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Capitulo 4: State preference theory En esta formulación, los objetos de elección no son medidas estadísticas derivadas de la distribución de probabilidad de las oportunidades de consumo, sino más bien las reclamaciones de consumo contingente establecidas en forma extensa. OFERTAS DE FINANCIACIÓN CON DECISIONES DE INVERSIÓN de individuos y empresas vinculadas a través de la oferta y la demanda de valores en el mercado de capitales. Las empresas piden prestado capital para invertir en activos reales mediante la venta de valores; los individuos obtienen reclamos de los activos reales de las empresas al invertir en valores. Por lo tanto, los valores presentan oportunidades para cambios intertemporales de consumo a través del financiamiento de actividades productivas. Las decisiones de consumo / inversión individuales que determinan la oferta de seguridad agregada se ven afectadas por los precios de seguridad y la demanda, los precios de seguridad producen un conjunto consistente de decisiones de inversión individuales y firmes. En este capítulo, analizaremos cómo las decisiones de inversión individuales óptimas y las decisiones de inversión firmes óptimas se determinan bajo incertidumbre para un conjunto dado de precios de seguridad. En el Capítulo 3, encontramos que bajo condiciones específicas, la toma de decisiones individuales bajo incertidumbre se logra maximizando la utilidad esperada de la riqueza del final del período. Este criterio de decisión se mostró válido cuando los individuos son racionales, prefieren más riqueza a menos, y siguen Los cinco axiomas de elección bajo incertidumbre. Implícitamente, también se asumió que los individuos pueden evaluar la distribución de probabilidad de los pagos de final de período de un valor. Se demostró que el criterio de utilidad esperado es una forma muy simple de elegir entre inversiones mutuamente excluyentes que tienen diferentes distribuciones de probabilidad de final de período, pagos del período. Al elegir la inversión con la utilidad más alta esperada, se determina la inversión óptima, lo que condensa una elección entre N distribuciones de probabilidad de pagos al final del período en una comparación entre los N valores de utilidad esperados. En este capítulo del siguiente capítulo, deseamos ir más allá del problema de elección individual de las inversiones mutuamente excluyentes al problema más general de la toma de decisiones de cartera, es decir, la opción óptima de invertir en más de una seguridad de riesgo. Esto es equivalente a el problema de elegir la distribución de probabilidad de la riqueza de fin de período de un individuo que sea consistente con el conjunto de valores de riesgo disponibles y la riqueza inicial del individuo. El problema de la elección del individuo es encontrar esa cartera o combinación lineal de valores de riesgo que sea óptima, dada su riqueza y sus gustos iniciales. Asumimos un mercado de capital perfecto para garantizar que no haya costos de construcción de cartera.

A. Incertidumbre y estados futuros alternativos Los valores tienen inherentemente una dimensión temporal. Las decisiones de inversión de valores de los individuos están determinadas por su consumo deseado en intervalos de tiempo futuros. El paso del tiempo implica incertidumbre sobre el futuro y, por ende, sobre el valor futuro de una inversión en seguridad. Desde el punto de vista de la empresa emisora y de los inversores individuales, el valor incierto futuro de un valor puede representarse como un vector de pagos probables en una fecha futura, y la cartera de inversiones de un individuo es una matriz de posibles beneficios en los diferentes valores que componer la cartera. En el modelo de preferencia estatal, la incertidumbre toma la forma de no saber cuál será el estado de la naturaleza en una fecha futura. Para el inversor, una garantía es un conjunto de posibles beneficios, cada uno asociado con un estado de naturaleza mutuamente excluyente. Una vez que se revela el estado incierto del mundo, la recompensa de la seguridad se determina exactamente. Por lo tanto, un valor representa una reclamación a un vector (o paquete) de pagos contingentes del estado En el caso más simple, hay dos resultados posibles con probabilidades 𝜋1 y 𝜋2 por lo tanto, dos estados de la naturaleza mutuamente excluyentes con probabilidades 𝜋1 y 𝜋2 . Tomemos como ejemplo una inversión en un boleto de lotería con resultados ($ 10,000, $ 0). Con probabilidad 𝜋1 , se realiza el estado 1 y el boleto de lotería paga $ 10,000; con probabilidad 𝜋2 , se realiza el estado 2 y el boleto de lotería no paga nada (Fig. 4.1).

