Seminar Sl.pptx

MODEL SIMULASI INFLUENZA A-H1N1 DENGAN KONTROL PENCEGAHAN DAN PENYEMBUHAN BERUPA VAKSINASI Oleh: Widi Widayanti (1147010070)

JURUSAN MATEMATIKA/FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2017

BAB I: PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Flu A-H1N1 adalah penyakit pernafasan parah yang disebabkan oleh beberapa dari tiga virus influenza yang diketahui: A, B, dan C. Tipe A memiliki sub klasifikasi berdasarkan protein permukaannya, yakni hemagglutinin (HA) dan neuraminidase (N). Bentuk penyakit yang parah dari influenza tergantung kapasitas keduanya. Dari sudut pandang perawatan kesehatan masyarakat, virus yang paling penting adalah tipe A. Tipe ini memungkinkan mengarah pada pandemi terkait dengan mobilitas tinggi, tingginya jumlah kematian akibat virus, dan gangguan sosial dan ekonomi [1]. Infeksi ini menyebabkan morbiditas dan mortalitas yang mendasar di seluruh dunia. Selain itu, sangat sulit mencari solusi yang tidak terbatas pada pencegahan dengan vaksinasi atau pengobatan untuk mengendalikan gejala. Untuk profilaksis digunakan beberapa antivirus dan vaksinasi tahunan, yang disesuaikan setiap tahun dengan virus yang beredar. Dalam keadaan khusus, antiviral diresepkan untuk meningkatkan khasiat vaksinasi. OMS merekomendasikan vaksin trivalent (bervalensi tiga) atau inactivated (penonaktifkan) yang dibentuk oleh antigen superfisial yang dimurnikan. Ini adalah metode pencegahan yang paling penting untuk virus influenza, yang sangat penting untuk infeksi dengan risiko komplikasi tertinggi. Vaksin yang melawan virus influenza merupakan komponen penting dari respons yang memadai terhadap pandemi. Ilmu pengetahuan dan kemajuan teknologi dalam pembuatan vaksin memotivasi untuk menetapkan dan memodelkan dinamika transmisi A-H1N1. Model ini diterapkan pada populasi yang rentan dan divaksinasi sebagai ukuran optimal untuk pengendalian penyakit [1].

BAB I: PENDAHULUAN 1.2 Rumusan Masalah Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam kajian studi literatur ini adalah sebagai berikut. a. Bagaimana mengkonstruksi model simulasi influenza A-H1N1 dengan kontrol pencegahan dan penyembuhan berupa vaksinasi?

b. Bagaimana kestabilan dari model simulasi influenza A-H1N1 dengan kontrol pencegahan dan penyembuhan berupa vaksinasi? c. Bagaimana pengaruh adanya variabel penyembuhan dan pencegahan terhadap populasi tersebut? d. Bagaimana simulasi dinamik dari model model simulasi influenza A-H1N1 dengan kontrol pencegahan dan penyembuhan berupa vaksinasi?

1.3 Batasan Masalah Dalam pembahasan masalah tersebut, terdapat beberapa batasan di antaranya adalah sebagai berikut. a. Populasi yang dikaji tertutup.

b. Pada model yang akan dibentuk hanya terdiri dari 3 kompartemen, yaitu variabel 𝑥 (rata-rata jumlah individu yang rentan), 𝑦 (rata-rata jumlah individu yang terinfeksi), dan 𝑧 (rata-rata jumlah individu yang kebal). c. Pada model yang akan dibentuk terdapat variabel pencegahan dan penyembuhan terhadap penyakit influenza A-H1N1.

BAB I: PENDAHULUAN 1.4 Tujuan Penelitian Kajian studi literatur ini memiliki beberapa tujuan di antaranya adalah sebagai berikut. a. Untuk mengetahui bagaimana model simulasi influenza A-H1N1 dengan kontrol pencegahan dan penyembuhan berupa vaksinasi. b. Untuk mengetahui bagaimana kestabilan dari model simulasi influenza A-H1N1 dengan kontrol pencegahan dan penyembuhan berupa vaksinasi. c. Untuk mengetahui bagaimana pengaruh adanya variabel penyembuhan dan pencegahan terhadap populasi tersebut. d. Untuk mengetahui bagaimana simulasi dinamik dari model model simulasi influenza A-H1N1 dengan kontrol pencegahan dan penyembuhan berupa vaksinasi tersebut.

BAB I: PENDAHULUAN 1.5 Ruang Lingkup Penelitian Studi literatur ini mengkaji ulang masalah influenza A-H1N1 yang sebelumnya telah dikaji oleh Maria E. Cardenas P., Irma Perez C., dan C.L.V. Perez dengan judul “A Simulation Model Including Vaccination and Seasonality for Influenza A-H1N1 Virus”. Dalam jurnal ini mendeskripsikan model simulasi SIR untuk virus influenza A-H1N1 termasuk populasi variabel, koefisien transmisi berkala, tingkat vaksinasi konstan untuk semua umur dan waktu, serta tingkat kematian yang disebabkan juga oleh kematian alami karena infeksi. Model yang terbentuk dianalisa dengan menggunakan simulasi beberapa kasus. Adapun beberapa penelitian yang mendukung kajian studi literatur ini di antaranya adalah sebagai berikut. a.

Hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Andrijanto Hauferson Angi dengan judul “Tinjauan Struktur Genetik serta Tingkat Keganasan Virus Influenza H1N1”. Penelitian tersebut membahas mengenai tinjauan struktur genetik dan tingkat keganasan virus influenza H1N1, gejala influenza H1N1, serta langkahlangkah cara pencegahan flu khususnya influenza A-H1N1.

b.

Hasil penelitian yang telah dilakukan Endang R, Sedyaningsih, dan Vivi Setiawaty pada tahun 2009 dengan judul “Awal Pandemi Influenza A (H1N1) 2009: Sebuah Tinjauan”. Penelitian tersebut membahas mengenai penyebaran virus pandemi influenza A (H1N1) 2009, gambaran klinis pasien influenza A (H1N1) 2009, dan strategi menghadapi pandemi influenza di Indonesia.

BAB I: PENDAHULUAN 1.6 Sistematika Penelitian BAB I

PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai beberapa pendahuluan yang mendukung dalam penulisan studi literatur ini. Pendahuluam tersebut berupa latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, ruang lingkup penelitian, dan sistematika penulisan dari masalah yang dikaji.

BAB II

LANDASAN TEORI

BAB III

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai hal-hal yang menjadi landasan dalam mendukung kajian studi literatur ini. Hal-hal tersebut berkaitan dengan beberapa teori yang berkaitan dengan masalah yang dikaji. SEBUAH MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A-H1N1 Pada bab ini akan dijelaskan mengenai hasil dari masalah yang dikaji meliputi pembentukan model,

BAB IV

pencarian titik kesetimbangan, analisis eksistensi dan kestabilan, pencarian angka reproduksi dasar (𝑅0 ), dan simulasi numerik beserta interpretasinya. PENUTUP Pada bab ini akan dijelaskan mengenai beberapa hal yang dapat disimpulkan untuk jawaban dari rumusan masalah yang diajukan serta beberapa saran untuk pengembangan tulisan dan analisis dari masalah yang dikaji dalam studi literatur ini.

BAB II: LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih variabel terikat dan turunannya yang kontinu terhadap satu atau lebih variabel bebas. Secara umum, persamaan diferensial dapat diklasifikasikan sebagai berikut [2]. Tipe

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Parsial Orde 1

Orde Persamaan Diferensial

Orde 2 Orde 𝑛

Kelinearan

Kehomogenan

Linear

Non linear Homogen

Non homogen

BAB II: LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Menurut banyaknya peubah bebas, persamaan diferensial dibedakan menjadi dua macam, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa. Tetapi jika persamaan diferensial tersebut memiliki lebih dari satu peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial. Adapun yang disebut dengan orde adalah turunan tertinggi pada persamaan diferensial [3]. Contoh:

1. 2. 3. 4.

