Tarea Calor Ondas

Para llevar a cabo la realización de esta nueva actividad, relacionada con deducir de la ecuación de ondas para una varilla rígida y una columna de gas, es necesario previamente introducirnos al mundo de las ondas mecánicas que serán nuestro objeto de estudio. El mundo está lleno de ondas, un ejemplo de ello son las olas del mar que viajan largas distancias sobre la superficie del océano, pero el agua no fluye con la ola. Las ondas y los valles de la ola con frecuencia forman patrones repetitivos. El concepto de onda es abstracto. Cuando observamos lo que denominamos una onda en el agua, lo que vemos es un reacomodo de la superficie del agua. Sin el agua no habría onda. Una onda desplazándose sobre una cuerda no existirían sin la cuerda. Las ondas sonoras viajan por el aire como el resultado de las variaciones de presión de punto a punto. En casos que implican ondas mecánicas, lo que interpretamos como una onda, corresponde a la perturbación de un cuerpo o medio. Por lo tanto, podemos considerar una onda como el movimiento de una perturbación. Las matemáticas utilizadas para describir fenómenos ondulatorios son comunes a todas las ondas. En general, encontramos que el movimiento de ondas mecánicas se describe especificando las posiciones de todos los puntos del medio perturbado como una función del tiempo. Las ondas mecánicas requieren: 1. Alguna fuente de perturbación. 2. un medio que pueda perturbase. 3. cierta conexión física por medio del cual partes adyacentes del medio puedan afectarse entre si. Tomado de Física de serway. Tomo I. Cuarta edición.

Imagen de la propagación de una onda.

y ( x, t ) = A cos( kx − wt ) Onda armónica que se tomará para describir el modelo físico a estudiar, matemáticamente.

La ecuación de ondas es la siguiente: 2 2 2 ∂ y = 1∂ ∂ y 2 2 2 ∂t v ∂x 2π λ w = vk

De la cual tenemos k =

(Número de onda) (Velocidad de la onda)

Para poder obtener la deducción de la ecuación de onda de la varilla rígida y la columna de gas nos basaremos en los siguientes parámetros: Todo sistema mecánico tiene sus modos naturales o modos propios de vibración los cuales dependen de propiedades del sistema tales como: masa, rigidez, restricciones que impone el medio donde el sistema se encuentra, etc. Varilla Rígida.

La varilla rígida posee 2 extremos, en uno de los extremos se realiza una perturbación, que se propaga desde este punto hacia el medio que lo rodea, llegando a sentirse en el otro extremo. La perturbación se trasmite por todas las direcciones que se extiende el medio que rodea al foco con una velocidad constante en todas las direcciones. El movimiento de cada partícula respecto a la posición de equilibrio en que estaba antes de llegarle la perturbación es un movimiento vibratorio armónico simple. Al iniciar la perturbación por uno de sus extremos, se afirma la propagación de una onda elástica a lo largo de la varilla, ya que transporta energía y cantidad de movimiento pero no transporta materia: las partículas vibran alrededor de la posición de equilibrio pero no viajan con la perturbación. Consideramos entonces la varilla rígida, de sección transversal uniforme de área A, y sujeta a una fuerza F según su eje. Las fuerzas no necesariamente tienen que ser uniforme en todas las secciones. Sobre cada sección actúan 2 fuerzas iguales pero en sentido opuesto. La tensión que interviene sobre la varilla se define como la fuerza por unidad de área que ejerce a la sección trasversal en ambos sentidos:

ω=

F A

A partir de la acción de esta fuerza en cada una de las secciones de la varilla, se produce un desplazamiento

λ paralelo al eje. Como viajen respecto a la

dirección de propagación, se denominan ondas longitudinales.