La probabilidad de que ocurra un estado de naturaleza es, por lo tanto, igual a la probabilidad de la liquidación de seguridad asociada al final del período. Se asume que los estados de la naturaleza capturan las causas fundamentales de la incertidumbre económica en la economía; por ejemplo, el estado 1 podría representar la paz y el estado 2 podría representar la guerra, o el estado 1 podría representar la prosperidad y el estado 2 podría representar la depresión. Una vez que se conoce el estado de la naturaleza, también se conoce el pago al final del período en cada seguridad de riesgo. Al sumar las posesiones de seguridad individuales y luego sobre las personas, se deduce que una vez que se conoce el estado de la naturaleza, también se conoce la riqueza individual y agregada de fin de período. En principio, puede haber un número infinito de estados de la naturaleza y, por lo tanto, un número infinito de pagos al final del período para un activo de riesgo. Este conjunto de estados debe cumplir con las propiedades críticas de ser mutuamente excluyentes y exhaustivos. Es decir, uno y solo un estado de la naturaleza se realizarán al final del período, y la suma de las probabilidades de los estados individuales de la naturaleza es igual a uno. También se supone que (1) los individuos pueden asociar un resultado de la distribución de probabilidad de cada seguridad de su pago al final del período con cada estado de la

naturaleza que pueda ocurrir, y (2) los individuos solo están preocupados por la cantidad de riqueza que obtendrán si ocurre un estado dado; una vez que se conoce su riqueza, son indiferentes en cuanto a qué estado de la naturaleza ocurre (es decir, los individuos tienen funciones de utilidad independientes del estado).

B. Definición de valores puros Analíticamente, la generalización del análisis microeconómico estándar, atemporal, bajo certidumbre, a una economía de periodos múltiples con incertidumbre en los mercados de valores se ve facilitada por el concepto de seguridad pura. Una seguridad pura o primitiva se define como una seguridad que paga $ 1 al final del período si se produce un estado determinado y nada si se produce cualquier otro estado. El concepto de seguridad pura permite la descomposición lógica de valores de mercado en carteras de valores puros. Por lo tanto, toda seguridad del mercado puede considerarse una combinación de varios valores puros. En términos de la teoría de la preferencia estatal, una seguridad representa una posición con respecto a cada posible estado de naturaleza futuro. En la figura 4.2, los valores de mercado se definen con respecto a las características de sus pagos en cada estado futuro alternativo. Por lo tanto, una seguridad del mercado consiste en un conjunto de características de pago distribuidas sobre el estado de naturaleza. La complejidad de la seguridad puede variar desde numerosas características de recompensa en muchos estados a ninguna en absoluto en todos los estados excepto uno.

C. Mercado de capitales completo.

En el marco de preferencias estatales, la incertidumbre sobre los valores futuros de los valores se representa mediante un conjunto de posibles pagos contingentes del estado. Las combinaciones lineales de este conjunto de pagos de seguridad contingente del estado representan el conjunto de oportunidades individual de los pagos de cartera contingentes del estado. Una propiedad importante de este conjunto de oportunidades está determinada por si el mercado de capitales está completo o no. Cuando el número de valores únicos linealmente independientes es igual al número total o estados futuros alternativos de la naturaleza. Se dice que el mercado está completo. Para el caso de tres estados de la naturaleza, suponga que un activo libre de riesgo con pago (1,1,1) un contrato de seguro de desempleo con pago (1,0,0) y una deuda de riesgo con pago (0,1,1). ) Todos existen, pero ningún otro valor puede ser negociado. En este caso, tenemos tres valores y tres estados de la naturaleza, pero no tenemos un mercado completo, ya que el pago del activo libre de riesgo es solo la suma de los pagos de los otros dos valores del mercado; es decir, los tres valores no son linealmente independientes. Si el mercado está incompleto, entonces no se pueden construir todas las posibles recompensas de valores a partir de una cartera de los valores existentes.

