Statistik Oleh Aryo Dwiatmojo Unram (ntb)

Tentang Statistik

BAB I PENDAHULUAN MATERI : 1. Pengertian Statistik dan Statistika 2. Macam-macam Statistik 3. Metodologi Statistik 4. Fungsi dan Kegunaan Statistik 5. Variabel Statistik 1.1. Pengertian Statistik dan Statistika Statistik berasal dari kata status dan statista artinya Negara yang dikemukakan oleh Aristoteles dalam bukunya “Politeia” yang menjelaskan uraian mengenai 158 negara. Kata tersebut kemudian digunakan untuk mengatakan tentang pengumpulan dan penyajian keterangan-keterangan yang dibutuhkan oleh negara dan berguna bagi negara. Pada awalnya statistik diartikan sebagai kumpulan keterangan baik yang berbentuk angka-angka atau kumpulan keterangan yang tidak berbentuk angka-angka/bilangan yang memiliki arti penting dan kegunaan besar bagi suatu negara. Namun sekarang kata statistik diartikan sebagai pelukisan suatu keadaan yang umumnya ditekankan sebagai angkaangka bilangan atau dengan kata lain statistik berarti kumpulan angka-angka yang berhubungan dengan atau melukiskan sesuatu persoalan. Berbagai literatur memberikan pengertian statistik dengan susunan kalimat yang bervariasi meskipun mengandung pengertian yang sama yaitu statistik merupakan rekapitulasi dari fakta yang berbentuk angka-angka, disusun dalam bentuk tabel dan daigram yang mendeskripsikan suatu keadaan (Riduwan,2003) atau statistik merupakan sekumpulan cara maupun aturan-aturan yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan (analisis), penarikan kesimpulan atas data-data yang berbentuk angka dengan menggunakan asumsi teretentu (Agus Irianto,2004). Statistika merupakan suatu ilmu yang merupakan cabang dari matematika yang pada dasarnya bukan mengemukakan data-data atau fakta-fakta, tetapi merupakan ilmu kirakira yang hanya mengetahui sebagian dari populasi tetapi membicarakan seluruh populasi (Abdulrahman Ritonga, 1987). Berkaitan dengan kedudukannya sebagai ilmu, statistika merupakan metode ilmiah yang mencakup teknik mengumpulkan, mengorganisasikan, mentabulasi, menginterpretasi, menggambarkan dan menyajikan data dalam bentuk angkaangka. Statistika merupakan suatu metode yang digunakan dalam pengumpulan data, sehingga dapat diperoleh informasi yang berguna(Siagian,dkk, 2002) 1.2. Macam-Macam Statistik Statistik dapat dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Statistik deskriptif (statistik dalam arti sempit) yaitu statistik yang digunakan untuk menggambarkan atau menganalisis suatu statistik hasil penelitian, tetapi tidak digunakan untuk membuat kesimpulan yang lebih luas (generalisasi). Kegiatan dari statistik deskriptif dimulai dari pengumpulan data, pengorganisasian mengklasifika-sikan, dan penyajian data baik dalam bentuk tabel, grafik atau dalam bentuk lainnya.

2. Statistik induktif (statistik inferensi = statistik probabilitas = statistik dalam arti luas) adalah statistik yang digunakan untuk menganalisis dan mengiterpretasikan data sample dan hasilnya akan digeneralisasikan (diinferensikan) untuk populasi dimana sample diambil. Statistik induktif dibedakan menjadi dua yaitu : - statistik parametris terutama digunakan untuk menganalisis data interval atau data rasio yang diambil dari populasi yang berdistribusi normal. - Statistik non parametris terutama digunakan untuk menganalisis data nominal dan ordinal pada populasi yang bebas distribusi sehingga tidak harus normal. Jenis-jenis statistik dapat digambarkan berikut.

Deskriptif

- Pengumpulan data - Pengorganisasian/Pengklasifikasi an Data - Penyajian data

Statistik

Parametris

Induktif =inferensia

Non Parametris

- Menganalis dan menginterpretasikan - Membuat Kesimpulan (generalisasi) 1.3. Metodologi Statistik Menyelesaikan suatu permasalahan secara statistik tidak terlepas dari pendekatan ilmiah yang harus melalui beberapa tahap. Ada 5 tahap yang harus dilakukan untuk memecahkan permasalahan secara statistik yaitu : 1. Pembatasan masalah. Permasalahan yang ingin dipecahkan harus dipahami dan dirumuskan secara benar agar dapat dijadikan pedoman guna pengumpulan data secara terarah dan ekonomis. Pembatasan masalah akan membantu untuk menarik suatu kesimpulan sehingga dalam tahap ini informasi kuantitatif sangat bermanfaat. 2. Pengumpulan Data atau Fakta Data harus dikumpulkan dengan tepat dan selengkap mungkin serta berhubungan dengan permasalahan yang dihadapi. Data dapat bersumber dari data internal maupun data eksternal. 3. Pengorganisasian/Pengklasifikasian Data

Apabila data telah terkumpul, langkah selanjutnya adalah mengorganisasi atau mengkalsifikasikan data tersebut sesuai dengan tujuan penelitian. Data-data tersebut dapat dapat dipisahkan atas kelompok-kelompok dan sifat-sifat yang sama. 4. Penyajian Data Penyajian data dapat dilakukan dalam bentuk tabel maupun grafik maupun digram yang berguna untuk menyampaikan hal-hal penting kepada pihak yang membutuhkan. 5. Analisis dan Interpretasi Data Dalam melakukan analisis data harus dilihat apakah data yang dikumpulkan data sampel atau data populasi. menggunakan data sampel, berdasarkan ukuran deskriptif dilakukan pendugaan parameter populasi dan pengujian asumsi parameter atau ciri-ciri populasi. Analisis data akan lebih dalam dibahas dalam statistik induntif atau statistik inferensi. Langkah –langkah metodologi statistik terlihat dalam skema berikut

Mulai

Pembatasan Masalah

Pengumpulan Data

Pengorganisasi an/Pengklasifikasian Data

Penyajian Data

Ya Data sampel

Untuk : a. Menduga parameter b. Menguji asumsi parameter

Tidak Gunakan data populasi untuk menentukan karakteristik data

Buat kesimpulan berdasarkan perkiraan populasi

Selesai

1.4. Fungsi dan Kegunaan Statistik 1.4.1. Fungsi Statistik

Berbagai definisi statistik yang telah diuraikan terdahulu selalu berkaitan dengan data yang disajikan dalam bentuk ang-angka. Berkaitan dengan penyajian data dalam bentuk angka maka statistik berfungsi : 1. Menggambarkan data dalam bentuk tertentu, tanap adanya statistik data akan menjadi kabur dan tidak jelas. 2. Dapat menyederhanakan data yang komplek menjadi data yang mudah dimengerti 3. Merupakan teknik untuk membuat perbandingan 4. Dapat memperluas pengalaman individual 5. Dapat memberi petunjuk bagi perumusan kebijakan perusahaan 6. Dapat mengukur besaran-besaran dari suatu gejala 7. Dapat membantu menentukan hubungan sebab akibat 1.4.2. Kegunaan Statistik Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, statistik sebagai ilmu (statistika) juga semakin dibutuhkan mengiringi perkembangan ilmu pengetahuan sehingga ilmu statistik dapat digunakan pada berbagai macam disiplin ilmu seperti : 1. Ilmu ekonomi dan bisnis - Ilmu ekonomi. Dalam ilmu ekonomi statistik dapat dipergunakan oleh para ekonom (ahli ekonomi) sebagai indikator produktivitas ekonomi, inflasi, tingkat bunga dan pengangguran, pertumbuhan penduduk. Di bidang produksi data statistik dipergunakan untuk membandingkan produksi suatu daerah dengan daerah lain, di bidang konsumsi data statistik dapat menjelaskan berbagai pola konsumsi dari strata msayarakat. Untuk meramalkan kejadian di masa yang akan para ekonomi dapat menggunakan analisis runtun waktu (time series) dan peramalan (forecasting). Dengan demikian penggunaan ststistik dalam ekonomi selain untuk mengembangkan konsep-konsep ekonomi yang sudah ada juga untuk mengkaji teori ekonomi yang telah ada. - Manajemen. Manajer dapat menggunakan metode statistik untuk menganalisa terhadap yang berkaitan dengan perusahaan, statistik dapat membantu menganalisa selera maupun preferensi konsumen terhdapa barang-barang konsumsi, dapat dijadikan perusahaan untuk mengelola dan secara terus menerus mengembangkan produksi seperti metode pengendalian mutu, maupun untuk meramalkan jumlah yang dipasarkan atau dijual pada masa yang akan datang berdasarkan data-data masa lalu. - Akuntansi. Berbagai keputusan yang diambil oleh seorang akuntan seperti kondisi keuangan, likuiditas dan persediaan diadasarkan pada analisis ratio keuangan. Metode statistik dapat diterapkan dalam analisis berupa data rasio keuangan sehingga secara statistik dapat menunjukkan bahwa rasio keuangan untuk beberapa perusahaan dapat dinilai secara berbeda dengan perusahaan lain. 2. Statistik juga dapat dipergunakan sebagai alat komunikasi yang berfungsi sebagai penghubung beberapa pihak yang menghasilkan data statistik atau berupa analisis statistik sehingga beberapa pihak akan dapat mengambil keputusan melalui informasi. 3. Sebagai komparasi atau membandingkan data dua kelompok atau lebih. 4. Dalam aktivitas penelitian, statitistik berguna sebagai : - alat untuk menghitung besarnya anggota sampel yang diambil dari suatu populasi. - alat untuk menguji validitas dan reliabilitas daftar pertanyaan - teknik-teknik untuk menyajikan data sehingga dapat lebih komunikatif - alat untuk menganalisis data seperti menguji hipotesis penelitian yang diajukan 5. Bagi pemerintah dapat digunakan sebagai alat untuk menganalisis kondisi perekonomian dan perkiraan trend perekonomian di masa yang akan datang 1.5. Variabel Statistik 1. Pengertian Variabel

