Laplace
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Práctica 10: Respuesta de Sistemas LIVT Usando Transformada de Laplace Tiempo estimado de duración: 2hrs.
1. Objetivo Que el alumno aplique la transformada de Laplace en la obtención de la respuesta de sistemas LIVT.
2. Material
Computadora. Software MatLab versión 6.5 o superior. Sistema de almacenamiento de datos o impresora.
3. Introducción En el análisis de sistemas lineales y su respuesta a diferentes entradas se utiliza como herramienta fundamental la transformada de Laplace, que es una función de la variable compleja s ; que se puede representar como s j . La transformada de Laplace de una función x ( t ) definida para todos los números reales no negativos es la función X ( s ) que se define por medio de la integral:
L
X (s)
x (t )
x (t ) e
st
dt
0
Cuando existen funciones en el dominio del tiempo que cumplen con la integral de transformación se presentan propiedades que ayudan en el cálculo de funciones y análisis de sistemas, entre las que se encuentra la convolución:
L
x (t )* x (t ) X ( s ) X 1
1
2
2
(s)
La transformada inversa de Laplace es la manera de conocer la función del tiempo siendo representada por una función X ( s ) y se calcula por medio de la integral: x (t )
1 j 2
j
j
x (t )
que está
st
X ( s )e d s
Para obtener la transformada inversa de Laplace de funciones racionales se utiliza el método de expansión de fracciones parciales bajo la premisa de que la función debe ser propia o convertirse en propia. Frecuentemente, conviene combinar pares de polos conjugados en un sólo término, y buscar la transformada inversa de Laplace de cada término de la expansión. La función de transferencia de un sistema es la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada del sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales con cero: H (s)
Y (s) X (s)
25
La función de transferencia es precisamente la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso del sistema h ( t ) : H (s) L
h (t )
Además: H
La función
H (s)
j
H s
s j
tiene la forma de un cociente de polinomios, donde las raíces del numerador
son los ceros del sistema y las raíces del denominador los polos del mismo. Para determinar la estabilidad absoluta de un sistema se debe cumplir que todos los polos del sistema se encuentren a la izquierda del eje imaginario en el plano complejo. El conjunto de sistemas absolutamente estables es un subconjunto propio del conjunto de sistemas BIBO estables, es decir, un sistema con estabilidad absoluta es BIBO estable, pero un sistema BIBO estable no necesariamente cuenta con estabilidad absoluta. Para analizar la respuesta de un sistema es conveniente separarla de la siguiente forma: la parte de la respuesta debida a sus condicionas iniciales con señal de entrada igual a cero, llamada respuesta a entrada cero y c i ( t ) , y la parte de la respuesta debida a una entrada x ( t ) 0 con condiciones iniciales iguales a cero, llamada respuesta a estado cero
y x (t ) .
La suma de estas
dos respuestas da la respuesta completa del sistema. Otra forma útil de separar la respuesta de un sistema es: la parte de la respuesta donde la salida no se ha establecido de manera permanente, llamada respuesta en estado transitorio y ts ( t ) , y la parte de la respuesta donde la salida se ha establecido de manera permanente, llamada respuesta en estado estacionario y ss ( t ) . La suma de estas dos respuestas da la respuesta completa del sistema. Cabe mencionar que tanto la respuesta a entrada cero como la respuesta a estado cero contienen componentes transitorias y estacionarias, así mismo como la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario contienen componentes de respuesta a entrada cero y de respuesta en estado cero. Entonces, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero, la respuesta del sistema es: y (t ) L
1
Y ( s )
L
1
H (s) X (s)
Y cuando las condiciones iniciales son diferentes de cero, la respuesta del sistema es: y (t ) L
1
H (s) X (s) Q (s)
Dónde Q ( s ) es la función de transferencia con términos debidos a las condiciones iniciales, y se obtiene de aplicar transformada de Laplace a la EDO.
4. Procedimiento Anotar en el reporte de la práctica todas las operaciones analíticas y el código generado en MatLab. 26
4.1.
Usando el método de expansión en fracciones parciales determinar donde:
i (t ) a
partir de
I (s)
15s 25s 20 2
I (s)
4.2.
Obtener
Y (s)
4.3.
Obtener
H ( s ) del
v ( t ) 0V
4.4.
s
2
1 s 1 0 s 1 6 2
del sistema a continuación usando transformada de Laplace:
siguiente sistema, y obtener la respuesta
(t )
y su gráfica cuando:
del sistema en 4.3. cuando
t v (t ) 7 c o s u (t ) , 8
y
c .i .
