Identificación - Manuel Arias Montiel.pdf

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL I.P.N. UNIDAD ZACATENCO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA SECCIÓN DE MECATRÓNICA

Modelado dinámico e identificación de un sistema de transmisión de variación continua Tesis que presenta el Ing. Manuel Arias Montiel∗ Para obtener el grado de Maestro en Ciencias En la especialidad de Ingeniería Eléctrica

Directores de Tesis: Dr. Jaime Álvarez Gallegos Dr. Carlos A. Cruz Villar

México, D.F., Febrero de 2005 Becario del CONACYT

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Agradecimientos

A mis padres Amalia y Manuel, por el apoyo incondicional que me han brindado en cada una de las decisiones que he tomado, hacia ustedes mi más sincero agradecimiento, respeto y admiración.

A mi hermano Juan, por seguir siendo mi principal motivación para seguir adelante. A mis hermanas, Silvia y Raquel, por el apoyo que siempre me han brindado.

A mis asesores, los doctores Carlos A. Cruz Villar y Jaime Álvares G., por darme la confianza y la oportunidad de realizar este trabajo y por la acertada dirección del mismo.

A todos mis compañeros de generación, en especial a mis amigos Héctor Bastida, Noé, Carlos García, Omar y Rito, por los buenos e inolvidables momentos compartidos, por estar conmigo en los difíciles momentos de incertidumbre, por ayudarme a levantar y a continuar. Por brindarme su amistad y por haber aceptado la mía.

A mis amigos Israel y Carlos, con quienes he compartido gran parte de mi vida, por su invaluable apoyo.

Al Dr. Gerardo Silva, por su gran apoyo a largo de mi estancia en el CINVESTAV.

Al CONACYT, por haberme brindado el apoyo económico para realizar mis estudios de maestría.

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Resumen En esta tesis se aborda el problema de modelado dinámico de sistemas, particularmente enfocado a la transmisión de variación continua (TVC) del tipo esférico con que cuenta la sección de Mecatrónica del Departamento de Ingeniería Eléctrica del CINVESTAV I.P.N. La principal característica de una TVC es que ofrece, entre dos límites, un número infinito de relaciones de transmisión, a diferencia de las transmisiones convencionales (manuales o automáticas), las cuales ofrecen un número finito de dichas relaciones. La TVC esférica utiliza como elemento de transmisión una esfera central, la cual transmite potencia mediante la fuerza de fricción generada por el contacto giratorio con rodillos, los cuales están acoplados a las flechas de entrada y de salida. El cambio de la relación de velocidades de entrada/salida se logra mediante la variación de la orientación del eje de giro de la esfera, el cual está controlado por un motor de corriente directa. El conocimiento del modelo dinámico de un sistema es de suma importancia, ya que mediante simulaciones, permite conocer el comportamiento de dicho sistema bajo condiciones de operación particulares sin necesidad de realizar experimentos; desde el punto de vista de ingeniería de control, el modelo dinámico de un sistema permite el desarrollo de algoritmos de control que llevan a una respuesta deseada del sistema bajo ciertas exigencias de funcionamiento. Para obtener el modelo dinámico de la TVC esférica se utilizan resultados reportados en la literatura de su modelo cinemático y de las variantes que en éste surgen a raíz de incorporar efectos de fricción entre cuerpos en contacto giratorio. Se establece la metodología para la obtención del modelo siguiendo las leyes físicas para movimiento rotacional. Para complementar la tarea de modelado dinámico, se presentan métodos de identificación implementados fuera de línea para la estimación de los parámetros no medibles involucrados en el modelo dinámico. Se presenta la descripción tanto del prototipo mecánico como del software y hardware utilizados para la obtención y el procesamiento de datos experimentales. Aprovechando algunas de las ventajas de la tarjeta de adquisición de datos, se realiza R R ° ° una interfaz de dicha tarjeta con Simulink de Matlab , simplificando así, las tareas de programación y obteniendo una mayor flexibilidad en la adquisición y el procesamiento de los datos experimentales que fueron utilizados tanto para el procedimiento de identificación como para la validación del modelo dinámico obtenido.

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Índice general 1. Introducción 1.1. Modelado dinámico de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Tipos de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Principios de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Modelos y simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Validación de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sistemas de transmisión de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Transmisiones convencionales manuales y automáticas . 1.2.2. Transmisiones de variación continua (TVCs) . . . . . . 1.2.3. La TVC esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Planteamiento del problema y objetivos de la tesis . . . . . . . 1.4. Contribuciones del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Organización de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Plataforma experimental 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Prototipo de la TVC esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Adquisición y procesamiento de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Sensores y actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Tarjeta de adquisición de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Etapa de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Características de la PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R ° 2.3.5. Interfaz de la tarjeta de adquisición de datos con Real Time Toolbox R R ° ° y Simulink de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 22 22 25 26 27

3. Modelado dinámico de la TVC 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelo dinámico de una transmisión de engranes 3.3. Cinemática de la TVC ideal . . . . . . . . . . . . 3.4. Modelo dinámico de la TVC ideal . . . . . . . . . 3.5. Cinemática de la TVC no ideal . . . . . . . . . .

31 31 32 35 37 41

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ÍNDICE GENERAL 3.6. Modelo dinámico de la TVC no ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Identificación 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Formulación de problemas de identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Clasificación de los métodos de identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. La clase de modelos C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. La clase de señales de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. El criterio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. El concepto de linealidad en los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Identificación de sistemas paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Identificación de modelos paramétricos por mínimos cuadrados . . . . 4.5.2. Mínimos cuadrados generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. El método de la máxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Variables instrumentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R R ° ° 4.5.5. System Identification Toolbox de Matlab . . . . . . . . . . . . . . 4.5.6. Identificación de un sistema masa-resorte-amortiguador de 1 gdl . . . 4.6. Identificación de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Estimación de los coeficientes de fricción viscosa y del par torsional de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Estimación de los parámetros del motor de control . . . . . . . . . . . 4.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 46 47 47 47 49 49 50 50 53 54 55 56 57 63

5. Resultados experimentales 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Implementación de un controlador PI para regulación de la velocidad de salida de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Identificación del motor de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Identificación de los parámetros de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Validación del modelo dinámico de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67

6. Conclusiones y perspectivas 6.1. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Trabajo a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 94

A. Especificaciones técnicas

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63 65 66

67 74 77 84

ÍNDICE GENERAL A.1. A.2. A.3. A.4.

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Sensores ópticos . . . . . . . . . . . . . Modulador de ancho de pulso (PWM) . Puente H . . . . . . . . . . . . . . . . Compuerta lógica NAND . . . . . . . .

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. 98 . 101 . 106 . 113

B. Cálculo de las inercias de las flechas de entrada y de salida de la TVC

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R °

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C. Programas y funciones de Matlab C.1. Programas para la simulación y estimación paramétrica del sistema vibratorio de 1 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2. Programa para identificación del motor de control . . . . . . . . . . . . . . . C.3. Programa para identificación de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.4. Funciones usadas para la simulación del modelo de la TVC . . . . . . . . . . C.5. Programa para la evaluación de la función del error . . . . . . . . . . . . . .

123 123 125 127 127 129

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ÍNDICE GENERAL

Índice de figuras 1.1. Partes del automóvil vistas como sistemas dinámicos. 1.2. Ejemplos de sistemas dinámicos mixtos. . . . . . . . 1.3. Construcción de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Clasificación de transmisiones para vehículos . . . . . 1.5. Clasificación de las TVCs . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Bandas para TVCs impulsadas por bandas . . . . . . 1.7. TVCs impulsadas por bandas . . . . . . . . . . . . . 1.8. TVCs con impulsores de carrera variable . . . . . . . 1.9. TVC toroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. TVC esférica propuesta por Kim J. . . . . . . . . . . 1.11. TVC esférica propuesto por Moore C. . . . . . . . . .

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2 3 7 9 11 12 12 13 14 15 16

2.1. Dibujo esquemático del prototipo de la TVC esférica . . . . . . . . . . . . . 2.2. Vista parcial del prototipo de la TVC esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Prototipo de la TVC esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Sensor óptico para medir la posición angular del motor de control . . . . . . 2.5. Sensor óptico para medir la posición angular de la flecha de salida de la TVC 2.6. Motor de entrada y motor de control de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Diagrama a bloques del sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Configuración del PWM utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Circuito utilizado para invertir las señales de los canales de los sensores . . . 2.10. Diagrama de bloques de Simulink para lectura de los sensores . . . . . . . .

22 23 23 24 24 25 26 27 28 29

3.1. Transmisión convencional de engranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Análisis cinemático de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Motor de CD de imán permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

49 57 58 60 60

Señales de entrada comúnmente usadas en la identificación de sistemas . . . Sistema masa-resorte-amortiguador de 1 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de cuerpo libre de la masa del sistema vibratorio de 1 gdl . . . . . Entrada del sistema vibratorio de 1gdl utilizada para la simulación . . . . . . Estados del sistema vibratorio de 1 gdl obtenidos de la simulación del sistema. Comparación de la salida del sistema vibratorio de 1 gdl con la salida del modelo con los parámetros estimados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

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ÍNDICE DE FIGURAS 5.1. Implementación del controlador PI para la regulación de la velocidad de salida de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de 0 rad/s. Con Kp=0.28 y Ki=0.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de 0 rad/s. Con Kp=0.31 y Ki=0.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -10 rad/s. Con Kp=0.29 y Ki=0.09. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -10 rad/s. Con Kp=0.33 y Ki=0.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -20 rad/s. Con Kp=0.39 y Ki=0.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -20 rad/s. Con Kp=0.42 y Ki=0.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -30 rad/s. Con Kp=0.6 y Ki=0.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -60 rad/s. Con Kp=0.6 y Ki=0.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Diagrama de Simulink utilizado para las lecturas utilizadas para la identificación del motor de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Señal de entrada utilizada para la identificación del motor de control . . . . 5.12. Comparación de las salidas medidas del motor de control y las salidas del modelo con los parámetros estimados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Diagrama utilizado para la lectura de los datos para la identificación de la TVC. 5.14. Conjunto de datos experimentales utilizado para la identificación de la TVC, experimento 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Conjunto de datos experimentales utilizado para la identificación de la TVC, experimento 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16. Conjunto de datos experimentales utilizados para la identificación de la TVC, experimento 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17. Conjunto de datos experimentales utilizados para la identificación de la TVC, experimento 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18. Conjunto de datos experimentales utilizados para la identificación de la TVC, experimento 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.19. Diagrama a bloques de Simulink utilizado para la simulación del modelo dinámico de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20. Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia de -10 rad/s . . . . . . . . . 5.21. Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia de -20 rad/s (1) . . . . . . . 5.22. Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia de -20 rad/s (2) . . . . . . .

68 70 70 71 71 72 72 73 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 84 86 87 88

ÍNDICE DE FIGURAS 5.23. Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados lación de los modelos de la TVC para referencia de -30 rad/s . . 5.24. Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados lación de los modelos de la TVC para referencia de -60 rad/s . . 5.25. Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados lación de los modelos de la TVC para referencia sinusoidal . . .

xi de la simu. . . . . . . de la simu. . . . . . . de la simu. . . . . . .

89 90 91

B.1. Flecha de entrada de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 B.2. Flecha de salida de la TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 B.3. Cople del encoder de la flecha de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

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ÍNDICE DE FIGURAS

Capítulo 1 Introducción 1.1.

Modelado dinámico de sistemas

1.1.1.

Sistemas dinámicos

La palabra sistema se ha hecho muy popular en los últimos años. Es usada, no únicamente en ingeniería, sino también en ciencias, economía, sociología e incluso en política. Un sistema es definido como una combinación de componentes que actúan de manera conjunta para cumplir un objetivo. Se aprecia que la noción de un sistema es un concepto muy amplio y no es de sorprender que juegue un importante papel en la ciencia moderna. Muchos problemas en varios campos están resueltos en un marco orientado a sistemas. De manera un poco más filosófica, un sistema puede ser entendido como una parte conceptualmente aislada del universo que es de nuestro interés. Otras partes del universo que interactúan con el sistema componen el ambiente del sistema o sistemas vecinos. El aislamiento de un sistema de su ambiente es puramente conceptual. Todos los sistemas interactúan con su ambiente a través de dos grupos de variables. Las variables en el primer grupo se originan fuera del sistema y no dependen directamente de lo que pasa en él Estas variables son llamadas variables de entrada o simplemente entradas. El otro grupo abarca las variables generadas por el sistema debido a su interacción con su ambiente. Estas variables son el grupo de interés primario para nosotros y son llamadas variables de salida o simplemente salidas. Todos los sistemas existentes cambian con el tiempo, y cuando la razón de cambio es significativa, el sistema es referido como sistema dinámico. Los sistemas dinámicos son aquellos sistemas en los cuales el valor de la salida actual depende no únicamente de los estímulos externos (entradas y perturbaciones) actuales sino también de valores anteriores. Un automóvil sobre un camino puede ser considerado como un sistema dinámico. Los límites del aislamiento conceptual que determinan un sistema son completamente arbitrarios. Por lo tanto, cualquier parte del automóvil -el motor, los frenos, la suspensión, etc.- puede ser considerada como un sistema, (figura 1.1). En la descripción de los sistemas, es necesario un conjunto completo de variables, llamadas variables de estado. Las variables de estado constituyen el conjunto mínimo de variables del 1

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

sistema necesarias para describir completamente el estado del sistema en cualquier instante de tiempo dado, y estas son de gran importancia en el modelado y análisis de sistemas dinámicos. Una vez que se da el estado inicial del sistema y han sido especificadas todas las variables de entrada, las variables de estado entonces, describen en cada instante, el comportamiento o la respuesta del sistema.

Figura 1.1: Partes del automóvil vistas como sistemas dinámicos.

Sistemas dinámicos en ingeniería Los sistemas dinámicos son encontrados en la gran mayoría de las disciplinas de la ingeniería, por ejemplo, en ingeniería mecánica, eléctrica, mecánica de fluidos e ingeniería térmica. Sistemas mecánicos. Son sistemas que poseen una masa o inercia significativa, componentes de disipación y almacenamiento de energía (amortiguadores y resortes) y que son movidos mediante fuerzas o pares torsionales. Un automóvil es buen ejemplo de un sistema dinámico mecánico, tiene una respuesta dinámica cuando sube o baja su velocidad o toma una curva en el camino. El cuerpo y el sistema de suspensión del vehículo tienen una respuesta dinámica de la posición del vehículo cuando pasa sobre un tope. Sistemas eléctricos. Incluyen circuitos con resistencias, capacitores y componentes inductivos excitados por un voltaje o una corriente. Una televisión tiene una respuesta dinámica de la emisión de luz que traza la imagen sobre la pantalla. Un ejemplo más simple, pero no menos importante, es la respuesta dinámica que ocurre cuando se enciende o se apaga una luz. Sistemas de fluidos. Emplean orificios, restricciones, válvulas de control, acumuladores (capacitores), tubos largos (inductores), y actuadores excitados mediante presión o

1.1. MODELADO DINÁMICO DE SISTEMAS

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flujo de fluidos. Un ejemplo típico es un tanque contenedor de agua, el cual tiene una respuesta dinámica de la altura del agua como función de la cantidad de agua bombeada al interior del contenedor y de la cantidad de agua que está siendo utilizada o sacada del contenedor. Sistemas térmicos. Tienen componentes que proveen resistencia (por conducción, convección o radiación) y capacitancia (masa y calor específico) cuando son excitados mediante temperatura o flujo de calor. Un sistema casero de calefacción tiene una respuesta dinámica del incremento de temperatura para alcanzar el punto fijado por el termostato.

Figura 1.2: Ejemplos de sistemas dinámicos mixtos. Algunos de los sistemas dinámicos más interesantes tienen componentes de dos o más disciplinas de la ingeniería mencionadas anteriormente y realizan conversiones de energía entre varios de sus componentes. Algunos ejemplos de sistemas dinámicos mixtos son: Sistemas electromecánicos. Son sistemas que emplean un componente electromagnético que convierte una corriente eléctrica en una fuerza con una respuesta generalmente dinámica. Ejemplos de este tipo de sistemas son las bocinas de un sistema de audio o un motor eléctrico. En las bocinas, la corriente eléctrica del amplificador es transformada

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN en movimiento del cono de la bocina y las subsecuentes fluctuaciones en la presión del aire causan que podamos escuchar el sonido amplificado. Sistemas fluido-mecánicos. Los sistemas hidráulicos o neumáticos con componentes de conversión fluido-mecánicos exhiben un comportamiento dinámico. Ejemplos son las bombas hidráulicas, un actuador controlado por una válvula o un motor hidráulico. Un servo sistema hidráulico para el control de vuelo de un aeroplano es un buen ejemplo de un sistema dinámico electro-fluido-mecánico. Sistemas termomecánicos. Un motor de combustión usado en un automóvil, camioneta, barco o aeroplano es un dispositivo termo-fluido-mecánico (o simplemente termomecánico) dado que convierte energía térmica en potencia fluida y posteriormente en potencia mecánica. Sistemas electrotérmicos. Un calefactor que utiliza corriente eléctrica para calentar un filamento, el cual calienta el aire, tiene una respuesta dinámica al ambiente circundante. Un calentador de agua eléctrico es otro ejemplo común de un sistema dinámico electrotérmico.

1.1.2.

Tipos de modelos

De manera general, el modelo de un sistema es una herramienta que usamos para responder preguntas acerca del comportamiento del sistema sin tener que realizar experimentos. De esta manera, nosotros usamos modelos de forma cotidiana. Por ejemplo, un modelo de comportamiento de una persona nos ayuda a decir qué tipo de persona es. Este modelo nos ayuda a contestar la pregunta de cómo reaccionará esta persona si le pedimos un favor, por ejemplo. Este tipo de modelos son llamados modelos mentales. Aprender a conducir un automóvil, por ejemplo, consiste en parte en desarrollar un modelo mental de las características del auto. Otro tipo de modelo es el modelo verbal; el comportamiento de un sistema bajo diferentes condiciones es descrito en palabras. Por ejemplo, si la tasa de intereses bancarios crece, entonces el índice de desempleo aumentará. Los sistemas expertos son ejemplos de modelos verbales formalizados. En adición a los modelos mentales y verbales, existen modelos que intentan imitar a los sistemas. (La palabra "modelo"deriva del latín y originalmente significa molde o patrón.) Estos son los llamados modelos físicos, como los que usan los arquitectos para verificar la estética de alguna construcción o los constructores de barcos para probar las propiedades hidrodinámicas de estos. Los modelos de este tipo también se conocen como modelos a escala. Por último, tenemos el tipo de modelos que es de interés en este trabajo, los modelos matemáticos, mediante los cuales, cantidades (distancias, corrientes, flujos, tasas de desempleo, etc.) que pueden ser observadas en el sistema son descritas mediante relaciones matemáticas. En este sentido, la mayoría de las leyes físicas son modelos. Por ejemplo, para un sistema de una masa puntual, la segunda ley de Newton da una relación entre fuerza y aceleración; para un sistema representado por una resistencia, la ley de Ohm describe la

1.1. MODELADO DINÁMICO DE SISTEMAS

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relación entre corriente y voltaje. Las leyes físicas, en general, aplican a sistemas simples y que a menudo se consideran ideales, para sistemas reales, las relaciones entre las variables pueden ser mucho más complejas. Un sistema real, localizado en su ambiente real, representa una situación muy compleja. Los científicos o ingenieros que desean estudiar un sistema real, deben hacer algunas aproximaciones de la realidad para realizar algún análisis al sistema. Es seguro decir que en la práctica, nosotros nunca analizamos un sistema real, sino sólo una abstracción de éste. Los principales elementos de un modelo matemático son los siguientes:

Variables del sistema. Esta son cantidades que especifican diferentes estados del sistema, en tanto que van tomando diferentes valores (posiblemente dentro de ciertos rangos).

Parámetros del sistema. Estas son cantidades a las que está dado un valor específico en cualquier estado particular del modelo. Estos tienen valores fijos más por la aplicación del modelo que por la comprensión del fenómeno.

Constantes del sistema. Estas son cantidades fijas por la comprensión del fenómeno más que por el estado particular del sistema. Típicamente son constantes naturales, por ejemplo la constante universal de los gases; el diseñador no está posibilitado para influir en ellas.

Relaciones matemáticas. Estas son igualdades y/o desigualdades que relacionan las variables, los parámetros y las constantes del sistema. Empezar estas relaciones es la parte más difícil del modelado. Estas relaciones describen la función del sistema con las condiciones impuestas por su entorno.

Los modelos matemáticos que han sido desarrollados para diferentes sistemas pueden tener diferentes características dependiendo de las propiedades del sistema y de las herramientas usadas. A continuación se presentan algunas clasificaciones de los modelos matemáticos.

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Tipo de modelo Estático Dinámico

Lineal

Criterio de clasificación

Tipo de ecuaciones que describen al sistema Ecuaciones algebraicas

Existe conexión directa e instantánea entre sus variables de entrada y salida Las salidas dependen no únicamente Ecuaciones diferenciales de los valores actuales de las entradas sino también de sus valores anteriores Se puede aplicar el principio de superposición No se puede aplicar el principio de superposición

Ecuaciones diferenciales lineales

Ecuaciones diferenciales parciales

Parámetros concentrados

Las variables dependientes son funciones de coordenadas espaciales y del tiempo Las variables dependientes son independientes de variables espaciales

Variante en el tiempo Invariante en el tiempo

Los parámetros del modelo varían con el tiempo Los parámetros del modelo son constantes en el tiempo

Ecuaciones diferenciales con parámetros variantes en el tiempo Ecuaciones diferenciales con parámetros constantes

Continuo Discreto

Variables en tiempo continuo Variables en tiempo discreto

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones en diferencias

No lineal

Parámetros distribuidos

Ecuaciones diferenciales no lineales

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Tabla 1. Clasificaciones de modelos matemáticos

1.1.3.