Variabel merupakan sesuatu yang nilainya berubah-ubah atau suatu symbol yang mempunyai nilai yang bervariasi. Variabel biasanya dilambangkan dengan Y, Z atau singkatan dari huruf yang digunakan untuk menggambarkan arti. 2. Jenis- Jenis Variabel Pada dasarnya variabel statistik terdiri dari dua yaitu variabel kualitatif yang merupakan variabel yang disajikan bukan dalam bentuk angka (katagorikal) dan variabel kuantitatif (numerikal) yang merupakan variabel yang disajikan dalam bentuk angka. Suatu variabel kuantitatif bisa bersifat descret yaitu variabel yang hanya mengambil bilangan bulat dan bersifat kontinyu yaitu variabel yang dapat mengambil setiap nilai dalam interval dan bilangan nyata atau bias mengambil nilai pecahan. Perhatikan contoh berikut : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dari interval 1 - 10 banyaknya bilangan bulat sebagai nilai variabel diskrit adalah 10, karena hanya melihat bilangan bulat, sebaliknya banyaknya variabel kontinyu mengambil nilai pecahan yang berada pada masing-masing interval yang jumlahnya cukup banyak dan tak dapat dihitung misalnya antara 5 dengan 6 terdapat pecahan sebesar 5,1 ; 5,11 ; 5,12 ; … 5,20 ; 5,21 ; … 6 dan seterusnya. Menurut hubungan antar satu variabel dengan variabel lain, variabel dapat dibedakan menjadi : a. Variabel independent disebut juga dengan variabel stimulus, input, predictor dan antendent yang diartikan sebagai variabel bebas yaitu variabel yang menjadi sebab timbul atau berubahnya variabel dependent. Jadi variabel ini disebut pula variabel yang mempengaruhi. b. Variabel dependent disebut juga sebagai variabel respon, output, criteria, konsukuen yang diartikan sebagai variabel terikat merupakan variabel yang dipengaruhi atau yang menjadi akibat karena adanya variabel bebas. Contoh : Y = f(x) bacanya variabel Y merupakan fungsi dari variabel X, artinya bila nilai X berubah, otomatis nilai Y akan berubah. c. Variabel moderator. Adalah variabel yang mempengaruhi (memperkuat atau memperlemah) hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikat sehingga disebut juga dengan variabel independen kedua. Contoh, hubungan suami isteri semakin akrab apabila telah mempunyai anak. Anak sebagai variabel moderator. d. Variabel intervening, adalah variabnel yang secara teoritis mempengaruhi (memperkuat atau memperlemah) hubungan antara variabel beas dengan variabel terikat tetapi tidak terukur. Contoh, anak yang pandai nilainya akan tinggi, akan tetapi ketika ia sakit dan frustrasi nilainya menurun. Sakit hati dan frustrasi merupakan variabel intervening yang sulit diukur. e. Variabel Kontrol adalah varaibel yang dikendalikan atau dibuat konstan sehingga tidak akan mempengaruhi variabel utama yang diteliti. Contoh, untuk membandingkan kecepatan mengetik komputer antara kelas A dan kelas B, maka perlu ditetapkan variabel kontrolnya, yaitu banyaknya yang diketik sama, jenis dan kapasitas komputer sama serta ruangannya juga harus sama.

BAB II

DATA DAN PEMBULATAN BILANGAN MATERI : 1. Pengertian Data Statistika 2. Pembagian Data 3. Kegunaan Data 4. Syarat-syarat Data 5. Pengumpulan Data 6. Penyajian Data 7. Penjumlahan dengan notasi Σ 8. Pembulatan bilangan 2.1. DATA 2.1.1. Pengertian Data Beberapa definisi yang dikemukakan oleh para penulis tentang definisi di atas pada umumnya selalu mengacu pada data yang berbentuk angka-angka. Berkaitan dengan hal tersebut statistik tidak dapat dipisahkan dari tersedianya data. Berbagai definisi yang dikemukakan oleh para ahli tentang data sangat bervarisi meskipun mempunyai makna yang satu. Beberapa pengertian data adalah sebagai berikut a. Data adalah bahan mentah yang perlu diolah sehingga menghasilkan informasi atau keterangan baik kualitatif maupun kuantitatif yang menunjukkan fakta. b. Data merupakan sesuatu yang diketahui dan dianggap yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. c. Data diartikan sebagai keterangan atau informasi yang menggambarkan suatu keadaan di suatu tempat pada waktu tertentu. Penyebutan waktu dan tempat berkaitan dengan terjadinya perubahan data dar iaktu ke waktu dan pada tempat yang berbeda-beda. Data merupakan kata jamak, sedangkan kata tunggal dari data disebut dengan datum. d. Data adalah keterangan mengenai sesuatu mungkin berbentuk angka-angka (bilangan) yang disebut data kuantitatif, dan mungkin berbentuk kalimat-kalimat, uraian-uraian yang disebut dengan data kualitatif. e. Data adalah kumpulan dari sejumlah fakta atau kenyataan yang dapat dipercaya kebenarannya sehingga dapat dipergunakan sebagai dasar untuk menarik kesimpulan. f. Data merupakan kumpulan dari sejumlah fakta atau kenyataan yang dapat dipercaya kebenanrannya sehingga dapat digunakan sebagai dasar untuk menaik kesimpulan. 2.1.2. Pembagian Data Dipandang dari berbagai aspek, data dapat dibagi ke dalam beberapa golongan seperti : a. Menurut sifatnya 1. Data kualitatif yaitu data yang berhubungan dengan katagorisasi, karakteristik berwujud pertanyaan berupa kata-kata atau yang tidak berbentuk angka-angka. 2. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka-angka atau data kualitatif yang diangkakan (skoring). Data kuantitatif dapat dibedakan menjadi dua yaitu : a. Data deskrit atau data nominal adalah data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang (bukan mengukur) atau data yang satuannya bulat dalam bilangan asli, tidak berbentuk pecahan. Contohnya : manusia, baju, sepeda, mobil, pohon dll. b. Data kontinum (kontinyu) adalah data yang diperoleh dari hasil pengukuran atau data yang satuannya pecahan yang terdiri dari :

-

data ordinal adalah data yang berjenjang atau berbentuk peringkat yang makin kecil angkanya maka semakin tinggi nilainya. Oleh karenanya jarak yang satu dengan yang lain tidak sama. Contoh ; Juara I, II , III atau Eselon I, II, III dan sebagainya. - data interval adalah data yang jaraknya sama, tetapi tidak mempunyai nilai nol mutlak (absolut) tetapi masih mempunyai nilai. Misalnya nol derajat Celcius, ternyata masih ada nilainya. - data ratio adalah data yang jaraknya sama dan mempunyai nilai nol absolut. Misalnya hasil pengukuran panjang (m), berat )kg) dan lainnya. Data rasio dapat disusun ke dalam data interval atau data rasio. b. Menurut sumbernya 1. Data internal yaitu data yang menggambarkan keadaan/kegiatan dalam suatu lembaga/ badan atau individu tertentu (dalam lingkungan sendiri). Data internal dalam suatu perusahaan seperti data personalia, data keuangan dan lainnya sedangkan bagi negara seperti data penduduk, data sumber-sumber alam, pendapatan nasional dan lainnya. 2. Data eksternal yaitu data yang menggambarkan keadaan/kejadian diluar suatu lembaga/badan atau individu tertentu. Data ekternal bagi suatu perusahaan seperti data tentang daya beli masyarakat, perkembangan harga, data tentang permintaan dan penawaran serta data lainnya, sedangkan bagi suatu negara seperti data perkembangan barang-barang ekspor di pasaran internasional, data yang menunjukkan akibata danya krisis ekonomi dan lainnya. Data eksternal dapat dibagi ke dalam : (data menurut cara memperolehnya) : a. Data primer yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu badan atau individu secara langsung dari obyeknya. b. Data sekunder yaitu data yang diperoleh dalam bentuk sudah jadi, sudah dikumpulkan dan diolah oleh pihak lain. c. Menurut waktu pengumpulannya 1. Data seketika (cross section data) yaitu data yang dikumpulkan pada waktu tertentu yang dapat menggambarkan keadaan dan karakteristik obyek penelitian pada waktu penelitian itu dilakukan. 3. Data berkala (time series data) yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu yang dapat menggambarkan tentang perkembangan suatu kegiatan/kejadian. Misalnya data tentang jumlah penduduk tahun 1990 sampai dengan tahun 2000, data tentang Jumlah Uang yang Beredar sejak tahun 1995 – 2000 dan lainnya. Secara singkat dapat digambarkan sebagai berikut :

Kualitatif

Deskrit

Macam Data

Ordinal

Kuantitatif Kontinum

Interval Rasio

2.1.3. Syarat-syarat Data Data yang baik akan mempermudah dalam membuat suatu perencanaan maupun suatu keputusan. Oleh karena itu suatu data dapat dianggap baik harus memenuhi syaratsyarat :: a. Harus obyektif, sesuai dengan realita b. Harus representatif (terwakili) c. Kesalahan baku (standard error) harus kecil d. Harus tepat waktu (up to date) e. Harus relevant dengan persoalan yang dipecahkan 2.1.4. Kegunaan Data Data sangat berguna bagi pihak-pihak yang membutuhkan seperti : a. Data untuk suatu perencanaan b. Sebagai alat kontrol c. Dasar evaluasi dari hasil kerja akhir d. Sebagai gambaran tentang suatu keadaan e. Dasar pembuatan keputusan atau pemecahan masalah 2.1.5. Pengumpulan Data Metode pengumpulan data adalah teknik atau cara-cara yang dapat digunakan untuk mengumpulkan data. Ada beberapa teknik untuk mengumpulkan data yaitu : a. Untuk data primer yang merupakan data yang didapat dari sumber pertama yang dapat dilakukan dengan cara : - wawancara yaitu suatu cara pengumpulan data yang digunakan untuk memperoleh informasi langsung dari sumbernya baik dengan wawancara langsung maupun tidak - informasi yang diperole hdaro koresponden - informasi yang diperoleh dari daftar pertanyaab yang dikirim lewat pos - informasi yang diperoleh beradasar pada daftar pertanyaan (instrumen penelitian = questionnaire) yang merupakan alat bantu yang dipilih dan digunakan dalam kegiatan mengumpulkan data agar kegiatan tersebut sistimatis. - Pengamatan (observasi) yaitu melakukan pengamatan secara langsung ke obyek yang diteliti untuk melihat dari dekat kegiatan. Keuntungan data primer : - dapat mengatasi responden yang buta huruf - dapat mengatasi beberapa jawaban yang tidak terjawab - pencacah dapat menjelaskan maksud pertanyaan yang kurang jelas/tidak dimengerti responden Kelemahannya :