Por ejemplo, el pago de seguridad (0,1,0) no se puede obtener de (1,1,1), (1,0,0) y (0,1,1). Los valores existentes tendrán, por supuesto, precios bien definidos, pero cualquier posible nuevo valor no abarcado por estos valores (es decir, no puede crearse a partir de los valores existentes) no tendrá un precio único.

Supongamos ahora que además del pago de seguridad (1,1,1), (1,0,0) y (0,1,1), también existe una acción con pago (0,1,3). Luego, entre estos cuatro valores, hay tres que son pagos condicionales de los estados linealmente independientes, y con tres estados el mercado está completo. Suponiendo que el mercado sea perfecto, cualquier patrón de rendimiento puede crearse en un mercado completo. En particular, se puede crear un conjunto completo de valores puros con pagos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) como combinaciones lineales de valores existentes. Se necesita un poco de álgebra lineal para descubrir cómo obtener los valores puros de cualquier conjunto completo arbitrario de valores del mercado, pero una vez que sabemos cómo formarlos, es fácil replicar cualquier otro valor de una combinación lineal de los valores puros. Por ejemplo: un valor con una recompensa (a, b, c) se puede replicar comprando (o vendiendo en corto si a, b, o c es negativo) a de (1,0,0), b de (0,1) , 0), yc de (0,0,1). Dado un completo mercado de valores, teóricamente podríamos reducir a cero la incertidumbre sobre nuestra riqueza futura. No hace ninguna diferencia el

estado de naturaleza futuro incierto que realmente ocurrirá. Es decir, al dividir nuestra riqueza de una manera particular entre los valores disponibles, podríamos, si elegimos, construir una cartera que fuera equivalente a tener cantidades iguales de todos los valores puros. Esta cartera tendría la misma recompensa en todos los estados a pesar de que los pagos de los valores individuales variaron en función de los estados. Sin pasar por un proceso de solución complejo para lograr los resultados de equilibrio general que facilita el concepto de seguridad pura, transmitiremos el papel del concepto de seguridad pura en un entorno más limitado. Demostraremos cómo, en un mercado de capital perfecto y completo, el precio implícito de un valor puro se puede derivar de los precios de los valores de mercado existentes y cómo los precios de otros valores se pueden desarrollar a partir de los precios implícitos de los valores puros.

D. Derivación de precios de seguridad pura

Dado que conocemos los vectores de pagos contingentes del estado tanto de los valores de mercado como de los valores puros, deseamos desarrollar la relación entre los precios de los valores de mercado y los valores puros en un mercado de capital perfecto y completo.

La siguiente notación será utilizada en este capítulo.

Comencemos con una analogía. La empresa mistinback vende canastas de fruta, limitando su venta a solo dos tipos de canastas. La canasta 1 está compuesta por 10 bananas y 20 manzanas y se vende por $ 8. La canasta 2 está compuesta por 30 bananas y 10 manzanas y se vende por $ 9. La situación puede resumirse mediante los pagos establecidos en la tabla 4.1.

