Struktur Aljabar 2

STRUKTUR ALJABAR 2 -RING Definisi Misalkan R ≠ ø dengan operasi “ ⊕ “ dan “ ⊗ ”, R disebut ring jika hanya jika : ( R, ⊕ ) Grup Abelian. 1. Tertutup, Definisi : Himpunan R ≠ ø dengan operasi biner ” disebut tertutup jika ∀ a, b ∈ R berlaku a b R. 2. Asosiatif b) c=a (b c). ∀ a, b,c ∈ R berlaku (a 3. Memiliki elemen identitas ∃ ℮ R sedemikian sehingga a R berlaku a e = e a = a. 4. Setiap elemennya memiliki invers ∃ -a R sedemikian sehingga a -a =-a a=e 5. Komutatif a, b R berlaku a b=b a.

i)

⊕

⊕

⊕

⊕

∀

∈

⊕

⊕

∈

⊕

⊕

∈

∀

⊕

∈

⊕

⊕

( R, ⊗ ) Semi Grup 1. Tertutup Definisi: Himpunan R ≠ ø dengan operasi biner ” disebut tertutup jika ∀ a, b ∈ R berlaku a b R. 2. Asosiatif b) c=a (b c). ∀ a, b,c ∈ R berlaku (a

ii)

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

∀

⊗

⊕

⊕

∈

⊗

 Notasi  , ) artinya untuk menujukan sebuah ring: • Tunjukan Grup Abelian pada (R, ). • Tujukan Semi Grup pada ( R, ). • Tunjukan Distributif terhadap . ⊕

⊗

⊕

⊗

⊗

⊕

, ) artinya: • Grup Abelian pada (R, ) • Semi grup pada (R , ) • Disrtibutif pada terhadap ⊗

⊗

⊕

∈

∀

(R ,

“

⊗

∈

Memenuhi sifat distributif terhadap 1. Distributif kiri a, b,c R berlaku a (b c) = (a b) (a c). 2. Distributif kanan a, b,c R berlaku ( b c) a = (b a) (a c).

iii)

(R,

“

⊕

∈

⊕

⊗

⊕

⊕

⊗

.

11/19/2009 エマ＿ヌロ＿ゥテョフィヤニ。ドク面と

⊗

⊗

⊕

⊗

⊗

⊕

Contoh: (M2 Ζ , , ) adalah Ring. M2Z adalah suatu matriks. • (M2Z, , ) bukan suatu Ring. × • (Z, +, ) , (Q, +, x), (R, +, ) adalah Ring. •

⊕

⊗

⊗

⊕

×

•

2Z = { 2Z│Z }, (2Z, +, ) adalah ring sebab: i). (2Z, + ) adalah Grup Abelian sebab: 1. Tertutup 2Z1, 2Z2 2Z berlaku: 2Z1+2Z2 = 2 (Z1+Z2 ) , 2(Z1+Z2 ) = 2Z3 2Z = 2 Z3 2. Asosiatif 2Z1, 2Z2 , 2Z3 2Z berlaku: (2Z1+2Z2 ) + 2Z3 =2 (Z1+Z2 ) + 2Z3 = 2(Z1+Z2 +2Z3) = 2Z1+( 2Z2+2Z3) 3. Memiliki elemen identitas 0 2Z sedemikian Sehingga 2Z 2Z: 0+2Z=2Z+0=2Z. 4. Setiap elemen memiliki invers 2Z 2Z -2Z 2Z sedemikian sehingga: 2Z + (-2Z) = (-2Z) + 2Z = 0 5. Komotatif sebab 2Z1, 2Z2 2Z berlaku: 2Z1+2Z2 = 2 (Z1+Z2 ) = 2 (Z2 +Z1 ) = 2Z2 +2Z1 Ζ

∈

×

∀

∈

∈

∀

∈

∃

∀

∈

∈

∀

∀

∃

∈

∈

ii). (2Z, ) adalah semi grup sebab: 1. Tertutup 2Z1, 2Z2 2Z berlaku: 2Z1 2Z2 = 2 (2Z1+Z2 ) , 2(2Z1+Z2 ) = 2Z3 2Z = 2 Z3 2.Asosiatif 2Z1, 2Z2 , 2Z3 2Z berlaku: (2Z1 2Z2 ) 2Z3 =2 (Z1) 2 (2Z2 2Z3) = 2(2Z1 (2Z2 Z3)) = 2((2Z1 2Z2 ) Z3)) = 2(2(2Z1 Z2) Z3) = 2(2Z1 Z2) 2Z3 = 2Z1 2Z2 2Z3 = (2Z1 2Z2) 2Z3 iii). Memenuhi sifat Distributif terhadap +, sebab 2Z1,2Z2,2Z3 2Z berlaku: 1. 2Z1 (2Z2 + 2Z3 ) = (2Z1 2Z2)+( 2Z1 + 2Z3) 2. (2Z2+2Z3 ) 2Z1 = (2Z2 2Z1)+( 2Z3 + 2Z1) ×

