Aljabar Filsafat.docx

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang mereka sendiri. Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas. Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran ini. Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap aljabar.Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu diperah, maka setiap sapi akan menghasilkan 1,5 liter. Jika hasil yang didapat dari perahan sapi adalah sebanyak 9 liter, berapakah sapi yang dimiliki peternakan itu? Segelintir pertanyaan di atas hanyalah secuil dari banyaknya permasalahan atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang lebih menarik dan meningkatkan kreatifitas, siswa bisa lebih terpacu dalam mengerjakan soal-soal aljabar. Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh juga bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satu per satu.

B. Perumusan Masalah 1. Apakah pengertian dari aljabar? Bagaimana juga suku-suku pembentuknya? 2. Bagaimanakah sejarah atau asal usul mengenai aljabar? 3. Bagaimanakah cara melakukan pengoperasian dalam aljabar?

4. Bagaimanakah cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar? 5. Apa saja trik-trik yang bisa digunakan untuk mengoperasikan aljabar? 6. Siapa saja tokoh- tokoh dalam aljabar? 7. Apa saja manfaat dan kegunaan aljabar dalam kehidupan sehari- hari? C. Tujuan 1. Mengetahui pengertian dari aljabar serta suku-suku yang membentuk aljabar. 2. Mengetahui asal usul mengenai aljabar. 3. Mengetahui cara melakukan operasi dalam aljabar. 4. Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar. 5. Memahami trik-trik yang bisa digunakan untuk memanipulasi soal pada aljabar. 6. Mengetahui tokoh- tokoh dalam aljabar. 7. Mengetahui manfaat dan kegunaan aljabar dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II PEMBAHASAN A. PENGERTIAN ALJABAR Secara Etimologi kata aljabar berasal dari bahasa arab ‫( الجبر‬al-jabr secara harfiah berarti "pengumpulan kembali bagian yang rusak") istilah ini diambil dari judul buku Ilm al-jabr wa'l-muḳābala karya matematikawan dan astronom Persia, Al-Khwarizmi. Aljabar adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang . Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. B. PENGERTIAN SUKU PADA BENTUK ALJABAR 1. Suku-suku pembentuk dalam aljabar a. Koefisien = adalah bilangan yang diikuti variabel dibelakangnya pada tiap-tiap suku. Contoh: 5x , artinya 5 adalah koefisien x 8y , artinya 8 adalah koefisien y a2, artinya 1 adalah koefisien a2 b. Variabel = adalah lambang dari suatu bilangan yang belum diketahui nilainya. Variabel disimbolkan dengan huruf kecil, misalnya; a, b, c, …. , x, y, z. Contoh: 3p, artinya p adalah variabel dari 3 4q, artinya q adalah variabel dari 4 c. Konstanta = merupakan bilangan tetap yang tidak memiliki variabel. Contoh konstanta dari operasi berikut: 5x + 2xy2 + y – 35 Konstanta dari operasi diatas adalah (-35). d. Suku = adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Memuat variabel beserta koefisiennya atau hanya konstanta. 2. Suku Tunggal dan Suku Banyak

Bentuk-bentuk 6 x 2+3 xy −8 y

2

seperti

2

dan

4 a ,−5 a b , 2 p+ 5,7 p − pq , 8 x−4 y +9, 4a

disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar seperti

dan

−5 a 2 b

disebut bentuk aljabar suku satu atau suku tunggal. Bentuk aljabar seperti

2 p+5

2

dan

disebut bentuk aljabar suku dua

7 p − pq

atau binom. i) Bentuk 2 p+5 terdiri dari dua suku, yaitu 2 p dan 5. ii) Bentuk 7 p 2− pq juga terdiri dari dua suku, yaitu 7 p 2 dan Bentuk aljabar seperti

8 x−4 y+ 9,

– pq .

2

dan

6 x +3 xy −8 y

disebut bentuk

aljabar suku tiga atau trinom. i) Bentuk 8 x−4 y+ 9 terdiri atas tiga suku, yaitu 8 x ,−4 y dan 9. ii) Bentuk 6 x 2+3 xy −8 y juga terdiri atas tiga suku, yaitu 6 x 2 , 3 xy dan −8 y . Bentuk aljabar yang terdiri dari beberapa suku disebut suku banyak atau polinom misalnya:

}

2 a−5 ab+ 4 c ⇢ s ukutiga sukubanyak p +2 p 2−7 p−8 ⇢ sukuempat 3 2 2 9 x −4 x y−5 x+ 8 y−7 y ⇢ sukulima 3

3. Suku-suku sejenis Perhatikan bentuk aljabar 5 a dan −7 xy +3 ! Pada bentuk pada bentuk

5 a , 5 disebut

koefisien

−7 xy +3 , -7 adalah

dan

a

disebut

koefisien

dari

variabel (peubah), dan

variabelxy

dan 3 adalah

konstanta . Bentuk aljabar

−7 xy +3 ⏞⏟

−7 adalahkoefisienxy ⇠ 3 adalahkonsta nta xyadalahvariabel( peubah)

Selanjutnya perhatikan bentuk aljabar berikut ini! 12 x 2−9 x−8 y+7 xy −4 x 2 +5 y Bentuk aljabar diatas terdiri atas 6

suku , yaitu

5 y , dengan suk u−sukuyangsejenis , yaitu: i) ii)

12 x 2 dan −4 x 2 , −8 y dan 5 y

2

2

12 x ,−9 x ,−8 y , 7 xy ,−4 x ,

dan

sukusejenis 12 x

2

dan −4 x 2

⏞ ⏞ Bentuk aljabar 12 x 2−9 x−8 x2 +5 ⏟y +7 xy−4 ⏟y sukusejenis−8 y

dan 5 y

Suku-suku dikatakan sejenis bila memiliki sama itu harus memiliki

variabel

yang sama, dan variabel yang

pangkatyangsama juga.

