Tarea 3 Consolidado.docx

CALCULO DIFERENCIAL

TAREA 3: Derivadas

Presentado a: LUZ MERY RODRIGUEZ

Entregado por: MAIRA CAMILA BARRERA SOTO Código: 1057589061 FERLEY CAMILO SALCEDO TALERO Código: 1053587771

Grupo: 100410B_474

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 29/11/18

INTRODUCCION Realizamos este trabajo para reconocer y practicar ejercicios de derivadas, aplicando a problemas reales, analizando las opciones y posibles soluciones, desarrollando gráficas y Temáticas como: concepto derivada, derivada de monomios y polinomios, derivadas producto y cociente, derivadas implícitas, derivadas de orden superior, aplicaciones de las derivadas

Estudiante 1 : Maira Camila Barrera Soto Calcular por L’Hôpital los siguientes límites: lim

𝑥→1

𝑙𝑛𝑥 2 𝑙𝑛12 𝐼𝑛1 𝐼𝑛1 0 = = = = Indeterminación 2 2 𝑥 −1 1 −1 1−1 0 0

𝑑 (ln(𝑥 2 )) 𝑑𝑥 lim = 𝑛→1 𝑑 (𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥 lim

𝑛→1 𝑥 2

2𝑥 𝑥2 2𝑥 1

2𝑥 1 1 = 2= 2=1 − 2𝑥 𝑥 1

Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de las siguientes funciones: (𝑥 3 − 𝑥 2 − 2) 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 3 (𝑥 − 𝑥 2 − 2)(𝑥 2 − 3𝑥) − (𝑥 3 − 𝑥 2 − 2)(2𝑥 − 3) 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 3𝑥)2 3 2 3 (𝑥 − 𝑥 − 2)[2(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3𝑥) − (𝑥 3 − 𝑥 2 − 2)(2𝑥 − 3)] 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 3𝑥)2 𝑓(𝑥) =

(𝑥 3 − 𝑥 2 − 2)[6𝑥 4 −18𝑥 3 −4𝑥 3 + 12𝑥 2 − (2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 3 − 4𝑥 + 6)] (𝑥 2 − 3𝑥)2

(𝑥 3 − 𝑥 2 − 2)(4𝑥 4 − 17𝑥 3 + 9𝑥 2 + 4𝑥 − 6) (𝑥 2 − 3𝑥)2 7 6 4𝑥 − 17𝑥 + 9𝑥 5 + 4𝑥 4 − 6𝑥 3 − 4𝑥 6 + 17𝑥 5 − 9𝑥 4 − 4𝑥 3 + 6𝑥 2 − 8𝑥 4 + 34𝑥 3 − 18𝑥 2 − 8𝑥 + 12 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 3𝑥)2 𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥) =

4𝑥 7 + 21 − 15𝑥 4 + 24𝑥 3 − 12𝑥 2 − 8𝑥 + 12 (𝑥 2 − 3𝑥)2

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 (5𝑥 + 4𝑥 2 )2 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 (5𝑥 + 4𝑥 2 )2 + 𝑥 3 (2(5𝑥 + 4𝑥 2 )(5 + 8x) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 (25𝑥 + 40𝑥 3 + 16𝑥 4 ) + 𝑥 3 (50𝑥 + 80𝑥 2 40𝑥 2 + 64𝑥 3 ) 𝑓(𝑥) = 75𝑥 4 + 120𝑥 5 + 48 𝑥 6 + 50𝑥 4 + 120𝑥 5 + 64𝑥 6 𝑓(𝑥) = 112𝑥 6 + 240𝑥 5 + 125𝑥 4

Calcular la derivada implícita 𝑑𝑦 𝑑𝑥 : 6𝑥 2 𝑦 + 5𝑦 3 + 3𝑥 2 = 12 − 𝑥 2 𝑦 6𝑥 2 𝑦 + 5𝑦 3 + 3𝑥 2 +𝑥 2 𝑦 = 12 Empiezo a derivar 12𝑥𝑦 + 6𝑥 2 𝑦1 + 15𝑦 2 𝑦1 + 6𝑥 + 2 𝑥𝑦+𝑥 2 𝑦1 = 0 6𝑥 2 𝑦1 + 15𝑦 2 𝑦1 + 𝑥 2 𝑦1 = 12𝑥𝑦 + 6𝑥 + 2 𝑥𝑦 𝑦1 (7𝑥 2 + 15𝑦 2 ) = 14𝑥𝑦 + 6𝑥 𝑑𝑦 14𝑥𝑦 + 6𝑥 = 𝑑𝑥 7𝑥 2 + 15𝑦 2 Derivadas de orden superior: 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 3𝑥 + √𝑥 𝑓 ′′′(𝑥) =? 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 3𝑥 + √𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 3𝑥 + 𝑥 1/2 1 𝑓′(𝑥) = 12𝑥 2 + 3𝑥 + −1/2 2𝑥 1 ′′ (𝑥) 𝑓 = 24𝑥 − −3/2 4𝑥 𝑓 ′′′ 𝑓

(𝑥)

′′′ (𝑥)

= 24𝑥 + =

3

3 8𝑥 −5/2

+ 24 8√𝑥 5 Gráficar las siguientes funciones en geogebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en Geogebra” 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 2 5𝑥

Graficas en Geogebra de acuerdo con las indicaciones del contenido “Derivadas en Geogebra” a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: 𝑓 (𝑥) = (𝑥 2 ) (𝑥 + 2)

5

b) Una empresa tiene la siguiente función de producción: 𝐶 = − 4 𝑃3 + 5𝑃 2 , donde 𝑃 representa el número de horas de trabajo efectuadas por la empresa diariamente, y 𝐶 el número de kilos obtenidos de un determinado producto industrial. Calcule el valor de 𝑃 para el cual el producto total es máximo. 5 𝑐 = − 4 𝑝3 + 5𝑝 2 5 2 𝑐′ = −3 𝑝 + 10𝑝 4 𝑐 ′ = −3.75𝑝2 + 10𝑝 3.75𝑝2 + 10𝑝 = 0 −10 + √102 − 4 ∗ (−3.75) ∗ 0 2 ∗ (−3.75) −10 + √100 𝑥1 = −7.5 −10 + 10 0 𝑥1 = = −7.5 −7.5 𝑥1 =

𝑥1 = 0 −10 − 10 −20 𝑥2 = = = 2.66 −7.5 −7.5 𝑥 2 = 2.66

Ferley camilo salcedo talero Código: 1053587771 Estudiante 2 1. Calcular limite por l’hopital 1 − 2 cos 𝑥 + cos 2𝑥 𝑥→0 𝑥2 1 − 2 cos(0) + cos 2(0) lim 𝑥→0 (0)2 lim

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Aplicamos l'hopital 𝑓 ′ (𝑥) 𝑥→0 𝑔′ (𝑥) 𝑓(𝑥) = 1 − 2 cos 𝑥 + cos 2𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 2 sin 𝑥 − 2 sin 2𝑥 lim

𝑔(𝑥) = 𝑥 2 𝑔′ (𝑥) = 2𝑥 2 sin 𝑥 − 2 sin 2𝑥 lim 𝑥→0 2𝑥 2 sin(0) − 2 sin 2(0) lim 𝑥→0 2(0) Aplicamos l'hopital

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑓 ′′ (𝑥) 𝑥→0 𝑔′′ (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 2 sin 𝑥 − 2 sin 2𝑥 𝑓 ′′ (𝑥) = 2 cos 𝑥 − 4 cos 2𝑥 lim

𝑔′ (𝑥) = 2𝑥 𝑔′′ (𝑥) = 2 2 cos 𝑥 − 4 cos 2𝑥 lim 𝑥→0 2 2 cos 0 − 4 cos 2(0) 2−4 −2 lim = = = −1 𝑥→0 2 2 2

2. Aplicando las reglas de la derivación, calcule las derivadas de las siguientes funciones (𝑥 3 − 4𝑥 + 6)5 𝑢(𝑥) 𝑢′ (𝑥) ∗ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∗ 𝑣 ′ (𝑥) = [ ]= 𝑥−1 𝑣(𝑥) 𝑣(𝑥)2 5(3𝑥 2 − 4 + 0)(𝑥 3 − 4𝑥 + 6)4 (𝑥 − 1) − (𝑥 3 − 4𝑥 + 6)5 ∗ 1 ′ (𝑥) 𝑓 = (𝑥 − 1)2 5(𝑥 − 1)(3𝑥 2 − 4)(𝑥 3 − 4𝑥 + 6)4 − (𝑥 3 − 4𝑥 + 6)5 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 − 1)2 (𝑥 3 − 4𝑥 + 6)4 (14𝑥 3 − 15𝑥 2 − 16𝑥 + 14) 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 − 1)2 𝑓(𝑥) =

3. Aplicando las reglas de la derivación, calcule las derivadas de las siguientes funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 (𝑥 3 + 2𝑥 2 )3 = 𝑢′ (𝑥) ∗ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∗ 𝑣 ′ (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 (𝑥 3 + 2𝑥 2 )3 − 6𝑥 3 (3𝑥 2 + 4𝑥)(𝑥 3 + 2𝑥 2 )2 4. Calcular la derivada implícita

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑥 3 𝑦 4 + 3 = 2𝑥 + 2𝑦 3𝑥 2 𝑦 4 + 4𝑥 3 𝑦 3 𝑦 ′ = 2 + 2𝑦 ′ 4𝑥 3 𝑦 3 𝑦 ′ − 2𝑦 ′ = 2 + 3𝑥 2 𝑦 4 𝑦 ′ (4𝑥 3 𝑦 3 − 2) = 2 + 3𝑥 2 𝑦 4 2 + 3𝑥 2 𝑦 4 ′ 𝑦 = 3 3 4𝑥 𝑦 − 2

5. Derivadas de orden superior 𝑓(𝑥) = 2𝑥 7 + 4𝑥 2 − 5𝑥 𝑓 ′′′ (𝑥) =? 𝑓 ′ (𝑥) = 14𝑥 6 + 8𝑥 − 5 𝑓 ′′ (𝑥) = 84𝑥 5 + 8 𝑓 ′′′ (𝑥) = 420𝑥 4

𝑓 ′′′′ (𝑥) = 1680𝑥 3

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 − 4) 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥(𝑥 − 4) + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 8𝑥 3𝑥 2 − 8𝑥 = 0 𝑥(3𝑥 − 8) = 0 𝑥=

0 (3𝑥 − 8)

𝑥=0

𝑥(3𝑥 − 8) = 0 (3𝑥 − 8) =

0 𝑥

3𝑥 − 8 = 0 𝑥= 𝑥=

0+8 3

8 = 2,66 3

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 − 4)

𝑓(0) = 02 (0 − 4) 𝑓(0) = 0

𝑝𝑐 = (0,0) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 =

8 3

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 − 4) 8 8 2 8 𝑓 ( ) = ( ) ( − 4) 3 3 3 8 𝑓 ( ) = −9,48 3

𝑝𝑐 = (2.66 , − 9.48)

𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 8𝑥 𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 − 8 𝑓 ′′ (0) = 6(0) − 8 𝑓 ′′ (0) = −8 −8 < 0

𝐸𝑠 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

𝑝𝑐 = (0,0)

𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 − 8 8 8 𝑓 ′′ ( ) = 6 ( ) − 8 3 3 8 𝑓 ′′ ( ) = 8 3 8>0

𝐸𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑝𝑐 = (2.66 ,

− 9.48)

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 6𝑥 − 8 = 0 𝑥=

8 4 = 6 3

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 − 4) 4 4 2 4 𝑓 ( ) = ( ) ( − 4) 3 3 3 4 𝑓 ( ) = −4,74 3 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 = (1.33 , − 4,74)

CONCLUSIONES  

Vemos que al desarrollar estos derivados encontramos soluciones a problemas para poder tener las posibles soluciones El conocimiento adquirido al solucionar estos ejercicios

BIBLIOGRAFIA Derivada de seno de x en geogebra (Video) recuperado el 20/011/18 de https://www.youtube.com/watch?v=6pgQq_nCl2A Tutorial de Geogebra. Máximo y mínimo relativos. Punto de inflexión (Video) recuperado el 20/011/18 de https://www.youtube.com/watch?v=nYxlUtcuJOs