Soal Matematika - Pembahasan Lingkaran

1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13 di titik yang berabsis –1 adalah …. a.

3x – 2y – 3 = 0

b.

3x – 2y – 5 = 0

c.

3x + 2y – 9 = 0

d.

3x + 2y + 9 = 0

e.

3x + 2y + 5 = 0

Soal Ujian Nasional tahun 2007 Langkah 1 : Substitusi nilai x = –1 pada persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13, sehingga didapat (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : 9 + ( y + 1 )² =13 ( y + 1 )² =13 – 9 ( y + 1 )² = 4 y+1=±2 y = –1 ± 2, sehingga didapat : y1 = –1 – 2 y1 = –3

y2 = –1 + 2 y2 = 1

didapat koordinat titik singgungnya adalah : ( –1,–3 ) dan ( –1,1 ) Langkah 2 : Persamaan garis singgung pada umumnya “ membagi adil “ persamaan. Dari persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 jika berbagi adil maka menjadi persamaannya menjadi ( x – 2 ) ( x – 2 ) + ( y + 1 ) ( y + 1 ) = 13, kemudian substitusikan kedua koordinat titik singgungnya. ( –1,–3 )

( –1,1 )

(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–3 + 1 ) ( y + 1 ) = 13

(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( 1 +

1 ) ( y + 1 ) = 13 –3 ( x – 2 ) + –2 ( y + 1 ) = 13

–3 ( x – 2 ) + 2 ( y + 1 ) = 13

–3x + 6 – 2y – 2 = 13

–3x + 6 + 2y + 2 = 13

–3x – 2y + 4 – 13 = 0

–3x + 2y – 13 + 8 = 0

–3x – 2y – 9 = 0

–3x + 2y – 5 = 0

{kedua ruas dikalikan dengan (–)}, maka akan diperoleh : 3x + 2y + 9 = 0

atau

3x – 2y + 5 = 0 , keduanya

merupakan jawaban yang benar tetapi hanya jawaban D yang tersedia pada option . 2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah …. a.

4x – y – 18 = 0

b.

4x – y + 4 = 0

c.

4x – y + 10 = 0

d.

4x + y – 4 = 0

e.

4x + y – 15 = 0

Soal Ujian Nasional tahun 2006 Langkah 1 : Subtitusikan nilai x = 5 pada persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgungnya. x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0 y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0 y² – 6y + 8 = 0 (y–2)(y–4)=0 y =2

atau y = 4, sehingga koordninat titik singgungnya adalah ( 5,2 )

dan ( 5,4 ). Langkah 2 : Persamaan berbagi adil x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0 Langkah 2 : Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0 ( 5,2 )

( 5,4 )

x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0

x.x1 + y.y1 – ( x + x1 )

– 3( y + y1 ) – 7 = 0 5x + 2y – ( x + 5 ) – 3( y + 2 ) – 7 = 0

5x + 4y – ( x + 5 ) –

3( y + 4 ) – 7 = 0 5x + 2y – x – 5 – 3y – 6 – 7 = 0

5x + 4y – x – 5 – 3y – 12 – 7 =

0 4x – y – 18 = 0

4x + y – 24 = 0

3. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah …. a.

x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0

b.

x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0

c.

x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0

d.

x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0

e.

x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0

Soal Ujian Nasional tahun 2006 Dari soal terdapat pernyataan “ menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative “, itu artinya lingkaran berada di kuadran III. Karena

pusat lingkaran menyinggung kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y. Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, didapat : 2x – 4(x) – 4 = 0 –2x = 4 x = –2, karena x = y maka koordinat pusat lingkarannya adalah ( –2,–2 ). Karena lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari – jri lingkaran adalah 2. Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum limgkaran : ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2² x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 4. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah …. a.

x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0

b.

x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0

c.

x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0

d.

x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0

e.

x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0

Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 Karena pusat lingkarannya sudah diketahui maka nilai lain yang tinggal dicari adalah jari – jarinya. Untuk menentukan nilai tersebut kita tinggal mencari jarak dari pusat lingkaran ke garis singgungnya dengan menggunakan jarak titik ke garis yaitu : d =

ax 1 + by 1 + c a2 +b2

Dari soal diketahui persamaan garisnya 3x – 4y – 2 = 0 berarti nilai a = 3, b = –4, dan c = –4, dengan titiknya yaitu ( 1,4 ) berarti nilai x1 = 1 dan y1 = 4. Masukkan d =

niliai

3(1) −4( 4) −2 (3) 2 +( −4) 2

=

tersebut 3 −16 −2 9 +16

=

ke −15 25

dalam

rumus

jarak

titik

ke

garis

=3

Maskkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan jari – jarinya 3. ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3² x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0 5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y – x + 3 = 0 adalah…. a.

y =−

1 5 x+ 5 2 2

b.

1 5 y =− x− 5 2 2

c.

y = 2 x −5 5

d.

y = −2 x +5 5

e.

y = 2 x +5 5

Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 Gradien dari persamaan garis ax + by + c = 0 adalah m = − Gradien dari persamaan garis 2y – x + 3 = 0 adalah m = −

a b

(−1) 1 = , karena 2 2

persamaan garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis 2y – x + 3 =

0 maka gardien garis tersebut adalah

m1 = −

1 1 = − = −2 1 m2 2

6. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P( 5,3 ) adalah …. a.

3x – 4y + 27 = 0

b.

3x + 4y – 27 = 0

c.

3x + 4y – 7 = 0

d.

7x + 4y – 17 = 0

e.

7x + 4y – 7 = 0

Soal Ujian Nasional tahun 2005 7. Jarak antara titik pusat lingkaran x² + y² – 4x + 4 = 0 dari sumbu y adalah …. a.

3

b.

2½

c.

2

d.

1½

e.

1

Soal Ujian Nasional tahun 2004 8. Diketahui lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik ( – 2,1 ). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari – jarinya dua kali panjang jari – jari lingkaran tadi adalah …. a.

x² + y² – 4x + 12y + 90 = 0

b.

x² + y² – 4x + 12y – 90 = 0

c.

x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0

d.

x² + y² – 2x – 6y – 90 = 0

e.

x² + y² – 2x – 6y + 90 = 0

Soal Ujian Nasional tahun 2003

9. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik ( 3,–2 ) adalah …. a.

3x – 2y = 13

b.

3x – 2y = –13

c.

2x – 3y = 13

d.

2x – 3y = –13

e.

3x + 2y = 13

Soal Ujian Nasional tahun 2002 10. Salah satu persamaan garis singgung dari titik( 0,4 ) pada lingkaran x² + y² = 4 adalah …. a.

y=x+4

b.

y = 2x + 4

c.

y=–x+4

d.

y=–

e.

y=– 2x+4

3

x+4

Soal Ujian Nasional tahun 2001 11. Garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik ( –3,4 ) menyinggung lingkaran dengan pusat ( 10,5 ) dan jari – jari r. Nilai r = …. a.

3

b.

5

c.

7

d.

9

e.

11

Soal Ujian Nasional tahun 2000 12.

menyusul