Tugas Kuantum.docx

Penerapan Metode Scrodinger pada Sistem Atom Hidrogen (H) [Pengembangan Konsep] Pendauluan 1.

Dalam catatan kuliah ke-10 telah diuraikan tentang solusi persamaan Scrodinger untuk sistem atom hidrogen. Telah diperoleh bahwa solusinya ditandai oleh 3 bilanganbulat (n, l, m) yang dinamakan perangkat bilangan kuantum. Bentuk solusinya: 𝛹𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜇) = 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝛹𝑙𝑚 (𝜃, 𝜇) juga telah di bahas dalam catatan kuliah sebelumnya. Dengan demikian fungsi gelombang atom hidrogen diketahui. Bab ini khusus ditujukan untuk meningkatkan makna dari persamaan gelombang Scrodinger untuk atom hidrogen, artinya bagaimana persamaan itu dapat diinterpretasikan dalam suatu kerangka konseptual yang lebih mendasar. Penjelasan ini merupakan pengembangan konseptual, tidak saja telaah sistem atom hidrogen, tetapi juga mekanika kuantum sendiri. Pertanyaannya adalah: Apakah yang dapat digali dari persamaan gelombang Scrodinger untuk atom hidrogen, sehingga diperoleh gambaran yang lebih komprehensip tentang landasan, metodologi dan teknik mekanika kuantum?.

2.

Dalam BAB ini tetap akan dipergunakan model dasar tentang sistem atom hidrogen yang menjadi pokok telaah dalam catatan kuliah ke-10. Tahap-tahap pembahasannya adalah sebagai berikut: a. Operator menentukan angular pangkat dua, 𝐿2 𝑜𝑝 , operator komponen z momentum angular, 𝐿𝑍𝑜𝑝 , dan operator Hamilton 𝐻𝑜𝑝 , dalam persamaan gelombang atom hidrogen. b. Fungsi eigen dan harga eigen untuk operator 𝐻𝑜𝑝 , 𝐿2 𝑜𝑝 , dan 𝐿𝑍𝑜𝑝 . c. Sistem atom hidrogen sederhana dalam medan magnet luar homogen. d. Hubungan diantara operator 𝐻𝑜𝑝 , 𝐿2 𝑜𝑝 , dan 𝐿𝑍𝑜𝑝 .

3.

Pembahasan pada bab ini adalah terutama pada tingkat struktur, oleh karena itu yang terpenting adalah elemen-elemen dalam sistem persamaan gelombang Scrodinger untuk atom hidrogen dan hubungan antara elemenelemen termaksud. Yang dimaksud dengan elemen disini adalah operatoroperator, fungsi-fungsi dan karya-karya eigen.

Beberapa Operator Dalam Sistem Persamaan Gelombang Scrodinger Untuk Atom Hidrogen 4.

Operator Hamilton untuk Atom hidrogen (model Sederhana) adalah: Н𝑂𝑃 = −

ℏ2 1 𝜕 𝜕 1 𝜕 1 𝜕2 [ 2 (𝑟 2 ) + 2 + 2 ] + 𝑉(𝑟) 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜇 2

Eigen function untuk Н𝑂𝑃 adalah: Ψ𝑛,𝑙,𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜇) = 𝑅𝑛𝑒 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝜃, 𝜇) Dengan eigen value: 𝑚0 𝑍 2 𝑐 + 1 Ε𝑛 = − (4𝜋𝜀0 )2 2ℏ2 𝑛2 Ternyata bahwa tiap..... lebih luas. Perubahan makna tersebut ternyata memberikan landasan bertolak yang lebih konseptual. Sebelum meningkat lebih jauh perlu diperoleh terlebih dahulu bentuk 𝐿2 𝑜𝑝 , dan 𝐿𝑍𝑜𝑝 dalam kordinat bola. 5.

