −st ∫0 e sin atdt = −( a 2 + s 2 ) . a 2 e (a cos at + s.sin at ) 1 ∞ =− 2 e − st (a cos at + s. sin at ) ] 0 2 a +s 1 a cos ∞ + s sin ∞ a cos 0 + s. sin 0 = −( 2 )(( )−( )) 2 ∞ a +s e e0 1 a.1 + 0 Jadi, = −( 2 )(0 − ( )) 2 1 a +s − st
1 )(−a) a + s2 a L (sin at ) = 2 a + s2 = −(
2
∞
− st 3. L ( f (t ) = ∫ e f (t ) dt ,
Jika f (t ) = cos at maka:
0
∞
− st L (cos at ) = ∫ e cos atdt 0
Misal: U = e − st → du = − se − st dt 1 dv = cos atdt → v = sin at a Sehingga, ∞ 1 − st 1 − st L ( f ) = e . sin at − ∫ sin at.(− se ) dt a a 0
=
∞
1 − st s e sin at + ∫ sin at.e − st dt a a0 ∞
1 s = e − st sin at + ∫ e −st sin atdt a a0 Misal: U = e − st → du = − s.e − st dt 1 dv = sin atdt → v = − cos at a Sehingga, ∞ 1 − st s − st 1 1 ( f ) = e sin at + ( e . − cos at − − cos at. − s.e − st dt L ∫ a a a a 0 1 s = ( e − st sin at − 2 e −st cos at ) a a
]
∞ 0
∞
s2 − 2 ∫ e − st cos atdt a 0
1 sin at sin 0 s cos ∞ cos 0 s2 L (f ) =( ( ∞ − 0 )− 2 ( − 0 )) − 2 . L ( f ) a e e∞ e a e a 2 1 0 s 1 s L ( f ) = ( (0 − ) − 2 (0 − )) − 2 . L ( f ) a 1 a 1 a 2 1 s s L ( f ) = ( (0) − 2 (−1)) − 2 . L ( f ) a a a 2 s s s a2 + s2 (1 + 2 ) . L ( f ) = 2 ⇔ . L (f) = 2 a a a a 2 s a L (f)= 2. 2 a a + s2 s L (f)= 2 a + s2