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 + 4𝑥 = 5𝑥𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑3𝑦 𝑥 + 2𝑥𝑦 = 𝑒 3 𝑑𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + =𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + − 2𝑢 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑡

Persamaan 1 dan 2 adalah persamaan diferensial biasa, 𝑥 merupakan variabel bebas dan 𝑦 merupakan variabel terikat. Sedangkan persamaan 3 dan 4 adalah persamaan diferensial parsial, 𝑥 dan 𝑡 merupakan variabel bebas dan 𝑢 merupakan variabel terikat. Dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya, persamaan diferensial dapat dikelompokkan kedalam dua kelompok, yaitu persamaan diferensial linier dan persamaan diferensial non linier.

BAB II: LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Sebuah persamaan diferensial termasuk persamaan linier jika memenuhi dua hal berikut. 1. Variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu. 2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan yang lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan. Bentuk umum persamaan diferensial linier orde-n adalah sebagai berikut. 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 (𝑛) + ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥 Berdasarkan persamaan diatas, jika 𝑓 𝑥 = 0, maka persamaan diferensial tersebut termasuk persamaan diferensial homogen. Sebaliknya, jika 𝑓 𝑥 ≠ 0, maka persamaan diferensial tersebut termasuk persamaan diferensial non homogen. Adapun persamaan diferensial yang bukan persamaan diferensial linier disebut persamaan diferensial non linier [3]. Contoh: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 ′′

𝑑𝑦

+ 3 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 0

(persamaan diferensial linier)

𝑦 + 3𝑦 + 2𝑦 2 = 0

(persamaan diferensial non linier)

𝑑𝑦 − 3𝑦 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥

(persamaan diferensial homogen) (persamaan diferensial non homogen)

BAB II: LANDASAN TEORI 2.2 Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat 𝑛 buah persamaan diferensial, dengan 𝑛 merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama dengan 2. Antara persamaan diferensial yang satu dengan yang lain saling keterkaitan dan konsisten. Bentuk umum dari suatu sistem 𝑛 persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut. 𝑑𝑥1 = 𝑔1 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑥2 = 𝑔2 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑑𝑡 ⋮ 𝑑𝑥𝑛 = 𝑔𝑛 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑑𝑡 dengan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah variabel bebas dan 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑡 adalah variabel terikat, sehingga 𝑥1 = 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 = 𝑥2 𝑡 , …, 𝑑𝑥

𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 𝑡 , dimana 𝑛 merupakan turunan fungsi 𝑥𝑛 terhadap 𝑡, dan 𝑔𝑖 adalah fungsi yang tergantung pada variabel 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 dan 𝑡 𝑑𝑡 [4]. Pandang sistem persamaan diferensial berikut. 𝑑𝑥 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 𝑆 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑡 𝑃, 𝑄, dan 𝑆 adalah fungsi kontinu bernilai real dari 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, dan mempunyai turunan parsial kontinu. Sistem persamaan diferensial diatas disebut sistem persamaan diferensial autonomous, karena secara eksplisit 𝑃, 𝑄, dan 𝑆 tidak mengandung 𝑡 didalamnya [5].

BAB II: LANDASAN TEORI 2.3 Titik Kesetimbangan Sistem Persamaan Diferensial Titik kesetimbangan untuk suatu sistem persamaan diferensial adalah suatu titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial berikut. 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑡 Titik (𝑥ҧ0 , 𝑦ത0 ) adalah titik kesetimbangan dari persamaan (2.1) jika memenuhi 𝑓 𝑥ҧ0 , 𝑦ത0 = 0 dan 𝑔 𝑥ҧ0 , 𝑦ത0 = 0. Turunan suatu konstanta adalah nol, sehingga sepasang fungsi konstan 𝑥 𝑡 ≡ 𝑥ҧ0 dan 𝑦 𝑡 ≡ 𝑦ത0 merupakan solusi kesetimbangan dari persamaan (2.1) untuk semua 𝑡 [6]. Contoh: 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑥 1− 𝑑𝑡 𝐾 Untuk memperoleh titik kesetimbangan diatas, maka: 𝑑𝑥 𝑥 =𝑥 1− =0 𝑑𝑡 𝐾 sehingga diperoleh titik kesetimbagannya adalah 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 𝐾.

BAB II: LANDASAN TEORI 2.4 Linearisasi, Nilai Eigen, dan Vektor Eigen Linearisasi adalah proses transformasi sistem persamaan nonlinear menjadi sistem persamaan linear. Hal ini dilakukan untuk mengetahui perilaku dari sistem persamaan nonlinear di sekitar titik kesetimbangannya. Linearisasi dapat dilakukan dengan menggunakan matriks Jacobian.Adapun secara umum bentuk umum dari matriks Jacobian adalah sebagai berikut.

𝐽=

𝜕𝑓 = 𝜕𝑥

𝜕𝑓1 𝜕𝑥1 ⋮ 𝜕𝑓𝑛 𝜕𝑥1

𝜕𝑓1 𝜕𝑥𝑛 ⋱ ⋮ 𝜕𝑓𝑛 ⋯ 𝜕𝑥𝑛

⋯

Contoh:

𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥12 − 6𝑥2 , 2𝑥12 + 3𝑥33 , 𝑥12 𝑥2 + 9𝑥2 𝑥32 maka diperoleh matriks jacobiannya adalah sebagai berikut. 𝜕𝑓1 𝜕𝑥1 𝜕𝑓2 𝐽= 𝜕𝑥1 𝜕𝑓3 𝜕𝑥1

𝜕𝑓1 𝜕𝑥2 𝜕𝑓2 𝜕𝑥2 𝜕𝑓3 𝜕𝑥2

𝜕𝑓1 𝜕𝑥3 2𝑥1 𝜕𝑓2 = 4𝑥1 𝜕𝑥3 2𝑥1 𝑥2 𝜕𝑓3 𝜕𝑥3

−6 0 𝑥12 + 9𝑥32

0 9𝑥32 18𝑥2 𝑥3

BAB II: LANDASAN TEORI 2.4 Linearisasi, Nilai Eigen, dan Vektor Eigen Misalkan 𝐴 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛 . Skalar 𝜆 disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik (characteristic value) dari 𝐴 jikaterdapat suatu vektor taknol 𝑥, sehingga 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙. Vektor 𝒙 disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari 𝜆. Contoh: Misalkan diketahui 𝐴=

5 −2 −3 4

dan

𝒙=

2 3

maka

4 2 5 −2 2 = =2 = 2𝒙 3 6 3 −3 4 dari persamaan diatas diperoleh bahwa nilai eigen dari 𝐴 adalah 𝜆 = 2 dan vektor eigen dari 𝜆 tersebut adalah 𝑥 = 2 3 𝑇 . Setiap kelipatan taknol dari 𝑥 akan menjadi vektor eigen. Hal ini dikarenakan 𝐴(𝛼𝒙) = 𝛼𝐴𝒙 = 𝛼𝜆𝒙 = 𝜆(𝛼𝒙) 𝐴𝒙 =

sehingga untuk 8 12

𝑇

juga memiliki nilai eigen 𝜆 = 2 untuk 𝐴, yakni 16 8 5 −2 8 𝐴𝒙 = = =2 = 2𝒙 12 24 12 −3 4

BAB II: LANDASAN TEORI 2.4 Linearisasi, Nilai Eigen, dan Vektor Eigen Persamaan 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 dapat dituliskan dalam bentuk (2.2)

𝐴 − 𝜆𝐼 𝒙 = 𝟎

Oleh karena itu, 𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐴 jika dan hanya jika persamaan (2.2) memiliki suatu penyelesaian taktrivial. Himpunan penyelesaian terhadap persamaan (2.2) adalah 𝑁(𝐴 − 𝜆𝐼) yang merupakan ruang bagian dari 𝑅𝑛 . Jika 𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐴, maka 𝑁 𝐴 − 𝜆𝐼 ≠ 0 dan sembarang vektor taknol dalam 𝑁(𝐴 − 𝜆𝐼) adalah vektor eigen dari 𝜆. Ruang bagian 𝑁 𝐴 − 𝜆𝐼 dinamakan ruang eigen (eigenspace) yang berhubungan dengan nilai eigen 𝜆. Persamaan (2.2) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika 𝐴 − 𝜆𝐼 singular, yakni (2.3)

det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0

Jika determinan pada persamaan (2.3) diuraikan, akan didapatkan suatu polinom berderajat ke-𝑛 dalam peubah 𝜆. 𝑝 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼

(2.4)

Polinom ini disebut polinom karakteristik (characteristic polynomial) dan persamaan (2.4) disebut persamaan karakteristik (characteristic equation) untuk matriks 𝐴. Akar dari polinom karakteristik merupakan nilai eigen dari 𝐴, yang dapat berupa akar dengan bilangan yang berbeda-beda, bilangan yang berulang (akar kembar), bahkan bilangan kompleks.