Dengan kata lain, suku-suku yang sejenis hanyaberbedapadakoefisiennya . 12 x

2

dan −9 xbukan suku sejenis, karena

sejenis ¿ dengan −9 x dengan

tidak x tidaksama ¿ 2

x .

dan 7 xy juga bukan suku sejenis, karena

x tidaksama(tidak sejenis )

xy .

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa: Suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar hanya berbeda pada koefisiennya.

C. SEJARAH ATAU ASAL USUL ALJABAR Aljabar telah berkembang sejak zaman Mesir kuno lebih dari 3500 tahun yang lalu. Contohnya bisa dilihat dari lempengan lontar peninggalan bangsa Rind. Orangorang Mesir menulis permasalahan dalam kata-kata menggunakan kata “heap” untuk mewakili bilangan apa saja yang tidak diketahui. Sekitar tahun 300 SM, seorang sarjana Yunani Kuno, Euclid menulis buku yang berjudul Elements, dalam buku tersebut ia mencantumkan beberapa “identitas” (rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan) yang ia kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk

geomatris.

Orang-oarang

Yunani

Kuno

menulis

permasalahan-

permasalahan secara lengkap jika mereka tidak dapat memecahkan permasalahanpermasalahan tersebut dengan menggunakan geometri. Cara ini disebut “aljabar retoris”, yang membatasi kemampuan mereka untuk memecahkan masalah-masalah yang mendetail. Pada abad ke-3, Diophantus of Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmatika, dimana ia menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan.

Setelah sarjana-sarjana Arab memahami ide-ide bangsa Yunani dan hindu, mereka mulai mengembangkan cara-cara mereka sendiri. Sumbangan yang sangat berarti untuk aljabar adalah dibuat oleh Muhammad Al-Khawarizmi (780 – 850 M). Sekitar tahun 830 M ia menulis tiga buah buku mengenai matematika. Bukunya yang paling penting berjudul“Hisab Al-Jabr Wal Muqabalah” (perhitungan dengan restorasi dan reduksi). “Restorasi” maksudnya menyederhanakan sebuah rumus dengan menggunakan operasi yang sama dikedua sisinya. “Reduksi” berarti mengkombinasikan bagian -bagian yang berbe da dari sebuah rumus untuk kemudian menyederhanakannya. Keduanya merupakan cara-cara yang pokok dalam al-Jabar sekarang ini. Kenyataannya pemikiran-pemikiran al-Khawarizmi telah menjadi hal yang berpengaruh dimana kata “al - Jabar” (al-jabr) diambil dari judul bukunya. Selama jaman Renaissance, aljabar menjadi sesuatu hal yang terkenal dikalangan ahli matematika Jerman. Belum habis abad ke-16, sistemlain ditemukan untuk menggantikanaljabar retoris dan aljabar sinkopasi. Pada tahun 1591, ahli matematika Prancis Francois Viete menciptakan sistem simbol aljabar secara lengkap. Dalam bukunya “In Artem Analyticam Isasoge” (pengenalan seni -seni analitis) ia menyarankan bahwa konsonan-konsonan (B, C, D, F, dan seterusnya) dapat mewakili angka-angka yang tidak diketahui, dan hurup vokal (A, I, U, E, O) dapat mewakili angka angka yang diketahui. Pada tahun 1637, Rene Descartes menjelaskan bagaiman susunan-susunan geometris dapat diubah kedalam

persamaan-persamaan aljabar. Dalam bukunya

“Discours de la Methode” (Discourse onMethod), ia memperkenalkan hurup x, y, dan z untuk mewakili variabel-variabel, sama halnya dengan simbol + dan

–

untuk

penambahan dan pengurangan. Karya Descartes memungkinkan untuk mengubah aljabar karya Euclid dan sarjana Yunani lainnya kedalam sebuah bentuk yang dapat dipahami dan digunakan sekarang ini. Dizaman modern para ahli matematika juga menemukan bentuk aljabar baru yang digunakan dengan cara yang sangat berbeda dari kalkulus. Salah satu teknik baru yang paling signifikan dikemukakan oleh ahli matematika Inggris George Boole (1815 – 1864) dalam karyanya “Investigation of the Laws of Thought”. Aljabar karyanya dikenal dengan aljabar Boole, dan dapat digunakan untuk menulis masalah-masalah logika yang rumit dengan menggunakan sekelompok simbol. Sekarang, komputer mengubah berbagai

hal kedalam rangkaian operasi-operasi logis sederhana yang diperlihatkan dengan menggunakan aljabar Boole. D. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR 1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut ini. a. Suku-suku yang sejenis b. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pengurangan, yaitu: i) ab+ ac=a(b+c ) atau a ( b+ c )=ab+ ac ii) ab−ac=a(b−c ) atau a ( b−c )=ab−ac c. Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu: i) Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif ii) Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif iii)Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat n egatif Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan diatas, maka hasilpenjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan memperhatikan suku−suku yang sejenis .

Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan suku-suku yang sejenis.

Contoh soal : 1.

2.

Tentukan hasil penjumlahan 3x2 – 2x + 5 dengan x2 + 4x – 3. Penyelesaiaan: (3x2 – 2x + 5) + (x2 + 4x – 3) = 3x2 – 2x + 5 + x2 + 4x – 3 = 3x2 + x2 – 2x + 4x + 5 – 3 kelompokkan suku suku sejenis = (3 + 1)x2 + (–2 + 4)x + (5 – 3) sifat distributif 2 = 4x + 2x + 2 Tentukan hasil pengurangan 4y2 – 3y + 2 dari 2(5y2 – 3). Penyelesaiaan : 2(5y2 – 3) – (4y2 – 3y + 2) = 10y2 – 6 – 4y2 + 3y – 2

= (10 – 4)y2 + 3y + (–6 – 2) = 6y2 + 3y – 8

2.

Perkalian bentuk aljabar a. Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat.Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac. Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar. Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan k dinyatakan sebagai berikut. k(ax + b) = kax + kb Contoh soal : 1. Selesaikan bentuk perkalian 2(–6x) ! Penyelesaiaan: 2(–6x) = 2 x (–6) x x = –12x b. Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar Telah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalar k dengan suku dua (ax + b) adalah k (ax + b) = kax + kb. Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut. (ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d) = ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd = acx2 + (ad + bc)x + bd distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga. (ax + b) (cx2 + dx + e) = ax(cx2) + ax(dx) + ax(e) + b(cx2) + b(dx) + b(e) = acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be Contoh soal Tentukan hasil perkalian (x + 2) (x + 3) Penyelesaiaan : Cara (i) dengan sifat distributif (x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)

= x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 Cara (ii) dengan skema (x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 3.

Pembagian bentuk aljabar Kalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bentuk aljabar. Sekarang kalian akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubahmenjadi a = p xq dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan qdisebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentukaljabar. Perhatikan uraian berikut.

2 x 2 yz 2 = 2 �x 2 �y �z 2 x 3 y 2 z = x3 �y 2 �z Pada bentuk aljabar di atas, 2, x2, y, dan z2adalah faktorfaktor dari 2x2yz2, sedangkan x3, y2, dan z adalah faktor-faktor dari bentuk aljabar x3y2z. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2yz2dan x3y2z adalah x2, y, dan z, sehingga diperoleh : 2 x 2 yz 2 x 2 yz (2 z ) = 2 x3 y 2 z x yz ( xy ) 2z = xy

Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian. Contoh soal : Sederhanakan bentuk aljabar berikut. 1. 5xy : 2x

2. 6x3 : 3x2 3. 8a2b3 : 2ab 4. (p2q xpq) : p2q2 Penyelesaiaan : 1.5 xy : 2 x =

5 xy 5 y �x 5 = = y � faktor sekutu x 2x 2 �x 2

2. 6 x3 : 3 x 2 =

6 x3 3 x 2 �2 x = = 2 x � faktor sekutu 3 x 2 2 2 3x 3x

8a 2b 3 2ab �4ab 2 3. 8a b : 2ab = = 2ab 2ab = 4ab 2 � faktor sekutu 2ab 2 3

4. ( p 2 q �pq) : p 2 q 2 =

p 2 q �pq p 3q 2 = 2 2 p 2q 2 pq =

4.

p 2 q 2 �p =p p 2q 2

Pemangkatan bentuk aljabar a. Arti pemangkatan bentuk aljabar Pemangkatan suatu bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang sama . Jadi untuk sembarang bilangan a, maka a2 = a x a . Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut. an = a × a × a × a × ... sebanyak n faktor Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli. Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Misalnya : 3a2 = 3 x a x a (3a)2 = 3a x 3a -(3a)2 = -(3a x 3a) (-3a)2 = -3a x -3a Dalam pemangkatan bentuk aljabar perlu dibedakan penegrtian-pengertian berikut ini :

1) 3a2 dengan (3a)2 Pada bentuk 3a2 , yang dikuadratkan hanya a ,sedangkan pada bentuk (3a)2 yang dikuadratkan hanya 3a . jadi 3a2 tidak sama dengan (3a)2 3a2= 3 x a xa dan (3a)2=(3a)x (3a) 2) -(3a)2 dengan (-3a)2 Pada bentuk -(3a)2 yang dikuadratkan hanya 3a , sedangkan pada bentuk (3a)2yang dikuadratkan adalah -3a . jadi -(3a)2 tidak sama dengan (-3a)2 b. Perpangkatan suku dua Dalam menentukan pemangkatan suku dua , koefisien dari suku-sukunya dapat diperoleh daritiga pascal dengan pemabilangan-bilangan yang terdapat pada segitiga pascal. Hubungan antara segitiga pascal dengan pemangkatan suku dua , yaitu (a+b)n dan (a-b) n ditunjukkan sebagai berikut :

