Kumpulan Rumus Matematika Sma.pdf

RUMUS MATEMATIKA SMA

x12  x22  x1  x2   2 x1 x2 5. x13  x23  x1  x2 3  3x1 x 2 x1  x 2 

RUMUS-RUMUS EKSPONEN 1. a m .a n  a mn 2. a m : a n  a mn 3.

a 

6.

4.

a m

7.

m n

 a m.n 1  m a

m n

7.

m

m

a  b  2

ab  a  b

a log b  c  a c  b , a  0, a  1, b  0 1. a log a m  m a log a  1

a log a0  a log 1  0 3.

8.

a log m  a log n  a log m.n a log m  a log n  a log m n n a log a m  m n a log b a b a log b n  n.a log b

9.

a log b 

4. 5. 6.

7.

10. a log b 

Jenis akar dua akar nyata dan berbeda dua akar nyata dan sama dua akar khayal / imajiner dua akar nyata Akar-akarnya berlawanan Akar-akarnya berkebalikan Berlainan tanda Keduanya positif Kedua akar negatif

1 b log a

1 1 a a 11. log b   a log b  - log b n m a log b 12. a log b m  n 13. a log b.b log c.c log d  a log d RUMUS-RUMUS PERSAMAAN KUADRAT PK ax 2  bx  c  0 akar-akarnya x1 dan x 2 .

2.

x1 . x2 

3.

x1  x 2 



b a

Syarat D>0 D=0 D<0 D 0 b = 0, D>0

a  c, D  0 x1.x2  0 x1  x2  0 , x1.x2  0 , D  0 x1  x2  0 , x1.x2  0 , D  0

RUMUS-RUMUS FUNGSI KUADRAT  Persamaan parabola y  ax2  bx  c Unsur-unsurnya : o Titik potong dengan sb.x  Y = 0

m log a

x1  x2  



x12  x22  x1  x2  x1  x2 Rumus PK yang akar-akarnya x1 dan x 2 adalah

m log b

1.

 2 x12 x22

Jenis-jenis akar PK

RUMUS-RUMUS LOGARITMA

2.

2

x 2  x1  x2 x  x1. x2  0 atau x 2   jumlahx  Hasil kali  0

m

am  a  8.   bm  b  9. 0 m  0, m  0 10.



2

9.

a .b  a.b m



x14  x24  x12  x22

( x1  x2 ) 2  x1  x2   4 x1 x2 x  x2 1 1 8.   1 x1 x2 x1 .x2

a  n am 6. a 0  1, a  0 5.

2

4.

 b D  ,   2a  4a 

o

Titik puncak  

o

Persamaan sb. Simetri x  

b 2a

 FK y  ax2  bx  c o Selalu bernilai positif atau seluruh grafik di atas sb.x  a > 0 dan D < 0 ( definit positif ) o Selalu bernilai negatif atau seluruh grafik di bawah sb.x  a < 0 dan D <0 ( definit negatif )  Menentukan persamaan parabola ( FK) o Jika diketahui titik potong dengan sb .x x1 ,0 dan x2 ,0 : y  ax  x1 x  x2  o

Jika diketahu titik puncak  p, q  :

y  a x  p   q 2

o Jika diketahui tiga titik sembarang :

Y  ax 2  bx  c

c a D a

Rumus Matematika /SMAGA / Hal 1

RUMUS-RUMUS LOGIKA MATEMATIKA  Operasi logika o Konjungsi : p  q , bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. o Disjungsi : p  q, bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah. o Implikasi : p  q , bernilai salah jika pernyataan I benar dan II salah. o Biimplikasi : p  q , bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai sama.  Pernyataan berkuantor Kuantor universal : x. p Kuantor eksistensial : x. p  Pernyataan ekuivalen. o pq q p o pq q p o p B  p, pS  S o p B  B, p S  S o p  p  p, p  ~ p  S o p  p  p, p ~ p  B

p  q  r    p  q   p  r  p  q  r    p  q   p  r  p  q   p  q  q  p

o o

o o p  q  ~p  q  ~ q ~p  Konvers, invers, kontraposisi. Implikasi : p  q o Konversnya : q  p o Inversnya : ~ p  ~ q o Kontraposisinya : ~ q  ~ p  Negasi pernyataan majemuk o ~( p  q )  ~ p  ~ q o ~( p  q )  ~ p  ~ q o ~( p  q )  p  ~ q o