BAB II: LANDASAN TEORI 2.4 Linearisasi, Nilai Eigen, dan Vektor Eigen Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝜆 adalah suatu skalar. Berikut ini beberapa kondisi yang ekuivalen dengan 𝐴, yakni  𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐴

 𝐴 − 𝜆𝐼 𝒙 = 𝟎 mempunyai penyelesaian taktrivial  𝑁 𝐴 − 𝜆𝐼 ≠ 0  𝐴 − 𝜆𝐼 adalah singular  det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0

BAB II: LANDASAN TEORI 2.5 Jenis-jenis Kestabilan Suatu titik kesetimbangan dikatakan stabil jika untuk sebarang nilai awal yang cukup dekat dengan titik kesetimbangan, maka trayektori dari penyelesaian tetap dekat dengan penyelesaian di titik kesetimbangannya. Sifat stabilitas titik kesetimbangan berdasarkan tanda bagian real dibagi menjadi tiga, yaitu [7]:

a. Stabil

Titik kesetimbangan dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karkteristik (nilai eigen) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real tak positif. Contoh:

𝜆2 + 4𝜆 = 0 𝜆 𝜆+4 =0 Dari persamaan diatas diperoleh 𝜆1 = 0 dan 𝜆2 = −4. sehingga kestabilannya bersifat stabil karena nilai eigennya real dan negatif serta mempunyai real tak positif (nol).

BAB II: LANDASAN TEORI 2.5 Jenis-jenis Kestabilan b. Stabil asimtotik Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen) adalah real dan negatif.

Contoh: 𝜆2 + 5𝜆 + 6 = 0 𝜆 + 3 (𝜆 + 2) = 0 Dari persamaan diatas diperoleh 𝜆1 = −3 dan 𝜆2 = −2. sehingga kestabilannya bersifat stabil asimtotik karena nilai eigennya real dan negatif. c. Tidak stabil Titik kesetimbangan dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen) adalah real dan positif atau mempunyai paling sedikit satu nilai eigen dengan bagian real positif. Contoh:

𝜆2 + 3𝜆 − 18 = 0 𝜆 − 3 (𝜆 + 6) = 0 Dari persamaan diatas diperoleh 𝜆1 = 3 dan 𝜆2 = −6. sehingga kestabilannya bersifat tidak stabil karena ada nilai eigennya yang bernilai positif.

BAB II: LANDASAN TEORI 2.6 Pemodelan Matematika Pemodelan matematika adalah suatu studi yang mempelajari tentang konsep bagaimana matematika dapat merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan di kehidupan nyata ke dalam pernyataan matematika. Adapun langkah-langkah dalam pemodelan matematika di antaranya adalah sebagai berikut [8]. Kehidupan Nyata Masalah di kehidupan nyata

Bagian Matematika Masalah dalam matematika

Pembuatan asumsi

Merumuskan persamaan/ pertidaksamaan

Solusi untuk kehidupan nyata

Interpretasi solusi

Menyelesaikan persamaan/ pertidaksamaan

Membandingkan dengan data yang ada

Gambar 2. Diagram alur proses pemodelan

BAB II: LANDASAN TEORI 2.6 Pemodelan Matematika Berdasarkan gambar diatas, dapat diketahui bahwa langkah-langkah dalam pemodelan matematika adalah sebagai berikut. a. Memodelkan masalah-masalah di kehidupan nyata ke bentuk matematika.

Pada langkah ini, dilakukan proses pemahaman mengenai karakteristik dari masalah yang akan dimodelkan sehingga masalah yang dikaji dapat ditentukan batasan-batasannya. Hal ini dilakukan agar pengkajian masalah tersebut tidak terlalu luas cakupannya sehingga menimbulkan banyak kemungkinan yang akan terjadi. Setelah itu, dari batasan masalah tersebut akan menghasilkan variabel-variabel yang saling berhubungan sehingga dapat dibentuk menjadi sebuah model. b. Membuat asumsi-asumsi.

Pada langkah ini, dilakukan proses pembuatan asumsi-asumsi yang berkenaan dengan masalah yang dikaji. Pembuatan asumsi digunakan sebagai pembentukan kerangka dasar model untuk membantu proses berpikir agar model dapat berjalan. Oleh sebab itu, hasil yang akan diperoleh dari model yang terbentuk hanya sevalid asumsi. Namun, pada dasarnya membuat beberapa asumsi dilakukan agar mengarah pada situasi fisik yang kompleks menjadi masalah yang dapat diselesaikan. c. Merumuskan persamaan/pertidaksamaan. Pada langkah ini, dilakukan proses perumusan persamaan atau pertidaksamaan dari masalah yang dikaji. Hal ini sangat penting dilakukan untuk mengetahui bagaimana hubungan antar variabel yang ada sehingga dapat diselesaikan dan realistis.

BAB II: LANDASAN TEORI 2.6 Pemodelan Matematika d. Menyelesaikan persamaan/pertidaksamaan. Pada langkah ini, dilakukan proses pencarian solusi dari persamaan/ pertidaksamaan yang terbentuk secara matematis. e. Interpretasi solusi terhadap kehidupannya nyata.

Pada langkah ini, dilakukan proses analisis terhadap hasil yang diperoleh dalam pencarian solusi. Hal ini dilakukan untuk menghubungkan antara solusi yang diperoleh secara matematis dengan kehidupan nyata. f.

Membandingkan dengan data yang ada. Pada langkah ini, dilakukan proses membandingkan antara hasil yang diperoleh dengan data yang telah ada sehingga memungkinkan bahwa model dapat diperbaiki. Oleh sebab itu, pada langkah ini seseorang boleh memutuskan untuk tetap menggunakan model yang telah dibuat atau memodifikasi model tersebut dalam usaha untuk memperbaikinya. Salah satu cara yang umum adalah kembali lagi ke langkah pemodelan matematika yaitu menguji kembali asumsi-asumsi dan kemungkinan perubahannya, kemudian langkah selanjutnya mengikuti proses pemodelan matematika. Proses ini sering diistilahkan sebagai perbaikan model dan dijalankan sebagai bagian terpadu dari pengembangan model matematika sehingga sesuai dalam penerapannya dengan kehidupan nyata.

BAB II: LANDASAN TEORI 2.7 Influenza A-H1N1 Influenza adalah penyakit infeksi saluran pernapasan yang disebabkan oleh virus influenza. Gejala klinis yang terjadi mulai dari infeksi ringan sampai berat dan bahkan dapat mengakibatkan komplikasi dan kematian. Influenza sering dialami oleh penduduk Indonesia dan sering dikenal flu. Influenza yang terjadi di Indonesia (selain flu burung) umumnya memberikan gejala yangn ringan hingga sedang. Di negara dengan empat musim misalnya Amerika, infeksi influenza yang dikenal dengan Seasonal influenza sering mengakibatkan infeksi berat [9]. Influenza A-H1N1 atau Flu Meksiko merupakan strain baru virus influenza A yang menginfeksi manusia. Influenza A – H1N1 berbeda dengan strain virus influenza lainnya yang selama ini sering menginfeksi manusia dan sebagian besar manusia tidak mempunyai kekebalan terhadap virus tersebut. Oleh sebab itu, virus tersebut dapat dengan mudah menyebar dari manusia ke manusia. Penularan terjadi melalui udara (batuk, bersin) atau kontak langsung dengan penderita atau benda yang sudah terkontaminasi. Penularan virus tersebut dapat terjadi dengan cepat terutama pada orang muda (usia 10-45 tahun). Gejala influenza A-H1N1 adalah demam, batuk, sakit kepala, mialgia nyeri otot), nyeri sendi, radang tenggorokan, pilek dan kadang disertai dengan muntah dan diare. Gejala tersebut dikenal sebagai Influenza-Like Illness (ILI) atau Flu-like syndrome karena menyerupai gejala flu atau infeksi saluran pernapasan lainnya yang sering dialami manusia. Influenza A-H1N1 sulit dibedakan dengan flu atau infeksi saluran pernapasan lainnya apabila hanya berdasarkan pada gejala penyakit [9]. Jumlah kasus terinfeksi virus pandemi influenza A-H1N1 2009 yang terdeteksi di Meksiko dan AS terus bertambah dalam waktu yang singkat. Pada tanggal 22 Mei 2009, 42 negara melaporkan adanya kasus virus influenza A-H1N1 2009 dengan jumlah kasus lebih dari 11.000 kematian dengan kematian 86 orang (case fatality proportion: 0,8%). Tanggal 10 Juni 2009, 74 negara melaporkan adanya kasus dengan jumlah total lebih dari 27.000 dan dengan kematian 141 orang (case fatality proportion: 0,5%). Menurut WHO, arti pandemi disini adalah telah muncul virus influenza baru yang menginfeksi manusia dan menyebar ke banyak tempat di dunia. Data tanggal 15 Juli 2009 memperlihatkan telah lebih dari 100.000 orang dikabarkan telah tertular virus influenza pandemi A-H1N1 di 124 negara dengan jumlah kematian 460 pasien (case fatality proportion <0,5%) [10].

