Tema 2
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- Pages: 7
TEMA 2: HERRAMIENTAS FÍSICAS
CINEMÁTICA •
MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
C1 Razona en los siguientes casos qué componentes intrínsecas de la aceleración tienen cada uno de los siguientes movimientos (representa gráficamente cada caso): a) Un tren viajando por una vía recta a una celeridad constante. b) Un autobús frenando en trayectoria recta al acercarse a la parada. c) Las aspas de un molino de viento un día de velocidad de viento uniforme. d) Las ruedas de un fórmula 1 al comenzar la carrera. C2 El vector de posición de un móvil es r(t) = ( t2 , 3t + 1, 2t) m: a) Encontrar un vector unitario tangente a la trayectoria en cada instante de tiempo. b) ¿Qué ángulo forman el vector velocidad y el vector aceleración el t = 2 s ? c) Encuentra la expresión de la aceleración tangencial en función de t. d) ¿Cuánto vale la aceleración normal a los 10 s? ¿Y el radio de curvatura? P1 La ecuación de movimiento de un móvil es: r(t) = (3t3 - 4t2) i – 6t j – 4 k en unidades del SI. Calcula: a) La posición inicial del móvil y la distancia que lo separa del origen a los 3 s. b) El desplazamiento entre los 2 y los 5 s. c) La velocidad media entre los 2 y los 5 s. d) La velocidad instantánea. e) La celeridad a los 2 s y a los 5s. ¿Es igual la media de la celeridad en este intervalo que el módulo de la velocidad media? Razona la respuesta. f) La aceleración media entre los 2 y los 5 s. g) La aceleración instantánea. La aceleración a los 2 s y a los 5s. ¿Es igual la media de la aceleración en este intervalo que la aceleración media? Razona la respuesta. h) ¿De qué tipo de movimiento se trata? •
TIPOS DE MOVIMIENTO
C3 Un avión, que desarrolla una velocidad de 700 km/h, desea moverse con rumbo NE 30º E, con viento del sur de 145 km/h, a una ciudad situada a 2345 km. Calcular: a) El rumbo que debe poner el piloto. b) El tiempo que tardará en alcanzar la ciudad. C4 Se lanza una piedra horizontalmente desde lo alto de un trampolín de 2,5 m de altura. Si se quiere que caiga dentro de un aro que flota en la piscina a 5 m de la base del trampolín, calcula: a) La velocidad con la que hay que lanzar la piedra para que pase por el aro. b) El tiempo que tardan en llegar al aro. P2 Para medir la profundidad de un pozo se deja caer desde su boca una piedra. Al cabo de 3,5 s desde que se dejó caer se oye el golpe en el fondo. a) ¿Qué es más rápido: la caída de la piedra o el recorrido del sonido?
b) ¿Cuál es la profundidad del pozo? Datos: g = 9,8 m/s2; vsonido = 330 m/s. Sol: a) vf = 32,6 m/s < vsonido; b) s = 56,1 m. P3 Un disco que gira en un tocadiscos a 33 r.p.m. es frenado en 15 s. Sabiendo que tiene un diámetro de 30 cm. Calcula: a) La aceleración angular aplicada. b) La velocidad lineal de un punto de la periferia cuando faltan 5 s para detenerse. c) El número de vueltas que da hasta detenerse. d) El espacio recorrido por una hormiga situada en la periferia desde que el disco comienza a frenarse hasta que se detiene por completo. P4 Desde inicial de Calcula: a) b) c) d)
una trinchera de 1,5 m de profundidad se lanza un obús con una velocidad 100 m/s y un ángulo de inclinación con respecto a la horizontal de 40º. El alcance del obús. La altura máxima que alcanza sobre el suelo. Si a una distancia de 1000 m hay una pared de 2,60 m de altura, ¿impactará el obús en ella? La diferencia de alcance (con respecto al alcance desde la trinchera) si el obús se lanza desde el suelo con las mismas condiciones iniciales.
