Makalah Struktur Aljabar Ii Itsna Pusuk.docx

MAKALAH STRUKTUR ALJABAR II SUBRING

D I S U S U N OLEH :

NAMA ANGGOTA

KELAS

: OLIVIA JESIKA SIHOTANG (4153111051) PUTRI SUKMA UTARI

(4153111052)

RAHMAH ITSNA HAYATI

(4153111053)

: MATEMATIKA DIK D 2015

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2019

2

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur saya sampaikan kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini. Serta shalawat dan salam senantiasa kami hanturkan kepada junjungan kita, Nabi Muhammad SAW. Tidak lupa pula kami ucapkan terima kasih kepada Ibu Dosen, Ibu Dra. Lucy Karyati Basar M,Si. yang telah membimbing dalam menyelesaikan makalah ini. Di mana tujuan penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas kelompok pada mata kuliah Struktur Aljabar dan juga menambah pengetahuan dan wawasan bagi pembaca mengenai “Subring”. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna dan tidak luput dari kekurangan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini. Dan harapan, semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.

Medan,

Penulis

Maret 2019

3

DAFTAR ISI

Kata Pengantar

2

Daftar Isi

3

Bab I Pendahuluan 1.1. Latar Belakang

4

1.2.Rumusan Masalah

4

1.3.Tujuan

4

Bab II Pembahasan

5

Bab III Penutup

7

Daftar Pustaka

8

4

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Struktur aljabar adalah himpunan atau beberapa himpunan yang dilengkapi dengan suatu operasi atau beberapa operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Seperti pada bagian ilmu matematika yang lainnya, masalah konkret dan contoh menjadi peran penting dalam pengembangan struktur aljabar. Beberapa kajian di dalam struktur aljabar yaitu, grup, ring, ideal, ring kuosen, radikal dan ring lokal. Pada kali ini kita akan membahas materi tentang subring. Subring merupakan struktur bagian dari ring atau biasa disebut dengan gelanggang bagian.

1.2 Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut. 1. Apakah defenisi dari subring? 2. Bagaimana teorema mengenai subring? 3. Bagaimana contoh dari subring?

1.3 Tujuan Tujuan dari makalah ini antara lain sebagai berikut. 1. Mengetahui defenisi dari subring 2. Mengetahui teorema pada subring. 3. Memahami contoh dari subring.

5

BAB II PEMBAHASAN

SUBRING :

Definisi E-1 : Suatu himpunan bagian S dari suatu ring R dinamakan suatu subring dari R jika S sendiri merupakan sutau ring terhadap operasi yang sama

Pada setiap ring, pasti terdapat subring, minimal dua subring yaitu {0} dan R. Himpunan {0} dan R disebut subring tak sejati. Selain {0} dan R disebut subring sejati Ingat kembali saat kita mempelajari subgrup. Andaikan G adalah grup, himpunan tak kosong 𝐻 ⊆ 𝐺 disebut subgrup jika ∀𝑎, 𝑏 ∊ 𝐻 berlaku 𝑎𝑏 −1 ∈ 𝐻 . Karena pada suatu ring R,〈𝑅, +〉 adalah suatu grup, maka syarat tersebut juga dapat digunakan saat kita membuktikan suatu himpunan bagian 𝑆 ⊆ 𝑅 adalah subring dari suatu ring R. Teorema berikut menunjukkan cara untuk membuktikan subring Teorema E – 1 : Himpunan S adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu ring R. S dikatakan subring dari R jika dan hanya jika : i. ∀ 𝑥, 𝑦 ∊ 𝑆 → 𝑥 − 𝑦 ∊ 𝑆 ii. ∀ 𝑥, 𝑦 ∊ 𝑆 → 𝑥 − 𝑦 ∊ 𝑆

Perhatikan operasi pertama pada teorema diatas tanda (-) merupakan invers dari operasi (+), sedangkan operasi kedua sama artinya dengan operasi kali (Operasi kedua pada ring) Pada teorema diatas terdapat 2 pernyataan yang harus dibuktikan yaitu : 1. Jika S subring dari R maka kedua syarat (i),(ii) dipenuhi

6

2. Jika kedua syarat (i),(ii) dipenuhi maka S subring dari R

Bukti : 1. Diketahui S subring dari R. Dari definisi E-1 maka aksioma ring dipenuhi, dengan demikian syarat (1) yang merupakan aksioma invers aditif dan syarat (ii) yang merupakan aksioma tertutup pada operasi kedua (•) dipenuhi. Jadi terbukti kedua syarat dipenuhi. Sebaliknya 2. S himpunan bagian dari R, artinya semua unsur di S merupakan unsur di R, berdasarkan pernyataan diatas maka : Syarat (i) menjamin bahwa S subgrup aditif dari R jadi 〈𝑆, +〉 berupa grup komutatif Selanjutnya, 〈𝑆,•〉 memenuhi sifat tertutup dan assosiatif. Demikian juga sifat distributif kiri dan kanan dipenuhi karena ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∊ 𝑆 maka ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∊ 𝑅

Jadi terbukti bahwa S merupakan subring dari R

Contoh 19 : Himpunan semua bilangan bulat ℤ terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa dapat ditunjukkan merupakan suatu ring. Himpunan 3ℤ = {3𝑧|𝑧 ∊ ℤ} dengan operasi yang sama merupakan subring dari ℤ Bukti : Untuk membuktikannya kita gunakan Teorema E – 1 : Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∊ 3𝕫 maka x dan y dapat ditulis sebagai : 𝑥 = 3𝑥1 dan 𝑦 = 3𝑦1 dengan 𝑥1 𝑦1 ∈ ℤ Perhatikan : 𝑥 − 𝑦 = 3𝑥1 − 3𝑦1 = 3(𝑥1 − 3𝑦1 ) ∊ ℤ 𝑥𝑦 = 3𝑥1 3𝑦1 = 3(3𝑥1 𝑦1 ) ∊ 3ℤ Menurut Teorema E – 1, terbukti 3 ℤ subring dari ℤ.

7

BAB III PENUTUP

Adapun kesimpulan yang diperoleh di dalam makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Suatu himpunan bagian S dari suatu ring R dinamakan suatu subring dari R jika S merupakan suatu ring dari operasi yang sama. 2. Teorema dari subring : Himpunan S adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu ring R, S dikatakan subring dari R jika dan hanya jika : (i)

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑆

(ii)

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑥. 𝑦 ∈ 𝑆

3. Dari defenisi dan teorema dapat dperoleh contoh dari subring : Misalkan (R, +. .) adalah suatu ring, S ≠ ∅ adalah merupakan himpunan bagian dari R ( S ⊆ 𝑅). Bila operasi yang sama dengan (S, +, .) membentuk suatu ring maka S disebut subring dari R.

8

BAB IV DAFTAR PUSTAKA

Saragih, Sahat. 2015. Struktur Aljabar II . Medan : Unimed Press, Universitas Negeri Medan.