Bilangan- bilangan pada segitiga pascal di atas merupakan koefisien suku-suku pada hasil pemangkatan bentuk aljabar suku dua. (a + b)1 = a + b

koefisien a dan b adalah 1 1

(a + b)2

koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1 2 1

= (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = (a + b) (a + b)2koefisien a3, a2b, ab2 dan b3 adalah 1 3 3 1 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = (a + b)2 (a + b)2 koefisien a4, a3b, a2b2, ab3, dan b4 adalah 1 4 6 4 1 = (a2 + 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) = a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 dan seterusnya. Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4 (a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5 Contoh : Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut. a. (2x + 3)4 b. (x + 4y)3 Penyelesaian: a. (2x + 3)4 = 1(2x)4 + 4(2x)3(3) + 6(2x)2(32) + 4(2x)1(33) + 1(34) = 1(16x4) + 4(8x3)(3) + 6(4x2)(9) + 4(2x)(27) + 1(81) = 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81 b. (x + 4y)3 = 1(x3) + 3(x2)(4y)1 + 3x (4y)2 + 1(4y)3 = 1x3 + 3x2(4y) + 3x(16y2) + 1(64y3) = x3 + 12x2y + 48xy2 + 64y3 E. FAKTORISASI BENTUK ALJABAR a. Faktorisasi dengan hukum Distributif

Hukum distributif dapat dinyatakan sebagai berikut: ab + ac = a( b+c) dengan a. b, dan c sembarang bilangan nyata. bentuk

bentuk

penjumlahan

perkalian

Bentuk di atas menunjukkan bahwa penjumlahan dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalin jika suku-suku dalam bentuk penjumlahan memiliki faktor yang sama (faktor persekutuan).Menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku menjadi bentuk perkalian faktor-faktor disebut faktorisasi atau pemfaktoran. Dengan demikian , bentuk ab + ac dengan faktor persekutuan a dapat difaktorkan menjadi a(b+c) dengan dua faktor , yaitu a dan b + c ab + ac = a( b+c) faktor faktor Jadi faktorisasi ( pemfaktoran) adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian faktor-faktor.Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan mengunakan hukum distributif. Contoh soal : Faktorkanlah bentuk-bentukaljabar berikut. a. 2x + 2y b. x2 + 3x c. a2 + ab d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr Penyelesaian: a. 2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga 2x + 2y = 2(x + y). b. x2 + 3x memiliki faktor sekutu x, sehingga x2 + 3x = x(x + 3). c. a2 + ab memiliki faktor sekutu a, sehingga a2 + ab = a(a + b). d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr, sehingga pq2r3 + 2p2qr + 3pqr= pqr(qr2 + 2p + 3). b. Faktorisasi Bentuk

x

2

+ 2 xy

+

y

2

dan

x

2

- 2 xy

+

y

2

Pada pembahasan sebelumnya

telah dipelajari bahwa penguadratan suku dua

dirumuskan sebagai (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 dan (a – b)2 = 1a2 – 2ab + 1b2. Buktikan bahwa pengkuadratan di bawah ini benar! 1. (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 2. (3x – 4)2 = 9x2 - 24x + 16 Dari penjabaran 1 dan 2 diatas, diperoleh kesimpulan bahwa hasil penguadratan suku dua menghasilkan suku tiga dengan ciri ciri sebagai berikut. (i) Suku pertama n dan suku ketiga merupakan bentuk kuadrat. (ii) Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga. 2 {x + 6{ x + 9{

( x )2

2( x )(3)

9{x 2 - 24 { x + 16 {

(3) 2

2(3 x )(4)

(3 x ) 2

(4) 2

Dengandemikian, kedua bentuk aljabar diatas dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut. 1.

x2 + 6x + 9

= (x)2 + 2(x)(3x) + (3)2 = (x + 3)2

2.

9x2 - 24x + 16

= (3x)2 - 2(3x)(4) + (4)2 = (3x – 4)2

Secara umum, bentuk x2 +2xy + y2 dapat difaktorkan dengan langkah-langkah sebagai berikut. x2 + 2xy + y2 = x2 + xy + xy + y2 = x(x + y) + y(x + y)

hukum distributive

= (x + y)(x + y) = (x + y)2 Berdasarkanpembahasandankegiatansiswa di atas, dapatdisimpulkanhalberikut. Faktorisasi Bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 - 2xy + y2 adalah a. x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 b. x2 - 2xy + y2 = (x – y)2

c. Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah dijelaskan bahwa bentuk (x + y)(x – y) dapat dijabarkan sebagai berikut. (x + y)(x – y) = x2 + xy – xy – y2 = x2 – y2 Bentuk diatas dapat juga ditulis sebagai bentuk faktorisasi, yaitu: x2 – y2 = (x + y)(x – y) Bentuk x2 – y2 pada ruas kiri disebut selisih dua kuadrat, dan merupakan bentuk pengurangan (selisih). Ruas kanan, yaitu (x + y)(x – y), merupakan bentuk perkalian faktor – faktor. Berdasar hal tersebut, maka disimpulkan bahwa bentuk x2 – y2 = (x + y)(x – y) merupakan rumus untuk faktorisasi selisih dua kuadrat. Faktorisasi (pemfaktoran) selisih dua kuadrat adalah: x2 – y2 = (x + y)(x – y) Contohsoal: 1. Faktorkanlahbentukaljabarberikut: a.

a2 – 9

b.

4a2 – 25

Jawab: a. a2 – 9

= a2 – 32 = (a + 3)(a – 3)

b. 4a2 – 25 = (2a)2 – 52 = (2a + 5)(2a – 5) Catatan: Jika suatu bentuk aljabar memiliki factor persekutuan seperti contoh 2a dan 3c, maka faktorkanlah terlebih dahulu dengan menggunakan distributive, kemudian lanjutkan dengan faktorisasi bentuk lainnya.

d. Faktorisasi Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1 Pada bab ini, akan dipelajari tentang faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Misalnya, bentukaljabarberikutini: x2 + 10x – 21 berarti a = 1, b = 10, c = -21 x2 – 12x + 20, berarti a = 1, b = -12, c = 20 Padabentuk ax2 + bx + c, a disebut koefisien x2, b adalah koefisien x, c adalah konstanta. Untuk x2 + 10x – 21, maka koefisien x2 adalah 1, koefisien x adalah 10 dan -21 adalah bilangan kostanta. Untuk x2 – 12x + 20, maka koefisien x2 adalah 1, koefisien x adalah -12 dan 20 adalah bilangan kostanta. Untuk memahami faktorisasi bentuk ax2 +bx + c dengan a = 1, selanjutnya kita tulis dengan x2 + bx + c, perhatikan uraian berikut ini! (x + 3)(x + 4) = x2 + 3x + 4x + 12

(x + 2)(x – 7) = x2 – 7x +2x – 14

= x2 + 7x + 12

= x2 - 5x – 14

Ternyata faktorisasi bentuk x2 + bx + c dapat dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagai berikut. 1. Bilangan kostanta c merupakan hasil perkalian dari pasangan bilangan konstanta. 2. Koefisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan dari pasangan bilangan tersebut.

Faktorisasi (pemfaktoran) bentuk x2 + bx + c adalajh: x2 + bx +c = (x +p)(x + q) Dengan syarat c = p x q dan bx = p + q

e. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan tentang perkalian aljabar: (2x + 3)(4x + 5) = 8x2 +10x + 12x + 15 ……. (1) = 8x2 + 22x + 15 ……………. (2)

Dari ruas kanan di atas dapat disimpulkan bahwa memfaktorkan 8x2 + 22x + 15 (bentuk (2)), terlebih dahulu suku 22x diuraikan menjadi dua suku (bentuk (1)) dengan aturan sebagai berikut. (i) Jika kedua koefisien itu dijumlahkan maka akan menghasilkan 22. (ii) Jika koefisien kedua suku itu dikalikan maka hasilnya sama dengan hasil kali koefisien x2 dengan bilangan konstanta yaitu 120.

F. TRIK-TRIK ALJABAR Di bagian ini, kita akan membahas tentang beberapa trik-trik dalam aljabar. Biasanya, trik digunakan untuk mempermudah cara kita mengerjakan sesuatu soal. Dengan demikian, trik-trik yang tersajikan ini bisa membantu kita menyelesaikan soal dengan lebih cepat. 1) Menggunakan selisih kuadrat Contoh soal : a. 942 – 62 = … b. 1052 – 52 = … c. 902 – 102 = … Jawab : a. 942 – 62 = (94 + 6)(94 – 6) = 100 x 88 = 8.800 b. 1052 – 52 = (105 – 5)(105 + 5) = 100 x 120 = 12.000 c. 902 – 102 = (90 + 10)(90 – 10) = 100 x 80 = 8.000 Daripada harus mencari kuadratnya, sebaiknya kita menggunakan selisih kuadrat agar lebih mudah. 2) Menggunakan rumus umum Rumus umumnya adalah : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Contoh soal : a. (3x + 2)2 = b. (5x – 1)2 = c. (9x – 3)2 = Jawab : a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3x.2 + (2)2 = 9x2+ 12x + 4 b. (5x – 1)2 = 25x2 – 10x + 1

c. (9x – 3)2 = 81x2 – 54x + 9 3) Menganalisa soal Contoh soal : a. Dua buah bilangan berjumlah 30. Jika bilangan pertama 2 kali lebih besar dari bilangan kedua, berapakah bilangan kedua? b. Sebuah bilangan jika dikalikan 30 ditambah 5 dan dikurangi 2, maka hasilnya adalah 63. Berapakah bilangan tersebut? Jawab : 1) a + b = 30, a = 2b Berarti, 2b + b = 30 3b = 30, b = 10 2) X . 30 + 5 -2 = 63, 30x + 3 = 63 Berarti, 30x = 63 -3 30x = 60 dan x = 2 G. Tokoh-tokoh Dalam Mengembangkan Aljabar 1. Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi Ia adalah yang pertama kali yang mencetus Al-Jabar dalam bukunya dengan judul “Al-kitab al-jabr wa-l-Muq\abala” kitab ini merupakan karya yang sangat monumental pada abad ke-9 M. ia merupakan seorang ahli matematika dari Persia yang dilahirkan pada tahun 194 H/780 M, tepatnya di Khawarizm, Uzbeikistan. 2. Al-Qalasadi Dalam mengembangkan matematika sungguh sangat tak ternilai. Ia sang matematikus Muslim di abad ke-15, kalau tanpa dia boleh jadi dunia dunia tak mengenal simbol-simbol ilmu hitung. Sejarang mencatat, al Qalasadi merupakan salah seorang matematikus Muslim yang berjasa memperkenalkan simbol-simbol Aljabar. Symbol-simbol tersebut pertama kali dikembangkan pada abad 14 oleh Ibnu al-Banna kemudian pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qalasadi, alQalasadi memperkenalkan symbol-simbol matematika dengan menggunakan

karakter dari alphabet Arab. Ia menggunakan wa yang berarti “dan” untuk penambahan (+), untuk pngurangan (-), al-Qalasadi menggunakan illa berarti “kurang”. Sedangkan untuk perkalian (x), ia menggunakan fi yang berarti “kali”. Simbol ala yang berarti ”bagi” digunakan untuk pembagian (/). 3. Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1 Desember 1792 – 24 Februari 1856) Adalah matematikawan Rusia. Ia terutama dikenal sebagai orang yang mengembangkan geometri non-Euclides (independen dari hasil karya János Bolyai) yang diumumkannya pada 23 Februari 1826, serta metode hampiran akar persamaan aljabar yang dikenal dengan nama Metode Dandelin-Gräffe 4. Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī (11351213) Adalah matematikawan dan astronom Islam dari Persia. Sharif al-Din mengajar berbagai topik matematika, astronomi dan yang terkait, seperti bilangan, tabel astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis beberapa makalah tentang aljabar. Dia memberikan metode yang kemudian dinamakan sebagai metode RuffiniHorner untuk menghampiri akar persamaan kubik. Meskipun sebelumnya metode ini telah digunakan oleh para matematikawan Arab untuk menemukan hampiran akar ke-n dari sebuah bilangan bulat, al-Tusi adalah yang pertama kali yang menerapkan metode ini untuk memecahkan persamaan umum jenis ini. Dalam AlMu’adalat (Tentang Persamaan), al-Tusi menemukan solusi aljabar dan numerik dari persamaan kubik dan yang pertama kali menemukan turunan polinomial kubik, hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. 5. Omar Khayyam Ilmuwan yang berasal dari Persia ini membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. 6. Kowa Seki Ilmuwan yang berasal dari Jepang pada abad 17, ia mengambangkan tentang determinan.

7. Robert Recorde Adalah seorang yang memperkenalkan tanda “=” yang terdapat dalam bukunya yang berjudul “The Whetstone of Witte” pada tahun 1557. H. Klasifikasi dari Aljabar Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam beberapa kategori berikut ini: 1) Aljabar Elementer Aljabar yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam symbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan matematika yang melibatkan simbol-simbol. (bidang ini juga mencakup materi yang biasanya diajarkan di sekolah menengah). Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, -, x, ) muncul juga dalam aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan symbol (seperti a, x, y, ). Hal ini sangat penting sebab: hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil. Dengan menggunakan symbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variable yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x+1=10”) . Hal ini juga mengijinkan kita untukmembuat relasi fungsional dari rumusrumus matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda mnjual x tiket, kemudian anda mendapat untung 3x -10 rupiah, dapat dituliskan sebagaif(x) = 3x – 10, dimana f adalah fungsi dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja”). 2) Aljabar Abstrak

Kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Stuktur Aljabar semacam Grup, ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis. 3) Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matrik) 4) Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Stuktur aljabar. I. PENERAPAN ALJABAR PADA KEHIDUPAN SEHARI- HARI 1) Penerapan Aljabar pada Kehidupan Keluarga Ibu Eet adalah seorang Ibu Rumah Tangga yang mempunyai seorang suami dan 2 orang anak. Dia tidak bekerja, hanya mengurus rumah tangganya saja. Setiap bulan Bu Eet menerima uang bulanan dari suaminya sebesar Rp 3.250.000. Beberapa pengeluaran setiap bulannya dipakai untuk uang saku kedua anaknya Rp 1.000.000/bulan, pembayaran token listrik Rp 150.000/bulan, dan Rp 30.000/hari untuk uang belanja ke warung. Di warung biasanya ia belanja, diadakan uang simapanan untuk bekal liburan, dengan menabung berapa saja jumlahnya tetapi setiap hari wajib ada pemasukkan. Jadi pemilik warung tersebut selalu mengadakan liburan setahun sekali menjelang bulan Ramadhan, pemilik warung memberi THR berupa liburan bagi yang berminat untuk ikut. THR itu hanya berupa ongkos transportasinya saja, untuk bekalnya dari uang simpanan tabungan pelanggan warung yang akan dibagikan menjelang pemberangkatan liburan. Disini Bu Eet kebingungan untuk menabungkan uangnya berapa, karena ia tidak mempunyai penghasilan lain kecuali dari suaminya. Dengan Aljabar, kita bisa mengetahui berapa uang simpanan yang harus Bu Eet tabung dengan memisalkan besar uang simpanan sama dengan x.

2) Penerapan Aljabar di Sekolah Di Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) di Kota Banjar, penanggungjawab kesiswaan akan mendata Siswa Tanpa Organisasi (STO) dalam 1 angkatan. Karena telah menerima