DINÁMICA •
LEYES DE NEWTON
C5 Enuncia y explica las Leyes de Newton. ¿Por qué un astronauta en órbita está en un estado aparente de ingravidez? C6 Demuestra la 3ª Ley de Newton utilizando el Teorema de conservación del momento lineal para un sistema cerrado de dos bolas de billar en una mesa sin rozamiento. C7 ¿Cómo actúa el Principio de Acción y Reacción cuando una persona empuja una pared? ¿Por qué no se aprecia aceleración en la pared? ¿Quiere decir esto que no hay reacción? P5 Se suelta una pelota desde la parte más alta de un tejado de longitud 6 m y ángulo de elevación 40º. Si la fachada mide 10 m de altura y la calle 5 m de anchura, se pide: a) Punto de impacto y el ángulo que el vector velocidad forma con las abscisas positivas en el punto de impacto de la pelota. b) Repetir el problema si existe un coeficiente de rozamiento de 0,13. P6 (Jun-00, Cantabria) Un bloque comienza a deslizarse sobre una superficie horizontal rugosa con una velocidad de 10 ms-1. Tras recorrer una distancia de 1 m, el bloque asciende por una rampa de 30º sobre la horizontal, también rugosa. El bloque recorre una distancia d hasta detenerse. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento entre el bloque y la superficie rugosa son µ 1 = 0.3 para el tramo horizontal, y de µ 2 = 0.6 para el tramo de la rampa: a) ¿Cuál será la velocidad del bloque justo antes de iniciar la subida por la rampa?
b) ¿Qué distancia d recorrerá el bloque hasta detenerse? c) Si se dejara libre al bloque, ¿volvería a descender? •
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
C8 Si dos partículas tienen el mismo momento lineal, pero la masa de la primera es el doble que la de la segunda, ¿cuál es la relación entre sus energías cinéticas? ¿Y entre sus velocidades? C9 La relación de los momentos lineales de dos partículas es p1 = 3p2, ¿qué relación guardan sus velocidades si m2 = 3m3? ¿Y sus energías cinéticas? P7 Una partícula de masa 1 Kg que se desplaza con una velocidad v1 = 4i m/s choca con otra partícula de masa 2 Kg que se desplaza con velocidad v2 = -i m/s. Si después del choque las partículas quedan juntas: a) Calcula la velocidad con la que se mueve dicho conjunto. b) ¿Se conserva la energía cinética? c) Si la velocidad de la primera partícula es la misma, y la de la segunda partícula es v2 = j m/s, y después del choque la primera partícula se mueve con velocidad v1= 2 m/s formando un ángulo de 45º con el eje Y, calcular el vector velocidad para la segunda partícula después del choque. P8 Se lanza una granada desde el origen de coordenadas con velocidad de 25 m/s y ángulo de elevación de π/4 rad. A los tres segundos estalla y se divide en dos fragmentos. Uno de ellos, de masa m/4, regresa al origen. ¿Dónde impactará el segundo fragmento?, ¿qué ángulo forma el vector velocidad con la horizontal? •
FUERZA CENTRÍPETA
C10 Dos cuerpos de igual masa toman dos curvas de radio de curvatura en relación 1 a 2. ¿Cuál será la relación entre sus velocidades para que la fuerza centrípeta sea la misma? Si toman las curvas a igual velocidad, ¿cuál sería la relación entre sus fuerzas centrípetas y quién correría mayor riesgo de salirse de la curva? C11 A la luz de la Ley de Gravitación Universal de Newton, calcula cuál es la velocidad orbital de un satélite en una órbita circular alrededor de un planeta. •
DINÁMICA DE ROTACIÓN
C12 Enuncia y demuestra el teorema del momento cinético. ¿Bajo qué condiciones se conserva esta magnitud? Razona la respuesta. C13 Demostrar que toda fuerza central (que es la dirigida hacia el centro del movimiento) produce un momento angular constante. C14 Un disco de masa M y radio R se encuentra girando con una velocidad angular ω o. Si se le acopla otro disco (que inicialmente estaba en reposo) de masa M/3 y radio R/2, calcula: a) La velocidad angular final del sistema. b) El incremento de energía cinética de rotación en el proceso.