-

sangat mahal biayanya hasilnya dapat bias akibat interpretasi yang kurang tepat memerlukan waktu yang lama dan hasilnya sangat tergantung pada ketrampilan pencacah b. Untuk data sekunder yaitu data primer yang diperoleh dari pihak lain atau data primer yang diolah lebih lanjut dan disajikan oleh pengumpula data primer atau pihak lain yang bisanya disajikan dalam bentuk tabel atau diagram yang dapat diperoleh dari : - data yang sudah dipublikasikan ; data yang tidak dipublikasikan Keuntungan data sekunder : - Data mudah diperoleh - Tidak perlu melakukan penelitian langsungterhadap tujuan yang ingin dicapai - Biayanya relatif murah dan - Waktu relatif pendek Kelemahannya : - kadang-kadang data sudah tidak relevan dengan keadaan saat ini - dapat dipengaruhi oleh faktor subyektivitas dan kesalahan (bias) dari peneliti - kemungkinan cara pengumpulannya tidak benar muncul - ruang lingkup sangat pendek/singkat - kemungkinan dilakukan pada saat tidak normal sehingga menjadi tidak relevan lagi dengan situasi saat ini. 2.1.6. Populasi dan Sampel 2.1.6.1. Populasi Populasi dalam statistik mempunyai arti yang luas. Suatu populasi bisa terdiri dari individu-individu seperti semua mahasiswa fakultas Ekonomi Universitas Mataram, semua mahasiswa yag mengambil mata kuliah Statistik Ekonomi I. Atau sebuah populasi bisa juga terdiri dari benda-benda, seperti semua ban mobil tipe X yang diproduksi oleh perusahaan A Suatu populasi dapat pula terdiri dari sekelompok pengukuran seperti berat semua pemain sepakbola Fakultas Ekonomi, atau semua ukuran tinggi dri pemain Volly Ball di Mataram. Mengacu pada uraian di atas, maka populasi diartikan sebagai suatu kumpulan dari semua kemungkinan orzng-orang, benda-benda, atau ukuran ketertarikan dari hal yang menjadi perhatian. Atau populasi adalah kumpulan dari seluruh elemen (unit atau individu) sejenis yang dapat dibedakan menjadi obyek penelitian kemudian ditarik kesimpulannya Misalnya kita ingin megetahui keadaan perusahaan A, maka perusahan ini disebut dengan populasi, karena perusahaan tersebut mempunyai sejumlah orang/subyek dan obyek yang lain 2.1.6.2. Sampel Sampel adalah bagian (sebagian kecil ) dari poulasi yang karakteristiknya hendak diselidiki atau suatu porsi atau bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian. Ada beberapa alasan mengapa sampel diambil dalam suatu populasi yaitu : 1. Bila jumlah populasi besar dan peneliti tidak mampu untuk mempelajari semua populasi. 2. Biaya yang dipergunaan untuk mempelajari seluruh populasi besar 3. Menghubungi seluruh poplasu membutuhkan waktu yang lama 4. Kemampuan tenaga untuk mempelajari seluruh populasi terbatas/kurang Apa yang dipelajari dari sampel, kesimpulannya akan diberlakukan untuk seluruh populasi sehingga sampel yang diambil harus benar-benar representatif (mewakili) kondisi populasi. 2.2. PENJUMLAHAN DAN PEMBULATAN BILANGAN 2.2.1. Penjumlahan Bilangan dengan Notasi Σ

Notasi dipergunakan untuk mempermudah serta mempersingkat penulisan tanpa mengurangi pengertian yang terkandung di dalamnya. Penggunaan notasi Σ ( baca : jumlah dari ) dalam statistik sangat penting karena sangat banyak berkatian dengan penjumlahan bilangan. Untuk bilangan yang jumlahnya banyak dipergunakan rumus : n

T = ∑ Xi i =1

= x1 + x 2 + x3 + ..... + xn dimana : T = total jumlah ; X= variabel dan Xi = variabel ke i n

∑ Xi

dibaca sigma Xi untuk i = 1 sampai dengan i = n, merupakan penjumlahan dari X1

i =1

sampai dengan Xn. Beberapa aturan Penjumlahan dengan Notasi Σ : 1. Penjumlahan dari suatu bilangan tetap (konstanta) sebanyak n kali adalah sama dengan n kali bilangan itu sendiri. n

∑ k = k + k + k + ... + k = nk i =1

2. Penjumlahan dari perkalian suatu bilangan tetap (konstanta) dengan suatu variabel adalah sama dengan perkalian antara bilangan tetap itu dengan jumlah nilai-nilai variabel tersebut. n

n

i =1

i =1

∑ k Xi = k ∑ Xi = k ( x1+ x2 + x3 + ... + xn) 3. Penjumlahan dari jumlah atau selisih beberapa variabel adalah sama dengan jumlah atau selisih dari penjumlahan masing-masing variabel. n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ ( Xi ± Yi) = ∑ Xi ± ∑ Yi

k = bilangan kons tan ta

Perhatikan contoh-contoh berikut : 7

1.

∑ Xi = x1+ x 2 + x3 + x 4 + x5 + x6 + x7 i =1 5

2.

∑ XiYi = Xiyi + x2 y 2 + x3 y3 + x4 y4 + x5 y5 i =1 6

3.

∑ ( Xi + Yi) = ( x1+ y1) + ( x2 + y2) + ( x3 + y3) + ( x 4 + y 4) + ( x5 + y5) + ( x6 + y6) i =1 4

4.

∑ Xi

2

=x 22 + X 32 + x4 + x52

i=2 5

5.

∑ 2 Xi = 2( X 3 + x 4 + x5 + x6 + x7) i =3

2.2.2. Pembulatan Bilangan Pembulatan bilangan diperlukan agar orang dapat membaca dan memahami tampilan data dalam bentuk yang sederhana sehingga data perlu dilakukan pembulatan hingga satuan tertentu. Dalam melakukan pembulatan bilangan harus mengikuti aturanaturan berikut : 1. Jika angka terkiri dari angka yang akan dihapus kurang dari lima, maka angka terkanan yang mendahuluinya tidak berubah.

Contoh : 314,643 dibulatkan empat angka menjadi 314,6 atau 2. Jika angka terkiri dari yang akan dihapus lebih besar dari lima atau lima diikuti angka – angka yang tidak semuanya nol maka angka terkanan dari yang mendahuluinya dinaikkan satu. Misalnya angka 529,673 dibulatkan menjadi 529,7 bila dikehendaki hanya empat angka. Juga angka 67,2500001 dibulatkan menjadi 67,3 bila dikehendaki disederhanakan menjadi tiga angka. 3. Jika angka terkiri dari yang harus dihapus adalh lima, dan diikuti angka – angka nol belaka, maka angka tekanan yang mendahuluinya dinaikkan satu bila angka itu ganjil dan tetap bila angka tersebut genap. Sebagai contoh, angka 103,55 dibulatkan menjadi 103,6 dan angka 103,45 dibulatkan menjadi 103,4 bila disederhanakan menjadi empat angka. Perlu diperhatikan bahwa angka 103,5499 dibulatkan menjadi 103,5 seperti ketentuan 1 dan angka 103,4501 menjadi 103,5 seperti ketentuan 2. Statistik maupun matematika dan ilmu-ilmu lainnya sering menggunakan huruf-huruf Yunani yang dipergunakan sebagai lambang atau notasi. Berikut beberapa huruf yang biasa dipakai dalam statistik maupun matematika: No Jenis huruf Baca α Alpha 1 β Betha 2 χ Chi 3 δ Delta 4 τ tau 5 ε Epsilon 6 γ Gama 7 λ Lamda 8 µ Miu 9 π Phi 10 θ Teta 11 ρ Rho 12 σ sigma 13 Σ Sigma (notasi jumlah) 14 ω omega 15

BAB III. PENYAJIAN DATA DAN DISTRIBUSI FREKUENSI MATERI : 1. Membedakan antara penyajian data dengan bentuk-bentuk tabel, diagram dan grafik 2. Menyajikan data dalam bentuk diagram, batang, diagram garis dan diagram lingkaran 3. Menyusun data mentah ke dalam distribusi frekuensi 4. Menggambarkan ditribusi frekuensi ke dalam bentuk histogram, poligon dan ogive 3.1. PENYAJIAN DATA Setelah dilakukan pengumpulan data, pengorganisasian/pengkalsfikasian data, langkah selanjutnya adalah menyajikan data-data tersebut ke dalam bentuk yang mudah dibaca dan difahami oleh berbagai pihak yang berkepentingan sebagai dasar untuk membuat suatu perencanaan dan keputusan. Pada garis besarnya penyajian data statistik dapat berbentuk: 1. Tabel Biasa : - Tabel klasifikasi tunggal - Tabel klasifikasi ganda - Tabel kontingensi - Tabel frekuensi/distribusi frekuensi 2. a. Grafik terdiri dari Histogram, Poligon, Ogive, (lihat di distribusi frekuensi) b. Diagram : - Diagram batang (bar chart) - Diagram garis (line chart) - Diagram lambang (pictograph) - Diagram lingkaran ( pie chart) - Diagram peta (Kartogram ) - Diagram pencar da campuran Berikut akan diberikan contoh penyajian data dari berbagai bentuk di atas. 1. TABEL.:Penyajian data dalam bentuk tabel dimaksudkan agar orang dapat memahami dengan mudah dan menelaah apa yang disajikan. a. Bentuk Tabel Klasifikasi Tunggal atau tabel satu arah (one way table) adalah tabel yang memuat keterangan mengenai satu hal atau satu karakteristik. Tabel 2.1. PDRB NTB Tahun 1995 Atas Dasar Harga Berlaku Menurut Lapangan Usaha Lapangan Usaha PDRB (%) Pertanian Pertambangan dan Penggalian Industri Pengolahan Listrik, Gas Dan Air Bersih Bangunan Lainnya Jumlah Sumber : Bappenas, 1997

38,23 3,03 4,67 0,41 8,29 45,37 100

Tabel 2.2. Jumlah Penduduk Kota Mataram Berdasarkan Kelompok Umur Tahun 2000 Kelompok Umur Jumlah Penduduk (Jiwa) 0–4 5–9 10 – 14 15 - 19 20 – 24 25 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 > 70

32.603 32.465 32.618 37.880 37.099 30.445 47.574 31.077 17.970 10.265 5.662 315.738

Jumlah Sumber : BPS NTB, 2001. Terlihat bahwa tabel 2.1 dan 2.2 merupakan contoh-contoh tabel dengan klasifikasi tunggal, dimana tabel 2.1 merupakan tabel dalam bentuk kualitatif dan tabel 2.2 merupakan bentuk tabel kuantitatif. c. Bentuk Tabel Klasifikasi Ganda atau tabel dua arah ( two way table) adalah tabel yang menunjukkan dua hal atau dua karakteristik. Tabel 2.3. Persentase Kepala Rumah Tangga Menurut Daerah Tempat Tinggal dan Jenis Kelamin Tahun 1998 (%) Tempat Tinggal Pria Wanita Jumlah 100 12,47 87,53 Pedesaan 100 13,78 86,22 Perkotaan 100 12,95 87,05 Perkotaan dan Pedasaan Sumber : BPS, Susenas, 1998 Tabel 2.4. Jumlah Penduduk Yang Bekerja Menurut Kecamatan Dan Tingkat Pendidikan di Kota Mataram Hasil Sensus Penduduk Tahun 2000 Kecamatan Jenjang Pendidikan Jumlah Ampenan Mataram Cakranegara Tidak/Belum tamat SD 39.536 27.486 34.953 101.975 SD 22.326 16.989 21.955 61.270 SLTP 12.727 12.782 11.564 37.073 SLTA 20.499 26.757 15.964 63.220 Diploma I/II 768 637 447 1.852 Akademi/Diploma II 1.072 1.608 682 3.362 PT/DIV 4.637 7.074 2.588 14.299 Tak Terjawab 0 3 1 4 Jumlah 101.565 93.336 88.154 283.655 Sumber : BPS NTB, 2001 c. Tabel Kontingensi dipergunakan khusus pada data yang terletak diantara baris dan kolom berjenis variabel katagori