BAB II: LANDASAN TEORI 2.7 Influenza A-H1N1 Gambaran klinis pasien yang terinfeksi virus pandemi influeza A-H1N1 2009 ini mulai dari gejala infeksi saluran pernapasan atas ringan tanpa demam hingga pneumonia berat dan kematian. WHO merekomendasikan terapi dengan neuraminidase inhibitor (Tamiflu). Awalnya diprioritaskan pada pasien yang dirawat diduga terinfeksi virus influenza A-H1N1 dan untuk pasien terinfeksi seasonal influenza yang berisiko menderita komplikasi. Namun dalam situasi pandemi saat ini dimana jumlah pasien terus bertambah, Tamiflu hanya diberikan kepada pasien yang benar-benar memerlukannya berdasarkan pertimbangan klinis, misalnya pasien dengan kondisi klinis berat, dengan penyakit penyerta, dan wanita hamil. Pasien yang perlu dirawat sebaiknya dimasukkan ke dalam kamar isolasi yang selalu tertutup. Bila akan dilakukan tindakan yang kemungkinan menyebabkan aerosol, harus dilakukan di ruang bertekanan negatif. Alat pelindung diri seperti masker N95, apron, dan sarung tagan wajib dipakai oleh orang-orang yang merawat pasien tersebut. Profilaksis hanya dibenarkan diberikan kepada petugas kesehatan yang berhubungan langsung dengan pasien, seperti dokter, perawat,petugasa laboratorium, petugas investigasi kasus, dan keluarga kontak dekat (kebijakan profilaksis ini berbeda-beda di tiap-tiap negara). Vaksinasi influenza yang bereddar saat ini hanya efektif untuk mencegah infeksi virus A-H1N1 seasonal influenza, dan tidak protektif terhadap strain yang baru ini [10]. Adapun strategi yang dilakukan pemerintah Indonesia dalam menghadapi pandemi influenza A-H1N1, yakni meningkatkan kesadaran masyarakat untuk sering-sering mencuci tangan, menutup mulut bila batuk/bersin dengan tisu atau sapu tangan, tidak keluar rumah bila menderita gejala flu, mengurangi bersalaman dan berciuman, dan membatasi bepergian ke tempat ramai. Apabila terjadi kasus klaster berjumlah banyak di sekolah, perlu dipertimbangkan untuk meliburkan sementara siswa-siswanya. Persiapan lain yang harus dilakukan pemerintah Indonesia masalah menyediakan vaksin influenza pandemi A-H1N1. Saat ini jejaring laboratorium WHO masih terus mengembangkan virus kandidat vaksin influenza pandemi A-H1N1. Sambil menunggu datangnya vaksin, seluruh masyarakat Indonesia perlu terus waspada dan menjalani perilaku hidup yang bersih dan sehat [10].

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.1 Pembentukan Model Model yang diusulkan pada studi literatur ini merupakan sebuah model simulasi termasuk vaksinasi dan musiman untuk virus influenza A-H1N1.Adapun asumsi-asumsi yang digunakan antara lain: • Semua parameter bernilai positif. • Populasinya bersifat tertutup. • Tingkat kelahiran bersifat konstan.

• Tingkat kematian selain disebabkan oleh kematian alami juga dipengaruhi oleh kematian akibat terinfeksi. • Kontrol pencegahan bersifat konstan. • Tingkat penyembuhan bersifat konstan.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.1 Pembentukan Model Model yang diusulkan pada studi literatur ini merupakan model simulasi influenza A-H1N1 dengan kontrol pencegahan dan penyembuhan berupa vaksinasi. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan antara lain: a.

Semua parameter bernilai positif.

b.

Populasinya bersifat tertutup.

c.

Tingkat kelahiran bersifat konstan.

d.

Tingkat kematian selain disebabkan oleh kematian alami juga dipengaruhi oleh kematian akibat terinfeksi.

e.

Kontrol pencegahan bersifat konstan berupa vaksinasi.

f.

Tingkat penyembuhan bersifat konstan.

Model yang akan dibentuk merupakan model SIR untuk influenza A-H1N1. Adapun beberapa parameter yang digunakan adalah sebagai berikut.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.1 Pembentukan Model Tabel 1. Daftar parameter yang digunakan untuk membangun model Parameter

Keterangan

Satuan

Nilai interval

𝑥

Rata-rata jumlah individu yang rentan terhadap penyakit (susceptible)

𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔

𝑥 ≥ 0 dengan 𝑥 ∈ ℤ

𝑦

Rata-rata jumlah individu yang ter-infeksi (infected)

𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔

𝑦 ≥ 0 dengan 𝑦 ∈ ℤ

𝑧

Rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (immune)

𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔

𝑧 ≥ 0 dengan 𝑧 ∈ ℤ

𝑁

Rata-rata jumlah individu secara keseluruhan pada waktu 𝑡

𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔

𝑁 ≥ 0 dengan 𝑁 ∈ ℤ

𝛿

Mobilitas individu yang rentan terhadap penyakit (susceptible)

𝜇

Tingkat kematian alami

𝜎

Tingkat vaksinasi individu pada setiap usia dan waktu

𝛽

Koefisien transmisi periodik

𝜔

Tingkat kematian akibat terinfeksi

𝜃

Tingkat sembuhnya individu yang terinfeksi

𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 1 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 1 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

𝛿 ≥ 0 dengan 𝛿 ∈ ℤ 0 ≤ 𝜇 ≤ 1 dengan 𝜇 ∈ ℝ 0 ≤ 𝜎 ≤ 1 dengan 𝜎 ∈ ℝ

1 1 ∙ 0 ≤ 𝛽 ≤ 1 dengan 𝛽 ∈ ℝ 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 1 0 ≤ 𝜔 ≤ 1 dengan 𝜔 ∈ ℝ 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 1 0 ≤ 𝜃 ≤ 1 dengan 𝜃 ∈ ℝ 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.1 Pembentukan Model Berdasarkan asumsi yang telah dibuat, maka diagram interaksi yang terbentuk adalah sebagai berikut. Model yang terbentuk untuk diagram disamping 𝝁𝒙 𝝁𝒚 adalah 𝑑𝑥 = 𝛿 − 𝜇𝑥 − 𝜎𝑥 − 𝛽𝑥𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝜷𝒙𝒚 = 𝛽𝑥𝑦 − 𝜃𝑦 − 𝜇 + 𝜔 𝑦 𝒙 𝒚 𝜹 𝝎𝒚 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 𝜎𝑥 + 𝜃𝑦 − 𝜇𝑧 𝑑𝑡 𝜽𝒚 𝝈𝒙 𝑑𝑁 = 𝛿 − 𝜇𝑁 − 𝜔𝑦 𝑑𝑡 𝝁𝒛 Dengan 𝒛 𝑁 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧.