Usando las relaciones en la tabla 4.1, podemos resolver los precios de las manzanas y los plátanos por separado. Denotemos manzanas por A, bananas por B, la canasta de frutas por 1 y 2, y la cantidad de manzanas y bananas en una canasta por QjA y QjB, respectivamente. Usando esta notación, podemos expresar los precios de las dos canastas de la siguiente manera:

Sólo se desconocen PA y PB. Por lo tanto, hay dos ecuaciones y dos incógnitas, y el sistema se puede resolver de la siguiente manera (sustituya los valores conocidos en cada ecuación):

Reste tres veces la ecuación (a) de la ecuación (b) para obtener PA:

Luego sustituyendo el valor PA en la ecuación (a), tenemos:

Dado que conocemos los precios de los valores de mercado, ahora podemos aplicar este mismo análisis al problema de determinar los precios implícitos de los valores puros. Considere la seguridad j, que paga $ 10 si ocurre el estado 1 y $ 20 si ocurre el estado 2; Su precio es de $ 9. Tenga en cuenta que el estado 1 podría ser un crecimiento del producto nacional bruto (PNB) del 8% en términos reales durante el año, mientras que el estado 2 podría representar una tasa de crecimiento del PNB de solo el 1% en términos reales. Esta información se resume en la tabla 4.2.

Cualquier seguridad individual es similar a una canasta mixta de bienes con respecto a estados futuros alternativos de la naturaleza. Recuerde que una seguridad pura paga $ 1 si se produce un estado específico y nada si se produce cualquier otro estado. Podemos proceder a determinar el precio de una seguridad pura en un asunto análogo al empleado para las canastas de frutas. Las ecuaciones para determinar el precio de dos valores puros relacionados con la situación descrita son:

Donde Qj1 representa la cantidad de valores puros que pagan $ 1 en el estado 1 incluido en la garantía j. Procediendo de manera análoga a la situación de las canastas de frutas, insertamos valores en las dos ecuaciones. Sustituyendo los pagos respectivos de los valores j y k, obtenemos $20 como el precio de la seguridad pura 1 y $ .30 como el precio de la seguridad pura 2:

Se debe enfatizar que el P1 de $20 y el P2 de $30 son los precios de los dos valores puros y no los precios de los valores de mercado j y k. Los valores j y k representan portfolios de valores puros. Cualquier seguridad real proporciona beneficios diferentes para diferentes estados futuros. Pero bajo condiciones adecuadamente definidas, los precios de los valores de mercado nos permiten determinar los precios de los valores puros. Por lo tanto, nuestros resultados indican que para seguridad pura 1 se requiere un pago de $ .20 para una promesa de pago de $ 1 si se produce el estado 1 y nada si se produce cualquier otro estado. El concepto de seguridad pura es útil para fines analíticos y para proporcionar una descripción simple de la incertidumbre para el análisis financiero.

E. Ninguna condición de ganancia de arbitraje

El equilibrio del mercado de capitales requiere que los precios de mercado se establezcan de manera que la oferta sea igual a la demanda de cada valor individual. En el contexto del marco de preferencias estatales, una condición necesaria para el equilibrio del mercado requiere que cualquier dos valores o carteras con los mismos vectores de liquidación contingentes del estado tengan un precio idéntico. De lo contrario, todos querrían comprar la seguridad o la cartera con el precio más bajo y vender la seguridad o la cartera con el precio más alto. Si tanto los valores como las carteras tienen una oferta positiva, dichos precios no pueden representar un equilibrio. Esta condición se llama ley de precios únicos de los mercados. Si se permite la venta en corto en el mercado de capitales, podemos obtener una segunda condición necesaria relacionada para el equilibrio del mercado: la ausencia de cualquier oportunidad de ganancia de arbitraje sin riesgo. Para vender a corto plazo un valor, un individuo toma prestado el valor de un propietario actual y luego lo vende de inmediato en el mercado de capitales al precio actual. Luego, en una fecha posterior, el individuo regresa al mercado de capitales y recompra la seguridad al precio de mercado vigente en ese momento e inmediatamente devuelve la garantía al prestamista. Si el precio de la seguridad cae durante el período de la venta corta, el individuo obtiene una ganancia; Si el precio de la seguridad aumenta, él o ella sufre una pérdida. En cualquier caso, la ganancia o pérdida del vendedor en corto siempre es lo negativo de la ganancia o pérdida del propietario durante este mismo período. Cuando dos carteras, A y B, se venden a precios diferentes, donde PA> PB, pero tienen vectores de pago contingentes del estado idénticos, podríamos vender en corto la cartera más cara y realizar un flujo de efectivo de la AP, y luego comprar la cartera menos costosa, para un flujo de caja negativo de PB. Nos percataríamos de un flujo de efectivo neto positivo de (PA - PB) y, al final del período, no podríamos arriesgar nuestra recompensa por poseer la cartera B para pagar exactamente nuestra posición corta en la cartera A. Por lo tanto, el efectivo neto positivo El flujo al inicio del período representa una oportunidad de ganancia de arbitraje sin riesgo. Dado que se supone que todos los inversores prefieren más riqueza a menos, esta oportunidad de arbitraje es inconsistente con el equilibrio del mercado. En un mercado de capitales perfecto y completo, cualquier vector de recompensa de seguridad del mercado puede ser replicado exactamente por una cartera de valores puros. Por lo tanto, se deduce que cuando se permite la venta en corto, la condición de ganancia sin arbitraje requiere que el precio de la seguridad del mercado sea igual al precio de cualquier combinación lineal de valores puros que replique el vector de recompensa de la seguridad del mercado.