∀

∈

×

∈

∀

∈

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

∀

∈

×

×

×

•

×

+ {U(n)= x
Ζ

11/19/2009 エマ＿ヌロ＿ゥテョフィヤニ。ドク面と

∈

(U(36), (36), Semi Grup. ⊗

(Zn,

•

,

⊕

(Z7,

⊕

⊕

) tidak

(36)

n

,

) gunakan Tabel Cayle!

⊗

7

Tabel cayle 1 0 1 2 3 4

7

5

⊗

6

tabel cayle 2 0 1 2

3

4

5

6

0 3 6 2 5 1 4

0 4 1 5 2 6 3

0 5 3 1 6 4 2

0 6 5 4 3 2 1

7

7

0 1 2 3 4 5 6

⊕

(36)

)

⊗

n

) bukan ring karena (U(36),

⊕

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 0

2 3 4 5 6 0 1

3 4 5 6 0 1 2

4 5 6 0 1 2 3

5 6 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6

6 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6

0 2 4 6 1 3 5

Dari tabel cayle 1 terlihat bahwa ( Z7, 7) merupakan grup abelian sebab: 1. Tertutup a,b Z7 berlaku a Z7 7 b = c 2. Asosiatif a,b,c Z7 berlaku (a 7 b) 7 c = a 7 (b 7 c) 3. Memiliki elemen identitas yaitu 0, 0 Z7 sehingga a 7 0=0 7a = a 4. Setiap elemen memiliki invers: -1 = 6, -2 = 5, -3 =4 dst. 5. Komutatif a,b Z7 berlaku a 7 b = b 7 a ⊕

∀

⊕

∈

∀

∈

⊕

∈

⊕

⊕

⊕

∃

⊕

∈

⊕

∀

⊕

∈

⊕

Dari tabel cayle 2 terlihat bahwa (Z7, 7) merupakan semi grup sebab: 1. Tertutup a,b Z7 berlaku a Z7 7 b = c 2. Asosiatif a,b,c Z7 berlaku (a b) 7 7 c = a 7 (b 7 c). ⊗

∀

⊗

∈

∀

∈

⊗

∈

⊗

⊗

⊗

Berlaku sifat Distributif: 1. a, b,c R berlaku a 7 (b 7 c) = (a 7b) 7 (a 7c) Ambil a=1, b=2, c= 3 maka: o 1 7 (2 7 3) = 1 7 5 =5 ... (1) o (1 7 2) 7 (1 7 3) = 2 7 3 = 5 ...(2) Dari (1) dan (2) telihat bahwa distribusi kiri terbukti benar. ∀

⊗

⊕

⊗

Jadi (Z7,

⊕

,

7

⊗

⊗

∈

⊕

⊗

⊕

⊗

⊕

) merupakan Ring.

7

♠

Note:

11/19/2009 エマ＿ヌロ＿ゥテョフィヤニ。ドク面と

⊗

⊕

⊗

♠♠

Zn bukan Subgrup dari • nZ subgrup dari • Elemen identitas terhadap operasi jumlah biasa disebut Elemen nol walaupun nilainya tidak selalu nol. • Elemen kesatuan merupakan sebutan lain dari elemen identitas terhadap operasi kali. Ζ

Ζ



Ring komutatif Suatu ring misalkan (R, +, ) disebut Ring komutatif atau Ring Abel jika (R, ) bersifat komutatif yaitu jika a b=b a a,b R. ×

×



∀

×

×

∈

Ring yang memiliki elemen kesatuan atau disebut juga unit jika terdapat elemen identitas pada operasi (R, ) pada (R,+, ) yaitu ada ℮ R sedemikian sehingga a ℮ = ℮ a = a. ×

×

×

∈

×

Tugas 8 juli 2008 1. Buktikan Z 2 = a + b 2 a, b ∈ Ζ dengan operasi + dan adalah Ring 2. misalkan E= {2Z │ 2Z } buktikan dengan operasi penjumlahan biasa dan * yang didefinisikan sebagai x*y = ½ xy; adalah Ring? Lalu apakah E memuat elemen kesatuan? 3. Buktikan apakah (a-b)2 = (a+b) (a-b), a,b R jika hanya jika R komutatif. (a 2 2 2 +b) = a +2ab + b , a,b R jika hanya jika R komutatif!

( ) {(

)

∈

}

×

Ζ

∀

∀

∈

∈