Tema 3 - Elementos De Probabilidad

TEMA 3 ELEMENTOS DE PROBABILIDAD 3.1. ESPACIOS MUÉSTRALES Y SUCESOS 3.1.1. El Espacio Muestral En la práctica, para estudiar los fenómenos (informáticos, industriales, económicos, climáticos,..) procedemos mediante experimentos (en laboratorio, simulación por ordenador,...). Los experimentos se pueden clasificar en deterministas o aleatorios. Por ejemplo, el lanzamiento de un dado corriente bien construido y observar el resultado de la tirada sería un experimento aleatorio; el fenómeno de los días y las noches es determinista. Entonces, ¿qué aspectos caracterizan a unos y otros? En el estudio de cualquier experimento aleatorio surgen los siguientes elementos asociados a él: 1. E1 espacio muestral, Ω, es el conjunto cuyos elementos son todos los resultados diferentes posibles del experimento aleatorio. Ej. Todos los posibles resultados al lanzar un dado: Ω = {1,2,3,4,5,6} 2. Un Suceso es un subconjunto del espacio muestral. 3. Un Suceso elemental, ω, es un suceso que no puede descomponerse en sucesos más simples. Ej. El resultado de un lanzamiento de un dado es el número 5: {5}. 4. Partes de Ω, P(Ω), que reúne a todos los subconjuntos del espacio muestral. Ej. Todos los posibles subconjuntos de Ω al realizar una tirada con el dado: P(Ω)= {Φ,{1},...,{6}; {1,2}, {1,3},..., {5,6}; ...; {1,2,3,4,5}, ...,{2,3,4,5,6}, Ω}. En total 26 posibilidades. ¿Por qué?

3.1.2. Sucesos. Operaciones Básicas entre Sucesos Se define como suceso a cualquier subconjunto de Ω. Si sólo tiene un elemento se dice que es un suceso simple o elemental; si tiene más de uno se dice que es un suceso compuesto. La estructura de P(Ω) agrupa a todos los posibles subconjuntos de Ω, y de él forman parte el propio Ω, llamado suceso seguro, y el suceso que no contiene ningún resultado elemental, al que llamaremos suceso imposible y designaremos por Φ. Se pueden establecer relaciones entre los distintos sucesos de P(Ω), definidas por las siguientes operaciones: La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso que acontece cuando suceden simultáneamente A y B, y se representa por A ∩ B. Lo constituyen aquellos sucesos elementales que forman a la vez parte de A y de B (Figura 3.1), y viene definido por •

A∩B = {ω ∈ Ω / (ω ∈ Α) ∧ (ω ∈ Β)}

Si no hay sucesos con esta propiedad, A ∩ B=0; se dice que A y B son dos sucesos incompatibles (Figura 3.2).

Figura 3.1

Figura 3.2 La unión de dos sucesos A y B es un suceso que tiene lugar cuando acontece al menos uno de esos sucesos y se representa por A ∪ B (Figura 3.3). Viene definido por: A ∪ B = {ω ∈ Ω / (ω ∈ Α) ∨ (ω ∈ Β)} •

El contrario de un suceso A es un suceso que tiene lugar cuando no ocurre A y se representa por A , de forma que en cualquier realización del experimento sucede A o A , pero nunca los dos a la vez (Figura 3.4). Es decir: •

A ={ω

∈ Ω / (ω∉Α)}

Se verifica que:

A ∪ A=Ω; A ∩ A = Ø

Figura 3.3

Figura 3.4

Figura 3.5

Figura 3.6

La diferencia entre A y B es un suceso que acontece cuando sucede A pero no B y se representará por A - B. Se puede expresar también por A ∩ B (Figura 3.5). Viene definido por: A - B = {ω ∈ Ω / (ω ∈ Α) ∧ (ω ∉B} •

La diferencia simétrica entre A y B es el suceso que acontece cuando ocurre uno de los sucesos A o B pero no los dos simultáneamente y se representa por AΔB (Figura 3.6). Viene definido por: •

AΔB = {ω ∈ Ω / (ω ∈ Α ∪ B) ∧ (ω ∉Α ∩ B)} Un suceso A contenido en otro B acontece cuando siempre que ocurre A ocurre B y se representa por A ⊂ B. (Figura 3.7) •

Figura 3.7 Observación.- A efectos de simplificación en desarrollos prácticos se utilizan las denominadas leyes de Morgan: 1. A =A A ∩B = A ∪B 2. A ∪B = A ∩B 3.