Tabel 2.5. Besar Keluarga dan Ukuran Pasta Gigi Yang dibeli Ukuran Pasta Gigi Besar Keluarga Jumlah Yang Dibeli 1–2 3–4 5 atau lebih 70 8 37 25 Kecil 125 53 62 10 Sedang 105 59 41 5 Besar Jumlah 40 140 120 300 Sumber : Djarwanto,2003. Tabel 2.6.Hubungan Antara Tempat Tinggal Penduduk Dengan Tingkat Pendapatan Pendapatan Kota Jumlah Rendah Sedang Tinggi 725 175 350 200 X 825 200 300 325 Y 1165 350 415 400 Z

SD SL TP SL TA Ak ad D I em /II i/D Ta P III T k Te /DI rja V w ab

SD

50000 40000 30000 20000 10000 0 TT

Jml. Penduduk (jiwa)

Jumlah 925 1065 725 2715 Sumber : Data Hipotesis 2. DIAGRAM : Penyajian data dala bentuk diagram berfungsi sebagai suatu potret yang dapat memberikan gambaran serta uraian-uraian dari tempat atau obyek darimana gambar itu diambil. (i) Diagram batang : Bila kita ingin menyajikan penduduk kecamatan Ampenan berdasarkan Pendidikan dalam bentuk diaagram terlihat sebagai berikut : (Sumber Tabel 1.4)

Jenjang Pendidikan

(2.) Diagram Garis : digunakan untuk menggambarkan perkembangan suatu keadaan, bisa naik dan bisa turun. Tabel 2.7. Perkembangan Penanaman Modal di Nusa Tenggara Barat Tahun 1998 – 2002. (US $) Tahun Penanaman Modal 34,6 1998 13,6 1999 1.408,4 2000 4,7 2001 119,4 2002 Sumber : BKPM Penyajian dalam diagram garis terlihat sebagai berikut :

2002 2000

Series1

1998

11 9, 4

4, 7

,4 08

14

13

,6

,6

1996 34

Penanaman Modal (US $)

2004

Tahun

(2) Diagram lingkaran : digunakan untuk membandingkan data dari berbagai kelompok Data yang sama disajikan dalam bentuk lingkaran : (Sumber data pada tabel 1.4) Tak PT/DIVTerjawab Akad/DIII DI/II 0% 5% 1% 1% SLTA TTSD 20% 38% SLTP 13% SD 22%

TTSD SD SLTP SLTA DI/II Akad/DIII PT/DIV Tak Terjawab

(iv) Diagram lambang, yang sesuai dengan namanya maka jumlah satuan tertentu dari obyek yang dikaji digambarkan dalam satu lambang. Biasanya lambang yang dipakai disesuaikan dengan obyek yang dikaji, misalnya penduduk dilambangkan dengan orang, kendaraan bermotor dilambangkan dengan motor atau mobil dan lainnya. (v) Kartogram, menunjukkan eaaan atau fenomena yang dihubungkan dengan tempt kejadian itu berada atau menggambarkan potensi ungggulan yang terdapat pada suatu daerah yang dilambangkan atau diberi simbul-simbul sesuai dengan potensi daerah tersebut yang digambarkan dalam sebuah peta. Secara singkat penyajian data dapat digambarkan :

TABEL

1. 2. 3.

Biasa Kotingensi Distribusi frekuensi a. Relatif

b. Kumulatif c. Kumulatif relatif

GRAFIK

DIAGRAM PENYAJIAN DATA

1. Histogram 2. Poligon 3. Ogive

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Batang Garis Lambang Lingkaran Kartogram(Peta) Pencar Campuran

TENDENSI SENTRAL

1. 2. 3. 4.

Rata-rata Hitung Rata-rata ukur Rata-rata harmonik Modus

KEADAAN KELOMPOK

UKURAN PENEMPATAN

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

1. 2. 3. 4.

Median Kuartil Desil Persentil

1. Rentangan/penyebaran 2. Rentangan antar kuartil 3. Rentangan semi antar kuartil 4. Simpangan rata-rata 5. Simpangan baku 6. Varians 7. Koefesien varians 8. Angka baku

3.2. TABEL FREKUENSI/DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Tabel Frekuensi Tabel frekuensi/distribusi frekuensi adalah suatu ringkasan tabulasi dari kumpulan data yang menunjukkan frekuensi atau banyaknya item yang berada dalam beberapa kelas yang berbeda atau susunan data dalam suatu tabel yang telah diklasifikasikan menurut kelas-kelas tertentu atau katagori-katagori tertentu.. Manfaatnya adalah agar karakteristik data lebih mudah dipahami. Distribusi frekuensi ada bermacam-macam diantaranya : 1. Ditinjau dari nyata tidaknya frekuensi : a. Distribusi frekuensi absolut yaitu suatu jumlah bilangan yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompojk tertentu, yang disusun berdasarkan data apa adanya. b. Distribusi frekuneis relatif adalah suatu jumah persentase yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu yang dibuat secara persentase pada msing-masing kelompok. Contoh kedua distribusi ini terlihat pada tabel 3.4. 2. Ditinjau dari jenisnya : a. Distribusi frekuensi numeric adalah distribusi frekuensi yang didaasarkan pada datadata kontunue atau berbentuk angka-angka, dan dilakukan secara kuantitatif. Contoh : lihat tabel 1 2. b. Distirubsi frekeunsi katagorikal adalah distribusi frekuensi yang didasarkan pada data yang berkelompok dan dilakukan secara kualitatif Contoh : lihat tabel 1.1., 1.3, 1.4, 1.6 3. Ditinjau dari kesatuannya : a. Data frekuensi satuan adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan berapa banyak data pada kelompkk tertentu. Contoh >lihat tabel 1.2 dan tabel 3.4. b. Data frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada kelompok nilai (tingkat nilai) tertentu mulai dari kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut. Contoh : Lihat tabel 3.5 – 3.7 2. Penyusunan Distribusi Frekuensi Penyusunan distribusi frekuensi idadasrkan pada angka-angka yang masih belum tersusun dengan teratur ( raw data), dan biasanya lebih mengarah paa pembentukan tabel frekuensi yang bersifat numerical. Penyusunan distribusi frekuensi mengikuti langkahlangkah dan merupakan bagian-bagian dari tabel frekuensi sebagai berikut : 1. Melakukan array data yaitu menyusun raw data (data mentah) secara teratur dari yang terkecil sampai terbesar 2. Menghitung Jarak (Range) = Nilai Tertinggi – nilai terendah 3. Menentukan Banyaknya Kelas Penentuan suatu kelas distribusi frekuensi sangat subyektif, karena bergantung dari pembuat distribusi frekuensi berdasarkan kebutuhan. Namun pada umumnya pembuata ke.las mengacu pada rumus yang ditemukan oleh STURGES yaitu : K = 1 + 3,32 log n K = banyaknya kelas dan n banyaknya data 4. Menentukan Interval Kelas atau Panjang Kelas Interval kelas merupakan selisih antara nilai tertinggi dengan nilai terendah dibagi dengan banyaknya kelas atau dengan rumus : I =R/K

I = interval Kelas ; R = jarak = nilai tertinggi – nilai terendah 5. Menentukan Batas Kelas (limit class) Batas kelas ada 2 macam yaitu batas kelas bawah ( lower class limit) yang merupakan nilai terendah dalam interval kelas dan batas kelas atas ( upper class limit) yang merupakan nilai tertinggi dalam interval kelas. 6. Menentukan Tepi Kelas ( Class Boundaries) Tepi kelas dalam suatu tabel distribusi frekuensi ada 2 yaitu tepi kelas bawah ( lower class boundries) adalah setengah dari jumlah batas bawah kelas tersebut ditambah dengan setengah dari batas kelas atas dari kelas sebelumnya dan tepi kelas atas ( upper class boundries) adalah setengah dari batas kelas atas dari suatu kelas ditambah dengan batas kelas bawah dari kelas sesudahnya. 7. Nilai tengah kelas (mid point/class mark) Nilai tengah adalah nilai yang letaknya ditengah suatu kelas yang diperoleh dari penjumlahah nilai kelas bawah di tambah nilai kelas atas masing-masing kelas dibagi dengan dua. Contoh. Nilai ujian mata kuliah statistik dari 50 orang mahasiswa dicatat sebagai berikut : 68 84 75 82 68 90 62 86 76 93 73 79 88 73 60 93 71 69 85 75 61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 68 78 82 75 94 77 69 74 68 60 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 Buatlah tabel distribusi frekuensinya Langkah 1. Melakukan array dat yaitu menyusun data dari yang terkecil ke yang terbesar 60 60 60 61 61 62 62 63 65 66 68 68 68 69 69 71 71 72 73 73 74 74 75 75 75 75 75 76 77 78 78 78 79 79 82 82 83 84 85 87 88 88 89 90 93 93 94 95 95 96 Langkah 2. Menghitung jarak dengan rumus R = Nilai tertinggi – nilai terendah R = 96 – 60 = 36 Langkah 3. Menentukan banyaknya kelas K = 1 + 3,32 log n = 1+ 3,32 log 50 = 1 + 3,32 (1,69897) = 1 + 5,64 = 6,64 = 7 kelas Langkah 4. Menentukan interval atau panjang kelas I = R / K = 36/7 = 5,14 = 5 dalam perhitungan ini dijadikan 6, supaya semua data tercakup dalam kelas Langkah 5. Memasukkan masing-masing frekuensi ke dalam kelas melalui tabel frekuensi. Sebelum memasukkan data-data ke dalam tabel, ditentukan batas kelas, untuk nilai terendah (60) merupakan batas kelas bawah dari kelas ke 1 sedangkan batas kelas atas sesuai dengan interval kelas, dalam hal ini (65), begitu seterusnya,

Tabel 3.1. Tabulasi Nilai Ujian Statistik 50 orang Mahasiswa pada Fakultas “X” No Kelas -kelas Frekuensi Jumlah frekuensi kelas (turus) 9 1 60 – 65 ||||| |||| 8 2 66 – 71 ||||| ||| 12 3 72 – 77 ||||| ||||| || 8 4 78 – 83 ||||| ||| 6 5 84 – 89 ||||| | 6 6 90 – 95 |||| | 1 96 - 101 7 | Jumlah 50 50 Setelah data-data dimasukkan ke dalam masing-masing kelas, dan tidak ada yang tertinggal, selanjutnya tabel frekuensi seperti terlihat berikut. Tabel 3.2. Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistik 50 Orang Mahasiswa pada Fakultas “X” Nilai statistik Jumlah Mahasiswa 9 60 – 65 8 66 – 71 12 72 – 77 8 78 – 83 6 84 – 89 6 90 – 95 1 96 - 101 Jumlah 50 Langkah 6 dan 7. Menentukan Tepi kelas dan nilai tengah kelas Tabel 3.3. Batas Kelas, Tepi kelas bawah, tepi kelas atas dan Nilai Tengah Distribusi Frekuemsi Nilai Ujian Statistik 50 Orang Mahasiswa pada Fakultas “X” Nilai statistik Jumlah Tepi kelas Tepi kelas Nila tengah Mahasiswa bawah – 0,5 atas + 0,5 62,5 65,5 59,5 9 60 – 65 68,5 71,5 65,5 8 66 – 71 74,5 77,5 71,5 12 72 – 77 80,5 83,5 77,5 8 78 – 83 86,5 85,5 83,5 6 84 – 89 92,5 95,9 89,5 6 90 – 95 98,5 101,5 95,5 1 96 - 101 Jumlah 50 Cara mencari tepi kelas : - Tepi kelas bawah = ½ (60 + 59) = 59,5 - Tepi kelas atas = ½ (65 + 66) = 65,5 Cara mencari nilai tengah : - kelas 1 = ½ (60 +65) = 62,5 - kelas 2 = ½ (66 + 71) = 68,5 dan seterusnya 3. Syarat-syarat Tabel Frekuensi Yang baik Tabel frekuensi dikatakan baik apabila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. 1. Hendaknya memuat nomr tabel, judul table dan satuannya. 2. Banyaknya kelas sedapat mungkin menggunakan aturan Sturges, sebaiknya banyaknya kelas minimal 5 dan tidak lebih dari 20 3. Hindari adnya kelas terbuka, karena tidak ada batasnya contoh kelas < 20 atau > 70 4. Hindari adanya kelas interval yang tidak sama

5. Hindari adanya batas kelas yang sama 6. Hendaknya menyebutkan sumber data, sebagai panduan dasar bila ada kesalahan data 7. Keterangan pada tabel sebaiknya dibuat jelas agar pembaca tidak bingung. Bagi tabel-tabel yang bersifat katagorikal, tidak dituntut adanya kelas,inteval kela,s tepi kelas maupun nilai tengah kelas, karena tabel ini menggunakan katagori-kataogri yang sudah berlaku umum seperti yang telah digunakan oleh pemerintah dalam berbagai laporan. 4. Distribusi Frekuensi Relatif Distribusi frekuensi relatif merupakan bagian dari distribusi frekuensi yang nyata, dinyatakan dalam satuan persentase pada kelompok-kelompok tertentu. Frekuensi relatif dapat dihitung dengan rumus : Fr = Frekuensi absolut tiap kelas x 100 % Seluruh frekuensi

Contoh . Tabel 3.4. Tabel Distribusi Frekuensi Absolut dan Relatif Nilai Ujian Statistik 50 Orang Mahasiswa pada Fakultas “X” Nilai statistik Distribusi absolut = fi Distribusi relatif (%) 9/50 x 100 % = 18,00 9 60 – 65 8/50 x 100 % = 16,00 8 66 – 71 12/50 x 100 % = 24,00 12 72 – 77 8/50 x 100 % = 16,00 8 78 – 83 6/50 x 100 % =12,00 6 84 – 89 6/50 x 100 % = 12,00 6 90 – 95 1/50 x 100 % = 2,00 1 96 - 101 Jumlah 50 100,00 5. Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada kelompok nilai (tingkat nilai) tertentu mulai dari kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut atau suatu tabel frekuensi yang dapat menunjukkan jumlah frekuensi yang terletak di atas atau di bawah suatu nilai tertentu dalam suatu interval kelas. Untuk menyusun distribusi frekuensi kumulatif, penggolongan datanya dapat digunakan batas kelas atau tepi kelas. Frekwensi kumulatif adalah penjumlahan frekuensi setiap kelas interval sehingga jumlah frekuensi terakhir jumlahnya sama dengan jumlah data observasi. Frekeunsi kumulatif terdiri dari frekuensi kumlatif kurang dari dan frekuensi kumulatif lebih dari. a. Distribusi Frekuensi Kumulatif “kurang dari” (lass than) Frekuensi jenis ini menunjukkan jumlah frekuensi yang kurang dari nilai tertentu yang diperoleh dari menjumlahkan frekuensi baik mutlak maupun relatif pada kelas-kelas sebelumnya. Contohnya kita ambil data-data yang ada pada tabel 3.4.

Tabel 3.5. Distribusi kumulatif kurang dari nilai statistk 50 orang mahasiswa pada Fakultas ”X” dengan menggunakan batas kelas Nilai statistik Banyaknya Mahasiswa (mutlak) Persentase(relatif=%) 0,00 Kurang dari 60 0 18,00 9 Kurang dari 66 34,00 17 Kurang dari 72 54,00 29 Kurang dari 78 74,00 37 Kurang dari 84 86,00 43 Kurang dari 90 98,00 49 Kurang dari 96 100,00 50 Kurang dari 102 Tabel 3.6. Distribusi kumulatif kurang dari nilai statistk 50 orang mahasiswa pada Fakultas ”X” dengan menggunakan tepi kelas. Nilai statistik Banyaknya Mahasiswa (mutlak) Persentase (relatif =%) Kurang dari 59,5 0 0,00 Kurang dari 65,5 9 18,00 17 Kurang dari 71,5 34,00 Kurang dari 77,5 29 54,00 Kurang dari 83,5 37 74,00 43 Kurang dari 89,5 86,00 49 Kurang dari 95,5 98,00 Kurang dari 101,5 50 100,00 b. Distribusi Frekuensi Kumulatif “Lebih dari “ (More than) Frekuensi jenis ini menunjukkan jumlah frekuensi yang lebih dari nilai tertentu yang diperoleh dari menjumlahkan frekuensi baik mutlak maupun relatif pada kelas-kelas sebelumnya. Contohnya kita ambil data-data yang ada pada tabel 3.4. Tabel 3.7. Distribusi kumulatif kurang dari nilai statistk 50 orang mahasiswa pada Fakultas ”X” dengan menggunakan batas kelas Nilai statistik Banyaknya Mahasiswa (mutlak) Persentase(relatif=%) 60 atau lebih 100,00 50 41 82,00 66 atau lebih 33 66,00 72 atau lebih 21 42,00 78 atau lebih 13 26,00 84 atau lebih 7 14,00 90 atau lebih 1 2,00 96 atau lebih 0 0,00 102 atau lebih Tabel 3.8. Distribusi kumulatif kurang dari nilai statistk 50 orang mahasiswa pada Fakultas ”X” dengan menggunakan tepi kelas Nilai statistik Banyaknya Mahasiswa (mutlak) Persentase(relatif=%) 59,5 atau lebih 50 100,00 65,5 atau lebih 41 82,00 33 71,5 atau lebih 66,00 21 77,5 atau lebih 42,00 83,5 atau lebih 13 26,00 89,5 atau lebih 7 14,00 95,5 atau lebih 1 2,00 0 101,5 atau lebih 0,00

Jml. MAhasiswa

6. GRAFIK Data yang sudah tersusun dengan baik dalam bentuk tabel akan lebih baik bila disajikan dalam bentuk lain seperti dalam bentuk diagram seperti yang disajikan di atas. Disamping itu dapat juga disajikan dalam bentuk grafik seperti dalam bentuk Histogram, Poligon maupun Ogive. a. Histogram Histogram adalah sebuah penyajian grafik dari suatu distribusi frekuensi dan dibangun dengan diagram balok atau segi empat (bar) pada setiap interval. 14 12 10 8 6 4 2 0

59,5 - 65,5 65,5 - 71,5 71,5 - 77,5 77,5 - 83,5 83,5 - 89,5 89,5 - 95,5 1

95,5 - 101,5

Nilai statistik

b. Poligon Poligon adalah sebuah penyajian grafik suatu distribusi frekuensi dalam bentuk garis (line) pada setiap nilai tengah kelas. Bentuknya seperti terlihat berikut.

Jml. MAhasisw

POligon 15 10 5 0 62,5

68,5

74,5

80,5

86,5

92,5

98,5

Nilai tengah

c. Ogive Ogive adalah sebuah grafik yang menunjukkan frekeuensi kumulatif dari setiap kelas. Cara menggambarnya dengan mengambil data pada tabel 3.6 dan 3.8 Kurva terlihat berikut.

Ogive

Jml. Mahasiswa

60 50 40 30 20 10 0 59,5 65,5 71,5 77,5 83,5 85,5 95,9 101,5 Nilai Statistik

BAB IV. UKURAN NILAI PUSAT ( TENDENCY CENTRAL) MATERI : a. Rata-rata (Mean), Median dan Modus. b. Menghitung Rata- hitung, rata-rata tertimbang, Median dan Modus c. Menjelaskan manfaat dan kegunaan dari ukuran nilai sentral serta kelemahannya. 4.1. Ukuran Nilai Pusat Ukuran nilai pusat adalah suatu rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Ukuran nilai pusat disebut juga ukuran pemusatan yaitu nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data, yang menunjukkan pusat nilai data. Disebut nilai pusat karena pada umumnya berlokasi dibagian tengah atau pusat dari suatu distribusi. Ukuran nilai pusat sangat bermanfaat dalam menggambarkan sebuah data, yang selanjutnya akan digunakan untuk analisis dan intepretasi data. Suatu nilai dapat disebut nilai pusat bila memenuhi syarat : 1. Dapat mewakili rangkaian data 2. Perhitungannya arus didasarkan pada seluruh data 3. Perhitungananya harus objektif 4. Petrhitungannya harus mudah 5. Dalam suatu rangkaian data hanya ada satu nilai sentral Dalam statistk dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat, namun yang paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung, (arithmatic mean), rata-rata ukur ( geometric mean), rata-rata tertimbang, median dan modus yang dalam sajian ini akan dibahas satu persatu. 4.1.1. RATA-RATA HITUNG ( ARTIMATIC MEAN) Rata-rata hitung (arithmatic mean) atau disebut mean (rata-rata) saja adalah jumlah nilai data secara keseluruhan dibagi dengan banyaknya data tersebut. Rata-rata ini merupakan ukuran nilai pusat yang banyak dipergunakan baik dalam penelitian ilmiah maupun dalam kehidupan sehari-hari. Serangkaian data yang diperoleh bisa dari populasi yang dilambangkan dengan µ (myu) dan data dari sampel yang dilambangkan dengan x ( x bar ). Rata-rata hitung atau ukuran nilai lain yang didasarkan pada data sampel disebut statistik sampel yang merupakan ciri/karakteristik yang dapat diukur dari suatu sampel, sedangkan suatu ukuran yang menjelaskan populasiseperti rata-rata hitung disebut dengan parameter. Perhitungan rata-rata dari serangkain data dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu : 1. Rata-rata hitung sederhana ( Simple arithmatic mean) 2. Rata-rata hitung tertimbang ( weighted arithmatic mean). 1. Rata-rata Hitung Sederhana (Simple arithmatic mean) a. Data Yang Belum Dikelompokkan (Ungrouped data) Data yang belum dikelompokkan disebut juga dengan data tunggal yang dipergunakan bila jumlah datanya sedikit. Rumusnya : Ø Rata- rata sampel : x = Σxi/n i = 1,2,3 ………n Dimana : x = rata-rata sampel ; n = ukuran sampel (banyaknya anggota sampel) xi = data yang ke-i (pengamatan yang ke i) Ø Rata-Rata Populasi : µ = Σxi/N i = 1,2,3 ………N

Dimana µ = rata-rata populasi ; N = ukuran populasi (banyaknya anggota populasi) Contoh. 1. Terdapat 10 orang mahasiswa yang mengikuti mata kuliah Statistik Ekonomi I dengan sebaran nilai ujian yang diperoleh : 80 70 75 70 75 85 65 80 75 65, carilah nilai rata-ratanya. Jawab : _ x = Σxi/n = 80 + 70 + 75 + 70 + 75 + 85 + 65 + 80 + 75 + 65 = 735 10 10 = 73,5 2. Seorang mahasiswa yang ingin mengetahui umur penduduk desa Senanghati yang berjumlah 150 orang. Dari jumlah tersebut diambil secara acak 30 orang untuk diketahui umurnya dengan data-data yang diperoleh sebagai berikut : 60 45 35 30 25 26 29 37 51 43 55 32 40 35 36 61 50 44 59 28 24 47 32 30 55 60 29 36 44 32 Hitunglah rata-rata hitung dari umur penduduk tersebut. Jawab : _ x = Σxi/n = 1210/30 = 40,33 tahun = 40 tahun 3. Jumlah seluruh penduduk Kota Mataram berdasarkan Sensus Penduduk Tahun 2000 yang dirinci perkecamatan terlihat dalam tabel berikut. Tabel 4.1. Jumlah Penduduk Kota Mataram Per Kecamatan Hasil SP 2000 Kecamatan Jumlah (jiwa) 99.087 Ampenan 102.818 Mataram 113.833 Cakranegara Sumber : BPS, NTB, 2001. Berdasarkan data tersebut, hitunglah rata-rata hitung penduduk kota Mataram bagi 3 Kecamatan tersbut. Jawab : µ = ΣXi/N = 315.738/3 = 105.246 jiwa. 4. Seorang pengusaha memiliki 10 kios yang tersebuar di tiga kecamatan di Kota Mataram. Besarnya pendapatan yang diperoleh pengusaha tersebut dalam sebuian terlihat dalam tabel berikut. Tabel. 4.2. Pendapatan Pengusaha dari Usaha Kios Di Kota Mataram No Kecamatam Jumlah Kios Rata-rata Jumlah (ni) Pendapatan Pendapatan (Rp000= fi)) (Rp000= nifi) 500 100 5 Ampenan 1 450 150 3 Mataram 2 400 200 2 Cakranegara 3 Jumlah Σni = 10 Σnifi = 1750 Sumber : Data hipotesis. _ X = Σ ni fi / Σni = 1750/10 Rp 175.000 / bulan 2. Data yang Sudah dikelompokkan : Data berkelompok adalah data yang telah dikelompokkan dalam kelas-kelas yang berbeda atau dengan kata lain dta yang telah tersusun dalam bentuk tabel frekuensi. Jika data sudah dikelompokkan, rata-ratanya dapat didekati dengan menganggap bahwa setiap niai pengamatan di dalam suatu kelas mempunyai sebuah nilai yang sama dengan titik tengah kelas ( mid point).

Perhitungan rata-rata data berkelompok dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu : 1. Cara panjang ( long method) 2. Cara pendek (short method) v Cara Panjang. Perhitungan rata-rata dengan cara ini beranggapan bahwa nilai tengah dari setiap kelas dalah nilai rata-rata dari semua individu yang termuat dalam kelas tersebut. Titik tengah (mid point) tiap kelas diperoleh dengan membagi dua dari jumlah batas kelas bawah( lower class limit) dan batas atas kelas (upper class limit). Hal ini dilakukan untuk menghindari kemungkinan data yang ada pada tiap interval mempunyai nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari titik tengah. Rumus : x = Σfimi/n Ø Rata- rata sampel i = 1,2,3 ………n Dimana : x = rata-rata sampel ; n = ukuran sampel (banyaknya anggota sampel) xi = data yang ke-i (pengamatan yang ke i) Ø Rata-Rata Populasi : µ = Σfim/N i = 1,2,3 ………N Dimana µ = rata-rata populasi ; N = ukuran populasi (banyaknya anggota populasi) Contoh. 1. Tabel berikut menunjukkan besarnya upah per bulan yang diterima oleh pekerja anak yang diambil secara acak pada tahun 1999 Tabel 4.3. Upah Pekerja Anak di Indonesia Per bulan pada Tahun 1999 Sebaran Upah (Rp 000/bulan) Jumlah pekerja anak (jiwa) 67.516 100 – 199 23.754 200 – 299 6.017 300 - 399 Sumber, Mulyadi, 2003, diolah Hitunglah rata-rata upah yang diterima pekerja anak per bulan pada tahun 1999 Jawab. Tabel 4.4. Cara menghitung Rata-rata hitung upah pekerja anak di Inodnesia per bulan tahun 1999 Sebaran Upah Jumlah pekerja Titik tengah fi x mi (Rp 000/bulan) anak (jiwa) = fi (mi) 100 – 199 67.516 149,5 10.093.642 200 – 299 23.754 249,5 5.926.623 300 - 399 6.017 349,5 21.029.415 Σni = 97.287 Σfimi = 18.123.206,5 x = Σfimi/n = 18.123.206,5/97.287 = Rp. 186.286/ bulan . Jadi rata-rata besarnya upah yang diterima pekerja anak pada tahun 1999 sebesar Rp. 186.286,- per bulan. v Cara Pendek Menghitung rata-rata hitung dengan cara pendek, mengikuti langkah-langkah sebagai berikut : 1. Hitung nilai tengah untuk masing-masing kelas (mi) 2. Pilih salah satu nilai tengah sebagai rata-rata anggpan ( Xo), sebaiknya dipilih nilai tengh dari kelas yang paling banyak frekuensonya atau kelas yang terletak di tengah-tengah dan diberi nilai 0.

3. Pada nilai tengah yang lebih kecil dari Xo diberi tanda negatif sedang yang lebih tinggi diberi tanda negatif sebagai deviasinya. 4. Kalikan deviasi (d) pada masing-masing kelas dengan fi dan jumlahkan hasilnya (Σd) 5. Bagi hasil tersebut dengan jumlah frekuensinya dan kalikan dengan interval kelas 6. Jumlahkan hasilnya pada Xo, atau kurangkan jika negatif. Rumus : - Rata-rata hitung sampel :

- Rata-rata hitung populasi :

x = xo + Σfidi x i n µ = xo + Σfid i x i N

x = rata2 hitung

sampel ;

n = ukuran sampel ; xo = rata-rata anggapan fi = frekuensi kelas – i di = deviasi kelas-i i = interval kelas µ = rata2 hitung populasi dan N = ukuran populasi

Contoh. 4.5. Cara menghitung rata-rata Pendapatan pekerja anak dengan cara pendek. Jumlah pekerja Titik tengah di fi x di Sebaran Upah (Rp 000/bulan) anak (jiwa) = fi (mi) - 67.516 -1 149,5 67.516 100 – 199 0 0 249,5 23.754 200 – 299 6.017 +1 349,5 6.017 300 - 399 Σni = 97.287 Σfimi = 61.499 _ x = xo + Σfidi x c = 249,5 + -61499 x 100 n 97.287 = 249,5 – 63,21 = Rp. 186.286.-. 2. Rata-Rata Hitung Tertimbang (Weighted Aritmatic mean) Pada dasarnya, rata-rata tertimbang hampir sama dengan rata-rata hitung, namun perbedaannya yaitu rata-rata tertimbang digunakan apabila setiap data tidak sama kuantitasnya. Rata-rata tertimbang dilakukan terhadap suatu barang yang mempunyai arti penting dibandingkan dengan barang yang lainnya. Perhitungan rata-rata tertimbang dilakukan dengan mengalikan tiap-tiap data yang akan dicari rata-ratanya dengan timbangan yang ditentukan. Rumusnya : dimana : xw = rata-rata hitung tertimbang xw = Σ xiwi xi = data/pengamatan ke-I Σ wi wi = timbangan untuk data ke –i Ø Data Yang Belum Dikelompokkan Pada dasarnya ada 2 cara untuk memberikan faktor penimbang yaitu : 1. Cara Subyektif 2. Cara Obyektif 3. Secara Subyektif : didasarkan keinginan dan pandangan masing-masing orang sehingga pemberian timbangan terhadap barang yang sama berbeda-beda, sesuai dengan arti penting barang menurut pandangan individu tersebut. Contoh . Harga persatuan barang untuk 5 barang kebutuhan pokok di Kota Mataram pada tanggal 21 Maret 2006 tampak dalam tabel berikut.

Tabel 4.6. Harga 5 Jenis Barang Kebutuhan Pokok Di Kota Mataram Bulan Maret Tahun 2006 Jenis Barang Harga(Rp/kg) 3.500 Beras C4 6.200 Gula Pasir 5.200 Minyak Goreng 1.700 Jagung 3.850 Tepung Terigu Sumber : Lombok Post, 21 Maret 2006 Hitunglah rata-rata tertimbang dari harga 5 jenis barang kebutuhan pokok di Kota Mataram. Jawab Tabel 4.7. Cara menghitung rata-rata tertimbang harga 5 barang kebutuhan pokok di Kota Mataram Jenis Barang Harga(Rp/kg) = xi Timbangan (wi) xiwi 42.000 12 3.500 Beras C4 49.600 8 6.200 Gula Pasir 36.400 7 5.200 Minyak Goreng 10.200 6 1.700 Jagung 15.400 4 3.850 Tepung Terigu Jumlah 37 153.600 xw = Σ xiwi = 153.600 = Rp. 4.151 Σ wi 37 Jadi rata-rata hitung tertimbang harga per kg 5 barang kebutuhan pokok di Kota Mataram pada tanggal 21 Maret 2006 adlah Rp. 4.151,- sedikit lebih tinggi dari harga beras yang memiliki arti lebih penting bagi konsumen. 2. Secara obyektif: Cara ini melakukan faktor penimbang didasarkan pada jumlah konsumsi barang yang mempunyai arti penting akan dikonsumsi dalam jumlah yang lebih besar sedangkan yang kurang penting dikonsumir dalam jumlah yang kecil. Contoh : 1. Mengacu pada harga-harga 5 kebutuhan pokok pada tabel 4.4, hitunglah rata-rata tertimbang dengan cara obyektif. Jawab Tabel 4.8. Cara Menghitung Rata-rata harga tertimbang 5 barang kebutuhan Pokok di Kota Mataram Jenis Barang Harga(Rp/kg) = xi Kuantitas (wi) xiwi Beras C4 3.500 10 35.000 Gula Pasir 6.200 2 12.400 Minyak Goreng 5.200 1 5 200 Jagung 1.700 1 1.700 Tepung Terigu 3.850 2 7.700 Jumlah 16 62.000 Rumusnya :

Rumusnya :

xw = Σ xiwi /Σ wi = 62.000/16

= Rp. 3.875

2. Tabel 4.9. Data jumlah mobil yang terjual per hari pada Perusahaan ‘X” Jumlah Mobil yang terjual (x) Jumlah hari (w) Xiwi 0 3 0 19 19 1 96 48 2 45 15 3 20 5 4 90 180 Sumber : Siagian, dkk, 2002 Rumusnya : xw = Σ xiwi/Σ wi = 180/90 = 2 mobil/hari Ø Data Yang Sudah Dikelompokkan : Pada data berkelompok, sebagai dasar penimbang adalah frekuensi ( fi = wi) dan rumusnya sama dengan rumus di atas . Perhatikan contoh berikut Tabel 4.10. Cara menghitung rata-rata tertimbang Upah pekerja anak di Indonesia per bulan pada tahun 1999 Sebaran Upah Jumlah pekerja Titik tengah fi x mi (Rp 000/bulan) anak (jiwa) = wi (mi) 10.093.642 149,5 67.516 100 – 199 5.926.623 249,5 23.754 200 – 299 21.029.415 349,5 6.017 300 - 399 Σwi = 97.287 Σwimi = 18.123.206,5 _ x = Σwiimii/Σwi = 18.123.206,5/97.287 = Rp. 186.286/ bulan 4.1.2. RATA-RATA HITUNG GABUNGAN Rata-rata hitung gabungan dapat dihitung dengan rumus : dimana : x = rata-rata hitung sampel; x = Σnixi ni = ukuran sampel yang ke-I dan Σni xi = rata-rata hitung sampel ke-I Contoh. Hasil penelitian terhadap 70 desa sampel mengenai hasil produksi palawija per hektar dan satuan kuintal di 6 daerah penelitian, disajikan dalam tabel berikut. Tabel 4.11. Hasil Produksi Rata-rata Palawija pe Hektar dalam Kuintal di 6 Daerah Penelitian Pada Tahun 1995 Daerah Penelitian Banyak desa sampel Hasil produksi Rata-rata (kw/ha) 80,24 15 1 75.01 10 2 43,43 20 3 65,43 5 4 84,36 8 5 91,43 12 6 70 Sumber : Natawirawan, 2001 Berdasarkan data yang tercantum dalam tabel tersebut, hitunglah rata-rata hitung hasil produksi palawija per hektar di daerah tersebut

Jawab. Tabel 4.12. Cara menghitung rata-rata hitung Hasil Produksi Rata-rata Palawija pe Hektar dalam Kuintal di 6 Daerah Penelitian Pada Tahun 1995 Daerah Banyak desa sampel Hasil produksi -rata Nixi Penelitian (ni) (kw/ha) = xi 1203,6 80,24 15 1 750,1 75.01 10 2 848,6 43,43 20 3 327,7 65,43 5 4 674,88 84,36 8 5 1097.16 91,43 12 6 70 4901,94 Sumber : Natawirawan, 2001 Berdasarkan angka-angka dalam tabel dimasukkan ke dalam rumus : _ _ x = Σnixi = 4901,94 = 70,03 Σni 70 Jadi rata-rata hitung hasil produksi palawija per hektar di 70 desa sampel adalah 70,03 kuintal. 4.1.3. RATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN) Rata-rata ukur (geometric mean) dipergunakan untuk mengetahui perubahan kuantitas pada setiap priode dan mengetahui besarnya perubahan tersebut atau ratarata ratio yang suku-sukunya berukuran kira-kira tetap. Rata-rata ukur dari sekumpulan nilai pengamatan X1, X2,X3, ..... Xn adalah sama dengan hasil kali perkalian nilai-nilai tersebut pangkat satu dibagi dengan jumlah pengamatannya. Gm =

n

X 1 x X 2 x X 3 .... x Xn)

yang bermula dari

Gm = (X1 x X2 x X3 ......x Xn)1/n Atau dapat dicari dengan pendekatan logaritma : Log Gm = Log X1 + Log X2 + Log X3 + ..... + log Xn n Log Gm = Σ Log X n Gm = antilog Σ Log X n Biasanya rumus ini dipergunakan apabila data-data berbentuk persentase, angka Indeks atau rata-rata relatif. Ø Untuk data yang belum dikelompokkan Contoh 1..Diketahui suku bunga kredit investasi selama 5 tahun yaitu dari tahun 1998 – 2002 adalah sebagai berikut : 23,16 ; 22,93 ; 16,59 ; 17,90 ; dan 18,01. Hitunglah rata-rata ukur dari tingkat bunga kredit investasi tersebut. Jawab. Diketahui X1 = 23,16 ; X2 = 22,93 : X3 = 16,59 : X4 = 17,90 dan X5 = 18,01 Gm = 5 ( 23,16)( 22,93)(16,59)(17,90)(18,01) =

5

2840244,58 atau (2840244,58)1/5

= 19,53 % atau dengan pendekatan logaritma Tabel 4.13. Suku Bunga Kredit Investasi di Indonesia tahun 1998 - 2002 Tahun Suku bunga Kredit Investasi Logaritma (%) 1998 23,16 1.3647 1999 22,93 1.3604 2000 16,59 1.2198 2001 17,90 1.2529 2002 18,01 1.2555 6.4533 Sumber : Majalah Jurnal, Mei 2002. Log Gm = Σ Log X = 6.4533/5 = 1,29066 n Gm = antilog 1,29066 = 19,53 % Jadi rata-rata ukur tingkat bunga kredit investasi adalah 19,53 % per tahun 2. Jumlah ruma tangga hasil sensus pertanian 1993 di Nusa Tenggara Barat adalah 804.700 RT sedangkan pada tahun 2003 berdasarkan sensus pertanian 2003 menjadi 1.070.500 RT. Hitunglah rata-rata ukur pertumbuhan rumah tangga selama kurun waktu 1993 – 2003. Rumus :Gm = r = n −1 Xn / Xo −1 , rumus ini biasanya dipergunakan untuk menghitung pertumbuhan yang bermula dari Xn = Xo (1 +r)n Diketahui : Xn = 1070.500 dan Xo = 804.700 n = 11 (selang waktu tahun 1993 – 2003 ada 11 tahun, meliputi tahun 1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999, 2000,2001,2002,2003) sehingga n = 11- 1 = 10 sehingga : Gm = 10 1070500 / 804700 − 1 = 10 1,3303 −1 = (1,3303)1/10 - 1 = ( 1,3303)0,1 – 1 = 1,0289 – 1 = 0,0289 x 100 % = 2,89 % Jadi pertumbuhan (r) rumah tangga di Nusa Tenggara Barat selama tahun 1993 – 2003 rata-rata 2,89 persen per tahun. v Rata-Rata Ukur Untuk Data Yang Berkelompok Jika data telah dikelompokkan maka rata-rata ukur dapat dihitung dengan rumus : Gm = n Xi fi X 2 f 2 X 3 f 3.....Xn fn Keterangan : n = Σf dan X = titik tengah tiap-tiap kelas atau dalam bentuk Log GM = Σ f Log X / n Contoh . Hitunglah rata-rata umur penduduk kota Mataram dari yang berumur 5 tahun sampai dengan 29 tahun seperti yang terlihat pada tabel berikut Tabel 4.14. Kelompok Umur Penduduk Kota Mataram dari 5 – 29 tahun, hasil SP 2000 Kelompok Umur Jumlah Penduduk (Jiwa) 5–9 32.465 10 – 14 32.618 15 - 19 37.880 20 – 24 37.099 25 – 29 30.445 Jumlah 170.507

Jawab No

Titik Log X Jumlah tengah (x) Penduduk (Jiwa)= fi 0.8451 7 32.465 5–9 1 1,0792 12 32.618 10 – 14 2 1,2304 17 37.880 15 - 19 3 1,3424 22 37.099 20 – 24 4 1,4313 27 30.445 25 – 29 5 Jumlah 170.507 Jadi Log GM = Σ f Log X = 202.622,68 = 1,18835 n 170.507 Gm = antilog dari 1,18835 = 15,43 tahun = 15 tahun Jadi rata-rata kelompok umur dari jumlah penduduk kota mataram yang 29 tahun sebesar 15 tahun 4.1.4. RATA-RATA HARMONIS (HARMONIC MEAN) Kelompok Umur

F log X

27.436,17 35.201,34 46.607,55 49.801,69 43.575,93 202.622,68

berumur 5 –

Rata-rata harmonis adalah data dibagi dengan jumlah satu persetiap data atau ratarata hitung dari kebalikan nilai pengamatan. Ø Rata-rata Harmonis data yang belum dikelompokkan dapat dicari dengan rumus : RH =

n 1/X1 + 1/X2 + 1/X3 + ....+ 1/Xn X = harga.nilai tiap-tiap data n = banyaknya data Contoh : Seorang mahasiswa memiliki uang Rp. 20.000,- dipergunakan untuk membeli buku yang harganya 1000,- setiap buku, Rp. 20.000,- untuk membeli buku seharga Rp. 1.250,- setiap buku, Rp. 20.000,- untuk membeli buku seharga Rp. 2.000,- setiap buku. Tunjukkabn bahwa rata-rata harmonis dari 1,2,3 akan memberikan dengan tepat harga rata-rata yang dibayarkan untuk buku-buku tersebut. Jawab RH = 3 = 3 = 3 = Rp.1.304 1/1000 + 1/1250 + 1/2000

20/20000 + 16/20000 + 10/20000

46/20000

4.2. MEDIAN (Med) Median adalah data yang posisinya berada paling tengah setelah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau membagi seluruh jumlah data ke dalam dua bagian yang sama besar, dimana setengahnya akan ebih kecil atau sama besar dari data tersebut, sedangkan setengahnya lagi akan lebih besar atau sama dengan data tersebut. 2. Cara Perhitungan Median a. Mencari Median data Yang Belum dikelompokkan Pada berbagai pengamatan, biasanya dapat dapat dalam jumlah ganjil maupun genap. Bila jumlah datanya ganjil biasanya data yang beraa pada paling tengah setelah diurutkan merupakan median atau ½ (n +1) dan bila datanya genap, median ditentukan dengan menunjukkan jumlah dua angka ditengah dibagi dengan 2 atau ½ (nk + nk-1). Contoh 1. Bila jumlah datanya ganjil, jika diketahui data : 5 ; 2 ; 4 ; 6 ; 3 ;7 ; 3 ;2 ;4 Dari data tersebut terlebih dahulu disusun dari terkecil sampai terbesar :