~ ( p  q )   p ~ q   ~ p  q 

~ x. p( x) x. ~ p( x) ~ x. p( x) x. ~ p( x)

o

o  Penarikan kesimpulan o

Modus Ponens : p  q

p o

o

q Modus Tollens : p  q ~q ~p pq Silogisme : qr pr

RUMUS PEMFAKTORAN DAN PERPANGKATAN 1. a  b  a 2  2ab  b 2 2

a  b2  a 2  2ab  b 2 3 3 2 2 3 3. a  b  a  3a b  3ab  b 3 3 2 2 3 4. a  b  a  3a b  3ab  b 2 2 5. a  b  a  b a  b  3 3 2 2 6. a  b  a  b a  ab  b  7. a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2  2.

PERTIDAKSAMAAN Himpunan {x x ≥ a, x  R}

Garis Bilangan a

{x x ≤ a, x  R} a

{x a ≤ x ≤ b, x  R}

a

b

 Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan bentuk pecahan : 1. Menentukan pembuat nol pembilang dan penyebut. 2. Menempatkan pembuat nol pada sebuah garis bilangan. 3. Menentukan daerah positif dan daerah negatif. 4. Menentukan notasi pembentuk himpunan penyelesaian, dengan syarat penyebut tidak boleh sama dengan nol.

 Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar f(x) > g(x) 1.

Ubahlah pertidaksamaan dalam bentuk umum.

2.

Kuadratkan kedua ruas sehingga bentuk akarnya hilang.

3.

Syarat yang di dalam akar harus lebih besar atau sama dengan nol. f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0

4.

Himpunan

penyelesaiannya

merupakan

irisan

dari

penyelesaian utama dan syarat-syaratnya.

Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan harga mutlak Jika x < a, maka –a < x < a  Jika x > a, maka x < -a atau x > a Jika bentuk f(x)   g(x) atau f(x)   g(x)  dapat diselesaikan dengan cara : kedua ruas dikuadratkan. RUMUS-RUMUS PELUANG

n! n! , C rn   Pn  r n  r ! r!n  r !  Permutasi n unsur dengan n1, n2, n3 unsur n! sama P = n1!.n 2 !.n3 !  Permutasi siklis = n  1! n( A)  P(A) = n( S )  Peluang binom : nr P(kej.A, r kali) = C n .P Ar . P A r  A, B saling lepas : P( A  B)  P( A)  P( B) A, B saling bebas: P( A  B)  P( A). P( B)  (ax + by)n  koef. x n  r y r  C n .a n  r .br r

  

Rumus Matematika /SMAGA / Hal 2

 Aturan sinus

RUMUS-RUMUS STATISTIKA  Ukuran Pemusatan

 Mean = X =

 fx f

X X  s

a b c   sin A sin B sin C 

 fd f

N f k 2  Median = Me = T  .l b f d1 .l  Modus = Mo = Tb  d1  d 2 in  fk  Kuartil = Q  T  4 .l i b f

 Luas segitiga

L 

SR

=

Data Berkelompok SR =

1 n

 Rumus sinus kosinus jumlah sudut Sin (A+B) = sin A. cos B + cos A. sin B Sin (A-B) = sin A. cos B - cos A. sin B Cos (A+B) = cos A. cos B – sin A. sin B

x

Cos (A-B) = cos A. cos B + sin A. sin B tgA  tgB tan (A+B) = 1 tgA.tgB tgA  tgB tan (A-B) = 1 tgA.tgB

x

i

f .x  x f i

i

i

 Rumus sudut rangkap

Simpangan Baku atau Standar Deviasi (SD) Data Tunggal 

 x i  x 

n  x i  x i 

2

n

2

atau  

sin 2A = 2 sinA.cosB

2

n2

Data Berkelompok 

 fi x i  x  2 n

n  fi x i  fi x i  2 2

atau  

1 Q3  Q1  2



, y= r sin  ,

Rumus-rumus Identitas 1. sin 2   cos2   1 2. 1 + tg 2  sec 2 

3. 1 + ctg 2  cosec 2  Persamaan Trigonometri 1. sin x  sin 

 x    k.360 0  x  180 0     k .360 0 2. cos x  cos  x    k.360 0  x    k.360 0 3. tg x  tg   x    k.180 0

2tgA 1  tg 2 A

cos 2A = cos 2 A - sin 2 A = 1 – 2 sin 2 A = 2 cos 2 A - 1 =

 Rumus sudut setengah

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI  Merubah Koordinat Kartesius ( x, y ) ke koordinat Kutub/Polar ( r,  ) atau sebaliknya.

r  x 2  y 2 , x  r cos

=

1  tg 2 A 1  tg 2 A 2tgA tg 2A = 1  tg 2 A

n2

Ragam/Varians (S2) Ragam adalah kuadrat dari simpangan baku Simpangan kuartil = Qd 

1 a.t 2

1  L  s( s  a)( s  b)( s  c) s = (a  b  c) 2 1 1 1  L  bc sin A = acsin B = absin C 2 2 2

 Ukuran Penyebaran  Simpangan Rata-rata Data Tunggal

Aturan kosinus

a 2  b 2  c 2  2bc cos A b 2  a 2  c 2  2ac cos B c 2  a 2  b 2  2ab cosC

tg  

y x

1 1 cos A A  2 2 1 1 cos A cos A   2 2 1 1  cos A sin A tan A    2 sin A 1  cos A

sin

Rumus jumlah sinus dan kosinus

1 1 (A+B). cos (A-B) 2 2 1 1 sin A - sin B = 2 cos (A+B). sin (A-B) 2 2 1 1 cos A + cos B = 2 cos (A+B). cos (A-B) 2 2 1 1 cos A - cos B = -2 sin (A+B). sin (A-B) 2 2 sin A + sin B = 2 sin

Rumus Matematika /SMAGA / Hal 3

 Rumus hasil kali sinus dan kosinus 2 sinA.cosB = sin(A+B) + sin(A-B) 2 cosA.sinB = sin(A+B) - sin(A-B) 2 cosA.cosB = cos(A+B) + cos(A-B) -2 sinA.sinB = cos(A+B) - cos(A-B)  Grafik fungsi Trigonometri Y = a cos (bx+c) + d dan Y = a sin (bx+c)+d  Y min   a + d  Y max = a + d

Jika x = a disubstitusikan dan diperoleh bentuk 0 , maka difaktorkan atau menggunakan teorema 0

L’Hospital lim

xa

f ( x) f 1( x)  lim 1 g ( x) x  a g ( x)

 Menentukan nilai limit bentuk lim f ( x) x 

1. untuk menyelesaikan bentuk

360 0  Periode = b

membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebut. 2. Untuk menyelesaikan bentuk lim  f ( x)  g ( x) 

c  Pergeseran : ke kanan , jika c<0 b c ke kiri , jika c>0 b

x 

dengan cara mengalikan dengan sekawannya kemudian lakukan seperti bentuk pertama.

ke atas d , jika d>0 ke bawah d, jika d<0

Rumus cepat :

RUMUS-RUMUS LINGKARAN  Jarak  Jarak titik x1 , y1  dan ( x2 , y 2 ) :

*) Bentuk lim

ax m  bx m1 

x~ px n

x1  x2 2   y1  y 2 2  Jarak titik x1 , y1  ke garis ax + by + c = 0:

 qx n1  ...  r



Jika m < n, maka L = 0



Jika m = n, maka L =



Jika m > n, maka L =  

d=

d=

ax1  by1  c a b 2

2

*) lim

 Persamaan lingkaran  pusat (0,0) jari-jari r : x 2  y 2  r 2

x 

 pusat (a,b) jari-jari r : x  a    y  b  r  persamaan umum lingkaran: A B x 2  y 2  Ax  By  C  0 , pusat (  , ) 2 2 2

r=

x2  y2  C = p p

2

2

2

 A  B        C  2  2

 Persamaan garis singgung lingkaran  melalui titik x1 , y1  pada lingkaran :

 x 2  y 2  r 2 PGS  x1 x  y1 y  r 2

 x  a    y  b   r 2 PGS  x1  a x  a    y1  b  y  b   r 2  x 2  y 2  Ax  By  C  0  PGS A B x1 x  y1 y  x1  x    y1  y   C  0 2 2  Persamaan garis singgung bergradien m : 2

2

 pada x 2  y 2  r 2 

y  mx  r 1  m 2

 pada x  a    y  b  r 2 2

2

 y  b  mx  a   r 1  m 2 RUMUS –RUMUS LIMIT  Menetukan Limit fungsi aljabar lim

x a

f ( x) g ( x)

f ( x) dengan x  g ( x ) lim

2



 ax

2

L

a p



 bx  c  px 2  qx  r  L

Jika a = p , maka L =

b -q 2 a



Jika a > p, maka L = 

 Jika a < p, maka L = -  *) lim

x





ax  b  px  q  L



Jika a = p , maka L = 0



Jika a > p, maka L = 



Jika a < p, maka L = - 

Rumus limit trigonometri

Lim Lim ax sin ax a = = b x  0 sin bx x  0 bx

Lim Lim ax tan ax a = = b x  0 tan bx x  0 bx RUMUS-RUMUS SUKU BANYAK  Menentukan hasil bagi dan sisa.  dengan pembagian bersusun  dengan Horner Teorema sisa  F(x) dibagi (x-a) sisanya F(a) F(x) habis dibagi x-a maka F(a) = 0 Derajat sisa satu kurangnya dari derajat pembagi.

Rumus Matematika /SMAGA / Hal 4

 Akar-akar persamaan suku banyak.  ax3  bx 2  cx  d  0 b x1  x2  x3   a c x1 x2  x1 x3  x2 x3  a d x1 x2 x3   a RUMUS-RUMUS TURUNAN FUNGSI Definisi

f ' ( x)  lim

h 0

f ( x  h)  f ( x) h

 Y’ = 0

Y=c

 Y’ = a nx n  1 Y = ax n Y = U  V  Y’ = U’  V’  Y’ = U’.V + U. V’ Y = U.V Y=

U V

 Y’ =

U '.V  U .V ' V2

 Y’ = cos x  Y’ = - sin x  Y’ = sec2x  Y’= - cosec2x  Y’= sec x tan x  Y’= - cosec x cotan x

Y = sin x Y = cos x Y = tg x Y = cotan x Y = sec x Y = cosec x

n 2a  n  1b 2  2 U  a U t n  Sisipan  a’ = a b b'  k 1 n'  n  n  1k U n'  U n  Barisan dan deret geometri U n  r U n 1  U  ar n  1 n a1  r n    S   n 1 r  U 2  a. U t n  Sisipan  a'  a r '  k 1 r n'  n  n  1k U n'  U n  Sn 

Fungsi naik : F’(x) > 0 Fungsi turun : F’(x) <0 F(x) max/min : F’(x) = 0

 Deret geometri tak terhingga a r  1, S  ~ 1 r

 RUMUS-RUMUS VEKTOR a = (a1 a2 a3) , b = (b1 b2 b3)

 panjang vector a = a =  a . b = a1b1  a 2 b2  a3b3

a12  a 22  a32

 

 

a. b a .b

2

2

2

2

2

2

 a  b  a  b  2 a. b

 Panjang proyeksi a pada b =

a.b

 RUMUS-RUMUS BARISAN DAN DERET  Barisan dan deret aritmetika  b = U U

S S n n 1

dx 

 cos xdx  sin x  c 7.  sec xdx  tan x  c 8.  cos ec xdx   cot x  c 9.  sec x tan xdx  sec x  c 10.  cosec x cot an xdx   cosecx  c 2

b

n

n

2

   a.b   Proyeksi a pada b =  2  b b   

 U

1 .x n1  c n 1 n 1 3.  ax  b  dx  (ax  b) n1  c a(n  1) 1 4.  dx  ln x  c x 5.  sin xdx   cos x  c

x

6.

 a  b  a  b  2 a. b

n n 1  U n  a  n  1b



2.

= a .b . cos ,    a, b

 cos  a, b =

 RUMUS-RUMUS INTEGRAL 1. a dx  ax  c

1

 sin( ax  b)dx   a cos(ax  b)  c

11.

1

 cos(ax  b)dx  a sin( ax  b)  c 13.  k ( f ( x)) dx  k  f ( x)dx 12.

b

14.

 f ( x)dx  F ( x)

b a

 F (b)  F (a )

a

Rumus Matematika /SMAGA / Hal 5

 

 RUMUS – RUMUS TRANSFORMASI

f(x) = g(x) h(x) = 1  h(x) = -1 dan hasil bila di subtitusikan ke f(x)

a   b  A ( x, y )   A( x  a, y  b) 1. Translasi

dan g(x) genap dan genap atau ganjil dan ganjil  h(x) = 0 dan hasil bila di subtitusikan ke f(x) dan g(x) harus menghasilkan bilangan positif. f. f ( x ) g ( x )  h( x ) g ( x ) , Penyelesaian f(x) = h(x) g(x) = 0 dan hasil bila disubtitusikan ke f(x) atau h(x) hasilnya tidak 0

2. Refleksi Sumbu x

 a. A( x, y )   A ( x, y ) Sumbuy  A( x, y) b. A( x, y )  

Garis x  h

 A(2h  x, y ) c. A( x, y )   

PERSAMAAN LOGARITMA. Bentuk-bentuk soal persamaan logaritma : a. a log f ( x ) a log p Penyelesaian f(x) = p

Garis y  k

 A( x,2k  y ) d. A( x, y )    Garis y  x

 A( y, x) e. A( x, y )   

b. a log f ( x )  b log f ( x ), a  b Penyelesaian f(x) = 1

Garis y  - x

 f. A( x, y )    A ( y, x)

c. a log f ( x )  a log g ( x ) Penyelesaian f(x) = g(x)

Titik ( h, k )

 g. A( x, y )    A (2h  x,2k  y ) yx k h. A( x, y )  A( y  k , x  k )

d.

y - x  k

 x   Cos 2      y   Sin2

log g ( x ) f ( x ) log h( x )

Penyelesaian : g(x) = h(x) syarat subtitusi ke g(x)dan h(x) harus positif dan subtitusi f(x) positif dan  1 e. a n log 2 f ( x )  b n log f ( x )  c  0 (Ubah kedalam bentuk persaman kuadrat)

 A(k  y, k  x) i. A( x, y )    atau

f ( x)

Sin2  x     Cos 2  y 

NOTASI SIGMA n

1.

3. Rotasi

n

u  u i

i 1

0

j

j 1

[ O,90 ]

a. A( x, y )   A( y, x)

n

2.

0

[ O,180 ]

b. A( x, y )    A( x, y ) [ O,2700 ]

 A( y, x) c. A( x, y )    d. Rotasi dengan pusat [ 0,  ]  x   Cos      y   Sin

n

3.

4.

e. Rotasi dengan Pusat [ ( a,b ),  ]

4. Dilatasi

 Sin  x  a    Cos  y  b 

5.

.

a. ( x, y ) (kx, ky ) atau

[( a,b), k ]

i 1

j 1

i 1

n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

 ui  v i 2   ui 2  2 ui v i   v i 2

  m

 x   k 0  x  a   a       atau      y   0 k  y  b   b 

a b. a Penyelesaian f(x) = p f ( x) g( x) a  a c. Penyelesaian f(x) = g(x ) d. f ( x ) g ( x )  1 Penyelesaian

n

i 1

b. ( x, y )  (a  k ( x  a ), b  k ( y  b))

f ( x)

n

 ui  v i    ui   v i

n

8.



ik

J

n



ui 

ui 

i  c 1

u

np



ui 

i

i 1

n-p

n

7.

i

n

i 1

 x   k 0  x         y 0 k     y 

 u , dengan k suatu konstanta i 1

n

6.

[0, k ]

PERSAMAAN EKSPONEN. Bentuk - bentuk soal dari persamaan eksponen. a. a f ( x )  1, a  0 Penyelesaian f(x) = 0



n

k ui  k

i 1

 Sin  x    Cos  y 

 x  a   Cos      y  b   Sin

 k = nk, dengan k suatu konstanta

i 1

ui  p 

i  1 p

u

ip

i  1 p

m-k 1

ui 

u

i  k -1

i 1

JUJUR + DISIPLIN + KERJA KERAS + PANTANG MENYERAH + SELALU BERDOA

p

NOTHING IS IMPOSSIBLE

 g(x) = 0 dan hasil bila di subtitusikan ke f(x)  0  f(x) = 1  f(x) = -1 dan hasil bila di subtitusikan ke g(x) harus genap

e. h( x ) f ( x )  h( x) g ( x ) Penyelesaian

Rumus Matematika /SMAGA / Hal 6