Batasan momentum angular adalah: 𝑖 ⃗ = (𝑟 𝑥 𝑃⃗) = | 𝑥 𝐿 𝑝𝑥

𝑗 𝑦 𝑝𝑦

⃗ 𝑘 𝑧| 𝑝𝑧

⃗ (𝑦𝑝𝑥 − 𝑧𝑝𝑦) ⃗ = ⃗𝑖 (𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦) − ⃗𝑗 (𝑥𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑥) + 𝑘 𝐿 Dalam menggunakan postulat Scrodinger tentang pembentukan operator, diperoleh

𝐿𝑥𝑜𝑝 = −𝑖ℏ (𝑦

𝜕 𝜕 −𝑧 ) 𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝐿𝑦𝑜𝑝 = −𝑖ℏ (𝑧

𝜕 𝜕 −𝑥 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑧

𝐿𝑧𝑜𝑝 = −𝑖ℏ (𝑥

𝜕 𝜕 −𝑦 ) 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Langkah berikutnya adalah mentransformasikan tiga bentuk di atas dalam kordinat bola. Untuk keperluan tersebut dipergunakan transformasi 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜇

𝑟 = (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )1/2

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜇

𝜃 = cos −1 ( (𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 )1/2 )

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = tan−1 𝑥

3

𝑦

Sedangkan 𝜕 𝜕𝑟 𝜕 𝜕𝜃 𝜕 𝜕𝜇 𝜕 = + + 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝜇 Dan bentuk serupa untuk x dan y

Transformasi koordinat memberikan bahwa, 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝜇 𝜕𝑧

= cos 𝜃 =− =0

sin 𝜃 𝑟

; ; ;

𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜇 𝜕𝑦

= sin 𝜃 sin 𝜇 =

cos 𝜃 sin 𝜇 𝑟 cos 𝜇

= 𝑟 sin 𝜃

; ; ;

𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝜇 𝜕𝑥

= sin 𝜃 cos 𝜇 = cos 𝜃 cos 𝜇 sin 𝜇

= − 𝑟 sin 𝜃

Dengan menggunakan hubungan-hubungan di atas akan diperoleh: 𝐿𝑥𝑜𝑝 = +𝑖ℏ [sin 𝜇

𝜕 𝜕 + cot 𝜃 cos 𝜇 ] 𝜕𝜃 𝜕𝜇

𝐿𝑦𝑜𝑝 = +𝑖ℏ [cos 𝜇

𝐿𝑧𝑜𝑝 = −𝑖ℏ [

𝜕 𝜕 − cot 𝜃 sin 𝜇 ] 𝜕𝜃 𝜕𝜇

𝜕 ] 𝜕𝜇

Operator untuk pangkat duanya momentum angular 𝐿2 𝑜𝑝 : 𝐿2 𝑜𝑝 = 𝐿𝑥 2 𝑜𝑝 + 𝐿𝑦 2 𝑜𝑝 + 𝐿𝑧 2 𝑜𝑝 Ternyata bahwa: Momentum Angular 2

𝐿 6.

𝑜𝑝

1 𝜕 𝜕 1 𝜕2 = −ℏ [ (sin 𝜃 ) + ] sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝑦 2 2

Perhatikanlah persamaan eigenvalue untuk atom hidrogen: Η𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜇) = 𝐸 Ψ𝑛,𝑙,𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜇) Dengan pemisahan variabel persamaan di atas dapat dijadikan 2 persamaan differensial yang terkait, yaitu persamaan radial dan persamaan angular. Sesuai dengan hasil di halaman 10-9, maka bentuk persamaa angular tersebut adalah: 1 𝜕 𝜕 1 𝜕2 − (sin 𝜃 )𝑌 + 𝑌 = −𝑙(𝑙 + 1)𝑌𝑙,𝑚 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑙,𝑚 sin2 𝜃 𝜕𝜇 2 𝑙,𝑚 Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dalam butir 5, persamaan radial termaksud dapat dituliskan sebagai: 𝐿2 𝑜𝑝 𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜇) = ℏ2 𝑙(𝑙 + 1)𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜇)

Dilihat dari bentuk persamaan tersebut, dapat dikatakan bahwa bentuknya adalah suatu eigenvalue equation untuk operator 𝐿2 ,dengan eigenfunction 𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜇), dan eigen value ℏ2 𝑙(𝑙 + 1).

𝐿2 𝑜𝑝 tidak mengandung operator 𝑟,

𝜕 𝜕𝑟

, ataupun lain operator yang secara

eksplisit berkaitan dengan 𝑟. Oleh karena itu operator tersebut tidak memenuhi 𝑅𝑛𝑙 (𝑟). Oleh karena itu: 𝐿2 𝑜𝑝 Ψ𝑛,𝑙,𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜇) = 𝑅𝑛𝑒 (𝑟)𝐿2 𝑜𝑝 𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜇) = ℏ2 𝑙(𝑙 + 1) 𝑅𝑛𝑒 (𝑟) 𝑌𝑙,𝑚 (𝜃, 𝜇) = 𝑙(𝑙 + 1) Ψ𝑛,𝑙,𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜇) Jadi Ψ𝑛,𝑙,𝑚 merupakan eigenfunction dari 𝐿2 𝑜𝑝 . 𝐿2 𝑜𝑝 Ψ𝑛,𝑙,𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜇) = ℏ2 𝑙 (𝑙 + 1) Ψ𝑛,𝑙,𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜇) Eigenvaluenya adalah: ℏ2 𝑙 (𝑙 + 1)