F. Determinantes económicos de los precios de seguridad Para comprender qué determina el precio de una seguridad de mercado, primero consideraremos qué determina el precio de los valores puros individuales. Como la seguridad del mercado siempre se puede construir a partir del conjunto de valores puros en un mercado completo, también podemos responder la primera pregunta. Los precios de los valores puros serán determinados por el comercio entre individuos. Incluso si estos valores puros en sí mismos no se negocian directamente, aún podemos inferir precios para ellos en un mercado completo a partir de los precios de los valores de mercado que se negocian. Se demostrará que los precios de los valores puros dependen de 1. Las preferencias de tiempo para el consumo y la productividad del capital; 2. expectativas en cuanto a la probabilidad de que ocurra un estado particular; 3. Las actitudes de los individuos hacia el riesgo, dada la variabilidad entre los estados de riqueza agregada de fin de período. Para comprender cómo las preferencias de tiempo y la productividad del capital afectan los precios de seguridad, debemos reconocer que una seguridad sin riesgo siempre se puede construir en un mercado de capital completo simplemente formando una cartera compuesta de una seguridad pura para cada estado. El pago de esta cartera no implica riesgos, ya que se pagará un dólar independientemente del estado en que se realice. En el caso de tres estados, el precio de esta cartera sin riesgo es la suma de los precios de los tres valores puros individuales (por ejemplo, P1 + P + P3 = 8). El precio de una reclamación sin riesgo a un dólar al final de los periodos solo el valor presente de un dólar descontado a la tasa libre de riesgo rf, es decir, 1 / (1 + rf) = Σ Ps. Si hay un valor de tiempo positivo del dinero, la tasa de interés sin riesgo será positiva. El tamaño real de esta tasa de interés reflejará las preferencias de tiempo individuales para el consumo y la productividad del capital, tal como es el caso en un mundo simple de certeza. Por lo tanto, un factor determinante del precio de una seguridad pura que paga un dólar si se produce un estado es la tasa descontada del mercado en ciertos pagos de dólares al final del período. El segundo factor determinante del precio de una seguridad pura, y una causa de las diferencias en los precios de seguridad, son las creencias de los individuos con respecto a la probabilidad relativa de que ocurran diferentes estados. Estas creencias a menudo se denominan probabilidades estatales, IP, y las creencias subjetivas de los individuos con respecto a las probabilidades estatales pueden diferir en principio. Sin embargo, el caso más simple es aquel en el que los individuos están de acuerdo con las probabilidades relativas de los estados. Este supuesto se denomina expectativas homogéneas e implica que existe un conjunto bien definido de probabilidades estatales conocidas por todos los individuos en el mercado de capitales.