Gambar 3. Diagram interaksi model

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.2 Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan model ini diperoleh ketika memenuhi populasi 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah konstan. Artinya, 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = = =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 sehingga,

𝑑𝑥 = 𝛿 − 𝜇𝑥 − 𝜎𝑥 − 𝛽𝑥𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝑦 = 𝛽𝑥𝑦 − 𝜃𝑦 − 𝜇 + 𝜔 𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝑧 = 𝜎𝑥 + 𝜃𝑦 − 𝜇𝑧 𝑑𝑡

0 = 𝛿 − 𝜇𝑥 − 𝜎𝑥 − 𝛽𝑥𝑦

𝟎 = 𝒚(𝜷𝒙 − 𝜽 − 𝝁 − 𝝎)

0 = 𝜎𝑥 + 𝜃𝑦 − 𝜇𝑧

𝑥 𝜇 + 𝜎 + 𝛽𝑦 = 𝛿 𝒙=

𝜹 𝝁 + 𝝈 + 𝜷𝒚

𝜇𝑧 = 𝜎𝑥 + 𝜃𝑦 𝒛=

𝝈𝒙 + 𝜽𝒚 𝝁

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.2 Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan untuk model ini hanya memiliki dua kemungkinan, kemungkinan pertama adalah ketika dalam populasi tidak terdapat individu yang terinfeksi dan kemungkinan kedua adalah dalam populasi memiliki individu-individu yang terinfeksi. Kemungkinan pertama (ketika 𝒚 = 𝟎): Tinjau persamaan (i): 𝛿 𝑥= 𝜇 + 𝜎 + 𝛽𝑦 𝛿 𝑥= 𝜇 + 𝜎 + 𝛽(0) 𝛿 𝑥= 𝜇+𝜎

Tinjau persamaan (iii): 𝜎𝑥 + 𝜃𝑦 𝑧= 𝜇 𝛿 𝜎 +𝜃 0 𝜇+𝜎 𝑧= 𝜇 𝜎𝛿 𝜇+𝜎 𝑧= 𝜇 𝜎𝛿 𝑧= 𝜇(𝜇 + 𝜎)

Jadi, titik kesetimbangan pertama (eq1) adalah 𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝛿 𝜎𝛿 , 0, 𝜇+𝜎 𝜇 𝜇+𝜎

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.2 Titik Kesetimbangan Kemungkinan kedua (ketika 𝒚 > 𝟎): Tinjau persamaan (ii): 0 = 𝑦(𝛽𝑥 − 𝜃 − 𝜇 − 𝜔) 0 = 𝛽𝑥 − 𝜃 − 𝜇 − 𝜔 𝛽𝑥 = 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝑥=

𝜃+𝜇+𝜔 𝛽

Tinjau persamaan (i): 𝑥=

𝛿 𝜇 + 𝜎 + 𝛽𝑦

𝜃+𝜇+𝜔 𝛿 = 𝛽 𝜇 + 𝜎 + 𝛽𝑦 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 + 𝛽𝑦 = 𝛽𝛿 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 + 𝛽𝑦 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 = 𝛽𝛿 𝛽𝑦 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 = 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝑦=

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.2 Titik Kesetimbangan Kemungkinan kedua (ketika 𝒚 > 𝟎): Tinjau persamaan (iii): 𝜎𝑥 + 𝜃𝑦 𝑧= 𝜇 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 𝜎 +𝜃 𝛽 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔 𝑧= 𝜇 (𝜃 + 𝜇 + 𝜔) 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜎 +𝜃 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔 𝑧= 𝜇 𝜎 𝜃+𝜇+𝜔

2

+ 𝜃 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔 𝜇

𝜎 𝜃+𝜇+𝜔

2

+ 𝜃 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝛽𝜇 𝜃 + 𝜇 + 𝜔

𝑧= 𝑧=

Jadi, titik kesetimbangan kedua (eq2) adalah 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜎 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = , , 𝛽 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔

2

+ 𝜃 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝛽𝜇 𝜃 + 𝜇 + 𝜔

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.3 Analisis Eksistensi Suatu persamaan dikatakan eksis jika dan hanya jika nilai 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 berlaku pada sistem persamaan berikut.

𝑑𝑥 = 𝛿 − 𝜇𝑥 − 𝜎𝑥 − 𝛽𝑥𝑦 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝛽𝑥𝑦 − 𝜃𝑦 − 𝜇 + 𝜔 𝑦 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 𝜎𝑥 + 𝜃𝑦 − 𝜇𝑧 = 0 𝑑𝑡 Untuk titik kesetimbangan pertama (eq1): 𝛿 𝜎𝛿 𝑥, 𝑦, 𝑧 = , 0, 𝜇+𝜎 𝜇 𝜇+𝜎 Syarat keberadaan: tidak ada Analisis: • Berdasarkan asumsi yang telah dibuat, yaitu semua parameter bernilai positif, maka titik kesetimbangan ini tidak memiliki syarat keberadaan. Hal ini dikarenakan nilai dari setiap variabel (𝑥, 𝑦, atau 𝑧) selalu bernilai non negatif atau positif, sehingga akan selalu berlaku untuk sistem.

Untuk titik kesetimbangan kedua (eq2): 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜎 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = , , 𝛽 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔

2

+ 𝜃 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝛽𝜇 𝜃 + 𝜇 + 𝜔

Syarat keberadaan: 𝛽𝛿 > 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 Analisis: • Ketika 𝛽𝛿 = 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 maka populasi 𝑦 = 0, sedangkan untuk titik kesetimbangan kedua ini diasumsikan bahwa populasi 𝑦 itu ada sehingga 𝛽𝛿 ≠ 𝜃+𝜇+𝜔 𝜇+𝜎 . • Ketika 𝛽𝛿 < 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 maka populasi 𝑦 < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.4 Analisis Kestabilan Model yang digunakan pada kajian studi literatur ini termasuk sistem persamaan diferensial non linier. Oleh sebab itu, untuk menentukan sifat kestabilan pada setiap titik kritis maka dilakukan linearisasi Jacobian agar diperoleh nilai-nilai eigen untuk masing-masing titik kritis. Adapun matriks Jacobian untuk model tersebut adalah sebagai berikut. Menentukan Jacobian: −𝜇 − 𝜎 − 𝛽𝑦 −𝛽𝑥 0 𝛽𝑦 𝛽𝑥 − 𝜃 − 𝜇 − 𝜔 0 𝐽= 𝜎 𝜃 −𝜇 Berdasarkan matriks Jacobian diatas, akan ditentukan matriks Jacobian untuk masing-masing titik kritis. Setelah penentuan matriks Jacobian, langkah selanjutnya adalah mencari nilai eigen dengan menggunakan determinan dari matriks Jacobian tersebut untuk menentukan sifat kestabilannya. Berikut akan diuraikan mengenai penentuan sifat kestabilan untuk masing-masing titik kritis. Menentukan sifat kestabilan untuk eq1: Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan matriks Jacobian untuk titik ekuilibrium pertama (eq1), yakni: −𝜇 − 𝜎 − 𝛽(0) 𝐽1 =

𝛽(0) 𝜎

−𝛽 𝛽

𝛿 𝜇+𝜎

𝛿 −𝜃−𝜇−𝜔 𝜇+𝜎 𝜃

0 0 −𝜇

𝛽𝛿 0 𝜇+𝜎 𝛽𝛿 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜔)(𝜇 + 𝜎) 0 𝜇+𝜎 𝜃 −𝜇

−(𝜇 + 𝜎)

𝐽1 =

−

0 𝜎

Berdasarkan matriks Jacobian diatas, maka determinannya adalah sebagai berikut. 𝐽1 − 𝜆𝐼 = 0

− 𝜇+𝜎 −𝜆 0 𝜎 − 𝜇+𝜎 −𝜆

𝛿 0 𝜇+𝜎 =0 𝛽𝛿 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜔)(𝜇 + 𝜎) −𝜆 0 𝜇+𝜎 𝜃 −𝜇 − 𝜆 𝛽𝛿 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜔)(𝜇 + 𝜎) − 𝜆 −𝜇 − 𝜆 = 0 𝜇+𝜎 −𝛽

Sehingga, 𝜆1 = − 𝜇 + 𝜎 𝛽𝛿 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜔)(𝜇 + 𝜎) 𝜆2 = 𝜇+𝜎 𝜆3 = −𝜇 Karena 𝜆1 dan 𝜆3 bernilai negatif sedangkan 𝜆2 bernilai positif maka sistem bersifat tidak stabil.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.4 Analisis Kestabilan Menentukan kestabilan untuk eq2: Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan matriks Jacobian untuk titik ekuilibrium kedua (eq2), yakni:

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝛽 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔 𝜎