3.1.3. Diagrama en árbol Consiste en una representación esquemática de los posibles resultados de un experimento aleatorio, cuando éste se desarrolla en varias etapas. Se empieza representando por diferentes ramas los posibles resultados de la primera etapa del experimento aleatorio. A continuación, de final de cada rama anterior saldrán nuevas ramas conforme a los posibles resultados de la segunda etapa. El proceso se repetirá hasta que se terminen de mostrar todos los resultados de las diferentes etapas del experimento. Ejercicio 3.1. Representar en un diagrama en árbol el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire 3 veces. Los resultados que aparecen al final de cada una de las ramas son sucesos elementales. La representación en diagrama en árbol es muy útil cuando el experimento tiene lugar en una serie de etapas, ya que facilita el cálculo y nos permite ver el aspecto general del experimento. Si un experimento se desarrolla en k etapas y en la 1a etapa hay ni

resultados posibles, en la 2ª etapa hay n2 resultados posibles, y la k-ésima etapa tiene nk resultados posibles, éste experimento se podrá representar mediante un diagrama en árbol con n1x…xnk ramas.

3.2. PROBABILIDAD 3.2.1. Introducción El objetivo de la probabilidad es cuantificar la incertidumbre con la que aparecen los distintos sucesos de un fenómeno aleatorio. Para su análisis nos apoyamos en el concepto de frecuencia relativa, de forma que la probabilidad cumpla las mismas propiedades que ésta. Una de las numerosas aplicaciones de la probabilidad a la ingeniería es la fiabilidad de sistemas. La fiabilidad de un sistema (desde una simple resistencia o condensador hasta complejos sistemas como un ordenador o red de ordenadores) la mediremos como la probabilidad de que dicho sistema funcione correctamente durante un período de tiempo determinado o tiempo de misión. Es de destacar, también, que en los sistemas informáticos la transmisión de la información es un fenómeno aleatorio y la probabilidad se encargará de medirnos la incertidumbre con qué se pueden presentar los distintos sucesos a considerar.

3.2.2. Axiomas de la probabilidad. Consecuencias. Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral Ω. Se define probabilidad de A como la incertidumbre de que aparezca un suceso A ⊂ Ω, o lo que es lo mismo, un suceso A ∈ P(Ω). Es decir, se trata de la aplicación: P: Ω → R A → P(A) Esta aplicación permite asociar a cada suceso A un número real P(A), siendo P(A) la incertidumbre con que ocurrirá el suceso A en el experimento aleatorio. Verifica los axiomas siguientes: Axioma 1: ∀A ⊂ Ω, P(A) ≥ 0 Axioma 2: P(Ω)=1 Axioma 3: ∀A, B ⊂ Ω/A ∩ B=Ø, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Axioma 3 generalizado A1,...,An ⊂ Ω/Ai ∩ Aj= Ø,

 n  n  A P   i  = ∑P( Ai )  i =1  i =1

El primer axioma establece que la probabilidad de cualquier suceso debe ser mayor o igual que cero, al igual que ocurre con la frecuencia relativa. El segundo axioma establece que la probabilidad del suceso seguro es uno. Por último, el tercer axioma establece que para sucesos incompatibles la probabilidad del suceso unión es la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos.