C15 ¿Por qué un patinador girando sobre sí mismo se acelera al cerrar los brazos?
P9 Un disco de 500 g de masa y 10 cm de radio, se encuentra inicialmente rotando. En un instante determinado se le acopla otro disco, de 300 g de masa y 5 cm de radio, que se encontraba en reposo. Acaban moviéndose los dos unidos con una velocidad angular de 100 rpm. Calcula la velocidad angular inicial del primer disco. Calcula el incremento de energía cinética de rotación. ¿Se conserva? Razona la respuesta. P10 Un disco de masa m y radio r gira en un tocadiscos a 33 rpm. Se le acopla otro disco de masa m/2 y radio r/3. Calcula la energía cinética de rotación que tiene el sistema después del acople. Analiza dimensionalmente la energía cinética de rotación y escribe sus unidades en función de las unidades básicas del SI.
ENERGÍA Y TRABAJO •
TRABAJO
C15 Calcular el trabajo producido por una fuerza central sobre un cuerpo que posee una trayectoria circular estable. C16 Sobre una partícula de 4 kg actúa una fuerza de módulo F(t) = 2t N. Si la partícula parte del reposo calcular el trabajo realizado por la fuerza al cabo de 4s. Calcular la potencia en ese instante. •
ENERGÍA MECÁNICA
C17 Demuestra la siguiente relación: . ¿Qué relación guardan las masas de dos cuerpos que tienen igual momento lineal y una el triple de energía cinética que la otra? C18 Demuestra el Teorema de la energía potencial elástica, para una fuerza recuperadora F = kx i. •
PROBLEMAS GENERALES
P11 La posición de un móvil de 50g respecto al origen de coordenadas viene descrita por el vector de posición r (t) = (3 t3 - 2t, 2t –3, -5) en unidades del SI. Calcula: a) El momento lineal y la fuerza que actúan sobre el móvil. b) El trabajo realizado entre los instantes t=3s y t=5s. c) El momento angular del móvil medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. d) A partir del resultado anterior, el momento de la fuerza medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. e) El momento angular del móvil medido desde el punto (0, 1, -5) m, para cualquier instante de tiempo. f) El valor del módulo de la aceleración tangencial para t=3s. g) La energía cinética del móvil en cualquier instante. ¿Se conserva esta energía? ¿A qué puede ser debido?
P12 La posición de un móvil de 250g respecto al origen de coordenadas viene descrita por el vector de posición r (t) = -2 i + (4 t3 - 2t) j – (2t - 2) k en unidades del SI. Calcula: a) El momento lineal y la fuerza que actúan sobre el móvil. b) El trabajo realizado entre los instantes t = 2s y t = 4s. c) El momento angular del móvil medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. d) A partir del resultado anterior, el momento de la fuerza medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. ¿Se conserva el momento cinético? e) El momento angular del móvil medido desde el punto (-2, 0, 2) m, para cualquier instante de tiempo. f) La energía cinética del móvil a los 3s. P13 La posición de un móvil de 500g respecto al origen de coordenadas viene descrita por el vector de posición r (t) = -3 i - (3 t3 - 2t) j + (3t - 2) k en unidades del SI. Calcula: a) La cantidad de movimiento y la fuerza que actúan sobre el móvil. b) El trabajo realizado entre los instantes t = 3s y t = 4s. c) El momento cinético del móvil medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. d) A partir del resultado anterior, el momento de la fuerza medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. ¿Se conserva el momento cinético? e) El momento cinético del móvil medido desde el punto (-3, 0, -2) m, para cualquier instante de tiempo. f) La energía cinética inicial del móvil. P14 La posición de un móvil de 10 kg de masa, medida desde el origen de coordenadas, viene dada por el vector de posición: r (t) = (4t –15)i – 7 j – (4t2 – 6t) en unidades del SI. Calcula: a) La cantidad de movimiento y la fuerza que actúan sobre el móvil. b) El trabajo realizado en los dos primeros segundos. c) El momento de la fuerza medido desde el punto (-15, -7, 0) m. d) El momento cinético del móvil medido desde el punto (-15, -7, 0) m. e) La energía cinética inicial del móvil.
