Soal-soal Olimpiade Kombinatorik

1. Ada dua cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak, yaitu dengan menggunakan kapal terbang atau kapal laut. Untuk kapal terbang ada 4 penerbangan dan kapal laut ada 3 kapal. Berapa banyak cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak? 2. Berapa cara untuk menyusun huruf yang berasal dari huruf pada kata “VISITING” jika tak ada huruf “I” yang berdampingan. 3. Diketahui 7 anak pria dan 3 anak wanita. Berapakah banyaknya semua kemungkinan susunan mereka dalam satu baris jika pada kedua ujung barisan diisi oleh pria dan tidak ada wanita yang berdampingan. 4. Misalkan kita pergi dari kota A ke C dan harus melalu kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan, dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan. Kita akan menghitung banyak cara untuk pergi dari kota A ke C dan melalui B. 5. Diketahui angka-angka 1, 2, 4, 5, 6, 8, dan 9. Tentukan banyaknya semua bilangan yang dibuat dari angka yang diketahui dan a. terdiri dari 2 angka b. terdiri dari 2 angka tetapi tidak mempunyai angka yang sama 6. Diketahui bilangan 2592. Tentukan banyaknya pembagi dari bilangan ini termasuk 1 dan 2592. 7. Diketahui empat angka 1, 2, 5, dan 8. Tentukan banyaknya bilangan yang dibuat dari angka yang diketahui dan terdiri dari 2 angka. Tentukan pula banyaknya bilangan yang bernilai ganjil. 8. Diketahui angka 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, dan 9. a. Tentukan banyaknya bilangan terdiri dari 2 angka dan dibuat dari angka yang diketahui. b. Tentukan pula banyaknya bilangan 2 angka yang dapat dibuat jika bilangan itu tidak boleh memuat angka yang sama. c. Tentukan banyaknya bilangan 2 angka yang bernilai ganjil. d. Tentukan banyaknya bilangan 2 angka yang bernilai ganjil, tetapi tidak boleh memuat angka yang sama e. Tentukan banyaknya bilangan terdiri 2 angka, dan nilai bilangan itu lebih besar dari 20. 9. Diketahui angka 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, dan 9. a. Tentukan banyaknya bilangan terdiri dari 2 angka dan dibuat dari angka yang diketahui. b. Tentukan pula banyaknya bilangan 2 angka yang dapat dibuat jika bilangan itu tidak boleh memuat angka yang sama. c. Tentukan banyaknya bilangan 2 angka yang bernilai ganjil. d. Tentukan banyaknya bilangan 2 angka yang bernilai ganjil, tetapi tidak boleh memuat angka yang sama e. Tentukan banyaknya bilangan terdiri 2 angka, dan nilai bilangan itu lebih besar dari 20. 10. Tentukan banyaknyha bilangan terdiri dari 3 angka berbeda dan a. diambil dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dan nilai bilangan lebih kecil dari 700 b. diambil dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dan nilai bilangan lebih besar dari 700 c. diambil dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dan nilai bilangan habis dibagi 5. 