Rumus Matematika Matematika Keuangan

H. MEMECAHKAN MASALAH KEUANGAN DENGAN KONSEP MATEMATIKA Menyelesaikan Masalah Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk Dalam Keuangan Bunga Tunggal Pengertian Bunga Persen Diatas Seratus dan Persen Dibawah Seratus Persen Di atas Seratus Persen diatas seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum di tulis : P 100 + P Untuk menentukan P diatas seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu : Dengan perhitungan biasa,P % di atas seratus dari modal M adalah : P xM 100 + P Dengan jumlah deret geometri turun tak berhinga : P P P P 100 = 100 = 100 = 100 + P 100 + P 1 + P  P  1− −  100 100  100  Bentuk terakhir tersebut meruoakan jumlah deret geometri turun tak terhingga dengan : P Suku pertama a = 100 P r=− Rasio 100 Sehingga , 2 3 P P  P  P   P  P    P  P   = + . −  + −  + −   + ... 100 + P 100 100  100  100  100   100  100   2

3

4

P  P   P   P  = − + − + ... - … 100 100  100  100  P xM adalah : Dengan demikian untuk menghitung 100 + P P ×M Hitung 100 + P

2

 p  Hasil 1) dikurangi   ×M 100  3

Hasil 2) ditambah

 p  100  × M   4

 p  Hasil 3) dikurangi   ×M 100  Dan seterusnya Contoh 3 Persen Di bawah Seratus Persen dibawah seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum di tulis : P 100 − P Untuk menentukan P dibawah seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu : Dengan perhitungan biasa,P % di bawah seratus dari modal M adalah : P ×M 100 − P Dengan jumlah deret geometri turun tak berhinga : P P P P = 100 = 100 = 100 P 100 − P 100 − P 1 + P 1− 100 100 100 Bentuk terakhir tersebut meruoakan jumlah deret geometri turun tak terhingga dengan : 2 3 P P  P P   P  P    P  P  = + . +   +    + ... 100 − P 100 100 100  100  100   100  100   2

3

4

P  P   P   P  + + + + ... - … 100 100  100  100  P xM adalah : Dengan demikian untuk menghitung 100 − P Pengertian Bunga Tunggal =

Bunga Tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipimjam. Jika kita memperbungakan modal (uang ) sebesar M dengan bunga tunggal sebesar P % setahun, dan besarnya bunga dinyatakan dengan I , maka : Setelah t tahun, besarnya bunga : I=

M .P.t 100

Setelah t bulan, besarnya bunga : I=

M .P.t 100 × 12

Setelah t bulan, besarnya bunga : 1) Jika satu tahu 360 hari, maka I=

M .P.t 100 × 360

2) Jika satu tahun 365 hari ( tahun kabisat) ,maka I=

M .P.t 100 × 365

3) Jika satu tahun 366 hari ( tahun kabisat) ,maka I=

M .P.t 100 × 366

Metode Perhitungan Bunga Tunggal a. Metode Pembagi Tetap Kita telah mengenal rumus untuk mencari besar bunga dari uang sebesar M yang digunakan selama t hari dengan suku bunga P % setahun,yang dirunuskan sebagai berikut : P t I =M× × 100 360

M ×t P × 100 360 M .t 360 = : 100 P M .t 360 Bentuk disebut angka tahun dan disebut penbagi tetap, maka rumus 100 P bunga di atas menjadi : =

I=

Angka bunga Pembagi tetap

Jika ada beberapa uang yang dipergunakan atas dasar bunga yang sama maka : Jumlah bunga =

Jumlah angka bunga Pembagi tetap

b.

Metode persen yang sebanding Metode persen yang sebanding digunakan jika suku bunga bukan merupakan pembagi habis 360, sebab dengan metode ini satu tahun dihitung 360 1 hari,missal kita ambil suku bunga 9 % setahun ,dengan langkah sebagai 2 berikutini : a. Hitunglah besar bunga berdasarkan persentase terdekat dengan suku bunga merupakan pembagi habis 360 ! b. Hitunglah besar bunga yang dimaksud dengan menggunakan persen yang sebanding! c. Metode persen yang seukuran Metode persen yang seukuran menggunakan perhitungan satu tahun = 365, sehingga perhitngan dengan metode ini mula – mula harus dihitung bunga 5 % setahun sebagai berikut : 5 t ×M × 100 365 M .t 5 = × 100 365 M .t 1 M .t 100 = × = × 100 73 10.000 73

I=

100 1 1 1 ≈ 1+ + + 73 3 30 300 Jadi, besar bunga 5 % sebanding dengan M .t  1 1 1  = + 1 + +  10.000  3 30 300  Kemudian, menghitung besarnya bunga yang dimaksud dengan metode persen yang sebanding. Bilangan

2. a.

c. Rp 900.000,00 selama 90 hari Bunga Majemuk Perbedaan bunga dengan diskonto Untuk memperjelas perbedaan bunga dengan diskonto, marilah kit perhatikan ilustrasi sebagai berikut! Budi menminjam uang kepada Rony sebesar Rp 20.000.000,00 atas dasar bunga tunggal yang akan dikembalikan setahun kemudian. Jika saat meminjam, Jumlah uang yang ditrima BUdi sebesar Rp 18.000.000,00, maka hal ini di katakan Budi telah membayar diskonto sebesar Rp 2.000.000,00. Dari kejadiaan diatas, dapat disimpulkan bahwa diskonto adalah bunga yang dibayarkan oleh peminjam saat menerima pinjaman. Jika nilai diskonto = D, jumlah uang yang diterima saat meminjam atau Nilai Tunai = NT, dan jumlah uang yang harus dikembalikan atau Niai Akhir = NA, maka hubunga ketiganya dinyatakan dalam bentuk : D = NA - NT Ada dua cara untuk mencari diskonto adalah sebagai berikut :

1)

Disakonto dari nilai akhir

D=

2)

P t × NA × 100 h

Keterangan : D = Diskonto P = Suku bunga diskonto NA = Nilai akhir t = waktu pinjaman h = 1, 12, dan 360 Diskonto dari nilai tunai D=

P .NT 100 − P

Pengertian dan konsep bunga majemuk Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama pereode bunga tertentu, misalnya satu tahun, maka setelah satu tahun kita akan mendapat bunga sebesar P % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada pereode berikutnya sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikut berbeda jumlanya ( menjadi bunga berbunga ) maka dikatan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk. Perbedaan bunga tunggal dan bunga majemuk Untuk memahami perbedan antara bunga tunggal dengan bunga majemuk, marilah kita perhatikan contoh – contoh berikut! Contoh : Herman menabung uang dibank sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 5 % setahun. Menjadi berapakah uang Herman setelah satu tahun? Jawab : Diketehui : M = 2.000.000 P =5 t =3 P × M ×t I = 100 5 × 2.000.000 × 3 = 300.000 = 100 Jadi, jumlah uang Herman setelah 3 tahun menjadi Rp 2.000.000,00 + Rp 300.000,00 = Rp 2.300.000,00 Perhitungan nilai akhir modal 1

Dengan menggunakan rumus Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar P % satahun P selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah : ( i = ) 100 Maka rumusnya adalah : Mn = M ( 1 + i)n

Contoh 14 Perhitungan nilai tunai modal Dengan menggunakan rumus nilaitunai Kita masih ingat bahwa rumus nilai akhir bunga majemuk, yaitu : Mn = M ( 1 + i)n Rumus di atas dapat diubah menjadi : M =

Mn (1 + i ) n

M = modal mula – mula atau nilai tunai ( NT ) Mn = modal setelah n jangka waktu ( periode ),selanjutnya ditulis M Mn Jadi , NT = (1 + i ) n 1 Atau NT = M × (1 + i ) n atau NT = M ( 1 + i)-n Menentukan nilai tunai modal dengan kalkulator Nilai tunai modal dengan masa bunga pecahan NT =

M (1 + i ) n 1 + a i   b 

Menyelesaikan Masalah Rente Dalam Keuangan. Pengertian Rente dan Macan Rente Rente adalah deret modal yang dibayarkan atau diterima pada sertiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya. Masing – masing modal ini disebut angsuran. Pada hakikatnya , ada tiga macam rente sebagai berikut ini ; 1. Berdasar saat pembayaran angsuran meliputi : 1) Rente pra – numerando 2) Rente post – numerando 2. Berdasarkan banyaknya angsuran, meliputi : 1) Rente terbatas 2) Rente Kekal 3. Berdasarkan langsung tidaknya pembayaran pertama,meliputi : 1) Rente langsung 2) Rente yang di tangguhkan

2.

Menghitung Nilai Akhir Rente

Nilai akhir rente adalah jumlah seluruh angsuran dan bunga – bunga yang di hitung pada akhir masa bunga terakhir. Nilai akhir rente dinyatakan dengan NA.Ada dua macam nilai akhir rente, yaiti nilai akhir rete pra – numerando dan nilai akhir rente post – numerando. 2.a. Menghitung Akhir Rente Pra - numerando Dengan Deret Geometri n ( 1 +) − 1 atau M (1 + i ) i

[

NA =

]

M (1 + i ) (1 + i ) n − 1 i

[

]

Bentuk ( 1 + i )n dapat dicari dalam Daftar bunga I. Dengan Daftar Bunga Selan dengan deret geometri, nilai akhir rente pra – numerando juga dapat disajikan dalam bu\entuk notasi sigma : n

NA = M ∑ (1 + i )

k

k =1

2.b. Akhir Rente Post- numerando Nilai akhir post – numerando adalah nilai akhir suatu rente yang amgsuran terakhirnya belum mengalami pembungaan. Atau NA =

[

]

M (1 + i ) n − 1 i

Rumus diatas adalah nilai akhir rente post – numerando, bentuk ( 1 + i ) dapat dicari dalam daftar I atau dengan kalkulator. Atau dinyatakan sebagai berikut : n

NA = M + M ∑ (1 + i ) k =1

3.

Hitung Nilai Tunai Rente

k

Nilai tunai rente adalah jumlah seluruh nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga pertama, yang dinyatakan dengan NT. Ada dua jenis nilai tunai rente yaitu : nilai tunai rente pra – numerando dan nilai tunai rente post – numerando. 3.a. Menghitung Nilai Tunai Rente Pra - numerando Maka rumus NA diatas dapat diubah menjadi : −n M . 1 − (1 + ) NT = −1 1 − (1 + i ) Atau

[

]

NT =

M (1 + i ) −n 1 − (1 + i ) i

[

]

Selain dengan deret geometri dapatjuga disajikan dengan notasi sigma : NA = M + M(1+ i )-1+ M(1+ i )-2 + ... + M(1+ i )2 - n + M(1+ i )1 - n NA = M + M[(1+ i )-1+ M(1+ i )-2 + ... + M(1+ i )2 – n + M(1+ i )1 - n ] NT = M + M

n −1

∑ (1 + i )

−k

k =1

n −1

Bentuk

∑ (1 + i )

−k

dicari dalam daftar IV

k =1

3.b. Menghitung Nilai Tunai Rente Post – numerando −n M 1 − (1 + i ) NT = i Atau nilai tunai rente post – numerando :

[

]

NT =

[

M −n 1 − (1 + i ) i

]

Jika bentuk diatas ditulis dalam notasi sigma, maka dapat ditulis sebagai :

NT = M

n

∑ (1 + i )

−k

k =1

n

Bentuk

∑ (1 + i )

−k

dapat dicar dalam daftar IV.

k =1

4. Menghitung Rente Kekal 4.a Menghitung Nilai Rente Kekal Pra – numerando

Nilai tunai rente pra – numerando adalah jumlah masing – masing nilai tunai suatu pembayaran setiap awal masa bunga , dengan waktu yang tidak terbatas dan suku bunga tetap. Kita ingat kembali tentang nilai tunai rente pra – numerando. Jika rentenya tanpa batas ,maka : Jadi, nilai tunai rente kekal pra – numerando dapat ditulis dalam bentuk NT =

M (1 + i ) i

4.b. Menghitung Nilai Tunai Rente Kekal Post – numerando Sehingga, nilai tunai rente kekal post – numerando dapat ditulis dalam bentuk : NT =

M i

5.

Rente Yang Ditangguhkan Semua jenis rente yang telah dibahas diatr adalah rente langsung yaitu pembayaran atau penerimaan yang pertama dilakukan pada awal atau akhir masa bunga yang pertama. Pada rente yang ditangguhkan atau rente tertuda, pembayaran atau penerimaan yang pertama mengalam penangguhan atau penundaan selama k mas bunga. Untuk lebih memahami pengertian rente yang di tangguhkan, maka perhatikan contoh berikut ini : Pada tanggal 1 Januari 2006 ,Fitri meminjam uang di bank . Pinjaman tersebut pelunasannya dicicil tiap awal bulan sebesar Rp 100.000,00m dimulai 1 April 2006 dan berakhir 1 Maret 2007 dengan suku bunga majemuk 5 % setiap bulan. Jumlah uang yang dipinjam Fitri pada tanggal 1 Januari 2006 disebut nilai tunai rente yang tertunda. Jika pada contoh masalah di atas, uang yang di pinjam adalh M rupiah, di bayar tiap awal bulan ke –n, suku bunga majemuk I = P % per bulan, maka di peroleh :  (1 + i ) n − (1 + i ) k −1  M 1 NT = .   i (1 + i ) k −1  (1 + i ) n  NT =

M 1 1  −   i  (1 + i ) k −1 (1 + i ) n 

Dengan notasi sigma ditanyakan dalam bentuk :

n

NT = M ∑ (1 + i ) m =1

−m

k −1

− M ∑ (1 + i ) m =1

−m

C. Mennyelesaikan Masalah Anuitas Dalam Sistem Pinjaman 1. Pengertian Anuitas Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang sama besarnya, yang dibayarkan setiap akhir jangka waktu, dan terdiri atas bagian bungaan bagian angsuran.Jika besarnya anuitas adalah A, angsuranperiode ke-n dinyatakan dengan an, dan bunga periode ken adalah bn, maka diperoleh hubungan: A = an + bn , n = 1,2,3,.. Menghitung anuitas Dengan notasi sigma: 1 A = M n (1 + i ) −k ∑ Contoh: k =1 Menghitung Pelunasan Hutang Jika pelunasan (angsuran) dalam anuitas ke-1 adalah a1, dalam anuitas ke-n adalah an, hutang semula M dan suku bunganya i, maka : 1.

an = a1(1+i)n-1 , an = ak (1+i)n-k Penyusutan Dalam Masalah Nilai Suatu Barang a. Pengertian Penyusutan dan Aktiva Penyusutan atau depresi adalah prises pengalokasian secara periodic dari perolehan suatu aktiva terhadap biaya perusahaan. Aktva atau harta perusahaan adalah segala sumber daya ekonomi suatu perusahaan yang berupa harta benda dan hak – hak yang dimiliki.Ditinjau dari manfaat aktiva dibedakan menjai dua macam , yaitu aktiva lancer dan aktiva tetap. a. Aktiva lancar adalah uang tunai atau aktiva lain yang dapat dicairkan menjadi uang tunai, dijual atau dipakaihabis, selama satu periode operasi normal dari perusahaan itu. b. Aktiva tetap adalah aktiva yang digunkan dalam menyelengarakan operasi perusahaan. Aktiva tetap mempunyai sifat yang tahan lama tau relative permanent, artinya lebih dari satu periode operasi yang normal dari perusahaan. Ada dua kelompok aktiva tetap ; Aktiva teap berwujut adalah ktiva tetap yang memiliki sifat fisik : tanah, bangunan mesin, kendaraan, peralatan, dan lain – lain. Aktiva tetap tidak berwujud,adalah aktiva tetap yang tidak memilii sifat fisik akan tetapi mempunyai nilai uang karena kekuatan hukumnya misalnya ; hak paten, merek dagang, dan lain – lain. b. Perhitungan Penyusutan. Ada beberapa perhitungan penyusutan , diantarnya sebagai berikut : Metode garis lurus Metode garis lurus atau metode prosentase tetap dari harga pembelian. Rumus Besar Penyusutan tiap periode.

D=

A−S n

Rumus Persentase Penyusutan. r=

D × 100 % A

D = Beban penyusutan A = Aktva S = Nlai sisa atau residu n = Perkiraan umur mafaat r = Persentase penyusutan

Metode Persentase Tetap Dari Nilai Buku Metode ini didasarkan pada persentase tetap terhadap nilai buku. Kaena nilai buku tiap tahun berlainan, maka besarnya penyusutan buku tiap tahun juga berlainan. ⇔ Nilai buku akhir tahun ke -1 = A – rA = A (1 - r) ⇔ Nilai buku akhir tahun ke -2 = A(1 – r) – rA(1 – r) = A(1 – r)(1 – r) = A(1 – r)2 ⇔ Nilai buku akhir tahun ke -3 = A(1 – r)2 - rA(1 – r)2 = A(1 – r)2 (1 – r) = A(1 – r)3 Maka, diperoleh nilai buku akhir tahun ke – n = A(1 – r)n Jika nilai buku akhir tahun ke- n sama dengan sisa (S), maka : S = A(1 – r)n S ⇔ = (1 – r)2 A S ⇔ 1 –r = 1 − n A r = 1− n

S A

A = Aktva S = Nlai sisa atau residu n = Perkiraan umur mafaat r = Persentase penyusutan

Metode Satuan Jam Kerja Aktiva Dalam metode satuan jam kerja ini beban penyusutan untuk satu nperiode tergantung pada jam kerja aktiva itu dipakai, dan dinyatakan dengan rumus

r =

A− S n

n = jumlah jam kerja A = Aktiva S = Sisa Metode Satuan Hasil Produksi Perhitungan besar penyusutan dengan metode satuan hasil produksi ( Shp ) dihitung berdasarkan banyaknya satuan hasil produksi yang dihasilkan dari suatu aktiva.

r =

A− S n

Keterangan : r = Tingkat penyusutan A = Biaya perolehan S = Nilai sisa n = Jumlah satuan hasil produksi Metode Jumlah Bilangan Tahun Cara menghitung besar penyusutan dengan metode dapat dilihat contoh sebagai berikut : Contoh : Biaya perolehan suatu aktiva sebesar Rp 10.000.000,00 diperkirakan umur manfaat aktiva tersebut 4 tahu dan nilai sisanya sebesar Rp 2.000.000,00 Tentukan : a. Tingkat penyusutan! b. Daftar penyusutan! Jawab : Diketahui : A = 10.000.000 S = 2.000.000 Bilangan tahun = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 a. Besar penyusutan : ….? 4 × Rp 8.000,00 = Rp 3.200.000,00 10 3 × Rp 8.000,00 = Rp 2.400.000,00 Tahun ke-2 = 10 Tahun ke-1 =

2 × Rp 8.000,00 = Rp 1.600.000,00 10 1 × Rp 8.000,00 = Rp 800.000,00 Tahun ke-4 = 10 b. Daftar penyusutan ; Tahun ke-3 =

Tahun 0 1 2 3 4

A- S 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000

Beban Penyusutan 4/10 3/10 2/10 1/10

3.200.000,00 2.400.000,00 1.600.000,00 800.000,00

Nilai Buku Akhir Tahun 10.000.000’00 6.800.000,00 4.400.000,00 2.800.000,00 2.000.000,00