𝐿 = √𝑙 (𝑙 + 1) ℏ

Jelas pula bahwa harga ekspektasi 〈𝐿2 〉 sama dengan harga eigenvalue untuk 𝐿2 𝑜𝑝 7.

Operator 𝐿𝑧𝑜𝑝 𝐿𝑧 adalah komponen mometum angular dalam arah sumbu 𝑧. Operatornya dalam sistem kordinat bola adalah: 𝐿𝑧𝑜𝑝 = −𝑖ℏ

𝜕 𝜕𝜇

Apakah yang terjadi apabila 𝐿𝑧𝑜𝑝 beroperasi pada fungsi angular Ψ,𝑙,𝑚 ? 𝐿𝑧𝑜𝑝 Ψ,𝑙,𝑚 = −𝑖ℏ

𝜕 𝜕𝐼𝑚 Ψ,𝑙,𝑚 = −𝑙𝑚 [– 𝑖ℏ ] 𝜕𝜇 𝜕𝜇 = 𝑚ℏΨ𝑙,𝑚

Karena : −𝑖ℏ

𝑑𝐼𝑚 𝑑 1 1 𝑖𝜃𝜇 = −𝑖ℏ [ 𝑒 𝑖𝜃𝜇 ] = ℏ𝑚 𝑒 𝑑𝜇 𝑑𝜇 √2𝜋 √2𝜋 = 𝑚ℏI𝑚

Karena 𝐿𝑍𝑜𝑝 tidak mengandung 𝑟 ataupun turunan-turunannya, maka: 𝐿𝑍𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑚ℏ Ψ𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜑) Oleh karena itu Ψ𝑛,𝑙,𝑚 juga merupakan eigenfunction dari 𝐿𝑍𝑜𝑝 dengan harga eigenvalue 𝑚ℏ. Seperti halnya dengan 𝐿2 , maka juga harga ekspektasi 〈−𝑧〉 sama dengan eigenvalue 𝐿𝑍𝑜𝑝 ; 𝑚ℏ. ( 𝐿𝑍𝑜𝑝 = 𝑚ℏ.)

8.

Operator 𝐿2 𝑜𝑝 adalah operator untuk 𝐿2 , sedangkan operator untuk 𝐿𝑧 adalah 𝐿𝑍𝑜𝑝 . Kedua-duanya mempunyai eigenfunction yang sama yaitu perangkat eigenfunction [Ψ𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜑)] untuk operator Hamilton Η𝑜𝑝 . Operasi masingmasing operator tersebut terhadap eigenfunction energi sistem atom hidrogen dan memberikan: 𝐿2 𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 = ℏ2 𝑙 (𝑙 + 1)Ψ𝑛𝑙𝑚 𝐿𝑍𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 = 𝑚ℏ Ψ𝑛𝑙𝑚 Η𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 = Ε𝑛 Ψ𝑛𝑙𝑚 Dengan: Ε𝑛 = −

𝑚0 𝑧 2 𝑒 + 1 (4𝜋𝜀0 )2 ℏ2 2 𝑛2

Disini terlihat kuantisadi: Momentum angular

;

〈𝐿2 〉 = ℏ2 𝑙 (𝑙 + 1)

Komponen 𝑧 momentum angular

;

〈𝐿𝑍 〉 = 𝑚ℏ

Energi sistem atom hidrogen

:Ε𝑛 = −

13,6 𝑛2

𝑒𝑣

Bilangna kuantum 𝑙 dan 𝑚 secara bersama-sama menjadikan bentuk initial edar elektron mengelilingi initi atom. Refresentasinya dapat dilihat dalam buku quantum physics, karangan Eisberg-resnick, halaman 270-275. Refresentasi itu secara khusus dinyatakan sebagai rapat kebolehjadian elekton

dalam ruang tiga dimensi. Secara khusus dibuatkan tabel kuantisasi seperti di bawah ini. Eigenvalue problem untuk sistem atom hidrogen Operator

Eigenfunction

Bilangan kuantum

Eigenvalue

Η𝑜𝑝

Ψ𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜑)

𝑛, 𝑙, 𝑚

𝐿2 𝑜𝑝

Ψ𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜑)

𝑙

𝑙(𝑙 + 1)ℏ2

𝐿𝑍𝑜𝑝

Ψ𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜑)

𝑚

𝑚ℏ

Ε𝑛 = −

𝑚0 𝑧 2 𝑐 + 2 (4𝜋Ε𝑐 )2 ℏ2 𝑛2

SISTEM ATOM HIDROGEN SEDERHANA DALAM MEDAN MAGNET LUAR YANG HOMOGEN 9.

Fungsi potensial 𝑉(𝑟) atom hidrogen memiliki kesetangkupan bola. Kesetangkupan yang tinggi itu memberikan degenerasi yang sangat tinggi. Energi Ε𝑛 sistem atom hidrogen yang ditandai oleh bilangan kuantum n, ternyata sesuai dengan 𝑛2 buah eigenfunction yang kesemuanya memiliki kuantum utama 1. Contohnya, bilangan kuantum dengan bilangan kuantum n=2, memiliki energi total sebesar Ε2 = −3,4 𝑒𝑣. Keadaan kuantum tersebut memiliki 4 buah eigenfunction yang berbeda: Ψ2,0,0 , Ψ2,1,0 , Ψ2,1,1 𝑑𝑎𝑛 Ψ2,1,−1 Apabila atom dimaksud dimasukkan dalam suatu medan maksud yang homogen, maka potensial yang dialami oleh elektron tidak memiliki besertangkapan bola. ⃗ akan menurunkan Kehadiran medan magnet luar dengan induksi magnetik 𝐵 derajat kesetangkupan permasalahan fisiknya. Eigenfunction yang tadinya berenergi sama memiliki energi yang berbeda. Hal tersebut menjadi pembahasan dalam butir-butir berikut.

10. Dalam salah satu pekerjaan rumah F1-332 telah diturunkan bahwa pertautan ⃗⃗ 𝑙 dan angular momentum antara dipol magnet 𝑀

⃗ 𝐿

dari elektron yang

memiliki inti atom adalah: ⃗⃗ 𝐿 = 𝑀

𝑒 ⃗ 𝐿 2𝑚0

Untuk mudahnya di ambil saja sebagai arah sumbu z positif, arah dari medan ⃗. induksi magnetik 𝐵 ⃗⃗ 𝐿 dalam arah z, adalah: Komponen 𝑀 ⃗⃗ 𝐿𝑧 = − 𝑀

𝑒 𝑀𝐵 𝐿𝑍 = − 𝐿 2 𝑚0 ℏ 𝑍

Dengan: 𝑀𝐵 = <

ℏ = 9,2732 𝑥 10−24 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎−1 = 5,6564 𝑥 10−5 𝑒𝑣/𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎 2𝑚0

𝑀𝐵 dinamakan megnetik Bohr. ⃗⃗ 𝐿 yang ditempatkan adalah Suatu momen dipol magnetik dengan kekuatan 𝑀 ⃗ akan memiliki energi potensial: medan magnet berkekuatan 𝐵 𝑒 ⃗⃗ 𝐿 𝐵 ⃗ = ⃗ .𝐵 ⃗ 𝑉𝐵 = −𝑀 𝐿 2𝑚0 𝑉𝐵 =

𝑀0 ⃗ .𝐵 ⃗ 𝐿 ℏ

⃗ Karena arah z diambil sama dengan arah 𝐵 𝑉𝐵 =

𝑀𝐵 𝐵𝐿𝑍 ℏ

Hal mana kadang-kadang ditulis sebagai 𝑉𝐵 = 𝑔𝐿 Dengan 𝑔𝐿 = 1, faktor orbital.