Principios de modelado

Modelado por leyes físicas Un principio para modelar un sistema dinámico, es desglosar las propiedades del sistema en subsistemas de los cuales se conozca el comportamiento. Para sistemas ingenieriles, esto significa que pueden usarse las leyes físicas para describir a los subsistemas. Por ejemplo, ¿qué pasa cuando se conecta una resistencia y un capacitor?, esto se modela siguiendo la ley de Ohm para la resistencia y la relación entre carga y corriente para el capacitor. Para sistemas no ingenieriles (económicos, sociológicos, biológicos, etc.), como no se rigen por leyes físicas, incluso los subsistemas más simples, se introducen hipótesis o se usan relaciones previamente probadas y aceptadas.

1.1. MODELADO DINÁMICO DE SISTEMAS

7

Identificación El otro principio básico de modelado dinámico es usar las observaciones del sistema para ajustar las propiedades del modelo a las del sistema. Este principio es frecuentemente usado como complemento del anterior. Para sistemas ingenieriles las leyes físicas son, en sí mismas modelos matemáticos, los cuales alguna vez estuvieron basados en observaciones de pequeños sistemas. De ahí que estos modelos, de acuerdo al principio de modelado por leyes físicas, están originalmente también basados en observaciones de los sistemas. Los principios básicos de modelado se ilustran en la figura 1.3

Figura 1.3: Construcción de modelos

1.1.4.

Modelos y simulación

Supongamos que por diversas razones no se pueden realizar experimentos sobre un sistema, pero que disponemos del modelo del sistema. El modelo puede ser usado para calcular o estimar la respuesta del sistema bajo ciertas condiciones. Esto puede ser hecho analíticamente, esto es, mediante la solución de las ecuaciones matemáticas que describen al sistema y posteriormente, analizando dichas soluciones. Esta es la manera en la que son usados típicamente los modelos, por ejemplo en mecánica y electrónica. Si se cuenta con la plataforma computacional adecuada, se pueden realizar experimentos numéricos sobre el modelo. Esto es a lo que llamamos simulación. La simulación es, entonces,

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

una manera barata y segura de experimentar con el sistema. Sin embargo, el valor de los resultados de simulación depende completamente de la calidad del modelo del sistema.

1.1.5.

Validación de modelos

Para que un modelo tenga utilidad, tenemos que tener confianza en los resultados y predicciones que se obtienen de él. Esa confianza puede ser obtenida a través de la validación del modelo. En principio, la validación del modelo es hecha mediante la comparación del comportamiento del modelo con el del sistema y evaluando las diferencias. Todos los modelos tienen cierto dominio de validez. De esta manera se es capaz de saber que tan capaz es el modelo de describir el comportamiento del sistema. Ciertos modelos son válidos únicamente para aproximar estados cualitativos. La mayoría de los modelos verbales son de este tipo. Otros modelos pueden ser válidos para predicciones cuantitativas. En este caso, el dominio de validez corresponde a los requerimientos de precisión. Esto también se puede referir a los valores de las variables y parámetros del sistema para los cuales el modelo es válido. Un cierto modelo de un péndulo puede ser válido únicamente para desplazamientos angulares pequeños, mientras que otro es confiable para ángulos grandes. Es importante comprender que todos los modelos tienen un dominio de validez limitado. Uno podría decir que una ley física es un modelo matemático con un amplio dominio de validez, pero es limitado. Las leyes de movimiento de Newton son válidas en un gran espectro de velocidades, pero cerca de la velocidad de la luz son incapaces de describir el movimiento de las partículas. De lo anteriormente dicho, es importante remarcar que los modelos y, por ende, las simulaciones tienen limitaciones. Es difícil usar un modelo fuera del área para la cual ha sido validado. Los modelos y las simulaciones nunca podrán reemplazar a las observaciones y experimentos, pero constituyen un importante y muy usado complemento.

1.2.

Sistemas de transmisión de potencia

Las transmisiones de potencia son un elemento universal en casi todos los sistemas mecánicos, desde un pequeño reductor de engranes en una unidad reproductora de discos compactos, hasta una compleja caja de engranes (usualmente referida como transmisión) en un vehículo automotor. Aunque sus componentes, tamaños, formas y principios de operación varían, su principal objetivo es efectuar cambios en las fuentes de potencia en la manera que éstas responden a las diferentes condiciones de carga mediante la manipulación de la relación de transmisión (por ejemplo, la relación de velocidad de salida a la velocidad de entrada). Una transmisión de potencia bien diseñada elimina la necesidad de fuentes de potencia sobredimensionadas e incrementa la eficiencia del sistema en conjunto. Aún cuando las transmisiones de potencia son requeridas en varios campos de la ingeniería, las actividades de investigación en este campo han sido conducidas principalmente por los constructores de automóviles para sus transmisiones convencionales, aunque en los últimos años las transmisiones de variación continua (TVCs) se han convertido en objeto de interés

1.2. SISTEMAS DE TRANSMISIÓN DE POTENCIA

9

de dichas investigaciones, abriendo sus posibles campos de aplicación a otras áreas como la robótica móvil, por ejemplo.

1.2.1.

Transmisiones convencionales manuales y automáticas

La potencia generada por fuentes ordinarias (motores de combustión interna, motores eléctricos, etc.), a menudo es muy diferente de las fuerzas de tracción necesarias para mover vehículos o partes de maquinaria. Por lo tanto, es necesario transformar adecuadamente la potencia de la fuente en fuerza de tracción; esta función es realizada por los sistemas de transmisión de potencia. Las transmisiones para vehículos pueden clasificarse, en general, en transmisiones manuales y transmisiones automáticas, de acuerdo a su mecanismo para la acción de alternación (decisión del tiempo de alternación, embrague/desembrague de los elementos de potencia, selección de la relación, etc.). Una clasificación de las transmisiones de potencia se presenta en la figura 1.4.

Figura 1.4: Clasificación de transmisiones para vehículos Una transmisión manual consiste de un clutch, el cual embraga o desembraga el flujo de potencia y un tren de engranajes, el cual cuenta con una pareja de engranes para cada relación de transmisión. Su estructura y sus componentes son lo suficientemente simples para permitirle una reducción considerable en tamaño y peso comparada con una transmisión automática convencional. Además, una transmisión manual está construida con componentes puramente mecánicos y no tiene pérdidas de potencia externas, tales como las que se tendrían en caso de contar con un subsistema hidráulico, lo que le permite que su eficiencia sea mejor que la de una transmisión automática. Una transmisión automática convencional consta de trenes de engranes planetarios para cada relación de transmisión, un sistema hidráulico para la acción de alternación, un servo

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

sistema electro-hidráulico para el control de la alternación y un convertidor de par torsional. El convertidor de par torsional es un dispositivo que realiza varias funciones, es un dispositivo que multiplica el par torsional, sirve como sistema de arranque y también como amortiguador torsional. Además de las desventajas en tamaño y peso, un sistema hidráulico que incluye un convertidor de par torsional, muestra pérdidas de potencia significativas, lo que reduce la eficiencia total de una transmisión automática, y en consecuencia, incrementa el consumo de combustible de un vehículo equipado con una transmisión automática. Sin embargo, dada la comodidad en el manejo que implica una transmisión automática, se realizan grandes esfuerzos hacia la mejora de la eficiencia de las transmisiones automáticas, en lo que se refiere al ramo automotriz. Las fuentes de potencia tienen características complejas de eficiencia de acuerdo a las condiciones de operación del sistema conducido. Por ejemplo, un motor de combustión interna tiene diferente consumo de combustible de acuerdo a su velocidad y par torsional generado, aunque la potencia generada sea la misma.

1.2.2.

Transmisiones de variación continua (TVCs)

Las transmisiones de variación continua (TVCs), se han venido convirtiendo en objeto de interés en las investigaciones que se realizan en el área del diseño mecánico, conducidas principalmente a las demandas de la industria automotriz enfocadas a realizar vehículos con una mayor eficiencia energética y que a la vez contribuyan a disminuir el daño ambiental que dichos vehículos provocan. A diferencia de las transmisiones convencionales a pasos (manuales y automáticas), en las cuales las relaciones de transmisión no pueden ser cambiadas de manera continua, una TVC tiene un rango continuo de relaciones de transmisión que pueden ser seleccionadas independientemente del par torsional transmitido, excepto cuando existen limitantes físicas que lo impiden. Esta característica de las TVCs permite la operación de un motor en el punto óptimo de consumo de combustible satisfaciendo los requerimientos de potencia, mejorando, consecuentemente, la eficiencia del motor. En 1886, una TVC con banda de hule y poleas hecho por Daimler Benz Company fue conocida como la primera TVC que fue aplicada a un vehículo de pasajeros. Alrededor de 1930, General Motors adquirió la patente del impulsor toroidal e intentó desarrollar su propia TVC. Pero falló la comercialización y terminó esa línea de investigación en 1935. La primera TVC exitosa comercialmente para vehículos de pasajeros fue la de bandas de hule Variomatic de DAF Co., desarrollada en 1958. La variomatic no fue muy popular, a causa de las dificultades para resolver el problema de las fallas y el degradamiento de las bandas debidas a la deformación y el uso. En los años 60, una TVC que usaba una banda de metal y poleas de radio variable fue desarrollada por Hub Van Doorne, pero no salió al mercado a causa de su insuficiente capacidad de par torsional. En la década de los 70, debido a la crisis mundial de petróleo y al creciente deterioro ambiental, muchos países fortalecieron las regulaciones para el consumo y ahorro de combustibles y se esforzaron en reducir las emisiones de los vehículos. Además, los avances en la metalurgia y en las técnicas de producción, permitieron que muchas restricciones inherentes en el desarrollo y la construcción de TVCs desaparecieran; la investigación y el desarrollo

1.2. SISTEMAS DE TRANSMISIÓN DE POTENCIA

11

de las TVCs tuvieron un importante impulso a finales de los años 80. Actualmente, muchos fabricantes de automóviles han desarrollado varios prototipos de TVCs que se espera que muy pronto puedan aparecer en vehículos comerciales. De acuerdo al elemento de transmisión de potencia y al mecanismo de alternación, las TVCs pueden ser clasificadas, de acuerdo a la figura 1.5, en TVCs con impulsores de banda, impulsores por tracción, impulsores de carrera variable e impulsores hidrostáticos o hidrodinámicos.

Figura 1.5: Clasificación de las TVCs A continuación se presenta una breve descripción de cada unos de los diferentes tipos de TVCs. TVC impulsada por bandas En una TVC impulsado por bandas, una banda de hule o de acero corriendo sobre una polea cónica de diámetro variable es usada para transmitir potencia en diferentes relaciones de transmisión. De acuerdo al material de la banda, las TVCs impulsadas por bandas pueden ser divididas en bandas de tipo metálicas, de cadena y de hule. En la figura 1.6 se muestran diagramas esquemáticos de cada tipo de banda. Debido a su poca capacidad de potencia transmitida, las TVCs con bandas de hule son adoptadas en vehículos compactos y en máquinas-herramienta, principalmente. Los vehículos de pasajeros equipados con una TVC de bandas tipo cadena tuvieron una breve aparición en el mercado, pero su producción se detuvo a causa de los problemas con el ruido y las vibraciones de la banda-cadena. Actualmente, la mayoría de las TVCs convencionales han impulsado el uso de bandas metálicas. A pesar de que las bandas metálicas aún sufren de una capacidad limitada de par

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Figura 1.6: Bandas para TVCs impulsadas por bandas torsional, el número de unidades producidas se ha ido incrementando continuamente en el mercado mundial. La capacidad de par torsional se ha incrementado recientemente con la ayuda de los avances en la metalurgia y las mejoras en los sistemas hidráulicos. La figura 1.7 muestra la TVC impulsada por banda de hule hecha por Aichi Co. y la TVC impulsada por banda metálica de Honda Co.

Figura 1.7: TVCs impulsadas por bandas

TVCs con impulsores hidrostáticos/hidrodinámicos y de carrera variable Los impulsores hidrostáticos/hidrodinámicos utilizan un fluido incompresible como medio de transmisión, para conectar una bomba hidráulica directamente a la variable de desplazamiento de un actuador hidráulico. Las TVCs equipadas con estos impulsores pueden dar

1.2. SISTEMAS DE TRANSMISIÓN DE POTENCIA

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al motor posiciones de neutral, avance o reversa, pero típicamente no tienen aplicación en vehículos de pasajeros debido a su baja eficiencia, peso considerable y ruido ocasionado. Las aplicaciones se han visto limitadas a equipo pesado. Un impulsor de carrera variable está construido con un tipo de embrague y dispositivos de manivela-corredera los cuales pueden ajustar la longitud del brazo de la manivela. El movimiento rotacional del eje móvil se transforma en movimiento traslacional, y el embrague rectifica el movimiento en movimiento unidireccional.

Figura 1.8: TVCs con impulsores de carrera variable

TVCs impulsadas por fuerzas de tracción y de fricción Las ruedas de fricción de diámetros iguales fueron uno de los primeros mecanismos para cambio de velocidades. Se especula que su uso precede incluso a las ruedas dentadas, de las cuales se tienen datos de su uso en tiempo de Arquímedes, cerca del año 250 A.C. Aún en nuestros días, los impulsores por fricción pueden ser encontrados en equipos donde se requiere una solución simple y económica al problema de regulación de velocidad: fonógrafos, podadoras auto impulsadas, son ejemplos comunes. En estos ejemplos están involucrados contactos secos y los niveles de potencia transmitida son bajos. Sin embrago, este mismo principio puede ser usado análogamente en impulsores por tracción lubricados que pueden transmitir cientos de caballos de fuerza. Los impulsores por tracción lubricados han estado en servicio en la industria por más de 70 años como reguladores de velocidad. Los grandes progresos en la investigación en el área de la tribología desde finales de los años 60, particularmente en la investigación sobre la tracción lubricada elastohidrodinámicamente, ha hecho más sencilla la comprensión de los mecanismos impulsados por tracción. Los impulsores por tracción transmiten potencia a través de una fuerza cortante incrementada, la cual es resultado de un esfuerzo cortante elastohidráulico del aceite de tracción entre dos

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

cuerpos sólidos en rotación. Con un coeficiente de tracción típicamente de 0.1, no ocurre deslizamiento macroscópico en ningún momento. Dado que no existe contacto directo entre los cuerpos en rotación, no ocurren fenómenos de desgaste. La relación de transmisión es variada mediante el control del radio efectivo del punto de contacto. De acuerdo a las geometrías de los elementos en rotación, existen varios tipos de TVCs impulsadas por tracción, los principales son: el tipo semi-toroidal y el toroidal. La TVC semi-toroidal tiene discos semicirculares, mientras que la TVC toroidal tiene discos de circunferencia completa como elementos rotatorios de entrada/salida. De acuerdo a la curvatura de los radios de los discos, es que tienen diferentes relaciones de transmisión accesibles, y capacidades de par torsional. En la figura 1.9 se muestra un impulsor toroidal y su respectiva TVC hecha por Torotrax Ltd. en Inglaterra. Además de este, muchos constructores de automóviles han desarrollado TVCs semi-toroidales con diferentes capacidades de par torsional en Japón. Junto con el desarrollo de nuevos aceites de tracción, se han presentado varios prototipos de TVCs impulsadas por tracción en el mercado.

Figura 1.9: TVC toroidal Generalmente, los impulsores por tracción muestran una rápida respuesta de alternación comparada con los impulsores de banda, y pueden ser implementados en vehículos de mediano tamaño, a causa de que el aceite de tracción presurizado soporta más esfuerzos cortantes que los impulsores de bandas. Los inconvenientes de los impulsores por tracción que se conocen son los siguientes: la necesidad de un control cuidadoso de la temperatura, el suministro y sellado hermético del aceite de tracción y el complicado control de alternación debido al contacto tridimensional causado por los elementos rotatorios. Finalmente, existen los impulsores por fricción, donde el mecanismo de transmisión de potencia se da mediante la resistencia y la fuerza de fricción entre cuerpos en contacto giratorio directo, por su estructura y principios de operación son muy similares a los impulsores por tracción. Los impulsores por fricción han sido también encontrados en muchos tipos de

1.2. SISTEMAS DE TRANSMISIÓN DE POTENCIA

15

maquinaria para trabajar madera que data de antes del año 1870. Los impulsores por fricción no han sido considerados para vehículos para pasajeros debido a su baja capacidad para transmitir par de torsión, desgaste y problemas de disipación de calor. Sin embargo, los impulsores por fricción han recibido una atención importante desde la perspectiva de la tribología, debido a que un posicionamiento preciso puede ser llevado a cabo si se evita el backlash. Además, los impulsores por tracción y por fricción proveen mucha flexibilidad en el diseño en términos de sus estructuras y dado que permiten diseños compactos. Aunque cada tipo de TVC tiene su particular conjunto de ventajas y desventajas, las dificultades compartidas por las TVCs actuales son los diseños complicados de los controladores para la alternación y de la necesidad de una gran capacidad, típicamente ineficiente de un actuador para la alternación. Otra desventaja de estos diseños es el hecho de que no tienen las capacidades de una transmisión infinitamente variable, es decir, no incluyen una salida cero dentro del rango disponible de relaciones de transmisión.

1.2.3.

La TVC esférica

La TVC esférica se encuentra dentro de las TVCs impulsadas por fuerzas de fricción e intenta superar algunas de las limitaciones anteriormente mencionadas de los diseños actuales de TVCs. Sus principales ventajas son que cuenta con un diseño cinemático simple y sus características de TIV (transmisión infinitamente variable), es decir, la habilidad de una suave transición entre estados de avance, neutral y reversa sin la necesidad de frenos y/o embragues.

Figura 1.10: TVC esférica propuesta por Kim J.

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

A causa de que esta TVC transmite potencia mediante fuerzas de fricción desarrolladas por el contacto giratorio de metal sobre metal, tiene importantes limitaciones en lo que a par torsional transmitido se refiere, el cual está determinado efectivamente por el coeficiente de fricción estática y la magnitud de las fuerzas normales aplicadas sobre el elemento de transmisión (una esfera). Debido a esta limitación, la TVC esférica no se ha implementado en vehículos automotores y en otras aplicaciones en donde se requiere una gran capacidad de potencia transmitida. Las aplicaciones de la TVC esférica apuntan hacia la robótica móvil, electrodomésticos caseros, máquinas-herramienta a pequeña escala y otras aplicaciones en donde los requerimientos de potencia son moderados. Actualmente, existen varios diseños alternos de TVCs esféricas, por ejemplo los reportados por Kim J. en [4] y por Moore C. en [6].

Figura 1.11: TVC esférica propuesto por Moore C. La TVC esférica de Kim está compuesta de tres pares de discos de entrada y de salida, variadores y una esfera (ver figura 1.10). Los discos de entrada están conectados a la fuente de potencia, por ejemplo, un motor eléctrico; mientras que los discos de salida se encuentran conectados a las flechas de salida. La esfera, la cual es el principal componente de la TVC, transmite la potencia de los discos de entrada a los discos de salida mediante la fricción generada por el contacto giratorio entre los discos y la esfera. Los variadores, los cuales están conectados al controlador de alternación, están en contacto con la esfera al igual que los

1.3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVOS DE LA TESIS

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discos de entrada y de salida y restringen la dirección de giro de la esfera a que sea tangente al eje de rotación del variador. Las relaciones de velocidad angular y de par torsional de la TVC varían con el desplazamiento angular de los variadores. Para transmitir potencia de los discos a la esfera o de la esfera a los discos, es necesario que un dispositivo que proporcione una fuerza normal a la esfera, tal como un resorte o un actuador hidráulico, sea instalado en cada flecha. Como se puede observar en la figura 1.10, la estructura y los componentes de esta TVC son lo suficientemente simples para permitir una reducción considerable en tamaño y peso comparado con las transmisiones convencionales. La orientación de las flechas de entrada y de salida también puede ser localizada libremente usando rodillos en posiciones arbitrarias en lugar de discos. En [5], esta TVC se encuentra implementada en un robot móvil. La TVC propuesta por Moore, (ver figura 1.11), consiste en una esfera encerrada por cuatro rodillos, en la cual la variación de la relación de transmisión se logra a partir del control del ángulo de orientación θ. Esta TVC es usada en un robot móvil pasivo, llamado Cobot. El Cobot adopta la TVC rotacional para proveer superficies de restricción para dispositivos hápticos.

1.3.

Planteamiento del problema y objetivos de la tesis

En [4] y [5], Kim, J. desarrolla el modelo dinámico de su TVC y recalca la importancia del conocimiento de dicho modelo en la implementación práctica de la TVC en un sistema mas complejo, específicamente en un robot móvil. En la sección de Mecatrónica del departamento de Ingeniería Eléctrica del CINVESTAV I.P.N. se cuenta con un prototipo de una TVC esférica construido por Flores O. [7] y que básicamente consiste en un rediseño de la TVC propuesta por Moore en [6]. El tema de esta tesis surge a raíz de que en la literatura se encuentra reportado el desarrollo para obtener el modelo cinemático de este tipo específico de TVC, pero no así para la obtención del modelo dinámico. Surge entonces la necesidad de obtener el modelo dinámico del TVC si se pretende su futura implementación en algún sistema más complejo. Como anteriormente se mencionó, cualquier modelo matemático involucra parámetros, algunos de los cuales pueden ser conocidos o medidos de alguna manera, sin embargo, también están involucrados parámetros desconocidos y que no se pueden medir de manera directa, por tal razón, surge la necesidad de estimar sus valores numéricos a partir de datos obtenidos experimentalmente del sistema real, lo que se conoce como identificación de sistemas; de tal manera que si se pretende tener un modelo que describa de manera precisa el comportamiento de un sistema, es necesario realizar una buena estimación de los parámetros involucrados. A raíz de lo anteriormente explicado se plantean los siguientes objetivos para este trabajo de tesis: Desarrollar la metodología para obtener el modelo dinámico de la TVC esférica diseñada y construida por Flores O., utilizando el modelo cinemático desarrollado en [7].

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Obtener el modelo dinámico de la TVC tomando en cuenta los efectos de fricción entre cuerpos en contacto giratorio en el modelo cinemático, utilizando resultados obtenidos por Moore en [9]. Instrumentar el prototipo de la TVC esférica para la obtención y procesamiento de datos experimentales. Identificar los parámetros desconocidos involucrados en el modelo dinámico de la TVC utilizando datos experimentales. Validar el modelo dinámico de la TVC mediante la comparación del comportamiento del modelo y del sistema real, utilizando para ello resultados de simulación y resultados experimentales. Verificar los efectos de incluir en el modelo dinámico los efectos de fricción.

1.4.

Contribuciones del trabajo

Como anteriormente se mencionó, la principal utilidad de conocer el modelo de un sistema radica en el hecho de que se puede predecir el comportamiento del sistema real, en condiciones particulares de operación sin necesidad de realizar experimentos, por medio de simulaciones numéricas si se cuenta con la plataforma computacional adecuada. Esto adquiere singular importancia cuando tratamos con sistemas complejos compuestos por elementos de diversa naturaleza (mecánica, eléctrica, etc.), en los que se hace necesario conocer el modelo de cada uno de dichos elementos para analizar la manera en la que interactúan y comprender las frecuentes conversiones de energía que se llevan a cabo en el sistema. Dado que hasta el momento no se han reportado resultados acerca del modelo dinámico de esta TVC en particular, las contribuciones de este trabajo son: La obtención del modelo dinámico de la TVC. La implementación de técnicas de identificación para estimar los parámetros no medibles del modelo. La validación del modelo dinámico con los parámetros estimados.

1.5.

Organización de la tesis

A continuación se describe de manera resumida el contenido de cada uno de los capítulos que forman este trabajo de tesis. En el capítulo 2 se presenta la descripción de la plataforma experimental utilizada a lo largo del trabajo. En la primera sección, se describe el prototipo de la TCV, sus principios de funcionamiento y los elementos que la componen. En la segunda sección, se describen los componentes, tanto de software como de hardware utilizados en el desarrollo de este trabajo

1.5. ORGANIZACIÓN DE LA TESIS

19 R °

de tesis, también se describe la interfaz de la tarjeta de adquisición de datos con Simulink R ° de Matlab realizada para la adquisición y el procesamiento de datos experimentales. En el capítulo 3 se desarrolla la metodología seguida para la obtención del modelo dinámico de la TCV. Primeramente, se desarrolla el modelo dinámico de una transmisión convencional de engranes. Posteriormente, utilizando resultados reportados en la literatura de la cinemática de la TCV y haciendo una analogía con el desarrollo del modelo dinámico de la transmisión convencional, se desarrolla el modelo dinámico de la TCV. Por último, se incluyen en el modelo los efectos de fricción entre cuerpos en contacto giratorio, lo que ocasiona un cambio en la expresión de la relación de transmisión y, consecuentemente, en el modelo dinámico. El capítulo 4 está dedicado al tema de identificación de sistemas. Primero, se presentan algunos conceptos útiles para abordar tema y se presenta la descripción de los métodos a utilizar en este trabajo, aunque posteriormente, se hace mención de manera breve de algunos otros métodos existentes. Se presenta, a manera de ejemplo la implementación de los métodos a utilizar en un sistema mecánico simple y los resultados obtenidos. Finalmente, se desarrolla la metodología seguida para la estimación de los parámetros desconocidos involucrados en el modelo obtenido en el capítulo anterior, aplicando los métodos descritos con anterioridad. En el capítulo 5, se presentan los resultados del trabajo experimental. Primero, la implementación de un controlador proporcional integral (PI) para la regulación de la velocidad R R ° ° de salida de la TCV, utilizando la interfaz de la tarjeta con Simulink de Matlab y cuyos resultados servirán como base tanto para las tareas de identificación como de validación del modelo. Posteriormente, se presenta la implementación de los métodos de identificación desarrollados en el capítulo 4, tanto la estimación de los parámetros del motor de control R R ° ° utilizando el System Identification Toolbox de Matlab como la estimación de los coeficientes de fricción viscosa y del par torsional de entrada de la TCV aplicando el método de mínimos cuadrados. Finalmente, se presentan los resultados en lo referente a la validación del modelo, mediante la comparación de resultados experimentales con resultados obtenidos de la simulación del modelo con los parámetros estimados previamente. Las conclusiones del trabajo y algunas perspectivas a futuro son la parte final de este escrito. Se anexan también apéndices con las características técnicas de los sensores y de los R ° circuitos integrados, así como también con los programas y funciones de Matlab utilizados a los largo de la tesis.

20

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Capítulo 2 Plataforma experimental 2.1.

Introducción

En el presente capítulo se realiza la descripción del prototipo de la TCV esférica con el que se cuenta en la sección de Mecatrónica del CINVESTAV, así como la PC y el hardware utilizados para la adquisición y el procesamiento de datos utilizados en la fase experimental de esta tesis. Esto con la finalidad de dar a conocer el sistema del cual se pretende obtener el modelo dinámico, lo cual es la parte central de esta tesis, así como también sentar las bases de lo que será el trabajo experimental cuyos resultados se presentarán en el capítulo 5. Se pretende una descripción cualitativa, más que cuantitativa, en lo referente a los componentes mecánicos de la TCV, ya que esto se encuentra reportado con detalle por Flores en [7]. En cuanto a lo referente a sensores y electrónica, se presenta información técnica detallada en los apéndices.

2.2.

Prototipo de la TVC esférica

El prototipo de la TVC esférica fue construido por Oswaldo Flores Sánchez [7], ex-alumno de la sección como parte de su tema de tesis de maestría. En la figura 2.1 se presenta un dibujo esquemático de dicho prototipo. A continuación se presenta la descripción de sus componentes mecánicos. La TVC consiste básicamente de los siguientes elementos: dos flechas, con velocidades angulares ω 1 y ω 2 , una esfera central, dos rodillos conductores, dos rodillos adicionales (rodillos directores), dos pares de engranes cónicos, una base fija, una base móvil y dos resortes (que no se muestran en la figura 2.1). La flecha con velocidad angular ω 1 es la flecha de entrada y está conectada al elemento conductor, a la fuente de movimiento. La flecha con velocidad angular ω 2 es la flecha de salida y estará conectada al elemento conducido, a la carga. La esfera central es el elemento de transmisión, el contacto entre ésta y los rodillos conductores es la analogía al contacto entre los dientes de engranes en una transmisión 21

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CAPÍTULO 2. PLATAFORMA EXPERIMENTAL

Figura 2.1: Dibujo esquemático del prototipo de la TVC esférica convencional. Los rodillos conductores están acoplados a las flechas de entrada y de salida y giran sobre la superficie de la esfera central para transmitir la potencia (velocidad angular y par torsional) de la flecha de entrada a la flecha de salida. Los rodillos directores también están en contacto giratorio con la esfera y su ángulo de orientación θ, determina la relación de transmisión RCV T = ωω21 . Este ángulo de orientación está controlado por un motor de CD de imán permanente, al que llamaremos motor de control. Los engranes cónicos permiten que los dos rodillos directores permanezcan alineados, es decir, que tengan el mismo desplazamiento angular, uno gira en sentido horario y el otro en sentido anti-horario. Sobre la base fija se encuentran montadas las flechas de entrada y de salida mediante rodamientos de bolas. Sobre la base móvil se encuentran las flechas de los rodillos directores y el mecanismo de engranes cónicos. Esta base se mantiene en contacto con la esfera, mediante la fuerza ejercida por los resortes.

2.3.

Adquisición y procesamiento de datos

2.3.1.

Sensores y actuadores

Para medir el ángulo de orientación θ, la velocidad del motor de control y la velocidad de la flecha de salida de la TVC, se utilizan sensores ópticos de posición (encoders) de la marca US Digital modelo S2-2048-B, con las siguientes características: Alimentación +5V CD Dos canales en cuadratura

2.3. ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS

Figura 2.2: Vista parcial del prototipo de la TVC esférica

Figura 2.3: Prototipo de la TVC esférica

23

24

CAPÍTULO 2. PLATAFORMA EXPERIMENTAL Salida digital TTL Resolución 2048 pulsos por revolución con opción de multiplicador de resolución, con el que se logran hasta 8192 pulsos por revolución

Para información mas detallada, consultar el apéndice A1. La medición de las velocidades se logra derivando la posición leída por el sensor, esto se hace por software y se hablará de esto con mayor detalle más adelante en la sección 2.3.5. La ubicación de los sensores se presenta en las figuras 2.4 y 2.5.

Figura 2.4: Sensor óptico para medir la posición angular del motor de control

Figura 2.5: Sensor óptico para medir la posición angular de la flecha de salida de la TVC La entrada de la TVC está dada por un motor de CD del que no se tiene mucha información, lo cual no se considera de gran importancia ya que básicamente lo que se desea, es que suministre a la TVC una velocidad constante de entrada, por lo que no será necesario caracterizarlo experimentalmente.

2.3. ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS

25

El motor de control es un motor de CD de imán permanente que está acoplado al mecanismo de engranes cónicos para mover los rodillos directores y establecer la relación de transmisión. Los parámetros de este motor se identificarán de manera experimental como se expondrá en los capítulos 4 y 5. En la figura 2.6 se muestran ambos motores. El de mayor tamaño, ubicado en la parte superior es el motor de entrada y el que se encuentra acoplado al juego de engranes cónicos es el motor de control.

Figura 2.6: Motor de entrada y motor de control de la TVC

2.3.2.

Tarjeta de adquisición de datos

La tarjeta utilizada es el modelo MF 604 de la marca Humusoft, es una tarjeta multifuncional que se conecta al puerto ISA de la PC. Está diseñada para adquisición de datos R ° estándar y aplicaciones de control y está optimizada para usarse con el Real Time Toolbox R ° de Matlab . Las características de la tarjeta son las siguientes: Convertidores A/D con resolución de 12 bit 8 canales de entradas analógicas con rangos seleccionables: ±10V, ±5V, 0 − 10V, 0 − 5V Convertidores D/A con resolución de 12 bit 4 canales de salidas analógicas con un rango de ±10V

26

CAPÍTULO 2. PLATAFORMA EXPERIMENTAL 4 entradas de encoders en cuadratura 8 bit de entradas digitales compatibles con TTL 8 bit de salidas digitales compatibles con TTL Requiere un puerto ISA de 16 bit para conectarse a la PC

La tarjeta cuenta con dos módulos, uno para entradas y salidas digitales y analógicas y otro para la lectura de encoders y el manejo de contadores y temporizadores [19], por lo tanto fueron necesarios dos cables planos, uno para cada módulo. R R ° ° La programación se realizó utilizando la interfaz con el Real Time Toolbox de Matlab R ° y Simulink , como se describe en la sección 2.3.5.

2.3.3.

Etapa de potencia

La etapa de potencia es la encargada de acondicionar la señal proveniente de la salida del controlador (desde la PC) para alimentar el motor de control de CD, como se muestra en la figura 2.7. La etapa de potencia está compuesta básicamente por un modulador de ancho de pulso (PWM) y un puente H. El modulador de ancho de pulso es usado para controlar el voltaje promedio de alimentación del motor, con lo cual se regula su velocidad. El puente H se sirve de la señal de salida del PWM para hacer una conmutación de la fuente de alimentación, con el fin de regular el voltaje y la corriente promedio que son entregadas al motor, en sus terminales. La lectura del sensor óptico es registrada mediante una de las entradas de encoders de la tarjeta. El controlador proporcional integral (PI) se desarrolla por software, como se explica en la sección 5.2 y su salida es enviada a uno de los cuatro canales de salidas analógicas con que cuenta la tarjeta de adquisición para de ahí ser enviada a la entrada del modulador, cuya salida corresponde a la entrada del puente H. La salida del puente H alimenta directamente al motor de control.

Figura 2.7: Diagrama a bloques del sistema de control Se utilizó el circuito integrado TL494 de National Instruments como modulador de ancho de pulso con la configuración mostrada en la figura 2.8.

2.3. ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS

27

Figura 2.8: Configuración del PWM utilizado Para información detallada del circuito TL494, consultar el apéndice A2. En lo que respecta al puente H, se utilizó el circuito integrado LMD 18200 de National Semiconductor, cuyas principales características son las siguientes: Entrega salidas hasta de 3A Voltajes de alimentación hasta de 55V Entradas compatibles con TTL y CMOS Indicador de advertencia térmico a los 145o Sensor de corriente Bit de dirección Para información detallada del circuito LMD 18200, consultar el apéndice A3.

2.3.4.

Características de la PC

Las características de la PC utilizada para la instalación de la tarjeta y la programación para el procesamiento de los datos son las siguientes: Procesador Intel Pentium 3 192 MB de memoria RAM Sistema operativo: Windows 98 Puerto ISA R °

Software utilizado: Matlab

R °

6.5 release 13, Real Time Toolbox

R °

y Simulink .

28

CAPÍTULO 2. PLATAFORMA EXPERIMENTAL

2.3.5.

Interfaz de la tarjeta de adquisición de datos con Real Time R R R ° ° ° Toolbox y Simulink de Matlab

Para poder realizar la interfaz, es necesario contar con la instalación en la PC de algún compilador de lenguaje C y los controladores de la tarjeta que están disponibles en la página de Humusoft. R ° Una vez instalados éstos, desde la librería de Simulink se abren las opciones de Real R ° Time Windows Target , donde se encuentran los bloques para la lectura de encoders así como también para salidas y entradas analógicas y digitales, abriendo uno de estos bloques R ° desde la pantalla de Simulink aparece la opción de instalar una nueva tarjeta, se busca la opción Humusoft MF604 y se instala, se procede a realizar algunas pruebas para corroborar la correcta lectura de los datos. Para tener una correcta lectura es necesario proporcionar a la tarjeta las señales de los canales A y B de los sensores, así como también dichas señales negadas [19]. Para tal efecto se utilizó una compuerta lógica NAND, el circuito integrado DM74LS00 de Fairchild Semiconductor, como se muestra en la figura 2.9. Las especificaciones técnicas del circuito integrado aparecen en el apéndice A4.

Figura 2.9: Circuito utilizado para invertir las señales de los canales de los sensores R °

En la figura 2.10 se muestra el diagrama de bloques de Simulink utilizado para la lectura de los sensores. Es conveniente hacer algunas observaciones acerca de la figura 2.10. Dado que la lectura del sensor está dada en pulsos, es necesario hacer la conversión a radianes, dado que se utilizó el multiplicador de resolución del sensor, se tiene que ∙ ¸∙ ¸ 1rev 2πrad [lectura(pulsos)] 8192pulsos 1rev

2π , con Por lo tanto se tiene que el factor de conversión de pulsos del sensor a radianes es 8192 esto se tiene la lectura de la posición del motor en radianes y, en consecuencia, la velocidad en rad . s

2.4. CONCLUSIONES

29

Figura 2.10: Diagrama de bloques de Simulink para lectura de los sensores

2.4.

Conclusiones

Se resolvió el problema de la instrumentación, ya que el prototipo se encontraba sin sensores y la PC no contaba con tarjeta de adquisición de datos. También fue necesario armar los circuitos electrónicos relativos a la etapa de potencia (PWM y puente H) y para la lectura de los sensores (los inversores). R R ° ° Se realizó la interfaz de la tarjeta con el Real Time Toolbox de Matlab y Simulink y se realizaron algunos experimentos para verificar la correcta lectura de posición y de velocidad del motor de control y de la flecha de salida de la TVC. Las lecturas de velocidad fueron validadas mediante la comparación con lecturas tomadas con un tacómetro, obteniendo resultados satisfactorios. R ° El diagrama de Simulink realizado para la lectura de posición y velocidad nos servirá de base para la implementación del controlador PI para la regulación de salida de la TVC que se realizará posteriormente, en el capítulo 5, así como también para los experimentos para la validación del modelo y para la identificación paramétrica. Una vez descritos los componentes mecánicos, electrónicos y la instrumentación del prototipo se está en condiciones de realizar el análisis pertinente para desarrollar la metodología para la obtención del modelo dinámico de la TVC.

30

CAPÍTULO 2. PLATAFORMA EXPERIMENTAL

Capítulo 3 Modelado dinámico de la TVC 3.1.

Introducción

Cuando interactuamos con un sistema, necesitamos alguna noción de cómo se relacionan sus variables unas con otras, para esto se utilizan los modelos. De manera general, el modelo de un sistema es una herramienta que usamos para responder preguntas acerca del comportamiento del sistema sin tener que realizar experimentos. El modelo puede ser usado para calcular o estimar la respuesta del sistema bajo ciertas condiciones. Esto puede ser hecho analíticamente, esto es, mediante la solución de las ecuaciones matemáticas que describen al sistema y posteriormente, analizando dichas soluciones. Si se cuenta con la plataforma computacional adecuada, se pueden realizar experimentos numéricos sobre el modelo. Esto es a lo que llamamos simulación. Sin embargo, para que un modelo tenga utilidad, tenemos que tener confianza en los resultados y predicciones que se obtienen de él. Esa confianza puede ser obtenida a través de la validación del modelo, lo cual es tema del capítulo 5 de esta tesis. Como se explicó en la sección 1.1.3 la obtención del modelo de un sistema puede ser realizada siguiendo dos principios: el modelado por leyes físicas y/o mediante el proceso de identificación. La metodología seguida para la obtención del modelo dinámico de la TVC está basada en el modelado por leyes físicas y se complementa con el proceso de identificación para la estimación de algunos parámetros del modelo que no se pueden medir directamente, el tema de identificación se trata con detalle en el capítulo siguiente. El modelado por leyes físicas consiste en dividir el sistema en subsistemas más simples cuyo comportamiento pueda ser descrito por las leyes físicas conocidas. De esta manera se hace un análisis de lo que es la parte mecánica de la TVC (propiamente lo que es el sistema de transmisión) y posteriormente de la parte eléctrica, que representa el motor de control para determinar las relaciones entre las variables de ambos subsistemas. Dado que la TVC es un sistema de transmisión de potencia mecánica, el análisis del subsistema mecánico se realiza a partir de una analogía con una transmisión convencional de engranajes, por lo que, primeramente, es necesario obtener el modelo dinámico de ésta. La principal diferencia entre una transmisión convencional y la TVC es la variación continua de la relación de transmisión de esta última, por esta razón, se retoman resultados publicados 31

32

CAPÍTULO 3. MODELADO DINÁMICO DE LA TVC

anteriormente acerca de la cinemática de la TVC y de las expresiones para la relación de transmisión y se incorporan al modelo dinámico de la transmisión para obtener el modelo de la TVC. En la literatura se encontraron reportados dos análisis cinemáticos de la TVC esférica. Primero el caso llamado ideal en [6] y [7], en el que son despreciados los efectos de fricción ocasionados por el contacto entre la esfera y los rodamientos que conectan a las flechas de entrada y de salida (rodillos conductores); y segundo, el caso no ideal en [9], en el que dichos efectos son considerados y modelados mediante las leyes de Coulomb para fricción seca. En este capítulo, se obtiene el modelo dinámico para ambos casos, con el propósito de observar en qué medida el comportamiento del modelo se aproxima más al del sistema al incluir los efectos de la fricción entre la esfera y los rodillos conductores, esto se observará al realizar la validación del modelo.

3.2.

Modelo dinámico de una transmisión de engranes

Considérese la siguiente transmisión de engranes

Figura 3.1: Transmisión convencional de engranes

Aplicando la segunda ley de Newton para movimiento rotacional, se obtienen las ecuaciones de movimiento para cada engrane J1 ¨θ1 + b1 θ˙ 1 + k1 θ1 = τ m − τ 1

(3.1)

J2 ¨θ2 + b2 θ˙ 2 + k2 θ2 + τ L = τ 2

(3.2)

3.2. MODELO DINÁMICO DE UNA TRANSMISIÓN DE ENGRANES

33

donde τm τ1 τ2 τL J1 , J2 b1 , b2 k1 , k2 θ1 , θ2 ω1 ω2

= = = = = = = = = =

Par de entrada proveniente del motor Par de la carga en el engrane 1 (conductor) Par transmitido al engrane 2 (conducido) Par de la carga en la flecha de salida Inercias asociadas a las flechas de entrada y de salida, respectivamente Fricción viscosa asociada a las flechas de entrada y de salida, respectivamente Rigidez asociada a las flechas de entrada y de salida, respectivamente Posiciones angulares de las flechas de entrada y de salida, respectivamente θ˙ 1 = Velocidad angular de la flecha de entrada θ˙ 2 = Velocidad angular de la flecha de salida

Definiendo la relación de transmisión como R=

ω2 ω1

y realizando un análisis cinemático [16], se tiene que R=

n1 d1 = n2 d2

con n1 n2 d1 d2

= = = =

Número de dientes del engrane 1 Número de dientes del engrane 2 Diámetro de paso del engrane 1 Diámetro de paso del engrane 2

Considerando la conservación de la energía, es decir, tomando una eficiencia de la transmisión del 100 %, se tiene que τ 1ω1 = τ 2ω2 ω1 1 τ2 = τ1 = τ1 (3.3) ω2 R Multiplicando la ecuación (3.1) por R1 y sustituyendo la ecuación (3.3) en la ecuación (3.2) se obtiene 1 ¨ 1 1 1 1 J1 θ1 + b1 θ˙ 1 + k1 θ1 = τ m − τ 1 (3.4) R R R R R 1 (3.5) J2 ¨θ2 + b2 θ˙ 2 + k2 θ2 + τ L = τ 1 R Sumando las ecuaciones (3.4) y (3.5) se tiene lo siguiente 1 1 1 1 J2 ¨θ2 + b2 θ˙ 2 + k2 θ2 + τ L + J1 ¨θ1 + b1 θ˙ 1 + k1 θ1 = τ m R R R R

(3.6)

34

CAPÍTULO 3. MODELADO DINÁMICO DE LA TVC Dado que tanto n1 y n2 como d1 y d2 son constantes, la relación de transmisión R =

θ˙ 2 θ˙ 1

ω2 ω1

=

es constante y se puede concluir que 1˙ θ2 R 1¨ = θ2 R 1 = θ2 + c1 R

θ˙ 1 = ¨θ1 θ1

donde c1 es una constante de integración. Considerando las condiciones iniciales θ1 (0) = 0 θ2 (0) = 0 se tiene que 0=

1 (0) + c1 R c1 = 0

Sustituyendo lo anterior en la ecuación (3.6) se obtiene que µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 1 1 1 1 J2 ¨θ2 + b2 θ˙ 2 + k2 θ2 + τ L + J1 ¨θ2 + b1 θ˙ 2 + k1 θ2 = τ m R R R R y agrupando términos " " " µ ¶2 # µ ¶2 # µ ¶2 # 1 1 1 1 ¨θ2 J2 + J1 + θ˙ 2 b2 + b1 + θ2 k2 + k1 + τL = τm R R R R

(3.7)

(3.8)

Al proponer el siguiente cambio de variables: a1 = θ2 a2 = a˙ 1 = θ˙ 2 se obtiene el modelo en variables de estado del sistema a˙ 1 = a2 h h ¡ 1 ¢2 i ¡ 1 ¢2 i −x1 k2 + k1 R − a2 b2 + b1 R − τ L + R1 τ m a˙ 2 = ¡ ¢2 J2 + J1 R1 y = a2

(3.9)

3.3. CINEMÁTICA DE LA TVC IDEAL

3.3.

35

Cinemática de la TVC ideal

Los ejes de los dos rodillos conductores son perpendiculares y coplanares. Ya que ambos rodillos conductores están en contacto giratorio con la esfera, el eje de rotación de la esfera debe situarse en el plano que contiene a los dos rodillos conductores y pasar a través de su centro. Los ejes de los rodillos directores no son coplanares, cada eje, junto con el punto de contacto entre el rodillo y la esfera definen un plano. Estos dos planos se intersectan en el plano que contiene a los rodillos conductores. Esta línea de intersección es el eje de giro de la esfera. En la figura 3.2 se presenta una vista en dos planos de la esfera central de la TVC con los rodillos conductores y directores, también se muestra el eje de rotación de la esfera y los ángulos utilizados para el desarrollo de la cinemática.

Figura 3.2: Análisis cinemático de la TVC La figura 3.2a es un diagrama del plano que contiene los rodillos conductores y el eje de rotación de la esfera. Como se muestra, el eje hace un ángulo γ con el rodillo conductor 2. La figura 3.2b muestra el plano que contiene cada rodillo director. Los ejes de los rodillos directores se encuentran saliendo de la página en la dirección −y, pero es importante notar que su orientación cambia mediante el ajuste del ángulo de orientación θ. El ángulo α es el que se forma entre el rodillo director y el eje z. La figura 3.2c es una representación vectorial en 3D del eje del rodillo director 1 y un vector normal a este. Mediante el ajuste del ángulo de orientación θ el rodillo director 1 pivotea en el punto p. Algo similar ocurre con el rodillo director 2 que no se muestra, sin embargo, es un espejo de la imagen de l figura 3.2c. Con la orientación de los ejes de los rodillos directores completamente descrita en el espacio por θ, α y un punto entre cada rodillo y la esfera, es posible definir vectores normales a cada eje de los rodillos directores N1

− sin θ cos αˆı + cos θˆ j + sin θ sin αkˆ

N2

− sin θ cos αˆı + cos θˆ j − sin θ sin αkˆ

36

CAPÍTULO 3. MODELADO DINÁMICO DE LA TVC

Dado un vector normal Ai + Bj + Ck y un punto (x0 , y0, z0 ) la ecuación general para un plano es A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. Usando las normales determinadas arriba y los puntos (cos ψ, 0, sin ψ) y (cos ψ, 0, − sin ψ) entre los rodillos y la esfera las ecuaciones para los planos son Plano 1

− sin θ cos α(x − cos ψ) + cos θ(y − 0) + sin θ sin α(z − sin ψ) = 0

(3.10)

Plano 2

− sin θ cos α(x − cos ψ) + cos θ(y − 0) − sin θ sin α(z + sin ψ) = 0

(3.11)

Ahora, sea z = 0 para ambas ecuaciones de los planos, resultan dos ecuaciones de líneas. Estas íneas son idénticas y pasan por en centro de la esfera (0, 0, 0), entonces, ellas representan el eje de rotación de la esfera. Para obtener la ecuación de la recta, se divide la ecuación (3.10) por cos θ, se tiene que 0 − sin θ cos α(x − cos ψ) + cos θ(y) − sin θ sin α sin ψ = cos θ cos θ − tan θ cos α(x − cos ψ) + y − tan θ sin α sin ψ = 0

(3.12)

cos ψ = cos(90o − α) = cos 90o cos α + sin 90o sin α = sin α

(3.13)

sin ψ = sin(90o − α) = sin 90o cos α − cos 90o sin α = cos α

(3.14)

De la figura 3.2b, se observa que ψ = 90o − α y desarrollando las funciones seno y coseno para la resta de dos ángulos, obtenemos que

Sustituyendo las ecuaciones (3.13) y (3.14) en (3.12) se obtiene lo siguiente − tan θ cos α(x − sin α) + y − tan θ sin α cos α = 0 − tan θ cos α(x) + tan θ cos α sin α + y − tan θ sin α cos α = 0

− tan θ cos α(x) + y = 0 y = tan θ cos α (3.15) x La recta descrita por la ecuación (3.15) representa el eje de rotación de la esfera, entonces, su pendiente puede ser descrita usando un ángulo (llamémosle β) medido desde el eje x y = tan β x

(3.16)

con β = tan−1 (tan θ cos α) La ecuación (3.16) es una relación entre el ángulo de orientación θ y el eje de rotación de la esfera a través del ángulo β. La relación entre el ángulo de orientación θ y la relación de transmisión ωω21 se encuentra como sigue: Usando la figura 3.2a, por geometría, la relación de transmisión de los rodillos directores es ω2 d2 RT V C ≡ = = tan γ (3.17) ω1 d1

3.4. MODELO DINÁMICO DE LA TVC IDEAL

37

Medido desde el rodillo director 2, γ está desplazado −45o desde el eje negativo x, entonces γ = β − 45o . Las siguientes dos ecuaciones se derivan de combinar las ecuaciones (3.16) y (3.17) γ = tan−1 (tan θ cos α) − 45o ω2 = tan(tan−1 (tan θ cos α) − 45o ) (3.18) ω1 donde α = 45o en el prototipo y θ es el ángulo de orientación controlado por el motor de control.

3.4.

Modelo dinámico de la TVC ideal

Una vez obtenida la expresión para la relación de transmisión de la TVC, dada por la ecuación (3.18) estamos en condiciones de obtener su modelo dinámico. Tomando el modelo de la transmisión de engranes dado por la ecuación (3.7) y sustituyendo la relación de engranajes R por la relación de transmisión de la TVC RT V C , tenemos J2 ¨θ2 + b2 θ˙ 2 + k2 θ2 + τ L +

1 RT V C

J1 ¨θ1 +

1 RT V C

b1 θ˙ 1 +

1 RT V C

k1 θ1 =

1 RT V C

τm

Considerando que el sistema no soporta cargas grandes [6] y que las flechas están construidas de acero, el cual posee un alto módulo de rigidez [16], se pueden considerar a las flechas como cuerpos rígidos y despreciar los términos que involucran a k1 y k2 , obteniendo la siguiente expresión: J2 ¨θ2 + b2 θ˙ 2 + τ L +

1

J1 ¨θ1 +

1

b1 θ˙ 1 =

1

τm

(3.19)

RT V C J2 ¨θ2 + RT V C b2 θ˙ 2 + RT V C τ L + J1 ¨θ1 + b1 θ˙ 1 = τ m

(3.20)

RT V C

RT V C

RT V C

Multiplicando (3.19) por RT V C se obtiene

Se desea expresar la ecuación (3.20) en términos de ω 2 = θ˙ 2 . Se tiene que RT V C =

ω2 θ˙ 2 = = tan γ ω1 θ˙ 1

con γ = tan−1 (tan θ cos α) − 45o

donde θ es el ángulo de orientación controlado por el motor de control y α = 45o . Entonces θ˙ 2 θ˙ 1 = RT V C y, dado que RT V C no es constante ¨ ˙ ˙ ¨θ1 = RT V C θ2 − RT V C θ2 RT2 V C

38

CAPÍTULO 3. MODELADO DINÁMICO DE LA TVC

donde ∂ tan γ ∂ tan γ ∂γ ∂θ ∂RT V C R˙ T V C = = = ∂t ∂t ∂γ ∂θ ∂t ∂ tan γ = sec2 γ ∂γ ∂γ = ∂θ

h ³√ i ´ ∂ tan−1 22 tan θ − 45o

R˙ T V C = sec2

∂θ

√ 2 2

sec2 θ = 1 + 12 tan2 θ

# Ã√ #" √ ! 2 2 sec θ 2 2 θ˙ tan−1 tan θ − 45o 2 1 + 12 tan2 θ

"

Sustituyendo los resultados anteriores en la ecuación (3.20) obtenemos RT V C J2 ¨θ2 + RT V C b2 θ˙ 2 + RT V C τ L + J1

Ã

RT V C ¨θ2 − R˙ T V C θ˙ 2 RT2 V C

!

+ b1

Ã

θ˙ 2 RT V C

!

= τ m (3.21)

Debido a que el ángulo de orientación θ está controlado por un motor de CD, es necesario incluir la dinámica de dicho motor en el modelo de la TVC. Se considera el motor de CD de imán permanente mostrado en la figura 3.3

Figura 3.3: Motor de CD de imán permanente Aplicando la ley de voltajes de malla de Kirchoff se tiene que V = ri + L

di + eg dt

(3.22)

donde eg = kφω = kb ω = kb θ˙

(3.23)

3.4. MODELO DINÁMICO DE LA TVC IDEAL

39

con V r i L eg φ kb θ ω

= = = = = = = = =

Voltaje de alimentación en las terminales del motor Resistencia de armadura del motor Corriente de armadura del motor Inductancia asociada a la armadura del motor Fuerza electromotriz inducida por el flujo magnético Flujo magnético Constante de fuerza electromotriz Desplazamiento angular de la flecha del motor θ˙ = Velocidad angular de la flecha del motor

Aplicando la segunda ley de Newton para movimiento rotacional a la flecha de salida del motor, se obtiene su ecuación de movimiento J ¨θ = kT i − B θ˙

(3.24)

con J = Inercia del rotor y de la flecha del motor kT = Constante de par torsional del motor B = Coeficiente de fricción viscosa asociado al rotor del motor Cabe destacar que en el prototipo a la salida de la flecha del motor está conectado un juego de engranes que permite conservar la alineación de los rodillos directores, la carga que estos representan se modelan como una inercia adicional a la del rotor del motor y a la de la flecha y se incluyen todas estas en el término J de la ecuación (3.24). Tomando las ecuaciones (3.21),(3.22),(3.23) y (3.24) y rescribiéndolas se tiene ³ ´ ˙ 1 RT V C τ m − RT V C τ L + θ˙ 2 JR − RT V C b2 − RTb1V C 2 TV C ¨θ2 = J2 RT V C + RTJV1 C di V r kb = − i − θ˙ dt L L L B k ¨θm = T i − θ˙ J J Haciendo el cambio de variables w1 w2 w3 w4 w5 u

= = = = = =

θ2 x˙ 1 = θ˙ 2 i θm x˙ 4 = θ˙ m V

40

CAPÍTULO 3. MODELADO DINÁMICO DE LA TVC

se tiene el modelo de la TVC representado en variables de estado

w˙ 2 =

w˙ 1 = w2 ³ ˙ 1 RT V C τ m − RT V C τ L + w2 JR − RT V C b2 − 2 TV C

J2 RT V C +

J1

RT V C

b1 RT V C

´

r kb u w˙ 3 = − w3 − w5 + L L L w˙ 4 = w5 kT B w˙ 5 = w3 − w5 J J Observando que la variable w1 (posición angular de la flecha de salida de la TVC) no aparece en la dinámica del sistema y que su análisis no es de nuestro interés, el modelo se puede reducir a 4 variables de estado. ³ ´ ˙ 1 RT V C τ m − RT V C τ L + x1 JR − RT V C b2 − RTb1V C 2 TV C x˙ 1 = J2 RT V C + RTJV1 C r kb u x˙ 2 = − x2 − x4 + L L L x˙ 3 = x4 x˙ 4 = donde

(3.25)

kT B x2 − x4 J J y = x1

Ã√ ! # 2 RT V C = tan tan−1 tan x3 − 45o 2 " Ã√ ! #" √ # 2 2 sec x 2 3 2 x4 tan x3 − 45o = sec2 tan−1 2 1 + 12 tan2 x3 "

R˙ T V C

x1 x2 x3 x4

es es es es

la la la la

velocidad angular de salida de la TVC corriente de armadura del motor de control posición angular del motor de control velocidad angular del motor de control

La ecuación (3.25) representa el modelo dinámico de la TVC en variables de estado tomando la cinemática de la TVC ideal, es decir, la relación de transmisión sin tener en cuenta la fricción que se da por el contacto giratorio entre la esfera y los rodillos conductores. Los parámetros involucrados en el modelo de la ecuación (3.25) son los siguientes:

3.5. CINEMÁTICA DE LA TVC NO IDEAL

41

τ m par torsional proporcionado por el motor de entrada de la TVC τ L par de carga a la salida de la TVC J1 , J2 inercias asociadas a las flechas de entrada y de salida de la TVC, respectivamente b1 , b2 coeficientes de fricción asociados a las flechas de entrada y de salida de la TVC, respectivamente r resistencia de armadura del motor de control L inductancia de armadura del motor de control kb constante de fuerza electromotriz del motor de control kT constante de par torsional del motor de control B coeficiente de fricción asociado al rotor del motor de control J la suma de las inercias del rotor y de la flecha del motor de control Cabe hacer notar que la carga representada por los engranes cónicos conectados a la flecha del motor de control, será modelada como una inercia incluida en el parámetro J del motor de control. El par torsional de entrada es un parámetro desconocido, el cual se estimará de manera experimental. En cuanto al par de carga en la flecha de salida de la TVC τ L , este se considera despreciable, ya que a la salida de la TVC sólo se encuentra colocado el sensor óptico, acoplado por medio de un buje de bronce, y la carga que dicho buje representa es considerada como una inercia, la cual es sumada a la inercia de la flecha de salida. Los cálculos pertinentes se presentan en el apéndice B. Los cálculos de las inercias J1 y J2 se presentan detalladamente en el apéndice B. Los parámetros de fricción b1 y b2 , así como también todos los parámetros del motor de control se identificarán de manera experimental como se trata en los capítulos posteriores.

3.5.

Cinemática de la TVC no ideal

En [9] se desarrolla el modelo cinemático de la TVC, utilizando las leyes de fricción de Coulomb para modelar el contacto rotacional entre la esfera y los rodillos conductores. Esto conlleva a un cambio en la expresión de la relación de transmisión de la TVC como se aprecia en la ecuación 3.26 sγcγ + Ra c2 γ ω2 RT V C = = 2 (3.26) ω1 c γ − Ra s2 γ donde s denota la función seno c denota la función coseno 2a es el ancho de la línea de contacto entre la esfera y los rodillos conductores R es el radio de la esfera central

42

CAPÍTULO 3. MODELADO DINÁMICO DE LA TVC

3.6.

Modelo dinámico de la TVC no ideal

El modelo dinámico de la TVC no ideal se obtiene sustituyendo la ecuación 3.26 por la ecuación 3.18 en el modelo dinámico de la TVC ideal dado por la ecuación 3.25. ³ ´ ˙ 1 RT V C τ m − RCV T τ L + x1 JR − RT V C b2 − RTb1V C 2 TV C x˙ 1 = J2 RT V C + RTJV1 C r kb u x˙ 2 = − x2 − x4 + L L L x˙ 3 = x4 kT B x2 − x4 x˙ 4 = J J y = x1 con

R˙ T V C ∂

³

a 2 sγcγ+ R c γ a 2 2 c γ− R s γ

∂γ

´

=

(3.27)

sγcγ + Ra c2 γ RT V C = 2 c γ − Ra s2 γ Ã√ ! 2 γ = tan−1 tan x3 − 45o 2 ³ ³ ´ ´ a 2 a 2 sγcγ+ R c γ sγcγ+ R c γ ∂ c2 γ− a s2 γ ∂γ ∂θ ∂ c2 γ− a s2 γ R R = = ∂t ∂γ ∂θ ∂t

1 Ra + 12 R2 − 12 Rac2γ + 12 R2 c2γ + a2 s2γ 2 3 2 R − 14 Ra + 38 a2 + 14 Rac4γ + 12 R2 c2γ + 18 R2 c4γ − 12 a2 c2γ 8 h ³√ i ´ √ 2 −1 o 2 ∂ tan tan θ − 45 sec2 θ 2 ∂γ = = 2 1 ∂θ ∂θ 1 + 2 tan2 θ

+ 18 a2 c4γ

La ecuación 3.27 representa el modelo dinámico de la TVC no ideal. Los parámetros a y R se midieron experimentalmente, obteniéndose los siguientes valores a = 0,2mm R = 19,05mm

3.7.

Conclusiones

Se presentó la metodología seguida para encontrar el modelo dinámico de la TVC esférica. La obtención de dicho modelo representa la principal contribución de este trabajo. Sin embargo, para que un modelo tenga utilidad, es necesario conocer sus parámetros. Este problema será tratado en el capítulo siguiente. Así como también será trabajo de capítulos posteriores la validación de lo resultados obtenidos, mediante simulaciones de los modelos

3.7. CONCLUSIONES

43

con los parámetros estimados. Será mediante la etapa de validación que se observará el efecto de incluir en el modelo los términos correspondientes al efecto de la fricción por el contacto entre la esfera y los rodillos. No se consideró pertinente presentar con detalle el desarrollo del análisis cinemático, debido a que éste, se encuentra desarrollado de manera exhaustiva en las referencias presentadas en el desarrollo del capítulo, de tal forma que se optó por centrar el trabajo en el desarrollo del análisis para la obtención del modelo dinámico. Dado que la cinemática, en ambos casos involucra funciones trigonométricas, el resultado es un modelo dinámico no lineal. Esto es importante desde el punto de vista de ingeniería de control, ya que si se desea implementar un controlador basado en el modelo, será necesario hacer uso de técnicas de control no lineal.

44

CAPÍTULO 3. MODELADO DINÁMICO DE LA TVC

Capítulo 4 Identificación 4.1.

Introducción

En el capítulo anterior se obtuvo el modelo dinámico de la TVC, sin embargo, se deriva un nuevo problema: la identificación de los parámetros del modelo que no es posible medir directamente, como lo son los parámetros del motor de control, los coeficientes de fricción asociados a las flechas de entrada y de salida b1 y b2 y el par torsional de entrada τ m según las ecuaciones 3.25 y 3.27. Por tal motivo, en este capítulo se desarrollarán algunas técnicas enfocadas a resolver dicho problema. Para modelado físico de sistemas dinámicos, usualmente se obtiene la estructura del modelo, así como también sus parámetros. Los parámetros del modelo generalmente pueden ser calculados basándose en coeficientes físicos u otros datos básicos del proceso. Sin embargo, algunas propiedades del sistema no se pueden conocer completamente y, en consecuencia, la incertidumbre en el modelo y en los parámetros puede ser grande. En estos casos, la identificación de sistemas puede ser usada. Señales medidas experimentalmente son usadas para obtener el comportamiento temporal del sistema dentro de cierta clase de modelo matemático. El interés en aspectos de identificación tiene diferentes raíces: La necesidad de los ingenieros en procesos industriales de obtener un mejor conocimiento de sus plantas para implementar leyes de control. La tarea de estudiar la dinámica de los vehículos aéreos y espaciales de alto rendimiento. La investigación de funciones biológicas, de sistemas neuromusculares, como la respuesta de la pupila del ojo, el control de brazos y piernas, el control del ritmo cardiaco, etc. No únicamente la necesidad de realizar identificación de sistemas, sino sus posibilidades de aplicación han cambiado drásticamente con el desarrollo del hardware y software computacional. Además del enfoque ingenieril y biológico, los economistas y estadísticos han estado trabajando en modelos dinámicos en economía, involucrando problemas de identificación. 45

46

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

Sin embargo, el enfoque que aquí trataremos está dentro del marco del control automático de sistemas mecatrónicos. A través de la historia del control automático se ha sabido que el conocimiento del sistema y su ambiente, los cuales son requeridos para el diseño de sistemas de control, raramente está disponible a priori. Incluso si en principio se conocen las ecuaciones que gobiernan un sistema, frecuentemente ocurre que se desconocen sus parámetros. Tales situaciones ocurren en muchos otros campos, sin embargo, hay dos hechos que son propios del problema de identificación en control automático: Frecuentemente es posible realizar experimentos en el sistema para obtener algunas características que se desconocen de él. El propósito de la identificación es diseñar una estrategia de control. Uno de los factores que sin duda han contribuido en gran medida al éxito de las técnicas de respuesta frecuencial en la teoría de control clásico ha sido el hecho de que los métodos de diseño son acompañados de una poderosa técnica para identificación de sistemas. Esta técnica hace posible determinar las funciones de transferencia de manera precisa, lo cual es justamente lo necesario para aplicar los métodos de síntesis basados en diagramas logarítmicos. Los modelos usados en teoría de control moderna, para el caso de sistemas no lineales son, con algunas excepciones, modelos paramétricos en términos de ecuaciones de estados. El deseo de determinar tales modelos a partir de datos experimentales ha renovado el interés de los ingenieros de control en la estimación paramétrica y técnicas relacionadas.

4.2.

Formulación de problemas de identificación

Identificación es la determinación, en base a entradas y salidas, de un sistema dentro de una clase de sistemas especificada, para la cual el sistema en prueba es equivalente [11]. Usando esta definición, es necesario especificar una clase de sistemas C = {S}, una clase de señales de entrada, U, y el significado de "equivalente". La equivalencia está definida frecuentemente en términos de un criterio o de una función del error, la cual es una función de la salida del sistema y y de la salida del modelo ym . V = V (y, ym ) Dos modelos m1 y m2 se dice que son equivalentes si el valor de la función del error es el mismo para ambos modelos V (y, ym1 ) = V (y, ym2 ) Existe una gran libertad en la formulación del problema, lo cual se refleja en la literatura sobre problemas de identificación. La selección de la clase de modelos, C, la clase de señales de entrada U y el criterio, es ampliamente influenciada por el conocimiento a priori del sistema, así como también, por el propósito de la identificación.

4.3. CLASIFICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE IDENTIFICACIÓN

47

Cuando la equivalencia está definida mediante una función del error, el problema de identificación es un problema de optimización: encontrar un modelo S0 ∈ C tal que la función del error sea tan pequeña como sea posible. Otro tipo de problema de identificación es obtenido refiriéndonos a un marco probabilístico. Si C es contenido como una clase paramétrica, C = {Sβ }, donde β es un parámetro, el problema de identificación entonces se reduce a un problema de estimación paramétrica. En tales casos es posible explotar las herramientas de la teoría de estimación, en particular, es posible usar métodos especiales de estimación.

4.3.

Clasificación de los métodos de identificación

Los diferentes esquemas de identificación que están disponibles pueden ser clasificados de acuerdo a los elementos básicos del problema, la clase de sistemas C, las señales de entrada U , y el criterio. Además de esto, también es de interés clasificarlos con respecto a la implementación y el procesamiento de datos requerido. Por ejemplo: en muchos casos puede ser suficiente realizar los cálculos fuera de línea, mientras que para otros problemas será necesario que los resultados sean obtenidos en línea, es decir, al mismo tiempo que se realizan las mediciones.

4.3.1.

La clase de modelos C

Los modelos pueden ser caracterizados de diferentes maneras, mediante representaciones no paramétricas tales como la respuesta al impulso, funciones de transferencia, funciones de covariancia, densidades espectrales, etc.; y mediante modelos paramétricos tales como los modelos en el espacio de estados dx = f (x, u, β) dt y = g(x, u, β) donde x es el vector de estados, u es el vector de entradas, y es el vector de salidas y β es un parámetro (vector). Es conocido que los modelos paramétricos pueden dar resultados con grandes errores si el orden del modelo no corresponde con el orden del sistema real.

4.3.2.

La clase de señales de entrada

Es sabido que simplificaciones significativas en los cálculos pueden ser alcanzadas mediante la selección de una señal de entrada de algún tipo en especial, como por ejemplo, funciones impulso, funciones escalón, ruido blanco, señales sinusoidales, etc. Desde el punto de vista de aplicaciones parece altamente deseable usar técnicas que no impongan estrictas limitaciones a las señales de entrada. De otra manera, si la señal de entrada puede ser seleccionada, ¿cómo debería de hacerse la selección? La condición de que

48

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

el límite

y la función de covariancia

N 1 X u¯ = l´ım u(k) N→∞ N k=1

N 1 X Ru (i) = l´ım {u(k) − u¯} {u(k + i) − u¯} N →∞ N k=1

existan, así como que la matriz An definida por An = {aij = Ru (i − j)}

i, j = 1, ..., n

(4.1)

sea definida positiva, es suficiente para conseguir estimados consistentes por mínimos cuadrados o por máxima verosimilitud [11]. Uno podría por lo tanto, atreverse a conjeturar que una condición de esta naturaleza será requerida en general. Note que, si la transformada de Fourier de la entrada

existe, entonces

N 1 X fu (ω) = l´ım √ [u(k) − u¯] eiωj N→∞ N k=1

Ru (τ ) =

Z

|fu (ω)|2 eiωτ dω

y la matriz An dada por 4.1 es automáticamente definida no negativa para n arbitrario. Por otra parte, si fu (ω) > 0 (4.2) la matriz An es también definida positiva para una n arbitraria. Así, la condición( 4.2) es suficiente para garantizar que una señal de entrada es una excitación persistente de orden arbitrario. Muchos procedimientos de identificación requieren que la señal de entrada sea independiente de las perturbaciones que actúan sobre el sistema. Si esta condición no es satisfecha, es posible identificar los parámetros. Sin embrago, cada caso específico debe ser analizado con detalle. En general, es recomendado usar señales de prueba generadas artificialmente, dado que las señales durante la operación regular rara vez excitan al sistema lo suficiente. Usualmente, se requieren los siguientes requisitos para las señales de entrada: Que se generen fácilmente y que se puedan reproducir Que sean matemáticamente simple de describir Que se puedan generar con los actuadores disponibles Que sean aplicables al proceso Que sean una buena excitación para el proceso dinámico que nos interesa En la figura 4.1 se muestran las señales mas comúnmente usadas.

4.4. EL CONCEPTO DE LINEALIDAD EN LOS PARÁMETROS

49

Figura 4.1: Señales de entrada comúnmente usadas en la identificación de sistemas

4.3.3.

El criterio

Anteriormente se ha mencionado que el criterio es frecuentemente la minimización de una función del error. La función del error es seleccionada de manera diferente cuando el problema de identificación es formulado como un problema de optimización que cuando el problema es formulado como un problema de estimación. La mayoría de los criterios están expresados como una función del error Z T V (y, ym ) = e2 (t)dt (4.3) 0

donde y es la salida del sistema, ym es la salida del modelo y e es el error; y, ym y e son consideradas como funciones definidas en (0, T ). Note que el criterio dado por (4.3) puede ser interpretado como un criterio de mínimos cuadrados para el error e. En el caso en que e = y − ym = y − M(u)

(4.4)

donde M(u) denota la salida del modelo cuando la entrada es u, e es llamado error de la salida. Es la definición natural cuando la única perturbación en la medición de la salida es ruido blanco.

4.4.

El concepto de linealidad en los parámetros

En teoría de control, la distinción entre lineal y no lineal está usualmente basada en el comportamiento dinámico, es decir, la relación entre variables dependientes e independientes

50

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

del tiempo. Para estimación paramétrica, otra distinción entre linealidad y no linealidad es de mucha importancia, respecto a la relación entre las variables dependientes y los parámetros. Para especificar un sistema se dice que es lineal en los parámetros si el error generalizado es lineal en los parámetros. En conexión con los esquemas de estimación la gran importancia de la linealidad en los parámetros deberá quedar clara. Por lo tanto, es importante tratar de encontrar transformaciones de variables para obtener tal linealidad, si es posible. Tales expresiones no lineales, que se pueden linealizar en los parámetros mediante transformaciones, son llamadas intrínsecamente lineales. Si dicha transformación no es existe, entonces se dice que son intrínsecamente no lineales.

4.5.

Identificación de sistemas paramétricos

Los sistemas lineales representan, naturalmente, el área mayormente desarrollada en el campo de identificación de sistemas. En este trabajo consideraremos los sistemas lineales en los parámetros, en el desarrollo de técnicas de identificación. En la mayoría de los problemas de control, las propiedades del ambiente son tan importantes como la dinámica del sistema, porque implica la presencia de perturbaciones que crean un problema en las leyes de control. Para formular el problema de identificación usando el marco descrito en la sección 4.2, se deben definir la clase de modelos C, las señales de entrada U y el criterio. Si el modelo es lineal y se usan técnicas clásicas, el modelo puede ser caracterizado mediante una función de transferencia o mediante su respuesta al impulso. Los métodos de diseño desarrollados para modelos no lineales pero lineales en los parámetros, requieren un modelo en el espacio de estados, es decir, un modelo paramétrico.

4.5.1.

Identificación de modelos paramétricos por mínimos cuadrados

Gauss formuló el principio de mínimos cuadrados a finales del siglo XVIII y lo usó para determinar órbitas de planetas. De acuerdo a este principio los parámetros desconocidos de un modelo matemático deberían ser elegidos de tal forma que la suma de los cuadrados de la diferencia entre los valores medidos y los calculados, multiplicados por números que miden el grado de precisión, sea mínimo. Los mínimos cuadrados pueden ser aplicados a una gran variedad de problemas. Es particularmente sencillo para modelos matemáticos que pueden escribirse de la forma y(t) = ϕ1 (t)β 1 + ϕ2 (t)β 2 + ... + ϕn (t)β n = ϕT (t)β

(4.5)

donde y es la variable observada, β 1 , β 2 , ..., β n son los parámetros desconocidos, y ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn son funciones conocidas que pueden depender de otras variables conocidas. Las variables ϕi son llamadas variables de regresión o regresores y el modelo de la ecuación (4.5) es también llamado modelo de regresión.

4.5. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS PARAMÉTRICOS

51

Ahora se definen los vectores ϕT (t) = [ϕ1 (t) ϕ2 (t)...ϕn (t)] β T = [β 1

β 2 ...β n ]

Las parejas de observaciones y regresores {(y(i), ϕ(i)), i = 1, 2, ..., t} se obtienen de experimentos. El problema es determinar los parámetros de tal manera que las salidas calculadas con la ecuación (4.5) y las salidas medidas cumplan con el criterio de mínimos cuadrados. Dado que la variable medida y es lineal en los parámetros β y que el criterio de mínimos cuadrados es cuadrático, el problema admite una solución analítica. Introduciendo la notación £ ¤T Y (t) = y(1) y(2) ... y(t) £ ¤T E(t) = ε(1) ε(2) ... ε(t) ⎡ ⎤ ϕT (1) ⎢ ⎥ Φ(t) = ⎣ ... ⎦

¢−1 ¡ P (t) = ΦT (t)Φ(t)

donde los residuos ε(i) están definidos por

ϕT (t) Ã t !−1 X = ϕ(i)ϕT (i) i=1

ε(i) = y(i) − yˆ(i) = y(i) − ϕT (i)β El error de mínimos cuadrados puede ser escrito como ¢2 1X 1 X¡ V (θ, t) = ε(i)2 = y(i) − ϕT (i)β 2 i=1 2 i=1 t

=

t

1 1 T E E = kEk2 2 2

donde E = Y − Yˆ = Y − Φβ

La función de la ecuación (4.6) es mínima para los parámetros βˆ tales que ΦT Φβˆ = ΦT Y Si la matriz ΦT Φ es no singular, el mínimo es único y está dado por ¡ ¢−1 T βˆ = ΦT Φ Φ Y

(4.6)

52

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

Muchas de las buenas propiedades del método de mínimos cuadrados dependen críticamente de la premisa de que los residuos ε(i) son no correlacionados. La correlación de los residuos puede llevar fácilmente a conclusiones erróneas. Supongamos que los datos reales han sido generados por y(t) = β T0 ϕ(t) + v(t)

(4.7)

donde v(t) es una secuencia de variables independientes aleatorias con medio cero y β 0 es el vector de parámetros "verdaderos", y que la función del error está definida por N ¤2 1 X £ αt y(t) − β T ϕ(t) VN (β) = N 1

(4.8)

El criterio VN es cuadrático en β y puede ser minimizado analíticamente [12], mediante #−1 N "N X X ˆ αt ϕ(t)ϕT (t) αt ϕ(t)y(y) (4.9) β(N) = t=1

t=1

Sustituyendo la ecuación (4.7) en (4.9) y notando que β T0 ϕ(t) = ϕT (t)β 0 , queda #−1 ( N ) "N X X £ ¤ ˆ αt ϕ(t)ϕT (t) αt ϕ(t)ϕT (t)β 0 + ϕ(t)v(t) β(N) = t=1

"

1 = β0 + N

t=1

N X t=1

T

#−1

αt ϕ(t)ϕ (t)

N 1 X αt ϕ(t)v(t) N t=1

ˆ ˆ converja Las propiedades deseadas de β(N) son: (1) que esté cercano a β 0 , y (2) que β(N) a β 0 cuando N tienda a infinito. Se observa que si la "perturbación"v(t) en P (4.7) es pequeña ˆ comparada con ϕ(t), entonces β(N) estará cercano a β 0 . La sumatoria N1 N t=1 αt ϕ(t)v(t), bajo estas condiciones converge a su valor esperado cuando N tiende a infinito. Este valor esperado depende de la correlación entre el término de perturbación v(t) y el vector de datos ϕ(t) y es igual a cero únicamente si v(t) y ϕ(t) son no correlacionados. Esto es verdadero en los siguientes casos típicos [12]: {v(t)} es una secuencia de variables independientes aleatorias con valor de la media igual a cero (ruido blanco). Entonces, v(t) no depende de lo que ha ocurrido hasta el tiempo t − 1, y, por lo tanto Ev(t)ϕ(t) = 0. La secuencia de entradas {u(t)} es independiente de la secuencia de ruido con media cero {v(t)}. Entonces ϕ(t) contiene únicamente u−términos, y por lo tanto Ev(t)ϕ(t) = 0. Si se cumple que v(t) sea una secuencia de variables independientes aleatorias con media cero y variancia σ 2 y que ϕT (t)ϕ(t) sea no singular, se derivan las siguientes propiedades estadísticas de la estimación por mínimos cuadrados [14]:

4.5. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS PARAMÉTRICOS

53

(i) E βˆ = β 0 ¡ ¢−1 (ii) cov βˆ = σ2 ϕT (t)ϕ(t) (iii) s2 =

ˆ 2V (β,k) (k−n)

es un estimado de σ 2

donde n es el número de parámetros en βˆ y β 0 y k es el número de datos. Se han desarrollado varias técnicas para tratar con residuos correlacionados, los principales son: Mínimos cuadrados generalizados El método de máxima verosimilitud Variables instrumentales Los cuales se desarrollan de manera breve a continuación.

4.5.2.

Mínimos cuadrados generalizados

Una manera de superar la dificultad de los residuos correlacionados es usar el método de mínimos cuadrados generalizados. La idea básica es como sigue. Sea el proceso gobernado por A∗ (q −1 )y(k) = B ∗ (q −1 )u(k) + v(k) donde A∗ y B ∗ son polinomios y {v(k)} una secuencia de variables aleatorias correlacionadas. Suponga que las correlaciones de los residuos son conocidas. Digamos que {v(k)} puede ser representado como v(k) = G∗ (q −1 )e(k) donde e(k) es una secuencia de variables aleatorias no correlacionadas y G una función de transferencia impulso. La ecuación que describe el proceso entonces, puede ser escrita como A∗ (q −1 )y(k) = B ∗ (q −1 )u(k) + G∗ (q −1 )e(k) ó A∗ (q−1 )˜ y (k) = B ∗ (q−1 )˜ u(k) + e(k) donde

1 y(k) G∗ (q −1 ) 1 u˜(k) = ∗ −1 u(k) G (q ) Por lo tanto si las señales u˜ e y˜ son consideradas como las entradas y las salidas, tenemos un problema ordinario de mínimos cuadrados. Entonces, hemos encontrado que los mínimos cuadrados generalizados pueden ser interpretados como un problema de mínimos cuadrados donde el criterio es seleccionado como y˜(k) =

V = V (y, ym ) =

N +n X k=n

e2 (k)

54

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

con el error generalizado definido como A∗ (q −1 ) B ∗ (q−1 ) y(k) − u(k) G∗ (q −1 ) G∗ (q−1 ) ∙ ∙ ¸ ¸ 1 1 ∗ −1 ∗ −1 = A (q ) y(k) − B (q ) u(k) G∗ (q −1 ) G∗ (q−1 )

e(k) =

La correlación entre los residuos y la función de transferencia G es raramente conocida en la práctica. Se ha propuesto un procedimiento iterativo para determinar G, el cual ha sido probado tanto con datos de simulación como con datos experimentales. El procedimiento consiste de los siguientes pasos: 1. Hacer el ajuste del modelo a mínimos cuadrados ordinarios A∗j (q −1 )y(k) = Bj∗ (q −1 )u(k)v(k) 2. Analizar los residuos v y ajustar una auto regresión D∗ (q−1 )v(k) = e(k) donde e(k) es ruido blanco en tiempo discreto. 3. Filtrar las entradas y salidas del proceso mediante y˜(k) = D∗ (q −1 )y(k) u˜(k) = D∗ (q −1 )u(k) 4. Hacer un nuevo ajuste de mínimos cuadrados para las salidas y entradas filtradas y repetir desde el paso 2.

4.5.3.

El método de la máxima verosimilitud

Otra manera de afrontar el problema de los residuos correlacionados es postular un sistema con residuos correlacionados, por ejemplo, una representación canónica de n − e´simo orden con una entrada y una salida A∗ (q −1 )y(k) = B ∗ (q −1 )u(k) + λC ∗ (q −1 )e(k)

(4.10)

donde u es la entrada, y es la salida y {e(k)} una secuencia de variables aleatorias normales independientes (0,1). Los parámetros de (4.10) pueden ser determinados usando el método de máxima verosimilitud. La función de verosimilitud L está dada por N 1 X 2 N N − log L(θ, λ) = 2 ε (k) + log λ + log 2π 2 2 2λ k=1

4.5. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS PARAMÉTRICOS

55

donde C ∗ (q −1 )ε(k) = A∗ (q−1 )y(k) − B ∗ (q−1 )u(k) y {u(k), k = 1, 2, ..., N } es la señal de entrada aplicada y {y(k), k = 1, 2, ..., N } es la señal de salida observada. La función de verosimilitud es considerada como una función de θ y λ, donde θ es un vector cuyos componentes son los parámetros a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ...bn, c1 , c2 , ..., cn . Note que el logaritmo de la función de verosimilitud es lineal en los parámetros ai y bi , pero fuertemente no lineal en ci . También note que la optimización de L con respecto a θ y λ puede realizarse por separado de la siguiente manera. Primero, determine θ tal que la función del error V (θ) =

N X

ε2 (k)

k=1

es mínima con respecto a θ. La optimización con respecto a λ puede realizarse analíticamente. ˆ 2 = 1 m´ın V (θ) λ N θ El procedimiento de máxima verosimilitud también puede ser interpretado como encontrar los coeficientes del modelo de predicción ym (k) = yˆ(k |k − 1) =

A∗ (q −1 ) − C ∗ (q−1 ) B ∗ (q −1 ) u(k) − y(k) C ∗ (q−1 ) C ∗ (q −1 )

de tal manera que el criterio V = V (y, ym ) =

N X k=1

[y(k) − ym (k)]2 =

N X

ε2 (k)

k=1

es lo mas pequeño posible. Note que (4.10) puede ser escrita como ¸ ¸ ∙ ∙ 1 1 ∗ −1 ∗ −1 A (q ) y(k) = B (q ) u(k) + λe(k) C ∗ (q−1 ) C ∗ (q−1 ) Esto significa que el método de máxima verosimilitud también puede ser interpretado como un método de mínimos cuadrados generalizados, donde la función filtro G = 1/C es determinada automáticamente.

4.5.4.

Variables instrumentales

Los mínimos cuadrados generalizados y el método de máxima verosimilitud dan un modelo del ambiente en términos del modelo de las perturbaciones como un filtro conducido por ruido blanco. Si estamos interesados únicamente en los sistemas dinámicos existen otros

56

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

métodos para evitar las dificultades con residuos correlacionados, por ejemplo, el método de variables instrumentales. La ecuación para estimar por mínimos cuadrados puede ser obtenida de la ecuación (4.11)

y = Φβ + e

mediante la premultiplicación con ΦT , despreciando el término ΦT e y resolviendo la ecuación ΦT y = ΦT Φβˆ El estimado βˆ será imparcial si el término ΦT e tiene media cero. Cuando los residuos son correlacionados es fácil mostrar que EΦT e 6= 0. En el método de variables instrumentales, la ecuación (4.11) es multiplicada por W T , donde W , llamada la matriz instrumental, es una matriz cuyos elementos son funciones de los datos con las propiedades EW T Φ

no singular EW T e = 0

La estimación paramétrica obtenida de W T y = W T Φβˆ entonces será imparcial. Es posible encontrar variables instrumentales tales que los estimados tengan propiedades óptimas.

4.5.5.

R °

System Identification Toolbox

R °

de Matlab

Debido al gran desarrollo de software computacional, ahora es posible contar con programas que cuentan con herramientas para la identificación de sistemas, tal es el caso del R R ° ° System Identification Toolbox de Matlab . R ° El System Identification Toolbox sirve para construir modelos simplificados de sistemas complejos a partir de datos obtenidos experimentalmente. Provee herramientas para crear modelos matemáticos de sistemas dinámicos basados en datos observados de entrada/salida. El toolbox cuenta con una interfaz gráfica de usuario flexible que ayuda en la organización de los datos y en la creación de los modelos. Las técnicas de identificación que incluye este toolbox son usadas para aplicaciones que van desde diseño de sistemas de control y procesamiento de señales hasta análisis en series de tiempo y análisis de vibraciones. Es necesario un previo conocimiento sobre modelado, para el uso exitoso de este toolbox, por lo que este tópico se cubre con amplitud en el tutorial del toolbox. Sin embargo, para su uso básico, es suficiente con tener un conocimiento básico de modelos dinámicos.

4.5. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS PARAMÉTRICOS

4.5.6.

57

Identificación de un sistema masa-resorte-amortiguador de 1 gdl

Para ejemplificar los métodos que se emplearán en la identificación del CVT, se presenta a manera de ejemplo, la identificación de un sistema dinámico simple masa-resorteamortiguador de un grado de libertad. Primero se implementará el método de mínimos cuadrados y posteriormente se realizará la identificación con ayuda del System Identification R ° R ° Toolbox de Matlab . Identificación de un sistema masa-resorte-amortiguador de 1 gdl por mínimos cuadrados El sistema masa-resorte-amortiguador de un grado de libertad se muestra en la figura 4.2. La entrada u(t) = F (t) es aplicada sobre la masa. El diagrama de cuerpo libre de la masa se presenta en la figura 4.3 La ecuación de movimiento del sistema es m¨ x + cx˙ + kx = F (t)

Figura 4.2: Sistema masa-resorte-amortiguador de 1 gdl Definiendo x1 = x x2 = x˙ 1 = x˙ u = F (t) tenemos la representación en espacio de estados del sistema x˙ 1 = x2 x˙ 2 =

1 (−cx2 − kx1 + u) m y = x1

(4.12)

58

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

Figura 4.3: Diagrama de cuerpo libre de la masa del sistema vibratorio de 1 gdl Utilizando el método de integración de Euler, tenemos que x1 (i + 1) = x1 (i) + hx˙ 1 (i) = x1 (i) + hx2 (i) 1 (−cx2 (i) − kx1 (i) + u(i)) m y(i + 1) = x1 (i + 1)

x2 (i + 1) = x2 (i) + hx˙ 2 (i) = x2 (i) + h

donde h es el periodo de muestreo. Expresando las ecuaciones anteriores en forma vectorial-matricial

donde

X(i + 1) = AX(i) + Bu(i)

(4.13)

y(i + 1) = CX(i + 1)

(4.14)

∙ ¸ x1 (i + 1) X(i + 1) = x2 (i + 1) ∙ ¸ x1 (i) X(i) = x2 (i) ¸ ∙ 1 h A= k h 1 − mc h −m ∙ ¸ 0 B= h m £ ¤ C= 1 0

Sustituyendo (4.13) en (4.14) tenemos que

y(i + 1) = C [AX(i) + Bu(i)] = CAX(i) + CBu(i) ∙ ¸ £ ¤ x1 (i) = 1 h +0 x2 (i) = x1 (i) + hx2 (i)

4.5. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS PARAMÉTRICOS

59

Notamos que en esta expresión para la salida no aparecen los parámetros, por lo que realizamos la siguiente iteración y(i + 2) = CX(i + 2) X(i + 2) = AX(i + 1) + Bu(i + 1) = A (AX(i) + Bu(i)) + Bu(i + 1) = A2 X(i) + ABu(i) + Bu(i + 1) ¤ £ y(i + 2) = C A2 X(i) + ABu(i) + Bu(i + 1) = CA2 X(i) + CABu(i) + CBu(i + 1) ¸ ∙ £ ¤ x1 (i) h2 2k 2 c + u(i) + 0 = 1 − h m 2h − h m x2 (i) m ¸ ∙ h k c i h2 = x1 (i) 1 − h2 + x2 (i) 2h − h2 + u(i) m m m Expresando el modelo en forma de regresor ⎡

⎤ 2k 1 − h m £ ¤ y(i + 2) = x1 (i) x2 (i) u(i) ⎣2h − h2 mc ⎦ h2 m

lo cual es análogo a y(t) = ϕT (t)β Se observa que el vector de funciones conocidas ϕT consta de los estados del sistema y de la entrada, esto implica que para poder realizar la estimación del vector de parámetros, es necesario poder medir tanto la entrada del sistema como los estados (velocidad y posición de la masa). Como se ha explicado anteriormente, para el proceso de identificación, se toman datos experimentales de entrada-salida. Debido a que este ejemplo se presenta únicamente de manera ilustrativa, se realizó una simulación numérica del sistema, suponiendo algunos parámetros y tomando los datos de entrada-salida de dicha simulación en sustitución de los datos experimentales, para verificar la validez del algoritmo de estimación desarrollado. R ° Se realizó un programa en Matlab para la simulación del sistema con los siguientes parámetros m = 2kg N k = 10 m N ·s c = 0,6 m F (t) = 0,5 sin(1,5t) h = 0,01s

60

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

así como también un programa para la estimación de los parámetros ⎡

⎤ k 1 − h2 m ⎣2h − h2 mc ⎦ h2 m

con los cuales se pueden calcular m, c y k. Dichos programas se presentan en el apéndice C1. En las figuras 4.4 y 4.5 se muestran la entrada u(t) y los estados x1 y x2 del sistema, respectivamente. Entrada (u)

0.5 0.4 0.3

Fuerza (N)

0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

Figura 4.4: Entrada del sistema vibratorio de 1gdl utilizada para la simulación

0.25 x1(posicion) x2(velocidad) 0.2

0.15

x1(m), x2(m/s)

0.1

0.05

0

−0.05

−0.1

−0.15

−0.2

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

Figura 4.5: Estados del sistema vibratorio de 1 gdl obtenidos de la simulación del sistema.

4.5. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS PARAMÉTRICOS

61

Los resultados obtenidos del programa de estimación paramétrica son los siguientes ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k 1 − h2 m 0,9995 ⎣2h − h2 mc ⎦ = ⎣0,0200⎦ h2 0,0001 m

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos los siguientes valores de los parámetros del sistema m = 2,0000 c = 0,6000 k = 10,0000 Se observa una total convergencia de los parámetros estimados y los parámetros del sistema simulado. Identificación de un sistema masa-resorte-amortiguador de 1 gdl utilizando el R R ° ° System Identification Toolbox de Matlab El modelo del sistema en variables de estados es ¸∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ 0 1 x1 0 x˙ 1 = + 1 u k c x˙ 2 − m − m x2 m ∙ ¸ £ ¤ x1 y= 1 0 x2 Esto corresponde a una estructura de modelo del tipo X˙ = AX + Bu + Ke y = CX + Du + e donde

∙

0 1 A= k − m − mc ∙ ¸ 0 B= 1 m

£ ¤ C= 1 0

Los parámetros a estimar son

D=0 ∙ ¸ 0 K= 0

k c 1 , , m m m

¸

62

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

a partir de los cuales se pueden conocer los valores de m, k y c. El programa se presenta en el apéndice C1. Los resultados obtenidos son los siguientes k = 4,9999 m c = 0,2571 m 1 = 0,49999 m m = 2,0004 c = 5,1552 k = 10,0017 En la figura 4.6 se presenta la comparación de la salida del sistema con la salida del modelo con los parámetros estimados. Como se puede observar el ajuste de la salida del modelo a la salida del sistema es tal, que no es posible diferenciar una de otra, esto nos muestra de cierta manera la precisión de los parámetros estimados. Cabe destacar que el programa realiza el cálculo del valor de la función del error, así como también el porcentaje de ajuste de la salida del modelo a la salida del sistema. Salida del sistema y salida del modelo con los parametros estimados 0.15

salida del sistema modelo Ajuste: 99.58%

0.1

Posicion (m)

0.05

0

−0.05

−0.1

−0.15

−0.2

0

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Figura 4.6: Comparación de la salida del sistema vibratorio de 1 gdl con la salida del modelo con los parámetros estimados

4.6. IDENTIFICACIÓN DE LA TVC

4.6.

63

Identificación de la TVC

Los parámetros desconocidos del modelo dinámico de la TVC desarrollado en el capítulo 3 son: los coeficientes de fricción viscosa asociados a las flechas de entrada y de salida de la TVC, b1 y b2 , el par torsional proporcionado por el motor de entrada τ m y los parámetros del motor de control. En esta sección se desarrolla el algoritmo para la estimación de dichos parámetros. Para evitar confusiones, cabe aclarar que los parámetros de fricción que se estimarán son los asociados a la fricción viscosa derivados del modelado de la parte mecánica de la TVC y no los asociados a la fricción entre cuerpos en contacto giratorio que causan el cambio en la expresión de la relación de transmisión de la TVC. Los parámetros a estimar b1 y b2 aparecen en ambos modelos, tanto en el que desprecia los efectos de fricción entre cuerpos en contacto giratorio como en el que si los considera. Dado que la única diferencia entre los dos modelos obtenidos es la expresión para la relación de transmisión de la TVC, el algoritmo que aquí se desarrolla para la estimación del modelo dinámico se puede aplicar a ambos modelos, dicho algoritmo se desarrolla aplicando el método de mínimos cuadrados. La estimación de los parámetros del motor de control se realiza con la ayuda del System R R ° ° Identification Toolbox de Matlab .

4.6.1.

Estimación de los coeficientes de fricción viscosa y del par torsional de entrada

Para realizar la identificación de los parámetros de fricción de la TVC, es necesario que el modelo se presente en forma de regresor, como se explicó en la sección 4.5. El modelo de la TVC en variables de estado es ³ ´ ˙ b1 1 RCV T − R b − τ m − RT V C τ L + x1 JR 2 TV C 2 RT V C CV T x˙ 1 = J1 J2 RT V C + RT V C r kb u x˙ 2 = − x2 − x4 + L L L x˙ 3 = x4 kT B x2 − x4 x˙ 4 = J J y = x1 con

"

−1

RT V C = tan tan

R˙ T V C = sec2

"

Ã√ ! # 2 o tan x3 − 45 2

Ã√ ! #" √ # 2 2 sec x 2 3 2 tan−1 x4 tan x3 − 45o 2 1 + 12 tan2 x3

64

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

Debido a que se puede contar con tiempos de muestreo relativamente pequeños para la dinámica del sistema (de alrededor de 1 o 2 milisegundos), por simplicidad, se optó por utilizar el método de Euler de primer grado para la discretización del modelo, para representarlo en forma de regresor y poder aplicar estimación paramétrica por mínimos cuadrados. Aplicando el método de integración de Euler a la salida del sistema, tenemos que y(i + 1) = x1 (i + 1)

= x1 (i)+

h J2 RT V C (i) +

J1 RT V C (i)

x1 (i + 1) = x1 (i) + hx˙ 1 (i) !# Ã J1 R˙ T V C (i) b1 τ m − RT V C (i)τ L + x1 (i) − RT V C (i)b2 − RT2 V C (i) RT V C (i)

"

Entonces se puede escribir y(i + 1) = x(i + 1) =

h

−hx1 (i)RT V C (i) J J2 RT V C (i)+ R 1 (i) TV C

⎡

o bien

k −hx1 (i) RT V C (i) J2 RT V C (i)+ R

J1 T V C (i)

(i)h J R˙ h 1 TV C +x1 (i) ⎣1 + RT2 V C (i) J2 RT V C (i) +

ya (i + 1) =

h

−hx1 (i)RT V C (i) J J2 RT V C (i)+ R 1 (i) TV C

J1 RT V C (i)

⎤

i⎦ −

k −hx1 (i) RT V C (i) J2 RT V C (i)+ R

J1 T V C (i)

l

h J2 RT V C (i)+ R

l

J1 T V C (i)

(i)h J R˙ h 1 TV C ya (i + 1) = x(i + 1) − x1 (i) ⎣1 + RT2 V C (i) J2 RT V C (i) +

⎤ b2 ⎣ b1 ⎦ τm ⎡

RT V C (i)τ L h J2 RT V C (i) + RT VJ1C (i)

h J2 RT V C (i)+ R

J1 T V C (i)

donde ⎡

i

J1 RT V C (i)

⎤

i⎦ +

i

⎤ b2 ⎣ b1 ⎦ (4.15) τm ⎡

RT V C (i)τ L h J2 RT V C (i) + RT VJ1C (i)

La ecuación (4.15) representa el modelo de la TVC en forma de regresor lineal, análogo

a y(t) = ΦT (t)β por lo tanto, es posible aplicar el método de mínimos cuadrados, descrito en la sección 4.5.1, dado que el término del lado izquierdo de la ecuación ya (i + 1) y el primer vector del lado derecho están en función de variables medibles y de parámetros conocidos. El vector de parámetros estimados estará dado por ¡ ¢−1 T βˆ = ΦT Φ Φ Y

La implementación de este algoritmo, así como los resultados obtenidos, se muestran con detalle en el siguiente capítulo.

4.6. IDENTIFICACIÓN DE LA TVC

4.6.2.

65

Estimación de los parámetros del motor de control

El modelo del motor de control en variables de estado es ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 1 0 z˙1 z1 0 ⎣z˙2 ⎦ = ⎣0 − B kT ⎦ ⎣z2 ⎦ + ⎣ 0 ⎦ v J J 1 z˙3 z3 0 − kLb − Lr L ⎡ ⎤ ¸ z1 ∙ 1 0 0 ⎣ ⎦ z2 y= 0 1 0 z3

donde z1 es la posición angular de la flecha del motor, z2 es la velocidad angular y z3 es la corriente de armadura del motor. Esto corresponde a una estructura de modelo del tipo Z˙ = AZ + Bv + Ke y = CX + Dv + e donde

⎤ ⎡ 0 1 0 A = ⎣0 − BJ kJT ⎦ 0 − kLb − Lr ⎡ ⎤ 0 ⎣ B = 0⎦ 1 L

∙ ¸ 1 0 0 C= 0 1 0 ∙ ¸ 0 D= 0

Los parámetros a estimar son

⎡ ⎤ 0 0 K = ⎣0 0⎦ 0 0 B kT kb r 1 , , , , J J L L L R °

Estos datos son suficientes para realizar la estimación en el System Identification Toolbox R ° de Matlab . Los resultados se presentan en el siguiente capítulo.

66

4.7.

CAPÍTULO 4. IDENTIFICACIÓN

Conclusiones

Se implementaron técnicas de identificación para la estimación de los parámetros desconocidos en el modelo dinámico de la TVC. A lo largo del capítulo se hizo una breve revisión de algunos de los métodos que existen para identificación, los cuales representan soluciones alternas para el problema de estimación paramétrica que se presenta en el modelado de sistemas dinámicos. Se utilizó el método de mínimos cuadrados para la estimación de los parámetros de fricción viscosa asociados a las flechas de entrada y de salida de la TVC y el par de entrada, debido a que fue posible expresar el modelo en forma de regresor y a la facilidad que representó la implementación experimental. En cuanto a los parámetros del motor de control, dado que se trata de un modelo lineal, se R R ° ° optó por aprovechar las bondades del System Identification Toolbox de Matlab , también debido a la facilidad para describir el modelo en variables de estado y la gran variedad de datos de entrada/salida que se pueden obtener experimentalmente. Cabe destacar que ambos procedimientos de estimación se realizan fuera de línea, esto debido a que los parámetros de fricción y el par torsional de entrada se consideran constantes de acuerdo al modelo de fricción viscosa utilizado durante el modelado por leyes de Newton, aunque esto se validará mediante resultados experimentales en el próximo capítulo. En cuanto al motor de control, sus parámetros también se consideran constantes. Una vez descritos los algoritmos de identificación, se pueden realizar los procedimientos para obtener los valores numéricos de los parámetros experimentalmente, con lo cual se estaría en condiciones de realizar simulaciones numéricas del modelo de la TVC y validar los resultados mediante la comparación con resultados obtenidos de manera experimental, lo cual es trabajo del siguiente capítulo.

Capítulo 5 Resultados experimentales 5.1.

Introducción

En el presente capítulo se presentan los resultados experimentales obtenidos, primero para estimación de los parámetros del modelo y posteriormente para la validación del modelo. Para esto, fue necesario primero implementar un controlador con el fin de regular la velocidad de salida de la TVC, lo cual se describe en la sección 5.2. Posteriormente, se utilizan datos obtenidos experimentalmente para la implementación de los algoritmos de estimación paramétrica desarrollados en el capítulo 4. Por último, se realiza la validación del modelo dinámico de la TVC con los parámetros estimados mediante la comparación de simulaciones con resultados experimentales.

5.2.

Implementación de un controlador PI para regulación de la velocidad de salida de la TVC R °

La implementación del controlador se realizó a través de la interfaz con Simulink de R ° Matlab . Dado que implementar leyes de control a la TVC no es objetivo de esta tesis, para realizar los experimentos para la estimación paramétrica y para la validación del modelo, se optó por utilizar un controlador PI para la regulación de la velocidad de salida, debido a la facilidad para su implementación experimental. Definiendo el error como e(t) = x1ref (t) − x1 (t) (5.1) donde x1 es la velocidad de salida de la TVC y x1ref es la referencia a la que se quiere regular dicha velocidad, el control PI queda definido de la siguiente manera Z t e(τ )dτ (5.2) u(t) = Kp e(t) + Ki 0

donde Kp y Ki son las ganancias proporcional e integral del controlador, respectivamente. El principal problema que se presentó fue la sintonización de las ganancias del controlador, ya que al tratarse de un sistema no lineal no existen métodos definidos para realizar dicha 67

68

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

sintonización. Se utilizaron como referencia resultados reportados por Flores en [7] para establecer las ganancias del controlador, sin embargo, estos valores se tomaron únicamente como punto de partida y la sintonización se realizó de manera heurística para las diferentes condiciones de operación bajo las cuales se realizaron los experimentos. R ° En la figura 5.1 se muestra el diagrama de Simulink utilizado para la implementación experimental del controlador. Se observa que la lectura de la velocidad de salida de la TVC se realizó con el diagrama presentado en la sección 2.3.5 en la figura 2.10, dicha lectura es utilizada para definir el error de acuerdo a la ecuación (5.1), y éste a su vez es usado para la implementación de la ley de control dada por la ecuación (5.2). El periodo de muestreo utilizado fue de 0.002 segundos. Debido a la configuración utilizada del circuito integrado para el PWM, la señal proveniente de la salida del controlador debe estar en un rango entre 0 y 2.7 volts, dado que esta es la amplitud del oscilador con el cual es comparada la señal de entrada al PWM para regular el ancho de pulso del voltaje que se envía al puente H, esta es la razón por la que se debe realizar un escalamiento de la señal de salida del controlador antes de alimentarla al PWM.

