Taller 3 Ed.pdf

ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA: TRANSFORMADA DE LAPLACE Taller tercer examen Prof. Doris González FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS

1. Encuentre:

2

(a) L ft sen 3tg : (b) L f2 sen 3t + 4 cos 5tg : (c) L fe3t (t5 + t3 + 1)g :

(d) L

1

s e (s + 2)2 + 3

(e) L

1

3s + 7 s2 + 16

(f) L

1

(s

5t

:

:

s 2)2

9

:

(g) L fw(t)g ; donde w(t) es la onda cuadrada de…nida para todo entero n como w(t) =

1 1

si 2n t < 2n + 1; si 2n + 1 < t < 2n + 2:

2. Resuelva las siguientes ecuaciones: (a) y 00 + 6y 0 + 5y = t 00

tU (t

2):

0

(b) y + 8y + 20y = 0, y(0) = 0; y 0 ( ) = 0: (c) y 00 + 4y 0 = f (t); donde f (t) = (d) y (4)

y 0 = (t

1 si 0 t < 1; 0 si 1 t:

1); y(0) = 0; y 0 (0) = 0; y 00 (0) = 0; y 000 (0) = 0:

(e) ty 00 + (1

2t)y 0 2y = 0; y(0) = 1; y 0 (0) = 2: Rta: y = e2t : Rt (f) y 0 (t) = cos t + 0 y(u) cos(t u)du; y(0) = 1:

3. Utilice la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas: (a) Una partícula P de 2 gramos de masa, se mueve sobre el eje x y es atraída hacia el origen con una fuerza numericamente igual a 8x. Si está inicialmente en reposo en x = 10, hallar su posición en cualquier tiempo posterior suponiendo que actua una fuerza de amortiguamiento igual a 8 veces su velocidad instantánea. (b) Un inductor de 2 henrys, una resistencia de 16 ohmios y un condensador de 0; 02 faradios se conectan en serie con una f.e.m. de E voltios. En t = 0 tanto la carga del condensador como la corriente del circuito valen cero. Encontrar la carga y la corriente en cualquier t > 0 si a) E = 300 (voltios). b) E = 100 sen 3t (voltios): (c) Una viga en voladizo asegurada en el extremo x = 0 y libre en el extremo x = L, soporta wo si 0 x < L=2; una carga w(x) por unidad de longitud dada por w(x) = 0 si L=2 x: Halle su de‡exión.