Nos interesa la situación en la cual se produce una variación de λ a lo largo de la varilla. Lo que significa que λ sea una función de x. se consideran 2 secciones de la varilla, A y A`, separadas entre si a una distancia ∂x en equilibrio. Manteniendo este orden de ideas, podemos afirmar que al momento de iniciarse ésta fuerza o impulso, la sección A se desplaza la distancia λ , y por consiguiente la sección A´ se desplaza también a una distancia

λ´

Luego obtenemos: Donde Ahora se define la deformación unitaria de la varilla rígida:

ω

Entre el esfuerzo normal de varilla y la deformación unitaria de la varilla λ , hay una relación llamada de ley de hook, que establece que:

Donde ψ es el modulo de elasticidad de young. Relacionando las 3 ecuaciones y despejando la fuerza se obtiene:

Cuando la varilla no está en equilibrio, la fuerza ejercida no es la misma en todas las secciones. La fuerza neta ejercida estaría dada por

Si ρ es la densidad del material de la varilla rígida, luego la masa de la sección: dm = ρdv = ρAdx Además contamos con la aceleración de la masa, representada por:

∂λ ∂t

2

2

Aplicando la segunda ley de newton, F= masa X aceleración, finalmente se obtiene:

λ ∂F = ρA ∂ 2 ∂x ∂t 2

x ∂F = ρA∂x ∂ 2 ∂t 2

Finalmente podemos deducir que la velocidad de propagación de una onda longitudinal en una varilla rígida delgada, viene dada por la siguiente expresión ψ v= donde ψ modulo de elasticidad de la varilla en unidades de y ρ es la ρ densidad. Para Columna de Gas

Para deducir la ecuación de ondas para la columna de gas, se realizará un razonamiento muy similar al hecho anteriormente para las varillas metálicas, pero con la gran diferencia que los gases son muy comprensibles y su densidad cambia al modificarse la presión. Primero se define a

P

o

y

ρ

o

como la presión y densidad del gas en

condiciones de equilibrio. El gas experimente en cambio de volumen, por

consiguiente la densidad del gas varia inversamente, la masa del volumen en m equilibrio ρ 0 = luego m= V = ρ 0 A∂x o v Y la que fue perturbada es ∂A(∂x + ∂E ) donde ρ es la nueva densidad del gas que fue perturbado, aplicando el principio de conservación de la masa,

ρ

obtenemos:

 ∂e  ∂ 1 +  =  ∂x 

densidad, ρ =

ρ

0

∂E 1+ ∂x ∂E reemplaza por 1 + ∂x Luego

ρ

n

el siguiente paso consiste en despejar la

de igual forma tenemos que

∂E es muy pequeño, se ∂x

ρ − ρ 0 = ρ 0 ∂E ; ∂x

Ecuación de estado La presión es una función de la densidad. Dado que la diferencia de presión p respecto de la de equilibrio

P

o

es muy pequeña podemos hacer

aproximaciones que nos simplifican notablemente el resultado. Newton supuso que la relación entre la presión y el volumen era la ley de Boyle, es decir, que la transformación era isoterma. Sin embargo, la temperatura en una onda sonora no permanece constante. El gas localizado en una región de compresión está levemente más caliente que su temperatura de equilibrio. En las regiones vecinas, el gas está rarificado (el gas se ha expansionado), y su temperatura es ligeramente inferior a la de equilibrio. La energía sin embargo, se conserva, a lo largo de la columna de gas. En lugar de una transformación isoterma como supuso Newton, es necesario emplear una transformación adiabática. No hay tiempo suficiente para que el calor fluya desde las regiones comprimidas (temperatura más alta) a las expandidas (temperatura más baja). Antes de que esto suceda, medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente. La relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es: γ p   ∂p  0   =    ∂ρ  0  ρ 0 

La diferencia de presión p-p0 a ambos lados del elemento situado en la posición x, es igual a

La fuerza que hace que el elemento se desplace es

Aplicando la segunda ley de Newton, fuerza igual a masa (densidad por volumen) por aceleración (derivada segunda del desplazamiento).

Igualando ambas expresiones de la fuerza tenemos, la ecuación diferencia del movimiento ondulatorio

Se puede demostrar que la presión p y la densidad ρ obedecen a la misma ecuación diferencial que el desplazamiento Ψ , con la misma velocidad de propagación v. La fórmula de la velocidad de propagación es

Bibliografía. 1. http://www.didactika.com/fisica/ondas/ondas_velocidad.html 2. http://exa.unne.edu.ar/depar/areas/fisica/electymagne/TEORIA/ondas/ac ustica/sonido/sonido.htm