, V c 0 3V , R C 8 .
Obtener y graficar la respuesta
y (t ) v
considerando su condición inicial igual a cero. 4.5.
Obtener y graficar la respuesta completa t v (t ) 7 c o s u (t ) 8
4.6.
y (t )
del sistema de 4.3, con V c 0 3V y
.
Realizar en Simulink la simulación del sistema de 4.3 con las condiciones mencionadas en 4.3, 4.4 y 4.5.
5. Cuestionario 5.1.
Mencione el método para calcular la transformada de Laplace en MatLab.
5.2.
¿Cómo calcularía la transformada inversa de Laplace utilizando MatLab?
5.3.
¿Los sistemas en 4.1., 4.2. y 4.3 son estables?
5.4.
¿Cómo, BIBO, absoluta o ambas?
5.5.
Identifique los cuatro componentes de la respuesta completa obtenida en 4.5 en la Práctica 10 y compárelos con los componentes que se identifiquen en la respuesta del punto 4.5 de la Práctica 5. ¿Qué relación encuentra entre ellas? 27
5.6.
¿Por qué sucede esta relación?
5.7.
¿Se pueden observar las características en frecuencia de los sistemas analizados por medio de la transformada de Laplace?
5.8.
¿Por qué?
5.9.
¿Es posible simular cada componente de la respuesta del sistema por medio de Simulink?
5.10. ¿Cómo se simulan correctamente en Simulink las condiciones iniciales de un sistema analizado por medio de transformada de Laplace? 5.11. Justifique su respuesta anterior. 5.12. Compare las simulaciones obtenidas en el punto 4.6 de la Práctica 10 con las simulaciones obtenidas en los puntos 4.3, 4.4 y 4.5 de la Práctica 5. ¿Qué relación encuentra entre ellas? 5.13. ¿Por qué sucede esta relación?
6. Conclusiones 7. Bibliografía
Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky; S. Hamid Nawab. Señale y Sistema Editorial Prentice Hall. 1997 2° Ed. http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/Paginas/MateParaTodos/e07/Aplicaciones_reales_Laplace.ppt http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Propiedades http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_inversa_de_Laplace
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1. Objetivo Que el alumno aplique la transformada de Laplace en la obtención de la respuesta de sistemas LIVT.
2. Material
Computadora. Software MatLab versión 6.5 o superior. Sistema de almacenamiento de datos o impresora.
3. Introducción En el análisis de sistemas lineales y su respuesta a diferentes entradas se utiliza como herramienta fundamental la transformada de Laplace, que es una función de la variable compleja s ; que se puede representar como s j . La transformada de Laplace de una función x ( t ) definida para todos los números reales no negativos es la función X ( s ) que se define por medio de la integral:
L
X (s)
x (t )
x (t ) e
st
dt
0
Cuando existen funciones en el dominio del tiempo que cumplen con la integral de transformación se presentan propiedades que ayudan en el cálculo de funciones y análisis de sistemas, entre las que se encuentra la convolución:
L
x (t )* x (t ) X ( s ) X 1
1
2
2
(s)
La transformada inversa de Laplace es la manera de conocer la función del tiempo siendo representada por una función X ( s ) y se calcula por medio de la integral: x (t )
1 j 2
j
j
x (t )
que está
st
X ( s )e d s
Para obtener la transformada inversa de Laplace de funciones racionales se utiliza el método de expansión de fracciones parciales bajo la premisa de que la función debe ser propia o convertirse en propia. Frecuentemente, conviene combinar pares de polos conjugados en un sólo término, y buscar la transformada inversa de Laplace de cada término de la expansión. La función de transferencia de un sistema es la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada del sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales con cero: H (s)
Y (s) X (s)
25
La función de transferencia es precisamente la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso del sistema h ( t ) : H (s) L
h (t )
Además: H
La función
H (s)
j
H s
s j
tiene la forma de un cociente de polinomios, donde las raíces del numerador
son los ceros del sistema y las raíces del denominador los polos del mismo. Para determinar la estabilidad absoluta de un sistema se debe cumplir que todos los polos del sistema se encuentren a la izquierda del eje imaginario en el plano complejo. El conjunto de sistemas absolutamente estables es un subconjunto propio del conjunto de sistemas BIBO estables, es decir, un sistema con estabilidad absoluta es BIBO estable, pero un sistema BIBO estable no necesariamente cuenta con estabilidad absoluta. Para analizar la respuesta de un sistema es conveniente separarla de la siguiente forma: la parte de la respuesta debida a sus condicionas iniciales con señal de entrada igual a cero, llamada respuesta a entrada cero y c i ( t ) , y la parte de la respuesta debida a una entrada x ( t ) 0 con condiciones iniciales iguales a cero, llamada respuesta a estado cero
y x (t ) .