2 2 3 3 4 4 5 6 7, sehingga mediannya adalah angka paling tengah adalah 4 Contoh 2. Bila jumlah datanya genap, ; jika diketahui data 5 2 4 6 3 7 3 2 4 5 Dari data tersebut terlebih dahulu disusun dari terkecil sampai terbesar : 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7, maka mediannya adalah Me = ½(n5 + n6 ) = ½ ( 4 + 4) = 8/2 = 4 b. Mencari Median Data Yang Sudah Dikelompokkan Mencari median data yang sudah dikelompokkan mengikuti tahapan berikut : 1. Menentukan Letak Median ( LMed) Lmed = ½ n 2. Menghitung Nilai Median : Med = Tkb + (1/2n – JFkm) x I Ft Keterangan : Med = Median Tkb = Tepi kelas bawah sebelum median JFkm = Jumlah frekuensi kumulatif sebelum median Ft = Frekuensi total pada kelas median dan i = interval Contoh. Berikut ini disajikan data hipotesis distribusi freukuensi pengeluaran perbulan 70 rumah tangga di Kecamatan Ampenan (Rp/000) No Kelas Pengeluaran Banyaknya rumah tangga (fi) 5 100 –129 1 7 130 – 159 2 12 160 – 179 3 18 190 – 219 4 13 220 – 249 5 9 250 – 279 6 6 280 – 319 7 Jumlah 70 Carilah nilai mediannya.

Jawab Tabel. 4.15 Distribusi Frekuensi Pengeluaran Perbulan 70 rumah tangga di Kecamatan Ampenan (Rp/000) No Kelas Pengeluaran Banyaknya rumah Tepi kelas Frekuensi tangga (fi) bawah kumulatif 0 99,5 1 100 –129 5 5 129,5 2 130 – 159 7 12 159,5 3 160 – 179 12 24 189,5 4 190 – 219 Median 18 219,5 42 5 220 – 249 13 249,5 55 6 250 – 279 9 279,5 64 7 280 – 319 6 319,5 70 Jumlah

70

Langkah-langkah penyelesaian : 1. Menentukan Letak Median : Lmed = ½ n = ½ x 70 = 35 2. .Mencari nilai Median Med = Tkb + (1/2n – JFkm) x I Ft = 189,5 + (35 – 24)/18 x 30 = 189,5 + 330/18 = 189,5 + 18,33 = 207,83 = 208 Kebaikan dan Kelemahan Median 1. Kebaikan Median - Median dapat segera diperoleh tanpa megetahui seluruh nilainya pada data – data yang telah tersusun teratur - Dalam distri busi frekuensi dengan kelas terbuka dapat kita hitung - Median lebih tidak dipengaruhi oleh bilangan – bilangan yang ekstrem besar maupun ekstrem kecil - Simpangan ( deviasi ) absolut median lebih kecil daripada deviasi yang diukur dari manapun juga 2. Kelemahan Medium - Untuk menghitung median harus menyusun data, pada data yang besar tidak praktis - Median kurang dikenal daripada rata – rata - Median tidak dapat dipergunakan untuk perhitungan lebih lanjut - Pada distribusi disket kadang – kadang tidak ada median 4.3. MODUS (MODE = Mod) Modus menunjukkan jumlah data yang paling banyak muncul atau data yang jumlah frekuensinya paling banyak bagi data kuantitatif, sedangkan bagi data kualitatif modus menunjukkan sifat atau keadaan yang paling banyak terjadi. Ada kemungkinan

sekelompok data mempunyai satu modus, dua modus atau lebh, bahkan tidak mempunyai modus. a. Modus Data Yang Belum Dikelompokkan Bagi data yang belum dikelompokkan, data-data yang tersaji harus dilakukan langkah-langkah berikut : a. Data disusun dari yang terkecil ke yang terbesar b. Hitung frekuensi munculnya nilai data c. Tentukan modus yaitu data yang memiliki frekuensi terbanyak Contoh : Hitunglah Modus dari data berikut : 35 37 40 43 48 48 48 50 53 55 Jawab : Data tersebut telah disusun dari yang terkecil ke yang terbesar, dan terlihat bahwa yang memiliki frekuensi terbanyak muncul sehingga modus adalah 48 . b. Modu s Data Yang Sudah Dikelompokkan Untuk data yang telah dikelompokkan, modus beraa pada kelas yang frekuensinya terbanyak. Langkah-langkah menentukan modus : 1. Tentukan Letak Modus (LMod) pada kelas yang memiliki frekuensi tertinggi 2. Menghitung nilai modus dengan rumus : Mod = TBk + I (di/d2 +d1) Mod= Modus TBk = Batas bawah kelas yang mengandung nilai modus i = interval kelas d1 = selisih antara frekuensi kelas terdapatnya modus dengan frekuensi kelas sebelumnya d2 = selisih antara frekuensi kelas terdapatnya modus dengan frekuensi kelas sesudahnya Contoh : Hitunglah modus dari pengeluaran 70 rumah tangga di Kecamatan Ampenan. Jawab Tabel. 4.16 Distribusi Frekuensi Pengeluaran Perbulan 70 rumah tangga di Kecamatan Ampenan (Rp/000) No Kelas Pengeluaran Banyaknya rumah Tepi kelas Frekuensi tangga (fi) bawah kumulatif 99,5 0 1 100 –129 5 129,5 5 2 130 – 159 7 159,5 12 3 160 – 179 12 189,5 di 24 4 190 – 219 18 d2 219,5 42 5 13 220 – 249 249,5 55 6 9 250 – 279 279,5 64 7 6 280 – 319 319,5 70 Jumlah

70

Dari tabel di atas terlihat bahwa frekuensi modus = 18 dan i = 30 di = 18 - 12 = 6 dan d2 = 18 – 13 = 5, Tbk = 189,5 Mod = TBk + d1/d2 + d1 x i = 189,5 + 6/11 x 30 = 189,5 + 180/11 = 189,5 + 16,36 = 205,86 Kebaikan dan Kelemahan Modus : Kebaikan : 1. Modus mudah dimengerti 2. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem 3. Pada distribusi yang condong., modus lebih mewakili daripada nilai rata-rata Kelemahan : 1. Perhitungan modus lebih sukar dari nilai rata-rata 2. Modus tidak tegas dirumuskan artinya kadang-kadang ada modus dan kadangkadang ada yang tidak ada modus SOAL-SOAL LATIHAN : Masing-Masing Mahasiswa mengerjakan 2 soal : 1. Berikut ini merupakan data keadaan umur 50 orang perajin wanita di suatu daerah dalam satuan tahun yaitu : 40 24 26 17 42 36 21 45 18 17 22 37 37 50 53 52 19 35 35 34 19 35 25 26 35 38 60 20 22 40 36 30 18 40 40 26 35 15 35 60 55 49 17 40 40 56 46 15 45 19 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 2. Berikut ini merupakan data jam kerja perminggu dari 50 orang perajin wanita di suatu daerah yaitu : 49 42 49 40 42 56 48 49 28 35 49 48 28 36 49 56 35 36 21 30 20 24 30 25 20 24 20 30 42 40 21 35 42 28 35 28 42 42 35 42 56 28 49 56 56 35 26 35 42 24 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 3. Berikut ini merupakan besarnya pendapatan per bulan yang diperoleh rumah tangga perajin perempuan di suatu daerah ( Rp. 000) 170 105 390 195 180 315 195 143 75 95 120 190 110 120 118 120 200 115 175 110 120 135 75 165 180 135 117 299 255 150 240 75 350 165 105 120 83 38 135 298 45 38 195 105 300 210 145 195 30 75 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 4. Berikut ini merupakan data tentang banyaknya jam lembur tiap minggu yang digunakan oleh 30 orang pekerja di suatu perusahaan : 31 46 25 57 39 42 55 20 37 28 40 59 11 38 34 22 62 33 48 42 21 57 37 43 51 29 41 35 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 5. Berikut ini merupakan nilai ujian statistik ekonomi I yang diperoleh 36 orang mahasiswa di suatu perguruan tinggi tercatat : 51 85 29 52 24 32 51 35 78 56 65 33 66 68 40 35 44 38 48 60 39 75 56 34 41 45 72 38 47 45 40 40 76 50 31 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 6. Data berikut merupakan Nilai deviden 50 perusahaan di BEJ (Rp ) untuk saham dengan nilai nominal Rp. 1.000,75 98 42 75 84 87 65 59 63 86 78 37 99 66 90 79 80 89 68 57 95 55 79 88 76 60 77 49 92 83 71 78 53 81 77 58 93 85 70 62 80 74 69 90 62 84 64 73 48 72 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive d. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 7. Sejumlah 50 orang calon, menempuh tes seleksi dalam Mata Kuliah Akuntansi. Setelah tes berakhir diperoleh hasil sebagai berikut : 65 55 53 76 78 83 61 62 58 57 78 85 80 56 55 62 77 78 70 61 60 58 64 76 70 75 71 66 63 55 58 59 64 73 78 88 84 70 75 79 84 65 68 70 80 71 80 71 81 60 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive e. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya

8. Hasil penelitian terhadap banyaknya kiriman suami yang menjadi TKI untuk keluarganya di daerah asal (Rp 0000) 150 150 200 70 200 1200 110 700 400 200 150 100 970 300 250 300 400 100 250 300 300 210 150 140 120 150 1000 350 300 300 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 9. Data berikut merupakan jumlah hari kerja pekerja wanita di daerah “MEE MALI” dalam sebulan : 28 12 12 12 28 28 28 12 24 18 24 26 8 8 10 15 16 8 10 12 14 10 14 28 30 25 22 24 17 13 14 20 12 10 8 15 14 20 14 30 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 10. Distribusi upah harian buruh bangunan di Kota “Ingin Madju” dalam ribuan rupiah : 25 13 15 30 15 18 23 40 27 30 20 15 18 16 19 25 30 30 35 15 18 25 30 28 15 16 16 19 24 22 13 15 18 17 25 25 35 40 Pertanyaan : a. Buatlah distribusi frekwensinya b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya 11.Tabel berikut menunjukkan Keadaan Umur Petani di suatu daerah penelitian tahun 2004 No Kelompok umur Jumlah petani 10 31 – 35 1 10 35 – 40 2 16 41 – 45 3 22 46 – 50 4 8 51 – 55 5 9 56 – 60 6 5 61 - 65 7 a.. Hitunglah distribusi frekuensi relatif b. Gambar histogram, poligon dan ogive c. Hitunglah rata-rata dengan : - Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek - Cara geometri d. Carilah median dan modusnya