Observación. Los axiomas no determinan las probabilidades, éstas se asignan basándose en nuestro conocimiento del sistema bajo estudio a través de las probabilidades iniciales. Sin embargo los axiomas permiten calcular las probabilidades de algunos sucesos a partir de otras ya conocidas. Consecuencias de los axiomas de la probabilidad: 1. P(Ø)=Ø. 2. P(A)=1 - P(A). 3. Si A,B ⊂ Ω, A ⊂ B (A implica B) ⇒ P(A) ≤ P(B). A implica B (notado A ⊂ B) cuando ∀ω ∈ A , ω ∈ B 4. P(A) ≤ l, ∀A ⊂ Ω.

3.2.3. Propiedades Las siguientes propiedades fundamentales de la probabilidad se deducen de los axiomas y sus consecuencias. 8 Propiedad 1 (Pl) Sea un experimento aleatorio cualquiera con espacio muestral Ω y dos sucesos cualesquiera de este experimento A, B ⊂ Ω. Entonces: P(A ∪ B)=P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

(3.1)

Demostración. Para poder aplicar el axioma 3 es necesario expresar la unión de estos dos sucesos compatibles como unión de sucesos incompatibles, lo que nos lleva a que: A ∪ B=(A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A) Por tanto, según el axioma 3 resulta que: P(A ∪ B)=P(A - B) + P(A ∩ B) + P(B - A)

(3.2)

Por otra parte, se tiene que: A=(A - B) ∪ (A ∩ B) y B=(B - A) ∪ (A ∩ B) es decir, se ha expresado cada uno de los sucesos A y B considerados como unión de sucesos incompatibles, lo que permite utilizar de nuevo el axioma 3 para obtener: P(A)=P(A - B) + P(A ∩ B) y P(B)=P(B - A) + P(A ∩ B) de donde se deduce que:

P(A - B)=P(A) - P(A ∩ B) P(B - A)=P(B) - P(A ∩ B)

(3.3) (3.4)

Sustituyendo (3.3) y (3.4) en la expresión (3.2), resulta que P(A ∪ B)=P(A) - P(A ∩ B) + P(A ∩ B) + P(B) - P(A ∩ B)=P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Propiedad 2 (P2) Sea un experimento aleatorio cualquiera con espacio muestral Ω. Sean tres sucesos cualesquiera de este experimento A,B,C ⊂ Ω; entonces: P(A ∪ B ∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩ B)-P(A ∩ C)-P(B ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)

(3.5)

Demostración. Hacerla como ejercicio, aplicando la propiedad Pl a los sucesos A ∪ B y C. Después aplicar sucesivamente esa propiedad a la unión de los pares de sucesos que resulten al aplicar la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión. Propiedad 3 (P3) Sea un experimento aleatorio cualquiera con espacio muestral Ω. Sean n sucesos cualesquiera de este experimento A1,A2,...,An ⊂ Ω; entonces:  n  n −1 P  Ai   = P1 − P2 + P3 − P4 + ... + (−1) Pn  i =1 

Donde: n

P1 ∑P ( Ai ) i =1

Demostración. Por inducción. Hacerla como ejercicio. Propiedad 4 (P4) Sea un experimento aleatorio cualquiera con espacio muestral Ω. Sean dos sucesos cualesquiera de este experimento A,B ⊂ Ω; entonces: P(A - B)=P(A) - P(A ∩ B)

(3.7)

Demostración. Se trata de la fórmula (3.3) que ha quedado demostrada en la propiedad 1. Propiedad 5 (P5) Sea un experimento aleatorio cualquiera con espacio muestral Ω. Sean dos sucesos cualesquiera de este experimento A,B ⊂ Ω; entonces:

P(AΔB)=P(A) + P(B) - 2. P(A ∩ B)

(3.8)

Demostración. Se trata de la fórmula (3.3) y (3.4) que han quedado demostradas en la demostración de la propiedad 1. EJEMPLO 2.1. Un fabricante de cables eléctricos para ordenadores conoce de informaciones anteriores sobre la producción de estos cables que el 1.5% de todos los cables fabricados son no conformes a especificaciones de longitud, el 1.2% son defectuosos en cuanto al espesor y el 0.8% son no conformes en ambas medidas. Sean los sucesos: A: un cable seleccionado al azar es no conforme a especificaciones por su longitud B: un cable seleccionado al azar es no conforme a especificaciones por su espesor Expresar los siguientes sucesos en términos de A y B, calculando sus probabilidades. a) Alguna de las medidas de longitud o espesor de un cable son no conformes a especificaciones. b) En un cable ninguna de las dos medidas consideradas se encuentra fuera de las especificaciones. c) En un cable la longitud es no conforme a especificaciones, pero el espesor sí. d) Un cable es no conforme a especificaciones en cuanto a longitud o a espesor, pero no en cuanto a ambas medidas. a) Se trata del suceso A u B. Su probabilidad será P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)=0.015+0.012-0.008=0.019 lo que significa que el 1.9% de los cables fabricados por esta empresa son no conformes a especificaciones en alguna de las dos medidas consideradas, longitud o espesor. b) En este caso el suceso a considerar es A ∩B . Su probabilidad se determinará utilizando la consecuencia 2 de los axiomas de la probabilidad y la segunda de las Leyes de Morgan, resultando que: P ( A ∩B )

=1 - P(A ∪ B)=1 - 0.019=0.981

lo que nos indica que hay una probabilidad de 0.981 de que en un cable ninguna de las dos medidas consideradas se encuentra fuera de las especificaciones.

c) Se trata del suceso A - B. Su probabilidad será P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)=0.0 15 - 0.008=0.007

lo que nos informa que en el 0.7% de los cables fabricados por esta empresa el espesor es conforme a especificaciones, pero la longitud no. d) Ahora el suceso a considerar es la diferencia simétrica entre A y B, AΔB. Su probabilidad se determinará utilizando la consecuencia 2 de los axiomas de la probabilidad y la segunda de las leyes de Morgan, resultando que: P(AΔB)=P(A)+P(B)-2P(A ∩ B)=P(A ∪ B) - P(A ∩ B)=0.019 - 0.008=0.011 lo que nos indica que hay una probabilidad de 0.011 de que un cable sea no conforme a especificaciones en cuanto a longitud o a espesor, pero no en cuanto a ambas medidas.

3.2.4. Métodos para establecer las Probabilidades Iniciales En términos generales, la teoría matemática de la probabilidad pretende calcular nuevas probabilidades tomando unas probabilidades iniciales dadas, sin interesarse por la forma en que fueron obtenidas dichas probabilidades. Para llegar a tales probabilidades iniciales hay tres métodos o criterios que pasamos a analizar. 1) Método de Laplace (basado en consideraciones teóricas y lógicas) Se utiliza en aquellos casos en que es plausible admitir el siguiente postulado. Postulado de Indiferencia. Sea un experimento aleatorio cualquiera con espacio muestral Ω. Si Ω se puede descomponer en n sucesos elementales incompatibles dos a dos (A1,A2,...,An ⊂ Ω n

tales que Ω= 

i =1

Ai

y Ai ∩ Aj=Ø, i ≠ j) y equiprobables, resultará que: n  n    P A = 1=P(Ω)=   i  ∑ P( Ai ) = np  i =1  i =1

de donde 1

p=P(Ai)= n , ∀A ⊂ Ω

suceso elemental n

Entonces se verifica que para cualquier B ⊂ Ω /B= 

i =1

Bi

se tiene que:

que es la conocida regla que estableció el marqués de Laplace, en 1812, para afirmar que "bajo el postulado de indiferencia, la probabilidad de un suceso es el cociente entre casos favorables a dicho suceso y casos posibles del experimento, considerados éstos como equiprobables e incompatibles dos a dos". Por ejemplo, en el experimento aleatorio de lanzar un dado y observar su resultado,

resulta que:

mientras que:

Una aplicación más compleja y, a la vez, más interesante, se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 2.2.- (Problema de los Cumpleaños) En un grupo de N personas, ¿con qué probabilidad al menos dos personas tienen la misma fecha de cumpleaños? Evaluar y comentar dicha probabilidad para N=10, 20, 30, 40 y 50. Sea el suceso A: en un grupo de N personas al menos dos personas tienen la misma fecha de cumpleaños. El suceso contrario será: A: en un grupo de N personas todas tienen fechas de cumpleaños distintas. Por tanto:

Es decir: P ( A) =

Card ( A) Card (Ω)

Para obtener el cardinal de Ω pensamos en un diagrama en árbol. La 1a persona tiene 365 días para su fecha de cumpleaños, por cada una de estas formas hay, también, 365 días para la fecha de cumpleaños de la 2ª persona y, así, sucesivamente. Por tanto: Card(Ω)= 365x365x .... x365=365=RV365,N En el caso del cardinal de A pensamos, también, en términos de un diagrama en árbol. La 1ª persona tiene 365 días para su fecha de cumpleaños, por cada una de estas formas hay 364 días para la fecha de cumpleaños de la 2ª persona. Luego, para que dos personas tengan fechas de cumpleaños distintas hay 365·364

posibilidades. Por cada una de éstas, nos encontraremos con 363 días para la fecha de cumpleaños de la 3ª persona, de manera que así las tres tengan fechas distintas. Siguiendo con este razonamiento, resulta que: Card ( A) =365 ·364 ·...·( 365 −( N −1)) =V365 , N

Por tanto: P ( A) =

365 ·364 ·...·( 365 − ( N −1)) 365 N

de donde se obtiene que la probabilidad pedida es: P ( A) = 1 − P ( A) = 1 −

365 ·364 ·...·( 365 − ( N − 1)) 365 N

La evaluación de estas probabilidades para N = 10, 20, 30, 40 y 50; se puede ver en la siguiente tabla.

2) Método Frecuencial u Objetivista (basado en la interpretación frecuencial de la probabilidad) Se toma como probabilidad de un suceso la frecuencia relativa del mismo en una serie de experimentos suficientemente grandes. Es decir, al ser: n( A) = lim fr ( A) N →∞ N N →∞

P ( A) = lim

resulta que: P ( A) ≅ fr ( A)

a partir de un número suficientemente grande de experiencias. Ejemplo Al lanzar un dado, calcular experimentalmente la probabilidad de que el resultado sea 6.

3) Método Bayesiano o Subjetivista (basado en el grado de certidumbre) Se toma como probabilidad de un suceso una medida subjetiva del grado de

confianza en que se produzca el suceso en cuestión, basada en la experiencia y cantidad de información. Se suele utilizar cuando el experimento no puede repetirse o carece de sentido la repetición. Cuando un experimento puede repetirse, suele combinarse el método frecuencial con el bayesiano.

3.3. PROBABILIDAD CONDICIONADA 3.3.1. Introducción Sea un experimento aleatorio consistente en lanzar un dado 50 veces. Consideremos los siguientes subconjuntos A: resultados múltiplos de 3 y B: resultados pares, de los cuales se tiene la siguiente información en términos de frecuencia absoluta: nA=10, nB=20, n{6}=8 con A ∩ B={6}, n{3}=2 Veamos la frecuencia con que han aparecido resultados múltiplos de 3, de entre los lanzamientos con resultado par. f ( A / B) =

n A∩B 8 = = 0,4 nB 20

Es decir, se considera un experimento aleatorio que realizamos N veces, dados dos sucesos determinados A y B, sea nA ∩ B el número de veces que han ocurrido los dos sucesos, queremos determinar la frecuencia relativa del suceso B teniendo en cuenta únicamente las veces que ocurrió el suceso A, esta frecuencia relativa la podríamos llamar frecuencia relativa de B condicionada a la ocurrencia del suceso A, vendrá dada por

La frecuencia relativa de B condicionada a A es el cociente entre la frecuencia relativa del suceso intersección y la frecuencia relativa del suceso A, siempre que ésta no sea cero. El comportamiento anterior de la frecuencia relativa condicionada nos indica la manera de definir la probabilidad condicionada.

3.3.2. Definición de Probabilidad Condicionada. Propiedades Sea un espacio muestral Ω, y un suceso B ⊂ Ω con P(B)>0. Entonces ∀A ⊂ Ω se

define la probabilidad condicionada de A por B, notándose por P(A/B), al número real:

Análogamente,

P ( B / A) =

P( A ∩ B ) P ( A)

con P(A)>0

En la probabilidad condicionada P(A/B) el suceso A se llama suceso condicionado, B se llama suceso condicionante y representa la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido el suceso B. Se puede observar que la probabilidad condicionada cumple los axiomas de una probabilidad. En efecto: 1)

P( A / B) =

P( A ∩ B) P( B)

con P(B)>0 es cociente de dos números no negativos por lo

que es no negativo. 2)

P (Ω / B ) =

P (Ω ∩ B ) P ( B ) = =1 P ( B) P ( B)

3) Si A1, A2 son incompatibles, tenemos: P (( A1 ∪ A2 ) ∩ B ) P (( A1 ∩ B ) ∪ ( A2 ∩ B )) P ( A1 ∩ B ) + P ( A2 ∩ B ) = = = P( B) P( B) P( B) P ( A1 ∩ B ) P ( A2 ∩ B ) = + = P ( A1 / B ) + P ( A2 / B ) P( B) P( B) P ( A1 ∪ A2 / B ) =

donde la segunda igualdad se debe a aplicar la propiedad distributiva de las operaciones unión e intersección de sucesos y la tercera por ser la unión de dos sucesos incompatibles. Ejemplo 3.3.1. La multinacional ELECTROWORLD fabrica placas de circuito impreso para ordenadores. El Departamento de Calidad de la empresa, en su último informe, obtuvo los siguientes resultados: A: placas no conformes a superficie y B: placas no conformes a espesor. P(A)=0.015; P(B)=0.012; P(A ∩ B)=0.008 Se pide calcular las probabilidades condicionadas de A/B y B/A e interpretarlas. P( A / B) =

P ( A ∩ B ) 0,008 = = 0,67 P( B) 0,012

El 67% de las placas no conformes en espesor tampoco lo son en superficie. P( A / B) =

P( A ∩ B) 0,008 = = 0,53 P( A) 0,015

El 53% de las placas no conformes en superficie también lo son en espesor. Por tanto, es más probable ser defectuosa en superficie sabiendo que lo es en espesor, que ser defectuosa en espesor sabiendo que es defectuosa en superficie. Propiedad Sea un experimento aleatorio cualquiera con espacio muestral Ω. Consideremos que ha ocurrido el suceso B, con lo cual nos situamos en el experimento aleatorio condicionado por B. Sean tres sucesos cualesquiera A,B,C ⊂ Ω. Entonces se cumple: 1.

P(B/B)=1 P(Ω/B)=0 P(A/B)=1 - P(A/B) P(A ∪ C)/B)=P(A/B) + P(C/B) - P(A ∩ C)/B).

2. 3. 4.

3.3.3. Probabilidad de la Intersección de Dos Sucesos Sea un experimento aleatorio con espacio muestral Ω y sean A y B dos sucesos de Ω. Entonces:

P(A ∩ B) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

3.4 INDEPENDENCIA 3.4.1. Sucesos Dependientes e Independientes Sea un experimento aleatorio con espacio muestral Ω. Sean A,B dos sucesos / A,B ⊂ Ω. DEFINICIÓN Si P(A/B) = P(A) se dice que A es independiente de B (la información de que se ha dado el suceso B no modifica la probabilidad que tiene el suceso A de ocurrir sin conocer dicha información). Entonces P(B/A)=P(B), con lo cual B es independiente de A, y se dice que A y B son independientes. Respectivamente, si P(A/B) ≠ P(A) se dice que A es dependiente de B (la información de que ocurrió el suceso B modifica la probabilidad que tiene el suceso A de ocurrir sin conocer dicha información). Entonces P(B/A) ≠ P(B), con lo cual B es dependiente de A, y se dice que A y B son dependientes. Ejemplo 3.4.1. Sea el experimento aleatorio de extraer al azar una carta de la baraja española, de 40 cartas. Analizar la independencia de los siguientes sucesos: 1)