Bajo el supuesto de expectativas homogéneas, el precio de una seguridad pura (estatal-contingente). Ps, se puede descomponer en la probabilidad de que el estado, PI y el precio, de un pago esperado en dólares dependiente de la ocurrencia del estado,. Esto se deduce del hecho de que la seguridad pura paga un dólar solo cuando se realiza s. Por lo tanto, la finalización esperada de fin de período en seguridad pura es un dellar multiplicado por la probabilidad de que ocurra el estado. Esto implica que podemos descomponer el pago esperado al final del período en un pago esperado de un dólar y la probabilidad del estado s. Incluso cuando los precios que dependen de que ocurra un estado en particular son los mismos en todos los estados (¡, para todos los s y!), Los precios de los valores puros diferirán siempre que las probabilidades de que los estados ocurran no sean todos idénticos (, para todos s y t ) Una forma alternativa útil de ver este punto es reconocer que el precio de un valor puro es igual a su pago esperado de fin de período descontado al presente a su tasa de rendimiento esperada.

Donde 0
ya que𝑃𝑠 = 𝜋𝑠 𝜃𝑠 , bajo el supuesto de expectativas homogéneas. Entonces, si fueran idénticos en todos los estados, los estados de rendimiento esperados serían iguales para todos los valores puros. Pero dado eso las probabilidades en los distintos estados difieren, los beneficios esperados en los valores puros también deben diferir. Si los pagos esperados varían, las tasas de rendimiento esperadas pueden ser las mismas solo cuando los precios de los valores puros varían proporcionalmente con el estado de las probabilidades. El tercer factor determinante de los precios de seguridad, y una segunda causa de las diferencias en estos precios, son las actitudes de los individuos hacia el riesgo cuando existe una variabilidad en la riqueza agregada entre los estados. Suponiendo que las personas sean adversas al riesgo, se diversificarán invirtiendo en alguna de cada seguridad pura para garantizar que no queden sin dinero, independientemente del estado en que se encuentre. De hecho, si los precios 𝜃𝑠 , de los pagos esperados de un dólar contingente a un estado particular que ocurriera fueran los mismos para todos los estados (y, por lo tanto, las tasas de rendimiento esperadas de los valores puros son todas iguales), entonces cada individuo adverso al riesgo querría invertir en un número igual de cada seguridad pura para eliminar toda incertidumbre sobre su riqueza futura.

Sin embargo, no todos pueden hacer esto en la economía, y alguien debe soportarlo. Considere el siguiente ejemplo. La riqueza agregada de fin de período puede ser de uno, dos o tres billones de dólares, según se produzca el estado deprimido, normal o próspero; entonces el inversionista promedio debe tener una cartera con un vector de pago del formulario (X, 2X, 3X). Debido a que los individuos son reacios al riesgo, los pagos en dólares son más valiosos en los estados donde tienen una riqueza relativamente baja, que en este ejemplo es el estado 1. Para que se induzca a las personas a asumir el riesgo asociado con un vector de pago de la forma (X, 2X, 3X), los precios de seguridad puros deben ajustarse para hacer que la seguridad del estado 1 sea relativamente costosa y la seguridad del estado 3 relativamente barata. En otras palabras, para aumentar la demanda de los valores relativamente abundantes del estado 3, los precios deben ajustarse para reducir la tasa de rendimiento esperada de los valores del estado 1 y elevar la tasa de rendimiento esperada de los valores del estado 3. Si la riqueza agregada fuera igual en algunos estados, entonces los inversores adversos al riesgo querrían tener la misma cantidad de valores puros para estos estados y no habría ninguna razón para que los precios de los pagos esperados en dólares sean diferentes en estos estados. Los inversores no querrían tener un número desigual de reclamos a los estados con la misma riqueza agregada porque esto significaría asumir el riesgo que podría diversificarse, y no hay razón para esperar una recompensa por soportar el riesgo diversificable. Por lo tanto, es la perspectiva de un mayor rendimiento esperado de la cartera lo que induce a los inversores aversos al riesgo a asumir un riesgo no diversificable. Por lo tanto, la aversión al riesgo combinada con la variabilidad en la riqueza agregada al final del período causa una variación en los precios (𝜃𝑠 ) de los pagos en dólares esperados en los estados, relacionados negativamente con la riqueza agregada al final del período o los beneficios agregados en los estados. Esto a su vez provoca variaciones similares en los precios de la seguridad pura. Hay una condición muy importante implícita en la discusión anterior. Descubrimos que cuando los inversionistas son reacios al riesgo, los valores que pagan relativamente más en estados con baja riqueza agregada tienen tasas de retorno esperadas relativamente bajas, mientras que los valores que pagan relativamente más en estados con riqueza agregada alta tienen tasas de retorno esperadas relativamente altas. Dado que la riqueza agregada es igual a la suma de los pagos en todos los valores del mercado, también se denomina el pago en la cartera del mercado. Los valores con pagos contingentes del estado relacionados positivamente con los pagos contingentes del estado en la cartera del mercado, y que por lo tanto implican un riesgo significativo no diversificable, tienen tasas de retorno esperadas más altas que los valores que tienen pagos negativos o menos positivamente relacionados con los pagos en el mercado cartera, y que por lo tanto implican poco riesgo diversificable. Volveremos a esta condición importante en el Capítulo 6.

