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CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR DE ENSENADA

PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES CON ORIENTACIÓN EN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE SISTEMAS LAGRANGIANOS UTILIZANDO CONTROLADORES DISCONTINUOS

TESIS que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de DOCTOR EN CIENCIAS

Presenta: DAVID I. ROSAS ALMEIDA

Ensenada, Baja California, México, diciembre del 2005.

RESUMEN de la tesis de David Isaías Rosas Almeida, presentada como requisito parcial para la obtención del grado de DOCTOR EN CIENCIAS en ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES con orientación en INSTRUMENTACÓN Y CONTROL. Ensenada, Baja California. Diciembre del 2005.

SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE SISTEMAS LAGRANGIANOS UTILIZANDO CONTROLADORES DISCONTINUOS Resumen aprobado por:

_______________________________ Dr. Joaquín Álvarez Gallegos Director de Tesis Se proponen técnicas de sincronización de sistemas lagrangianos de n grados de libertad (nGDL) y sistemas que puedan representarse en forma normal. El objetivo de estas técnicas es lograr una sincronización asintótica entre los sistemas involucrados, a pesar de la existencia de incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas acotadas. El diseño de las señales de acoplamiento se basa en técnicas de control discontinuo. Para resolver el problema de sincronización de sistemas que pueden ser llevados a una forma normal, bajo un esquema de interconexión maestro/esclavo, se utiliza la técnica de control por modos deslizantes de primer orden. Dependiendo del grado relativo de los sistemas maestro y esclavo, y de las transformaciones de coordenadas para obtener las formas normales, se pueden obtener diferentes tipos de sincronización. Para los sistemas lagrangianos, una consideración adicional es que sólo se tiene acceso al vector de posiciones generalizadas; por lo tanto, el uso de un observador de estados es necesario. Con base en una retroalimentación discontinua se propone un observador robusto para sistemas lagrangianos que garantiza convergencia exponencial al estado de la planta a pesar de la existencia de incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas. Además, por medio de este observador es posible identificar los términos de perturbación que afectan la planta, los cuales se pueden utilizar en un controlador para su compensación. La sincronización de sistemas lagrangianos, tanto en el esquema maestro/esclavo como en configuraciones más generales, en donde pueden estar presentes acoplamientos unidireccionales y bidireccionales, se basa en eliminar términos no lineales y agregar términos proporcional y derivativo de los errores de sincronización, así como un término discontinuo que genera un modo deslizante de segundo orden, el cual produce buenas propiedades de robustez en el sistema en lazo cerrado. En la realización de las señales de acoplamiento se utiliza el observador para estimar los vectores de velocidad y, en el caso de la sincronización de arreglos, estimar los términos no lineales y las perturbaciones para su compensación, logrando de esta forma la sincronización entre todos los sistemas.

Palabras clave: Sincronización, robustez, sistemas lagrangianos.

ABSTRACT of the thesis presented by David Isaías Rosas Almeida as a partial requirement to obtain the DOCTOR OF SCIENCE degree in ELECTRONICS AND TELECOMMUNICATIONSN whit orientation in INSTRUMENTATION AND CONTROL. Ensenada, Baja California, Mexico. December 2005.

ROBUST SYNCHRONIZATION OF LAGRANGIAN SYSTEMS USING DISCONTINUOUS CONTROLLERS We propose several synchronization techniques for n degrees of freedom Lagrangian systems as well as systems that can be transformed in normal form. The objective is to produce asymptotic synchronization between all systems involved in spite of the existence of parametric uncertainties and bounded external disturbances. The design of the connection signals is based on techniques of discontinuous control. Under the master/slave interconnection scheme, we use the first order sliding mode control technique to solve the problem of synchronization of systems that can be transformed to a normal form. Depending on the relative degree of the master and slave systems, and on the coordinate transformations used to obtain the normal forms, different types of synchronization can be obtained. For Lagrangian systems, an additional consideration is that we have access only to the vector of generalized positions; therefore, the use of a state observer is necessary. Based on a discontinuous feedback term a robust observer for Lagrangian systems is proposed. This observer guarantees exponential convergence to the state of the plant in spite of the existence of parametric uncertainties and external disturbances. In addition, it identifies the disturbance terms existing in the plant, which may be used in a controller to compensate them. The synchronization of Lagrangian systems in the master/slave scheme as well as in other more complex configurations, where unidirectional and bidirectional connections can be present, is based on the elimination of nonlinear terms and the addition of proportional and derivative terms of the synchronization errors and a discontinuous term that produces second order sliding modes. In the implementation of the coupling signals the observer is used to estimate the velocity vectors and, in the case of arrays synchronization, to estimate the nonlinear and the disturbances terms for its compensation.

Keywords: Synchronization, robustness, Lagrangian systems.

A los mexicanos que trabajan honestamente cada día para construir un México mejor.

Agradecimientos Al Dr. Joaquín Álvarez Gallegos, por su atinada dirección de este proyecto y sobre todo, por sus valiosos consejos y amistad. A los miembros del comité de tesis. Dr. Iouri Orlov, Dr. Luis Alejandro Márquez Martínez, Dr. Juan Gonzalo Barajas Ramírez y Dr. Alejandro Femat Flores, por sus valiosos comentarios y disponibilidad. Al Dr. Leonid Fridman, por su valiosa colaboración en el desarrollo del observador robusto para sistemas lagrangianos presentado en el capítulo tres. Al Dr. Alexander Fradkov y colaboradores por sus valiosos comentarios para la solución del problema de sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos y por su hospitalidad en la ciudad de St. Petersburgo, Rusia. Al Dr. Jaime Álvarez Gallegos por sus valiosos comentarios. A la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Baja California, unidad Mexicali. Al programa para el mejoramiento del profesorado PROMEP.

Contenido Página INTRODUCCIÓN

I.

II.

III.

PRELIMINARES MATEMÁTICOS I.1 Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . I.2 Estabilidad en el sentido de Lyapunov . . . . . I.3 Estabilidad de sistemas perturbados . . . . . . I.4 Sincronización de sistemas dinámicos . . . . . I.5 Sistemas lagrangianos de nGDL y sus propiedades

1

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9 9 12 16 18 23

SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE SISTEMAS CON UNA ENTRADA Y UNA SALIDA POR MEDIO DE MODOS DESLIZANTES II.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . II.2 Diseño de la señal acoplante . . . . . . . . . . . . II.3 Sincronización de sistemas lineales por tramos . . . . II.4 Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . .

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27 28 31 47 55

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DISEÑO DE UN OBSERVADOR ROBUSTO PARA SISTEMAS LAGRANGIANOS DE nGDL III.1 Estabilidad de una clase de sistemas de segundo orden con estructura variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Diseño del observador de estado . . . . . . . . . . . . . . III.3 Identificación de parámetros y perturbaciones . . . . . . . . . III.4 Diseño de un observador para un péndulo simple . . . . . . III.5 Estructura de control con identificación de perturbaciones para sistemas lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.6 Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE SISTEMAS LAGRANGIANOS BAJO EL ESQUEMA MAESTRO/ESCLAVO

58 60 68 71 75 84 88

93

Contenido (continuación) Página IV.1 Sincronización robusta de salida de sistemas planos de fase . . IV.2 Sincronización robusta de dos sistemas lagrangianos de nGDL . IV.3 Sincronización de mecanismos de nGDL con articulaciones traslacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.4 Aplicación a mecanismos de nGDL con articulaciones rotacionales bajo una acción de control . . . . . . . . . . IV.5 Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . . . .

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94 101

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114

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120 121

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122 123 124 125 144 148

VI. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES VI.1 Trabajo a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 152

LITERATURA CITADA

154

V.

SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE DE ARREGLOS DE SISTEMAS LAGRANGIANOS V.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . V.2 Definiciones preliminares y notación . . . . . . . . . . V.3 Sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de 1GDL V.4 Sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de nGDL V.5 Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

Lista de Figuras Figura 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Página Soluciones que cruzan la superficie S. . . . . . . . . . . . Condiciones para la existencia de un modo deslizante sobre S. . Diagrama a bloques del esquema de sincronización controlada unidireccional o maestro/esclavo. . . . . . . . . . . . . . Ejemplo de una configuración bidireccional de sincronización controlada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema masa resorte amortiguador. . . . . . . . . . . . . Resultados numéricos de la sincronización de un péndulo simple y un sistema masa-resorte-amortiguador. Comportamiento de ambos sistemas antes y después de aplicar la señal acoplante. La señal acoplante se aplica en t=5 seg. . . . . . . . . . . . . Resultados numéricos de la sincronización de un péndulo simple y un sistema masa-resorte -mortiguador. Errores de sincronización antes y después de aplicar la señal acoplante. . . Circuito electrónico que emula la dinámica de un péndulo simple. Péndulo mecánico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Comportamiento de los sistemas antes y después de aplicar la señal acoplante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Errores de sincronización y señal acoplante. . . . . . . . . . Circuito de Duffing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados experimentales de la sincronización de un circuito de Duffing y un péndulo simple. Comportamiento de los sistemas sin señal acoplante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados experimentales de la sincronización de un circuito de Duffing y un péndulo simple. Comportamiento de los sistemas después de aplicar la señal acoplante. . . . . . . . . . . . Resultados experimentales de la sincronización de un circuito de Duffing y un péndulo simple. Errores de sincronización y señal acoplante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Retrato de fase del circuito de Sprott. . . . . . . . . . . . Resultados experimentales de la sincronización de dos circuitos de Sprott. Comportamiento de los errores de sincronización y señal acoplante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 12 22 22 37

40 40 43 44 45 46 47 48 48 49 55 56

Lista de Figuras (continuación) Figura 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Página Comportamiento del decremento de las funciones de Lyapunov con respecto al tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados numéricos. Comportamiento de la planta y el obsrvador para c₃=0. Observador clásico de Luenberger. . . . Resultados numéricos. Comportamiento de la planta y el observador para c₃=10. . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados numéricos. Comportamiento de los errores entre la planta y el observador para c₃=10. . . . . . . . . . . . . Perturbación senoidal y su estimación. . . . . . . . . . . Perturbación en forma de señal cuadrada y su estimación. . . . Perturbación en forma de señal diente de sierra y su estimación. Estimación de ∆a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados experimentales. Comportamiento de la planta y el observador para c₃=0 (observador clásico). . . . . . . . . Resultados experimentales. Comportamiento de la planta y el observador para c₃=10 (observador propuesto). . . . . . . Resultados experimentales. Error angular entre la planta y el observador para c₃=10 (observador propuesto). . . . . . . Perturbación intrínseca en el sistema mecánico. . . . . . . . Identificación de una perturbación del tipo senoidal. . . . . . Identificación de una perturbación con la forma de una señal cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama a bloques de la estructura de control con identificación de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . a) Salida de la planta x1 y referencia qr, b) error entre la posición real y observada, c) error entre la velocidad real y observada. . a) Perturbación γ y salida del filtro xf, b) señal de control. . . . Desempeño del sistema en lazo cerrado sin compensar las perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportamiento del sistema en lazo cerrado después de compensar las perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos simples. Salidas de los sistemas y error de sincronización cuando no se ha aplicado la señal acoplante. . . . . . . . . Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Salida de los sistemas, error de sincronización y señal acoplante. Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Salida de los sistemas cuando el par aplicado al esclavo es cero y el par en el maestro es aplicado manualmente. . . . . . . .

65 77 77 78 78 79 79 80 81 81 82 83 83 84 86 89 89 90 90 101 102 102

Lista de Figuras (continuación) Figura 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

Página Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Error de sincronización y señal acoplante cuando el par aplicado al esclavo es cero y el par en el maestro es aplicado manualmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de la sincronización de dos manipuladores de dos grados de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posiciones angulares de los mecanismos y velocidades estimadas antes y después de aplicar la señal acoplante. . . . . Errores de sincronización antes y después de aplicar la señal acoplante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Señales acoplantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de un manipulador cartesiano. . . . . . . . . . . Errores de sincronización antes y después de aplicar la señal de acoplamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo de una gráfica de conexiones para cuatro sistemas y un sistema de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de conexiones para la sincronización de tres péndulos. . Comportamiento del sistema de referencia. . . . . . . . . . Comportamiento de los sistemas antes y después de aplicar las señales de acoplamiento dadas por (118). . . . . . . . . . Gráfica de conexiones en donde se han eliminado algunas conexiones entre los sistemas Σi . . . . . . . . . . . . . Resultados para la configuración de la figura 51 . . . . . . . Configuración cadena abierta . . . . . . . . . . . . . . Resultados de la configuración de la figura 53 . . . . . . . . Configuración cadena cerrada. . . . . . . . . . . . . . Configuración en donde se obtiene sincronización entre los sistemas Σi a pesar de que no hay conexión con el sistema de referencia Σr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados de la configuración de la figura 56 . . . . . . . Configuración maestro/esclavo. . . . . . . . . . . . . . Resultados de la configuración de la figura 58 . . . . . . .

103 109 112 113 113 118 119 126 133 135 136 137 138 139 139 140 142 142 143 143

Introducción La palabra sincronización tiene origen griego (σ´ υ γ χρ´ oνoς) y significa coincidencia de hechos o fenómenos en el tiempo, correlación o correspondencia en tiempo entre dos o más sistemas dinámicos (Arkady, 2003; Blekhman et. al., 1997; Boccaletti et. al., 2002). En muchos sistemas de la naturaleza y sistemas construidos por el hombre la sincronización es un fenómeno natural; por ejemplo, la sincronización de dos relojes de péndulo sujetos a una barra flexible (Blekhman, 1988), o la sincronización de la rotación de la luna con su movimiento orbital, de manera que la luna siempre presenta el mismo lado hacia la tierra (Arkady, 2003). El fenómeno de sincronización produce que un conjunto de sistemas con interconexiones pueda realizar una función o tarea común. Esta característica puede ser de mucha utilidad, y en algunos casos necesaria, en sistemas hechos por el hombre; por ejemplo en generadores de potencia, arreglos de mecanismos con aplicaciones industriales como pintura, ensamble y transporte. Sin embargo, en muchos de estos sistemas el fenómeno de sincronización no se presenta en forma natural, por lo que se deben agregar interconexiones artificiales o un sistema adicional cuyo objetivo sea generar señales de acoplamiento o control para obtener sincronización entre los sistemas. De esta forma la sincronización puede verse como un problema de control; a la sincronización así obtenida se le llama sincronización controlada (Blekhman et. al.,

2 1997), éste es el enfoque que se toma en este trabajo. De aquí en adelante al hablar de sincronización se debe entender como sincronización controlada. En este sentido, varias técnicas de control han sido utilizadas en el diseño de señales de acoplamiento; algunas de ellas son la retroalimentación lineal de estados (Guo y Wallace, 2002; Sarasola et. al., 2003), el método del gradiente de velocidad (Fradkov y Markov, 1997), técnicas de control adaptable (Dong y Mills, 2002; Femat Flores et. al., 2000), control H∞ (Johan et. al., 1997) y control por modos deslizantes (Moez, 2004; Tao y Hui, 2002). Los tipos de acoplamiento entre los sistemas juegan un papel muy importante en el problema de sincronización. Dos tipos de acoplamiento son el unidireccional o maestro/esclavo y el bidireccional. En el primero, un sistema, denominado maestro, impone su dinámica al resto de los sistemas denominados esclavos. En el segundo, la sincronización es el resultado de la interacción de todos los sistemas involucrados ya que la dinámica de cada sistema influye en los demás. Ambos tipos de acoplamiento pueden estar presentes en arreglos de sistemas; algunos trabajos sobre este tema son los siguientes: Chai y Chua, 1995; Gang et. al., 1995; Chai, 2001; Rodríguez Angeles y Nijmeijer, 2004; Koichi et. al., 1993; Teasushi y Guanron, 2001; Chai, 2002 y Chai, 2000. En algunas aplicaciones, como la sincronización de sistemas caóticos en la configuración maestro/esclavo, el problema de sincronización también puede verse como un problema de diseño de un observador. En este enfoque se tiene la libertad de diseñar el sistema esclavo como un observador del sistema maestro y de esta forma lograr que los sistemas se sincronicen. Algunos trabajos importantes sobre esta forma de ver la sincronización son: Fradkov et. al., 2000; Giovanni et. al., 2003; Giuseppe y Saverio, 1999; Nijmeijer e Iven, 1997 y Asad y Edwin, 2000. Por otro lado, la sincronización puede ser clasificada por el número de estados sincronizados y por la función que los relaciona (Boccaletti et. al., 2001, 2002). De

3 acuerdo al número de estados sincronizados se clasifica en sincronización completa y en sincronización parcial, si todas las variables de estado o sólo un subconjunto de ellas se sincroniza. De acuerdo a la relación que existe entre los estados, la sincronización puede ser idéntica, de fase o aproximada, dependiendo de la función que relacione dichos estados. Al caso general se le llama sincronización generalizada. El problema de sincronización está íntimamente relacionado con el problema de estabilidad (Yonghong et. al. 2003), (Chai y Chua, 1994), (Reggie y Rulkov, 1997), (Makoto y Chua, 2002); por lo tanto, los problemas existentes también están relacionados con problemas de estabilidad. La sincronización de sistemas dinámicos tiene muchas aplicaciones, una de ellas es la sincronización de sistemas caóticos (Boccaletti et. al., 2001), (Pecora y Carroll, 1990), (Tang et. al., 1993). La sincronización de sistemas caóticos se puede utilizar en el desarrollo de sistemas de comunicaciones privadas, algunos trabajos sobre este tema son: Andrievsky y Fradkov, 2001; Carroll, 1995; Hervé et. al., 1993; Kevin et. al., 1993 y Gregory y Bajarshi, 1999. Otra aplicación muy importante, que es el tema de estudio de esta tesis, es la sincronización de sistemas mecánicos. Hoy en día, los desarrollos tecnológicos y los requerimientos en eficiencia y calidad en procesos de producción han resultado en el desarrollo de sistemas muy complejos formados por arreglos de robots manipuladores y mecanismos en general. En la práctica, muchos de estos sistemas trabajan bajo un esquema cooperativo o coordinado; en ambos casos la sincronización debe estar presente. Algunas de las aplicaciones de estos sistemas son en ensamble, pintura, doblado, soldadura; en algunas situaciones estas tareas no pueden ser realizadas por un solo sistema y se requieren dos o más robots manipuladores. Algunos trabajos importantes sobre sincronización de mecanismos son: Rodríguez Angeles, 2002; Dong y Mills, 2002; Makoto et. al., 2002; Blekhman et. al., 1995; Pogromsky, 1997 y Sunghwan et. al.,

4 2001. Una cantidad importante de trabajos sobre sincronización de sistemas dinámicos, incluyendo la sincronización de mecanismos, asumen que los sistemas son idénticos y que no existen incertidumbres paramétricas ni perturbaciones externas. Algunas de las técnicas de control usadas en el diseño de señales acoplantes bajo estas condiciones son la retroalimentación lineal de estados para la sincronización de sistemas caóticos (Sarasola et. al., 2003), (Guo y Wallace, 2002) y controladores del tipo PID para la sincronización de mecanismos (Rodríguez Angeles, 2002). Otra hipótesis importante es que se tiene acceso completo a los vectores de estado de todos los sistemas. Actualmente existen varias propuestas para resolver el problema de sincronización bajo situaciones más reales para clases particulares de sistemas, algunas de estas propuestas son las siguientes. Para resolver el problema de incertidumbres paramétricas se han utilizado controladores adaptivos, los cuales tratan de estimar los valores reales de los parámetros de los sistemas y de esta forma aplicar la señal de control adecuada para obtener sincronización. Algunas propuestas están reportadas en: Femat Flores et. al., 2000; Dong y Mills, 2002 y Fradkov y Markov, 1997. El problema de perturbaciones externas ha sido atacado con técnicas de control robusto; para sistemas de tipo Lur’e se ha utilizado control H∞ (Johan et. al., 1997) y para sistemas cuyo modelo tiene forma de cadena de integradores se ha aplicado control por modos deslizantes (Tao y Hui, 2002), (Moez, 2004). Sin embargo, estos problemas no han sido resueltos para muchas clases de sistemas. El análisis de la robustez de la sincronización es un tema importante de investigación como se ha mostrado en varios artículos, por ejemplo en (Alvarez Gallegos, 1996), (Kocarev et. al., 2000), (Lucas et. al., 2002), (Ioan, 1997), (Mikhail et. al., 1997), en donde se hacen análisis de robustez a las técnicas de sincronización propuestas o se definen ciertas cotas o criterios en los errores de sincronización para considerarlos

5 pequeños o tolerables. El objetivo de este trabajo de tesis es proponer técnicas de diseño de señales de acoplamiento que permitan la sincronización de sistemas mecánicos, a pesar de la existencia de perturbaciones externas e incertidumbres paramétricas; en este sentido la sincronización será robusta. El modelo de los mecanismos que se usa a lo largo del trabajo es el lagrangiano, debido a que presenta un conjunto de propiedades ventajosas para el análisis de estabilidad y para el diseño de las señales de acoplamiento. Además, al utilizar este modelo, los resultados se pueden aplicar a sistemas de otra naturaleza (no mecánicos) que puedan ser representados por un modelo lagrangiano. Una condición adicional en los sistemas es que sólo se tiene acceso al vector de posiciones generalizadas, por lo que el problema completo se puede describir como la obtención de sincronización idéntica robusta de salida entre sistemas lagrangianos. A continuación se presenta un resumen de los resultados obtenidos. Una de las técnicas de control que presenta buenas características de robustez es la técnica de control por modos deslizantes. En el capítulo 2 se presenta una técnica de sincronización, basada en la técnica de control por modos deslizantes, que se puede aplicar a sistemas no lineales con una entrada y una salida interconectados bajo el esquema maestro/esclavo. Este resultado puede verse como una extensión de los resultados presentados en (Tao y Hui, 2002) en el sentido de que la técnica se puede aplicar a sistemas con diferente orden así como a sistemas lineales por tramos. Las condiciones para aplicar este algoritmo son: el grado relativo del sistema maestro debe ser mayor o igual al grado relativo del sistema esclavo y que los términos de perturbación producidos por incertidumbres paramétricas y por perturbaciones externas satisfagan las condiciones de acoplamiento. En teoría, se garantiza error cero; sin embargo, debido a las componentes de alta frecuencia en la señal acoplante, en la práctica se presenta una pequeña vibración o “chattering” en el estado del sistema esclavo. Una limitante es que

6 para la realización de la señal acoplante se requiere la medición del estado completo. En caso de no tenerlo se buscará diseñar un observador de estado. Como es evidente en la propuesta anterior, uno de los principales problemas en la realización de controladores basados en retroalimentación de estados es que comúnmente no se dispone del vector de estado completo. Este problema se puede resolver usando observadores de estado; estos sistemas tienen la finalidad de estimar las variables de estado necesarias para la realización del controlador. En el capítulo 3 se presenta una nueva metodología para el diseño de un observador robusto para sistemas lagrangianos de nGDL. El observador se basa en el esquema de Luenberger para sistemas no lineales, al que se agrega un término discontinuo en la retroalimentación, lo que produce un sistema con estructura variable en el espacio del error; debido a esto, el análisis de estabilidad se basa en los resultados presentados en Branicky, (1998), en donde se presenta un análisis de estabilidad en sistemas con estructura variable en donde cada estructura tiene al origen como punto de equilibrio. En la primera sección del capítulo 3 se presenta una extensión de este resultado a sistemas con estructura variable en donde las estructuras no tienen al origen como equilibrio y además existen perturbaciones no desvanescentes, este resultado es muy importante y se utiliza a lo largo de todo el documento. El resultado es un observador que garantiza convergencia exponencial al estado de la planta, a pesar de la presencia de incertidumbres paramétricas o perturbaciones externas acotadas. Además, el sistema en lazo cerrado presenta un modo deslizante de segundo orden y el control equivalente está dado por los términos de perturbación; por lo tanto se pueden identificar con este observador. El control equivalente puede verse como el promedio de los términos de alta frecuencia presentes en los términos discontinuos cuando las trayectorias llegan a la superficie de discontinuidad, por lo que puede ser recuperado filtrando dichos términos (Utkin et. al., 1999).