CINEMÁTICA •
MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
C1 Razona en los siguientes casos qué componentes intrínsecas de la aceleración tienen cada uno de los siguientes movimientos (representa gráficamente cada caso): a) Un tren viajando por una vía recta a una celeridad constante. b) Un autobús frenando en trayectoria recta al acercarse a la parada. c) Las aspas de un molino de viento un día de velocidad de viento uniforme. d) Las ruedas de un fórmula 1 al comenzar la carrera. C2 El vector de posición de un móvil es r(t) = ( t2 , 3t + 1, 2t) m: a) Encontrar un vector unitario tangente a la trayectoria en cada instante de tiempo. b) ¿Qué ángulo forman el vector velocidad y el vector aceleración el t = 2 s ? c) Encuentra la expresión de la aceleración tangencial en función de t. d) ¿Cuánto vale la aceleración normal a los 10 s? ¿Y el radio de curvatura? P1 La ecuación de movimiento de un móvil es: r(t) = (3t3 - 4t2) i – 6t j – 4 k en unidades del SI. Calcula: a) La posición inicial del móvil y la distancia que lo separa del origen a los 3 s. b) El desplazamiento entre los 2 y los 5 s. c) La velocidad media entre los 2 y los 5 s. d) La velocidad instantánea. e) La celeridad a los 2 s y a los 5s. ¿Es igual la media de la celeridad en este intervalo que el módulo de la velocidad media? Razona la respuesta. f) La aceleración media entre los 2 y los 5 s. g) La aceleración instantánea. La aceleración a los 2 s y a los 5s. ¿Es igual la media de la aceleración en este intervalo que la aceleración media? Razona la respuesta. h) ¿De qué tipo de movimiento se trata? •
TIPOS DE MOVIMIENTO
C3 Un avión, que desarrolla una velocidad de 700 km/h, desea moverse con rumbo NE 30º E, con viento del sur de 145 km/h, a una ciudad situada a 2345 km. Calcular: a) El rumbo que debe poner el piloto. b) El tiempo que tardará en alcanzar la ciudad. C4 Se lanza una piedra horizontalmente desde lo alto de un trampolín de 2,5 m de altura. Si se quiere que caiga dentro de un aro que flota en la piscina a 5 m de la base del trampolín, calcula: a) La velocidad con la que hay que lanzar la piedra para que pase por el aro. b) El tiempo que tardan en llegar al aro. P2 Para medir la profundidad de un pozo se deja caer desde su boca una piedra. Al cabo de 3,5 s desde que se dejó caer se oye el golpe en el fondo. a) ¿Qué es más rápido: la caída de la piedra o el recorrido del sonido?
b) ¿Cuál es la profundidad del pozo? Datos: g = 9,8 m/s2; vsonido = 330 m/s. Sol: a) vf = 32,6 m/s < vsonido; b) s = 56,1 m. P3 Un disco que gira en un tocadiscos a 33 r.p.m. es frenado en 15 s. Sabiendo que tiene un diámetro de 30 cm. Calcula: a) La aceleración angular aplicada. b) La velocidad lineal de un punto de la periferia cuando faltan 5 s para detenerse. c) El número de vueltas que da hasta detenerse. d) El espacio recorrido por una hormiga situada en la periferia desde que el disco comienza a frenarse hasta que se detiene por completo. P4 Desde inicial de Calcula: a) b) c) d)
una trinchera de 1,5 m de profundidad se lanza un obús con una velocidad 100 m/s y un ángulo de inclinación con respecto a la horizontal de 40º. El alcance del obús. La altura máxima que alcanza sobre el suelo. Si a una distancia de 1000 m hay una pared de 2,60 m de altura, ¿impactará el obús en ella? La diferencia de alcance (con respecto al alcance desde la trinchera) si el obús se lanza desde el suelo con las mismas condiciones iniciales.