De este análisis se desprende que un precio de seguridad puro se puede descomponer en tres factores:

El primer factor es un pago en dólares al final del período descontado al presente a la tasa sin riesgo. Se multiplica por el segundo factor, que es la probabilidad de pago. El tercer factor es un factor de ajuste de riesgo. Tenga en cuenta que si todos los inversores son neutrales ante el riesgo, la tasa de rendimiento esperada de todos los valores será igual a la tasa de interés sin riesgo, en cuyo caso el factor de ajuste de riesgo anterior (Ej: El tercer factor) se convierte en uno. En resumen, los precios de seguridad se ven afectados por (1) el valor temporal del dinero (2) las creencias probabilísticas sobre los pagos contingentes del estado, y (3) las preferencias individuales respecto del riesgo y el nivel de variabilidad en los pagos o la riqueza agregados contingentes del estado ( ej: el nivel de riesgo no diversificable en la economía)

G. Decisiones de cartera óptimas Ahora que hemos desarrollado la estructura básica de la teoría de las preferencias estatales, volveremos al problema de la elección óptima de cartera en un mercado de capital perfecto y completo. Esto será seguido por un análisis del problema de inversión óptimo de una empresa, también en un mercado de capital perfecto y completo. Dado que cualquier patrón de amortización de la cartera se puede construir a partir de los valores existentes en el mercado o de un conjunto completo de valores puros en un mercado de capital completo, podemos obtener la misma posición óptima de la cartera si enmarcamos el análisis en términos de valores del mercado o valores puros. Dado que los valores puros son mucho más simples de analizar, describiremos el problema óptimo de la cartera en términos de estos valores. Por lo tanto, podemos escribir la utilidad esperada de la riqueza de fin de período de una persona como (), donde Qs = número de valores puros que pagan un dólar si ocurre un estado. En este contexto, Qs, representa el número de valores puros del estado que el individuo compra, así como su riqueza de final de período si el estado ocurre Ahora considere el problema al que nos enfrentamos cuando debemos decidir cuánto de nuestra riqueza inicial, Wo, gastar para el consumo actual, C, y qué cartera de valores mantener para el futuro. Deseamos resolver el problema.