𝑀𝐵 𝐵𝐿𝑧 ℏ

⃗ 11. Energi total Ε′ dari suatu atom hidrogen dalam medan magnet luar 𝐵 dipersentasikan oleh operator Hamilton Η′𝑜𝑝 Hubungan antara Η′𝑜𝑝 dan Η𝑜𝑝 adalah: Η′𝑜𝑝 = Η𝑜𝑝 + 𝑉𝐵𝑜𝑝 Dengan Η𝑜𝑝

ℏ2 2 = − ∇ + 𝑉(𝑟) 2𝑚

Bagaimana dengan besarnya Ε′ ?? Andaikanlah bahwa sistema atom hidrogen berada dalam keadaan kuantum (𝑛, 𝑙, 𝑚). Eigenfunction untuk keadaan tersebut adalah Ψ𝑛𝑙𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜑) Maka harga ekspektasi 〈Ε′〉 adalah: ∗ 〈Ε′〉 = ∫ Ψ𝑛𝑙𝑚 Η′𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 𝑑𝑇 ∗ ∗ ∗ ∗ 〈Ε′〉 = ∫ Ψ𝑛𝑙𝑚 [Η𝑜𝑝 + 𝑉𝐵 𝑜𝑝 ] Ψ𝑛𝑙𝑚 𝑑𝑇 − ∫ Ψ𝑛𝑙𝑚 Η𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 𝑑𝑇 + ∗ ∗ 𝑉𝐵𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 𝑑𝑇 ∫ Ψ𝑛𝑙𝑚

Apabila dipergunakan saja notasi: ∗ ∫ Ψ𝑛𝑙𝑚 Η′𝑜𝑝 Ψ𝑛𝑙𝑚 𝑑𝑇 = 〈𝑛𝑙𝑚 |Η′𝑜𝑝 | 𝑛𝑙𝑚〉

Maka hubungan di atas dapat ditulis sebagai: 〈𝑛𝑙𝑚 |Η′𝑜𝑝 |𝑛𝑙𝑚〉 = 〈𝑛𝑙𝑚 |Η𝑜𝑝 |𝑛𝑙𝑚〉 + 〈𝑛𝑙𝑚 |𝑉𝐵𝑜𝑝 |𝑛𝑙𝑚〉 Dimana diperoleh bahwa: 𝑀𝐵 𝐵 〈𝑛𝑙𝑚 |𝐿𝑧 |𝑛𝑙𝑚〉 ℏ ⟨𝑛𝑙𝑚|𝑛𝑙𝑚⟩ = 1 ; sedangkan 𝐿𝑍 |𝑛𝑙𝑚〉 =

〈Ε′〉 = Ε𝑛 ⟨𝑛𝑙𝑚|𝑛𝑙𝑚⟩ + 𝑔𝐿 Karena

normalisasi,

maka

𝑚ℏ |𝑛𝑙𝑚〉 ; sehingga: 〈Ε′〉 = Ε𝑛 + 𝑚ℏ 𝑔𝐿

𝑀𝐵 𝐵 ℏ

Darimana diperoleh bahwa pergeseran harga energi karena kehadiran medan ⃗ adalah: magnet luar 𝐵 ∆Ε ≡ 〈Ε′〉 − Εn Atau ΔΕ = (𝑔𝐿 𝑀𝐵 𝐵)𝑚

Dengan m bilangan kuantum magnetik.

12. Pergeseran harga energi atom hidrogen karena atom itu ditempatkan dalam ⃗ adalah: medan magnetik luar 𝐵 ΔΕ = (𝑔𝐿 𝑀𝐵 𝐵)𝑚 Ternyata bahwa: a. Semua kuantum state dengan bilangan kuantum magnetik 𝑚 = 0, tidak berubah bahwa energinya apabila atom tersebut ditempatkan dalam ⃗. medan magnet luar 𝐵 b. Apabila kuantum state dinyatakan dengan bilangan kuantum magnetik 𝑚 > 0, maka ΔΕ > 0. Energi sistem meningkat apabila atom di sempatkan dalam medan 𝐵 luar. c. Sebaliknya terjadi, ΕΔ < 0, apabila 𝑚 < 0

13. Sebelum kita menunjukkan bagaimana energi sistem atom hidrogen bergeser ⃗ , dicantumkan terlebih dahulu di di bawah pengaruh medan magnet luar 𝐵 bawah ini bagaimana menngambarkan secara skematis berdasar tingkat energi untuk berbagai bilangan kuantum n dan l. Gambar

Dalam arah vertikal ditempatkan energi dengan harga bilangan kuantum utama n yang berlainan. Dimulai dengan tingkat energi n=1 yang energinya Ε1 = −13,6 𝑒𝑉𝑜𝑙𝑡. Tingkat teratas adalah tingkat dengan bilangan kuantum utama 𝑛 = ∞ dan sesuai dengann keadaan terionisasi dengan Ε∞ = 0 Tingkat energi dengan n yang sama tetapi l yang berlainan ditempatkan dalam arah horizontal. Superti diketahui maka semua tingkat energi dengan n yang sama, meskipun l-nya berlainan, berimpit umpamanya tingkat dengan n=4, mempunyai

1 eigenfunction dengan l=0 3 eigenfunction dengan l=1 [𝑚 = −1, 0, +1] 5 eigenfunction dengan l=2 [𝑚 = −2, −1, 0, +1, +2] 7 eigenfunction dengan l=3 [𝑚 = −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3] Kegandaan tersebut dinyatakan dalam tanda kurung disebelah setiap tingkat energi. Jika kolom semua l yang berlainan dikumpulkan maka kegandaan tingkat n=4 tersebut adalah: 1+3+5+7=16 Atau

(𝑛2 = 16)

Transisi dari suatu keadaan dapat pula digambarkan dengan skema yang vertikal. Sebagai contok dicantumkan di bawah transisi dari keadaan (3,1, m’) ke ( 2,0, m); dan dari keadaan (4,2,m’) ke (3,1,m). Transisi ini terjadi tanpa ⃗ luar. medan 𝐵 GAMBAR

⃗ ? 20. Bagaimanakah transisi di atas tadi bila medan magnet luar 𝐵 Gambar Pergeseran tingkat energi ∆Ε = (𝑔𝐿 𝑀𝐵 𝐵), karena 𝑚 = +1 atau −1. Tanpa medan magnet luar energi transisi adalah: Ε3 − Ε2 = [−1,5 + 3,4] 𝑒𝑉 = 1,9 𝑒𝑉 ⃗ ada 3 energi transisi Ada satu garis spektrum. Dengan medan magnet luar 𝐵 yang berlainan; masing-masing: 1,9 𝑒𝑉 + ΔΕ = Ε1 1,9 𝑒𝑉

= Ε2

1,9 𝑒𝑉 − ΔΕ = Ε3 Sehingga akan terikat 3 garis spektrum. Perlu diperhatikan bahwa tingkat dasar tak mengurai karena 𝑚 = 0. Hal yang sama dilakukan untuk transisi kedua: Gambar Ternyata bahwa tidak semua transisi diperkenankan, ada suatu kaidah seleksi untuk transisi dipole sebagai berikut: Δ𝑙 = ±1 ∆m = 0, ±1 Kaidah ini akan diturunkan pada bola. ⃗ menyebabkan pergeseran harga energi sistem Lekadiran medan magnet 𝐵 atom hidrogen dengan: ∆𝑚Ε = (𝑔𝐿 𝑀𝐵 𝐵)𝑚 = Δ, Ε𝑚 Dengan

Δ, Ε ≡ 𝑔𝐿 𝑀𝐵 𝐵

Dengan medan magnet akan ada energi transisi seperti berikut: 0,65 𝑒𝑉 + ∆, Ε 0,65 𝑒𝑉 0,65 𝑒𝑉 − Δ, Ε Jadi dalam spektrum hanya terlihat 3 garis dengan 𝜆 yang berbeda. Ketiga garis tersebut berasal dari 9 buah transisi............................

Jadi satu garis tunggal dalam spektrum pancaran atom hidrogen akan menjadi triplet di bawah pengaruh medan magnet luar yang homogen. Dibawah pengaruh medan magnet bumi yang cukup besar pemisahan ini dapat di amati (efek zeeman)

21. Dalam butir ini akan ditelaah lebih lanjut pengaruh medan magent luar pada sistem atom hidrogen. Pergeseran harga energi atom hidrogen berasal dari potensial

yang diperoleh momen dipol

magnet

(elektron berputar

mengelilingi inti) dalam medan magnet luar. Bahwa energi pergeseran ini terkuantisasi memberikan pula pentunjuk bahwa ⃗ 1 terkuantisasi dalam ruang yang dipengaruhi arah angular momentum 𝐿 ⃗ medan 𝐵 Dalam ruang yang bebas tidak ada arah yang khusus, semua arah sama ⃗ mempunyai kedudukan sembarang dalam ruang. keadaannya, dan 𝐿 ⃗, Apabila kemudian dalam ruang tersebut dihadirkan medan magnet luar 𝐵 maka terjadi perubahan sifat ruang tersebut. Kesetangkupan awal yang berupa kesetangkupan bola berubah menjadi kesetangkupan yang lebih rendah. ⃗ 𝐿 dan 𝐵 ⃗ mengahsilkan persamaan energi total atom Karena interaksi anara 𝑈 hidrogen yang terkuantisasi, maka atom hidrogen mengenal arah-arah ⃗ terhadap tertentu dalam ruang, khususnya bagi arah meomentum angular 𝐿 ⃗ (yang di ambil sebagai arah sumbu z positif). arah 𝐵 Diketahui bahwa 〈𝐿2 〉 = ℏ2 𝑙(𝑙 + 1), artinya besar angular momentum adalah ⃗ dalam arah 𝑧 adalah ℏ𝑚ℎ, ℏ√𝑙(𝑙 + 1). Sedangkan 〈𝐿𝑍 〉 yaitu komponen 𝐿 dengan 𝑚 = +1, −𝑙(𝑙 − 1), −(𝑙 − 2), ....... , −1, 0, +1, … … , (𝑙 − 1). Sebagai contoh ambillah suatu kasus dengan 𝑙 = 2 

Besarnya angular momentum adalah ℏ√𝑏 = 𝐿



Sedangkan projeksinya dalam arah – 𝑧 adalah −2ℏ, −ℏ, 0, +ℏ, +2ℏ

Hal tersebut digambarkan dalam sketsa di sebelah ini (gambar) 𝑙=2 𝑚 = −2, −1, 0, +1, +2 〈𝐿〉 = ℏ√𝑏 〈𝐿𝑍 〉 = −2ℏ, −ℏ, 0, +5, +2ℏ ⃗ terkuantisasi apabila ada medan luar hadir dalam Ternyata bahwa arah 𝐿 ruang. 22.

Kehadiran suatu medan magnet yang homogen dalam ruang akan ⃗ dalam ruang tersebut. mengkuantisasikan arah angular momentum 𝐿 Kuantisasi arah angular momentum itu akan terekan sebagai pergeseran enrgi total atom. Hal tersebut telah dibahas dalam butir-butir sebelumnya. ⃗ juga akan melakukan gerak Kecuali kuantisasi tersebut, ternyata bahwa 𝐿 presisi mengelilingi sumbu 𝑧. ⃗ suatu elektron atom H yang Di bawah pengaruh suatu induksi magnetik 𝐵 ⃗ 𝐿 , akan mengalami suatu momen gaya memiliki momen dipole magnetik 𝑈 (klasik) sebesar: ⃗⃗ 𝐿 𝑥 𝐵 ⃗ = − 𝜏=𝑀

𝑔𝐿𝑀𝐵 ⃗ 𝑥𝐵 ⃗ 𝐿 ℏ

𝑔𝑙 = 1 Menurut hukum mekanika yang klasik (TPB) impuls momen gaya 𝜏 ∆𝑡 ⃗ ) dari sistem memberikan perubahan (∆𝐿 ⃗ 𝜏 ∆𝑡 = ∆𝐿 ⃗ | (∆𝜑) sin 𝜃 |𝝉 ⃗ | (∆𝑡) = |𝐿 ⃗ ) perubahan angular Dalam ungkapan di atas (∆𝑡) adalah waktu, dan (∆𝐿 momentum. Sudut ∆𝜑 adalah seperti (gambar)

tertera dalam sketsa di sebelah

Jadi ⃗| ( |𝜏| = |𝐿

∆𝜑 ) sin 𝜃 ∆𝑡

|𝜏| = 𝜔𝐿 sin 𝜃 ⃗ mengelilingi sumbu – 𝑧. Dimana 𝜔𝐿 adalah frekuensi perputara 𝐿 Momen gaya 𝜏 besarnya adalah 𝑔𝐿 𝑀𝐵 ⃗ 𝑥𝐵 ⃗] 𝐿 ℏ 𝑀𝐵 |𝜏| = 𝑔𝐿 𝐵 𝐿 sin 𝜃 ℏ [𝜏 = −

Jadi diperoleh bahwa: 𝑔𝐿

𝑀𝐵 𝐵 𝐿 sin 𝜃 = 𝐿 sin 𝜃 𝜔𝐿 ℏ

Dimana diperoleh bahwa: frekuensi presisi atau frekuensi larmir 𝜔𝐿 besarnya: 𝜔𝐿 = 𝑔𝐿

𝑀𝐵 𝐵 ℏ

Atau apabila dipergunakan notasi vektor 𝜔 ⃗𝐿=

𝑔𝐿𝑀𝐵 ⃗ 𝐵 ℏ

Larmir frekuensi ini mempunyai manfaat yang praktis seperti umpamanya menentukan

besarnya

induksi

magnetik

𝐵.

