Transformada Discreta De Fourier.docx

Paso 2 - Reconocer los elementos matemáticos que implica el sistema de conversión analógica digital

Sebas Rojas Presentado a: Mauricio Alberto Garcia

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Chiquinquirá, Boyacá 

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Revista Argentina de Trabajos Estudiantiles. Patrocinada por la IEEE.

3) Transformada Discreta de Fourier  Cada estudiante realizará el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier, en el cual debe estar planteada la sumatoria de transformada. Dicho algoritmo se realizará para una señal de longitud de tres (3) muestras. Los tres valores de las muestras corresponden a los tres últimos números del documento de identificación, por ejemplo, si mi cédula es 80765437, entonces el algoritmo se hará para la señal x[n] = [4 3 7]. Para desarrollar esta parte el estudiante podrá utilizar Matlab, Octave Online, o Scilab. 𝑥[𝑛] = [3 1 0] 𝑁−1

𝑇𝐷𝐹 = ∑ 𝑋𝑛𝑒 −𝑗

2𝜋𝑘𝑛 𝑁

, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑁 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠, 𝑘 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑛

𝑛=0

= 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑎 2𝜋(0)(0)

2𝜋(0)(1) 3 2𝜋(1)(1) 𝑒 −𝑗 3 2𝜋(2)(1) 𝑒 −𝑗 3

𝑒 −𝑗 3 𝑥(0) [𝑥(1)] = 𝑒 −𝑗2𝜋(1)(0) 3 𝑥(2) 2𝜋(2)(0) [𝑒 −𝑗 3

𝑒 −𝑗

1 𝑥(0) [𝑥(1)] = [1 𝑥(2) 1

1

2𝜋 𝑒 −𝑗 3 4𝜋 𝑒 −𝑗 3

3 𝑥(0) [𝑥(1)] = [3 𝑥(2) 3 𝑥(0) [𝑥(1)] = [ 3 𝑥(2) 3

2𝜋(0)(2) 3 2𝜋(1)(2) 𝑒 −𝑗 3 2𝜋(2)(2) 𝑒 −𝑗 3 ]

𝑒 −𝑗

3 ∗ [1] 0

1

3 4𝜋 𝑒 −𝑗 3 ] ∗ [1] 8𝜋 0 𝑒 −𝑗 3 1

0

−𝑗

0]

2𝜋 𝑒 3 4𝜋 𝑒 −𝑗 3

0

4

2𝜋

𝑒 −𝑗 3

4𝜋 𝑒 −𝑗 3

0] 0

Una exponencial compleja puede descomponerse en: 𝑒 −𝑗𝑥 = cos(𝑥) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥(0) 3 [𝑥(1)] = 𝑥(2) 3 [

4 2𝜋 2𝜋 + (cos (− ) + 𝑗𝑠𝑒𝑛 (− )) + 3 3 4𝜋 2𝜋 + (cos (− ) + 𝑗𝑠𝑒𝑛 (− )) + 3 3

𝑥(0) [𝑥(1)] = [ 3 𝑥(2) 3

4 +(−0.5 − 0.8666𝑗) + +(−0.5 + 0.8666𝑗) +

0 0

]

0] 0

𝑥(0) 4 [𝑥(1)] = [2.5 − 0.8666𝑗] 2.5 + 0.866𝑗 𝑥(2) Se calcula la magnitud y ángulos de la fase. Magnitud: se eleva la parte real y la imaginaria al cuadrado y se calcula la raíz cuadrada. √(4)2 + (0)2 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 =

[√(2.5)2

+

(−0.8666)2 ]

√(2.5)2 + (0.8666)2

4 = [2.643] 2.643

Ángulos: inversa de la tangente de la parte imaginaria sobre la real. 0 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) 4 0 −0.8666 −1 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠° = 𝑡𝑎𝑛 ( ) = [−0.333] 2.5 0.333 0.8666 −1 [ 𝑡𝑎𝑛 ( 2.5 ) ]