11. Diketahui 7 pemain bola volley. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan 3 pemain untuk kapten, pengumpan dan smasher jika dianggap bahwa semua orang mempunyai kemampuan yang sama. 12. Diketahui 4 baju berbeda dan 5 celana panjang berbeda. Tentukan banyaknya kombinasi memakai baju dan celana tersebut. 13. Diketahui 6 huruf k, e, r, t, a, dan s. Tentukan banyaknya susunan huruf terdiri dari 2 huruf dan diambil dari huruf yang diberikan. 14. Diberikan kata terdiri a. Tentukan banyaknya susunan huruf terdiri dari 2 huruf dan diambil dari kata (huruf) yang diberikan. Tuliskan semua kemungkinan huruf tersebut. b. Tuliskan semua kemungkinan susunan huruf terdiri dari 2 huruf tidak sama dan diambil dari kata (huruf) yang diberikan. 15. Tentukan banyaknya pembagi bilangan 600. 16. Tentukan banyaknya pembagi bilangan 5040 17. Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas I, 4 orang utusan dari kelas II, dan 2 orang utusan dari kelas III. Dari utusan ini akan dipilih dua orang utusan untuk keluar sekolah. Utusan ini tidak boleh dari kelas yang sama. Tentukan banyak kemungkinan utusan ini (tidak memperhatikan urutan). 18. Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas I, 4 orang utusan dari kelas II, dan 2 orang utusan dari kelas III. Dari utusan ini akan dipilih dua orang utusan (Ketua dan Wakil Ketua) untuk keluar sekolah. Utusan ini tidak boleh dari kelas yang sama. Tentukan banyak kemungkinan utusan ini (tidak memperhatikan urutan). 19. Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas I, 4 orang utusan dari kelas II, dan 2 orang utusan dari kelas III. Dari utusan ini akan dipilih dua orang utusan (Ketua dan Wakil Ketua, dengan syarat Ketua menempati kelas yang lebih tinggi daripada Wakil Ketua) untuk keluar sekolah. Utusan ini tidak boleh dari kelas yang sama. Tentukan banyak kemungkinan utusan ini (tidak memperhatikan urutan). 20. Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas I, 4 orang utusan dari kelas II, dan 2 orang utusan dari kelas III. Dari utusan ini akan dipilih dua orang utusan untuk keluar sekolah. Utusan ini boleh dari kelas yang sama. Tentukan banyak kemungkinan utusan ini (tidak memperhatikan urutan). 21. Misalkan ada 6 angka 1, 3, 4, 5, 7, dan 8. Tentukan banyaknya bilangan yang dibuat dari angka diketahui dan a. terdiri dari 3 angka dan dapat mempunyai angka yang sama b. terdiri dari 3 angka dan tidak mempunyai angka yang sama c. terdiri dari 3 angka dan dapat mempunyai angka yang sama tetap bilangan yang dihasilkan ganjil d. terdiri dari 3 angka dan dapat mempunyai angka yang sama dan memuat angka 7.

22. Berapakah banyaknya kemungkinan himpunan tak kosong yang terbentuk dari 5 apel (yang identik, semua sama) dan 8 jeruk (identik). 23. Diketahui ada 2 buku (berbeda) berbahasa Jepang, 4 buku berbeda berbahasa Inggris, dan 3 buku berbeda berbahasa Indonesia. a. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil dua buku (urutan bahasa tak penting) dari bahasa yang berbeda. b. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil dua buku dari bahasa yang sama 24. Diketahui ada 5 buku (berbeda) berbahasa Jepang, 4 buku berbeda berbahasa Inggris, dan 3 buku berbeda berbahasa Indonesia. a. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil tiga buku (urutan bahasa tak penting) dari bahasa yang berbeda. b. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil tiga buku dari bahasa yang sama c. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil tiga buku (urutan bahasa tak penting) yang terdiri dari dua bahasa. 25. Diketahui ada 2 buku berbahasa Jepang, 4 buku berbahasa Inggris dan 3 buku berbahasa Indonesia. a. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil tiga buku (urutan bahasa tak penting) dari bahasa yang berbeda. b. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil tiga buku dari bahasa yang sama c. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil tiga buku (urutan bahasa tak penting) yang terdiri dari dua bahasa. 26. Diketahui ada 2 buku berbahasa Jepang, 4 buku berbahasa Inggris dan 3 buku berbahasa Indonesia. Tentukan banyaknya kemungkinan mengambil dua buku dari bahasa yang berbeda. 27. Tentukan banyaknya susunan huruf terdiri dari 6 huruf dan diambil dari huruf yang menyusun kata kertas. 28. Tentukan banyaknya susunan huruf terdiri dari 7 huruf dan diambil dari huruf yang menyusun kata terdiri. 29. Tentukan banyaknya permutasi dua angka yang diambil dari 1, 2, 3, 4, dan 5. 30. Empat orang masuk ke dalam bus dan tersedia 10 tempat duduk yang masih kosong. Tentukan banyak semua kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk. 31. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari paling banyak 3 angka dengan bilangan yang terbentuk tidak mempunyai angka kembar dan diambil dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. 32. Penjaga perpustakaan bermaksud untuk menyimpan buku sehingga buku dengan bahasa yang sama akan berjajar berdekatan. Jika ia mempunyai 12 tempat untuk 5 buku berbeda dalam bahasa Inggris, 4 buku berbeda dalam bahasa Perancis, dan 3 buku berbeda dalam bahasa Jerman, tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut. 33. Diketahui A = {a, b, c, d, …, x, y, z} yaitu himpunan semua 26 huruf abjad. Carilah susunan yang terdiri dari 5 huruf berbeda (tak perlu mempunyai makna) sehingga huruf pertama dan terakhir huruf hidup, dan 3 huruf yang lain adalah huruf mati atau konsonan. 34. Ada 5 pemuda dan 3 pemudi duduk berjajar. Berapa cara kemungkinan mereka duduk jika: a. 3 pemudi duduk dalam satu blok (yaitu tiga berjajar) b. Pada ujung-ujung duduk pemuda dan tidak ada pemudi yang duduk berjajar 35. Tentukan banyaknya bilangan terdiri dari 3 angka berbeda jika: a. diambil dari angka-angka 1, 4, dan 8. b. diambil dari angka-angka 1, 4, 5, dan 8 36. Tentukan banyaknya bilangan terdiri dari paling banyak 3 angka berbeda jika: a. diambil dari angka-angka 1, 3, 4, dan 6. b. diambil dari angka-angka 1, 3, 4, 6, 7, 8, dan 9. 37. Tentukan banyaknya bilangan terdiri paling banyak 3 angka berbeda yang diambil dari 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. 38. Berapa banyak kemungkinan susunan Ketua OSIS, Sekretaris OSIS, Bendahara OSIS, jika diambil dari 100 siswa calon pengurus. 39. Perpustakaan mempunyai 4 buku berbeda berbahasa Inggris, 5 buku berbeda berbahasa Perancis dan 3 buku berbeda dengan bahasa Jerman. a. Jika ada 12 tempat, tentukan banyaknya kemungkinan susunan bukus tersebut. b. Jika ada 12 tempat dan buku ingin disimpan sehingga buku dengan bahasa yang sama akan berjajar. 40. Tentukan banyaknya cara susunan duduk berjajar 7 untuk 4 pemuda dan 3 pemudi sehingga : a. mereka dapat duduk dimana saja. b. mereka duduk bergantian antara pemuda dan pemudi 41. Tentukan banyaknya cara susunan duduk berjajar 8 untuk 4 pemuda dan 4 pemudi sehingga : a. mereka dapat duduk dimana saja b. mereka duduk bergantian antara pemuda dan pemudi 42. Tentukan banyaknya cara susunan duduk berjajar n untuk n orang tetapi ada dua orang yang ingin selalu berdampingan, jika n = 4 dan untuk n = 8. 43. Perpustakaan mempunyai 3 buku berbeda dengan bahasa Inggris dan 2 buku berbeda dengan bahasa Jerman. a. Jika ada 5 tempat, tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut jika buku berbahasa sama harus berdampingan b. Jika ada 5 tempat, tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut c. Jika hanya ada 4 tempat, tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut d. Jika hanya ada 3 tempat tetapi semua bahasa harus ada, tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut. 44. Perlihatkan kesamaan berikut : Prn +1 = (n + 1) Prn-1 45. Diketahui ada 5 pemuda dan 3 pemudi duduk mengelilingi meja bundar. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan mereka jika : a. mereka duduk bebas b. pemuda pertama dan pemudi pertama tidak duduk berdampingan

c. tidak ada putrid yang berdampingan 46. Carilah banyaknya kemungkinan susunan duduk n pasang suami istri di meja bundar sehingga : a. pria dan wanita duduk berselang-seling b. setiap wanita duduk berdampingan dengan suaminya. 47. Tentukan nilai dari C 410 . 48. Diketahui himpunan terdiri dari 10 unsur yang berbeda. Berapakah banyaknya subhimpunan yang terdiri dari 3 unsur. 49. Diketahui kelas yang terdiri dari 15 putra dan 10 putri. a. Tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi yang terdiri dari 5 orang b. Tentukan banyaknya kemungkinan delegasi yang terdiri dari 3 putra dan 2 putri. 50. Diketahui 4 huruf hidup dan 8 huruf mati (termasuk b) a. Tentukan banyaknya susunan huruf yang terdiri dari 5 huruf terdiri dari 2 huruf hidup berbeda dan 3 huruf konsonan berbeda yang disusun dari huruf yang diketahui. b. Berapa banyak susunan huruf seperti (a) yang memuat b c. Berapa banyak susunan huruf seperti (a) yang awalnya b. 51. Buktikan bahwa: C rn = C rn--11 + C rn -1 52. Diketahui bilangan dengan system biner terdiri dari 7 angka atau kurang. Banyaknya semua bilangan ini adalah 27 (termasuk 0000001). Berapa banyak bilangan yang mempunyai tiga angka nol dan empat angka 1. 53. Di Amerika, DPR terdiri dari 2 partai yaitu Partai Republik dan Demokrat. Salah satu anggota komite terdiri dari 7 orang dari Partai Republik dan 5 orang Partai Demokrat. Akan dibuat satu delegasi yang diambil dari komite. Tentukan banyaknya cara menyusun: a. delegasi yang terdiri dari 4 orang b. delegasi yang terdiri dari 4 orang dengan satu orang dar Partai Republik c. delegasi terdiri dari 5 orang, dengan ketua dari Partai Republik dan anggota seimbang antara kedua partai. 54. Berapa jumlah pertandingan yang harus dilakukan untuk melakukan turnamen setengah kompetisi (setiap dua tim bertanding sekali) antara 7 tim. 55. Diketahui 4 bola merah, 5 bola putih, dan 6 bola biru. Berapakah banyak kemungkinan memilih 5 bola yang terdiri dari dua merah, satu putih dan dua biru. 56. Dalam permainan poker, orang harus mengambil 5 kartu dari kartu bridge. Berapa cara yang diterima seorang pemain, jika: a. flush hati (lima kartu berwarna hati) b. satu flush hati tinggi (lima kartu hati dengan satu As) c. flush (lima kartu dengan macam atau jenis yang sama) d. full house (3 kartu dengan jenis yang sama dan 2 kartu satu jenis lainnya) 57. Dalam abjad kita mempunyai 26 huruf dengan 5 huruf hidup. a. Berapa banyak susunan huruf yang terdiri dari 3 huruf konsonan yang berbeda dan 2 huruf hidup yang berbeda. b. Berapa banyak yang memuat c? c. Berapa banyak yang memuat c dan d? d. Berapa banyak yang memuat c atau d? 58. Diketahui huruf l, a, p, a, r. Tentukan kombinasi dua huruf dari huruf yang diberikan. 59. Tanpa memperhatikan yang sangat khusus, tentukan: a. banyaknya garis (berbeda) yang dapat ditarik (melalui 2 titik) jika diketahui 9 titik b. banyaknya lingkaran (berbeda yang dapat dibuat (melalui 3 titik) jika diketahui 9 titik. 60. Berapa banyak segitiga yang dapat dibuat jika tersedia 9 titik, dengan tidak ada 3 titik yang segaris. 61. Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Tentukan banyaknya kombinas 3 unsur di X tetapi tidak saling berturutan. 62. Tentukan banyaknya susunan 11 huruf yang diambil dari huruf m, i, s, s, I, s, s, i, p, p, i. 63. Carilah permutasi dari susunan 001112222, yaitu dua angka 0, tiga angka 1, dan empat angka 2. 64. Tentukan banyaknya bilangan terdiri dari 8 angka yang diambil dari angka-angka 1, 2, 3, 2, 2, 3, 3, dan 3. 65. Penjaga perpustakaan mempunyai 12 tempat untuk 5 buku bahasa Inggris (semua sama), 4 buku Perancis (semua sama), 3 buku bahasa Jerman (semua sama). a. Tentukan banyaknya susunan buku tersebut b. Tentukan banyaknya susunan buku jika buku dengan bahasa sama harus berjajar berdekatan. 66. Diketahui 12 bola yang terdiri dari 3 warna yaitu merah, putih dan hijau. Bola dengan warna sama tidak dapat dibedakan. Kita akan mengambil 12 bola tersebut. Tentukan banyaknya urutan yang mungkin diperoleh dari pengambilan bola jika: a. bola merah ada 5, bola putih ada 4 dan bola hijau ada 3. b. Bola merah ada 3, bola putih ada 3 dan bola hijau ada 6. 67. Diketahui 12 bola yang terdiri dari 3 warna yaitu merah, putih dan hijau. Bola dengan warna sama tidak dapat dibedakan. Kita akan mengambil 10 bola tersebut. Tentukan banyak urutan yang dapat muncul dari pengambilan bola jika: a. bola merah ada 5, bola putih ada 4 dan bola hijau ada 3. b. Bola merah ada 3, bola putih ada 3 dan bola hijau ada 6. 68. Pada kapal akan dibuat signal dari 6 bendera yang terdiri dari dua macam yang masing-masing terdiri dari 4 dan 2 bendera. Keenam bendera ini akan dipasang vertical, tentukan banyaknya kemungkinan signal yang dapat dibuat.

69. Tentukan banyaknya permutasi terdiri dari 2 huruf yang diambil dari huruf a, p, a. Perhatikan bahwa susunan aa termasuk dalam hitungan. 70. Tentukan banyaknya permutasi terdiri dari 2 huruf yang diambil dari huruf s, u, s, i. 71. Tentukan banyaknya permutasi terdiri dari 3 huruf yang diambil dari huruf t, u, l, u, s. 72. Diketahui 10 bola putih dan 5 bola merah. Tentukan banyak urutan yang dapat muncul dari pengambilan bola sebanyak 5 buah jika: a. semua bola dianggap berbeda b. bola satu warna dianggap sama c. bola satu warna dianggap sama dan terdiri dari 3 bola putih dan 2 bola merah. 73. Pada suatu rumah makan menyediakan 3 jenis makanan, sebut bakso, soto dan gudeg. Seorang ingin memesan 6 makanan. Dengan asumsi bahwa rumah makan menyediakan semua jenis makanan dengan jumlah yang banyak, tentukan banyaknya kemungkinan anak tersebut memesan makanan. 74. Diketahui himpunan X = {a, b, c}. Tentukan banyaknya kombinas 6 unsur X dengan pengulangan. 75. Diketahui himpunan X = {a1, a2, a3, …, an}. Tentukan banyaknya kombinasi 6 unsur X dengan pengulangan dan juga tentukan banyaknya kombinasi r unsur X dengan pengulangan. 76. Carilah banyaknya bilangan antara 1 dan 1000, yang tidak habis dibagi oleh 5, 6, dan 8. 77. Dari 450 siswa di sekolah, 193 membaca majalah Sain dan 200 membaca Koran, 80 tidak membaca majalah Sain dan Koran. Hitung yang membaca majalah dan Koran. 78. Penjual alat rumah tangga mendatangi 275 ibu rumah tangga di kota untuk bertanya mengenai tiga produk A, B dan C. Penjual memperoleh data sebagai berikut : 156 menggunakan A, 99 hanya menggunakan A, 24 menggunakan ketiganya dan 15 menggunakan A dan C, tetapi bukan B, 40 menggunakan B dan C dan 47 menggunakan hanya B. Berapa orang yang menggunakan hanya C. Menurut survey, manakah yang paling populer. 79. Diketahui 6 himpunan A1, …, A6 yang masing-masing dengan 4 anggota dan n himpunan B1, B2, …, Bn yang masingmasing dengan 2 anggota. Jika S = A1ÈA2 È … È An = B1 È … È Bn dan diketahui bahwa setiap elemen di S tempat menjadi 4 anggota himpunan A dan menjadi anggota tiga himpunan dari B, carilah n. 80. Pada satu kota ada 10 rumah makan dan n gedung pertunjukan. Suatu grup turis tinggal beberapa hari di kota dan mengunjungi rumah makan dan gedung pertunjukan. Setelah turis pergi, diketahui bahwa setiap rumah makan ternyata telah dikunjungi oleh 4 turis dan setiap gedung pertunjukan telah dikunjungi oleh 6 turis. Diketahui pula bahwa setiap turis telah mengunjungi 5 rumah makan dan 3 gedung pertunjukan. Hitung banyaknya turis dan jumlah gedung pertunjukan. 81. Carilah bilangan bulat yang terletak antara 1 dan 1000 yang tidak habis dibagi 2, 3, dan 5 82. Carilah bilangan bulat yang terletak antara 1 dan 10000 yang bukan bilangan kuadrat maupun bilangan pangkat tiga. 83. Carilah bilangan bulat nonnegative yang memenuhi persamaan x1 + x2 + x3 =6. 84. Carilah bilangan bulat nonnegative yang memenuhi persamaan x1 + x2 + x3 = 15 dengan x1 ≤ 5, x2 ≤ 6 dan x3 ≤ 7. 85. Carilah jawab dari rumus rekursif berikut ini. a. an = an-1 + 3 b. an = 5an-1 c. an = 5an-1 + 3 d. an = 2an-1 + an-2 86. Diketahui barisan bilangan positif dengan a1 < a2 < a3 < … dengan an+2 = an+1 + an dengan n > 1. Jika a7 = 120, carilah a 8. 87. Diketahui fungsi f: N ® R, dengan sifat : a. f(1) = 1 b. f(1) + 2f(2) + 3f(3) + … + nf(n) = n(n + 1) f(n) untuk n ≥ 2. Carilah f(2003). 88. Diketahui barisan a1 = 6, a2 = 9 dan an = 3an-1 + 18an-2. a. Tulis bn = an + 3an-1. Perlihatkan bahwa bn = bn-1 b. Carilah bn dinyatakan dalam n c. Carilah an. 89. Buktikan identitas berikut. a. C rn = C nn- r

n n -1 C r -1 asalkan r > 1 r n - r +1 n c. C rn = C r -1 asalkan r > 1 r d. C mn C rm = C rn C mn --rr b. C rn =

90. Buktikan bahwa: n

a.

å (-1) r =0 n 0

r

C rn = C 0n - C1n + C 2n - C 3n + ... + (-1) n C nn = 0

b. C + C 2n + ... + C 2nk + ... = C1n + C 3n + ... + C 2nk +1 + ... = 2n-1

91. Buktikan bahwa : n

a.

år

2

r =1 n

b.

år C 3

r =1

92. 93. d 94. d 95. 96. d

C rn = n (n + 1) 2n-2 n r

= n2 (n + 3) 2n-3