Pengukuran

tersebut

dikembalikan pada pengukuran frekuensi.

23. Dalam butir ini diberikan contoh numerik tentang pengaruh medan magnetik ⃗ pada atom hidrogen. 𝐵 Andaikanlah kuat medan induksi magnetik adalah 𝐵 = 104 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠 = 1 𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎 . fokus pada ........

Ε3 − Ε2 = −

13,6 13,6 − − = 1,89 𝑒𝑉 = 3,02 𝑥 10−19 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 9 4

Frekuensi yang terkait dengan transisi ini adalah: 𝜕3,2 = 𝜆3,2 =

Ε3 − Ε2 = 4,56 𝑥 1014 𝐻𝑧 ℎ

𝑐 = 0,657 𝑥 10−6 𝑚 = 0,66 𝑢 𝜕3,2

𝑀𝐵 = 9,27 𝑥 10−24 𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎/𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 ∆Ε = (𝑔𝐿 𝑀𝐵 𝐵) 𝑚 ΔΕ = 1 𝑥 9,27 10−24 𝑥 1 ΔΕ = 9,27 x 10−24 joule Karena Ε = ℎ𝜕 =

ℎ𝑒 𝜆

Maka: ΔΕ = −

ℎ𝑒 Δ𝜆 𝜆2

Δ𝜆 = −

𝜆2 ΔΕ ℎ𝑐

Pergeseran panjang gelombang: Δ𝜆 = −

(0,66𝑥10−6 )2 = 9,27 𝑥 1024 (6,63 𝑥 10−34 ) 𝑥 3𝑥108

Δ𝜆 = 2,0 𝑥 10−11 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 = 0,20 Å Bagaimana dengan frekuensi larmor 𝜔𝐿 = 2𝜋𝜕𝐿 = 𝑔𝐿

𝑀𝐵 9,27𝑥 10−24 𝐵= = 8,60 𝑥 1010 𝐻𝑧 ℏ 1,054 𝑥 10−34

Besarnya orbital angular momentum untuk elektron di tingkat 3𝑝 : 〈𝐿〉 = √𝑙 (𝑙 + 1)ℏ

𝑒 = 1 𝑑 2𝑠 = 𝐿 = 0 〈𝐿〉 = ℏ√2 = 1,49 𝑥 10−34 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒

Hubungan antara operator Η𝑜𝑝 , 𝐿2 𝑜𝑝 , 𝐿𝑍𝑜𝑝

24. Telah diperoleh bahwa: 𝐿2 𝑜𝑝 = −ℏ2 [

1 𝜕 𝜕 1 𝜕2 (sin 𝜃 ) + 2 ] sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜑 2 𝐿𝑍𝑜𝑝 = −𝑖ℏ

𝜕 𝜕𝜑

Tetapi: 𝐿𝑍𝑜𝑝 𝐿2 𝑜𝑝 = −𝑖ℏ

𝜕 1 𝜕 𝜕 1 𝜕𝑧 [−ℏ2 { (sin 𝜃 ) + 2 }] 𝜕𝜑 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜑 2

𝐿𝑍𝑜𝑝 𝐿2 𝑜𝑝 = −ℏ2 [

1 𝜕 𝜕 1 𝜕𝑧 (sin 𝜃 ) + 2 ] (−𝑖ℏ) sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜑 2

𝐿𝑍𝑜𝑝 𝐿2 𝑜𝑝 = 𝐿2 𝑜𝑝 𝐿𝑍𝑜𝑝 Jadi 𝐿2 𝑜𝑝 𝐿𝑍𝑜𝑝 − 𝐿𝑍𝑜𝑝 𝐿2 𝑜𝑝 = 0 Yang ditulis sebagai [𝐿2 𝑜𝑝 , 𝐿𝑍𝑜𝑝 ] = 0 Diketahui bahwa 𝐿2 𝑜𝑝 dan 𝐿𝑍𝑜𝑝 berkomutasi Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa juga: [Η𝑜𝑝 , 𝐿𝑍𝑜𝑝 ] = 0 [Η𝑜𝑝 , 𝐿2 𝑜𝑝 ] = 0 Η𝑜𝑝 , 𝐿2 𝑜𝑝 dan 𝐿𝑍𝑜𝑝 adalah seperangkat operator yang berkomutasi sesamanya.