Tarea 9 - Ondas Elasticas

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ONDAS ELASTICAS DE UNA BARRA Al realizar una pertubaci´on en uno de los extremos de una barra, esta se propaga a lo largo de la barra y se siente en el otro extremo. Se afirma que se ha propagado una onda el´astica a lo largo de la barra. Consideremos una barra de secci´on transversal uniforme A, y sujeta a una fuerza F seg´ un su eje.

Figure 0.1:

Esta fuerza F necesariamiente no tiene que ser uniforme en todas las secciones de la barra. Sobre cada secci´on act´ uan dos fuerzas iguales pero en sentido opuesto. El esfuerzo normal o tensi´on δ sobre una secci´on de la barra se define como: ”la fuerza por unidad de ´area que se ejerce particularmente a la secci´on transversal en ambos sentidos”.

δ=

F A (1)

Debido a la accion de estas fuerzas cada secci´on de la barra experimenta un desplazamiento ξ paraleleo al eje. Estamos interesados en el caso en el cual se produce deformaci´on, es decir que haya una variaci´on de ξ a lo largo de la barra. Esto es, que ξsea una funci´on de χ. Consideremos dos secciones: A y A0 separadas una distancia dχ en equilibrio. Cuando se manifiestan estas fuerzas, la secci´on A se desplaza la distancia ξ y la secci´on A0 se desplaza la distancia ξ 0 . Luego la separaci´on entre A y A0 es:

dχ + (ξ 0 − ξ) = dχ + dξ Donde dξ = ξ 0 − ξ. Ahora definimos la deformaci´on unitaria de la barra  como:

=

∂ξ ∂χ (2)

2

Entre el esfuerzo normal δ y la deformaci´on unitaria  de la barra hay una relaci´on llamada Ley de Hooke que establece que:

δ = Y

(3) , donde Y es el m´odulo de elasticidad de Young.

Relacionando (1), (2), (3) y despejando a F se obtiene lo siguiente: ∂ξ F = YA ∂χ (4) Cuando la barra no est´a en equilibrio la fuerza no es la misma en todas sus secciones. La fuerza neta sobre la secci´on en la Figura 1 es: F 0 − F = dF = ∂F /∂χ. Si ρ es la densidad del material de la barra, la masa de la secci´on es dm = ρdV = ρAdχ. La aceleraci´on de esta masa esta dada por: ∂ 2 ξ/∂t2 . Si aplicamos la segunda Ley de Newton, es decir fuerza = masa por aceleraci´on, obtenemos que: ∂F ∂χ

2

= ρA ∂∂t2ξ

(5)

Combinando (4) y (5), y derivando (4) respecto a χ obtenemos lo siguiente: ∂F ∂χ

2

∂ ξ = YA ∂χ 2

Sustituyendo esta ecuaci´on en (5) obtenemos que: ∂ 2ξ ∂t2

=

Y ∂ 2ξ 2 ρ ∂χ2 , donde v (velocidad de propagaci´on) =

Y ρ

As´ı obtenemos una ecuaci´on de onda.

ONDAS DE PRESION EN UNA COLUMNA DE GAS Ahora vamos a considerar las ondas el´asticas que se producen en un gas debido a las variaciones de presi´on.

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Figure 0.2:

Sean po y ρo la presi´on y la densidad del gas en condiciones de equilibrio. Debido al cambio de volumen que experiemta el gas, la densidad cambia porque el gas es m´as compresible. La masa del volumen elemental en equilibrio es ρo A dχ y la masa del volumen que ha sido perturbado es ρA(dχ + dξ), donde ρ es la nueva densidad del gas que ha sido perturbado. Debido al principio de conservaci´on de la masa, esto requiere que las masas sean iguales, entonces tenemos que: ∂ξ ) = ρ0 ρ(1 + ∂χ Si despejamos ρ, obtenemos lo siguiente.

ρ=

ρ0 1+∂ξ/∂χ

Como ∂ξ/∂χ es pequ˜ no se puede reemplazar por 1 + ∂ξ/∂χ entonces tenemos que:

ρ − ρ0 = −ρ0(∂ξ/∂χ). (6) La presi´on p est´a relacionada con la densidad ρ por la ecuaci´on de estado, que se puede escribir p = f (ρ). Aplicando el desarroolo de Taylor a esta funci´on, obtenemos que: 2

dp dp ) + 12 (ρ − ρ0)2( dρ p = po + (ρ − ρo)( dρ 2 ) + ... o

o

Podemos conservar los dos primeros t´erminos y escribir: dp p = po + (ρ − ρo)( dρ ) La cantidad: dp K = ρ0( dρ )

o

.

recibe el nombre de m´odulo de elasticidad de volumen. Entonces o podemos escribir la presi´on como: 0 p = po + K( ρ−ρ ρ0 )

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Utilizando (6), obtenemos que: ∂ξ (7) p = po − K ∂χ Ahora el gas a la izquierda de nuestro elemento de volumen lo empuja hacia la derecha con una fuerza pA y el gas que est´a a la derecha lo empuja hacia la izquierda con una fuerza p0 A. Por lo tanto, la ecuaci´on de movimiento sabiendo que la masa es ρo A, es: ∂p ∂x

2

= −ρ0 ∂∂t2ξ

(8)

Derivando a (7) con respecto a χ y recordando que po es constante y comparando el resultado con (8), obtenemos finalmente que: ∂ 2ξ ∂t2

=

K ∂ 2ξ ρ0 ∂χ2

Donde v 2 (velocidad de propagaci´on) =

K ρ0

As´ı obtenemos una ecuaci´on de onda REFERENCIA: FINN, Marcelo Alonso. FISICA VOLUMEN II: CAMPOS Y ONDAS.