7 Con base en el análisis de estabilidad para una clase de sistemas con estructura variable y el observador para sistemas lagrangianos presentados en el capítilo 3, en el capítulo 4 se presenta una técnica para sincronizar sistemas lagrangianos con el mismo número de grados de libertad bajo el esquema de interconexión maestro/esclavo. Se considera que los sistemas pueden tener perturbaciones externas acotadas e incertidumbres paramétricas que, para este tipo de sistemas, producen términos que satisfacen las condiciones de acoplamiento (Kelly y Santibañez, 2003), (Sciavicco y Siciliano, 2000). El objetivo es diseñar las señales de acoplamiento para lograr que el estado de los sistemas esclavos se sincronicen con el estado del sistema maestro en forma asintótica, a pesar de la existencia de perturbaciones acotadas no desvanescentes. La solución que se propone se basa en el diseño de una señal de acoplamiento que compensa algunos términos no deseados y agrega términos proporcional, derivativo y discontinuo con respecto a la diferencia entre las salidas de los sistemas, el término discontinuo proporciona buenas propiedades de robustez al sistema en lazo cerrado. Como se mencionó anteriormente, la sincronización de arreglos de sistemas tiene muchas aplicaciones en la creación de sistemas cooperativos. En el capítulo 5 se hace la extensión de la técnica de sincronización presentada en el capítulo 4, que fue desarrollada para una configuración maestro/esclavo, a la sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos, logrando así un sistema en lazo cerrado con buenas propiedades de robustez. El objetivo de sincronización en este caso es el siguiente: los errores entre los vectores de posiciones entre todos los sistemas deben aproximarse a cero en forma asintótica, a pesar de la existencia de incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas acotadas. Además, se debe asegurar que las salidas de todos los sistemas converjan a una trayectoria deseada. En el último capítulo se presentan algunas conclusiones sobre los resultados más importantes así como los problemas que aún quedan abiertos en este tema de investigación.

Capítulo I Preliminares matemáticos Una gran variedad de sistemas físicos pueden ser descritos por la ecuación diferencial ordinaria x˙ = f (t, x, u) ,

(1)

donde x ∈
(2)

Si f (·) no depende explícitamente de t, el sistema (2) se le llama autónomo, de otro modo es no autónomo.

I.1

Existencia y unicidad de soluciones

El primer paso en la solución de la ecuación diferencial (2) es investigar la existencia y unicidad de soluciones. En esta sección se presentan las condiciones para garantizar la

9 existencia y unicidad de soluciones en el sentido usual y la definición de solución en el sentido de Filippov para sistemas discontinuos. Teorema 1 (Existencia y unicidad de solución local)(Khalil, 2002) Sea f (t, x) una función continua por tramos en t y que satisface la condición de Lipschitz

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L kx − yk

(3)

∀ x, y ∈ B = {x ∈ 0 tal que la ecuación de estado x˙ = f (t, x) con x (t0 ) = x0 tiene solución única sobre [t0 , t0 + δ] . Teorema 2 (Existencia y unicidad de solución global)(Khalil, 2002) Sea f (t, x) una función continua por tramos en t que satisface ([?]) ∀ x, y ∈
10 de la inclusión diferencial x˙ ∈ F (t, x) ,

(4)

esto es, una función vectorial x (t) absolutamente continua definida en un intervalo o un segmento I para el cual x˙ (t) ∈ F (t, x) casi en todo punto de I. De gran interés son los métodos para la definición de F (t, x) en los puntos de discontinuidad de la función f (·) bajo los cuales la inclusión diferencial (4) puede ser utilizada para una descripción aproximada de la dinámica de un sistema físico. La siguente definición es aplicable, en particular, a sistemas con retardo así como a algunos sistemas con fricción de Coulomb (Filippov, 1998).

Definición 3 (Definición del convexo más simple) Para cada punto (t, x) ∈ G el conjunto F (t, x) es el conjunto convexo cerrado más pequeño que contenga todos los / M, t = cte. valores límite de la función vectorial f (t, x∗ ) para (t, x∗ ) ∈ Una solución de (2) es una solución de la inclusión (4) con F (t, x) así construida. En los puntos donde la función f (·) es continua el conjunto F (t, x) consiste del punto f (t, x) , y la solución satisface la ecuación (2) en el sentido usual. Si el punto (t, x) ∈ M el conjunto F (t, x) es un segmento, polígono o un poliedro. Considere el caso donde la función f (t, x) es discontinua en una superficie suave S dada por la ecuación ψ (x) = 0. La superficie S divide al espacio x en los dominios G+ y G− . Para un tiempo t constante y para el punto x∗ aproximándose al punto x ∈ S desde los dominios G+ y G− , la función f (t, x∗ ) tiene los valores límite lim f (t, x∗ ) = f − (t, x) ,

x∗ ∈G− x∗ →x

lim f (t, x∗ ) = f + (t, x) .

x∗ ∈G+ x∗ →x

11

G+

f+

f-

x P

S G-

Figura 1: Soluciones que cruzan la superficie S. Entonces el conjunto F (t, x) puede representarse geométricamente como un segmento lineal uniendo los puntos finales de los vectores f − (t, x) y f + (t, x) . Si para t1 < t < t2 este segmento cae a un lado del plano P tangente a la superficie S en el punto x, la solución para este tiempo t pasa de un lado de la superficie S al otro (ver figura 1). Si este segmento intersecta al plano P , el punto de intersección es el punto final de un vector f 0 (t, x) que determina la velocidad de movimiento x˙ = f 0 (t, x) a lo largo de la superficie S en el espacio x (ver figura 2). Esto significa que la función x (t) que satisface la ecuación x˙ = f 0 (t, x) es una solución de la ecuación (2) en virtud de la definición (4). Si f 0 6= f + , f 0 6= f − , a tal solución se le llama modo deslizante. Un conjunto especial de soluciones de (2) son los puntos de equilibrio xe . Iniciando en un punto xe en el tiempo t0 la solución de (2) permanecerá ahí para todo t ≥ t0 .

12

G+ f-

x

f0

P

S

f+ G-

Figura 2: Condiciones para la existencia de un modo deslizante sobre S. Los conceptos de estabilidad, que a continuación se establecen, son definidos con respecto a estos puntos de equilibrio.

I.2

Estabilidad en el sentido de Lyapunov

Considere que el sistema (2) tiene como equilibrio al origen xe = 0 ∈ 0, existe una constante δ > 0 que puede depender de t0 y ε tal que

kx(t0 )k < δ (t0 , ε) =⇒ kx(t)k ≤ ε, ∀t ≥ t0 . Es uniformemente estable en [t0 , ∞) si, para cada ε > 0, el valor de δ es independiente del tiempo inicial t0 .

13 2. Inestable si no es estable.

Definición 5 (Qu, 1998)El punto de equilibrio xe = 0 se dice ser atractivo al tiempo t0 si, para alguna δ > 0 y cada ε > 0, existe un intervalo de tiempo finito T (t0 , δ, ε) tal que kx (t0 )k < δ =⇒ kx (t)k ≤ ε ∀t ≥ t0 + T (t0 , δ, ε) . Es uniformemente atractivo en [t0 , ∞) si para todo ε, que satisface 0 < ε < δ, el intervalo de tiempo finito es independiente del tiempo inicial t0 .

Definición 6 (Estabilidad asintótica) (Qu, 1998) Un punto de equilibrio xe = 0 es asintóticamente estable al tiempo t0 si es estable al tiempo t0 y si es atractivo, o equivalentemente si existe alguna δ > 0 tal que kx(t0 )k < δ implica que x(t) → 0 cuando t → ∞. Es uniforme asintóticamente estable en [t0 , ∞) si éste es uniformemente estable en [t0 , ∞), y si x = 0 es uniformemente atractivo.

Definición 7 (Estabilidad exponencial) (Qu, 1998) El punto de equilibrio xe = 0 al tiempo t0 es exponencialmente atractivo si, para alguna δ > 0 existen constantes α (δ) > 0 y β > 0 tal que

kx (t0 )k < δ =⇒ kx(t)k ≤ α (δ) e−β(t−t0 ) . Es exponencialmente estable si, para alguna δ > 0 existen dos números estrictamente positivos α y β tal que

kx (t0 )k < δ =⇒ kx(t)k ≤ α (δ) kx(t0 )k e−β(t−t0 ) .

14

I.2.1

Método directo de Lyapunov

Uno de los métodos más usados para probar si un punto de equilibrio es estable en el sentido de Lyapunov es el llamado método directo de Lyapunov que a continuación se presenta (Khalil, 2002). Definición 8 Una función continua γ : <+ → <+ es una función de clase k si γ (0) = 0 y si es estrictamente monótona creciente. Se dice que es de clase k∞ si γ (p) → ∞ cuando p → ∞. Definición 9 Una función V (t, x) : < ×
∀ (t, x) ∈ Ω × <+ .

La función V (t, x) se dice localmente decreciente si existe una función de clase k, γ 2 : <+ → <+ tal que, para alguna vecindad del origen Ω ⊂
∀ (t, x) ∈ Ω × <+ .

La palabra “localmente” es reemplazada por “globalmente” si Ω =
15 3. Para concluir estabilidad global, V (t, x (t)) es globalmente definida positiva y radialmente no acotada. 4. Para concluir estabilidad asintótica uniforme y global o estabilidad exponencial global, V (t, x (t)) es globalmente definida positiva, globalmente decreciente y radialmente no acotada. Teorema 11 Considere la ecuación diferencial ordinaria (2) tal que, para cualquier conjunto acotado D ⊂ 0 o si γ i (kx (t)k) = λi kx (t)k2 para i = 1, 2, 3 y algunas constantes positivas λi . 4. Es exponencialmente estable en forma global o local con convergencia en tiempo finito si γ 3 (kx (t)k) ≥ λV (t, x)p para constantes λ > 0 y 0 < p < 1.

16

I.3

Estabilidad de sistemas perturbados

Considere el sistema con perturbaciones denotadas por ξ (t, x)

x˙ = f (t, x) + ξ (t, x) ,

(5)

donde f : [0, ∞] × D →
x˙ = f (t, x) .

(6)

En situaciones típicas no se conoce con exactitud el término ξ (t, x) , pero sí se conoce algo de él, como por ejemplo una cota superior de kξ (t, x)k . Aquí se considerarán perturbaciones que se pueden escribir como un término aditivo; por ejemplo, las incertidumbres que no cambian el orden del sistema siempre pueden ser representadas en esta forma (Khalil, 2002).

I.3.1

Estabilidad de sistemas con perturbaciones desvanescentes

Se dice que una perturbación es desvanescente si ξ (t, 0) = 0. Suponga que xe = 0 es un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema nominal (6), y sea V (t, x) una función de Lyapunov que satisface c1 kxk2 ≤ V (t, x) ≤ c2 kxk2 ,

∂V ∂V + f (t, x) ≤ −c3 kxk2 , ∂t ∂x ° ° ° ∂V ° ° ° ° ∂x ° ≤ c4 kxk ,

(7) (8) (9)

17 para todo (t, x) ∈ [0, ∞]×D y para algunas constantes positivas c1 , c2 , c3 y c4 . Suponga que el término de perturbación ξ (t, x) satisface el acotamiento de crecimiento lineal

kξ (t, x)k ≤ σ kxk , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ D,

(10)

donde σ es una constante positiva que satisface

σ<

c3 . c4

(11)

Se tiene el siguiente resultado (Khalil, 2002).

Lema 12 Sea xe = 0 un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema nominal (6). Sea V (t, x) una función de Lyapunov para el sistema nominal que satisface las condiciones (7) a (9) en [0, ∞) × D. Suponga que el término de perturbación ξ (t, x) satisface (10) y (11). Entonces, el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable del sistema perturbado (5). Además, si todas las condiciones se satisfacen en forma global, entonces el origen es globalmente asintóticamente estable.

I.3.2

Estabilidad de sistemas con perturbaciones no desvanescentes

Ahora se aborda el caso más general cuando no se sabe si ξ (t, 0) = 0. Bajo estas condiciones es posible que el origen xe = 0 ya no sea un equilibrio del sistema perturbado (5). Lo mejor que se puede esperar es que la solución x (t) permanezca en una vecindad del origen, si la perturbación es pequeña en algún sentido. Supóngase que el origen del sistema nominal (6) es exponencialmente estable. Entonces se tiene el siguiente lemma (Khalil, 2002).

18 Lema 13 Sea xe = 0 un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema nominal (6). Sea V (t, x) una función de Lyapunov del sistema nominal que satisface (7) a (9) en [0, ∞)×D, donde D = {x ∈
r

c1 θr c2

(12)

para toda t ≥ 0, toda x ∈ D, y alguna constante positiva θ < 1. Entonces, para toda p kx (t0 )k < c1 /c2 r, la solución x (t) del sistema perturbado (5) satisface kx (t)k ≤ k exp [−γ (t − t0 )] kx (t0 )k ,

∀t0 ≤ t ≤ t0 + T,

y kx (t)k ≤ b, para algún tiempo finito T , donde k=

∀t ≥ t0 + T, r

c1 , c2

(1 − θ) c3 , 2c2 r c4 c2 δ b= . c3 c1 θ

γ=

I.4

Sincronización de sistemas dinámicos

En esta sección se presenta una definición del fenómeno de sincronización en diferentes escenarios, que tiene como base las definiciones de sincronización presentadas en (Blekhman et. al., 1997) y (Boccaletti et. al., 2002). Considere k sistemas dinámicos de dimensión finita, desacoplados y sin entradas,

19 definidos por Σi : x˙ i = fi (t, xi ) , i = 1, . . . , k,

(13)

donde xi ∈
Γ (t, yi (·) , . . . , yk (·)) .

Definición 14 Se dice que los sistemas Σ1 , . . . , Σk , bajo condiciones iniciales x1 (0) , . . . , xk (0) , están sincronizados con respecto a la funcional Γ (·) si

Γ (t, y1 (·) , . . . , yk (·)) ≡ 0 es válida para toda t ∈ T , donde T es el intervalo de tiempo en donde se define el sistema. Se dice que los sistemas Σ1 , . . . , Σk , bajo condiciones iniciales x1 (0) , . . . , xk (0) , están aproximadamente sincronizados con respecto a la funcional Γ (·) si existe una constante ε > 0 tal que |Γ (t, y1 (·) , . . . , yk (·))| ≤ ε para toda t ∈ T. Los sistemas Σ1 , . . . , Σk , bajo condiciones iniciales x1 (0) , . . . , xk (0) , están asintóticamente sincronizados con respecto a la funcional Γ (·) si

lim Γ (t, y1 (·) , . . . , yk (·)) = 0.

t→∞

Algunas veces la sincronización puede ocurrir en sistemas desconectados como (13),

20 a este caso se hará referencia como sincronización natural. Un caso más interesante es la sincronización de sistemas interconectados en donde los sistemas pueden ser representados como

Σi :

dxi = fi (t, xi ) + fei (t, x1 , . . . , xk ) , i = 1, . . . , k. dt

La definición 14 sobre sincronización natural de k sistemas se aplica idénticamente para definir la sincronización de este nuevo conjunto de sistemas. Ahora se considera que los k sistemas están descritos por ecuaciones diferenciales con un vector de entrada de dimensión finita, u = u (t) ∈ <m , es decir dxi = fi (xi , t) + fei (t, x1 , . . . , xk , ui ) , i = 1, . . . , k. dt

(14)

El problema de la sincronización controlada con respecto a la funcional Γ es encontrar una entrada de control u, como una función de retroalimentación de los estados x1 , . . . , xn , tal que las condiciones de sincronización dada por dicha funcional sean satisfechas. La forma más simple de retroalimentación es la retroalimentación estática de estado, donde la ecuación del controlador tiene la siguiente forma

u = u (t, x1 , . . . , xk ) ,

(15)

para alguna función u : < ×
(16)

u (t) = u (t, x1 , . . . , xk , w) ,

(17)

21 con w ∈
La sincronización controlada es relevante sólo en los casos cuando la sincronización natural no se presenta y la inclusión de una retroalimentación dinámica o estática del estado es necesaria para lograr la sincronización después de un transitorio, o bien si se desea una convergencia más rápida al estado de sincronización.

En muchos problemas la información completa del estado de los sistemas no está disponible y sólo algunas variables de salida están disponibles para su uso en la ley de control. El problema de sincronización por retroalimentación de salida puede ser formulada como encontrar un controlador en la forma de retroalimentación estática o dinámica de la salida tal que el objetivo de sincronización se satisfaga.

Un aspecto muy importante en la sincronización de sistemas es el tipo de interconexión que existen entre ellos. Dos de las principales estructuras de interconexión son la unidireccional o maestro-esclavo (M/E) y la bidireccional. En el caso unidireccional (ver figura 3), el sistema maestro (subíndice m) domina al o los sistemas esclavos (subíndice s), mientras que en el caso bidireccional la sincronización es un resultado de la interacción de todos los sistemas involucrados. En la figura 4 se muestra una configuración básica para este esquema de sincronización. En arreglos de sistemas más complejos ambos tipos de interconexiones pueden estar presentes al mismo tiempo.

22

xs

Maestro

Esclavo

xm Controlador

u

Figura 3: Diagrama a bloques del esquema de sincronización controlada unidireccional o maestro-esclavo.

x1 Control 2

x2 u2 Sistema 2

Sistema 1 u1

Control 1

x2

x1

Figura 4: Ejemplo de una configuración bidireccional de sincronización controlada.

23

I.5

Sistemas lagrangianos de nGDL y sus propiedades

El modelo matemático de un sistema lagrangiano de n grados de libertad (nGDL) es el siguiente ..

..

˙ q˙ + Dq˙ + G (q) + ξ (t, q, q, ˙ q) = τ M (q) q + C (q, q)

(18)

donde q ∈
˙ q) es un vector que contiene produce un comportamiento acotado. Finalmente, ξ (t, q, q, los términos producidos por incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas y ..

˙ q)k ≤ ρ. se considera acotado; kξ (t, q, q, Para mecanismos provistos únicamente de articulaciones rotacionales, que son una clase importante de sistemas lagrangianos, las matrices y vectores que forman el modelo (18) tienen las siguientes propiedades (Kelly y Santibañez, 2003), (Sciavicco y Siciliano, 2002).

• Matriz de inercia M (q) 1. M (q) es una matriz definida positiva de n×n cuyos elementos sólo dependen de q. Su inversa M −1 (q) existe y es definida positiva. 2. La energía cinética del sistema se define como 1 ˙ K = q˙T M (q) q. 2

24 3. Existe una constante

λmax {M (q)} ≤ β

∀q ∈
0 > 0 tal que 4. Existe una constante kM

0 kyk kM (x) yk ≤ kM

para todo x, y ∈
4. Existe una constante KC1 > 0 tal que

kC (q, x) yk ≤ KC1 kxk kyk para todo q, x, y ∈
kC (q, z) w − C (y, v) wk ≤ kC1 kz − vk kwk + kC2 kx − yk kwk kzk

25 para todo vector v, x, y, z, w ∈
T

x

∙

¸ 1 ˙ M (q) − C (q, q) ˙ x = 0, 2

y además M˙ (q) = C (q, q) ˙ + C (q, q)T . • Vector de pares gravitacionales G (q) 1. El vector G (q) es Lipschitz, es decir, existe una constante kg > 0 tal que

kG (x) − G (y)k ≤ kg kx − yk para todo x, y ∈
˙ − C (q − e, q˙ − e)] ˙ q˙ + h (t, e, e) ˙ = [M (q) − M (q − e)] q + [C (q, q) G (q) − G (q − e) .

26 ..

El vector de dinámica residual depende de e, e, ˙ así como de q, q˙ y q que se suponen acotadas. 1. Existen constantes kh1 y kh2 mayores que cero tal que la norma de la dinámica residual cumple con

˙ + kh2 kf (e)k kh (t, e, e)k ˙ ≤ kh1 kek para todo e, e˙ ∈
∙

tanh (e1 ) . . . tanh (en )

¸T

.

• Linealidad en parámetros 1. Para todo u, v, w ∈
donde κ (q, u, v, w) es un vector de n×1, Φ (q, u, v, w) es una matriz de n×m y el vector θ ∈ <m depende exclusivamente de los parámetros del mecanismo. 2. Si q, u, v, w ∈ Ln∞ entonces Φ (q, u, v, w) ∈ Ln×m ∞ .

Capítulo II Sincronización robusta de sistemas con una entrada y una salida por medio de modos deslizantes Una de las técnicas de control que muestran buenas características de robustez a variaciones paramétricas así como a perturbaciones externas es la técnica de control por modos deslizantes, la cual se ha utilizado en la sincronización de sistem×as caóticos. Uno de los trabajos más representativos en este tema es (Tao y Hui, 2002), en donde se presenta una solución para la sincronización, bajo el esquema maestro/esclavo, de dos sistemas caóticos del mismo orden y con perturbaciones acotadas que cumplen las condiciones de acoplamiento. Una condición adicional es que el sistema que describe la dinámica del error pueda ser llevado a una forma de cadena de integradores y sea de fase mínima. Otra opción para resolver el problema de incertidumbres paramétricas es el uso de técnicas de control adaptable, ver por ejemplo (Dong y Mills, 2002), en donde se propone un controlador del tipo PID adaptable para la sincronización de mecanismos.

28 En este capítulo se presenta una generalización de los resultados presentados en (Tao y Hui, 2002). Se propone una técnica para sincronizar dos sistemas no lineales con una entrada y una salida bajo la configuración maestro/esclavo. La generalización es en los siguientes aspectos. Primero, los sistemas no necesitan ser idénticos, incluso pueden ser de diferente orden, pero su grado relativo debe estar bien definido y el grado relativo del sistema maestro (rm ) debe ser mayor o igual al grado relativo del sistema esclavo (rs ) . Segundo, se trabaja en el espacio de coordenadas normales y se muestra que se sincronizan los primeros rs estados normalizados. De esta manera, eventualmente, se obtendrá una sincronización generalizada parcial. Tercero, el esquema de control es robusto con respecto a incertidumbres paramétricas y perturbaciones acotadas acopladas. Cuarto, la técnica de sincronización también puede aplicarse, con algunas restricciones adicionales, a la sincronización de sistemas lineales por partes. El desempeño de la técnica de sincronización que se propone se ilustra a través de ejemplos numéricos y experimentales.

II.1

Planteamiento del problema

Considere un sistema maestro dado por

x˙ m = fm (xm ) + gm (xm ) um + pm (xm ) wm ,

(19)

ym = hm (xm ) ,

donde xm ∈
29 campos vectoriales Lipschitz, um ∈ < es una señal de entrada que puede utilizarse para estabilizar el sistema, wm ∈ L∞ es una perturbación, ym ∈ < es la salida del sistema, y hm :
x˙ s = fs (xs ) + gs (xs ) (us + v) + ps (xs ) ws ,

(20)

ys = hs (xs ) ,

donde xs ∈ <ns es el vector de estado, ys ∈ < es la salida, v ∈ < es la señal acoplante que será diseñada, el resto de los términos se definen en forma similar a los del sistema maestro (19).

Consideración 1. Se asume que el sistema maestro (19) tiene comportamiento acotado.

Por otro lado, suponga que el sistema maestro tiene grado relativo rm y que Lpm Lifm hm (xm ) = 0 para 0 ≤ i < rm − 1, donde rm ≤ nm y para cualquier xm ∈
i = 1, ..., rm − 1,

z˙rm ,m = Φm (t, zm , η m ) , η˙ m = qm (t, zm , η m ) ,

(21)

30 donde

zi,m = Li−1 fm hm (xm ) , 1 ≤ i ≤ rm , Φm (t, zm ) = bm (zm , η m ) + am (zm , η m ) um + cm (zm , η m ) wm , h (xm ) , bm (zm , η m ) = Lrfm m m −1 hm (xm ) , am (zm , η m ) = Lgm Lrfm m −1 cm (zm , η m ) = Lpm Lrfm hm (xm ) m

y xm = Tm−1 (zm , η m ) . También considere que el sistema esclavo tiene grado relativo rs y que Lps Lifs hs (xs ) = 0 para 0 ≤ i < rs − 1, donde rs ≤ ns y para todo xs ∈ <ns . Entonces existe un cambio de coordenadas Ts (xs ) = (zs (xs ) , η s (xs )) ∈
z˙i,s = zi+1,s ,

i = 1, ..., rs − 1,

z˙rs ,s = Φs (t, zs , η s ) + g˜s (t, zs , η s ) v, η˙ s = qs (t, zs , η s ) ,

donde

zi,s = Li−1 fs hs (xs ) , 1 ≤ i ≤ rs , Φs (t, zs , η s ) = bs (zs , η s ) + as (zs , η s ) us + cs (zs , η s ) ws , g˜s (t, zs , η s ) = as (zs , η s ) ,

(22)

31 aquí as (·), bs (·) y cs (·) tienen la misma forma que am (·) , bm (·) y cm (·) del sistema maestro. Ahora se define el criterio de sincronización como

lim kzi,m (t) − zi,s (t)k = 0 ∀ zi,m , 1 ≤ i ≤ rs ,

t→∞

(23)

entonces, el problema que se analiza es el diseño de la señal acoplante v tal que el criterio de sincronización (23) sea satisfecho. Nota 1. Se mostrará que una condición necesaria para alcanzar el objetivo de sincronización es que rm ≥ rs . Nota 2. Note que este objetivo trata con una sincronización generalizada debido a la transformación a la forma normal, y sólo se sincronizan las variables zi,m = i Li−1 fm hm (xm ) con zi,s = Lfs hs (xs ), para 1 ≤ i ≤ rs .

Consideración 2. Ambos sistemas (maestro y esclavo) son de fase mínima.

II.2

Diseño de la señal acoplante

Para resolver el problema establecido previamente, defina los errores de sincronización

ei = zi,m − zi,s ,

(i = 1, . . . , rs ) .

La dinámica de estas variables de error está determinada por el siguiente sistema

e˙ i = ei+1 ,

(i = 1, . . . , rs − 1) ,

e˙ rs = ξ (·) − Φs (t, zm − e) − g˜s (t, zm − e) v,

(24)

32 donde ξ (·) es un término cuya forma depende del grado relativo del sistema maestro; esto es, si rm = rs entonces ξ (·) = Φm (t, zm ) ; de otro modo, si rm > rs , entonces ξ (·) = zrs ,m . Note que si rm < rs , entonces no es posible diseñar la señal acoplante v que sincronice las primeras rm coordenadas normales de ambos sistemas. De esta manera, una condición necesaria para resolver este problema es que rm ≥ rs , y se sincronizarán únicamente los primeros rs estados de los sistemas maestro y esclavo en su forma normal. Ahora se diseña la señal acoplante v en base a la técnica de control por modos deslizantes. Considere una superficie de discontinuidad definida por

S=

rs X

γ i ei = 0,

(25)

i=1

donde γ i ∈ <, i = 1, . . . , rs son constantes. Por otro lado, se define a la señal acoplante de la siguiente manera

v (t, zm , e) = F (t, zm , e) sign (S) ,

(26)

donde F (·) : < ×
sign (x) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

1, x > 0

[−1, 1] , x = 0 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −1, x < 0

En las siguientes secciones se presenta la metodología para el diseño de la superficie S (25) y la señal acoplante v (·) (26) tal que el problema (23) sea resuelto.

33

II.2.1

Diseño de la superficie deslizante

La superficie de discontinuidad debe ser diseñada tal que, cuando las trayectorias están sobre esta superficie, éstas deben dirigirse al origen. Una manera de definir el comportamiento del sistema (24) cuando sus trayectorias están en la superficie S = 0 es a través de la técnica de control equivalente. El control equivalente veq puede verse como un control promedio (Utkin, 1978), (Utkin, 1992), y se puede encontrar a través de la ecuación S˙ = 0 que, de las ecuaciones (24) y (25), toma la forma S˙ =

rs X i=2

γ i−1 ei + γ rs ξ (·) − γ rs Φs (t, zm − e) − γ rs g˜s (t, zm − e) veq = 0.

Si γ rs = 1, el control equivalente está dado por

veq =

rs P

i=2

γ i−1 ei + ξ (·) − Φs (t, zm − e) g˜s (t, zm − e)

,

una condición es que g˜s (t, zm − e) 6= 0 para todo t ≥ 0 y todo zm − e. Sustituyendo veq en (24) se tiene

(i = 1, . . . , rs − 1)

e˙ i = ei+1 , e˙ rs = −

rs X

(27)

γ i−1 ei .

i=2

Las últimas rs − 1 ecuaciones forman un sistema lineal desacoplado de e1 , con la forma .

ee = Ae e,

(28)

34 donde

y

⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

ee = [e2 , e3 , . . . , ers ]T , 0

1

0

··· 0

0 .. .

0

1

··· 0 . . . .. .

0

0

0

··· 1

−γ 1 −γ 2 −γ 3 · · · −γ rs −1

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

El sistema (28) tiene al origen como único punto de equilibrio y es exponencialmente estable si las constantes γ i > 0 para i = 1, .., rs − 1 se eligen tal que la matriz A sea estrictamente Hurwitz. Además, por (25) se tiene que e1 → 0. Así, las trayectorias en la superficie de discontinuidad se dirigen al origen del espacio del error.

II.2.2

Condiciones para la existencia de un modo deslizante

Considere el siguiente criterio dado en (Utkin, 1992): Si S S˙ < 0

∀S 6= 0 y ∀t ≥ 0,

(29)

entonces la superficie S es atractora. En este caso, se tiene lo siguiente S S˙ = S

Ãr s X i=2

!

γ i−1 ei + ξ (·) − Φs (t, zm − e)

− S˜ gs (t, zm − e) F (t, zm , e) sign (S) ,

(30)

35 suponga que F (·) tiene la forma F (·) = g˜s (t, zm − e)−1 h (t, zm , e) ,

(31)

donde h (t, zm , e) > 0 y g˜s (·) 6= 0 para todo zm , e y t ≥ 0. Sustituyendo (31) en (30) se tiene

S S˙ = S

Ãr s X i=2

!

γ i−1 ei + ξ (·) − Φs (t, zm − e)

− h (t, zm , e) |S| . Si se define la función Γ como

Γ=−

rs X i=2

γ i−1 |ei | + |ξ (·)| + |Φs (t, zm − e)| + h (t, zm , e) ,

y una función h (t, zm , e) tal que

h (t, zm , e) >

rs X i=2

γ i−1 |ei | + |ξ (·)| + |Φs (t, zm − e)|

(32)

∀ e − zm , e y ∀t ≥ 0, entonces la condición (29) es satisfecha. Una condición adicional para la presencia de un modo deslizante es la convergencia del estado a la supeficie de discontinuidad en tiempo finito, que con la señal acoplante (26) también es satisfecha. Podemos probar esto último utilizando el siguiente criterio dado en (Utkin, 1992). Si lim S˙ > 0 y lim+ S˙ < 0

S→0−

S→0

(33)

36 entonces la convergencia a la superficie S = 0 es en tiempo finito. Para este caso, S˙ está dada por S˙ =

rs X i=2

γ i−1 ei + ξ (·) − Φs (t, zm − e) − h (t, zm , e) sign (S)

y por diseño de h (·) (ecuación (32)) ambas condiciones en (33) se satisfacen en forma gobal o local dependiendo de la función h (·) . En el diseño de la función h (·) no se necesita conocer con exactitud las funciones ξ (·) y Φs (·); de esta manera, la técnica de sincronización es robusta. En este punto, es importante notar los diferentes tipos de sincronización que se pueden obtener: Sincronización idéntica completa. Se obtiene este tipo de sincronización cuando los sistemas (19) y (20) tienen el mismo orden nm = ns = n, el mismo grado relativo n y sus modelos tienen la forma de cadena de integradores o se utiliza la misma transformación para llevarlos a una forma normal. Sincronización idéntica parcial. En este caso los sistemas (19) y (20) tienen diferente orden, el grado relativo del sistema maestro es mayor o igual al grado relativo del sistema esclavo y sus modelos tienen las formas (21) y (22) o se utiliza la misma transformación para llevarlos a su forma normal. La dinámica cero de ambos sistemas debe ser acotada para cualquier perturbación acotada wm y ws . Sincronización generalizada completa. Para este caso los sistemas (19) y (20) tienen el mismo orden y grado relativo nm = ns = n, pero se necesita aplicar un cambio de coordenadas, diferente en cada sistema, para obtener las formas (21) y (22). Sincronización parcial generalizada. En este caso los sistemas (19) y (20) tienen diferente orden, el grado relativo del sistema maestro debe ser mayor o igual al grado relativo del sistema esclavo y se necesita aplicar un cambio de coordenadas, diferente

37

δ 1z2,m

δ 3 z4,m k2

u k1

δ

m1 z1,m

2

m2

z3,m

Figura 5: Sistema masa resorte amortiguador. para cada sistema, para obtener las formas (21) y (22). En la siguientes secciones se presentan algunos ejemplos numéricos y experimentales que ilustran la aplicación y el desempeño de esta técnica de sincronización.

II.2.3

Sincronización de un péndulo simple y un sistema masaresorte-amortiguador

En este primer ejemplo se ilustra la aplicación de la técnica de sincronización a sistemas con diferente orden. Considere que el sistema maestro es el sistema masa-resorte-amortiguador que se muestra en la figura 5. Un modelo simple para este sistema está dado por

(34) z˙1,m = z2,m , ¶ ¶ µ µ k2 + k1 δ3 + δ1 k2 δ3 1 z1,m − z2,m + z3,m + z4,m + u (t) , z˙2,m = − m1 m1 m1 m1 m1 z˙3,m = z4,m , z˙4,m

k2 δ3 k2 = z1,m + z2,m − z3,m − m2 m2 m2

µ

δ3 + δ2 m2

¶

z4,m ,

donde m1 y m2 son las masas, k1 y k2 son las constantes de los resortes y δ 1 , δ 2 y δ 3 son

38 coeficientes de fricción viscosa. Por otro lado, el sistema esclavo es un péndulo simple, su modelo está dado por

(35)

z˙1,s = z2,s , z˙2,s = −α1 z2,s − α2 sign (z2,s ) − α3 sin (z1,s ) + α4 (τ (t) + v) .

Considere a (t) = τ (t) = r (t) tal que ambos sistemas presentan un comportamiento acotado. El sistema maestro tiene la forma (21) con grado relativo 2 y el sistema esclavo tiene la forma (22), también con grado relativo 2. Defina las variables de error e1 = z1,m − z1,s y e2 = z2,m − z2,s . Un sistema extendido formado con la dinámica del error y las últimas dos ecuaciones del sistema maestro está dado por

e˙ 1 = e2 , ¶ ¶ µ µ k2 + k1 δ3 + δ1 k2 z1,m − z2,m + z3,m e˙ 2 = − m1 m1 m1 ¶ µ δ3 1 + z4,m + − α4 r (t) m1 m1 + α1 (z2,m − e2 ) + α2 sign (z2,m − e2 ) + α3 sin (z1,m − e1 ) − α4 v, z˙3,m = z4,m , z˙4,m

k2 δ3 k2 = z1,m + z2,m − z3,m − m2 m2 m2

La señal acoplante tiene la forma

v = F (t, e) sign (S) ,

µ

δ3 + δ2 m2

¶

z4,m .

(36)

39 donde S es de la forma S = γe1 + e2 , γ es una constante positiva y F (·) está dada por

F (t, e) = α−1 4 (a1 |e2 | + a2 |z1,m | + a3 |z2,m | + a4 |z3,m | + a5 |z4,m | + a6 + a7 |r (t)|) , donde las constantes deben satisfacer las siguientes desigualdades: a1 > |γ − α1 | , a2 > |(k2 + k1 ) /m1 | , a3 > |α1 − (δ 3 + δ 1 ) /m1 | , a4 > k2 /m1 , a5 > δ 3 /m1 , a6 > α2 + α3 , a7 > |1/m1 − α4 |. Es fácil mostrar que z3,m y z4,m en el sistema (36) tienen comportamiento acotado si los coeficientes en las dos últimas ecuaciones son positivos.

Para la realización de una simulación numérica se tomaron los siguientes valores de los parámetros. Para el sistema masa resorte amortiguador: k1 = 10, k2 = 5, δ 1 = 1, δ2 = 0.1, δ 3 = 0.7, m1 = 0.8 y m2 = 0.4. Para el péndulo: α1 = 0.029, α2 = 3.0507, α3 = 67.912 y α4 = 55.549. La señal de referencia es r (t) = 0.1 sin (t) . Los parámetros de la señal acoplante son γ = 10, a1 = 10, a2 = 19, a3 = 2.1, a4 = 6.5, a5 = 0.875, a6 = 70.8 y a7 = 55.

La figura 6 muestra el comportamiento de ambos sistemas antes y después de que la señal acoplante haya sido activada (en todas las figuras a lo largo de este capítulo, cuando el estado del maestro y del esclavo aparezcan en la misma gráfica, las líneas sólidas corresponden al sistema maestro y las líneas punteadas corresponden al sistema esclavo). Como se puede observar, el error de sincronización es grande cuando la señal acoplante no ha sido aplicada, de 0 a 5 segundos. Después de este tiempo la señal acoplante es aplicada y el sistema esclavo se sincroniza con el sistema maestro. La figura 7 muestra los errores de sincronización.

40 0.4

z1

0.2

0

-0.2

-0.4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (seg.)

6

7

8

9

10

2 1.5

z2

1 0.5 0 -0.5 -1

Figura 6: Resultados numéricos de la sincronización de un péndulo simple y un sistema masa-resorte-amortiguador. Comportamiento de ambos sistemas antes y después de aplicar la señal acoplante. La señal acoplante se aplica en t = 5 seg. 0.4

e1

0.2 0 -0.2 -0.4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

e2

0 -1 -2 2

v

1 0 -1 -2

Tiempo (seg.)

Figura 7: Resultados numéricos de la sincronización de un péndulo simple y un sistema masa-resorte-amortiguador. Errores de sincronización antes y después de aplicar la señal acoplante.

41

II.2.4

Sincronización de dos péndulos simples

El objetivo de este ejemplo es ilustrar experimentalmente el caso de sincronización idéntica completa. Considere dos péndulos simples con el modelo (35) y bajo una entrada de control, que para el sistema maestro es

τ m (t) =

k3 sin (z1,m ) − γ 1 z1,m − γ 2 z2,m + φ , k4

y para el sistema esclavo está dada por

τ s (t) =

k3 sin (z1,s ) − γ 1 z1,s − γ 2 z2,s + φ + v, k4 ..

donde φ = γ 1 r (t) + (k1 + γ 2 ) r˙ (t) + r (t), r (t) es una referencia y v es una señal acoplante. Se asume que ambos sistemas tienen comportamiento acotado. La dinámica del error está dado por

(37)

e˙ 1 = e2 , e˙ 2 = −γ 1 e1 − (γ 2 + a) e2 + Φ (t, e) −

v , M

donde la función Φ (t, e) contiene los términos de perturbación y tiene la propiedad de ser acotado |Φ (t, e)| ≤ σ, donde σ es una constante. La señal acoplante tiene la forma

v = M (b1 |e1 | + b2 |e2 | + b3 ) sign (S) ,

42 donde S = a1 e1 + e2 para a1 > 0, b1 > γ 1 , b2 > |a1 − (γ 1 + a)| y b3 > σ. En un experimento, el sistema maestro es un circuito electrónico que emula la dinámica del sistema mecánico, su diagrama se muestra en la figura 8. El sistema esclavo es el péndulo mecánico que se muestra en la figura 9. Los valores nominales de los parámetros de ambos sistemas son los mismos a los del ejemplo anterior, mientras que los parámetros de la señal acoplante son b1 = 20, b2 = 20, b3 = 10 y a1 = 10. Los resultados experimentales se muestran en las figuras 10 y 11. Cuando la señal acoplante no es aplicada (entre 0 y 17 segundos) los errores de sincronización son grandes. En t = 17 seg se aplica la señal acoplante. Después de un corto transitorio los sistemas se sincronizan. La figura 11 también muestra la señal acoplante que, como se puede ver, se mantiene dentro de los valores de operación. Este ejemplo también muestra la robustez de la técnica de sincronización ya que los modelos tienen incertidumbres en sus parámetros.

II.2.5

Sincronización de un péndulo simple y un oscilador de Duffing

En este último ejemplo el objetivo es mostrar la aplicación de la técnica propuesta a la sincronización de dos sistemas caóticos y mostrar el diseño de la señal acoplante cuando se consideran variaciones paramétricas. El circuito de Duffing, que se muestra en la figura 12, es el sistema maestro y su modelo está dado por

z˙1,m = z2,m 3 − 1. 6075z2,m + 12. 403 sin (6.43t) , z˙2,m = 41. 345z1,m − 41. 345z1,m

(38)

43

vcc

vcc

AD734A

AD734A sin X1

V+

X2

DD

U0

W

7

10meg 0.1u

6

xx

U1

Z1

U3

Z2

Y1

ER

Y2

V-

vof 10meg

9

0.1u

5

V+

X2

DD

U0

W

U1

Z1

U3

Z2

Y1

ER

Y2

V-

10meg 0.1u

12

aux1 vof 10meg 0.1u

10

vee

vee

10k

13

X3 TL084T

10k

10k

vcc

1.111k X14 TL084T

X1

VCC

xx

VEE

19

23

R34 110.619k

10k

VCC

VEE

aux1

vee

vee

17

20

VCC

16

10k vee

10k

X12 TL084T

VEE

1.22k

vcc

1k

Y3 volts

VCC

vcc

35

VEE

VCC

vee

22

X9 TL084T

R37 fric 1k

1meg

R38 1k vcc

1meg 25

vcc 39

VCC

Y5 volts

VEE

1u

24

1k

1k

X13 TL084T

vee

X10 TL084T

18

X11 TL084T

4

VEE

VCC

vee

VEE

R7 10k

21

14

vcc R9 10k

384.432k

15

VEE

vee

vcc

10k

VCC

vcc

1.111k

10k

vcc

95.9416k

x1 volts

vee sin

Y4 volts

VCC

52.21

VEE

R39 1k 42

X5 TL084T vee

37

X17 TL084T

R40 1k

V4

vcc

1Meg VCC

aux

VEE

1meg

X16 TL084T

vee

0.1u

41

1k vcc

180050 40

28

VCC

x2_neg volts

8k

X6 TL084T vcc

vcc

100k

VCC

vee X4

27

VEE

34

26

VCC

VEE

33

vee

V1

R16 aux1k

R13 100k

vof

fric

VCC

VEE

TL084T vcc

vcc

1k

VEE

vee

29

X15 TL084T

R17 vee 1k

X7 Y6 TL084T volts

V3 30

V2

D2 1N4001

D4 1N4001

vee

Figura 8: Circuito electrónico que emula la dinámica de un péndulo simple.

44

Figura 9: Péndulo mecánico.

El sistema esclavo es un péndulo simple dado por

z1,s = z2,s

(39)

z2,s = − (k1 + ∆1 ) z2,s − (k2 + ∆2 ) sign (z2,s ) − (k3 + ∆3 ) sin (z1,s ) + (k4 + ∆4 ) (τ (t) + v (t)) , donde ∆i , i = 1, ..., 4, son posibles variaciones paramétricas (se consideran variaciones de ±20% de los valores nominales del sistema (35)). La dinámica del error está dada por el siguiente sistema

e˙ 1 = e2 , 3 e˙ 2 = 41. 345z1,m − 41. 345z1,m − 1. 6075z2,m

+ 12. 403 sin (6.43t) + (k1 + ∆1 ) (z2,m − e2 ) z2 ) + (k3 + ∆3 ) sin (z1,m − e1 ) + (k2 + ∆2 ) sign (˜ − (k4 + ∆4 ) τ (t) − (k4 + ∆4 ) v (t) .

(40)

45 1

posiciones

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15 Tiempo (seg.)

20

25

30

10

velocidades

8 6 4 2 0 -2

Figura 10: Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Comportamiento de los sistemas antes y después de aplicar la señal acoplante.

Ahora se define la superficie de discontinuidad

S = γe1 + e2 = 0.

Así, el control equivalente es el siguiente

veq (x, z) =

Φ , (k4 + ∆4 )

donde 3 − 1. 6075z2,m + (k1 + ∆1 ) (z2,m − e2 ) Φ = me2 + 41. 345z1,m − 41. 345z1,m

+12. 403 sin (6.43t) + (k2 + ∆2 ) sign (z2,m − e2 ) + (k3 + ∆3 ) sin (z1,m − e1 ) − (k4 + ∆4 ) τ (t) .

46 1

e1

0.5 0 -0.5

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15 Tiempo (seg.)

20

25

30

5

e2

0 -5 -10 -15 10

v

5 0 -5 -10

Figura 11: Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Errores de sincronización y señal acoplante. Sustituyendo veq en (40) se obtiene

e˙ 1 = e2 ,

(41)

e˙ 2 = −γe2 . Para γ > 0 y definiendo v en la forma

v = (k4 − ∆4 max ) F (e, zm ) sign (S) ¯ 3 ¯ ¢ ¡ ¯ + a4 |z2,m | + a5 |z2,m − e2 | + a6 sign (S) = a1 |e2 | + a2 |z1,m | + a3 ¯z1,m

(42)

donde a1 > m/31. 973, a2 > 1. 2931, a3 > 1. 2931, a4 > 0.050277, a5 > 0.00136, a6 > 4. 2132. Se consideraron los siguientes parámetros del controlador: a1 = (γ/31.973)1.2, a2 = 1.3, a3 = 1.3, a4 = 0.1, a5 = 0.01, a6 = 4.4 y γ = 30.

47 vcc

vcc

AD734A

AD734A X1

V+

X2

DD

U0

W

U1

Z1

U3

Z2

Y1

ER

Y2

x1 volts

1meg

10meg 0.1u

m1 vof 10meg

0.1u

X1

V+

X2

DD

U0

W

U1

Z1

U3

Z2

Y1

ER

Y2

V-

10meg 0.1u aux1 vof 10meg 0.1u

V-

10k vcc

10k

vee

aux1 vcc

1k

m1

1u

1k VCC

auxi

VEE VCC

5.43k

vcc

VEE

1meg

1k

vee

vcc

1k

VCC

vcc

vee

1k VCC

VEE

R12

VCC

vee

VEE

VEE

Input

1meg

vee

1k vee

1u

1k

x2 volts

6.43k auxi

vcc 1meg VCC

1k

vcc

1k VCC

VEE

VEE

vcc

vee

vof

vee V1

V3

1k V2

vcc 4k VCC

vee VEE

vee

Figura 12: Circuito de Duffing. En un experimento, el péndulo fue emulado en una tarjeta RT. Los resultados fueron los siguientes. El comportamiento de los sistemas maestro y esclavo sin señal acoplante se muestra en la figura 13. Como se puede ver, sus comportamientos son muy diferentes. La figura 14 muestra los resultados después de aplicar la señal acoplante, como se puede ver, los sistemas se sincronizan. Los errores de sincronización y la señal acoplante se muestran en la figura 15, aquí se puede apreciar como los errores de sincronización tienden a cero después de aplicar la señal acoplante.

II.3

Sincronización de sistemas lineales por tramos

En esta sección se aplica la técnica de sincronización a una clase de sistemas lineales por tramos, como los circuitos que presenta Sprott en (Sprott, 2000) que son sistemas caóticos de fácil construcción utilizando circuitos electrónicos.

48 6 4

Z2,m

2 0 -2 -4 -6 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Z1,m

20

Z1,s

10

0

-10

-20 -16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Z2,s

Figura 13: Resultados experimentales de la sincronización de un circuito de Duffing y un péndulo simple. Comportamiento de los sistemas sin señal acoplante. 6 4

Z2,m

2 0 -2 -4 -6

-1.5

-1

-0.5

0 Z1,m

0.5

1

1.5

-1.5

-1

-0.5

0 Z1,s

0.5

1

1.5

6 4

Z2,s

2 0 -2 -4 -6

Figura 14: Resultados experimentales de la sincronización de un circuito de Duffing y un péndulo simple. Comportamiento de los sistemas después de aplicar la señal acoplante.

49 15

e1

10 5 0 -5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

2

4

6

8 10 Tiempo(seg.)

12

14

16

18

100

e2

0 -100 -200 200

v

100 0 -100 -200

Figura 15: Resultados experimentales de la sincronización de un circuito de Duffing y un péndulo simple. Errores de sincronización y señal acoplante. A diferencia del caso continuo, aquí solamente se consideran sistemas con el mismo orden, parámetros y ley que determina la conmutación de estructuras, aunque pueden existir perturbaciones externas.

II.3.1

Formulación del problema

Considere un sistema maestro lineal por tramos definido por

x˙ m = Ai xm + Bi (um + wm (t)) ,

donde xm ∈
50 |wm (t)| ≤ δ, donde δ es una constante. De la misma forma se define un sistema esclavo

x˙ s = Ai xs + Bi (us + ws (t) + v (t)) ,

aquí |ws (t)| ≤ δ s y v (t) es una señal acoplante. Una condición para aplicar el algoritmo de control es que el par (Ai , Bi ) sea controlable. De esta manera existe una matriz de transformación Ti para cada estructura definida como sigue

Ti =

£ ¤ Pi ; Pi Ai ; . . . ; Pi An−1 , i

Pi = [0, 0, . . . , 0, 1] Γ−1 ,

donde Γ es la matriz de controlabilidad. Aplicando la transformación a los sistemas maestro y esclavo se obtiene lo siguiente

x˙ c,m = Ac,i xc,m + Bc,i (um + wm (t)) , x˙ c,s = Ac,i xc,s + Bc,i (us + ws (t) + v (t)) , donde xc,m = Ti xm , xc,s = Ti xs , Ac,i = Ti Ai Ti−1 con la forma ⎡

Ac,i

1 ⎢ 0 ⎢ .. ⎢ 0 . ⎢ =⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎣ ai,1 ai,2

y el vector Bc,i = Ti Bi = [0, 0, ..., 0, 1]T .

... ...

0 .. .

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ... 1 ⎥ ⎥ ⎦ . . . ai,n

51 Entonces el objetivo de sincronización es el siguiente

lim kxc,m − xc,s k = 0.

t→∞

Ahora se define un vector de variables de error

e = xc,m − xc,s . La dinámica de estas variables de error está dada por el siguiente sistema

e˙ = Ac,i xc,m + Bc,i (um + wm (t)) − Ac,k xc,s − Bc,k (us + ws (t) + v (t)) , donde los subíndices k, i indican que, en general, ambos sistemas pueden estar definidos por diferentes estructuras. En forma desarrollada el sistema anterior tiene la forma

e˙ j = ej+1 ∀1 ≤ j ≤ n − 1 n X e˙ n = (ar,i xr,c,m − ar,k xr,c,s ) + γ (t) − v (t)

(43)

r=1

donde γ (t) = um + wm (t) − us − ws (t), se asume que |γ (t)| ≤ µ, donde µ es una constante. Entonces el problema de sincronización es encontrar una señal acoplante v (t) tal que el origen del sistema (43) es un punto de equilibrio asintóticamente estable.

II.3.2

Diseño de la señal acoplante

Se propone una señal acoplante de la forma

v = F (t, e) sign (S)

52 donde S es una superficie definida por

S=

n−1 X

αj ej + en = 0

j=1

y F (t, e) es una función que será diseñada. Las condiciones sobre S para que las trayectorias en S = 0 se dirijan al origen se obtienen a partir del contol equivalente. S˙ =

n−1 X

αj e˙ j + e˙ n

j=1

=

n−1 X

αj ej+1 +

n X r=1

j=1

(ar,i xr,c,m − ar,k xr,c,s ) + γ (t) − veq (t) .

El control equivalente veq está definido como

veq (t) =

n−1 X i=1

αi ei+1 +

n X r=1

(ar,i xr,c,m − ar,k x˜r,c,s ) + γ (t)

y sustituyendo en (43)

e˙ j = ej+1 ∀1 ≤ j ≤ n − 1 n−1 X αj ej+1 . e˙ n = −

(44)

j=1

Si las constantes αj tienen valores tal que las últimas n − 1 ecuaciones del sistema anterior froman un sistema exponencialmente estable, entonces por la condición S = 0 las trayectorias en la superficie definida por S = 0 se irán al origen del espacio del error. Es importante notar que el sistema (44) no depende de las estructuras en donde se encuentren los sistemas maestro y esclavo. Ahora se encuentran las condiciones sobre F (·) tal que la superficie S sea una

53 superficie atractora y que las trayectorias lleguen ahí en tiempo finito. Para este caso S S˙ está dado por S S˙ = S

à n−1 X

αj ej+1 +

n X r=1

j=1

!

(ar,i xr,c,m − ar,k xr,c,s ) + γ (t) − F (t, e) sign (S)

entonces si F (t, e) satisface la desigualdad

F (t, e) ≥

n−1 X j=1

|αj ej+1 | +

n X r=1

(|ar,i xr,c,m | + |ar,k xr,c,m |) + µ,

∀i, k

entonces la superficie S = 0 es una superficie deslizante. La llegada en tiempo finito se puede demostrar en la misma forma que se hizo en las sección II.2.2.

II.3.3

Sincronización de dos circuitos de Sprott

Los circuitos de Sprott están definidos por la ecuación diferencial (Sprott, 2000) ...

..

x + ax + x˙ = G (x) ,

donde G (x) es una función no lineal apropiada, que en este caso es

G (x) = −bx + c sign (x) , donde a = 0.6, b = 1.2 y c = 2, en la figura 16 se muestra su retrato de fase. El sistema maestro se define de la siguiente forma

x˙ 1,m = x2,m , x˙ 2,m = x3,m , x˙ 3,m = −1.2x1,m − x2,m − 0.6x3,m + 2 sign (x1,m ) ,

(45)

54 mientras que el sistema esclavo está dado por

x˙ 1,s = x2,s , x˙ 2,s = x3,s , x˙ 3,s = −1.2x1,s − x2,s − 0.6x3,s + 2 sign (x1,s ) + v. Definiendo las variables de error e1 = x1,m − x1,s , e2 = x2,m − x2,s y e3 = x3,m − x3,s la dinámica del error está descrita por el siguiente sistema

e˙ 1 = e2 , e˙ 2 = e3 , e˙ 3 = −1.2e1 − e2 − 0.6e3 + 2 sign (x1,m ) − 2 sign (x1,m − e1 ) − v. La señal acoplante toma la siguiente forma

v = F (t, e) sign (S) ,

(46)

donde S está definida por S = α1 e1 + α2 e2 + e3 , α1 y α2 son constantes que se eligen con valores tales que la matriz A = [0, 1; −α1 , −α2 ] sea estrictamente Hurwitz y la función F (t, e) tiene la forma

F (t, e) = β 1 |e1 | + β 2 |e2 | + β 3 |e3 | + β 4 , donde β 1 > α1 − 1.2, β 2 > 1, β 3 > α2 − 0.6 y β 4 > 4. Los resultados experimentales se muestran en la figura 17; aquí aparecen los errores

55

x3

5 0 -5 4 3 2 1 5

0 -1 -2 x2

0 -3 -4

-5

x1

Figura 16: Retrato de fase del circuito de Sprott. de sincronización y la señal acoplante. Como se puede ver, los errores tienden a cero después de aplicar la señal acoplante.

II.4

Discusión de resultados

En este capítulo se ha propuesto una técnica de sincronización para sistemas no lineales con una entrada y una salida que pueden tener orden diferente. Las condiciones para aplicar este algoritmo son que el grado relativo del sistema maestro sea mayor o igual al grado relativo del sistema esclavo y que las perturbaciones satisfagan las condiciones de acoplamiento. La principal ventaja del algoritmo propuesto es que puede ser aplicado a la sincronización de sistemas no idénticos, con incertidumbres paramétricas y perturbaciones acotadas e incluso de diferente orden. El tipo de sincronización que se obtiene depende de las características de los sistemas maestro y esclavo. En teoría, este algoritmo garantiza error cero; sin embargo, debido a las componentes

56

2

4

0

2 e2

6

e1

4

-2

0

-4

-2

-6

0

50

100 Tiempo (seg.)

150

-4

200

3

0

50

100 Tiempo (seg.)

150

200

0

50

100 Tiempo (seg.)

150

200

50

2

0

v

e3

1 0

-1 -2 -3

0

50

100 Tiempo (seg.)

150

200

-50

Figura 17: Resultados experimentales de la sincronización de dos circuitos de Sprott. Comportamiento de los errores de sincronización y señal acoplante.

de alta frecuencia en la señal acoplante, en la práctica los errores de sincronización presentan un pequeño “chattering” o vibraciones en el estado y lo que se obtiene es una sincronización aproximada, es decir

lim kzi,m (t) − zi,s (t)k ≤ ε ∀1 ≤ i ≤ rs y ∀t ≥ T

t→∞

donde ε es una constante suficientemente pequeña y T es un valor finito de tiempo. En este caso, ε es la magnitud del chattering en el vector de estado del error, que en general, está directamente relacionado con los términos de perturbación en el sistema en lazo cerrado. En los ejemplos, los términos de perturbación son los retardos en tiempo por el procesamiento en la tarjeta RT e incertidumbres en los valores de los componentes electrónicos, así como errores de modelado. Estos errores de sincronización pueden ser tolerados en muchas aplicaciones.

57 Otra limitante es que para la realización de la señal acoplante se requiere la medición del estado completo. Este problema puede ser resuelto con el diseño de observadores robustos, aunque en este caso se requiere un análisis de estabilidad adicional.

Capítulo III Diseño de un observador robusto para sistemas lagrangianos de nGDL Uno de los principales problemas en la realización de controladores basados en retroalimentación de estados es que comúnmente no se dispone del vector de estado completo. Esto se debe principalmente a que no todos los estados se pueden medir o a que la instalación de sensores para su medición resulta muy cara. Este problema se puede resolver usando observadores de estado; estos sistemas tienen la finalidad de estimar las variables de estado necesarias para la realización del controlador. Uno de los observadores más usados es el llamado observador de Luenberger que, en un principio, fue diseñado solamente para sistemas lineales (Luenberger, 1971). Actualmente hay varias versiones de este observador para su aplicación a sistemas no lineales, ver por ejemplo (Da y Fu, 2001), (Deniz et. al., 2002) y (Soichi et. al. 2001). El observador de Luenberger tiene buen desempeño cuando el modelo de la planta es más o menos exacto. Idealmente, se necesita un modelo exacto de la planta para aplicar este esquema; sin embargo, la presencia de perturbaciones hace que la estimación del

59 estado sea errónea y de esta manera se degrada el desempeño del controlador. Para resolver este problema se han propuesto algunos esquemas de observadores robustos como los siguientes. En (Da y Fu, 2001) se propone un observador robusto basado en el observador de Luenberger; en el diseño se requiere la solución de la ecuación algebraica de Riccati y es aplicado a sistemas lineales perturbados. Otros esquemas utilizan el filtro de Kalman, ver por ejemplo (Sang et. al., 2003). También hay propuestas de observadores robustos diseñados a partir de técnicas de control discontinuo, por ejemplo observadores por modos deslizantes, un compendio de estos observadores se encuentra en (Barbot et. al., 2002). Muchos de ellos muestran buenas propiedades de robustez a perturbaciones externas acotadas y tienen convergencia en tiempo finito. Sin embargo, para sistemas con muchas entradas y muchas salidas el proceso de diseño es largo y difícil. En este capítulo se presenta una nueva opción para el diseño de un observador robusto para sistemas lagrangianos de nGDL. El observador se basa en el esquema de Luenberger para sistemas no lineales, al que se agrega un término discontinuo en la retroalimentación, lo que produce un sistema con estructura variable en el espacio del error. En el análisis de estabilidad se utilizan como base los resultados presentados en (Branicky, 1998) y (Liberzon, 2003) en donde se presenta un análisis de estabilidad en sistemas con estructura variable en donde cada estructura tiene al origen como punto de equilibrio. En la primera sección del capítulo se presenta una extensión de este resultado a sistemas con estructura variable en donde las estructuras no tienen al origen como equilibrio y además existen perturbaciones no desvanescentes. El resultado es un observador que garantiza convergencia exponencial al estado de la planta a pesar de la presencia de variaciones paramétricas y perturbaciones externas acotadas. Además, el sistema en lazo cerrado presenta un modo deslizante de segundo

60 orden y el control equivalente está dado por los términos de perturbación; por lo tanto se pueden identificar con este observador. El control equivalente puede verse como el promedio de los términos de alta frecuencia presentes en los términos discontinuos cuando las trayectorias llegan a la superficie de discontinuidad, por lo que puede ser recuperado filtrando dichos términos (Utkin et. al., 1999). El desempeño del observador se ilustra con resultados experimentales en lazo abierto. El observador puede ser utilizado en la realización de varios controladores; como se muestra en la última sección del capítulo en donde se propone una estructura de control que utiliza el observador para estimar las perturbaciones existentes en la planta y así obtener un sistema en lazo cerrado con buenas propiedades de robustez. Además, el observador es muy útil en la realización de señales acoplantes para la sincronización de sistemas lagrangianos, como se mostrará en los siguientes capítulos.

III.1

Estabilidad de una clase de sistemas de segundo orden con estructura variable

En esta sección se presenta un resultado que será utilizado posteriormente en el diseño del observador y en el diseño de señales de acoplamiento en los capítulos posteriores. Considere el siguiente sistema de segundo orden

z˙1 = z2 , z˙2 = −az1 − bz2 + ξ (t) − c sign (z1 ) ,

(47)

61 donde a y b son constantes positivas, ξ (t) es una perturbación externa acotada

|ξ (t)| ≤ ρ, ρ es una constante, c es un parámetro de control, y sign(·) es la función signo. Defina una matriz A de la siguiente forma ⎡

⎤

(48)

⎡

⎤

(49)

1 ⎥ ⎢ 0 A=⎣ ⎦, −a −b y una matriz P

⎢ p11 p12 ⎥ P =⎣ ⎦, p12 p22

que es la solución de la ecuación de Lyapunov AT P + P A = −I, donde I es la matriz identidad. Las propiedades de estabilidad del sistema (47) se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 15 Para el sistema (47), si 2aρ c> θ

s

λ3max (P ) , λmin (P )

para algún 0 < θ < 1, λmax (P ) y λmin (P ) son las valores propios máximo y mínimo de la matriz P. Entonces el origen del espacio de estado es un punto de equilibrio exponencialmente estable en el sentido de Lyapunov, en forma global. Demostración. La demostración se divide en dos partes; primero se define un sistema nominal con ξ (t) = 0, y se prueba estabilidad exponencial del origen usando herramientas para sistemas con estructura variable. Después de esto, se encuentran las

62 condiciones sobre c tal que las propiedades de estabilidad se mantengan para el sistema perturbado. El sistema nominal de (47) está definido por

(50)

z˙1 = z2 , z˙2 = −az1 − bz2 − c sign (z1 ) .

Se puede demostrar estabilidad asintótica del origen del sistema (50) utilizando la función de Lyapunov 1 1 V = az12 + z22 + c |z1 | 2 2 cuya derivada está dada por V˙ = −bz22 , que es semidefinida negativa y aplicando el teorema de invarianza para sistemas discontinuos presentado en (Alvarez Gallegos et. al., 2000) se concluye que el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable. Sin embargo, la demostración que a continuación se presenta ayuda a visualizar las propiedades de robustez del sistema (47). El sistema (50) tiene dos estructuras: S1 para z1 > 0,

S1 :

z˙1 = z2 , z˙2 = −az1 − bz2 − c,

y S2 para z1 < 0 S2 :

v˙ 1 = v2 , v˙ 2 = −av1 − bv2 + c.

Cada estructura tiene un punto de equilibrio; para S1 su equilibrio es z S1 = (−c/a, 0)

63 y para S2 es z S2 = (c/a, 0). Note que estos equilibrios se ubican en la región donde la dinámica del sistema está dada por la otra estructura (S2 para z S1 , S1 para z S2 ).

Cada punto de equilibrio es exponencialmente estable con las siguientes funciones de Lyapunov:

Para S1 ³ c ´2 VS1 (z) = z T P z + 2z T P γ + p11 , a ³ c ´2 V˙ S1 (z) = −z T z − 2z T γ − , a

(51) (52)

y para S2

donde γ =

∙

c/a 0

¸T

³ c ´2 VS2 (z) = z T P z − 2z T P γ + p11 , a ³ c ´2 , V˙ S2 (z) = −z T z + 2z T γ − a

(53) (54)

.

Aplicando el criterio dado en (Utkin, 1992) para probar la existencia de modos deslizantes se concluye que la superficie de discontinuidad dada por z1 = 0 no es una superficie deslizante.

Note también que las soluciones cruzan la línea z1 = 0 del cuadrante II al cuadrante I, y del cuadrante IV al cuadrante III.

Ahora considere las funciones VS1 (z) , VS2 (z) y sus derivadas. Estas funciones se intersectan en el origen y toman el valor VSi (0) = (c/a)2 p11 , para i = 1, 2. Defina dos

64 vecindades del origen, Ωε con radio ε > 0, y Ωβ que se define de la siguiente forma

Ωβ = Ω1 ∪ Ω2 , © ª Ω1 = v ∈ <2 | v1 ≥ 0, VS1 (v) ≤ β , © ª Ω2 = v ∈ <2 | v1 < 0, VS2 (v) ≤ β , donde β > (c/a)2 p11 . Finalmente, defina una vecindad Ωδ con radio δ < ε (δ puede depender de ε y β; δ (ε, β)) tal que Ωδ ⊂ Ωβ . Defina un conjunto de tiempos T = {t1 , t2 , . . . , ti , . . .}, en estos tiempos se presentan las conmutaciones de estructura. Se asume que t0 < t1 < t2 < ... donde t0 es el tiempo inicial. Si kz (t0 )k < δ y z (t0 ) ∈ Ωk ⊂ Ωβ para alguna k = 1, 2 (la k − e´sima estructura está activa), entonces el primer cambio de estructuras se presenta en t1 , y debido a que V˙ Sk < 0, se tiene que kz (t0 )k > kz (t1 )k , entonces VSk (z (t0 )) > VSk (z (t1 )) . Ahora z (t1 ) es la condición inicial para la siguiente estructura. La segunda conmutación se presenta en t2 ; el sistema pasa de Ωk+1 a Ωk y kz (t1 )k > kz (t2 )k , VSk+1 (z (t1 )) > VSk+1 (z (t2 )). En cada instante de tiempo donde se presenta una conmutación z1 = 0; por lo tanto z2 (t1 ) > z2 (t2 ) , y la condición inicial para la siguiente estructura es (0, z2 (t2 )) . Este fenómeno se presenta para todo ti ∈ T por lo que se puede concluir que VSk (z (tj )) > VSk (z (tj+2 )) , es decir, el valor de cada función de Lyapunov disminuye cada que su estructura sale de operación, ver figura 18. Entonces las secuencias W1 = {VSk (t1 ) , VSk (t3 ) , ...} y W2 = {VSk+1 (t2 ) , VSk+1 (t4 ) , ...} son estrictamente decrecientes y convergen a (c/a) p11 , y también se satisface que kz (ti+1 )k < kz (ti )k < · · · < kz (t0 )k < δ < ε ∀t > t0 , ∀i. Para todo ε > 0 y β > (c/a)2 p11 se puede encontrar una constante δ tal que las trayectorias iniciando en Ωδ permanecerán en la vecindad Ωε para todo t ≥ t0 . De esta

65

Vk Vk+1 Vk Vk+1 ...

c p a 11

t0

t1

t2

t3

t4

...

tn

t

Figura 18: Comportamiento del decremento de las funciones de Lyapunov con respecto al tiempo. manera, el origen es estable en el sentido de Lyapunov. Para demostrar estabilidad asintótica es suficiente notar que c lim VSk (ti ) = lim VSk+1 (ti ) = p11 , i→∞ i→∞ a éste es el valor que toman ambas funciones de Lyapunov en el origen, por lo tanto

lim z (t) = 0.

t→∞

Para demostrar estabilidad exponencial note que la solución en el intervalo de tiempo [t0 , t1 ) decrece en forma exponencial debido a la estabilidad exponencial del equilibrio de cada estructura. Cuando el sistema cambia de estructura, la solución mantiene su constante de tiempo porque ambas estructuras tienen la misma matriz A, por lo tanto, kv (t)k en los intervalos de tiempo [ti , ti+1 ) estará por debajo de la función exponencial que domina a la solución en el intervalo [t0 , t1 ); entonces el origen es exponencialmente estable. Finalmente, para demostrar que este resultado es global, note que el punto de equi-

66 librio de cada estructura es exponencialmente estable en forma global, lo que implica que las propiedades que se mencionaron anteriormente se mantienen para cualquier condición inicial.

Ahora se analiza el sistema perturbado (47). Considere la estructura S1 (el análisis para la estructura S2 es similar),

z˙1 = z2 ,

(55)

z˙2 = −az1 − bz2 + ξ (t) − c, y el cambio de varibles w1 = z1 + c/a y w2 = z2 . La dinámica del sistema (55) en el nuevo espacio de estado está dado por

w˙ 1 = w2 , w˙ 2 = −aw1 − bw2 + ξ (t) , o en forma simplificada w˙ = Aw + g, donde g =

∙

0 ξ (t)

¸T

.

Se propone la función de Lyapunov

V (w) = wT P w,

donde las matrices A y P se definen por (48) y (49) respectivamente. La derivada de

67 V está dada por V˙ (w) = −wT w + 2wT P g ¯ ¯ ≤ − kwk2 + 2 ¯wT P g ¯

≤ − kwk2 + 2λmax (P ) kwk ρ.

Debido a que a > 0 y b > 0, se puede aplicar el lema 13 (Khalil, 2002), y concluir que, ˜ la solución w (t) satisface para todo kw (t0 )k > µ kw (t)k ≤ k exp (−γ (t − t0 )) kw (t0 )k

∀t0 ≤ t < t0 + tf ,

y kw (t)k ≤ µ ˜

∀t ≥ t0 + tf ,

donde tf es un tiempo finito, y

k = γ =

s

λmax (P ) , λmin (P )

(1 − θ) , 2λmax (P ) s

µ ˜ = 2λmax (P )

λmax (P ) ρ , λmin (P ) θ

para algún θ, 0 < θ < 1. Esta parte muestra que la bola de radio µ ˜ , con centro ubicado en (−c/a, 0), es un atractor para la estructura S1 , denotado por BS1 . Similarmente, las trayectorias de la estructura S2

z˙1 = z2 , z˙2 = −az1 − bz2 + ξ (t) + c,

68 convergen a la bola Bs2 de radio µ ˜ centrada en (c/a, 0). De esta manera, cada estructura del sistema perturbado tiene un atractor (una bola) de radio µ ˜ , simétricamente localizadas sobre el eje z1 y a una distancia r = c/a del origen. Si esta distancia es mayor que µ ˜ , es decir, si

c > 2λmax (P )

s

λmax (P ) ³ aρ ´ , λmin (P ) θ

(56)

entonces los dos atractores BS1 y BS2 no se intersectan, y el comportamiento de la solución del sistema perturbado será cualitativamente igual al comportamiento del sistema nominal. De esta manera, el origen del sistema perturbado es un punto de equilibrio exponencialmente estable en el sentido de Lyapunov, en forma global.

III.2

Diseño del observador de estado

Considere un sistema lagrangiano de n grados de libertad definido por ..

..

˙ q˙ + G (q) + ϕ (q, q, ˙ q) θ + γ (t) = τ , M (q) q + C (q, q)

(57)

y = q,

donde q ∈
˙ q) θ contiene los términos producidos por variaciones en pares gravitacionales, ϕ (q, q, ..

˙ q) es una matriz con dimensión n × m y θ es un vector con los parámetros θ; ϕ (q, q, dimensión m × 1. γ (t) ∈
69 en variables de estado es ⎡

⎤

⎡

⎤

x2 ⎢ ⎥ ⎢ x˙ 1 ⎥ ⎦, ⎣ ⎦ = ⎣ x˙ 2 f (x1 , x2 ) + g (x1 ) + ξ (·) + M −1 (x1 ) τ y = x1 ,

(58) (59)

donde

f (x) = −M −1 (x1 ) C (x1 , x2 ) x2 , g (x1 ) = −M −1 (x1 ) G (x1 ) , ..

˙ q) θ + γ (t)) . ξ (·) = −M −1 (x1 ) (ϕ (q, q, Se asume que el vector de entarada τ y de perturbación γ (t) son acotados tal que el comportamiento del sistema (58-59) es acotado. Se propone el siguiente observador ⎡

.

⎤

⎡

⎤

xˆ2 ⎢ ⎥ ⎢ xˆ1 ⎥ ⎦ + H (y − yˆ) , ⎣ . ⎦ = ⎣ xˆ2 f (ˆ x) + g (x1 ) + M −1 (·) τ yˆ = xˆ1 ,

(60) (61)

donde el vector H (y − yˆ) tiene la forma siguiente ⎡

⎢ H (y − yˆ) = ⎣

C1 (y − yˆ) C2 (y − yˆ) + C3 sign (y − yˆ)

⎤

⎥ ⎦,

(62)

donde C1 , C2 y C3 son matrices diagonales definidas positivas. Para encontrar las condiciones sobre las matrices C1 , C2 y C3 tal que el sistema (60-61) sea un observador para el sistema (58-59) se definen las variables de error

70 e1 = x1 − xˆ1 , e2 = x2 − xˆ2 , la dinámica de estas variables está dada por el siguiente sistema

⎡

⎤

⎡

⎤

e2 − C1 e1 ⎢ e˙ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎣ ⎦. e˙ 2 f (x) − f (x − e) + ξ (·) − C2 e1 − C3 sign (e1 )

(63)

Debido a que la funcion f (·) es Lipschitz, se tiene que

kf (x) − f (x − e)k ≤ ρ1 kek donde ρ1 es una constante positiva. De esta manera se puede definir un nuevo término de perturbación Ψ (·) Ψ (·) = f (x) − f (x − e) + ξ (·) que está acotado de la siguiente forma

kΨ (·)k = kf (x) − f (ˆ x) + ξ (·)k ≤ ρ0 + ρ1 kek .

(64)

Proposición 16 Para el sistema (63) es posible encontrar un conjunto de matrices C1 , C2 y C3 tal que el origen del espacio del error sea un punto de equilibrio exponencialmente estable. Entonces el sistema definido por (60) y (61) es un observador para el sistema definido por (58) y (59).

Demostración. Se hace el cambio de variables

v1 = e1 , v2 = e2 − C1 e1 → e2 = v2 + C1 e1 .

71 La dinámica del sistema (63) en el nuevo espacio de coordenadas está dado por

(65)

v˙ 1 = v2 , v˙ 2 = −C2 v1 − C1 v2 + Ψ (·) − C3 sign (v1 ) .

Este sistema es un conjunto de subsistemas con la forma (47). Sea ρ1 < 1/ (2λmax (P )) , donde P es la solución de la ecuación de Lyapunov para cada subsistema. Aplicando el teorema 15 termina la prueba. Las condiciones para el diseño de cada elemento ci,j de las matrices Ci , i = 1, 2, 3, son las siguientes: Las costantes c1,i , c2,i y c3,i deben elegirse tal que

ρ1 < 1/ (2λmax (P )) ,

c3,i

2c2,i ρ0 > θ

s

λ3max (P ) , λmin (P )

(66)

(67)

donde la matriz P y la constante θ se han definido en (48) y (49), respectivamente.

III.3

Identificación de parámetros y perturbaciones

El sistema (65) tiene una superficie de discontinuidad en v1 = 0 ∈
v1 = f (x) − f (ˆ x) + ξ (·) − C2 v1 − C1 v2 − ueq .

72 Entonces, el control equivalente se presenta en v1 = v2 = 0, que es equivalente a e1 = e2 = 0 e implica x = xˆ; de esta manera el control equivalente está dado por

ueq = ξ (·) ..

˙ q) θ + γ (t)) = −M −1 (·) (ϕ (q, q, entonces ..

˙ q) θ + γ (t) . Σ (·) ≡ −M (·) ueq = ϕ (q, q, Como se ve de la expresión anterior, el control equivalente está formado por los términos de perturbación, y como es bien conocido, el control equivalente es el promedio del término C3 sign(z1 ) cuando las trayectorias llegan al origen. En este caso, la convergencia a la superficie de discontinuidad es en forma exponencial, de esta manera se pueden aproximar los términos de perturbación en forma asintótica,

lim C3 sign (z1 (t)) = ueq ,

t→∞

donde C3 sign (z1 (t)) indica el promedio. Si el término ξ (·) no depende de variaciones paramétricas,

ξ (·) = γ (t) ,

el término de perturbaciones externas γ (t) puede identificarse directamente a partir del control equivalente,

γˆ (t) = −M (·) ueq = −M (·) lim C3 sign (y (t) − yˆ (t)) t→∞

73 Otro caso es la identificación de parámetros, aquí se considera que el término Σ (·) no depende de perturbaciones externas, ..

Σ (·) = Ψ (q, q, ˙ q) θ.

Se puede estimar el vector θ a partir del control equivalente usando el método de mínimos cuadrados recursivos propuesto en (Dávila Montoya, 2005). A continuación se describe el desarrollo para identificar el vactor θ.

Se desea encontrar el vector θ que minimice 1 J= t

Zt

..

2

(veq − Ψ (q, q, ˙ q) θ) dt,

0

donde veq es un vector de mediciones.

Derivando con respecto a θ e igualando a cero se tiene ⎤−1 t ⎡ t Z Z T ⎦ ⎣ Ψ (·) Ψ (·) dt ΨT (·) veq dt, θ= 0

donde la matriz

0

Zt

..

..

ΨT (q, q, ˙ q) Ψ (q, q, ˙ q) dt

0

debe ser no singular.

Se define una nueva variable ⎡ t ⎤−1 Z .. .. ˙ q) Ψ (q, q, ˙ q) dt⎦ Γt = ⎣ ΨT (q, q, 0

74 y considerando la identidad

Γ−1 t Γt = I, ˙ −1 ˙ Γ−1 t Γt + Γt Γt = 0,

˙ −1 ˙ Γ−1 t Γt = −Γt Γt = −ΨT (·) Ψ (·) Γt , se tiene que Γ˙ t = −Γt ΨT (·) Ψ (·) Γt .

(68)

Por otro lado se tiene que

θ˙ = Γt Ψ (·) veq + Γ˙ t T

Zt

ΨT (·) veq dt

0

= Γt Ψ (·) veq + Γ˙ t Γ−1 t θ T

= Γt ΨT (·) veq − Γt ΨT (·) Ψ (·) Γt Γ−1 t θ = Γt ΨT (·) veq − Γt ΨT (·) Ψ (·) θ, θ˙ = Γt ΨT (·) (veq − Ψ (·) θ) .

(69)

Con las ecuaciones (68) y (69) se puede estimar el vector de desviación paramétrica θ y calcular el valor real de los parámetros. En la siguiente sección se muestra un ejemplo en donde se ilustra la aplicación de esta técnica de identificación.

75

III.4

Diseño de un observador para un péndulo simple

En esta sección se presenta un ejemplo que ilustra el diseño y el desempeño del observador y su aplicación para la identificación de perturbaciones externas y parámetros. Considere el modelo de un péndulo simple dado por

(70)

x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = −ax2 − b sin (x1 ) + cτ + γ (t) , y = x1

donde a = 2.9996−2 , b = 67.912, c = 55.549 y γ (t) es un término de perturbación acotado |γ (t)| ≤ ρ, donde ρ = 1. El observador de estado para el sistema (70) es el siguiente .

x b1 = x b2 + h1 , .

x b2 = −ab x2 − b sin (ˆ x1 ) + cτ + h2 , yˆ = xˆ1,

donde h1 y h2 están dados por

h1 = c1 e1 , h2 = c2 e1 + c3 sign (e1 ) .

(71)

76 La dinámica del error entre la planta y el observador es el siguiente

e˙ 1 = −c1 e1 + e2 , e˙ 2 = −c2 e1 − ae2 + γ (t) − c3 sign (e1 ) , haciendo el cambio de variables y1 = e1 , y2 = −c1 e1 + e2 resulta en y˙1 = y2 , y˙2 = − (c2 + ac1 ) y1 − (c1 + a) y2 + γ (t) − c3 sign (y1 ) . Los valores que se eligieron para las constantes son c1 = 2 , c2 = 10 y c3 = 10.

III.4.1

Resultados numéricos

Las siguientes figuras muestran resultados de simulaciones numéricas del observador (71) para ξ (·) = 0.5 sin (10t) y una señal senoidal como par de entrada. La figura 19 muestra el comportamiento de la planta (línea continua) y del observador (línea punteada) con c3 = 0, este es el observador clásico de Luenberger. Como se puede ver, los errores tanto en la posición y velocidad son grandes. Cuando c3 = 10 (ver figura 20), después de un transitorio, los errores son prácticamente cero. El pequeño error existente se debe a la naturaleza discontinua del observador, la figura 21 muestra estos errores. También se identificaron tres tipos de perturbaciones: una señal senoidal, una señal cuadrada y una señal diente de sierra (ver figuras 22, 23 y 24). Como se puede ver, se tiene una buena aproximación de las perturbaciones. Finalmente se identificó una variación en el parámetro a dada por ∆a = −10. La figura 25 muestra la identificación de esta variación paramétrica.

77 3 2

-x1, -- x1o

1 0 -1 -2 -3

0

1

2

3

4

5 Tiempo (seg.)

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (seg.)

6

7

8

9

10

6 4

-x2, -- x2o

2 0 -2 -4 -6

Figura 19: Resultados numéricos. Comportamiento de la planta y el obsrvador para c3 = 0. Observador clásico de Luenberger. 2

-x1, -- x1o

1

0

-1

-2

0

1

2

3

4

5 Tiempo (seg.)

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (seg.)

6

7

8

9

10

6 4

-x2, -- x2o

2 0 -2 -4 -6

Figura 20: Resultados numéricos. Comportamiento de la planta y el observador para c3 = 10.

78

x 10

-3

3 2

x1-xio

1 0 -1 -2 -3 -4 5

6

7 Tiempo (seg.)

8

9

10

5

6

7 Tiempo (seg.)

8

9

10

0.3 0.2 -x2s, --y2s

0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 4

Figura 21: Resultados numéricos. Comportamiento de los errores entre la planta y el observador para c3 = 10.

1.5 1

Pert.

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

1.5

Pert. identificada

1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

Figura 22: Perturbación senoidal y su estimación.

79

1.5 1

Pert.

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

1.5

Pert. identificada

1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

Figura 23: Perturbación en forma de señal cuadrada y su estimación.

1.5

Pert.

1

0.5

0

-0.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

Pert. identificada

1.5

1

0.5

0

-0.5

Figura 24: Perturbación en forma de señal diente de sierra y su estimación.

80 40

30

delta a

20

10

0

-10

-20

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

Figura 25: Estimación de ∆a .

III.4.2

Resultados experimentales

Ahora se considera que el sistema (70) es el modelo del mecanismo que se muestra en la figura 9. Los resultados experimentales se muestran en las siguientes figuras. Para c3 = 0 el error entre el ángulo medido y el observado es muy grande, como se puede ver en la figura 26. En ésta y en las siguientes figuras la línea vertical indica el tiempo en donde se puso en operación al mecanismo. La figura 27 muestra los resultados experimentales del observador propuesto para c3 = 10. Como se puede ver, después de un transitorio debido a las condiciones iniciales, el error es prácticamente cero; permanece en entre ±2 × 10−3 rad, ver la figura 28. Es importante señalar que la magnitud del error es similar a los resultados numéricos. También se identificaron perturbaciones. La figura 29 muestra el término de perturbación intrínseca al sistema, es decir, esta perturbación es producida por incertidumbres paramétricas así como por posibles dinámicas no modeladas como la fricción de

81 2

-x1, --x1o

1 0 -1 -2 -3

0

2

4

6

8

10 Tiempo (seg.)

12

14

16

18

20

6 4

--x2o

2 0 -2 -4 -6 2

4

6

8

10 12 Tiempo (seg.)

14

16

18

20

Figura 26: Resultados experimentales. Comportamiento de la planta y el observador para c3 = 0 (observador clásico).

1.5

-x1, --x1o

1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0

2

4

6

8

10 Tiempo (seg.)

12

14

16

18

20

0

2

4

6

8

10 Tiempo (seg.)

12

14

16

18

20

10

--x2o

5 0 -5

Figura 27: Resultados experimentales. Comportamiento de la planta y el observador para c3 = 10 (Observador propuesto).

82 x 10

-3

3

2

error

1

0

-1

-2

-3

6

8

10

12 14 Tiempo (seg.)

16

18

20

Figura 28: Resultados experimentales. Error angular entre la planta y el observador para c3 = 10 (observador propuesto).

Coulomb. Es importante considerar este término porque aparecerá sumado a las señales identificadas en los siguientes casos.

En el siguiente experimento se aplicó una señal senoidal como perturbación, la figura 30 muestra esta perturbación y la perturbación identificada. Como podemos ver, la perturbación identificada es la señal senoidal más la perturbación intrínseca.

En el último experimento se aplicó una señal cuadrada como perturbación, la figura 31 muestra los resultados de la identificación. Al igual que el caso anterior, se identifica la señal cuadrada más la perturbación intrinseca.

83

0.8

0.6

0.4

Pert. Int.

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

Figura 29: Perturbación intrínseca en el sistema mecánico.

1

Pert.

0.5

0

-0.5

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

Pert. identificada

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura 30: Identificación de una perturbación del tipo senoidal.

84 1

Pert.

0.5

0

-0.5

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

Pert. identificada

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura 31: Identificación de una perturbación con la forma de una señal cuadrada.

III.5

Estructura de control con identificación de perturbaciones para sistemas lagrangianos

Uno de los principales problemas de control es el diseño de controladores que sean robustos a perturbaciones externas y a variaciones paramétricas. Las técnicas de control discontinuo son una buena opción para la solución de estos problemas logrando sistemas en lazo cerrado con buenas propiedades de robustez (Utkin, 1999). Sin embargo, una característica que se ha cuestionado mucho en este tipo de controladores es que la entrada de control a la planta presenta componentes de alta fecuencia lo cual, en la práctica, puede causar problemas en los accionadores y vibraciones en el estado de la planta, llamado chattering. Este problema tiene mayores efectos en sistemas mecánicos, en donde las componentes de alta frecuencia aumentan la temperatura en los motores y producen desgaste en los actuadores disminuyendo su vida útil. En esta sección se propone una estructura de control que permite al sistema en

85 lazo cerrado tener las propiedades de robustez de un sistema de control discontinuo, pero aplicando una acción de control suave. Esta característica se logra incorporando el observador discontinuo presentado en las secciones anteriores. Como se verá en el capítulo 5, esta estructura de control será de mucha utilidad en la sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos.

III.5.1

Estructura de control

La figura 32 muestra el diagrama a bloques de la estructura de control que contiene la planta a controlar que es un sistema lagrangiano y un observador robusto dado por las ecuaciones (60-62) con un filtro para identificar las perturbaciones de la planta definido por x˙ f = Γxf + Γ (C3 sign (y − yˆ)) , donde xf ∈
de la trayectoria qr ∈
τ =M (q) (−xf − f (q, xˆ2 ) − g (q) − Kp (q − qr ) ..

−Kv (ˆ x2 − q˙r ) + qr ) , donde Kp y Kv son matrices diagonales, definidas positivas.

(72)

86

Figura 32: Diagrama a bloques de la estructura de control con identificación de perturbaciones.

III.5.2

Estabilidad de la ECIP

Para demostrar que el sistema en lazo cerrado satisface el objetivo de control se sustituye la entrada de control en los sistemas en la planta y en el observador, resultando en ⎡

⎤

⎡

⎤

x2 d ⎢ x1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ .. dt x f (x) − f (x1 , xˆ2 ) + ξ (·) + K + qr 2 ⎡

⎤

⎡

⎤

xˆ2 + C1 (y − yˆ) d ⎢ xˆ1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦=⎣ ⎣ dt xˆ (y − y ˆ ) + C sign (y − y ˆ ) K + C 2 2 3

(73)

(74)

..

donde K = −xf − Kp (x1 − qr ) − Kv (ˆ x2 − q˙r ) + q r .

Ahora se definen las variables de error entre el estado de la planta y la referencia y

87 sus derivadas e1 = q − qr y e2 = q˙ − q˙r . La dinámica de estas variables está dada por e˙ 1 = e2 ,

(75)

e˙ 2 = −Kp e1 − Kv e2 + f (x) − f (x1 , xˆ2 ) + ξ (·) − xf + Kv z2 , donde z2 es el error entre el vector de velocidades reales y las observadas. También se definen variables de error entre las variables de estado de la planta y las variables de estado del observador z1 = x1 − xˆ1 y z2 = x2 − xˆ2 . La dinámica de estas variables está dada por

z˙1 = z2 − C1 z1

(76)

z˙2 = f (x) − f (x1 , xˆ2 ) + ξ (·) − C2 z1 − C3 sign (z1 ) . A partir de los resultados presentados en las secciones anteriores se puede encontrar un conjunto de matrices C1 , C2 y C3 tal que las trayectorias del observador convergen exponencialmente a las trayectorias de la planta, por lo tanto

lim kf (x1 , z2 + xˆ2 ) − f (x1 , xˆ2 ) + ξ (·) − xf + Kv z2 k = 0

t→∞

con una razón de decrecimiento exponencial. De esta manera se puede encontrar un conjunto de matrices Kp y Kv tal que el origen del sistema (75) sea un punto de equilibrio asintóticamente estable.

88

III.5.3

Ilustración del desempeño

Para ilustrar los resultados obtenidos se aplicó la estructura de control al péndulo simple, el controlador está dado por

x2 + b sin(x1 ) − Kp e1 − Kv e2 + q¨r − xf ) , τ = c−1 (aˆ donde e1 = x1 − qr , e2 = xˆ2 − q˙r , Kp = 10 y Kv = 10. En la figura 33(a) se muestra la referencia a seguir qr = sin(t) y la posición del péndulo x1 . Las variables de error entre las variables de estado de la planta y las variables de estado del observador z1 = x1 − xˆ1 y z2 = x2 − xˆ2 se muestran en la figura 33(b) y (c), respectivamente.

En la figura 34(a) se muestra la perturbación acotada γ = 10 sin(t) y la salida del filtro xf , mientras que en (b) se muestra la señal de control que, como se puede apreciar, no contine términos de alta frecuencia de amplitud grande. En las figuras 35 y 36 se muestran los resultados experimentales, en la primera se muestra el desempeño del controlador sin conpensar las perturbaciones, mientras que en la segunda ya se han compensado dichas perturbaciones agregando la salida del filtro en el controlador. Como se puede ver, el seguimiento de la trayectoria es muy bueno.

III.6

Discusión de resultados

El observador que se ha propuesto en este capítulo tiene dos características principales: la robustez a términos de perturbación en el modelo de la planta y la sencillez de su realización.

89

Figura 33: a) Salida de la planta x1 y referencia qr , b) error entre la posición real y observada, c) error entre la velocidad real y observada.

Figura 34: a) Perturbación γ y salida del filtro xf , b) señal de control.

90

1

qr,x1

0.5

0

-0.5

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

1.5

Control

1 0.5 0 -0.5 -1

Figura 35: Desempeño del sistema en lazo cerrado sin compensar las perturbaciones.

0.6 0.4

qr,x1

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Tiempo (Seg.)

6

7

8

9

10

1.5 1

Control

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

Figura 36: Comportamiento del sistema en lazo cerrado después de compensar las perturbaciones.

91 En lo que se refiere al primer punto, para el caso de los sistemas lagrangianos, todos los términos producidos por variaciones paramétricas pueden incluirse en los términos de perturbación, aunque en este caso dependen también del estado y, por lo tanto, sólo se podrá garantizar estabilidad en forma local. Sin embargo, ya que este observador se realizará en una computadora, se pueden elegir ganancias lo suficientemente grandes para garantizar estabilidad en la región de operación deseada. Por otro lado, la realización del observador se puede resumir en los siguientes pasos. • Obtener un modelo nominal del sistema lagrangiano. • Diseñar el observador compensando los pares gravitacionales. • Compensar los términos correspondientes a la matriz de fuerzas centrífugas y de Coriolis si se desea una menor amplitud en la función signo. • Elegir valores de c1,i > 0 y un valor de c2,i = 1 para todo i. • En lazo abierto aplique una señal a la planta y al observador tal que el comportamiento sea acotado y ajuste el valor de cada c3,i hasta obtener un error cero entre las salidas de la planta y del observador. Si desea obtener una velocidad de convergencia mayor se puede aumentar el valor de c2,i , pero esto implica un aumento en la misma proporción de c3,i . La identificación de perturbaciones puede ser muy útil para su compensción y así obtener controladores robustos. Quizá la identificación paramétrica en línea no sea muy útil en la práctica porque pueden estar presentes perturbaciones externas que alteran los resultados; sin embargo, en un ambiente controlado libre de perturbaciones puede ser utilizada para disminuir la incertidumbre paramétrica y lograr un control con mejor desempeño.

92 Por último, la estructura de control con identificación de perturbaciones puede resolver el problema de robustez en regulación y seguimiento de trayectorias para sistemas lagrangianos. Como se verá en capítulos posteriores, este estructura de control es útil en la sincronización de redes de sistemas lagrangianos.

Capítulo IV Sincronización robusta de sistemas lagrangianos bajo el esquema maestro/esclavo En este capítulo se presenta una técnica para sincronizar sistemas lagrangianos con el mismo número de grados de libertad (GDL) bajo el esquema de interconexión maestro/esclavo. Se considera que los sistemas pueden tener perturbaciones externas acotadas e incertidumbres paramétricas que, para este tipo de sistemas, producen términos que satisfacen las condiciones de acoplamiento (Kelly y Santibañez, 2003). Otra consideración importante en los sistemas maestro (indicado por el subíndice m) y esclavo (indicado por el subíndice s) es que sólo se tiene acceso al vector de salida, que es el vector de posiciones generalizadas. El objetivo es diseñar las señales de acoplamiento o de control para lograr que el estado de los sistemas esclavos se sincronicen con el estado del sistema maestro en forma asintótica, a pesar de la existencia de perturbaciones acotadas no desvanescentes.

94 Es importante notar que la solución del problema de sincronización de muchos sistemas esclavos con un sistema maestro es una extensión directa del caso de la solución del problema de sincronización de un esclavo con un maestro. Por lo tanto, a lo largo del capítulo se aborda la solución de este último caso. La solución que se propone se basa en el diseño de una señal de acoplamiento que compensa algunos términos no deseados y agrega términos proporcional, derivativo y discontinuo con respecto a la diferencia entre las salidas de los sistemas, este último término proporciona buenas propiedades de robustez al sistema en lazo cerrado. El sistema en lazo cerrado es un sistema con estructura variable, por lo que el análisis de estabilidad se basa en los resultados presentados en la sección III.1 del capítulo anterior. La organización del capítulo es la siguiente. Primero se presenta la solución del problema para un caso especial de sistemas denominados sistemas planos de fase, que son sistemas de segundo orden que pueden ser representados por variables de estado de fase, a esta clase de sistemas pertenecen los sistemas lagrangianos de 1GDL y otros tipos de sistemas. Posteriormente se presenta la solución para sistemas lagrangianos de nGDL con articulaciones traslacionales, rotacionales y bajo una acción de control para seguimiento de trayectorias.

IV.1

Sincronización robusta de salida de una clase de sistemas de segundo orden

Una clase importante de segundo orden es aquella en donde sus elementos pueden ser representados por la ecuación diferencial

..

y + f (t, y, y) ˙ =u

(77)

95 donde y ∈ < es la salida del sistema, u ∈ < es la entrada y f : < × <2 → < es una función continua por tramos en t y Lipschitz en y y y. ˙ Muchos sistemas reales y didácticos pertencen a esta clase de sistemas, por ejemplo sistemas hamiltonianos y lagrangianos de 1GDL, osciladores, sistemas caóticos no autónomos y sistemas lineales. En esta sección se propone una técnica para sincronizar dos sistemas de este tipo que, en general, pueden ser diferentes. El objetivo es obtener sincronización asintótica entre los estados a pesar de la presencia de variaciones paramétricas y perturbaciones externas acotadas en ambos sistemas. Para alcanzar este objetivo de sincronización se propone una señal acoplante como una función de las salidas de los sistemas y sus derivadas, las cuales son obtenidas utilizando el observador propuesto en el capítulo anterior. La señal acoplante elimina términos no deseados y agrega un término proporcional y un derivativo del error de sincronización, así como un término discontinuo que le da robustez al sistema en lazo cerrado. Es importante señalar que para algunos sistemas, por ejemplo en sistemas lagrangianos de 1GDL con fricción viscosa, el diseño de la señal de acoplamiento no requiere la derivada de la salida, por lo tanto, no es necesario el uso de un observador.

IV.1.1

Definición del problema de sincronización

Considere un sistema maestro dado por ⎡

⎤

⎡

⎤

x2,m ⎢ x˙ 1,m ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦, x˙ 2,m fm (xm ) + ξ m (t, x1,m , x2,m ) + cm um ym = x1,m ,

(78)

(79)

96 donde xm = [x1,m , x2,m ]T es el vector de estado, fm : <2 → < es, en general, una función no lineal, ξ m (·) es una perturbación externa acotada; |ξ m (·)| ≤ ρm , donde ρm es una constante. um y ym son la entrada y salida del sistema. Se asume que la señal um es acotada y produce un comportamiento acotado en el sistema (78). Similarmente se define un sistema esclavo

⎡

⎤

⎡

⎤

x2,s ⎢ x˙ 1,s ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦, x˙ 2,s fs (xs ) + ξ s (t, x1,s , x2,s ) + cs (us + v) ys = x1,s ,

(80)

(81)

donde xs = [x1,s , x2,s ]T es el vector de estado, ξ s (·) es una perturbación externa acotada; |ξ s (·)| ≤ ρs , donde ρs es una constante, y v es una señal acoplante. Los otros términos se definen de la misma forma a los del sistema maestro (78). El objetivo de sincronización está dado por la funcional Γ (·)

Γ (xm (t) , xs (t)) = kxm (t) − xs (t)k . Entonces, el problema es diseñar una señal acoplante v, como una función dinámica de las salidas (79) y (81), tal que se logre una sincronización asintótica entre los sistemas maestro y esclavo (sistemas (78) y (80), respectivamente), a pesar de la existencia de los términos de perturbación ξ m (·) y ξ s (·) , es decir

lim Γ (xm (t) , xs (t)) = 0,

t→∞

(82)

en este sentido la sincronización será robusta. Para resolver este problema se definen las variables de error e1 = x1,m − x1,s y

97 e2 = x2,m − x2,s ; cuya dinámica está dada por ⎡

⎤

⎡

⎤

e2 ⎢ e˙ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦, e˙ 2 fm (xm ) − fs (xm − e) + ξ (·) − cs v

(83)

donde ξ (·) = ξ m (·)−ξ s (·)+cm um −cs us ; también se asume que este término es acotado, |ξ (·)| ≤ ρ. Ahora el problema se transforma al diseño de una señal acoplante v tal que el origen del sistema (83) sea un punto de equilibrio asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov.

IV.1.2

Diseño de la señal acoplante

Considere que se tiene acceso al vector de estado de ambos sistemas, entonces se propone una señal acoplante v dada por

v=

1 (kp e1 + kv e2 + Ψ (xm , e) + kc sign (e1 )) , cs

(84)

donde kp y kv son constantes positivas, Ψ (xm , e) es una función que elimina términos no deseados en (83) y sign(·) es la función signo. Como se ha visto anteriormente, el término discontinuo produce buenas propiedades de robustez en el sistema en lazo cerrado. Sustituyendo (84) y (83) y considerando que el término Ψ (xm , e) elimina todos los términos no lineales en (83), el sistema en lazo cerrado es ⎡

⎤

⎡

⎤

e2 ⎥ ⎢ e˙ 1 ⎥ ⎢ ⎦. ⎦=⎣ ⎣ e˙ 2 −kp e1 − kv e2 + ξ (·) − kc sign (e1 )

(85)

98 Defina una matriz A

⎡

⎢ A=⎣

y una matriz P

0

1

−kp −kv

⎡

⎤

⎥ ⎦,

⎤

⎢ p11 p12 ⎥ P =⎣ ⎦, p12 p22

(86)

(87)

que es la solución de la ecuación de Lyapunov AT P + P A = −I, donde I es la matriz identidad. Note que A es Hurwitz (kp y kv son positivas); entonces P > 0. La condición sobre kc tal que el problema de sincronización es resuelto se da en el siguiente teorema. Teorema 17 El sistema esclavo (80-81), con la señal acoplante (84), se sincronizará en forma asintótica con el sistema maestro (78-79), es decir (82) será satisfecha, si kp ρ kc > 2 θ

s

λ3max (P ) , λmin (P )

(88)

para alguna 0 < θ < 1. Demostración. El sistema (85) tiene la forma y las características del sistema (47), por lo tanto la demostración termina aplicando el teorema 15.

IV.1.3

Análisis de estabilidad considerando un observador de estado

Un observador para los sistemas (78-79) y (80-81) está dado por .

xˆ1,k = xˆ2,k + c1,k (yk − yˆk ) , .

xˆ2,k = c−1 ˆk ) + c3,k sign (yk − yˆk ) , k uk + c2,k (yk − y yˆk = xˆ1,k ,

99 para k ∈ {m, s} . En el capítulo anterior se ha demostrado que se puede encontrar un conjunto de parámetros c1 , c2 y c3 tal que el estado del observador converge exponencialmente al estado de la planta. Entonces, en un tiempo finito T el error entre el estado observado llegará a una vecindad arbitrariamente cercana a cero.

A partir de este tiempo el estado del observador puede representarse como

xˆ1,k = x1,k + φ1,k (t) , xˆ2,k = x2,k + φ2,k (t) ,

donde φ1,k (t) y φ2,k (t) son funciones que representan la diferencia entre el estado real y el observado y pueden verse como pequeñas perturbaciones en el estado.

Como sólo se tiene acceso a la salida de ambos sistemas, el estado que se va a utilizar en la realización de la señal acoplante es xˆ2,k . Si al sustitur xˆ2,k en la señal acoplante (84), para k ∈ {m, s} , los términos producidos por φ2,k (t) en el sistema (83) pueden representarse como perturbaciones que cumplen la condición de acoplamiento, el término ξ (·) puede incluir estos términos. Una elección adecuada de las constantes kp , kv y kc en la señal acoplante (84) garantizarán el cumplimiento del objetivo de sincronización.

En la siguiente subsección se presenta un ejemplo que ilustra numérica y experimentalmente el desempeño de esta técnica de sincronización.

100

IV.1.4

Sincronización de dos péndulos simples

Considere dos péndulos simples; el sistema maestro es el péndulo mecánico que se muestra en la figura 9, descrito por el modelo ⎡

⎡

⎤

⎤

x2,m ⎢ x˙ 1,m ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦. x˙ 2,m −k1 sin (x1,m ) − k2 x2.m − ξ m (·) + k3 τ m El sistema esclavo es un circuito electrónico que emula la dinámica del péndulo mecánico, el diagrama del circuito se muestra en la figura 12 y su modelo está dado por ⎡

⎤

⎡

⎤

x2,s ⎢ x˙ 1,s ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦. ⎦=⎣ x˙ 2,s −k1 sin (x1,s ) − k2 x2,s − ξ s (·) + k3 (τ s + v) Los valores nominales de los parámetros son k1 = 67.912, k2 = 3.05007 y k3 = 55.549. La dinámica del error de sincronización está dada por el sistema ⎡

⎤

⎡

⎤

e2 ⎢ e˙ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦, e˙ 2 −k2 e2 + k1 sin (x1 − e) − k1 sin (x1 ) + ξ (·) − k3 v donde ξ (·) = ξ s (·) − ξ m (·) y τ m = τ s = A sin (wt) . La señal acoplante toma la forma

v=

1 (k1 (sin (x1,m − e) − sin (x1,m )) + kp e1 + kc sign (e1 )) . k3

Se eligen kp = 1 y kc = 0.5. La figura 37 muestra el comportamiento de las salidas de los sistemas maestro y esclavo y el error de sincronización cuando no se ha aplicado la señal acoplante. Como se puede ver, el error de sincronización es muy grande. La figura 38 muestra las salidas

101 1 0.5

ym__, ys--

0 -0.5 -1

-1.5 -2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

25

30

35

40

Tiempo (seg.) 1.6 1.4

error

1.2 1 0.8 0.6

0

5

10

15

20 Tiempo (seg.)

Figura 37: Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos simples. Salidas de los sistemas y error de sincronización cuando no se ha aplicado la señal acoplante. de los sistemas, el error de sincronización y la señal acoplante, que muestra que se logra el objetivo de sincronización. En un segundo experimento, el par aplicado al sistema esclavo τ s fue cero y el par en el maestro fue aplicado manualmente en forma arbitraria. Al igual que en el caso anterior también se logró la sincronización; el circuito permanece sincronizado con el mecanismo. Los resultados se presentan en las figuras 39 y 40.

IV.2

Sincronización robusta de dos sistemas lagrangianos de nGDL

Los sistemas lagrangianos de nGDL son de gran importancia en los procesos industriales, una de sus principales aplicaciones es un robot manipulador en tareas de ensamble,

102

ym__, ys--

1 0 -1 -2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.04

error

0.02 0 -0.02 2 1 v

0 -1 -2

Tiempo (seg.)

Figura 38: Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Salida de los sistemas, error de sincronización y señal acoplante. 3

2

ym__, ys--

1

0

-1

-2

-3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Tiempo (seg.)

Figura 39: Resultads experimentales de la sincronización de dos péndulos. Salida de los sistemas cuando el par aplicado al esclavo es cero y el par en el maestro es aplicado manualmente.

103 0.06 0.04

error

0.02 0 -0.02 -0.04

0

5

10

15

20

25

30

35

40

25

30

35

40

Tiempo (seg.) 3 2

v

1 0 -1 -2 -3

0

5

10

15

20

Figura 40: Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Error de sincronización y señal acoplante cuando el par aplicado al esclavo es cero y el par en el maestro es aplicado manualmente.

transporte, pintura, etc. Como se ha mencionado en la introducción, algunos procesos industriales necesitan de varios robots manipuladores para realizar alguna tarea. A este conjunto de robots se les denomina sistema multicompuesto y, por lo general, trabajan bajo algún esquema de sincronización para obtener un buen desempeño. En esta sección se propone una técnica para la sincronización de dos sistemas lagrangianos de nGDL bajo el esquema maestro esclavo. La señal acoplante depende, en general, del estado completo de los sistemas maestro y esclavo; por lo tanto, se utiliza un observador de estado para estimar los vectores de velocidad. Este observador puede ser el presentado en el capítulo III o algún otro con las mismas o mejores características de convergencia y robustez. Por su diseño, la técnica de sincronización que aquí se propone muestra mejores característricas de robustez que las presentadas en (Rodríguez Angeles, 2002) y (Dong

104 y Mills, 2002). En (Rodríguez Angeles, 2002) la señal acoplante depende de los vectores de posición, velocidad y aceleración, considera modelos idénticos y no realiza un análisis de robustez. En (Dong y Mills, 2002) se propone una ley adaptiva para hacer frente a variaciones paramétricas; sin embargo, no considera perturbaciones externas. En ambos trabajos la idea principal es realizar una linealización por retroalimentación. La técnica de sincronización que aquí se propone también se basa en una linealización por retroalimentación, pero presenta dos ventajas: Primero, no se necesita la medición de la aceleración, sólo se necesita conocer su valor máximo. Segundo, el sistema en lazo cerrado muestra al mismo tiempo buenas características de robustez a incertidumbres paramétricas y a perturbaciones externas acotadas. Para ilustrar el desempeño de la técnica de sincronización se presenta un ejemplo numérico en donde se sincronizan dos mecanismos de dos grados de libertad.

IV.2.1

Definición del objetivo de sincronización

El sistema maestro está definido por la ecuación ⎡

⎤

⎡

⎤

q˙m d ⎢ qm ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦ = ⎣ ⎣ −1 dt q˙ M (qm ) [−C (qm , q˙m ) q˙m − G (qm ) − ξ m (·) + τ ] m ym = qm ,

(89) (90)

donde qm ∈
105 El sistema esclavo se define en forma similar ⎡

⎤

⎡

⎤

q˙s d ⎢ qs ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦ = ⎣ ⎣ −1 dt q˙ M (q ) [−C (q , q ˙ ) q ˙ − G (q ) − ξ (·) + τ + v] s s s s s s s ys = qs ,

(91) (92)

donde qs ∈
Condición 18 Se considera que ambos sistemas tienen pares τ y perturbaciones ξ m (·) y ξ s (·) tal que su dinámica es acotada.

El objetivo es lograr sincronización idéntica asintótica entre sus salidas; es decir

lim kym (t) − ys (t)k = 0.

t→∞

Defina un conjunto de variables de error

e = qm − qs e˙ = q˙m − q˙s cuya dinámica está dada por el siguiente sistema ⎡

⎤

⎡

⎤

d ⎢ e ⎥ ⎢ e˙ ⎥ ⎦, ⎣ ⎦=⎣ dt e˙ fe (·)

(93)

106 donde fe (·) = M (qm )−1 [−C (qm , q˙m ) q˙m − G (qm ) − ξ m (·) + τ ] −M (qs )−1 [−C (qs , q˙s ) q˙s − G (qs ) − ξ s (·) + τ + v] , que por simplicidad se reescribe en la siguente forma ⎡

⎤

⎡

⎤

e˙ d ⎢ e ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎣ ⎦=⎣ dt e˙ Φ (·) + ξ (·) − M (qs )−1 v

(94)

donde Φ (·) = M (qm )−1 [−C (qm , q˙m ) q˙m − G (qm )] −M (qs )−1 [−C (qs , q˙s ) q˙s − G (qs )] , ξ (·) = M (qm )−1 (τ − ξ m (·)) + M (qs )−1 (ξ s (·) − τ ) . Entonces, el problema de sincronización será resuelto al diseñar una señal acoplante v tal que el sistema (94) tenga al origen como único punto de equilibrio asintóticamente estable.

IV.2.2

Diseño de la señal acoplante

En la primera etapa del diseño de la señal de acoplamiento se asume que se tiene acceso al estado completo de ambos sistemas. La señal acoplante que se propone es la siguiente

v = M (qs ) [Φ (·) + Kp e + Kv e˙ + Kc sign (e)]

(95)

107 donde Kp , Kv y Kc son matrices diagonales definidas positivas. Sustituyendo (95) en (94) se obtiene ⎡

⎡

⎤

⎤

e˙ d ⎢ e ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦. dt e˙ Kp e˙ + Kv e˙ + ξ (·) + Kc sign (e)

(96)

El sistema (96) puede verse como un conjunto de n sistemas lagrangianos de 1GDL con un término de perturbación acotado, dados por ⎡

⎤

⎡

⎤

e˙ i d ⎢ ei ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦. ⎣ dt e˙ ki,p ei + ki,v e˙ i + ξ i (·) + ki,c sign (ei ) i Por lo tanto, cada ki,p , ki,v y ki,c puede ser diseñada en forma independiente siguiendo la metodología usada en el capítulo anterior.

IV.2.3

Análisis de estabilidad considerando observadores de estado

Debido a que sólo se tiene acceso a los vectores de posiciones generalizadas, qs y qm , es necesario estimar los vectores de velocidad q˙s y q˙m para poder compensar el término ˙ Φ (·) y agregar el término Kv e. Considere observadores de orden completo de la forma (60-61) para los sistemas maestro y esclavo dados por (89) y (91). Este observador garantiza convergencia exponencial al estado de la planta, a pesar de la existencia de perturbaciones no desvanescentes acotadas. Por lo tanto, en un tiempo finito T el error entre el estado de la planta será menor o igual que una constante ² > 0 arbitrariamente pequeña. El error entre el estado de la planta y del observador puede escribirse de la forma

108 siguiente

q˜m = qm − qˆm ⇒ qm = q˜m + qˆm , .

.

(97)

.

.

q˜m = q˙m − qˆm ⇒ q˙m = q˜m + qˆm , para el maestro, y para el esclavo los errores están dados por

q˜s = qs − qˆs ⇒ qs = q˜s + qˆs , .

.

.

.

q˜s = q˙s − qˆs ⇒ q˙s = q˜s + qˆs , entonces .

.

eˆ = e˙ − e˜. Por lo que la señal acoplante está dada por h ³ i . . ´ . v = M (qs ) Φ qm , qˆm , qs , qˆs + Kp e + Kv eˆ + Kc sign (e) , reescribiendo la expresión anterior en términos de las variables de la planta y los errores entre la planta y el observador se tiene h ³ i . . . ´ v = M (qs ) Φ qm , q˙m − q˜m , qs , q˙s − q˜s + Kp e + Kv eˆ + Kc sign (e) . .

.

.

Los términos producidos por e˜, q˜s y q˜m , gracias a las propiedades de los sistemas lagrangianos, cumplen con las condiciones de acoplamiento, por lo tanto, pueden agregarse al término ξ (·) y ajustar el valor de los elementos de la matriz Kc . Por lo tanto, con una elección adecuada de la matriz Kc , los sistemas maestro y esclavo se sincronizarán en forma exponencial, a pesar de la existencia de pequeños errores en las velocidades

109 . qom

. qos

Observador para el maestro

Observador para el esclavo

Maestro

Esclavo

Controlador

qm

qs

q1,m

q1,s q2,m

q2,s

v

+ Tm

Ts

Figura 41: Esquema de la sincronización de dos manipuladores de dos grados de libertad. estimadas. Si el término de perturbación ξ (·) depende del estado, la estabilidad será local.

IV.2.4

Sincronización de dos manipuladores de 2GDL

Con la finalidad de ilustrar la metodología de diseño de la señal acoplante (95) y el desempeño de la misma, en esta sección se presentan los resultados numéricos de la sincronización de dos mecanismos de dos grados de libertad. Se considera que sólo se tiene acceso a los vectores de posiciones de ambos sistemas, por lo tanto, se utilizan observadores de la forma (60-61) para poder realizar la señal acoplante. En este caso, sólo se consideran perturbaciones en el sistema esclavo. Un esquema de la realización de la señal acoplante se muestra en la figura 41. El modelo del maestro está dado por ..

M (qm ) q m + C (qm , q˙m ) q˙m + Dq˙m + g (qm ) = τ , ym = qm ,

110 donde qm ∈ <2 es el vector de posiciones angulares ⎤

⎡

⎢ M11 M12 ⎥ M (qm ) = ⎣ ⎦, M21 M22 M11 = 0.0414 + 0.019 cos (q2,m ) , M12 = 0.0106 + 0.0095 cos (q2,m ) , M21 = M12 , M22 = 0.0106, ⎤

⎡

⎢ C11 C12 ⎥ C (q, q) ˙ =⎣ ⎦, C21 C22

C11 = −0.0095q˙2 sin (q2,m ) , C12 = −0.0095q˙2 sin (q2,m ) − 0.0095q˙1,m sin (q2,m ) , C21 = 0.0095q˙1 sin (q2,m ) , C22 = 0, ⎡

⎡

⎤

⎢ 1 0 ⎥ D=⎣ ⎦, 0 1

⎤

⎢ 2.04722 cos (q1,m ) + 0.6174 cos (q1,m + q2,m ) ⎥ g (q) = ⎣ ⎦. 0.6174 cos (q1,m + q2,m )

Por otra parte, se propuso un sistema esclavo definido de la misma forma

..

M (qs ) qs + C (qs , q˙s ) q˙s + Dq˙s + g (qs ) − ξ (t) = τ + v ys = qs

donde qs ∈ <2 es el vector de estado, todas las matrices se definen de la misma forma

111 que en el sistema maestro, ξ (t) es un vector de perturbación que satisface kξ (t)k ≤ 0.15 y v es una señal acoplante con la siguiente forma h i . v = M (qs ) Φ (·) + Kp e + Kv eˆ + Kc sgn (e) , h ³ i . ´ . Φ (·) = M (qm )−1 −C qm , qˆm qˆm − g (qm ) h ³ . ´. i −M (qs )−1 −C qs , qˆs qˆs − g (qs ) , donde e˙ o = q˙mo − q˙so y los vectores q˙mo y q˙so son los vectores de velocidad de los observadores para los sistemas maestro y esclavo definidos por ⎡

⎤

⎡

⎤

.

qˆm + C1,m (ym − yˆm ) d ⎢ qˆm ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎣ . ⎦ = ⎣ dt qˆ −1 (q ) (τ − g (q )) + C (y − y ˆ ) + C sign (y − y ˆ ) M m m 2,m m m 3,m m m m yˆm = qˆm ,

donde C1,m = C2,m =diag{1, 1} y C3,m =diag{200, 400} . Para el sistema esclavo el observador es el siguiente ⎡

⎤

⎡

.

⎤

qˆs + C1,s (ys − yˆs ) d ⎢ qˆs ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ . ⎦ = ⎣ ⎦, dt qˆ −1 M (qs ) (τ − g (qs )) + C2,s (ys − yˆs ) + C3,s sgn (ys − yˆs ) s yˆs = qˆs ,

donde C1,s = C2,s =diag{1, 1} y C3,s =diag{500, 900} . Finalmente las matrices que definen la señal acoplante son las siguentes Kp =diag{10, 10}, Kv =diag{10, 10} y Kc =diag{15, 30} . En la figura 42 se muestra el comportamiento de los estados del maestro y el esclavo (posiciones de las plantas y velocidades observadas) antes y después de aplicar la señal

112 acoplante. Como se puede ver, existe una diferencia entre los estados antes de aplicar la señal acoplante, los cuales son eliminados rápidamente después de aplicar dicha señal.

En la figura 43 se muestra el comportamiento de los errores de sincronización, aquí se aprecia claramente el efecto del controlador. Por último, en la figura 44, se muestran las

0.4

0.6

0.3

0.4

0.2

0.2 q2m,q2s

q1m,q1s

señales acoplantes, donde se puede notar que las amplitudes estan en rangos admisibles.

0.1 0

0 -0.2

-0.1

-0.4

-0.2

-0.6 0

5

10 Tiempo (seg.)

15

20

-0.8

15

30

10

20

5

10

v2mo,v2so

v1mo,v1so

-0.3

0 -5 -10 -15

0

5

10 Tiempo (seg.)

15

20

0

5

10 Tiempo (seg.)

15

20

0 -10 -20

0

5

10 Tiempo (seg.)

15

20

-30

Figura 42: Posiciones angulares de los mecanismos y velocidades estimadas antes y después de aplicar la señal acoplante.

113

0.2

0.1 0

0.15

-0.1 e2

e1

0.1

-0.2 -0.3

0.05

-0.4 0 -0.05

-0.5 0

5

10 Tiempo (seg.)

15

20

-0.6

30

0

5

10 Tiempo (seg.)

15

20

0

5

10 Tiempo (seg.)

15

20

30 20

20

10 ev2

ev1

10 0

0 -10 -10 -20

-20

0

5

10 Tiempo (seg.)

15

20

-30

Figura 43: Errores de sincronización antes y después de aplicar la señal acoplante.

2

u1

1

0

-1

-2

0

2

4

6

8

10 Tiempo (Seg.)

12

14

16

18

20

0

2

4

6

8

10 Tiempo (Seg.)

12

14

16

18

20

1.5 1

u2

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

Figura 44: Señales acoplantes.

114

IV.3

Sincronización de mecanismos de nGDL con articulaciones traslacionales

Una clase especial de mecanismos son aquéllos que únicamente poseen articulaciones del tipo traslacional. La solución de este problema es un caso especial de la solución del caso general presentado en la sección anterior. Aquí el problema es menos complicado porque el modelo de esta clase de sistemas puede verse desde un principio como un conjunto de sistemas planos de fase, y si existe fricción viscosa en cada una de sus componentes, el problema puede ser resuelto sin la medición del vector de velocidades.

IV.3.1

Modelo matemático y sus propiedades

El modelo de un mecanismo con únicamente articulaciones traslacionales es el siguiente ..

M q + Dq˙ + G (q) = τ ,

donde q ∈
⎤

⎡

⎤

q˙ d ⎢ q ⎥ ⎢ ⎥ ⎦. ⎣ ⎦=⎣ dt q˙ M −1 (−Dq˙ − G (q) + τ )

115 Por lo tanto, esta clase de sistemas pueden verse como un conjunto de sistemas lagrangianos de 1GDL.

IV.3.2

Planteamiento del problema

Sea el sistema maestro ⎡

⎤

⎡

⎤

q˙m d ⎢ qm ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ dt q˙ −1 M (−D q ˙ − G (q ) + τ + ξ (·)) m m m m

(98)

se considera que el térmio de perturbación es acotado

kξ (·)k ≤ ρ, donde ρ es una constante y a su vez cada uno de sus componentes es acotado

|ξ i (·)| ≤ ρi ∀i = 1, ..., n. De la misma manera se define el sistema esclavo ⎡

⎤

⎡

⎤

q˙s d ⎢ qs ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦=⎣ ⎣ dt q −1 M (−D q ˙ − G (q ) + τ + ξ (·)) + v s s s s

(99)

donde v es un vector de señales acoplantes. El objetivo es el siguiente

lim |qi,m (t) − qi,s (t)| = 0,

t→∞

para todo i = 1, ..., n. Se definen las variables de error ei = qi,m − qi,s y e˙ i = q˙i,m − q˙i,s . La dinámica de

116 estas variables de error está dada por el siguiente sistema ⎡

⎤

⎤

⎡

e˙ d ⎢ e ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎣ ⎦=⎣ dt e˙ −1 M (−De˙ − g (q) + G (q − e) + ξ (·) − v)

(100)

donde ξ (·) = ξ m (·) − ξ s (·) , se considera que este término es acotado así como cada uno de sus componentes |ξ i (·)| ≤ δ i ∀i = 1, ..., n, donde toda δ i es una constante. Ahora el problema se resume a encontrar una señal acoplante v tal que el origen del sistema (100) sea un punto de equilibrio asintóticamente estable.

IV.3.3

Diseño de la señal acoplante

Se propone una señal acoplante con la siguiente forma

v = M (Kp e + Kc sign (e)) + G (q − e) − G (q) ,

(101)

donde Kp y Kc son matrices diagonales definidas positivas definidas. Defina n matrices Ai de la forma

⎡

⎢ 0 Ai = ⎣ kpi

⎤

1 ⎥ ⎦,

di mi

y n matrices Pi simétricas definidas positivas que son las soluciones de la ecuación de Lyapunov para cada Ai . Las constantes mi son los elementos de la diagonal de la matriz M.

Lema 19 Para los sistemas maestro (89) y esclavo (99), así como la señal acoplante

117 (101), con kpi > 0, si

kci > 2λmax (Pi )

s

λmax (Pi ) λmin (Pi )

µ

kpi δi θ

¶

(102)

,

entonces el sistema esclavo se sincronizará con el sistema maestro con una velocidad de convergencia exponencial, en forma global.

Demostración. Cada una de las articulaciones que forman este sistema es un sistema de un grado de libertad definido por la ecuación ⎡

⎤

⎡

⎤

e˙ i d ⎢ ei ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦, dt e˙ m−1 (−d e ˙ − g (q ) + g (q − e ) + ξ (·) − v ) i i i i i i i i i i i donde vi tiene la forma

vi = mi (ki,p ei + ki,c sign (ei )) + gi (qi − ei ) − gi (qi )

(103)

el sistema en lazo cerrado resulta ser ⎡

⎤

⎡

d ⎢ ei ⎥ ⎢ ⎦=⎣ ⎣ dt e˙ −ki,p ei − i

e˙ i di e˙ mi i

+

1 ξ mi i

(·) − ki,c sign (ei )

La demostración termina aplicando el teorema 15. En la siguiente sección se presenta un ejemplo de aplicación.

⎤ ⎥ ⎦

118

IV.3.4

Sincronización de dos manipuladores cartesianos

El modelo del manipulador cartesiano que se muestra en la figura 45 es el siguiente ..

[m1 + m2 + m3 ] q 1 + d1 q˙1 + [m1 + m2 + m3 ] g + ξ 1 (·) = τ 1 ,

(104)

..

[m1 + m2 ] q2 + d2 q˙2 + ξ 2 (·) = τ 2 , ..

m1 q3 + d3 q˙3 + ξ 3 (·) = τ 3 ,

donde m1 , m2 y m3 son las masas de los eslabones 1, 2 y 3, respectivamente, q1 , q2 y q3 son las posiciones, g es la aceleración gravitacional y las funciones ξ i (·) son perturbaciones. Considere a (104) como un sistema maestro y un sistema esclavo definido por ..

[m1 + m2 + m3 ] q1,s + d1 q˙1,s + [m1 + m2 + m3 ] g + ξ 1 (·) = τ 1 + v1 , ..

[m1 + m2 ] q 2,s + d2 q˙2,s + ξ 2 (·) = τ 2 + v2 , ..

m1 q 3,s + d3 q˙3,s + ξ 3 (·) = τ 3 + v3 .

z q2

q1

q3

y

x

Figura 45: Esquema de un manipulador cartesiano.

(105)

119 0.6

e1,e2,e3

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

0

10

20

30

40

50

60

70

0

10

20

30 40 Tiempo (seg.)

50

60

70

3

de1,de2,de3

2 1 0 -1 -2

Figura 46: Errores de sincronización antes y después de aplicar la señal de acoplamiento.

Las ecuaciones de la dinámica del error de sincronización están dadas por ⎡

⎤

⎡

⎤

e˙ d ⎢ e ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎣ ⎦=⎣ dt e˙ −1 M (−De − g (q) + g (q − e) + ξ (·) − v) donde m1 = m2 = m3 = 1 [kg] , d1 = d2 = d3 = 0.2 [kg/seg] y τ i (t) = 5 sin (5t) .

La señal acoplante toma la forma

v = M (Kp e + Kc sign (e)) + g (q − e) − g (q) . Se aplicaron perturbaciones en todas las articulaciones de ambos sistemas. El comportamiento de los errores de sincronización antes y después de aplicar las señales de acoplamiento se muestra en la figura 46, en donde se puede ver que después de aplicar dichas señales los errores de sincronización son prácticamente cero.

120

IV.4

Aplicación a mecanismos de nGDL con articulaciones rotacionales bajo una acción de control

El resultado anterior también puede aplicarse a mecanismos con modelos que pueden ser aproximados a modelos lineales y sistemas que cuentan con controladores para el seguimiento de trayectorias, los cuales tienen un sistema en lazo cerrado lineal. En esta sección se ilustra este último caso con la sincronización de dos mecanismos de nGDL con articulaciones rotacionales bajo una acción de control para seguimiento de trayectorias del tipo par calculado, presentado en (Kelly y Santibañez, 2003). El modelo general de un mecanismo de nGDL con articulaciones traslacionales tiene la siguiente forma ..

˙ q˙ + Dq˙ + G (q) = τ , M (q) q + C (q, q) donde q ∈
.

q˜m + Kv q˜m + Kp q˜m = 0.

También considere un sistema esclavo en el mismo sistema coordenado del error de

121 seguimiento de trayectorias, dado por la siguiente ecuación ..

.

q˜s + Kv q˜s + Kp q˜s = v.

Por lo tanto, el problema de sincronización de estos mecanismos es equivalente al problema de sincronización de mecanismos con articulaciones traslacionales.

IV.5

Discusión de resultados

En este capítulo se ha presentado una técnica de sincronización para sistemas lagrangianos de nGDL bajo el esquema maestro/esclavo que presenta buenas características de robustez a perturbaciones externas acotadas. La señal acoplante es discontinua, por lo tanto, se utilizan herramientas de análisis para sistemas de estructura variable para la demostración de estabilidad del sistema en lazo cerrado. Sus principales ventajas son las siguientes: • Sólo se necesita la medición de la salida de los sistemas. • Aunque la señal acoplante puede depender del estado completo de ambos sistemas, se propone un observador robusto para esta clase de sistemas que resuelve el problema. • El efecto que produce la señal acoplante (84) es un modo deslizante de segundo orden, lo que disminuye en gran medida el problema de "chattering" (Fridman y Levant, 2002). • El proceso de diseño es sencillo, incluso cuando se necesita de un observador.

Capítulo V Sincronización robusta de arreglos de sistemas lagrangianos En el capítulo anterior se presentó una técnica para obtener sincronización de salida entre dos sistemas lagrangianos interconectados bajo el esquema maestro/esclavo. Esta técnica presenta buenas propiedades de robustez a cierto tipo de perturbaciones externas y a incertidumbres paramétricas, estas propiedades son deseables en la sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos en donde pueden estar presentes interconexiones unidireccionales y bidireccionales. La sincronización de arreglos de sistemas tiene muchas aplicaciones en la creación de sistemas cooperativos; algunos ejemplos son: procesos de manufactura (Rodriguez Angeles y Nijmeijer, 2004) y control de arreglos robots móbiles (Koichi et. al., 1993). En este capítulo se presenta la extensión de la técnica de sincronización presentada en el capítulo anterior, que fue desarrollada para una configuración maestro/esclavo, a la sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos, logrando así un sistema en lazo cerrado con buenas propiedades de robustez a perturbaciones externas e incertidumbres paramétricas.

123 El objetivo de sincronización es el siguiente: los errores entre los vectores de posición entre todos los sistemas deben aproximarse a cero en forma asintótica, a pesar de la existencia de incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas acotadas. Además se debe asegurar que las salidas de todos los sistemas converjan a una trayectoria deseada. Las condiciones sobre los sistemas son las siguientes: los sistemas lagrangianos deben ser del mismo orden, el vector de pares de entrada y de perturbaciones en cada sistema debe ser acotado tal que el comportamiento del sistema sea acotado. Además se considera que sólo se tiene acceso a los vectores de salida que son los vectores de posiciones generalizadas. Para una fácil comprensión de la técnica de sincronización primero se presenta la solución del problema de sincronización de arreglos de sistemas de 1GDL y se ilustra su aplicación a distintas configuraciones a través de un ejemplo en donde se sincronizan tres péndulos en estado caótico. Posteriormente se presenta la solución del caso general de sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de nGDL.

V.1

Planteamiento del problema

Considere k sistemas lagrangianos definidos por

Σi yi

⎡

⎤

⎡

⎤

q˙i d ⎢ qi ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ,(106) ⎦=⎣ ⎣ dt q˙ −1 M (qi ) (−C (qi , q˙i ) q˙i − G (qi ) + ξ i (·) + τ + vi (·)) i = qi , :

para i = 1, ..., k, donde qi ∈
124 entrada que le permite a cada sistema tener un movimiento autónomo que, sin pérdida de generalidad, se considera el mismo para todos los sistemas. ξ i (·) es un vector de perturbaciones acotado, kξ i (·)k ≤ ρ. Finalmente, vi (·) es un vector de señales de acoplamiento que permite la sincronización del i−ésimo sistema con el resto de los sistemas; estas señales pueden depender de los estados de todos los sistemas y de un vector de señales de referencia. El objetivo de sincronización está dado por

lim kqi (t) − qj (t)k = 0 ∀ i, j = 1, ..., k,

t→∞

(107)

y al mismo tiempo se debe garantizar que las salidas de cada sistema converjan a un vector de trayectorias deseadas qr (t) ; es decir

lim kqr (t) − qi (t)k = 0 ∀i = 1, ...k,

t→∞

(108)

para un conjunto de condiciones iniciales. El problema es diseñar todas las señales vi (·) que garanticen el cumplimiento de los objetivos dados por (107) y (108).

V.2

Definiciones preliminares y notación

Se considera que el vector de referencia es la salida de un sistema definido por

Σr :

⎡

⎤

⎡

⎤

q˙r d ⎢ qr ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦ = ⎣ ⎣ dt q˙ f (t, q , q ˙ ) r r r y = qr ,

(109)

125 donde qr ∈
V.3

Sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de 1GDL

Considere k sistemas lagrangianos de 1GDL definidos de la siguiente forma

Σi :

⎡

⎤

⎡

⎤

q˙i , d ⎢ qi ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦ = ⎣ ⎣ dt q˙ −1 (−g (q ) − d q ˙ + ξ (·) + τ + v (·)) M i i i i i yi = qi ,

(110)

126

Figura 47: Ejemplo de una gráfica de conexiones para cuatro sistemas y un sistema de referencia.

donde qi ∈ <, i = 1, ..., k, es la posición generalizada, el término dq˙i es una fuerza de fricción viscosa, ξ i (·) es un término de perturbación que satisface |ξ i (·)| ≤ ρ y vi (·) es una señal de acoplamiento. Se define un sistema de referencia

Σr :

⎡

⎤

⎡

⎤

q˙r , d ⎢ qr ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦ = ⎣ ⎣ dt q˙ −1 , q ˙ ) + M τ f (q r r r yr = qr .

(111)

donde qr ∈ < es la salida de este sistema y es la señal de referencia para el resto de los sistemas. Ahora se definen las variables de error ei ∈ < entre el sistema de referencia Σr y cada sistema Σi ei = qr − qi ,

i = 1, ..., k.

127 La dinámica de estas variables está dada por los siguientes sistemas

Σei :

⎡

⎤

⎤

⎡

e˙ i d ⎢ ei ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ dt e˙ −1 −1 f (qr , q˙r ) − fi (qi , q˙i ) − M ξ i (·) − M vi (·) i

donde fi (qi , q˙i ) = M −1 (−g (qi ) − dq˙i ) .

También se definen los errores ei,j ∈ < entre el sistema i y el sistema j ei,j = qi − qj

i, j = 1, ..., k, i 6= j.

La dinámica de estas variables está dada por los siguientes sistemas

Σei,j :

⎡

⎤

⎡

⎤

e˙ i,j d ⎢ ei,j ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦=⎣ ⎣ ¢ ¡ dt e˙ −1 −1 fφ (·) + M ξ i (·) − ξ j (·) + M (vi (·) − vj (·)) i,j

donde fφ (·) = fi (qi , q˙i ) − fj (qj , q˙j ) .

Finalmente se define un conjunto de variables ²i ∈ <, para i = 1, ..., k ²i = k1 ei −

k X

kl ei,j .

(112)

l=2, j=1,j6=i

donde kl , l = 1, ..., k, son constantes. Estas variables se pueden interpretar como la diferencia entre el error del sistema Σi y el sistema de referencia Σr con una suma pesada de los errores que hay entre el sistema Σi con el resto de los sistemas Σj , j = 1, .., k, j 6= i. Estas variables establecen las conexiones entre los sistemas del arreglo.

128 La ecuación (112) en forma desarrollada es la siguiente ⎡

² ⎢ 1 ⎢ ⎢ ²2 ⎢ ⎢ . ⎢ .. ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ²k−1 ⎣ ²k

⎡

⎤

⎤

q ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ q2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = A ⎢ ... ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ qk−1 ⎥ ⎣ ⎦ qk

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + k1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

qr qr .. . qr qr

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(113)

donde la matriz A tiene dimensión k × k y está definida de la siguiente forma ⎡

k X

⎢ − kl k2 ⎢ ⎢ l=1 ⎢ k X ⎢ ⎢ k2 − kl ⎢ ⎢ l=1 ⎢ .. ⎢ A=⎢ . ⎢ ⎢ ⎢ k3 k2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ k2 k3

···

kk−1

···

kk−1

...

.. . k X

··· − ···

l=1

kk

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ kk ⎥ ⎥ ⎥ .. ⎥. . ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ kk ⎥ ⎥ ⎥ k X ⎥ − kl ⎦ kk

kl

⎤

l=1

La dinámica de cada una de las variables ²i está dada por los siguientes sistemas ⎡

⎤

⎡

⎤

²i d ⎢ ²i ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦, dt ²˙ φi (·) − ξ ²i (·) − u²i i donde

φi (·) = k1 (f (qr , q˙r ) − fi (qi , q˙i )) −

k X

l=2, j=1,i6=j

kl (fi (qi , q˙i ) − fj (qj , q˙j )) ,

(114)

129

ξ ²i (·) = k1 M

−1

ξ i (·) +

k X

l=2, j=1,i6=j

u²i = k1 vi (·) +

k X

l=2, j=1,i6=j

¢ ¡ kl M −1 ξ i (·) − ξ j (·) ,

kl ((vi (·) − vj (·))) .

Obsérvese que si todas las variables ²i son cero, de la ecuación (113), se tiene que ⎡

k X

⎢ − kl k2 ⎢ ⎢ l=1 ⎢ k X ⎢ ⎢ k2 − kl ⎢ ⎢ l=1 ⎢ .. ⎢ . ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ k3 k2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ k2 k3 ⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = −k1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

qr qr .. .

qr qr

···

kk−1

···

kk−1

...

.. . k X

··· − ···

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

l=1

kk

⎥ ⎥⎡ ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ kk ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ .. ⎥⎢ . ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ kk ⎥⎣ ⎥ ⎥ k X ⎥ − kl ⎦ kk

kl

⎤

q1 q2 .. . qk−1 qk

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

l=1

(115)

Si no hay sistemas aislados; es decir, todos los sistemas tienen al menos una conexión, entonces el sistema (115) tiene la solución única q1 = q2 = ... = qk = qr , ya que la matriz que define el sistema de ecuaciones es invertible (Chai, 2002, Rodríguez Angeles, 2002). En el caso de sistemas de que haya sistemas aislados, sin conexiones, se debe hacer un análisis particular para ese caso y, como es de esperarse, el sistema desconectado quedará fuera del objetivo de sincronización.

130 Una condición adicional para que el problema sea resuelto es que el sistema de ecuaciones definido por ⎡

k X

⎢ kl −k2 ⎢ ⎢ l=1 ⎢ k X ⎢ ⎢ −k2 kl ⎢ ⎢ l=1 ⎢ . ⎢ .. ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −k −k3 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −k −k3 2

· · · −kk−1 · · · −kk−1 ... ··· ···

.. . k X

kl

l=1

−kk

⎤

−kk ⎥ ⎥⎡ ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎢ −kk ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ .. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −kk ⎥ ⎥⎣ ⎥ ⎥ k ⎥ X k ⎦ l

v1 v2 .. . vk−1 vk

⎤

⎡

u ⎥ ⎢ ²1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u²2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ = ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u²k−1 ⎦ ⎣ u²k

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(116)

l=1

Lo que también se satisface si no hay sistemas aislados. De esta forma el problema se resume a diseñar señales de control tal que los sistemas definidos por (114) tengan al origen como un punto de equilibrio asintóticamente estable. Es importante notar que lo anterior es válido para cualquier configuración en las interconexiones entre sistemas; inclusive en algunas en donde todos los sistemas pierden la comunicación con el sistema de referencia. En estos casos ya no se puede garantizar que los sistemas se sincronicen con el sistema de referencia, pero se puede garantizar que la sincronización se mantiene entre ellos. Esto se ilustra con algunos ejemplos en la siguiente sección. Finalmente, las señales de control pueden ser diseñadas considerando los criterios dados en el teorema (15). Una forma es la siguiente

u²i = φi (·) + kp ²i + kv ²˙ i + kc sign (²i ) .

(117)

Aquí se ha compensado el término φi (·) ; sin embargo, sólo hay que compensar los términos que sean nocivos a la estabilidad del origen. Por ejemplo, si hay fricción

131 viscosa, este término ayuda a la estabilidad y no es necesario compensarlo; lo mismo para algunos términos no lineales. Sustituyendo (117) en su respectivo sistema se obtiene un sistema en lazo cerrado lineal que, con una adecuada selección de las ganancias kp , kv , y kc , tiene al origen como punto de equilibrio exponencialmente estable en forma global o local; esto depende de las características de los términos de perturbación. Lo anterior se puede demostrar fácilmente haciendo uso del teorema (15).

V.3.1

Sincronización de tres péndulos simples en estado caótico

En esta sección se presenta un ejemplo en donde se sincronizan tres péndulos en estado caótico, el sistema de referencia también presenta un comportamiento caótico. Sin pérdida de generalidad y por simplicidad en la exposición del ejemplo, sólo se considera una perturbación en el sistema Σ1 , también se asume que se tiene acceso al estado completo de cada sistema. Considere tres péndulos simples definidos de la siguiente forma

Σ1 :

⎤

⎡

⎡

⎤

q˙1 d ⎢ q1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦=⎣ ⎣ dt q˙ −a sin (q ) − b q ˙ + ξ (·) + c (τ + v ) 1 1 1 1 1

Σ2 :

Σ3 :

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

q˙2 d ⎢ q2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦=⎣ ⎣ dt q˙ −a sin (q ) − b q ˙ + c (τ + v ) 2 2 2 2 q˙3 d ⎢ q3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎦=⎣ ⎣ dt q˙ −a sin (q3 ) − bq˙3 + c (τ + v3 ) 3

donde a = 3.057, b = 0.29, c = 55.54, |ξ 1 (·)| ≤ 0.1; para este conjunto de parámetros y entradas τ = 0.6 sin (6t) y vi = 0, i = 1, 2, 3, todos los sistemas presentan un com-

132 portamiento caótico. También se define un sistema de referencia con comportamiento caótico Σr :

⎡

⎤

⎡

⎤

q˙r d ⎢ qr ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦. ⎣ dt q˙ −a sin (q ) − b q ˙ + cτ r r r

Se definen los errores entre el sistema de referencia Σr y cada uno de los sistemas Σr ; e1 = qr − q1 , e2 = qr − q2 y e3 = qr − q3 . La dinámica de cada una de estas variables está dada por ⎤

⎡

⎡

⎤

e˙ 1 d ⎢ e1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ dt e˙ a (sin (qr − e1 ) − sin (qr )) − be˙ 1 − ξ 1 (·) − cv1 1 ⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

e˙ 2 d ⎢ e2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ dt e˙ a (sin (q − e ) − sin (q )) − b e ˙ − cv 2 r 2 r 2 2 e˙ 3 d ⎢ e3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦. dt e˙ a (sin (qr − e3 ) − sin (qr )) − be˙ 3 − cv3 3

También se definen los errores entre cada sistema ei,j = ei − ej con su dinámica dada por ⎡

⎤

⎡

⎤

e˙ i,j d ⎢ ei,j ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎦=⎣ ⎣ ¡ ¢ dt e˙ a (sin (q − e ) − sin (q )) − b e ˙ − c (v − v ) + ξ (·) − ξ (·) i,j i i,j i i,j j i i j Ahora se definen las variables de error ²i de la siguiente forma

²1 = e1 − k1 e1,2 − k2 e1,3 , ²2 = e2 − k1 e2,1 − k2 e2,3 , ²3 = e3 − k1 e3,1 − k2 e3,2 ,

133

Figura 48: Gráfica de conexiones para la sincronización de tres péndulos.

este es el caso cuando todas las interconexiones están presentes, su gráfica de conexión se muestra en la figura 48. Por simplicidad se considera que k1 = k2 = 1, así la dinámica de estos sistemas está dada por

⎡

⎤

⎡

⎤

²˙ 1 d ⎢ ²1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ dt ²˙ φ1 (·) − b˙²1 − 3ξ 1 (·) − cu²1 1

donde φ1 (·) = a [− sin (qr ) + 3 sin (q1 ) − sin (q3 ) − sin (q2 )] y u²1 = 3v1 − v2 − v3 ; ⎡

⎤

⎡

⎤

²˙ 2 d ⎢ ²2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ dt ²˙ φ (·) − b˙ ² + ξ (·) − cu 2 2 ²2 2 1 donde φ2 (·) = a [− sin (qr ) − sin (q1 ) − sin (q3 ) + 3 sin (q2 )] y u²2 = −v1 + 3v2 − v3 ; ⎡

⎤

⎡

⎤

²˙ 3 d ⎢ ²3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ dt ²˙ φ (·) − b˙ ² + ξ (·) − cu 3 3 ²3 3 1

134 donde φ3 (·) = a [− sin (qr ) − sin (q1 ) + 3 sin (q3 ) − sin (q2 )] y u²3 = −v1 − v2 + 3v3 .

Por simplicidad, se toma el peor caso en la magnitud de las perturbaciones y cada una de las señales de control u²i se diseñan con los criterios dados en el teorema 15, u²1 = c−1 (φ1 (·) + kp ²1 + kc sign (²1 )) u²2 = c−1 (φ2 (·) + kp ²2 + kc sign (²2 )) u²3 = c−1 (φ3 (·) + kp ²3 + kc sign (²3 ))

sustituyendo cada señal de control en su respectivo sistema se obtiene ⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

²˙ 1 d ⎢ ²1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦, dt ²˙ −k ² − b˙ ² − 3ξ (·) − k sign (² ) 1 p 1 1 c 1 1 ²˙ 2 d ⎢ ²2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦, ⎣ dt ²˙ −k ² − b˙ ² + ξ (·) − k sign (² ) 2 p 2 2 c 2 1 ²˙ 3 d ⎢ ²3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦. ⎦=⎣ dt ²˙ −kp ²3 − b˙²3 + ξ 1 (·) − kc sign (²3 ) 3

Para encontrar cada una de las señales vi se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones

obteniendo lo siguiente

⎡

⎤⎡

⎢ 3 −1 −1 ⎥ ⎢ v1 ⎢ ⎥⎢ ⎢ −1 3 −1 ⎥ ⎢ v ⎢ ⎥⎢ 2 ⎣ ⎦⎣ −1 −1 3 v3

⎤

⎡

⎥ ⎢ u²1 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ u ⎥ ⎢ ²2 ⎦ ⎣ u²3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

135 25

20

15

10

dqr

5

0

-5

-10

-15

-20

-25 -120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

qr

Figura 49: Comportamiento del sistema de referencia.

v1 = 14 u²3 + 14 u²2 + 12 u²1 , v2 = 14 u²3 + 12 u²2 + 14 u²1 ,

(118)

v3 = 12 u²3 + 14 u²2 + 14 u²1 . En la figura 49 se muestra el comportamiento del sistema de referencia con comportamiento caótico. En la figura 50 se muestran las salidas de todos los sistemas, incluyendo la salida del sistema de referencia, así como los errores entre los sistemas y el sistema de referencia, los errores entre sistemas y las señales de acoplamiento.

Desde t = 0 a t = 50seg no se aplican las señales de acoplamiento, obsérvese que los sistemas no están sincronizados en forma natural. En t = 50seg se aplican las señales de acoplamiento y después de un transitorio todos los sistemas se sincronizan entre sí y con el sistema de referencia.

136 50

0

0 3

e ,e ,e

2

-50

1

-50

1

2

3

q ,q ,q ,q

m

50

-100

-150

-100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-150

2

60

1

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

v ,v ,v

3

3

80

0

2

40 20

-1

1

e1,2 , e 1,3 , e 2,3

100

0

0

-2

-20

-3

-40

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-4

Figura 50: Comportamiento de los sistemas antes y después de aplicar las señales de acoplamiento dadas por (118).

V.3.2

Análisis de algunas configuraciones típicas

En esta sección se presentan algunas configuraciones propuestas en (Chai, 2002) en su versión para tres sistemas; es importante señalar que la extensión para k sistemas es directa. Primero se analiza la configuración que se muestra en la figura 51, en este caso se han eliminado las conexiones e1,2 y e2,3 . Las variables que definen las interconexiones son las siguientes ⎡

⎤

⎡

1 ⎢ ²1 ⎥ ⎢ −2 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ² ⎥ = ⎢ 1 −2 0 ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎣ 1 1 −3 ²3

⎤⎡

⎤

⎡

⎤

⎥ ⎢ q1 ⎥ ⎢ qr ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ q ⎥ + ⎢ q ⎥, ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ r ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ q3 qr

si todas las variables ²i son cero, se garantiza que todos los sistemas Σi y el sistema de

137

Figura 51: Gráfica de conexiones en donde se han eliminado algunas conexiones entre los sistemas Σi .

referencia Σr se sincronizan. El sistema que define las señales de acoplamiento vi es ⎤⎡

⎡

⎤

⎡

0 −1 ⎥ ⎢ v1 ⎥ ⎢ u²1 ⎢ 2 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ −1 2 ⎥⎢ v ⎥ = ⎢ u 0 2 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ²2 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ −1 −1 3 v3 u²3

⎤

⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎦

el cual tiene solución única dada por 2 1 2 u²1 + u²2 + u²3 , 3 9 9 1 5 1 u² + u² + u² , = 3 1 9 2 9 3 1 2 4 = u²1 + u²2 + u²3 . 3 9 9

v1 = v2 v3

Los resultados se muestran en la figura 52, en donde se puede apreciar que todos los sistemas se sincronizan después de aplicar la señal de acoplamiento. Otra configuración es la llamada cadena abierta que se muestra en la figura 53. Al

138 50

0

0 3

e ,e ,e

2

-50

1

-50

1

2

3

q ,q ,q ,q

m

50

-100

-150

-100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-150

2

60

1

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

v ,v ,v

3

3

80

0

2

40 20

-1

1

e1,2 , e 1,3 , e 2,3

100

0

0

-2

-20

-3

-40

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-4

Figura 52: Resultados para la configuración de la figura 51. igual que el caso anterior, todos los sistemas sincronizan después de aplicar la señal de acoplamiento, como lo muestra la figura 54. Las matrices que definen las interconexiones en el arreglo y las señales de acoplamiento son las siguientes. ⎡

⎤

⎡

0 ⎢ ²1 ⎥ ⎢ −1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ² ⎥ = ⎢ 1 −1 0 ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 0 1 −1 ²3 ⎡

⎤⎡

⎤⎡

⎤

⎡

⎤

⎥ ⎢ q1 ⎥ ⎢ qr ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ q ⎥ + ⎢ 0 ⎥, 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ q3 0 ⎤

⎡

0 0 ⎥ ⎢ v1 ⎥ ⎢ u²1 ⎢ 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ −1 1 0 ⎥ ⎢ v ⎥ = ⎢ u ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ²2 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ 0 −1 1 v3 u²3 v1 = u²1 , v2 = u²1 + u²2 , v3 = u²1 + u²2 + u²3 ,

⎤

⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎦

139

Figura 53: Configuración cadena abierta.

50

0

0 3

e ,e ,e

2

-50

1

-50

1

2

3

q ,q ,q ,q

m

50

-100

-150

-100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-150

2

60

1

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

v ,v ,v

3

3

80

0

2

40 20 0

-2

-20 -40

-1

1

e1,2 , e 1,3 , e 2,3

100

0

-3 0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-4

Figura 54: Resultados de la configuración de la figura 53.

140

Figura 55: Configuración cadena cerrada. Una configuración interesante es la cadena cerrada que se muestra en la figura 55. Las variables que definen las interconexiones son las siguientes ⎡

⎤

⎡

1 ⎢ ²1 ⎥ ⎢ −1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ² ⎥ = ⎢ 1 −1 0 ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 0 1 −1 ²3

⎤⎡

⎤

⎡

⎤

⎥ ⎢ q1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ q ⎥ + ⎢ 0 ⎥. ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 q3

Si todas las variables ²i son cero implica que todas las variables qi son iguales, aunque no se puede garantizar que convergen a la referencia qr . Las ecuaciones que definen las señales de acoplamiento son ⎡

⎤⎡

⎤

⎡

0 −1 ⎥ ⎢ v1 ⎥ ⎢ u²1 ⎢ 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ −1 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ v2 ⎥ = ⎢ u²2 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ 0 −1 1 v3 u²3

⎤

⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

La matriz que define las señales de control no tiene inversa y, por lo tanto, no se puede resolver este caso.

141 Sin embargo, se pueden definir otras configuraciones en donde no se tengan conexiones con el sistema de referencia pero sí se pueda obtener sincronización entre el resto de los sistemas, aún cuando no se garantiza la convergencia al sistema de referencia. Una de estas configuraciones es la que se muetra en la figura 56. Las variables que definen las interconexiones y las señales de acoplamiento son las siguientes. ⎡

⎤

⎡

⎢ ²1 ⎥ ⎢ −1 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ² ⎥ = ⎢ 1 −2 1 ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 0 0 0 ²3 ⎡

⎤⎡

⎤⎡

⎤

⎡

⎤

⎥ ⎢ q1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ q ⎥ + ⎢ 0 ⎥, ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 q3

⎢ 1 0 −1 ⎥ ⎢ v1 ⎢ ⎥⎢ ⎢ −1 2 −1 ⎥ ⎢ v ⎢ ⎥⎢ 2 ⎣ ⎦⎣ 0 0 0 v3

⎤

⎡

⎥ ⎢ u²1 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ u ⎥ ⎢ ²2 ⎦ ⎣ u²3

⎤

⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

v1 = u²1 , v2 = 0.5u²1 + 0.5u²2 , v3 = 0.

La figura 57 muestra los resultados, aquí se puede observar que los sistemas Σ1 , Σ2 y Σ3 se sincronizan después de aplicar las señales de acoplamiento, pero no se logra la sincronización con el sistema de referencia. Finalmente, se considera una configuración un maestro/ 3 esclavos, que se muestra en la figura 58; los resultados se muestran en la figura 59. De esta forma se puede concluir que la metodología que se ha propuesto puede ser empleada para sincronizar arreglos de sistemas en diferentes configuraciones.

142

Figura 56: Configuración en donde se obtiene sincronización entre los sistemas Σi a pesar de que no hay conexión con el sistema de referencia Σr .

50

0

0 3

e ,e ,e

2

-50

1

-50

1

2

3

q ,q ,q ,q

m

50

-100

-150

-100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-150

2

60

1

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

v ,v ,v

3

3

80

0

2

40 20

-1

1

e1,2 , e 1,3 , e 2,3

100

0

0

-2

-20

-3

-40

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-4

Figura 57: Resultados de la configuración de la figura 56.

143

Figura 58: Configuración maestro/esclavo.

50

0

0 3

e ,e ,e

2

-50

1

-50

1

2

3

q ,q ,q ,q

m

50

-100

-150

-100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-150

2

60

1

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

v ,v ,v

3

3

80

0

2

40 20

-1

1

e1,2 , e 1,3 , e 2,3

100

0

0

-2

-20

-3

-40

0

20

40 60 Tiempo (seg.)

80

100

-4

Figura 59: Resultados de la configuración de la figura 58.

144

V.4

Sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de nGDL

En esta sección se presenta una técnica para la sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de nGDL, la cual es una generalización de la técnica de sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de 1GDL presentada en la sección anterior. Las interconexiones entre todos los sistemas sistemas involucrados, incluyendo al sistema de referencia, se definen de la misma forma que en el caso de 1GDL, la única diferencia es que en este caso las variables de error ei entre el sistema Σr y el sistema Σi tiene dimensión n, al igual que los errores ei,j entre los sistemas Σi y Σj . Las señales de acoplamiento también siguen el mismo principio de diseño que en el caso de 1GDL; sin embargo, existe una cambio importante en la compensación de términos no lineales. En el caso de sistemas de 1GDL se compensan los términos no lineales dados por los términos φi (·) , obteniendose que el sistema en lazo cerrado en coordenadas del error ²i es lineal y con el origen como punto de equilibrio asintóticamente estable. Para el caso de nGDL, estos términos no lineales, que ahora se denominan como Φi (·) , son muy complejos porque dependen de la matriz de inercia, de la matriz de fuerzas centrífugas y de Coriolis, y del vector de velocidad de todos los sistemas. Para evitar el cálculo de estos términos Φi (·) y al mismo tiempo poderlos compensar se diseñan observadores robustos (dados en el capítulo 3) para los sistemas de error Σ²i . Estos observadores tienen dos funciones: la primera es estimar los vectores de velocidad ²˙ i y la segunda es estimar los términos Φi (·) que se deben compensar. Es importante señalar que en este caso los términos Φi (·) incluyen los términos de perturbación ξ i (·). Finalmente, se aplica la estructura de control con identificación de perturbaciones para estabilizar la dinámica de las variables de error auxiliares.

145

V.4.1

Diseño de las señales de acoplamiento

Considere k sistemas lagrangianos de nGDL definidos por (106) y un sistema de referencia definido por (109). Las señales de acoplamiento vi tienen la siguiente forma

vi = M (qi ) ui ,

sustituyendo en su respectivo sistema y redefiniendo términos se obtiene lo siguiente

Σi :

⎡

⎤

⎤

q˙i d ⎢ qi ⎥ ⎢ ⎥ ⎦=⎣ ⎦ , i = 1, ..., k, ⎣ dt q˙ fi (·) + ui i Σr :

donde

⎡

⎡

⎤

⎡

⎤

d ⎢ qr ⎥ ⎢ q˙r ⎥ ⎦=⎣ ⎦ ⎣ dt q˙ fr (·) r

fi (·) = M −1 (qi ) (−C (qi , q˙i ) q˙ − G (qi ) − ξ i (·) + τ ) , fr (·) = M −1 (qr ) (−C (qr , q˙r ) q˙r − G (qr ) + τ ) .

Ahora se definen los errores ei ∈
146 Finalmente se definen los errores auxiliares ²i ∈
k X

Kl ei,j ,

l=2,j=1,j6=i

donde Ki , i = 1, ..., k son matrices diagonales definidas positivas. Es importante notar que, al igual que en el casos de 1GDL, si no hay sistemas aislados, ²i = 0 implica que los sistemas estan sincronizados y, al mismo tiempo, la salida de cada sistema converge al vector de señales de referencia qr . Esto se puede demostrar a partir del siguiente sistema de ecuaciones ⎡

k X

⎢ − Kl K2 ⎢ ⎢ l=1 ⎢ k X ⎢ ⎢ K2 − Kl ⎢ ⎢ l=1 ⎢ .. .. ⎢ . . ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ K3 K2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ K2 K3

···

Kk−1

···

Kk−1

...

.. . k X

··· − ···

l=1

Kk

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Kk ⎥ ⎥ ⎥ .. ⎥ . ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Kk ⎥ ⎥ ⎥ k ⎥ X − Kl ⎦ Kk

Kl

⎤

l=1

⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ +diag {K1 } ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

q ⎢ 1 ⎢ ⎢ q2 ⎢ ⎢ . ⎢ .. ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ qk−1 ⎣ qk

kn×kn

qr qr .. . qr qr

⎤

⎡

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ 0

donde diag {K1 } es una matriz diagonal con dimensión kn × kn cuyos elementos de la diagonal son las matrices diagonales K1 . La igualdad se satisface solamente cuando q1 = q2 = · · · = qk = qr .

147 La dinámica de las variables ²i está dada por el siguiente sistema

Σ²i :

⎡

⎤

⎤

⎡

²˙ i d ⎢ ²i ⎥ ⎢ ⎥ ⎦, ⎣ ⎦=⎣ dt ²˙ Φi (·) − u²i i

(119)

donde el término Φi (·) está definido por

Φi (·) = K1 [fr (·) − fi (·)] −

k X

l=2,j=1,j6=i

Kl [fi (·) − fj (·)] ,

y la entrada de control u²i está definida por

u²i =

k X l=1

Kl ui −

k X

Kl uj .

l=2,j=1,j6=i

o en forma desarrollada ⎡

k X

⎢ Kl −K2 ⎢ ⎢ l=1 ⎢ k X ⎢ ⎢ −K2 Kl ⎢ ⎢ l=1 ⎢ .. .. ⎢ . . ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −K −K3 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −K −K3 2

· · · −Kk−1 · · · −Kk−1 ... ··· ···

.. . k X

Kl

l=1

−Kk

⎤

−Kk ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −Kk ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .. ⎥ . ⎥ ⎥ ⎥ −Kk ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ k ⎥ X K ⎦ l

l=1

⎡

u1

⎢ ⎢ ⎢ u2 ⎢ ⎢ . ⎢ .. ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ uk−1 ⎣ uk

⎤

⎡

u²1

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u²2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ = ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u²k−1 ⎦ ⎣ u²k

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(120)

kn×kn

lo que conduce a una segunda condición para resolver el problema de sincronización: el sistema (120) debe tener solución única para toda ui . Ahora el problema es el diseño de las señales u²i tal que los sistemas (119) tengan al origen como punto de equilibrio asintóticamente estable. Para resolver este problema se utiliza la estructura de control con identificación de

148 perturbaciones presentada en el capítulo tres. Se definen observadores para los sistemas (119) ⎡

⎤

⎡

⎤

.

˜²i + C1 (y²i − y˜²i ) d ⎢ ˜²i ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ . ⎦ = ⎣ ⎦, dt ˜² −u²i + C2 (y²i − y˜²i ) + C3 sign (y²i − y˜²i ) i y˜²i = ˜²i ,

La señal de control que se propone para estabilizar el origen de los sistemas (119) es la siguiente .

˜ i (·) + Kp ²i + Kv˜²i + Kc sign (²i ) , u²i = Φ ˜ i (·) son las salidas de los filtros dados por donde los términos Φ

x˙ f = −Λxf + Λ (Kc sign (²i )) , yf = xf ,

donde xf ∈
V.5

Discusión de resultados

En este capítulo se ha presentado una metodología para sincronizar arreglos de sistemas lagrangianos de nGDL. El sistema en lazo cerrado presenta buenas características de robustez a incertidumbres paramétricas así como a perturbaciones externas acotadas. Esta es la principal ventaja sobre las técnicas de sincronización publicadas hasta la fecha, ya que en la mayoría de éstas se considera que los sistemas son idénticos y que

149 no hay ningún tipo de perturbaciones. Aquí se resuelve al mismo tiempo la falta de los vectores de velocidad y la presencia de perturbaciones utilizando el observador de estado presentado en el capítulo 3 el cual nos da una estimación de términos no lineales, así como los términos de perturbación. Es importante notar que no se están linealizando los sistemas Σi , sino un sistema auxiliar que representa las interconexiones entre los sistemas; además, como el tiempo ˜ i (·) sólo contiene a los términos de perturbación tiende a infinito, el término estimado Φ ξ i (·) en cada sistema, por lo que la señal de control alcanza valores muy pequeños después del transitorio.

Capítulo VI Conclusiones y comentarios finales En esta memoria de tesis se han presentado técnicas de sincronización para sistemas lagrangianos con incertidumbres paramétricas, perturbaciones externas así como con medición parcial de los vectores de estado. Dichas técnicas de sincronización se basan en el uso de control discontinuo: modos deslizantes de primer orden y retroalimentación de un término discontinuo que produce un modo deslizante de segundo orden en el sistema en lazo cerrado. Una primera aportación fue la técnica de sincronización utilizando control por modos deslizantes de primer orden, la cual se aplicó en la sincronización de sistemas de diferente naturaleza conectados en una configuración maestro/esclavo, obteniendo buenas propiedades de robustez (capítulo II). Esta técnica puede verse como una generalización de los resultados presentados en (Tao y Hui, 2002) ya que puede aplicarse a sistemas de diferente orden, con perturbaciones externas así como a sistemas lineales por partes. Esta técnica también puede utilizarse en la sincronización de arreglos de sistemas debido a que, como se vió en el capítulo anterior, el problema de sincronización de arreglos de sistemas se puede transformar en un problema de estabilización del origen de un sistema auxiliar, y si se tiene la medición del vector de estado de todos los sistemas es posible

151 utilizar control por modos deslizantes para el diseño de las señales de acoplamiento. Si no se tiene la medición de todos los estados será necesario el diseño de observadores, así como un análisis de estabilidad adicional. También es importante considerar el problema de chattering que produce esta técnica de sincronización. La segunda aportación fue la obtención de las condiciones para garantizar la estabilidad exponencial del origen de una clase de sistemas de segundo orden con estructura variable y con perturbaciones no desvanescentes (capítulo III). Se demostró la existencia de un modo deslizante de segundo orden en el origen que produce un control equivalente que es igual a los terminos de perturbación, lo que genera buenas propiedades de robustez. La demostración se basa en la técnica conocida como múltiples funciones de Lyapunov (Branicky, 1998) que es empleada para demostrar estabilidad en el sentido de Lyapunov de sistemas con estructura variable, en donde cada estructura comparte al origen como punto de equilibrio. En este sentido, el resultado que se presenta en esta tesis puede verse como una extensión de dicha técnica, porque considera al caso en que las estructuras de los sistemas no comparten al origen como equilibrio y además existen perturbaciones en el sistema. Una de las aplicaciones del resultado anterior es el diseño de un observador para sistemas Lagrangianos. El observador asegura convergencia exponencial al estado de la planta a pesar de la existencia de incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas acotadas, en este sentido el observador es robusto. A diferencia de muchos observadores reportados en la literatura, este observador también puede identificar todos los términos que no se han incluido en el modelo nominal de la planta y, en algunas situaciones, también se pueden identificar los parámetros de la misma. Esta propiedad puede utilizarse para compensar dichas perturbaciones y así dar robustez al sistema en lazo cerrado aunque se utilicen técnicas de control clásicas, que en principio pueden presentar problemas de robustez. Lo anterior da como resultado la estructura de control

152 denominada Estructura de Control con Identificación de Perturbaciones. La tercera aportación es la sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos considerando al mismo tiempo incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas en los sistemas; también se considera que sólo se tienen mediciones de los vectores de posiciones generalizadas (capítulos IV y V). En la mayoría de los resultados publicados, en donde se aborda el problema de robustez en la sincronización, sólo se considera una de las problemáticas mencionadas anteriormente. En este sentido, la técnica de sincronización que aquí se presenta es más general. Un aspecto importante es que, gracias a las propiedad de identificación de perturbaciones del observador de estado, se puede garantizar la convergencia asintótica a un error de sincronización nulo a pesar de la existencia de las perturbaciones no desvanescentes. Esto se puede lograr considerando un modelo nominal muy sencillo en el diseño del observador, el cual identificará todos los términos no modelados y perturbaciones para su compensación. Se puede utilizar un controlador suave agregando los términos identificados y de esta manera lograr un sistema en lazo cerrado con buenas propiedades de robustez.

VI.1

Trabajo a futuro

Existen muchos problemas en la sincronización de sistemas lagrangianos que aún siguen abiertos. Uno de ellos es la robustez ante retardos producidos por los acoplamientos cuando las distancias entre los sistemas son considerables y los medios de comunicación inducen retardos que no pueden ser despreciables. Un trabajo a futuro es investigar si las técnicas de sincronización propuestas pueden ser aplicadas en estos casos o, en caso de que no se puedan aplicar en forma directa, hacer las modificaciones necesarias para resolver este problema. Un aspecto que no está del todo resuelto en la identificación de perturbaciones por

153 el observador presentado en el capítulo III es el diseño del filtro; es decir; no se tiene un procedimiento para la selección para las constantes de tiempo, sólo se tiene un criterio cualitativo. Otro problema relevante es la extensión de los resultados a otros tipos de sistemas que, hasta el momento, no se visualiza que sea directa. El problema principal es extender las propiedades de estabilidad y robustez que se basan en un sistema de segundo orden con un modo deslizante de segundo orden en el origen a otras clases de sistemas y, de esta manera, extender el observador a sistemas con otras estructuras para posteriormente aplicarlo a la solución del problema de sincronización. También está la posible aplicación de estos resultados en la sincronización de redes complejas que actualmente es un tema de investigación muy importante. Algunos otros temas interesantes que se pueden abordar son: el diseño de señales de acoplamiento bajo criterios de optimización ( de energía, amplitud del control, tiempo de convegencia, etc.), y el control de sistemas subactuados desde el punto de vista de sincronización, ya que los eslabones pueden considerarse como sistemas interconectados, y de esta manera, lograr un comportamiento deseado en la parte no actuada a partir de los pares aplicados a las articulaciones actuadas y a los acoplamientos.

154

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