−(𝜇 + 𝜎) − 𝛽 𝐽2 =

𝜃+𝜇+𝜔 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔 𝛽 −𝜃−𝜇−𝜔 𝛽 𝜃 −𝛽

− 𝜇 + 𝜎 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 − 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 𝐽2 = 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 𝜎 − 𝜇 + 𝜎 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 − 𝛽𝛿 + 𝜇 + 𝜎 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜃+𝜇+𝜔 𝐽2 = 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 𝜎 𝛽𝛿 𝜃+𝜇+𝜔 𝐽2 = 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 𝜎 −

− 𝜃+𝜇+𝜔

0

0

0

𝜃

−𝜇

0 0 −𝜇

− 𝜃+𝜇+𝜔

0

𝜃+𝜇+𝜔 −𝜃−𝜇−𝜔

0

𝜃

−𝜇

− 𝜃+𝜇+𝜔

0

𝜃+𝜇+𝜔−𝜃−𝜇−𝜔

0

𝜃

−𝜇

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.4 Analisis Kestabilan Berdasarkan matriks Jacobian diatas, maka determinannya adalah sebagai berikut. 0 = 𝐽2 − 𝜆𝐼 𝛽𝛿 −𝜆 𝜃+𝜇+𝜔 0 = 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 𝜎 −

− 𝜃+𝜇+𝜔

0

−𝜆

0

𝜃

−𝜇 − 𝜆

0=

−

𝛽𝛿 𝜃+𝜇+𝜔

−𝜆

−𝜆 −𝜇 − 𝜆

− − 𝜃+𝜇+𝜔

0=

−

𝛽𝛿 𝜃+𝜇+𝜔

−𝜆

𝜇𝜆 + 𝜆2

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

0= − 0=−

𝛽𝛿𝜇 𝜃+𝜇+𝜔

𝛽𝛿𝜇 𝜃+𝜇+𝜔

0 = −𝜆3 −

𝜆− 𝜆−

𝛽𝛿 𝜃+𝜇+𝜔

𝛽𝛿 𝜃+𝜇+𝜔

𝛽𝛿 𝜃+𝜇+𝜔

+

𝛽𝛿− 𝜃+𝜇+𝜔 𝜇+𝜎 𝜃+𝜇+𝜔

−𝜇 − 𝜆

−𝜇 − 𝜆

𝜆2 − 𝜇𝜆2 − 𝜆3 + −𝛽𝛿𝜇 − 𝛽𝛿𝜆 + 𝜇 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 + 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜆 𝜆2 − 𝜇𝜆2 − 𝜆3 − 𝛽𝛿𝜇 − 𝛽𝛿𝜆 + 𝜇 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 + 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜆

𝜆2 − 𝜇𝜆2 −

𝛽𝛿𝜇 𝜃+𝜇+𝜔

𝜆 − 𝛽𝛿𝜆 + 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 𝜆 − 𝜇 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

.............................(3.4)

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.4 Analisis Kestabilan Untuk mencari nilai eigen dari persamaan (3.4), caranya adalah dengan menggunakan aturan cramer untuk mencari faktor-faktor dari persamaan tersebut, yakni: 𝜇 −1

𝛽𝛿 + 𝜇 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 − 𝜃+𝜇+𝜔

⋮

−𝜇

−1

−𝛽𝛿 𝜃+𝜇+𝜔

𝛽𝛿𝜇 + 𝛽𝛿(𝜃 + 𝜇 + 𝜔) − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 − 𝜃+𝜇+𝜔

−𝛽𝛿𝜇 𝜃+𝜇+𝜔 − 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

2

𝜇+𝜎

−𝜇 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

−𝜇 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

-

0

Berdasarkan aturan cramer diatas, diperoleh salah satu faktornya adalah 𝜆 + 𝜇, sehingga 𝜆1 = −𝜇. Langkah selanjutnya adalah mencari faktor lainnya dengan sisa dari aturan cramer yakni persamaan berikut. 𝛽𝛿 −𝜆2 − 𝜆 − 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 = 0 𝜃+𝜇+𝜔 dengan menggunakan rumus abc, diperoleh: 𝜆2,3

𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 =− 2𝑎

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.4 Analisis Kestabilan 𝛽𝛿 − ± 𝜃+𝜇+𝜔

𝛽𝛿 − 𝜃+𝜇+𝜔

𝜆2,3 = −

2

− 4 −1 − 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 2(−1)

𝛽𝛿 ± 𝜃+𝜇+𝜔

𝛽2 𝛿 2 𝜃+𝜇+𝜔

𝜆2,3 =

2

− 4 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 −2

𝛽2 𝛿 2 𝜃+𝜇+𝜔

𝜆2,3

1 𝛽𝛿 =− ± 2 𝜃+𝜇+𝜔

𝜆2,3

1 𝛽𝛿 𝛽 2 𝛿 2 − 4 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 2 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 =− ± 2 𝜃+𝜇+𝜔 𝜃+𝜇+𝜔 2

𝜆2,3

2

− 4 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

2 2 2 1 𝛽𝛿 ± 𝛽 𝛿 − 4 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 =− 2 𝜃+𝜇+𝜔

𝜆2,3 = −

1 𝛽𝛿 ± 𝛽 2 𝛿 2 − 4 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 2 𝜃+𝜇+𝜔

2

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.4 Analisis Kestabilan Jadi, 𝜆1 = −𝜇 1 𝜆2 = − 𝛽𝛿 + 𝛽2 𝛿 2 − 4 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 2 𝜃+𝜇+𝜔

2

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

1 𝛽𝛿 − 𝛽2 𝛿 2 − 4 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 2 𝜃+𝜇+𝜔

2

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

𝜆3 = −

Berdasarkan persamaaan diatas, diperoleh nilai 𝜆1 bernilai negatif sedangkan untuk 𝜆2 dan 𝜆3 belum diketahui nilainya. Agar persamaan menjadi stabil, maka harus dipastikan bahwa nilai 𝜆2 dan 𝜆3 juga bernilai negatif. Nilai dari 𝜆2 dan 𝜆3 diperoleh dari persamaan 𝛽𝛿 −𝜆2 − 𝜆 − 𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 = 0 𝜃+𝜇+𝜔 sehingga jika 𝜆2 < 0 dan 𝜆3 < 0 maka dengan menggunakan aturan jumlah dan kali pada persamaan berorde dua harus diperoleh 𝜆2 + 𝜆3 < 0

dan

𝜆2 × 𝜆3 > 0

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.4 Analisis Kestabilan

Oleh sebab itu, dapat disimpulkan bahwa 𝜆2 = −

1 𝛽𝛿 + 𝛽 2 𝛿 2 − 4 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 2 𝜃+𝜇+𝜔

2

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

<0

𝜆3 = −

1 𝛽𝛿 − 𝛽 2 𝛿 2 − 4 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 2 𝜃+𝜇+𝜔

2

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

<0

dengan 𝛽𝛿 >

𝛽2 𝛿 2 − 4 𝜃 + 𝜇 + 𝜔

2

𝛽𝛿 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎

Jadi, 𝜆1 , 𝜆2 dan 𝜆3 bernilai negatif sehingga eq2 bersifat stabil.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.5 Angka Reproduksi Dasar (𝑹𝟎 ) Angka reproduksi dasar (R 0 ) mewakili jumlah rata-rata individu baru yang dapat terinfeksi karena terdapat satu individu terinfeksi yang berinteraksi dengan populasi individu yag rentan [Hercote, 2000]. Jika 𝑅0 < 1, virus A-H1N1 hilang sehingga populasi mengalami bebas penyakit karena populasi individu terinfeksi menuju nol. Ketika 𝑅0 > 1 , hal ini menunjukkan adanya virus A-H1N1 dalam populasi sehingga menimbulkan penyakit menjadi mewabah karena populasi individu terinfeksi lebih dari nol. Untuk mencari angka reproduksi dasar (R 0 ), bisa menggunakan cara yang sederhana. Cara untuk mencari 𝑅0 ini akan diperiksa mengenai peningkatan dan penurunan pada infeksi, oleh sebab itu dapat diketahui bahwa [jurnal imeh]:Jika 𝑑𝑦 >0 𝑑𝑡 𝛽𝑥𝑦 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝑦 > 0 𝑦 𝛽𝑥 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 > 0 𝛽𝑥 − 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 > 0

maka 𝛽𝑥 > 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝛽𝑥 >1 𝜃+𝜇+𝜔 𝛿 𝛽 𝜇+𝜎 >1 𝜃+𝜇+𝜔 𝛽𝛿 >1 𝜇+𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 Oleh karena itu misalkan 𝛽𝛿 𝑅0 = 𝜇+𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 menyebabkan • jika