(4.1) Sujeto a

(4.2)

Es decir, estamos maximizando nuestra utilidad esperada del consumo actual y futuro (Ec. 4.1) sujeto a nuestra restricción de riqueza (Ec. 4.2). Nuestra decisión de cartera consiste en las elecciones que hacemos para Qs, la cantidad de valores puros que compramos para cada estado. Tenga en cuenta que no hay un descuento explícito de la utilidad futura, pero cualquier descuento de este tipo podría ser absorbido en la forma funcional para U (Qs). Además, los Ps incluyen una tasa de descuento de mercado implícita. No hay necesidad de tener una expectativa sobre u (C), nuestra utilidad del consumo actual, ya que no hay incertidumbre con respecto al presente. Hay dos formas de maximizar la utilidad esperada sujeta a una restricción de riqueza. Podríamos resolver (4.2) para una de las Qs decir Q1 y luego eliminar esta variable de (4.1). A veces, esta es la forma más fácil, pero más a menudo es más fácil usar el método del multiplicador de Lagrange (vea el Apéndice D al final del libro):

(4.3)

Donde ℷ se llama multiplicador de Lagrange. El multiplicador de lagrange es una medida de cuánto aumentaría nuestra utilidad si nuestra riqueza inicial aumentara en $ 1 (ej: el precio sombra para relajar la restricción). Para obtener la elección óptima del inversor de C y Q, tomamos las derivadas parciales con respecto a cada una de estas variables y las establecemos en cero. Tomando la derivada parcial con respecto a los rendimientos de C.

(4.4)

Donde el primero denota la diferenciación parcial con respecto al argumento de la función. A continuación, tomamos derivadas parciales con respecto a Q1, Q2 y así sucesivamente. Para cada Qt, recogeremos un término de la utilidad esperada y uno de la restricción de riqueza (todos los demás términos desaparecerán):

(4.5)

Donde 𝜋1 𝑈´(𝑄𝑡 ) = utilidad marginal esperada de una inversión Qt en seguridad pura s. También tomamos la derivada parcial con respecto a:

(4.6)

Esto solo nos devuelve la restricción de riqueza. Estas condiciones de primer orden nos permiten determinar las opciones óptimas de consumo / inversión de la persona. Como ejemplo, considere un inversor con una función de utilidad logarítmica de riqueza y riqueza inicial de $ 10000. Supongamos un mundo de dos estados en el que el precio de seguridad puro sea 4 y 6 y las probabilidades estatales sean ⅓ y ⅔ respectivamente. La función lagrangiana es:

Y las condiciones de primer orden son

Sustituyendo las ecuaciones (a), (b) y (c) en (d) los rendimientos

(d´) Y multiplicando por 𝜆 rendimientos.

(d´´) Ahora, sustituyendo este valor 𝜆 de nuevo en las ecuaciones. (a), (b) y (c) produce las opciones óptimas de consumo e inversión, C = $ 5,000, Q1 = 4,166.7 y Q2 = 5,555.5. Reemplazar estas cantidades de nuevo en la restricción de riqueza verifica que esta sea una solución factible. El inversor en este problema divide su riqueza en partes iguales entre el consumo actual y el futuro, que es lo que deberíamos esperar ya que la tasa de interés libre de riesgo es cero, esto es Σ 𝑝𝑠 = 1 = 1/(1 + 𝑟) y no hay preferencia temporal por el consumo en esta función de utilidad logarítmica. Sin embargo, el inversor compra más seguridad pura del estado 2 ya que la tasa de rendimiento esperada en la seguridad pura del estado 2 es mayor. Debido a que la función de utilidad muestra aversión al riesgo, el inversor también invierte parte de su riqueza en el estado 1 de seguridad pura. En este ejemplo, asumimos que el inversor es un tomador de precios. En un marco de equilibrio general, los precios de los valores puros se determinarían como parte del problema; Es decir, serían endógenos. Los precios se determinarían como resultado de la maximización de la utilidad esperada limitada de los individuos (que determina las demandas agregadas de valores). La condición crítica requerida para el equilibrio es que la oferta de cada seguridad del mercado sea igual a su demanda agregada. En un mercado de capitales completo, esta condición de equilibrio se puede reafirmar diciendo que la oferta agregada de cada valor puro es igual a su demanda agregada.