La suma de estas
dos respuestas da la respuesta completa del sistema. Otra forma útil de separar la respuesta de un sistema es: la parte de la respuesta donde la salida no se ha establecido de manera permanente, llamada respuesta en estado transitorio y ts ( t ) , y la parte de la respuesta donde la salida se ha establecido de manera permanente, llamada respuesta en estado estacionario y ss ( t ) . La suma de estas dos respuestas da la respuesta completa del sistema. Cabe mencionar que tanto la respuesta a entrada cero como la respuesta a estado cero contienen componentes transitorias y estacionarias, así mismo como la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario contienen componentes de respuesta a entrada cero y de respuesta en estado cero. Entonces, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero, la respuesta del sistema es: y (t ) L
1
Y ( s )
L
1
H (s) X (s)
Y cuando las condiciones iniciales son diferentes de cero, la respuesta del sistema es: y (t ) L
1
H (s) X (s) Q (s)
Dónde Q ( s ) es la función de transferencia con términos debidos a las condiciones iniciales, y se obtiene de aplicar transformada de Laplace a la EDO.
4. Procedimiento Anotar en el reporte de la práctica todas las operaciones analíticas y el código generado en MatLab. 26
4.1.
Usando el método de expansión en fracciones parciales determinar donde:
i (t ) a
partir de
I (s)
15s 25s 20 2
I (s)
4.2.
Obtener
Y (s)
4.3.
Obtener
H ( s ) del
v ( t ) 0V
4.4.
s
2
1 s 1 0 s 1 6 2
del sistema a continuación usando transformada de Laplace:
siguiente sistema, y obtener la respuesta
(t )
y su gráfica cuando:
del sistema en 4.3. cuando
t v (t ) 7 c o s u (t ) , 8
y
c .i .
, V c 0 3V , R C 8 .
Obtener y graficar la respuesta
y (t ) v
considerando su condición inicial igual a cero. 4.5.
Obtener y graficar la respuesta completa t v (t ) 7 c o s u (t ) 8
4.6.
y (t )
del sistema de 4.3, con V c 0 3V y
.
Realizar en Simulink la simulación del sistema de 4.3 con las condiciones mencionadas en 4.3, 4.4 y 4.5.
5. Cuestionario 5.1.
Mencione el método para calcular la transformada de Laplace en MatLab.
5.2.
¿Cómo calcularía la transformada inversa de Laplace utilizando MatLab?
5.3.
¿Los sistemas en 4.1., 4.2. y 4.3 son estables?
5.4.
¿Cómo, BIBO, absoluta o ambas?
5.5.
Identifique los cuatro componentes de la respuesta completa obtenida en 4.5 en la Práctica 10 y compárelos con los componentes que se identifiquen en la respuesta del punto 4.5 de la Práctica 5. ¿Qué relación encuentra entre ellas? 27
5.6.
¿Por qué sucede esta relación?
5.7.
¿Se pueden observar las características en frecuencia de los sistemas analizados por medio de la transformada de Laplace?
5.8.
¿Por qué?
5.9.
¿Es posible simular cada componente de la respuesta del sistema por medio de Simulink?
5.10. ¿Cómo se simulan correctamente en Simulink las condiciones iniciales de un sistema analizado por medio de transformada de Laplace? 5.11. Justifique su respuesta anterior. 5.12. Compare las simulaciones obtenidas en el punto 4.6 de la Práctica 10 con las simulaciones obtenidas en los puntos 4.3, 4.4 y 4.5 de la Práctica 5. ¿Qué relación encuentra entre ellas? 5.13. ¿Por qué sucede esta relación?
6. Conclusiones 7. Bibliografía
Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky; S. Hamid Nawab. Señale y Sistema Editorial Prentice Hall. 1997 2° Ed. http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/Paginas/MateParaTodos/e07/Aplicaciones_reales_Laplace.ppt http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Propiedades http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_inversa_de_Laplace
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