informasi bahwa seluruh kelas XI hanya sedikit yang ikut berpartisipasi dalam setiap kegiatan di sekolah, baik dalam bentuk ekstrakulikuler maupun organisasi lainnya. Pa Lala selaku penanggungjawab kesiswaan akan memberi sanksi kepada siswa yang tidak menjadi pengurus OSISmaupun ekstrakulikuler. Pa lala membagi 2 golongan untuk mencari berapa siswa/siswinya yang aktif di pengurus OSIS dan mengikuti ekstrakulikuler. Ternyata ada 350 siswa mengikuti ekstrakulikuler, 40 siswa menjadi pengurus OSIS, dan 35 siswa mengikuti 2 kegiatan yaitu pengurus OSIS dan mengikuti kegiatan ekstrakulikuler. Namun belum diketahui berapa jumlah siswa yang tidak aktif di sekolahnya itu. *ketika Pa Lala sudah mendapatkan data diatas, dapat dimisalkan jumlah siswa yang tidak aktif itu menjadi x. setelah itu jumlah yang mengikuti kegiatan ekstrakulikuler dikurangi siswa yang mengikuti 2 kegiatan. Begitu juga dengan jumlah siswa yang menjadi pengurus OSIS dikurangi siswa yang mengikuti 2 kegiatan. Lalu setelah itu hasil dari pengurangan ditambahkan dengan jumlah siswa yang mengikuti 2 kegiatan. 3) Penerapan Aljabar di Masyarakat Di suatu desa terpencil, ketua Desa akan mengadakan acara syukuran. Semua kepala keluarga ikut berpartisipasi untuk melancarkan acaranya. Dibutuhkan tenaga untuk mendirikan dan menghias panggung 17 orang. Untuk menyiapkan makanan ringan dan berat 13 orang. 12 orang lagi tergabung ke persiapan panggung dan makanan. Kemudian petugas desa yang ditugaskan untuk memberi konsumsi tidak mengetahui berapa banyak kepala keluarga yang ikut berpartisipasi dalam kegiatan tersebut. *dengan Aljabar, kita misalkan x sebagai banyak kepala keluarga yang ikut berpartisipasi dalam acara tersebut. 4) Penerapan Aljabar pada Bidang Ekonomi Aljabar dapat memecahkan beberapa persoalan di beberapa bidang, termasuk bidang ekonomi. Ekonomi erat kaitannya dengan uang, dan kesejahteraan hidup manusia. Berikut masalah di bidang ekonomi yang dapat diselesaikan dengan Aljabar.

Menjelang tahun ajaran baru, biasanya semua perlengkapan sekolah diganti dengan yang baru. Seperti tas, sepatu, buku tulis, danperalatan menulis. Pada hari yang bersamaan Dava membeli 4 buku tulis dan 3 pencil dengan harga RP 12.500 dan Fathan membeli 2 buku tulis dan sebuah pencil dengan harga Rp 5.500 pada toko yang sama. Mereka berdua tidak mengetahui harga satuan buku yang dibelinya. Ketika sampai di rumah masing- masing mereka berdua bertemu dengan Zaki yang kebetulan juga sudah membeli peralatan sekolah yang baru, dia menanyakan kepada Dava dan Fathan harga buku yang dibelinya berapa, karena Zaki membeli buku di toko yang berbeda. Niat Zaki yaitu untuk membandingkan harga buku yang dibelinya dan yang dibeli oleh kedua temannya itu. Harga buku yang dibeli Zaki menurutnya terbilang mahal. *dengan bantuan Aljabar, Dava dan Fathan bisa mengetahui harga satuan dari buku yang mereka beli. Dengan pemisalan buku sebagai x dan pencil sebagai y. 5. Penerapan Aljabar di Masyarakat Aljabar juga berperan di masyarakat untuk menjadi sebuah kegiatan yang positif, Aljabar mempunyai singkatan (Ayo Kerja Bakti Bareng). Dengan kata Aljabar saja sudah mampu menjadi kata yang mengajak masyarakan untuk melakukan kegiatan yang positif. Kegiatan Ayo Kerja Bakti Bareng dapat dilaksanakan setiap hari, seminggu sekali, maupun sebulan sekali. 5) Penerapan Aljabar di Bidang Peternakan Pa Ano memiliki ternak ayam sebanyak 20 ekor, setiap 2 minggu sekali ia membeli pakan sebanyak 15 kg. Pada hari Rabu, saudara iparnya menitipkan 10 ekor ayam jantan karena akan pergi keluar kota selama sebulan. Kini ada 30 ekor ayam yang ia tangani. Namun, pakan ayam ternak tersebut tidak cukup untuk 30 ekor ayam. Ketika pakan habis sebelum waktunya Pa Ano memperhitungkan berapa jumlah pakan yang seharusnya ia beli. Ketika sampai di toko pakan ternak pa Ano memutuskan membeli 45 kg untuk sebulan dengan jumlah ternak 30 ekor. *untuk memecahkan masalah pa Ano dapat kita gunakan dulucara perbandingan, lalu kerjakan dengan sistem Aljabar dan x sebagai banyak pakan yang akan dibeli. 6) Penerapan Aljabar di Bidang Pekerjaan

