Teoria_jogos_concursos (1)

Instituto Superior de Economia e Gestão – ISEG - Curso Prof. Geraldo Góes Av. W 2 509 Sul Fone: 443-3691 Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha

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Olá pessoal, A Teoria dos Jogos é a aplicação da lógica matemática no processo de tomada de decisões nos jogos e, por extensão, na economia, na política e na guerra – situações caracterizadas, como as dos jogos, por conflitos de interesses, informações incompletas e acaso. Em economia, é o ramo que pretende descrever e prever o comportamento econômico utilizando a disciplina matemática. Em outras palavras, a Teoria dos Jogos lida com a análise geral de interação estratégica, e pode ser utilizada para estudar negociações políticas e comportamento econômico (por exemplo, o comportamento econômico em mercados oligopolizados). Essa teoria procura encontrar estratégias racionais em situações em que o resultado depende não só da estratégia própria de um agente e das condições de mercado, mas também das estratégias escolhidas por outros agentes que possivelmente têm estratégias diferentes ou objectivos comuns. A teoria dos jogos tornou-se um ramo proeminente da matemática nos anos 40 do século XX, especialmente depois da publicação em 1944 do livro Teoria dos Jogos e do Comportamento Econômico, onde os autores JOHANNES VON NEUMANN e OSKAR MORGENSTERN fazem a analogia entre as competições nos jogos e na economia. A Teoria dos Jogos demonstra que, em jogos de apenas uma pessoa, a estratégia é determinada exclusivamente pelas regras do próprio jogo. Em jogos com duas pessoas, cada jogador leva em consideração as possíveis estratégias do outro. Diz-se que esses jogos são de soma zero: uma das partes perde exatamente o que a outra ganha. Enfim, nos jogos com mais de duas pessoas, o que uma perde não é necessariamente ganho por outra, exigindo considerações mais complexas. Por outro lado, o resultado pode ser influenciado pela formação de coalizões, até o ponto de reduzir o jogo com n participantes. No mundo dos negócios, podem ocorrer situações desse tipo, quando algumas empresas de grande porte fazem “acordos” com a finalidade de retirar do mercado pequenos concorrentes e exercer de fato um poder de cartel. Dessa forma, a Teoria dos Jogos é utilizada para a compreensão de como os mercados evoluem e operam, e de como os administradores deveriam pensar sobre as decisões estratégicas com que continuamente se defrontam. Por exemplo, nessa teoria analisa-se o que ocorre quando empresas oligopolistas têm estrategicamente de determinar e ajustar preços ao longo do tempo, de tal maneira que o dilema dos prisioneiros apareça continuamente. Além disso, mostra-se a maneira pela qual as empresas fazem movimentos estratégicos que lhes dão vantagem sobre seus concorrentes ou a melhor posição durante situações de negociação. Finalmente, a Teoria dos Jogos demonstra, também, as formas pelas quais as empresas podem fazer uso de ameaças, promessas ou atos mais concretos para impedir a entrada de potenciais concorrentes no mercado. Para a resolução dos exercícios a seguir, proponho a leitura dos capítulos referente ao tema em análise nos seguintes livros:

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1. VARIAN, H. Microeconomia: Princípios Básicos. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. (Capítulo 28) 2. VASCONCELLOS, M. A. S. e OLIVEIRA, R. G., Manual de Microeconomia. São Paulo, Atlas, 2000. 3. PINDICK, Robert S; RUBINFELD, Daniel L. Microeconomia – quinta edição. São Paulo: Prentice Hall, 2002. (Capítulo 13). Finalmente, vale lembrar que o filme “Uma Mente Brilhante,” ganhador do Oscar de melhor filme de 2001, é baseado na vida de John Nash, laureado com o prêmio Nobel em Economia por sua contribuição no campo da teoria dos jogos. Assistam a esse filme, quando tiverem oportunidade! Um forte abraço e até o nosso próximo encontro. Serginho.