Figura 5.1: Implementación del controlador PI para la regulación de la velocidad de salida de la TVC Mediante pruebas realizadas al PWM en lazo abierto, se observó que si la señal de entrada era de cero volts o valores muy pequeños de voltaje, la salida era el máximo ancho de pulso y si la entrada era cercana o igual a 2.7 volts, la salida era el mínimo ancho de pulso, es decir un voltaje nulo; este comportamiento es contrario a lo se espera. Los bloques de la parte superior derecha de la figura 5.1 realizan la función de invertir este comportamiento, de tal manera que si la salida del controlador es un voltaje elevado, implica que el error es grande y lo que ocasiona que a la salida del PWM se tenga un ancho de pulso tal que el motor de control se mueva con rapidez para alcanzar la referencia, y si el error es cercano a cero el ancho de pulso es mínimo. La salida del controlador con la señal acondicionada es enviada al PWM mediante una de las salidas analógicas de la tarjeta de adquisición. También cabe hacer notar que se implementó en una parte del diagrama la etapa para activar el bit de giro del puente H, esto consta de un comparador, si el error es de signo positivo, el motor gira en una dirección y, por el contrario, si es de signo negativo, el motor

5.2. IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR PI PARA REGULACIÓN DE LA VELOCIDAD DE gira en sentido contrario. La salida de este comparador es enviada directamente al bit de dirección del puente H mediante una salida digital de la tarjeta. A continuación se presentan algunos resultados obtenidos de la implementación experimental del controlador para diferentes referencias. Como se mencionó anteriormente, el controlador se sintonizó de manera heurística para cada una de las referencias. Todos los experimentos fueron iniciados con las siguientes condiciones iniciales: x2i = 0 x3i = 0 x4i = 0 Cabe destacar que dado que la relación de transmisión de la TVC está en función de x3 , al fijar su valor inicial en cero, esto implica una relación de transmisión igual a menos uno, dado que Ã√ ! # " 2 −1 o RT V C = tan tan tan x3 − 45 2 Ã√ # ! " 2 RT V Ci = tan tan−1 tan 0 − 45o = −1 2 En el caso de considerar el modelo no ideal, la relación de la TVC está dada por RT V C con

sγcγ + Ra c2 γ = 2 c γ − Ra s2 γ

Ã√ ! 2 γ = tan−1 tan x3 − 45o 2

Sustituyendo la condición inicial x3 = 0, tenemos que RT V Ci = −1,02 Esto quiere decir que la velocidad inicial de salida de la TVC x1i será igual en magnitud a la velocidad de entrada, pero en sentido opuesto. como velocidad de salida de la TVC, con las ganancias del Para una referencia de 0 rad s controlador Kp = 0,28 Ki = 0,07 se obtuvo la respuesta del sistema presentada en la figura 5.2. Cambiando las ganancias del controlador a los valores a Kp = 0,31 y Ki = 0,09, se altera la respuesta del sistema como se observa en la figura 5.3

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

70 10 0 −10 −20 −30 −40

0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

25

30

35

40

45

50

40

Error (rad/s)

30 20 10 0 −10

Tiempo (s)

Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

Figura 5.2: Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de 0 rad/s. Con Kp=0.28 y Ki=0.07

20 10 0 −10 −20 −30 −40 −50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

50

Error (rad/s)

40 30 20 10 0 −10 −20

Figura 5.3: Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de 0 rad/s. Con Kp=0.31 y Ki=0.09

5.2. IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR PI PARA REGULACIÓN DE LA VELOCIDAD DE

Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

Se realizaron experimentos para diferentes referencias de la velocidad de salida y para diferentes valores de las ganancias del controlador. Los resultados se presentan a continuación.

0 −5 −10 −15 −20 −25 −30 −35

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

25

Error (rad/s)

20 15 10 5 0 −5 −10

Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

Figura 5.4: Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -10 rad/s. Con Kp=0.29 y Ki=0.09.

0 −10 −20 −30 −40 −50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

40

Error (rad/s)

30 20 10 0 −10

Figura 5.5: Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -10 rad/s. Con Kp=0.33 y Ki=0.11.

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

72

0

−10

−20

−30

−40

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

20

Error (rad/s)

10

0

−10

−20

Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

Figura 5.6: Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -20 rad/s. Con Kp=0.39 y Ki=0.07

0 −10 −20 −30 −40 −50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

30

Error (rad/s)

20 10 0 −10 −20

Figura 5.7: Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -20 rad/s. Con Kp=0.42 y Ki=0.09

Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

5.2. IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR PI PARA REGULACIÓN DE LA VELOCIDAD DE

0

−10

−20

−30

−40

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

10

Error (rad/s)

0

−10

−20

−30

Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

Figura 5.8: Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -30 rad/s. Con Kp=0.6 y Ki=0.11.

0 −10 −20 −30 −40 −50 −60 −70

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

10

Error (rad/s)

0 −10 −20 −30 −40 −50 −60

Figura 5.9: Respuesta del sistema en lazo cerrado para una referencia de -60 rad/s. Con Kp=0.6 y Ki=0.11.

74

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Como puede observarse en las figuras anteriores la respuesta del sistema en lazo cerrado se altera de manera considerable cuando se cambian los valores de las ganancias del controlador. En todas ellas se aprecia una convergencia en el estado estacionario a la referencia deseada, aunque el transitorio depende de las ganancias del controlador. En general, se aprecia que para la misma referencia, el transitorio presenta un sobre impulso para los valores mayores de las ganancias, así como un mayor tiempo de llegada a la referencia. También es notable la manera en la que aumentan los valores de las ganancias conforme la referencia toma valores mayores en magnitud.

5.3.

Identificación del motor de control

Como se mencionó en la sección 4.6.2, la identificación de los parámetros del motor R R ° ° de control se realizó usando el System Identification Toolbox de Matlab , en esa misma sección se presentó el modelo del motor en variables de estado y se determinaron los parámetros a estimar. En el apéndice C2, se presenta el programa utilizado para la identificación del motor de control. Se utilizaron datos medidos experimentalmente de la posición y velocidad del motor de R ° control. El diagrama de Simulink utilizado para realizar dichas lecturas se presenta en la figura 5.10.

Figura 5.10: Diagrama de Simulink utilizado para las lecturas utilizadas para la identificación del motor de control

5.3. IDENTIFICACIÓN DEL MOTOR DE CONTROL

75

Se observa que, en este caso se utilizó como entrada una función aproximada por series de Fourier en lugar del controlador PI, esto con el fin de excitar un mayor número de frecuencias del sistema y cumplir con la condición de excitación. También se implementó una etapa para medir el voltaje efectivo en las terminales del motor, esto es, después del acondicionamiento de la señal realizado por el PWM y el puente H. En este caso, como se trata de un voltaje diferencial, se utilizaron dos entradas analógicas de la tarjeta. Dado que la alimentación del puente H es de 20 volts y que las entradas analógicas de la tarjeta trabajan en un rango entre ±10V , fue necesario colocar un divisor de voltaje, entre la salida del puente H y las entradas de la tarjeta, es por eso que se colocaron los bloques de conversión para tener la lectura adecuada del voltaje de entrada al motor de control. En la figura 5.11 se presenta la señal de entrada utilizada para realizar la identificación del motor de control. Voltaje de entada al motor de control para identificacion 15

10

Voltaje (V)

5

0

−5

−10

−15

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Tiempo (s)

Figura 5.11: Señal de entrada utilizada para la identificación del motor de control Los resultados obtenidos para los parámetros del motor de control son los siguientes: B = 49,366 J kT = 190,0 J kb = 4,8333 L r = 1998,7 L 1 = 205,48 L En la figura 5.12 se presenta la comparación de las salidas del sistema medidas experimentalmente y salidas del modelo con los parámetros estimados. Como se puede observar

76

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

la convergencia de los resultados es bastante buena, las fluctuaciones que se presentan entre resultados experimentales y simulaciones pueden deberse principalmente al juego entre los dientes de los engranes cónicos durante el cambio en el sentido de giro del motor. Cabe menR R ° ° cionar que el System Identification Toolbox de Matlab realiza un cálculo de la función del R ° error (ver programa de Matlab en el apéndice C2). La función del error es usada para saber que tan bueno es el modelo, es decir, que tanto representa el comportamiento del sistema real, esto se hace mediante el cálculo del porcentaje de ajuste de la salida del modelo a la salida del sistema real, que se presenta en la figura 5.12, este cálculo también ejecutado por el toolbox.

Salida experimental y salida del modelo con los parámetros estimados

Posicion angular (rad)

10

salida experimental modelo Ajuste: 65.88%

8 6 4 2 0 −2

0

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Velocidad angular (rad/s)

4

salida experimental modelo Ajuste: 88.81%

3 2 1 0 −1 −2 −3

0

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Figura 5.12: Comparación de las salidas medidas del motor de control y las salidas del modelo con los parámetros estimados.

5.4. IDENTIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA TVC

5.4.

77

Identificación de los parámetros de la TVC

En la sección 4.6.1 se desarrolló el algoritmo para la estimación de los parámetros de fricción y del par torsional de entrada de la TVC aplicando el método de mínimos cuadrados. Dicho algoritmo fue implementado experimentalmente mediante el programa del apéndice C3. De acuerdo a la ecuación (4.15), para realizar la estimación paramétrica de la TVC por mínimos cuadrados, únicamente es necesario conocer el estado x1 (velocidad de salida de la TVC) y la relación de transmisión de la TVC, que es función de x3 (posición del motor de control) y su derivada (función de x4 , velocidad del motor de control). El diagrama de R ° Simulink utilizado para la lectura de los datos para la identificación de la TVC se presenta en la figura 5.13.

Figura 5.13: Diagrama utilizado para la lectura de los datos para la identificación de la TVC.

Se implementó el algoritmo de identificación con varios conjuntos de datos experimentales, obteniéndose para cada uno de ellos los valores numéricos de los coeficientes de fricción y del par torsional de entrada del modelo dinámico de la TVC. A continuación se presentan los datos experimentales usados y los valores numéricos de los parámetros estimados en cada experimento.

78

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

Posicion angular del motor de control (rad)

20 1 0 0.5

−20 −40

0 10 20 30 40 50 Velocidad angular del motor de control (rad/s) 1.5

0 0.5

1

0

0.5

−0.5

0

−1

−0.5

−1.5

0 10 20 30 40 50 Derivada de la relacion de transmision de la TVC 2

0 10 20 30 40 50 Relacion de transmision de la TVC (rad/s)

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

0 −2 −4

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

Figura 5.14: Conjunto de datos experimentales utilizado para la identificación de la TVC, experimento 1.

kg · m2 s kg · m2 = 0,0021 s = 0,1414N · m

b1 = 0,0012 b2 τm

5.4. IDENTIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA TVC Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

79

Posicion angular del motor de contro (rad)

0

1

−20 0.5 −40 −60

0 10 20 30 40 50 Velocidad angular del motor de control (rad/s) 1.5 1

0

0 10 20 30 40 50 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

0 −0.5

0.5 −1

0 −0.5

0 10 20 30 40 50 Derivada de la relacion de transmision de la TVC 2

−1.5

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

0 −2 −4

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

Figura 5.15: Conjunto de datos experimentales utilizado para la identificación de la TVC, experimento 2.

b1 b2 τm

kg · m2 = 0,0010 s kg · m2 = 0,0020 s = 0,1323N · m

80

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

Posicion angular del motor de control (rad)

0

0.6

−10

0.4

−20 0.2

−30 −40

0

0 10 20 30 40 50 Velocidad angular del motor de control (rad/s) 0.3

−0.4

0.2

−0.6

0.1

−0.8

0

−1

−0.1

−1.2

0 10 20 30 40 50 Derivada de la relacion de transmision de la TVC 1

0 10 20 30 40 50 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

0 −1 −2 −3

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

Figura 5.16: Conjunto de datos experimentales utilizados para la identificación de la TVC, experimento 3.

b1 b2 τm

kg · m2 = 0,0012 s kg · m2 = 0,0020 s = 0,1392N · m

5.4. IDENTIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA TVC Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

81

Posicion angular del motor de control (rad)

0

0.15

−10

0.1

−20 0.05

−30 −40

0 10 20 30 40 50 Velocidad angular del motor de control (rad/s) 0.15

0 −0.7

0.1

−0.8

0.05

−0.9

0

−1

−0.05

−1.1

0 10 20 30 40 50 Derivada de la relacion de transmision de la TVC 1

0 10 20 30 40 50 Relacion de trasnmision de la TVC w2/w1

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

0 −1 −2 −3

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

Figura 5.17: Conjunto de datos experimentales utilizados para la identificación de la TVC, experimento 4

b1 b2 τm

kg · m2 = 0,0011 s kg · m2 = 0,0021 s = 0,1308N · m

50

82

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

Posicion angular del motor de control (rad)

20

1.5

0

1

−20

0.5

−40

0

0 10 20 30 40 50 Velocidad angular del motor de control (rad/s) 1

0.5

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

0 10 20 30 40 50 Derivada de la relacion de transmision de la TVC 1

0 10 20 30 40 50 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

0 −1 −2 −3

0

10

20 30 Tiempo (s)

40

50

Figura 5.18: Conjunto de datos experimentales utilizados para la identificación de la TVC, experimento 5

b1 b2 τm

kg · m2 = 0,0011 s kg · m2 = 0,0021 s = 0,1312N · m

5.4. IDENTIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA TVC

83

Al estar trabajando con las unidades en el sistema métrico internacional, las unidades 2 para los coeficientes de fricción son kg·m y para el par torsional N · m. s Como se esperaba, los valores de los coeficientes son muy pequeños, debido a que la fricción asociada a las flechas de entrada y de salida de la TVC se debe principalmente a los rodamientos con los que están acopladas las flechas a las bases; en el caso de la flecha de salida también podría considerarse la fricción que pudiera presentarse por el propio movimiento del disco del sensor óptico. Se aprecia un valor notablemente mayor en el coeficiente correspondiente a la flecha de salida, esto pudiera deberse, además de la fricción que pudiera presentar el funcionamiento del sensor, a la forma en la que está apoyada la flecha de salida, ya que ésta se encuentra en voladizo, es decir, solo está apoyada por el rodamiento en uno de sus extremos, mientras que el otro extremo, en el que se encuentra colocado el sensor óptico no tiene ningún apoyo y al encontrase inclinada a 45o , el peso de la propia flecha y el peso del sensor pudieran ocasionar una pequeña fuerza de reacción en el apoyo (en el rodamiento). En todos los experimento realizados con el objetivo de estimar los coeficientes de fricción y el par de entrada de la TVC se observa una muy leve variación en el valor numérico de los parámetros estimados, por tal motivo se optó por utilizar el promedio de estos valores para la simulación del modelo dinámico. Los valores numéricos para los coeficientes de fricción y para el par torsional de entrada considerados para el modelo dinámico de la TVC son

kg · m2 s kg · m2 = 0,00205 s = 0,1349N · m

b1 = 0,001125 b2 τm

84

5.5.

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Validación del modelo dinámico de la TVC

A continuación se presentan los resultados obtenidos para la validación del modelo dinámico de la TCV. La validación se realizó mediante la comparación de la salida real del sistema y la salida del modelo en simulación bajo condiciones similares de operación, es decir, en ambos casos se tiene la misma entrada. R ° En la figura 5.19 se presenta el diagrama de Simulink utilizado para la simulación del R ° modelo. Las funciones de Matlab utilizadas tanto para el modelo sin fricción como para el modelo con fricción se presenta en el apéndice C4. Cabe destacar que en la simulación se incluyó un bloque de zona muerta para el motor de control para compensar el rango de voltaje para el cual el motor no presenta movimiento. Los valores límite de la zona muerta se determinaron de manera experimental, aumentando gradualmente el valor del voltaje en las terminales del motor y registrando los valores en los cuales se rompe la inercia y se empieza a mover su flecha de salida. Los valores obtenidos fueron Vzonamuerta+ = +5,2V Vzonamuerta− = −4,5V

Figura 5.19: Diagrama a bloques de Simulink utilizado para la simulación del modelo dinámico de la TVC

5.5. VALIDACIÓN DEL MODELO DINÁMICO DE LA TVC

85

Los datos experimentales usados para la validación del modelo son básicamente los utilizados para la identificación de la TVC, es decir, la respuesta del sistema en lazo cerrado con el controlador PI para regulación de la velocidad de salida, aunque en la parte final de esta sección se incluye también la respuesta del sistema a un seguimiento de trayectoria sinusoidal, implementando también el controlador PI. A este respecto cabe aclarar que la respuesta del controlador al seguimiento de trayectoria no es muy buena, es decir, el sistema no sigue de manera fiel la trayectoria propuesta, sin embargo, para fines de validación del modelo, se consideran buenos los datos experimentales obtenidos. Anteriormente se ha mencionado que el criterio para la validación modelos es frecuentemente la minimización de una función del error. La función del error a utilizar es

V (y, ym ) =

Z

T

e2 (t)dt

0

donde y es la salida del sistema, ym es la salida del modelo y e es el error; dado que este criterio puede ser interpretado como un criterio de mínimos cuadrados para el error e. El error e queda definido como

e = y − ym

A continuación se presentan los resultado obtenidos para la validación del modelo dinámico de la TVC tanto para el caso ideal, en el que se desprecian los efectos de fricción entre cuerpos en contacto giratorio, como para el caso que considera dichos efectos. Se presentan las gráficas tanto de la salida del sistema real, referida como salida experimental, como del modelo sin fricción y con fricción, así como también la comparación de las lecturas experimentales y de simulación de la posición del motor de control y de la relación de transmisión de la TVC. En el caso de la posición del motor de control, se presenta una única respuesta del modelo simulado, esto se debe a que el modelo del motor es el mismo en ambos modelos de la TVC y la principal diferencia entre los dos modelos radica en la expresión para la relación de transmisión. También se presentan los resultados de la evaluación de la función del error V (y, ym ), R ° dicha evaluación fue realizada con el programa de Matlab presentado en el apéndice C5.

86

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Velocidad de salida de la TVC (rad/s) 0

−10 −20 −30

experimental modelo sin friccion modelo con friccion

−40 −50

0

5

10

15

20 25 30 35 Posicion del motor de contro (rad)

40

45

50

1 0.5 0 −0.5

experimental modelo 0

5

10

15 20 25 30 35 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

40

45

50

0 −0.5 experimental modelo con friccion modelo sin friccion

−1 −1.5

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

Figura 5.20: Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia de -10 rad/s

V (y, ym )sf = 52,7209 V (y, ym )cf = 38,7198

5.5. VALIDACIÓN DEL MODELO DINÁMICO DE LA TVC

87

Velocidad de salida de la TVC (rad/s) 0 −10 −20 −30

experimental modelo sin friccion modelo con friccion

−40 −50

0

5

10

15

20 25 30 35 Posicion del motor de control (rad)

40

45

50

1 0.5 0 −0.5

experimental modelo 0

5

10

15 20 25 30 35 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

40

45

50

0 −0.5 experimental modelo sin friccion modelo con friccion

−1 −1.5

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

Figura 5.21: Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia de -20 rad/s (1)

V (y, ym )sf = 187,3074 V (y, ym )cf = 125,5427

88

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Velocidad de salida de la TVC (rad/s) 0 experimental modelo sin friccion modelo con friccion

−10 −20 −30 −40

0

5

10

15

20 25 30 35 Posicion del motor de control (rad)

40

45

50

0.6 0.4 0.2 0 −0.2

experimental modelo 0

5

10

15 20 25 30 35 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

40

45

50

−0.4 −0.6 −0.8 experimental modelo con friccion modelo sin friccion

−1 −1.2

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

Figura 5.22: Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia de -20 rad/s (2)

V (y, ym )sf = 193,5564 V (y, ym )cf = 148,6114

5.5. VALIDACIÓN DEL MODELO DINÁMICO DE LA TVC

89

Velocidad de salida de la TVC (rad/s) 0 experimental modelo sin friccion modelo con friccion

−10 −20 −30 −40

0

5

10

15

20 25 30 35 Posicion del motor de control (rad)

40

45

50

0.15 0.1 0.05 0 −0.05

experimental modelo 0

5

10

15 20 25 30 35 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

40

45

50

−0.8

−0.9 experimental modelo con friccion modelo sin friccion

−1 0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

Figura 5.23: Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia de -30 rad/s

V (y, ym )sf = 47,9131 V (y, ym )cf = 30,1119

50

90

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Velocidad de salida de la TVC (rad/s)

0

experimental modelo con friccion modelo sin friccion

−20 −40 −60 −80

0

5

10

15

20 25 30 35 Posicion del motor de control (rad)

40

45

50

experimental modelo

0 −0.1 −0.2 0

5

10

15 20 25 30 35 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

40

45

50

experimental modelo con friccion modelo sin friccion

−1 −1.1 −1.2 −1.3 −1.4

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

Figura 5.24: Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia de -60 rad/s

V (y, ym )sf = 40,5463 V (y, ym )cf = 29,1392

5.5. VALIDACIÓN DEL MODELO DINÁMICO DE LA TVC

91

Velocidad de salida de la TVC (rad/s) 20 0 experimental modelo con friccion modelo sin friccion

−20 −40

0

5

10

15

20 25 30 35 Posicion del motor de control (rad)

40

45

50

1.5 1 0.5 0 −0.5

experimental modelo 0

5

10

15 20 25 30 35 Relacion de transmision de la TVC w2/w1

40

45

50

0.5 0 −0.5 experimental modelo con friccion modelo sin friccion

−1 −1.5

0

5

10

15

20

25 Tiempo (s)

30

35

40

45

50

Figura 5.25: Comparación de la respuesta del sistema real con los resultados de la simulación de los modelos de la TVC para referencia sinusoidal

V (y, ym )sf = 1929,4 V (y, ym )cf = 1804,02

92

CAPÍTULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

A partir de los resultados de la validación del modelo dinámico de la TVC, se puede observar que se tiene una mejor aproximación de la salida de simulación del modelo a la salida del sistema real cuando se incluyen los efectos de fricción entre cuerpos en contacto giratorio, esto se puede concluir dado que el valor numérico de la función del error en todos los casos es mayor para el modelo sin fricción que para el modelo con fricción. También se aprecia una notable divergencia de los resultados de simulación con los resultados experimentales en el último experimento en el que se propuso una referencia sinusoidal, esto puede deberse principalmente a que el modelo dinámico de la TVC no incluye el juego existente entre los engranes cónicos que mantienen alineados a los rodillos directores, incluso la variación de puede apreciar desde la lectura de la posición angular del motor de control, la cual gobierna la relación de transmisión y, en consecuencia se originan las variaciones en la lectura de la velocidad de salida de la TVC.

Capítulo 6 Conclusiones y perspectivas 6.1.

Conclusiones generales

Con base en los objetivos planteados y al trabajo realizado en esta tesis, se plantean las siguientes conclusiones generales: Se resolvió el problema de instrumentación del prototipo de la TVC esférica de la sección de mecatrónica del CINVESTAV IPN, mediante la implementación de sensores ópticos para lectura de posición angular y la etapa de potencia. También se realizó la R R ° ° interfaz de la tarjeta de adquisición de datos con Simulink de Matlab , lo que permite una mayor flexibilidad en la adquisición y el procesamiento de los datos experimentales a la vez que facilita las tareas de programación. Se desarrolló la metodología para la obtención del modelo dinámico de la TVC y se complementó esta tarea con la implementación de algoritmos de identificación que permiten estimar los parámetros desconocidos del modelo, esto es lo que se considera el principal aporte del trabajo. El modelo de la TVC esférica facilitará su implementación práctica en un dispositivo mas complejo como sistema de transmisión de potencia, debido a que será posible analizar dinámicamente su interacción con los elementos restantes del sistema. Se realizó la validación del modelo obtenido mediante resultados experimentales y de simulación, obteniéndose resultados satisfactorios. Las variaciones observadas entre la respuesta del sistema real y el comportamiento del modelo en simulación pueden deberse principalmente a desperfectos mecánicos en la construcción del prototipo, aunque también, quizá en menor medida, a la incertidumbre que pudieran presentar los parámetros estimados. De acuerdo a los resultados presentados para la validación del modelo, se observa que cuando el sistema está sometido a constantes cambios en la dirección de giro del motor de control (y, por consecuencia, en la dirección de la velocidad de salida), se presentan las mayores variaciones en el comportamiento del modelo con respecto al del sistema 93

94

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS real, esto es debido al juego existente entre los engranes cónicos que permiten que los dos rodillos directores permanezcan alineados. En el prototipo utilizado se puede observar claramente que existe un juego considerable entre los engranes cónicos cuya posición angular es la que establece la relación de transmisión, este juego se debe principalmente al maquinado de dichos engranes, ya que es notable a simple vista la diferencia de espesores de algunos dientes con respecto al resto de ellos. Con el desarrollo de este trabajo se da pie a poder implementar algunas mejoras en el prototipo utilizado y en los que se pudieran construir en un futuro. Por una parte en lo que respecta a su manufactura y ensamble, principalmente en el maquinado de los engranes cónicos. Por otra, pudieran implementarse técnicas de optimización para un rediseño que permita un mejor funcionamiento para las condiciones de velocidad angular y par torsional requeridas. La inclusión de los efectos de fricción entre los cuerpos en contacto giratorio lleva a un modelo cuyo comportamiento se asemeja más a la respuesta del sistema real, aunque presenta una estructura más compleja en lo que respecta a la expresión para la derivada de la relación de transmisión y esto hace más difícil el análisis del modelo dinámico con fricción.

6.2.

Trabajo a futuro

Como complemento a este trabajo de tesis se proponen los siguientes puntos para desarrollarse como trabajo futuro: Modelar el juego entre los engranes cónicos e incluir este efecto en el modelo dinámico de la TVC o en su defecto sustituir los dos pares de engranes para eliminar o disminuir el juego entre ellos. Esto con la finalidad de tener una mejor respuesta del modelo en los casos en los que se tengan constantes cambios en el sentido de la velocidad de salida de la TVC. Realizar un análisis del modelo en el marco de la teoría de sistemas no lineales que permita obtener algunas de sus propiedades con el fin de desarrollar leyes de control basadas en el modelo y que permitan no únicamente regulación de la salida, sino seguimiento de trayectorias y compensación de perturbaciones. Implementar técnicas de optimización basadas en el modelo dinámico para el rediseño de la TVC, de tal manera que se pueda adaptar a diferentes requerimientos de velocidad angular y de par torsional. Aprovechar algunas de las ventajas de este tipo específico de TVC, como pueden ser su capacidad para cambiar el sentido de la velocidad de salida e incluso lograr velocidad de salida igual a cero, para implementar un prototipo rediseñado de la TVC esférica en un sistema mecatrónico más complejo como pudiera ser un robot móvil.

Bibliografía [1] Ljung, L., Glad, T., Modeling of Dynamic Systems, Prentice Hall, USA, 1994. [2] Lowen, J., Dynamic Modeling and Control of Engineering Systems, Prentice Hall, USA, 1997. [3] Woods, R. L., Modeling and Simulation of Dynamic Systems, Prentice Hall, USA, 1997. [4] Kim, Jungyun. Design, Analysis and Control of a Spherical Continuously Variable Transmission, Ph.D. thesis, School of Mechanical and Aerospace Engineering, Seoul National University, 2001. [5] Kim, J, Park, F. C. and Park, Y., Design, Analysis and Control of a Wheeled Mobile Robot with a Nonholonomic Spherical CVT, IEEE International Journal of Robotics Research, Vol. 21 Num. 5-6, 2002, pp. 409-426. [6] Moore, C. A., Continuously Variable Transmission for Serial Link Cobot Architectures, M.Sc. thesis, Laboratory for Intelligent Mechanical Systems, Northwestern University, 1997. [7] Flores, O. Diseño y Construcción de un Sistema de Transmisión de Variación Continua Tipo Esférico, Tesis de maestría, Sección de Mecatrónica, CINVESTAV I.P.N., 2004. [8] Ogata, K., Dinámica de Sistemas, Prentice Hall, México, 1987. [9] Gillespie, R. B., Moore, C. A., Kinematic Creep in a Continuously Variable Transmission: Traction Drive Mechanics for Cobots, ASME Journal of Mechanical Design, Vol. 124, 2002, pp. 713-722. [10] Ljung, L., System Identification: Theory for the user, Prentice Hall, USA, 1987. [11] Aström, K. J., Eykhoff, P., System Identification - A Survey, Automatica, Vol. 7, 1971, pp. 123-162. [12] Ljung, L., Soderstrom, T., Theory and practice of Recursive Identification, MIT Press, USA, 1983. [13] Isermann, R., Mechatronics Systems - Fundamentals, Springer, Great Britain, 2003. 95

96

BIBLIOGRAFÍA

[14] Aström, K. J., Björn, W., Adaptive Control, Addison-Wesley Publishing Company, USA, 1989. [15] Ogata, K., Ingeniería de Control Moderna, Prentice Hall, México, 1998. [16] Shigley, J. E., Diseño en Ingeniería Mecánica, McGraw HIll, México, 1998. [17] Millman, J. Microelectronics, McGraw Hill, USA, 1987. [18] Hsu, H. P., Análisis de Fourier, Addisson-Wesley Iberoamericana, USA, 1987. [19] Humusoft s.r.o., MF 604 Multifunction I/O Card User’s Manual, 1999.

Apéndice A

Especificaciones técnicas 97

98

A.1.

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

Sensores ópticos

A.1. SENSORES ÓPTICOS

99

100

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

A.2. MODULADOR DE ANCHO DE PULSO (PWM)

A.2.

Modulador de ancho de pulso (PWM)

101

102

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

A.2. MODULADOR DE ANCHO DE PULSO (PWM)

103

104

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

A.2. MODULADOR DE ANCHO DE PULSO (PWM)

105

106

A.3.

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

Puente H

A.3. PUENTE H

107

108

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

A.3. PUENTE H

109

110

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

A.3. PUENTE H

111

112

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

A.4. COMPUERTA LÓGICA NAND

A.4.

Compuerta lógica NAND

113

114

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

A.4. COMPUERTA LÓGICA NAND

115

116

APÉNDICE A. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

Apéndice B Cálculo de las inercias de las flechas de entrada y de salida de la TVC Los cálculos de las inercias se realizan en base a las figuras B.1, B.2, B.3. Primero, es necesario estimar la masa de las flechas, para lo cual se calcula el volumen y con la densidad del material, se estima la masa de cada elemento. El volumen de la flecha de entrada es # " π (0,008m)2 Ve = [0,157m] 4 Ve = 7,891x10−6 m3 kg Considerando la densidad del acero igual a 7870 m 3 [16], tenemos que la masa de la flecha de entrada es ¶ µ ¢ kg ¡ me = 7870 3 7,891x10−6 m3 m me = 0,0621kg

La inercia de la flecha de entrada es, entonces 1 J1 = me d2e 8 donde de es el diámetro de la flecha de entrada. J1 =

1 (0,0621kg) (0,008m)2 8

J1 = 4,968x10−7 kg · m2

En el caso de la flecha de salida, además de la inercia misma de la flecha, es necesario sumar la inercia del cople que sirve para unir el sensor óptico a la flecha. El volumen de la flecha de salida es " # π (0,008m)2 Vs = [0,135m] 4 117

118APÉNDICE B. CÁLCULO DE LAS INERCIAS DE LAS FLECHAS DE ENTRADA Y DE SALIDA DE Vs = 6,7858x10−6 m3 Entonces la masa de la flecha de salida es ¶ µ ¢ kg ¡ ms = 7870 3 6,7858x10−6 m3 m ms = 0,0534kg

y su inercia

1 (0,0534kg) (0,008m)2 8 Js = 4,272x10−7 kg · m2

Js =

Los cálculos correspondientes a la inercia del cople se realizan basados en la figura B.3. kg La densidad del bronce considerada es de 8800 m 3 [16]. Vc1 =

£ ¤ π (0,02213m) (0,01875m)2 − (0,0081m)2 4

Vc1 = 4,9953x10−6 m3 ¶ µ ¢ kg ¡ mc1 = 8800 3 4,9953x10−6 m3 m

mc1 = 0,04395kg £ ¤ 1 Jc1 = (0,04395kg) (0,0081m)2 + (0,01875m)2 8 Jc1 = 2,2838x10−6 kg · m2 £ ¤ π Vc2 = (0,01502m) (0,01283m)2 − (0,00663m)2 4 Vc2 = 1,4233x10−6 m3 ¶ µ ¢ kg ¡ mc2 = 8800 3 1,4233x10−6 m3 m mc2 = 0,0125kg £ ¤ 1 Jc2 = (0,0125kg) (0,00663m)2 + (0,01283m)2 8 Jc2 = 3,2588x10−7 kg · m2

La inercia total en la flecha de salida es J2 = Js + Jc1 + Jc2 J2 = 3,037x10−6 kg · m2

119

Figura B.1: Flecha de entrada de la TVC

120APÉNDICE B. CÁLCULO DE LAS INERCIAS DE LAS FLECHAS DE ENTRADA Y DE SALIDA DE

Figura B.2: Flecha de salida de la TVC

121

Figura B.3: Cople del encoder de la flecha de salida

122APÉNDICE B. CÁLCULO DE LAS INERCIAS DE LAS FLECHAS DE ENTRADA Y DE SALIDA DE

Apéndice C R °

Programas y funciones de Matlab C.1.

Programas para la simulación y estimación paramétrica del sistema vibratorio de 1 gdl

SIMULACION DE UN SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR DE 1 GDL clear all close all %Tiempo de simulacion to=0; tf=50; dt=1e-2; n=(tf-to)/dt; %Vector tiempo t=linspace(to,tf,n); %Entrada del sistema u=0.5*sin(1.5*t); %Estados x1=zeros(n,1); x2=zeros(n,1); %Parametros c=0.6; k=10; m=2; %Condiciones iniciales x1(1)=0; x2(1)=0; %Integracion for i=1:n-1; x1(i+1)=x1(i)+dt*x2(i); 123

124

R °

APÉNDICE C. PROGRAMAS Y FUNCIONES DE MATLAB

x2(i+1)=x2(i)+dt*((1/m)*(u(i)-c*x2(i)-k*x1(i))); end %Graficas hold on xlabel(’tiempo’) ylabel(’entrada y estados’) plot(t,u,’r’) plot(t,x1,’k’) plot(t,x2,’b’) hold off %Salvar los datos para utilizarlos en la estimacion save param t x1 x2 u dt ESTIMADOR DE PARAMETROS PARA EL SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR clear all close all %Cargar los datos de la simulacion load param n=10; k=10; for j=10:n:300; i=j/n; fi(i,:)=[x1(j+k) x2(j+k) u(j+k)]; y(i)=x1(j+k+2); end %Verificacion de no singularidad de la matriz fi det (fi’*fi) %Vector de parametros p=inv(fi’*fi)*fi’*y’ %Despeje de los parametros m, c y k del sistema m=dt*dt/p(3) c=(m/(dt*dt))*(2*dt-p(2)) k=(m/(dt*dt))*(1-p(1)) ESTIMADOR DE UN SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR DE 1GDL USANDO SYSTEM IDENTIFICATION TOOLBOX %Cargar los datos de la simulacion load param u1=zeros(5000,1); u1(:,1)=u’; y=zeros(5000,1); y(:,1)=x1(:,1);

C.2. PROGRAMA PARA IDENTIFICACIÓN DEL MOTOR DE CONTROL

125

%Crea un objeto de datos para ser usado en rutinas de identificacion z = iddata(y,u1,0.01); z.InputName = ’Fuerza’; z.OutputName = {’Posicion’}; plot(z) %Definicion del modelo en variables de estado, NaN denota los parametros a ser estimado As = [0 1;NaN NaN]; Bs = [0;NaN]; Cs = [1 0]; Ds = [0]; Ks = [0;0]; %Condiciones iniciales de los estados X0s = [0;0]; %Condiciones iniciales de los parametros A = [0 1;-4 -0.1]; B = [0;0.4]; C = [1 0]; D = [0]; %Definicion del modelo nominal ms = idss(A,B,C,D); %Definicion de la estructura con los parametros a estimar setstruc(ms,As,Bs,Cs,Ds,Ks,X0s); %Definicion del modelo en tiempo continuo set(ms,’Ts’,0) %Despliega la estructura nominal del modelo con los valores iniciales de estados y de parametros ms % La prediccion del error (maxima verosimilitud) de los parametros estimados se calcula mediante modelo = pem(z,ms,’trace’,’on’); %Despliega el modelo con los valores estimados de los parametros modelo %Compara las salidas del sistema real y las del modelo con los parametros estimados compare(z,modelo);

C.2.

Programa para identificación del motor de control

PROGRAMA PARA ESTIMAR LOS PARAMETROS DEL MOTOR DE CONTROL %Cargar datos experimentales load identmotor u1=zeros(25000,1);

126

R °

APÉNDICE C. PROGRAMAS Y FUNCIONES DE MATLAB

u1(:,1)=u(:,2); y=zeros(25000,2); y(:,1)=x3(:,2); y(:,2)=x4(:,2); %Crea un objeto de datos para ser usado en rutinas de identificacion z = iddata(y,u1,0.002); z.InputName = ’Voltaje’; z.OutputName = {’Posicion angular’;’Velocidad angular’}; plot(z) %Definicion del modelo en variables de estado, NaN denota los parametros a ser estimado As = [0 1 0; 0 NaN NaN;0 NaN NaN]; Bs = [0;0;NaN]; Cs = [1 0 0; 0 1 0]; Ds = [0; 0]; Ks = [0 0;0 0;0 0]; %Condiciones iniciales de los estados X0s = [0;0;0]; %Condiciones iniciales de los parametros A = [0 1 0; 0 -10 100;0 -1 -1000]; B = [0;0;150]; C = [1 0 0; 0 1 0]; D = [0; 0]; %Definicion del modelo nominal ms = idss(A,B,C,D); %Definicion de la estructura con los parametros a estimar setstruc(ms,As,Bs,Cs,Ds,Ks,X0s); %Definicion del modelo en tiempo continuo set(ms,’Ts’,0) %Despliega la estructura nominal del modelo con los valores iniciales de estados y de parametros ms % La prediccion del error (maxima verosimilitud) de los parametros estimados se calcula mediante modelo = pem(z,ms,’trace’,’on’); %Despliega el modelo con los valores estimados de los parametros modelo %Compara las salidas del sistema real y las del modelo con los parametros estimados compare(z,modelo);

C.3. PROGRAMA PARA IDENTIFICACIÓN DE LA TVC

C.3.

127

Programa para identificación de la TVC

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA LA TVC %clear all %close all %Intervalo de muestreo dt=0.002; %Parametros conocidos J1=4.968e-7; J2=3.037e-6; TL=0; n=10; k=10; for j=10:n:24900; i=j/n; %Vector de variables de regresion (3x1) fi(i,:)=[(-x1(j+k,2)*R(j+k,2)*dt)/(J2*R(j+k,2)+J1/R(j+k,2)) (-dt*x1(j+k,2))/(J2*R(j+k,2)^2+J1) dt/(J2*R(j+k,2)+J1/R(j+k,2))]; %Vector de variables observadas y(i)=x1(j+k+1,2)-x1(j+k,2)-(x1(j+k,2)*J1*Rp(j+k,2)*dt)/(R(j+k,2)^3*J2+ J1*R(j+k,2))+(TL*dt*R(j+k,2))/(J2*R(j+k,2)+J1/R(j+k,2)); end d=det (fi’*fi) %Vector de parametros estimados p=inv(fi’*fi)*fi’*y’

C.4.

Funciones usadas para la simulación del modelo de la TVC

FUNCION UTILIZADA PARA EL MODELO SIN FRICCION function estados=mod1exp01(q) %Asignacion de las variables x1=q(1); x2=q(2); x3=q(3); x4=q(4); v=q(5); %Valor numerico de los parametros de friccion y oar de entrada estimados b1=0.001125; b2=0.00205;

128

R °

APÉNDICE C. PROGRAMAS Y FUNCIONES DE MATLAB

TM=0.1349; %Parametros estimados del motor de control rL=1998.7; %=r/L kbL=4.8333; %=kb/L L=205.48; %=1/L BJ=49.366; %=B/J ktJ=190; =kt/J %Valores calculados de las inercias J1=4.968e-7; J2=3.037e-6; %Par de carga TL=0.0; %Calculo de la relacion de la TVC y de su derivada gama=atan(0.7071*tan(x3))-pi/4; R=tan(gama); Rp=sec(gama)*sec(gama)*((0.7071*sec(x3)*sec(x3))/(1+0.5*tan(x3)*tan(x3)))*x4; % Ecuaciones de estado del sistema x1p=(TM-R*TL+x1*(J1*Rp/R^2-R*b2-b1/R))/(J2*R+J1/R); x2p=-rL*x2-kbL*x4+L*v; x3p=x4; x4p=ktJ*x2-BJ*x4; %Regresa los valores de la funcion estados=[x1p;x2p;x3p;x4p;R]; FUNCION UTILIZADA PARA EL MODELO CON FRICCION function estados=mod1exp01(q) %Asignación de las variables x1=q(1); x2=q(2); x3=q(3); x4=q(4); v=q(5); %Valor numerico de los parametros de friccion y par de entrada estimados b1=0.001125; b2=0.00205; TM=0.1349; %Parametros estimados del motor de control rL=1998.7; %=r/L kbL=4.8333; %=kb/L L=205.48; %=1/L BJ=49.366; %=B/J ktJ=190; =kt/J

C.5. PROGRAMA PARA LA EVALUACIÓN DE LA FUNCIÓN DEL ERROR

129

%Valores calculados de las inercias J1=4.968e-7; J2=3.037e-6; %Par de carga TL=0.0; %Ancho de la linea de contacto entre la esfera y los rodillos conductores a=0.2; %Radio de la esfera central radio=19.05; %Calculo de la relacion de la TVC y de su derivada gama=atan(0.7071*tan(x3))-pi/4; R=(sin(gama)*cos(gama)+a*cos(gama)^2/radio)/(cos(gama)^2-a*sin(gama)^2/radio); %Derivada parcial de Rtvc respecto a gama dRgama=(cos(gama)^2-sin(gama)^2-2*a*cos(gama)/radio*sin(gama))/(cos(gama)^2-a *sin(gama)^2/radio)-(sin(gama)*cos(gama)+a*cos(gama)^2/radio)/(cos(gama)^2-a *sin(gama)^2/radio)^2*(-2*sin(gama)*cos(gama)-2*a*cos(gama)/radio*sin(gama)); %Derivada parcial de gama respecto a teta(x3) dgamateta=(0.7071*sec(x3)^2)/(1+0.5*tan(x3)^2); %Derivada de Rtvc respecto al tiempo Rp=dRgama*dgamateta*x4; % Ecuaciones de estado del sistema x1p=(TM-R*TL+x1*(J1*Rp/R^2-R*b2-b1/R))/(J2*R+J1/R); x2p=-rL*x2-kbL*x4+L*v; x3p=x4; x4p=ktJ*x2-BJ*x4; %Regresa los valores de la funcion estados=[x1p;x2p;x3p;x4p;R];

C.5.

Programa para la evaluación de la función del error

CALCULO DE LA FUNCION DEL ERROR %Cargar datos esperimentales y de simulacion load exp104_e %Vector de tiempo t=x1s(1501:50000,1); %Interpolacion de los datos experimentales para tener muestras cada 0.001s x11=interp(x1(:,2),2); %Vector de datos experimentales x111=x11(1501:50000);

130

R °

APÉNDICE C. PROGRAMAS Y FUNCIONES DE MATLAB

%Vector de datos de simulacion del modelo sin friccion x1sim=x1s(1501:50000,2); %Vector de datos de simulacion del modelo con friccion x1sim2=x1s2(1501:50000,2); %Definicion del error para ambos modelos e1=x111-x1sim; e2=x111-x1sim2; %Error al cuadrado for i=1:48500, e12(i)=e1(i)^2; e22(i)=e2(i)^2; end %Integral del error al cuadrado v1=trapz(t,e12) v2=trapz(t,e22)