Soal Matematika - Pembahasan Suku Banyak

1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah …. a.

8x + 8

b.

8x – 8

c.

– 8x + 8

d.

– 8x – 8

e.

– 8x + 6

Secara umum bentuk dari persmaan suku banyak adalah f ( x ) = P ( x ). H ( x ) + S ( x )

Dimana :

f(x) adalah yang dibagi

P(x) adalah pembagi

H(x) adalah hasil bagi

S(x) adalah sisa pembagian

Selain itu jika ada pernyataan f(2) = 5 itu berarti sebuah fungsi f(x) dibagi oleh ( x – 2 ) menghasilkan sisa 5. 3 2

Dari keterangan soal diketahui : f(2) = 24 dan f   = 20 , nilai 2 dan 3/2 didapat dari pembuat harga nol untuk ( x – 2 ) dan ( 2x – 3 ). x–2=0 x=2

dan

dan

Masukkan

2x – 3 = 0

x = 3/2 nilai

f(2)

=

24

3 f   = 20 , 2

dan

pada

persamaan

3 f ( x) = ( x − 2).( x − ). H ( x ) + (ax + b) 2

3 2

Didapat f (2) = (2 − 2).( 2 − ). H (2) + (2a + b) = 24 1 f (2) = (0).( ). H ( 2) + ( 2a + b) = 24 2

karena bilangan 0 dikalikan denan

bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : 2a + b = 24 … (1) 3 3 3 3 3 f ( ) = ( − 2).( − ). H ( 2) + ( a + b) = 20 2 2 2 2 2 3 a +b = 20 … (2) 2

Eliminasi persamaan 1 dan 2 : 2a + b = 24 … (1) 3 a +b = 20 … (2) 2

----------------½a=4 a=8

--

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2. 2a + b = 24 … (1) 2(8) + b = 24 b = 24 – 16 = 8 Sehingga sisa dari pembagiannya adalah ax + b = 8x + 8. 2. Sisa pembagian suku banyak ( x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1 ) oleh ( x2 – x – 2 ) adalah …. a.

–6x + 5

b.

–6x – 5

c.

6x + 5

d.

6x – 5

e.

6x – 6

Jawab : 1. Cari akar – akar dari persamaan x2 – x – 2 x2 – x – 2 = 0 ( x – 2 )( x + 1 ) = 0 x – 2 = 0 atau x + 1 = 0 x = 2 atau x = –1 2. Substitusikan kedua nilai pada f(x) = x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1 untuk medapatkan sisa pembagian f(2) = 24 – 4(2)3 + 3(2)2 – 2(2) + 1 = 16 – 32 + 12 – 4 + 1 = –7 f(–1) = –14 – 4(–1)3 + 3(–1)2 – 2(–1) + 1 = 1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 11 3. Masukkan

nilai

f(2)

=

–7

dan

f ( −1) =11 ,

pada

persamaan

f ( x ) = ( x − 2).( x +1). H ( x ) + ( ax + b)

4. Didapat

f ( 2) = ( 2 − 2).( 2 −1). H ( 2) +( 2a +b) = −7

f ( 2) = (0).( 1). H ( 2) +(2a +b) = −7

karena bilangan 0 dikalikan denan

bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : 2a + b = –7 … (1) f ( −1) = ( −1 −2).( −1 +1). H ( −1) +( −a +b) =11

− a + b = 11 … (2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 : 2a + b = –7 … (1) − a + b = 11 … (2)

-----------------

--

3a = –18 a = –6 Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2. 2a + b = –7 … (1) 2(–6) + b = –7 b = –7 +12 = 5 Sehingga sisa dari pembagiannya adalah ax + b = –6x + 5.

3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …. a. 2x + 2 b. 2x + 3 c. 3x + 1 d. 3x + 2 e. 3x + 3 Caranya sama dengan nomor satu, catatannya faktor dari x2 – 6x + 5 = 0 adalah ( x – 5 )( x – 1 ) = 0 4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x 4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu factor yang lain adalah …. a. x – 2 b. x + 2 c. x – 1 d. x – 3 e. x + 3 Langkah 1 Substitusikana harga pembuat nol ( x + 1 ) pada f(x) = 2x 4 – 2x3 + px2 – x – 2 untuk mendapatkan nilai p. x+1=0 x = –1 f(–1) = 2(–1)4 – 2(–1)3 + p(–1)2 – (–1) – 2 = 0 2+2+p+1–2=0 ( = 0 karena ( x+1) merupakan salah satu faktor dari suku banyak, lihat kembali pada soal ) Didapat : 3+p=0 P = – 3, sehingga fungsinya menjadi f(x) = 2x4 – 2x3 – 3x2 – x – 2 Langkah 2 Faktor lainnya dapat dicari dengan menggunakan cara Horner. Ambil koefisien pada suku banyak. f(x) = 2x4 – 2x3 – 3x2 – x – 2 ¿ ¿ -1 ¿ ¿ ∣ 2 -2 -3 -1 -2  ∣ -2 4 -1 2 ¿ 2 -4 1 -2 0 ¿ f(x) = ( x + 1 ) ( 2x3 – 4x2 + x – 2 ) , cari akar dari f(x) = 2x3 – 4x2 + x – 2

( Cara mencari akarnya dengan menentukan nilai a dan b, di mana a adalah faktor bulat dari

ao

dan b adalah faktor bulat dari

an.