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TEORIA DOS JOGOS Questões de Concursos Públicos e do Provão do MEC 01 - (Economista/BNDES-2002) Existem dois duopolistas A e B no mercado de um bem em que a quantidade demandada pelos consumidores (Q D ) é representada pela função Q D = 200 -2P, onde P = preço do bem X. Sabe-se que os dois produtores têm custo marginal constante e igual a 60 e que ambos têm duas estratégias alternativas: vender 20 ou vender 26 unidades no mercado. A matriz de payoffs das duas empresas para as quatro combinações de estratégias possíveis está reproduzida abaixo:

A

20

B 20 (400, 400)

26 (340, 442)

26

(442,340)

(364, 364)

Pode-se concluir que (A) a estratégia dominante para a empresa A é vender 20 unidades. (B) a estratégia dominante para a empresa B é vender 20 unidades. (C) não há estratégia dominante para nenhuma das duas empresas. (D) não há equilíbrio de Nash para a situação em análise. (E) a estratégia dominante para as duas empresas é vender 02 - (ESAF/AFC-STN/2000) - Considere o jogo abaixo representado na forma estratégica na qual A e B são duas estratégias disponíveis para o jogador 1, a e b são duas estratégias disponíveis para o jogador 2, e os payoffs do jogo estão representados pelos números entre parênteses sendo que o número à esquerda da vírgula representa o payoff do jogador 1 e o número à direita da vírgula representa o payoff do jogador 2.

A Jogador 1 B

Jogador 2 a (3,2) (0,0)

b (0,0) (2,3)

Com base nesse jogo, é possível afirmar que:

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a) se o jogo for jogado seqüencialmente, sendo que o jogador 1 determina inicialmente a sua estratégia e é seguido pelo jogador 2, que toma sua decisão já conhecendo a estratégia escolhida pelo jogador 1, então, haverá mais de um equilíbrio perfeito de subjogos b) o jogo não apresenta nenhum equilíbrio de Nash c) todos os equilíbrios de Nash do jogo acima são eficientes no sentido de Pareto d) todos os equilíbrios de Nash do jogo são equilíbrios com estratégias dominantes e) um equilíbrio de Nash para esse jogo ocorre quando o jogador 1 escolhe a estratégia B e o jogador 2 escolhe a estratégia a 03 - (ESAF/AFC-STN/1997) - Considere o jogo em forma normal dado pela matriz abaixo:

1

2 A

B

I

(3,3)

(4,2)

II

(8,0)

(5,1)

Aqui, as estratégias disponíveis para o jogador 1 são I e II, e as estratégias disponíveis para o jogador 2 são A e B. As entradas representam os payoffs resultantes das combinações de estratégias, de forma que, por exemplo, se o jogador 1 escolhe I e o jogador 2 escolhe B, 1 recebe 4 e 2 recebe 2. Quais combinações de estratégias resultam em um equilíbrio de Nash para este jogo? a) b) c) d) e)

(I,A) (I,A) e (II,B) (I,B) (I,B) e (II,B) (II,B)

04 – (ESAF/AFC/STN-2002) - Considerando a seguinte representação matricial de um jogo:

Jogador 1 A B

Jogador 2 a 2,1

b 0,0

0,0

1,2

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Pode-se afirmar que: a) o jogo possui dois equilíbrios de Nash com estratégias puras e dois equilíbrios de Nash com estratégias mistas. b) o jogo não possui nenhum equilíbrio de Nash. c) o jogo possui dois equilíbrios de Nash com estratégias puras e nenhum equilíbrio de Nash com estratégias mistas. d) o jogo possui dois equilíbrios de Nash em estratégias puras e um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. e) o jogo possui um equilíbrio de Nash com estratégias mistas e nenhum equilíbrio de Nash com estratégias puras. 05 – (Provão de Economia/1999) - Um Equilíbrio de Nash é obtido quando: (A) todos concordam com a distribuição de ganhos de um jogo, dadas as escolhas de todos os outros jogadores. (B) se atinge um impasse na distribuição de ganhos de um jogo. (C) cada um dos jogadores faz uma escolha ótima, dadas as escolhas de todos os outros jogadores. (D) a escolha de um dos jogadores domina a escolha do outro. (E) não existem escolhas ótimas acessíveis aos jogadores. 06 – (ESAF/Analista do Bacen/2002) - Considere um jogo com dois jogadores: o jogador A e o jogador B. Em jogo está uma premiação de R$ 10.000,00. Cada jogador deve colocar em um papel, sem que o outro veja, um número real positivo (maior ou igual a zero) qualquer. O jogador A será considerado vencedor caso tenha escolhido o mesmo número que o jogador B. O jogador B será considerado vencedor caso tenha escolhido um número igual à raiz quadrada do número escolhido pelo jogador A. Caso haja apenas um vencedor ele fica com todo o prêmio. Caso haja dois vencedores, o prêmio será dividido igualmente entre eles. Com respeito a esse jogo pode-se afirmar que: a) o jogo apresenta dois equilíbrios de Nash. b) não é possível determinar os equilíbrios de Nash do jogo visto que não se pode construir sua matriz de payoffs uma vez que há um número infinito de estratégias disponíveis para cada jogador. c) o jogo apresenta uma infinidade de equilíbrios de Nash. d) se o jogador A anuncia que vai colocar em seu papel o número 100, o jogador B deve acreditar no jogador A e colocar o número 10 em seu papel. e) o jogo apresenta apenas um equilíbrio de Nash.

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07 – (ESAF/Analista do Bacen/2002)- Considere a representação de um jogo em sua forma estratégica que se segue: Jogador 1 • A B Jogador 2 • a (1,10)

Jogador 2 • b

a

(0,0)

(0,0)

b (10,1)

É correto afirmar que: a) o jogo possui apenas um equilíbrio de Nash. b) cada jogador pode escolher entre duas estratégias apenas. c) o jogo possui dois equilíbrios de Nash perfeitos de subjogos. d) o jogo possui um equilíbrio de Nash perfeito de subjogos. e) uma combinação de estratégias que faça com que o jogador 1 escolha a ação A e o jogador 2 escolha a ação a constitui um equilíbrio de Nash perfeito de subjogos. 08 - (ESAF/Analista do Bacen/2001) - Considere o jogo representado pela matriz de payoffs abaixo, na qual A e B são as estratégias disponíveis para o jogador 1 e C e D são as estratégias disponíveis para o jogador 2: Jogador Jogador 2 1 A B

C (1,1) (0,0)

D (0,0) (2,2)

a) O jogo apresenta dois equilíbrios de Nash e dois equilíbrios com estratégias dominantes. b) A combinação das estratégias B e D é um equilíbrio com estratégias dominantes. c) O jogo apresenta dois equilíbrios de Nash e nenhum equilíbrio com estratégia dominante. d) O jogo não apresenta nenhum equilíbrio de Nash e nenhum equilíbrio com estratégias dominantes. e) A combinação das estratégias A e C é um equilíbrio com estratégias dominantes, mas não é um equilíbrio de Nash.

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09 – (CESPE-UnB/Analista Legislativo – Economia/Câmara dos Deputados/2002) – As interações estratégicas entre os agentes econômicos, discutidas pela teoria dos jogos são tópicos relevantes para a análise econômica. A esse respeito, julgue os itens abaixo. 1. Confrontando com as estratégicas puras de enviar todas as suas tropas pôr mar ou enviá-las pôr terra, quando um general decide enviar 25% pôr terra e o restante pôr mar, em teoria dos jogos, isso constitui um exemplo de estratégia mista, porque equivale a minimizar seus riscos. 2. Em jogos seqüenciais, limitar suas escolhas, comprometendo-se de antemão com uma determinada linha de jogo, pode ser vantajoso para um determinado jogador. 3. Quando repetido um número finito de vezes, o resultado de um jogo do tipo dilema dos prisioneiro, além de representar uma estratégia Nash dominante, é eficiente no sentido de Pareto. 10 - (Provão de Economia – 2003) - Duas empresas decidem, simultaneamente, se aumentarão ou não o preço de seus produtos. O quadro abaixo apresenta os efeitos sobre o lucro, dependendo das decisões tomadas. O primeiro valor refere-se à variação do lucro da Firma 1 e o segundo, da Firma 2.

Firma 1

Aumenta Não Aumenta

Firma 2 Aumenta Não Aumenta 10,10 -10, 12 8,2

0,0

11 – (Provão do MEC – 2000) - Em um duopólio, as firmas decidem se a qualidade do produto ofertado deve ser alta ou baixa. A tabela abaixo mostra o lucro de cada firma decorrente da sua escolha e da escolha da firma concorrente, onde, em cada célula, tem-se primeiro o lucro da firma A, e depois, o da firma B. Considere que as decisões são tomadas seqüencialmente, de tal modo que, primeiro, a firma B escolhe a qualidade do produto, e depois, a firma A. apresentam, necessariamente, um saldo negativo. Firma B

Baixa

Alta

Firma A Baixa

10 , 11

9 , 15

Alta

11 , 9

7,8

A(s) situação(ões) de equilíbrio é(são): (A) a firma B escolhe alta e a A, alta. (B) a firma B escolhe alta e a A, baixa. (C) a firma B escolhe baixa e a A, alta.

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(D) a firma B escolhe baixa e a A, alta; a firma B escolhe alta e a A, baixa. (E) a firma B escolhe baixa e a A, baixa; a firma B escolhe alta e a A, alta. 12 – (Provão do MEC – 2001) - Considere um duopólio onde as firmas decidem fazer um conluio para reduzir a oferta do produto e, com isso, aumentar os preços e, em última instância, seus lucros. A tabela a seguir apresenta o lucro de cada firma considerando duas possibilidades: (1) respeitar o acordo e produzir apenas o combinado e (2) não respeitar o acordo e produzir mais, ganhando mercado sobre a concorrente. Note-se que o primeiro valor do par apresentado em cada célula refere-se ao lucro da firma A, e o segundo, ao da firma B.

Firma A Respeita Desrespeita

Respeita 100,100 110, 20

Firma B Desrespeita 20, 110 40, 40

O(s) equilíbrio(s) de Nash deste jogo, considerando apenas as estratégias puras e que as decisões são tomadas simultaneamente, é (são): (A) (respeita, respeita). (B) (respeita, respeita) e (desrespeita, desrespeita). (C) (respeita, desrespeita) e (desrespeita, respeita). (D) (desrespeita, desrespeita). (E) (desrespeita, respeita) e (respeita, desrespeita). 13 – (Provão do MEC – 2002) - O filme “Uma Mente Brilhante,” ganhador do Oscar de melhor filme de 2001, é baseado na vida de John Nash, laureado com o prêmio Nobel em Economia por sua contribuição no campo da teoria dos jogos. O equilíbrio que leva seu nome — Equilíbrio de Nash — é definido como aquele onde (A) as estratégias são escolhidas de forma determinista. (B) as estratégias de cada jogador são as melhores respostas às estratégias de seus adversários. (C) os jogadores cooperam com o intuito de obterem o melhor resultado. (D) os jogadores escolhem suas estratégias dominantes. (E) os jogadores escolhem suas estratégias independentes das ações de cada um.

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14 – (Analista do Banco Central/1998) – Considere um jogo na forma normal cuja matriz de payoffs é dada, abaixo, B A

U

L (10, 10)

M (0, 0)

R (-1, 15)

S

(-12, 1)

(8, 8)

(-1, -1)

D

(15, 1)

(8, -1)

(0, 0)

Nesse jogo, há dois jogadores, A e B. As linhas da matriz representam o jogador A e as colunas, o jogador B. As estratégias U, S e D estão disponíveis para o jogador A, enquanto as estratégias L, M e R estão disponíveis para o jogador B. Os números entre parênteses à esquerda das vírgulas são os payoffs do jogador A, e os números à direita das vírgulas, os payoffs do jogador B. Com relação a esse jogo, julgue os itens a seguir: As estratégias U e S do jogador A são estritamente dominadas. O perfil de estratégias (D, L) ou seja, aquele em que o jogador A joga D e o jogador B joga L, é um equilíbrio de Nash. 3. A estratégia S do jogador A e a estratégia M do jogador B são racionalizáveis. 4. É possível encontrar um equilíbrio de Nash pôr meio da eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. 5. Esse jogo possui um equilíbrio de Nash com estratégias mistas. 1. 2.

15 – (Analista do Banco Central/1998) – Considere um jogo do qual participem somente os jogadores 1 e 2. O jogador 1 escolhe o primeiro entre três ações: A, B ou C. Se o jogador 1 escolher A, o jogador 2 poderá escolher entre as ações a e b. Se o jogador 1 escolher B, novamente o jogador 2 poderá escolher entre as ações a e b. pôr outro lado, se o jogador 1 escolher C, o jogador 2 terá como opções as ações x e y. O jogador 2 não consegue distinguir entre as ações A e B do jogador 1, mas consegue distinguir a opção C das demais. O diagrama da árvore desse jogo está representado abaixo; nele ε > 0. No diagrama a seguir, os números entre parênteses indicam os payoffs associados a cada jogador, sendo os números à esquerda das vírgulas os payoffs do jogador 1, e os números à direita das vírgulas, os payoffs do jogador 2. O jogador 1 tem apenas um conjunto-informação, formado pelo nódulo inicial, enquanto o jogador 2 tem dois: o primeiro, formado pelos nódulos t1 e t2, e o segundo pelo nódulo t3. Define-se probabilidade μ (t) como a crença do jogador de que ele esteja no nódulo t, uma vez que o conjuntoinformação em que t está localizado tenha sido atingido. Observar-se que há três valores possíveis para t: t1, t2 e t3.

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Com base nessas informações, julgue os itens a seguir: 1. Esse é um jogo finito e de informação imperfeita; 2. Há três estratégias disponíveis para o jogador 1 e seis para o jogador 2. 3. O seguinte perfil de estratégias constitui um equilíbrio de Nash: o jogador 1 escolhe B; o jogador 2 escolhe b, quando o seu conjunto-informação (t1,t2) é atingido, e y, quando o seu conjunto-informação (t3) é atingido. 4. Suponha que o seguinte perfil de estratégias constitua um equilíbrio de Nash: o jogador 1 escolhe A; o jogador 2 escolhe a quando o seu conjunto-informação (t1,t2) é atingido, e x, quando o seu conjunto-informação (t3) é atingido. Então, em qualquer sistema de crenças que seja consistente com esse perfil de estratégias, ou seja, que satisfação à regra de Bayes, μ (t1) = 1 e μ (t2) = 0. 5. Para que exista um equilíbrio bayesiano perfeito fraco desse jogo, é necessário impor a restrição ε > 0.

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16 – (ESAF/Técnico de Planejamento e Pesquisa do IPEA/2004) -

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17 – (ESAF/Técnico de Planejamento e Pesquisa do IPEA/2004) -

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18 – (ESAF/Técnico de Planejamento e Pesquisa do IPEA/2004) -

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Questões do Exame Nacional da ANPEC

01 – (ANPEC 1998) - . Com relação à teoria dos jogos, é correto afirmar que: (0) Um jogo não-cooperativo tem sempre um equilíbrio de Nash em estratégias puras. (1) Um equilíbrio com estratégias dominantes é necessariamente um equilíbrio de Nash. (2) Um equilíbrio de Nash é necessariamente um equilíbrio com estratégias dominantes. (3) Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas é sempre uma combinação de dois ou mais equilíbrios de Nash em estratégias puras. 02 – (ANPEC 1999) - Considere o jogo abaixo entre os agentes A e B, cada um com duas possíveis estratégias (na matriz de ganhos, os valores à esquerda são referentes ao jogador A e os ganhos à direita são referentes ao jogador B). Suponha que os dois jogadores tomam sua decisão simultaneamente. B1

B2

A1

2,4

0,0

A2

1,2

6,3

Nesta situação: (0) A estratégia A2 é dominante para o jogador A. (1) (A2,B2) é o único equilíbrio de Nash em estratégias puras. (2) Não há equilíbrio com estratégias dominantes. (3) No equilíbrio com estratégias mistas, o jogador A escolhe a estratégia A 1 com probabilidade 1/5 e a estratégia A2 com probabilidade 4/5. 03 – (ANPEC 2000) - Considere o jogo estático entre dois agentes apresentado a seguir.

Agente 1

Agente 2 c d a 5,5 0,10 b 10,0 1,10

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(0) (1) (2) (3)

O perfil de estratégias (a,d) é um equilíbrio de Nash desse jogo. O jogo possui um único equilíbrio de Nash. b é uma estratégia dominante para o jogador 1. Se o jogo for repetido um número infinito de vezes e os jogadores não descontarem o futuro, então existe um equilíbrio de Nash no jogo repetido no qual os jogadores sempre escolhem (a,c). (4) Todo equilíbrio de Nash num jogo estático é eficiente de Pareto. 04 – (ANPEC 2000) - Considere o jogo na forma extensiva apresentado a seguir. 1 a

b

1

1

(2,10)

c

(0,1)

2 d

(5,5)

(0) O perfil de estratégias (a,c) é um equilíbrio de Nash. (1) O perfil de estratégias (b,c) é um equilíbrio de Nash. (2) Num equilíbrio de Nash perfeito em subjogos o jogador 2 jogará sempre c. (3) Existem dois equilíbrios de Nash nesse jogo. (4) Todo equilíbrio de Nash desse jogo é perfeito em subjogos. 05 – (ANPEC 2001) - Considere o jogo descrito pela seguinte matriz de possibilidades, em que (x, y) = (ganho do agente 1, ganho do agente 2) Agente 2 a Agente 1 A 3,2 B 0,0 (0) (1) (2) (3) (4)

b 5,5 7,4

As estratégias B e b são dominantes para os agentes 1 e 2, respectivamente. par de estratégias (B, b) é um equilíbrio de Nash. par de estratégias (A, b) é eficiente no sentido de Pareto. Todo equilíbrio de Nash desse jogo é eficiente no sentido de Pareto. Há um equilíbrio de Nash em estratégias mistas no qual o jogador 1 escolhe A com probabilidade 2/3 e B com probabilidade 1/3.

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06 – (ANPEC 2001) - Considere o jogo na forma extensiva apresentada a seguir. 1 A

B

1

1

2 a (3,2)

(0) (1) (2) (3) (4)

2 b

a (5,5)

b

(0,0)

(7,4)

A estratégia A domina estritamente a estratégia B. Existe um equilíbrio de Nash que resulta nos ganhos (5, 5). Não existe equilíbrio de Nash que resulte nos ganhos (7, 4). Todo equilíbrio de Nash do jogo é perfeito em subjogos. Todo equilíbrio de Nash em estratégias puras do jogo é eficiente no sentido de Pareto.

07 – (ANPEC 2002) - Julgue as afirmativas abaixo.

JOGADOR 2 α

β

a

5,0

5,1

b

-70,0

20,1

JOGADOR 1

(0)

Com relação ao jogo descrito pela matriz de possibilidades acima representada pode-se afirmar que as estratégias a e β são dominantes.

(1)

Com relação ao jogo descrito pela mesma matriz de possibilidades, pode-se afirmar que o par (b, β) constitui um equilíbrio de Nash.

(2) Com relação ao jogo descrito pela mesma matriz de possibilidades, pode-se afirmar que o jogo possui um equilíbrio de Nash em estratégias estritamente mistas. (3)

Com relação à teoria dos jogos, pode-se dizer que o dilema dos prisioneiros ocorre quando o equilíbrio de Nash não é um equilíbrio em estratégias dominantes.

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(4) Com relação à teoria dos jogos, pode-se dizer que o problema da não cooperação que ocorre no dilema dos prisioneiros desaparece caso o jogo seja repetido por um número finito de vezes, porque introduz considerações sobre reputação. 08 – (ANPEC 2002) - Considere os jogos na forma extensiva apresentados a seguir.

JOGO 1 Pedro α

JOGO 2 Maria A

β

Maria A

(−10,−10)

Maria B

(100,1)

A (100,1)

B

Pedro α

B

(0,0)

(−10,−10)

Pedro β

(1,100)

α (1,100)

β

(0,0)

(0) Para qualquer um dos jogos acima existem 2 equilíbrios de Nash em estratégias puras. (1)

No jogo 1, a estratégia α é dominante para Pedro.

(2) Ambos os jogos possuem a mesma forma reduzida e, portanto, as mesmas soluções. (3) Em cada um destes jogos só existe 1 equilíbrio perfeito em subjogos. (4) Existe um equilíbrio de Nash do jogo 1 no qual Maria joga B nos seus dois nós de decisão. 09 - (ANPEC 2003) - Considere um jogo na forma normal resumido em termos da seguinte matriz de ganhos JOGADOR 2 L

R

U

3,1

α,0

D

0,0

β,β

JOGADOR 1

Ⓞ Para β = 1, U é uma estratégia dominante para o jogador 1 desde que α > 1.

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① Para α = 2 e β = 1, existe um único equilíbrio de Nash em estratégias puras. ② Para α = 7 e β = 6, o equilíbrio de Nash em estratégias puras é Pareto eficiente. ③ Para α = 2 e β = 1, existe um equilíbrio de Nash em estratégias mistas no qual o jogador 1 joga U com probabilidade 1/2 e o jogador 2 joga L com probabilidade ½. ④ Para α = 7 e β = 6, caso o jogo seja repetido duas vezes, no equilíbrio perfeito em subjogos, as utilidades finais dos jogadores são (6,2). 10 - (ANPEC 2003) - Considere o seguinte jogo com 2 jogadores: jogador 1 e jogador 2.

Jog. 1

A

(1,1)

U

Jog. 2

B

α

R

(0,10) (7,0)

D Jog. 1

Jog. 1

L

β

(8,8)

(3,3)

Analise as questões abaixo: Ⓞ Neste jogo há somente 2 equilíbrios de Nash em estratégias puras. ① Todos os equilíbrios de Nash em estratégias puras deste jogo são também equilíbrios perfeitos em subjogos. ② Em qualquer equilíbrio perfeito em subjogos, a estratégia U não é jogada pelo jogador 2. ③ O par de estratégias {RAβ, D} é um equilíbrio perfeito em subjogos. ④ O payoff (1,1) resulta de estratégias que constituem um equilíbrio de Nash. 11 - (ANPEC 2004) QUESTÃO 11 Conforme a Teoria dos Jogos, é correto afirmar que: Ⓞ Em um jogo não-cooperativo, a cooperação entre os jogadores é impossível. ① Um jogo que não possui estratégias dominantes para todos os seus jogadores também não possui um equilíbrio de Nash.

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② Uma estratégia mista pode ser um equilíbrio de Nash. ③ Resolver um jogo dinâmico de informação completa e perfeita de modo retroativo resulta na determinação de um equilíbrio de Nash. ④ Uma alocação de equilíbrio conforme o conceito de Nash é uma alocação ótima de Pareto. Gabarito das questões de concursos públicos e do provão do MEC 01 – E 02 – C 03 – E 04 – D 05 – C 06 – A 07 – D 08 – C 09 – 1.F, 2.V e 3.F 10 – A 11 – B 12 – D 13 – B 14 – 1.F, 2.V, 3.V, 4.F e 5.V 15 - 1.V, 2.F, 3.F, 4.V e 5.F 16 - E 17 - D 18 - B Gabarito do Exame Nacional da ANPEC 01 – (0) F, (1) V, (2) F, (3) F 02 – (0) F, (1) F, (2) V, (3) V 03 – (0) F, (1) V, (2) V, (3) V, (4) F 04 – (0) V, (1) F, (2) F, (3) V, (4) F 05 - (0) F, (1) V, (2) V, (3) V, (4) F 06 - (0) F, (1) V, (2) F, (3) F, (4) V 07 - (0) F, (1) V, (2) F, (3) F, (4) 08 – (0) V, (1) F, (2) F, (3) F, (4) V 09 - (0) V, (1) V, (2) F, (3) F, (4) V 10 - (0) F, (1) F, (2) V, (3) V, (4) F 11 – (0) F, (1) F, (2) V, (3) V, (4) F