Seorang mandor pembangunan perumahan Green House, menginginkan proyeknya itu dapat diselesaikan selama 96 hari, oleh 21 orang pekerja. Namun, pada hari yang bersamaan 2 orang pekerja meninggal dunia. Kini tinggal 19 orang yang bekerja. Mandor tersebut kesulitan untuk mendapatkan pekerja baru agar proyeknya dapat diselesaikan tepat waktu. Setelah beberapa hari ia mencari pekerja baru, namun belum menemukan yang ahli akhirnya ia memutuskan untuk tidak menambah lagi pekerja karena proyeknya dapat dilaksanakan dengan cepat walaupun tidak harus 96 hari selesai. Pekerjaan itu terhenti 1 hari karena pada waktu itu ada 2 orang pekerja yang meninggal. Pekerjaan dilaksanakan kembali hari esoknya. Ia memprediksi kembali proyeknya dapat selesai dalam waktu 106 hari, 10 hari lebih terlambat dari prediksi yang ia inginkan. *untuk hal ini kita misalkan x sebagai tambahan hari yang tertunda karena pekerjaan dihentikan 1 hari dan 2 pekerja tidak dapat bekerja. 7) Penerapan Aljabar Pada Bidang Politik Pada pemilihan ketua RW di lingkungan jelat tepatnya di lingkungan RW 02 akan dilaksanakan secara demokrasi. Pada pemilihan kali ini, tiap ketua RT sudah mendata seluruh warganya untuk menyalurkan hak suara. Dari RT 01 ada 45 calon pemilih, RT 02 ada 54 calon pemilih, RT 03 ada 55 calon pemilih, dan RT 04 ada 40 calon pemilih. Jumlah dari semua calon pemilih yaitu 194. Dalam hal pemilihan ada salah satu aturan yang akan diterapkan, diantaranya pemilih harus memilih 1 kandidat saja dan diharapkan tidak golput. Pemilihan akan dilakukan ulang apabila jumlah golput lebih dari 30 orang. Kandidat ketua RW berjumlah 2 orang. Dengan persentase kemenangan kandidat No. 1 30% kandidat No 2 58% dan golput 12%. Setelah dihitung secara matematis, jumlah warga yang golput sebanyak 23orang. Dan kemenangan diraih oleh kandidat No. 2 *untuk mengitung berapa jumlah warga yang golput dapat dimisalkan dengan x selanjutnya persentase golput dikali dengan jumlah calon pemilih. 8) Penerapan Aljabar Pada Bidang Hukum Grasi merupakan suatu hal yang tidak asing dalam dunia hukum. Pemberian grasi dilakukan oleh seorang presiden, dan tidak diberikan secara cuma-cuma. Jika pemberian grasi dimisalkan apabila pelanggaran lebih dari 3 pelanggaran hukum,

maka grasi tidak akan diberikan. Seperti kasus pembunuhan berencana, penganiayaan, serta penelantaran anak. Maka dalam kasus tersebut tidak dapat dikeluarkan grasi. Dan apabila pelanggaran hukumnya dijadikan persentase, jika lebih dari 30% maka grasi tidak akan diberikan kepada pelanggar hukum. Maka Aljabar dapat berperan jika setiap tindakan pelanggaran diberi persentase dari seluruh tindakan kejahatan dan melebihi 30% maka grasi tidak berhak diberikan kepada pelaku. *perhitungan itu dapat didapat dari dara berupa diagram lingkaran. Setelah itu gunakan x sebagai besar persentase yang didapat dari beberapa kasus 9) Penerapan Aljabar Pada bidang Kesehatan Ayu telah selesai menempuh belajarnya selama 3,5 tahun untuk menjadi seorang sarjana. Dia adalah salah satu lulusan Farmasi Universitas Padjajaran. Setelah lulus, dia bekerja di sebuah apotek besar di kota kelahirannya. Ayu menjadi tahu semua jenis obat-obatan serta dosis yang dianjurkan untuk pasien dokter yang akan menebus obat. Pada suatu hari dia bertemu dengan sahabat lamanya, dalam pertemuannya itu dia dimintai tolong oleh sahabatnya itu untuk mengukur berapa takaran oban panas anak sahabatnya. Anak dari sahabatnya baru berusia 6 bulan, bayinya itu terkena demam. Karena baru terserang, sahabat Ayu hanya membeli obat penurun panas di apotek, tetapi dia tidak tahu berapa dosis yang dianjurkan untuk anaknya itu. *untuk mengitung berapa dosis yang diberikan kepada bayi 6 bulan itu dapat digunakan rumus x sebagai dosis yang dianjurkan, lalu usia bayi (m) dibagi 150 dan dikali dosis dewasa (Dd). Dosis dewasa = 500mg. 10) Penerapan Aljabar Pada Bidang Olahraga Dalam dunia olahraga, matematika juga ikut berperan di dalamnya. Seperti berthitung ketika melakukan pemanasan. Namun, salah satu cabang ilmu matematika juga masuk ke dalamnya, yaitu Aljabar. Aljabar dapat digunakan di dunia olahraga ketika seorang atlet lari maraton ingin mengetahui berapa putaran yang ia dapatkan ketika lari dalam jarak 1300m dalam hitungan menit. Ketika ia berlari dalam waktu 10 menit mendapatkan 3 putaran. Namun ia ingin mendapatkan 5 putaran dalam waktu yang tidak ia ketahui. Karena ia juga butuh latihan untuk mempersiapkan

perlombaaan kelak. *dengan bantuan Aljabar atlet tersebut dapat memisalkan waktu yang diharapkan sebagai x dan menghitungnya dengan langkah perbandingan dulu. Kesimpulan Aljabar merupakan salah satu cabang ilmu matematika, aljabar dapat digunakan dalam segala bidang untuk memecahkan masalah. Walaupun tidak semua masalah dapat dipecahkan, tapi aljabar mampu masuk ke beberapa bidang. Dengan aljabar, beberapa persoalan dapat terpecahkan, namun untuk memecahkannya harus menggunakan pikiran yang logis dan dapat diterima dengan akal. Aljabar berkaitan dengan 4 operasi matematika, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

https://bryanfebriozusriadi.wordpress.com/2014/01/24/makalah-aljabar/ http://agungputranepakmulyadi.blogspot.com/2013/09/aljabar-matematika.html http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021KARSO/ALJABAR_SMP_1.pdf https://dokumen.tips/download/link/makalah-faktorisasi-aljabar