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PROGRESSÕES – PA E PG RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICA FÍSICA/QUÍMICA E–mail [email protected]

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A quem dedico este trabalho.

Dedico este trabalho a meu pai Que com inteligência e racionalidade Combateu e venceu.

Antonio dos Santos

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1

1.

Seqüências Numéricas – Introdução PA e PG Os Matemáticos observaram que na natureza alguns fenômenos apresentavam SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS. Algumas SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS, não apresentavam LEI DE FORMAÇÃO, isto é, eram SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS ALEATÓRIOS, e dessa forma não havia como elaborar uma FÓRMULA GERAL para este tipo de SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS. Outras porém, guardavam uma LEI, uma REGRA de formação a estas SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS, foi dado o nome de PROGRESSÕES. Desta forma, os matemáticos ocuparam-se no estudo destas seqüências (Progressões). As PROGRESSÕES DE NÚMEROS possuem LEI DE FORMAÇÃO, ou FÓRMULA GERAL. Existem VÁRIOS tipos de PROGRESSÕES, porém estudaremos, primeiramente duas delas: a ARITIMÉTICA e a GEOMÉTRICA. A Progressão Aritmética é identificada como sendo aquela em que A DIFERENÇA DO NÚMERO CONSEQUENTE PELO ANTECEDENTE É CONSTANTE. Exemplo a: 6 . 8 . 10 . 12 . 14 . 16 . 18 ... Exemplo b:

1 3 5 ·1· ·2· · 3 ... 2 2 2

No exemplo a, observe que: Termo consequente (8) - Termo antecedente (6) = 2 Termo consequente (10) - Termo antecedente (8) = 2 Termo consequente (12) - Termo antecedente (10) = 2 Termo consequente (14) - Termo antecedente (12) = 2 Termo consequente (16) - Termo antecedente (14) = 2 Termo consequente (18) - Termo antecedente (16) = 2

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2

A esse VALOR CONSTANTE dá-se o nome de RAZÃO, que no exemplo acima é 2. Qual é a razão do exemplo b? A LEI DE FORMAÇÃO de uma PA, pode ser estabelecida. Sendo: ak o termo da posição k; CUIDADO!!! Geralmente os livros apresentam a1 ao invés de ak ou seja definem k = 1. O cálculo com a1 não está errado, porém a fórmula fica AMARRADA no conhecimento do PRIMEIRO TERMO, ao passo que ak. deixa voce livre para trabalhar com qualquer termo da progressão. Veja o exercício n°7 an o termo da posição n; r a razão n a posição do termo an k a posição do termo ak Podemos escrever a Lei de formação do termo an:

a n = a k + ( n - k) .r

1.1] Progressão Aritimética – Exercícios 1.1.1] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões abaixo: (a) 4,11,18,... Para se determinar a fórmula do termo geral de uma progressão voce só precisa de duas coisas: A RAZÃO e o PRIMEIRO TERMO. Identificar se é PA ou PG. No caso é PA, de RAZÃO 7; pois 11-4 = 7 e 18 - 11 = 7 Identificar o PRIMEIRO TERMO. No caso a1 = 4. Pronto! Agora é só substituir na Lei Geral:

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3 an = 4 + (n - 1) . 7, desenvolvendo... an = 4 + 7n - 7 an = 7n - 3 (b) 8, 5, 2, -1, .... (c) -1, -4, -7, .... (d) -2, - 9/4, -10/4, ...

1.1.2] Calcule o décimo termo da PA onde : 4, 7, 10,....

1.1.3] Calcule o termo a20 da PA onde: 1, ½ , 0, ...

1.1.4] Calcule o a15 da PA onde: -2, -4, -6

1.1.5] Calcule o termo a9 da PA onde: a, (a+2m), (a+4m), ...

1.1.6] Calcule o trigésimo termo da PA onde: a1=150 a3=250

1.1.7] Calcule o terceiro termo da PA onde: a7 = 3a + 12b r=b

1.1.8] Calcule a razão da PA onde: a1 = x + 2 a35 = 35x - 66

1.1.9] Calcule o número de termos da PA onde: 2x-y, 3x, ....., 31x + 28y

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4 1.1.10] Calcule a razão da PA onde:

a1 = 5 a 27 = 5 − 13 2 1.1.11] Calcule o décimo termo de :

4, 7, 10.... 1.1.12] Calcule o primeiro termo de :

a14 = 44 e r = 3 1.1.13] Calcule a razão da PA onde: 1.1.14] a1 =

5

e

a27 =

5 − 13 2

1.1.15] Calcule o primeiro termo da PA onde: 1.1.16] a15 = 3x - 18 e r = 5x + 1 1.1.17] Calcule o nono termo da PA : 1.1.18] a, a+2m, a+4m 1.1.19] Quantos múltiplos de 4 existem entre 15 e 201? 1.1.20] Quantos múltiplos de 5 existem entre 23 e 1004 ? 1.1.21] Calcule a SOMA dos múltiplos de 5 existentes entre 16 e 91. 1.1.22] Calcule a SOMA dos 100 primeiros números naturais. 1.1.23] Resolva a equação: 1.1.24] 3 + 8 + 13 + .....+ x = 1575 1.1.25] Calcule o último termo da PA onde: 1.1.26] a1 = 5 e razão = 2

e que a soma de todos os termos vale 480.

1.1.27] Numa PA de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. Calcule o valor da razão e o primeiro termo. 1.1.28] Interpole 8 MEIOS ARITIMÉTICOS entre 26 e -1 1.1.29] Insira 5 MEIOS ARITIMÉTICOS entre 6k - 4 e 12k + 20. 1.1.30] A soma dos três primeiros termos de uma PA vale 54. Calcule o termo central. 1.1.31] Calcule o 35º termo da PA, onde o a2 = 5 e a9 = 28

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5 1.1.32] Calcule a Soma dos primeiros 25 termos da PA , onde a 5 = 30 e a20= 120 1.1.33] Calcule a Soma dos 10 primeiros números ímpares 1.1.34] Calcule a Soma dos 15 primeiros números múltiplos de 3. 1.1.35] Calcule em qual matriz e em qual posição o número 3457, vai ocupar na sequência de matrizes com nove posições, P1 , P2 , ...., Diagrama das Posições

P1 P 2 P3 P4 P 5 P6 P7 P 8 P9

P9 .

Matriz 1

Matriz 2

1

2

3

10 11 12

4

5

6

13 14 15

7

8

9

16 17 18

......

1.2] Progressão Geométrica – Exercícios 1.2.1] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões geométricas 1.2.2] (a) 5, 25,.... 1.2.3] (b) -3, - 1/9, -1/27, .... 1.2.4] Calcule o 10º termo da PG ( 1/4 : 3/20 : ... ) 1.2.5] Calcule a razão da PG onde o último termo é igual a milésima parte do primeiro. Sabendo-se que a PG possui 4 termos 1.2.6] Calcule o décimo termo da PG onde a1 = 2 e a2 = 6 1.2.7] Calcule o quinto termo da PG onde a1 = 3-1 e a2 = 3-2 1.2.8] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a8 = 32 e q =1/2 1.2.9] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a10 = 1 e q = -1 1.2.10] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = 2 e a9 = 1024 1.2.11] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = -2 e a6 = 486 5

1.2.12] Calcule a razão (q) da PG onde a 1 = 4 1.2.13] Calcule o número de termos da PG :

e

a8 = 160

1 1 , ,...,210 8 2

1.2.14] Calcule o número de termos (n) da PG : 3, 6, 12, ...., 1536 1.2.15] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a8 = 32 e q =1/4 Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: [email protected]

6 1.2.16] Calcule a razão da PG em que o primeiro termo é o quadruplo da razão e e a diferença do segundo termo com o primeiro ( a2 - a1 ) é igual a 20. 1.2.17] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões geométricas 1.2.18] (a) 7, 21, 63, .... 1.2.19] (b) -4, - 1/4, -4/9, .... 1.2.20] (c)

3, − 3, 3 3, − 9, . . .

1.2.21] (d) 20, 10, 5, ... 1.2.22] (e) k, k/2, k/4, ... 1.2.23] Calcule o décimo termo da PG onde a1 = -2 e a2 = -6 1.2.24] Calcule o nono termo da PG onde a1 = 2-1 e a2 = 2-2 1.2.25] Calcule o sétimo termo da PG onde a1 = π e a2 = π 3 1.2.26] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a8 = 32 e q =1/4 1.2.27] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a10 = 1 + 31/2 e q = -1 1.2.28] Calcule o primeiro termo (a1 ) da PG onde a7 = 384 e q = 2 1.2.29] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = 4 e a9 = 1024 1.2.30] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = -2 e a6 = 486 1.2.31] Calcule a razão (q) da PG onde a 1 = 1.2.32] Calcule o número de termos da PG :

5 4

e

a8 = 160

1 1 , , . . . , 213 8 2

1.2.33] Calcule o número de termos (n) da PG : 3, -6, 12, ...., -1536 1.2.34] Calcule a razão da PG, onde a2 + a5 = 780

e a1 + a4 = 195

1.2.35] Calcule a razão da PG em que o primeiro termo é o quíntuplo da razão e e a diferença do segundo termo com o primeiro ( a2 - a1 ) é igual a 30. 1.2.36] Interpole cinco meios geométricos na PG onde a1 = 4 e an = 2916.

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7 Fórmula da Soma dos termos da PG infinita decrescente: a Sn = 1 (Bizú) 1− q Comentário: A Soma dos termos da PG infinita, é possível por que a seqüência tende a um valor nulo. 1.2.37] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: ( 8, 4, 2, 1,.... ) 1.2.38] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: (

3 1 1 , , ,... ) 4 4 12

1.2.39] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: 9 ,−

9 9 9 , ,− ,... 4 16 64

1.2.40] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: (10, 1, 10-1, 102 ,.....) 1.2.41] Calcule o primeiro termo ( a1 ) de uma PG infinita onde a razão é e a soma de seus termos é 54. 1.2.42] Resolva a equação : x +

x x + +..... = 8 3 9

1.2.43] Resolva a equação : 2 x 3 +

2x3 2x3 + +.... = 20 5 25

1.2.44] Resolva a equação: ( x + 2) 2 + (

x + 2) ( x + 2) +....= 6 + 3 9 2

2

Soma dos termos de uma PG crescente:

(

)

a q − a1 a1 ⋅ q n − 1 Sn = n ou S = n q −1 q −1

Quando os termos da PG são iguais a fórmula que dá a Soma dos termos reduz-se à seguinte: Sn = n. a1

(

)

a n q − a1 a1 ⋅ q n − 1 1.2.45] Demonstre que Sn = = S = n q −1 q −1

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2 3

8

1.2.46] Calcule a soma das áreas dos quadrados em função do lado l do primeiro quadrado, de acordo com a informação: É dada uma seqüência infinita de quadrados onde cada um, a partir do segundo, tem por vértices os pontos médios do quadrado anterior, veja a figura:

 1 1   2 4  1023 se obtenha a soma Sn = , 512

1.2.47] Quantos termos da PG  1, , ,... devem ser somados para que ( observação: escolha uma

fórmula que contenha “n” ). 1.2.48] Calcule o primeiro termo, a razão e a soma dos seis primeiros termos da PG em que a3 = 15 e a6 =

5 9

1.2.49] Uma fábrica de peças automobilísticas produziu, em fevereiro de 1990, 100000 unidades. Em função das exigências do mercado, viu-se obrigada a estabelecer um aumento de produção de 5000 peças por mês. Calcule quantas foram produzidas de fevereiro a dezembro de 1990. 1.2.50] Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre aproximadamente 5 metros no primeiro segundo, 15 metros no segundo, 25 metros no terceiro e assim sucessivamente. Que distância percorrerá após 9 segundos de queda? 1.2.51] Cada ano, um carro tem seu valor de mercado reduzido em 20% em relação ao ano anterior. Se um automóvel tem valor C no primeiro ano, quanto valerá 5 anos depois? 1.2.52] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 2% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 30 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2000? 1.2.53] A população de um conglomerado é 10 milhões de habitantes e a de ratos, 200 milhões. Ambas as populações crescem em PG, de modo que a humana dobra a cada 20 anos e a de ratos dobra a cada ano. Dentro de 10 anos quantos ratos haverá por habitante?

1.2.54] Obtenha a fração geratriz da dízima: 0,5555.... 1.2.55] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7,888... 1.2.56] Obtenha a fração geratriz da dízima: 0,3555.... Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: [email protected]

9 1.2.57] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7,8777...

3x 3x 3x + + +.... 2 4 8 = 1.2.58] Simplifique a expressão: x x x x− + − +.... 3 9 27 1.2.59] Uma editora imprimiu 8000 livros de um determinado título na 1° edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolver aumentar em 10% o número de exemplares impressos a cada edição. (a) Calcule o número de livro impressos na 6° edição. (b) Calcule o número total de exemplares impressos desde a 1° edição até a 6° edição do livro. 1.2.60] Depositando 1000 Reais a juros compostos de 3% ao mês. Calcule o Valor do montante ao final de 5 anos de aplicação. 1.2.61] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7,8787... 1.2.62] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 3% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 20 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2010? 1.2.63] Uma editora imprimiu 5000 livros de um determinado título na 1° edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolver aumentar em 15% o número de exemplares impressos a cada edição. (a) Calcule o número de livro impressos na 10° edição. (b) Calcule o número total de exemplares impressos desde a 1° edição até a 10° edição do livro. 1.2.64] Um pássaro está entre duas locomotivas que viajam em sentidos contrários. O pássaro voa em direção a locomotiva A e ao chegar voa imediatamente em direção a locomotiva B. Sabendo-se que nesses voos o pássaro voa sempre a metade do percurso de ida e volta. Calcule a distância que o pássaro realiza até o encontro das locomotivas sendo a distância inicial igual a 1000 metros. 1.2.65] Um humilde camponês com 35 anos resolveu aceitar o desafio de um Rei ao solucionar um problema na corte real. Resolvido o problema o Rei resolveu presentear o camponês dedicando a ele um pedido que seria prontamente atendido. O camponês então decidiu fazer o seguinte pedido ao Rei: RECEBER UM GRÃO DE MILHO NAQUELE DIA, DOIS GRÃOS DE TRIGO NO SEGUNDO DIA, QUATRO GRÃOS DE TRIGO NO TERCEIRO DIA, OITO GRÃOS NO PRÓXIMO E ASSIM SUCESSIVAMENTE, até a sua morte. O Rei aceitou imediatamente e achou um pedido humilde comparado à sua majestade. Pergunta-se: Quantos grãos de trigo o Rei deverá pagar ao camponês quando ele fizer 36 anos.

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10

1.2.66] Calcule a distância percorrida por um mini-robô programada para percorrer, indefinidamente, o tablado na seguinte configuração: (na DIAGONAL percorre até o centro do quadrado correspondente)

1.2.67] Calcule a fórmula geral do número de pontos de cada sequência geométricamente apresentada:

a)

b) 1.3] Progressões Numéricas – Exercícios nível 1, (2 2), 3 1.3.1] Uma companhia possui 12 postos de gasolina, situados ao longo de uma estrada, de 20 em 20 km. O reservatório da companhia fica no quilômetro zero e o primeiro posto no quilômetro 15. Sabendo que cada posto consome 1 caminhão-tanque de gasolina por semana e que um mesmo caminhão abastece todos os postos, Calcule quantos quilômetros um caminhão-tanque percorre em 3 semanas para abastecer todos os postos e retornar ao reservatório. 1.3.2] Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre aproximadamente 5 metros no primeiro segundo, 15 metros no segundo, 25 m no terceiro e assim sucessivamente. Que distância percorrerá após 9 segundos? 1.3.3] Sabendo-se que o cometa Halley tem aproximação máxima da Terra a cada 76 anos, podendo, assim ser visto e que sua última aparição deu-se em 1986, Calcule os anos em que foi visto no século XVIII. 1.3.4] Uma fábrica de peças automobilísticas produziu, em fevereiro de 1990, 100000 unidades. Em função das exigências do mercado, viu-se obrigada a estabelecer um aumento na produção de 5000 peças por mês. Calcule quantas foram produzidas de fevereiro a dezembro de 1990.

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11 1.3.5] Uma editora imprimiu 8000 livros de um determinado título na 1° edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolveu aumentar em 10% o número de exemplares impressos a cada edição. Calcule o número de livros impressos na 6° edição e em que edição o número de livros impressos foi o dobro da 1°. 1.3.6] A cada ano, um carro tem seu valor de mercado reduzido em 20% em relação ao ano anterior. Se um automóvel tem valor C no primeiro ano, quanto valerá 5 anos depois? 1.3.7] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 2% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 30 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2000?

xi , o resultado será igual a: ( 2 i − 1 ) i=1 4

1.3.8] Expandindo-se o somatório ∑ 1.3.9] Consideremos a seqüência

an.am

(an)n∈N*

definida por

a1=2

e

an + m=

*

,∀n,m∈N . Se an é a população de uma cidade, em mil habitantes, n anos após 1975, entào em 1985 a população dessa cidade será de: 1.3.10] Um professor de educação física, pretende colocar seus alunos num triângulo, colocando um aluno na primeira linha, dois na segunda, três na terceira e assim por diante. Para formar o seu triângulo utilizou 231 alunos. Qual é o número de linhas?

1.3.11] A soma dos n primeiros números naturais não nulos, múltiplos de 3 é: 51

 n =1

1

1.3.12] Calcule o valor de S, se S = ∑ 2 + (n − 1).  : 2



1.3.13] Sejam os números reais x > 0, α > β > 1. Os tres números reais

x,

x logα β, logα (βx) , são nessa ordem, os três primeiros termos

de uma progressão geométrica infinita. Calcule a Soma S desta progressão. 1.3.14] Uma partícula cai de uma altura h e ao tocar o solo, quica atingindo, sempre a metade da altura da queda anterior. (a) Calcule a distância total percorrida pela partícula desde o momento do abandono até o seu repouso. (b) Calcule o deslocamento da partícula. 1.3.15] Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que a área do triângulo é 150 calcule as medidas dos lados desse triângulo. Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: [email protected]

12

1.3.16] Calcule a fórmula geral que dá o número de pontos da configuração.

a) configuracões:

enésima

...

b) configurações:

...

1.3.17] Prove que numa PA (a1, a2, a3...) a1+a9 = a2+a8. 1.3.18] Uma torneira despeja l litros de água em um recipiente, reduzindo a vazão em 3/4 por minuto. Calcule quantos litros de água conterá no reservatório em 1 hora de funcionamento, admitindo-se que no início a vazão era de 30 litros/segundo. 500

i 3 3 500 1.3.19] A soma ∑ 2 = 2 + 2 + 2 +...+2 é igual a: i =1

2 500 + 1 (b) 2 501 + 1 (c) 2 501 − 1 (d) 2( 2 500 + 1) (a)

(e)

2(2 500 − 1)

1.3.20] Sabe-se que o número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se inicialmente, existem 8 bactérias no meio, Calcule o número de bactérias ao fim de 10 horas.

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e

• O interessado deve possuir recurso de vídeo (webcam) e voz (microfone). • O interessado pode a seu critério convidar outras pessoas para assistir as aulas em seu computador (Grupo de Estudo, por exemplo).

• IMPORTANTE: O interessado deve agendar antecipadamente a Aula Particular On Line em entrevista on line com o professor através do MSN. Horários de atendimento: • Estamos on line para marcações de segunda a sexta das 09 as 11h e das 21 as 23 horas. • Durante a entrevista on line pelo MSN, agenda-se o horário. Valor: Veja em nosso Blog www.gabaritocerto2.blogspot.com/ ou envie e-mail para: [email protected] ou [email protected]

Acesso: Livre. Estudantes, Professores, etc. Modo de Acesso: Internet. No (Mensenger) MSN, no e-mail: [email protected] Área de atuação: Todas as disciplinas (Nível 1º e 2º graus)

PROF. ANTONIO

Professor e Orientador do Grupo Gabaritocerto. Nossa central de atendimento no MSN [email protected] (Segunda a sexta: das 09 as 11h e das 21 as 23 h)