DINÁMICA •
LEYES DE NEWTON
C5 Enuncia y explica las Leyes de Newton. ¿Por qué un astronauta en órbita está en un estado aparente de ingravidez? C6 Demuestra la 3ª Ley de Newton utilizando el Teorema de conservación del momento lineal para un sistema cerrado de dos bolas de billar en una mesa sin rozamiento. C7 ¿Cómo actúa el Principio de Acción y Reacción cuando una persona empuja una pared? ¿Por qué no se aprecia aceleración en la pared? ¿Quiere decir esto que no hay reacción? P5 Se suelta una pelota desde la parte más alta de un tejado de longitud 6 m y ángulo de elevación 40º. Si la fachada mide 10 m de altura y la calle 5 m de anchura, se pide: a) Punto de impacto y el ángulo que el vector velocidad forma con las abscisas positivas en el punto de impacto de la pelota. b) Repetir el problema si existe un coeficiente de rozamiento de 0,13. P6 (Jun-00, Cantabria) Un bloque comienza a deslizarse sobre una superficie horizontal rugosa con una velocidad de 10 ms-1. Tras recorrer una distancia de 1 m, el bloque asciende por una rampa de 30º sobre la horizontal, también rugosa. El bloque recorre una distancia d hasta detenerse. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento entre el bloque y la superficie rugosa son µ 1 = 0.3 para el tramo horizontal, y de µ 2 = 0.6 para el tramo de la rampa: a) ¿Cuál será la velocidad del bloque justo antes de iniciar la subida por la rampa?
b) ¿Qué distancia d recorrerá el bloque hasta detenerse? c) Si se dejara libre al bloque, ¿volvería a descender? •
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
C8 Si dos partículas tienen el mismo momento lineal, pero la masa de la primera es el doble que la de la segunda, ¿cuál es la relación entre sus energías cinéticas? ¿Y entre sus velocidades? C9 La relación de los momentos lineales de dos partículas es p1 = 3p2, ¿qué relación guardan sus velocidades si m2 = 3m3? ¿Y sus energías cinéticas? P7 Una partícula de masa 1 Kg que se desplaza con una velocidad v1 = 4i m/s choca con otra partícula de masa 2 Kg que se desplaza con velocidad v2 = -i m/s. Si después del choque las partículas quedan juntas: a) Calcula la velocidad con la que se mueve dicho conjunto. b) ¿Se conserva la energía cinética? c) Si la velocidad de la primera partícula es la misma, y la de la segunda partícula es v2 = j m/s, y después del choque la primera partícula se mueve con velocidad v1= 2 m/s formando un ángulo de 45º con el eje Y, calcular el vector velocidad para la segunda partícula después del choque. P8 Se lanza una granada desde el origen de coordenadas con velocidad de 25 m/s y ángulo de elevación de π/4 rad. A los tres segundos estalla y se divide en dos fragmentos. Uno de ellos, de masa m/4, regresa al origen. ¿Dónde impactará el segundo fragmento?, ¿qué ángulo forma el vector velocidad con la horizontal? •
FUERZA CENTRÍPETA
C10 Dos cuerpos de igual masa toman dos curvas de radio de curvatura en relación 1 a 2. ¿Cuál será la relación entre sus velocidades para que la fuerza centrípeta sea la misma? Si toman las curvas a igual velocidad, ¿cuál sería la relación entre sus fuerzas centrípetas y quién correría mayor riesgo de salirse de la curva? C11 A la luz de la Ley de Gravitación Universal de Newton, calcula cuál es la velocidad orbital de un satélite en una órbita circular alrededor de un planeta. •
DINÁMICA DE ROTACIÓN
C12 Enuncia y demuestra el teorema del momento cinético. ¿Bajo qué condiciones se conserva esta magnitud? Razona la respuesta. C13 Demostrar que toda fuerza central (que es la dirigida hacia el centro del movimiento) produce un momento angular constante. C14 Un disco de masa M y radio R se encuentra girando con una velocidad angular ω o. Si se le acopla otro disco (que inicialmente estaba en reposo) de masa M/3 y radio R/2, calcula: a) La velocidad angular final del sistema. b) El incremento de energía cinética de rotación en el proceso.
C15 ¿Por qué un patinador girando sobre sí mismo se acelera al cerrar los brazos?