𝑑𝑦 𝑑𝑡

> 0 maka akan diperoleh 𝑅0 > 1, yaitu kondisi ketika

penyakit influenza A-H1N1 mewabah. 𝑑𝑦

• jika = 0 maka akan diperoleh 𝑅0 = 1, yaitu kondisi ketika 𝑑𝑡 populasi dalam keadaan stabil. 𝑑𝑦

• jika < 0 maka akan diperoleh 𝑅0 < 1, yaitu kondisi ketika 𝑑𝑡 populasi bebas dari penyakit influenza A-H1N1.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.6 Simulasi Numerik Untuk mengilustrasikan hasil analisis model yang diberikan, dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan nilai parameter seperti yang diberikan pada tabel 2. Setiap simulasi diuji untuk tiga nilai awal masing-masing 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 yaitu NA1 = (45, 5, 10), NA2 = (20, 7, 38), dan NA3 = (35, 5, 20). Tabel 2. Simulasi Numerik untuk sistem Simulasi

Parameter 𝜹

𝝁

𝝈

𝜷

𝜽

𝝎

1

2

0,05

0,1

0

0,5

0,1

2

4

0,4

0,1

0

0,2

0,6

3

4

0,4

0,1

0

0,9

0,7

4

1

0,1

0,2

0,1

0,3

0,2

5

0

0,05

0,1

0,5

0,5

0,1

6

0

0,05

0,1

0

0,5

0,1

7

2

0,05

0,1

0,75

0,5

0,1

8

5

0,5

0,2

0,4

0,3

0,1

9 1 0,1 0,1 0,06 0,05 0,15 Berdasarkan simulasi-simulasi diatas, akan ditunjukkan potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 terhadap 𝑡 untuk masing-masing simulasi, yakni:

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.6 Simulasi Numerik

Gambar 4. Potret fase solusi-solusi x, y, z terhadap t untuk simulasi 1-9

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.6 Simulasi Numerik Adapun potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 untuk masing-masing simulasi adalah sebagai berikut.

Gambar 5. Potret fase di bidang x, y, z untuk simulasi 1-9

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.6 Simulasi Numerik Berikut akan ditampilkan beberapa hasil dari perhitungan untuk masing-masing simulasi.

Tabel 3. Perhitungan untuk masing-masing simulasi

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.7 Interpretasi Hasil Pada simulasi 1, 2, dan 3 besarnya interaksi antara variabel 𝑥 dan 𝑦 adalah nol, artinya tidak adanya interaksi antara individu yang rentan (susceptible) dengan individu yang terinfeksi (infected). Oleh sebab itu, dapat dipastikan bahwa populasi individu yang terinfeksi akan menuju nol (tidak terdapat populasi individu yang terinfeksi) yang merupakan ciri dari eq1. Pada potret fase solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 terlihat bahwa seiring dengan berjalannya waktu grafik ratarata jumlah individu yang terinfeksi (𝑦) selalu berada dibawah grafik rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥) dan rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (𝑧). Dalam kasus ini, berapapun nilai awal yang diberikan populasi akan stabil menuju eq1. Hal ini diperlihatkan pada potret fase di bidang x, y, z untuk simulasi 1, 2, dan 3 yang menunjukkan bahwa berapa pun nilai awal yang diberikan akan menghasilkan nilai akhir yang sama, yaitu menuju nilai titik kesetimbangan pertama (eq1). Selain itu, kasus untuk simulasi 1, 2, dan 3 ini memiliki nilai ambang epidemi 𝑅0 = 0. Artinya, pada kasus ini populasi bebas dari penyakit influenza A-H1N1.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.7 Interpretasi Hasil

Pada simulasi 4 terjadi interaksi antara variabel 𝑥 dan 𝑦, namun tidak memenuhi syarat eksis untuk eq2. Ini menunjukkan bahwa meskipun adanya interaksi antara individu yang rentan (susceptible) dengan individu yang terinfeksi (infected), tidak terlalu berpengaruh pada populasi. Oleh sebab itu, dapat dipastikan bahwa individu yang terinfeksi pernah ada dalam populasi, namun seiring berjalannya waktu akan mengalami penurunan menuju nol (tidak terdapat populasi individu yang terinfeksi) yang merupakan ciri dari eq1. Pada potret fase solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 terlihat bahwa grafik rata-rata jumlah individu terinfeksi (𝑦) yang pernah naik namun seiring berjalannya waktu turun dibawah grafik rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥) dan rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (𝑧). Dalam kasus ini, berapapun nilai awal yang diberikan populasi akan stabil menuju eq1. Hal ini diperlihatkan pada potret fase di bidang x, y, z simulasi 4 yang menunjukkan bahwa berapa pun nilai awal yang diberikan akan menghasilkan nilai akhir yang sama, yaitu menuju nilai titik kesetimbangan yang pertama (eq1). Selain itu, kasus untuk simulasi 4 ini memiliki nilai ambang epidemi 𝑅0 = 0,555556. Artinya, pada kasus ini populasi bebas dari penyakit influenza A-H1N1.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.7 Interpretasi Hasil

Pada simulasi 5, terjadi interaksi antara variabel 𝑥 dan variabel 𝑦 namun tidak memenuhi syarat eksis untuk eq2. Pada kasus ini, dengan diberikannya nilai 𝛿 = 0 menunjukkan bahwa dengan adanya interaksi antara individu yang rentan (susceptible) dengan individu yang terinfeksi (infected) mengakibatkan rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥) dan rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (𝑧) akan terus mengalami penurunan menuju nol karena terjadinya kematian alami namun tidak adanya kelahiran dalam populasi tersebut. Individu yang terinfeksi (𝑦) meskipun pernah ada dalam populasi, namun seiring berjalannya waktu akan mengalami penurunan menuju nol (tidak terdapat populasi individu yang terinfeksi). Hal ini ditunjukkan dalam potret fase solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 yang ditandai dengan semakin bertambahnya 𝑡, grafik rata-rata jumlah individu terinfeksi (𝑦) pernah naik namun terus menurun menuju nol, sedangkan grafik rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥) terus turun menuju nol dan rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (𝑧) juga terus turun menuju nol. Dalam kasus ini, berapapun nilai awal yang diberikan populasi akan stabil menuju eq1. Hal ini diperlihatkan pada potret fase di bidang x, y, z simulasi 5 yang menunjukkan bahwa berapa pun nilai awal yang diberikan akan menghasilkan nilai akhir yang sama, yaitu menuju nilai titik kesetimbangan yang pertama (eq1). Selain itu, kasus untuk simulasi 5 ini memiliki nilai ambang epidemi 𝑅0 = 0. Artinya, pada kasus ini populasi bebas dari penyakit influenza A-H1N1.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.7 Interpretasi Hasil

Pada simulasi 6 besarnya interaksi antara variabel 𝑥 dan 𝑦 adalah nol, artinya tidak adanya interaksi antara individu yang rentan (susceptible) dengan individu yang terinfeksi (infected). Oleh sebab itu, dapat dipastikan bahwa populasi individu yang terinfeksi akan menuju nol (tidak terdapat populasi individu yang terinfeksi) yang merupakan ciri dari eq1. Pada kasus ini juga, dengan diberikannya nilai 𝛿 = 0 menunjukkan bahwa dengan adanya interaksi antara individu yang rentan (susceptible) dengan individu yang terinfeksi (infected) mengakibatkan rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥) dan rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (𝑧) akan terus mengalami penurunan menuju nol karena terjadinya kematian alami namun tidak adanya kelahiran dalam populasi tersebut. Pada potret fase solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 terlihat bahwa seiring dengan bertambahnya waktu, grafik rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥), rata-rata jumlah individu terinfeksi (𝑦), dan rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (𝑧) akan terus menurun menuju nol. Dalam kasus ini, berapapun nilai awal yang diberikan populasi akan stabil menuju eq1. Hal ini diperlihatkan pada potret fase di bidang x, y, z simulasi 6 yang menunjukkan bahwa berapa pun nilai awal yang diberikan akan menghasilkan nilai akhir yang sama, yaitu menuju nilai titik kesetimbangan yang pertama (eq1). Selain itu, kasus untuk simulasi 6 ini memiliki nilai ambang epidemi 𝑅0 = 0.Artinya, pada kasus ini populasi bebas dari penyakit influenza A-H1N1.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.7 Interpretasi Hasil