A: sacar copas y B: sacar figura. P(A)=10/40=0.25 P(A/B)=3/12=0.25

El conocimiento de que ocurrió B no influye en la probabilidad de A. Así, A y B son

independientes. 2) B: sacar figura y C: sacar rey. P(C/B)=4/12=1/3=0.3

P(C)=4/40=0.1

El saber que ha ocurrido el suceso B sí influye en la probabilidad de C, luego C es dependiente de B. Propiedad (Caracterización de la independencia) Sea un experimento aleatorio con espacio muestral Ω. Sean dos sucesos A,B ⊂ Ω. Entonces A y B independientes ⇔ P(A ∩ B)=P(A) P(B). A y B dependientes ⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B). TEOREMA Sea un experimento aleatorio con espacio muestral Ω. Sean dos sucesos A,B ⊂ Ω. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones: I. II. III. IV.

A y B son independientes. A y B son independientes. A y B son independientes. A y B son independientes.

Ejercicio 3.4.1 Demostrar alguna de las equivalencias en este teorema. Poner un ejemplo práctico de utilización de este teorema.

3.4.2. Conceptos de independencia entre más de dos sucesos Sucesos independientes por parejas Sea un experimento aleatorio con espacio muestral Ω y tres sucesos A, B, C ⊂ Ω. Se dice que A, B y C son independientes POR PAREJAS o DOS A DOS cuando: a) b) c)

P(A ∩ B) = P(A) P(B) (A y B independientes) P(A ∩ C) = P(A) P(C) (A y C independientes) P(B ∩ C) = P(B) P(C) (B y C independientes)

Sucesos mutuamente independientes Sea un experimento aleatorio con espacio muestral Ω y tres sucesos A, B, C ⊂ Ω. Se dice que A, B y C son mutuamente independientes o completamente independientes o simplemente independientes cuando: a) A, B y C son independientes por parejas (3 condiciones).

b)

P(A ∩ B ∩ C)=P(A)P(B)P(C) (1 condición).

Conclusiones • Si A, B y C son "mutuamente" independientes ⇒ A ∪ B y C son independientes. No se verifica si son independientes por parejas. • La independencia mutua implica independencia por parejas. • La independencia por parejas no implica la independencia mutua.

3.4.3. Probabilidad de la Intersección de Varios Sucesos Sea un experimento aleatorio cualquiera, con espacio muestral Ω. Sean tres sucesos cualesquiera A, B, C ⊂ Ω. Entonces se cumple: P(A ∩ B ∩ C)=P(A)P(B/A)P(C/(A ∩ B)) con P(A ∩ B) > 0 Por otra parte, para n sucesos tenemos P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An)=P(A1)·P(A2/A1)P(A3/(A1 ∩ A2))...P(An/(A1 ∩ ... ∩ An-1)) con tal que P(A1 ∩ ... ∩ An-1 ) > 0. De manera que:

3.5 TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES Teorema de la probabilidad total Consideremos un conjunto de sucesos {Ai}i=1,...,n de Ω tales que cumplen las dos condiciones siguientes: n

Ai = Ω

a)



b)

Ai ∩ A j = Φ , i ≠

i =1

j, i,j=1,…, n

Un conjunto de sucesos con estas dos propiedades recibe el nombre de sistema completo de sucesos. Sea ahora un suceso cualquiera B ∈ Ω y un sistema completo de sucesos {Ai}i=1,...,n tales que P(Ai)>0 para todo valor de i, el Teorema de la probabilidad total establece que:

Es decir, si el suceso B puede ocurrir por alguna de las causas Ai, la probabilidad de que ocurra es la suma de las probabilidades de las causas por la probabilidad del suceso B condicionado a la causa Ai. Demostración Se deja como ejercicio. Teorema de Bayes Bajo las mismas condiciones del teorema anterior, consideramos que estamos interesados en conocer la probabilidad de que ocurrido el suceso B la causa que lo haya producido sea la Aj. Expresado analíticamente, queremos calcular P(Aj/B). El Teorema de Bayes establece que:

Demostración Se deja como ejercicio. Cuantifica cómo se modifican las probabilidades a priori cuando se dispone de información en el experimento. Tanto las probabilidades a priori como a posteriori siempre suman 1. Se entiende por probabilidades a posteriori a P(Ai/B), siendo las probabilidades a priori P(Aj). Ejemplo 3.5.1 La empresa Kassan Cars fabrica coches de gama media, y en su fábrica de Madrid tiene 3 líneas de producción: - 1ª produce un 4% defectuosos; fabricando un 30% del total. - 2ª produce un 6% defectuosos; fabricando un 20% del total. - 3ª produce un 1% defectuosos; fabricando un 50% del total. Sean los sucesos Ai: un vehículo ha sido fabricado en la línea i-ésima de esta fábrica, para i=1, 2, 3. P(A1)=0.3; P(A2)=0.2; P(A3)=0.5; de forma que {A1, A2, A3} son una partición o clasificación del espacio muestral Ω. Sea el suceso B: un automóvil fabricado en la factoría es defectuoso.

P(B/Ai) = 0,04 ; P(B/A2) = 0,06 ; P(B/A3) = 0,01 son verosimilitudes (Iikelihood), al indicarnos lo verosímil que es la ocurrencia del suceso B por cada una de las tres causas Ai, A2, A3 Las verosimilitudes no suman necesariamente 1. a) Calcular la probabilidad de que un coche fabricado por Kassan Cars sea defectuoso. P(B)=P(B ∩ Ω)=P(B ∩ (A1 ∪ uA2 ∪ A3))=P((B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ (B ∩ A3))= 3

= ∑ P( Ai ∩ B) = 0,029 i =1

P(B)=2.9% =0,029. Porcentaje total de coches defectuosos fabricados en la factoría. La probabilidad total se puede interpretar como una media ponderada. b) Sabiendo que un coche es defectuoso, calcular la línea más probable donde se ha fabricado. P(A1/B)=P(A2/B)=0.4138 P(A3/B)=0.1724 Sabiendo que un coche es defectuoso, tiene un 41% de probabilidad de pertenecer a la primera línea, e idéntica probabilidad a la segunda, y a la tercera sólo un 17%. Elementos Teóricos Sea un experimento aleatorio con espacio muestral Ω. Sea {Al,..., An} una clasificación o partición de Ω (sucesos incompatibles cuya unión es el espacio muestral) con sus probabilidades. Sea un suceso B ⊂ Ω del cual se dispone de las probabilidades P(B/Ai), cuando i=l,...,n. Entonces: •

Teorema de Probabilidad Total: n

P( B ) = ∑ P ( Ai ) P( B / Ai ) i =1

•

Teorema de Bayes: P( A j / B) =

P( A j ) P( B / A j ) n

∑ P( A ) P( B / A ) i =1

• • •

i

i

Probabilidades a priori: P(Aj), para i =l,...,n. Probabilidades a posteriori: P(Ai/B), para i =l,...,n. Verosimilitudes: P(B/Ai), para i =l,...,n.

Observación.- El concepto de partición o clasificación refleja formalmente el hecho habitual en la realidad de clasificar o dividir los conjuntos de objetos, personas, etc.

por algún criterio como puede ser la marca, el año de fabricación, la provincia de nacimiento, el nivel de estudios alcanzado, etc.