Dimana bentuk umum persamaan suku

banyaknya adalah f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x1 + a0 = 0 Dari nilai a dan b yang didapat dapat ditentukan akar – akarnya adalah yang memenuhi a f =0 b

Dari persamaan suku banyak f(x) = 2x3 – 4x2 + x – 2 didapat a = –2, –1, 1, 2 dan b = –2, –1, 1, 2. a  b 

 

1 1 2 2

 

Himpunan akar yang mungkin adalah   = − 2,−1,− , ,1,2 , setelah dicoba akar yang a b

memenuhi f   = 0 adalah x = 2 )

2 2 -4 1 -2 4 0 2 2 0 1 0 f(x) = 2x4 – 2x3 – 3x2 – x – 2 = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( 2x2 + 1 ) 5. Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b dibagi oleh ( x2 – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …. a. – 6 b. – 3 c. 1 d. 6 e. 8 Cari akar – akar dari persamaan x2 – 1 x2 – 1 = 0 ( x – 1 )( x + 1 ) = 0 x – 1 = 0 atau x + 1 = 0 x = 1 atau x = –1 Substitusikan kedua nilai pada P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b untuk medapatkan sisa pembagian P(1) = 2(1)4 + a(1)3 – 3(1)2 + 5(1) + b = 2 + a – 3 + 5 + b = a + b + 4 … (1) P(–1) = 2(–1)4 + a(–1)3 – 3(–1)2 + 5(–1) + b = 2 – a – 3 – 5 + b = –a + b – 6 ... (2) Masukkan nilai P(1) dan P(–1) pada sisa suku banyak ( 6x + 5 ) pada persamaan P ( x ) = ( x +1).( x −1). H ( x ) + (6 x + 5)

Didapat P (1) = (1 −1).( 1 +1). H (1) +(6.1 +5) =11 P ( −1) = (−1 −1).( −1 +1). H (−1) +(6.( −1) +5) = −1

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : P(1) = 11 dan P(–1) = –1 Substitusi nilai P(1) dan P(–1), didapat : P(1) = a + b + 4 = 11 P(–1) = –a + b – 6 = –1 Eliminasi persamaan 1 dan 2 : a + b = 7 … (1) − a + b = 5 … (2)

-----------------

--

2a = 2 a=1 Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2. a + b = 7 … (1) (1) + b = 7 b=7–1=6 nilai a.b = 1 x 6 = 6 6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …. a. –x + 7 b. 6x – 3 c. –6x – 21 d. 11x – 13 e. 33x – 39 Jawab : Diketahui f(–1) = 8, f(3) = 4, q(–1) = –9, q(3) = 15 h(x) = f(x).q(x) = P(x). H(x) + S(x) h(x) = f(x).q(x) = ( x + 1 ) ( x – 3 ). H(x) + ax + b substitusi nilai yang diketahui : h(–1) = f(–1).q(–1) = ( –1 + 1 ) (–1 – 3 ). H(–1) + a(–1) + b h(–1) = 8 x (–9) = 0 x (–4) + (–a) + b –a + b = –72 … (1) h(3) = f(3).q(3) = ( 3 + 1 ) ( 3 – 3 ). H(3) + a(3) + b h(3) = 4 x 15 = 0 x (–4) + 3a + b 3a + b = 60 … (2) eliminasi persamaan 1 dan 2 –a + b = –72 … (1) 3a + b = 60 … (2) --------------- --

–4a = –132 a = 33 substitusi nilai pada persmaan 1 atau 2 –a + b = –72 … (1) –33 + b = –72 b = –72 + 33 b = –39 Sehingga hasil pembagiannya adalah : ax + b = 33x – 39 7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah …. a. 2x – 1 b. 2x + 3 c. x – 4 d. x + 4 e. x + 2 Caranya sama dengan nomor 4 8. Suku banyak P(x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …. a. 20x + 24 b. 20x – 16 c. 32x + 24 d. 8x + 24 e. –32x – 16 Jawab :

Karena P(x) habis dibagi oleh ( x – 2 ) maka P(2) = 0 P(2) = 3(2)3 – 4(2)2 – 6(2) + k = 0 24 – 16 –12 + k = 0 –4 + k = 0 k=4 3x − 1 0 x 2 + 2x + 2 3x 3 − 4 x 2 − 6x + 4 3x 3 + 6 x 2 + 6x − − − − − − − − − -− 1 0x 2 − 1 2x + 4 − 1 0x 2 − 2 0x − 2 0 − − − − − − − − − -8x + 24