P9 Un disco de 500 g de masa y 10 cm de radio, se encuentra inicialmente rotando. En un instante determinado se le acopla otro disco, de 300 g de masa y 5 cm de radio, que se encontraba en reposo. Acaban moviéndose los dos unidos con una velocidad angular de 100 rpm. Calcula la velocidad angular inicial del primer disco. Calcula el incremento de energía cinética de rotación. ¿Se conserva? Razona la respuesta. P10 Un disco de masa m y radio r gira en un tocadiscos a 33 rpm. Se le acopla otro disco de masa m/2 y radio r/3. Calcula la energía cinética de rotación que tiene el sistema después del acople. Analiza dimensionalmente la energía cinética de rotación y escribe sus unidades en función de las unidades básicas del SI.
ENERGÍA Y TRABAJO •
TRABAJO
C15 Calcular el trabajo producido por una fuerza central sobre un cuerpo que posee una trayectoria circular estable. C16 Sobre una partícula de 4 kg actúa una fuerza de módulo F(t) = 2t N. Si la partícula parte del reposo calcular el trabajo realizado por la fuerza al cabo de 4s. Calcular la potencia en ese instante. •
ENERGÍA MECÁNICA
C17 Demuestra la siguiente relación: . ¿Qué relación guardan las masas de dos cuerpos que tienen igual momento lineal y una el triple de energía cinética que la otra? C18 Demuestra el Teorema de la energía potencial elástica, para una fuerza recuperadora F = kx i. •
PROBLEMAS GENERALES
P11 La posición de un móvil de 50g respecto al origen de coordenadas viene descrita por el vector de posición r (t) = (3 t3 - 2t, 2t –3, -5) en unidades del SI. Calcula: a) El momento lineal y la fuerza que actúan sobre el móvil. b) El trabajo realizado entre los instantes t=3s y t=5s. c) El momento angular del móvil medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. d) A partir del resultado anterior, el momento de la fuerza medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. e) El momento angular del móvil medido desde el punto (0, 1, -5) m, para cualquier instante de tiempo. f) El valor del módulo de la aceleración tangencial para t=3s. g) La energía cinética del móvil en cualquier instante. ¿Se conserva esta energía? ¿A qué puede ser debido?
P12 La posición de un móvil de 250g respecto al origen de coordenadas viene descrita por el vector de posición r (t) = -2 i + (4 t3 - 2t) j – (2t - 2) k en unidades del SI. Calcula: a) El momento lineal y la fuerza que actúan sobre el móvil. b) El trabajo realizado entre los instantes t = 2s y t = 4s. c) El momento angular del móvil medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. d) A partir del resultado anterior, el momento de la fuerza medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. ¿Se conserva el momento cinético? e) El momento angular del móvil medido desde el punto (-2, 0, 2) m, para cualquier instante de tiempo. f) La energía cinética del móvil a los 3s. P13 La posición de un móvil de 500g respecto al origen de coordenadas viene descrita por el vector de posición r (t) = -3 i - (3 t3 - 2t) j + (3t - 2) k en unidades del SI. Calcula: a) La cantidad de movimiento y la fuerza que actúan sobre el móvil. b) El trabajo realizado entre los instantes t = 3s y t = 4s. c) El momento cinético del móvil medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. d) A partir del resultado anterior, el momento de la fuerza medido desde el origen para cualquier instante de tiempo. ¿Se conserva el momento cinético? e) El momento cinético del móvil medido desde el punto (-3, 0, -2) m, para cualquier instante de tiempo. f) La energía cinética inicial del móvil. P14 La posición de un móvil de 10 kg de masa, medida desde el origen de coordenadas, viene dada por el vector de posición: r (t) = (4t –15)i – 7 j – (4t2 – 6t) en unidades del SI. Calcula: a) La cantidad de movimiento y la fuerza que actúan sobre el móvil. b) El trabajo realizado en los dos primeros segundos. c) El momento de la fuerza medido desde el punto (-15, -7, 0) m. d) El momento cinético del móvil medido desde el punto (-15, -7, 0) m. e) La energía cinética inicial del móvil.