Pada simulasi 7 dan 8, terjadi interaksi antara variabel 𝑥 dan variabel 𝑦 dengan kondisi memenuhi syarat eksis untuk eq2. Ini menunjukkan bahwa dalam populasi tersebut akan selalu terdapat beberapa individu yang terinfeksi (𝑦 ≠ 0) yang merupakan ciri dari eq2. Hal ini diperlihatkan pada potret fase di bidang x, y, z terhadap 𝑡 yang ditandai dengan seiring bertambahnya 𝑡, grafik rata-rata jumlah individu terinfeksi (𝑦) akan selalu berada diatas grafik rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥) atau berada diatas grafik rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥) dan grafik rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (𝑧). Dalam kasus ini, berapapun nilai awal yang diberikan populasi akan stabil menuju eq2. Hal ini diperlihatkan pada potret fase di bidang x, y, z simulasi 7 dan 8 yang menunjukkan bahwa berapa pun nilai awal yang diberikan akan menghasilkan nilai akhir yang sama, yaitu nilai pada titik kesetimbangan yang kedua (eq2). Selain itu, kasus untuk simulasi 7 dan 8 ini memiliki nilai ambang epidemi masing-masing 𝑅0 = 15,38462 dan 𝑅0 = 3,174603. Artinya, pada kasus ini penyakit influenza A-H1N1 mewabah pada populasi. Hal ini dikarenakan pada kasus simulasi 7, saat satu individu yang terinfeksi masuk ke populasi individu yang rentan terhadap penyakit dan saling berinteraksi maka akan menghasilkan 15 individu yang rentan terhadap penyakit menjadi terinfeksi. Sedangkan pada kasus simulasi 8, saat satu individu yang terinfeksi masuk ke populasi individu yang rentan terhadap penyakit dan saling berinteraksi maka akan menghasilkan 3 individu yang rentan terhadap penyakit menjadi terinfeksi. Hal ini terjadi disebabkan karena banyaknya individu yang terinfeksi lebih cepat penyebarannya dibandingkan banyaknya kematian alami, kematian karena terinfeksi, atau vaksinasi yang dilakukan.

BAB III: MODEL SIMULASI TERMASUK VAKSINASI DAN MUSIMAN UNTUK VIRUS INFLUENZA A -H1N1 3.7 Interpretasi Hasil

Pada simulasi 9, terjadi interaksi antara variabel 𝑥 dan variabel 𝑦 dengan kondisi 𝛽𝛿 = 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 untuk eq2. Hal ini mengakibatkan rata-rata jumlah individu terinfeksi (𝑦) sama dengan nol sehingga eq1=eq2. Hal ini ditunjukkan dalam potret fase solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 yang ditandai dengan seiring bertambahnya 𝑡, grafik ratarata jumlah individu terinfeksi (𝑦) terus menurun menuju nol serta grafik rata-rata jumlah individu yang rentan (𝑥) dan grafik rata-rata jumlah individu yang kebal terhadap penyakit (𝑧) menuju pada titik yang sama. Dalam kasus ini, berapapun nilai awal yang diberikan populasi akan stabil menuju eq1=eq2. Hal ini diperlihatkan pada potret fase di bidang x, y, z simulasi 9 yang menunjukkan bahwa berapa pun nilai awal yang diberikan akan menghasilkan nilai akhir yang sama, yaitu menuju nilai eq1=eq2. Selain itu, kasus untuk simulasi 9 ini memiliki nilai ambang epidemi 𝑅0 = 1. Artinya, pada kasus ini penyakit influenza A-H1N1 tidak mewabah namun tidak pula hilang pada populasi karena banyaknya interaksi yang terjadi antara individu yang terinfeksi dengan individu yang rentan terhadap penyakit sebanding dengan kematian alami, kematian karena terinfeksi, atau vaksinasi yang dilakukan.

BAB IV: PENUTUP 4.1 Kesimpulan Model simulasi termasuk vaksinasi dan musiman untuk virus influenza A-H1N1 adalah sebagai berikut. 𝑑𝑥 = 𝛿 − 𝜇𝑥 − 𝜎𝑥 − 𝛽𝑥𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝛽𝑥𝑦 − 𝜃𝑦 − 𝜇 + 𝜔 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 𝜎𝑥 + 𝜃𝑦 − 𝜇𝑧 𝑑𝑡 Model

tersebut

𝜃+𝜇+𝜔 𝛽𝛿− 𝜃+𝜇+𝜔 𝜇+𝜎 , 𝛽 𝛽 𝜃+𝜇+𝜔

,

memiliki

dua

titik

𝜎 𝜃+𝜇+𝜔 2 +𝜃 𝛽𝛿− 𝜃+𝜇+𝜔 𝜇+𝜎 𝛽𝜇 𝜃+𝜇+𝜔

kesetimbangan,

yakni

𝑒𝑞1 =

𝛿 𝜎𝛿 , 0, 𝜇+𝜎 𝜇 𝜇+𝜎

dan

𝑒𝑞2 =

yang me-miliki syarat keberadaan 𝛽𝛿 > 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 .

Pada model tersebut, populasi akan stabil menuju titik eq1 jika syarat eksis 𝛽𝛿 > 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 untuk eq2 tidak terpenuhi. Ada beberapa sebab yang membuat syarat eksis tersebut tidak terpenuhi, misalnya tidak adanya koefisien transmisi berkala (𝛽 = 0), tidak adanya mobilitas individu yang rentan terhadap penyakit (𝛿 = 0), atau 𝛽𝛿 < 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 . Kondisi ini terjadi pada simulasi 1-6. Jika syarat eksis 𝛽𝛿 > 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 terpenuhi, maka populasi akan stabil menuju eq2. Kondisi ini terjadi pada simulasi 7 dan simulasi 8. Namun apabila yang terjadi adalah 𝛽𝛿 = 𝜃 + 𝜇 + 𝜔 𝜇 + 𝜎 , populasi akan stabil menuju 𝑒𝑞1 = 𝑒𝑞2.

4.2 Saran Studi literatur ini hanya membahas tentang model simulasi termasuk vaksinasi dan musiman untuk virus influenza A-H1N1, tanpa ada faktor dan asumsi lainnya selain yang digunakan penulis. Penulis berharap model ini dapat dikembangkan untuk penelitian selanjutnya dengan penambahan asumsi atau faktor-faktor lainnya yang berhubungan dengan interaksi dari model ini.

DAFTAR PUSTAKA [1] M. E. C. P and P. Irma, “A Simulation Model Including Vaccination and Seasonality for Influenza A-H1N1 Virus,” vol. 10, no. 26, pp. 1269–1276, 2016. [2] S. Kompartemen, “Penyakit Flu Burung (Mathematical Model and Stability Analysis The Spread of Avian Influenza).” [3] W. dan Sutimin, Buku Ajar Pemodelan Matematika. Semarang: Fakultas MIPA Universitas Diponegoro, 2007. [4] D. Rahmalia,“Stabilitas dari Penyebaran Penyakit,” no. 1, pp. 11–19, 2007.

LAMPIRAN Lampiran 1. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 1 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 1. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 1 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 2. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 2 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 2. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 2 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 3. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 3 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 3. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 3 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 4. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 4 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 4. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 4 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 5. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 5 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 5. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 5 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 6. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 6 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 6. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 6 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 < 1:

LAMPIRAN Lampiran 7. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 7 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 > 1:

LAMPIRAN Lampiran 7. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 7 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 > 1:

LAMPIRAN Lampiran 8. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 8 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 > 1:

LAMPIRAN Lampiran 8. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 8 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 > 1:

LAMPIRAN Lampiran 9. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 9 Potret fase solusi-solusi 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap 𝑡 dengan 𝑅0 = 1:

LAMPIRAN Lampiran 9. Program komputer untuk potret fase solusi-solusi x, y, dan z terhadap t dan potret fase di bidang x, y, z pada simulasi 9 Potret fase di bidang 𝑥, 𝑦, 𝑧 dengan 𝑅0 = 1: