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Taller 3 Ecuaciones Diferenciales Prof: Doris González FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS

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Tema: Ecuaciones diferenciales de orden superior 1. Determine el intervalo más grande en que existe la carteza de que el problema de valores iniciales tiene única solución. No resuelva la ecuación diferencial. a) ty 00 + 3y = t; y(1) = 1; y 0 (1) = 2 b) t(t

4)y 00 + 3ty 0 + 4y = 2; y(3) = 0; y 0 (3) =

c) (x

2)y 00 + y 0 + (x

1

2)(tan x)y = 0; y(3) = 1; y 0 (3) = 2

2. Transforme la ecuación diferencial ty 00 + (t2 1)y 0 + t3 y = 0; 0 < t < 1; en una ecuación con coe…cientes constantes. Encuentre la solución. 3. Determine la curva cuyo radio de curvatura en cualquier punto P (x; y) es igual a la normal en P y tiene a) el mismo sentido, b) sentido opuesto. 4. Una masa m se proyecta verticalmente hacia arriba desde un punto O con una velocidad inicial vo : Hallar la altura máxima alcanzada, suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad. 5. Se ha colocado sobre una clavija pulida, colgando, de un lado, 8dm, y del otro, 12dm: Hallar el tiempo en que la cadena tarda, al resbalar, en caerse a) si se prescinde del rozamiento y b) si el rozamiento es igual al peso de 1dm de cadena. 6. Una boya cilíndica de 2dm de diámetro está en un líquido (densidad 62; 4Kg=dm3 ) de modo que su eje permanece vertical. Se ha observado que si se empuja suavemente y se suelta tiene un periodo de vibración de 2sg: Hallar el peso dell cilindro. 7. Una viga horizontal de 2L metros de longitud está apoyado en sus extremos. a) Hallar la ecuación de su curva elástica y su máxima deformación vertical cuando tiene una carga uniformemente distribuida de w Kg=m: b) resuleva el problema si actúa, además, una carga W Kg en medio de la vida. 8. Un circuito consta de una inductancia de 0; 05 henrios; una resistencia de 20 ohmios, un condensador cuya capacidad es de 100 microfaradios y una f.e.m. de E = 100 voltios. Hallar i y q siendo las condiciones iniciales q = 0; i = 0; para t = 0:

9. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo desoués de colgarle una masa p que pesa 8 libras. El medio por el que se mueve ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5pies=sg: Calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en ese instante? 10. Una masa que pesa 10 libras produce un alargamiento de 2 pies en un resorte. La masa se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a ( > 0) veces la velocidad instantánea. Determine los valores de la constante de amortiguamiento por lo que el movimiento posterior sea a) sobreamortiguado, b) críticamente amortiguado y c) subamortiguado. 11. Una masa de 100 gramos se …ja a un resorte cuya constante es 1600 dinas=cm: Después de que la masa alcanza el equilibrio, su apoyo oscila de acuerdo con la fórmula h(t) = sin 8t; donde h representa el desplazamiento desde su posición original. a) En ausencia de amortiguamiento, determine la ecuación de movimiento si la masa parte del reposo desde la posición de equilibrio. b) ¿En qué instantes las masa pasa por la posición de equilibrio? c) ¿En qué tiempos la masa alcanza sus desplazamientos extremos? d) ¿Cuáles son los desplazamientos máximo y mínimo? e) Trace la grá…ca de la ecuación de movimiento.

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