Rumus Matematika Barisan Deret

E. MENERAPKAN KONSEP BARISAN DAN DERET DALAM PEMECAHAN MASALAH 1. Notasi Sigma Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut. n

∑a k =1

k

= a1 + a 2 + a3 + ... + a n −1 + ... + a n

Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai dengan k = n” Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan. n

1.

∑

ak = a1 + a2 + a3 + … + an

∑

(ak + bk) =

∑

cak = c

∑

ak =

∑

c = (n – m + 1)c

∑

ak +

k =1 n

2.

n

k =m n

3.

bk

∑

ak

k =m n +p

∑

ak – p

k =m +p

k =m p −1

6.

∑

k =m

n

k =m n

5.

∑

k =m

k =m n

4.

n

ak +

n

k =m

∑ k=p

n

ak =

∑

ak

k =m

m −1

7.

∑

ak = 0

∑

(ak + bk)2 =

k =m n

8.

n

k =m

∑

k =m

n

ak2 + 2

∑

n

ak bk +

k =m

∑

bk2

k =m

1. Barisan Aritmetika Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un. Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b). Misalkan suku pertama = a, beda b, maka U1, U2, U3, ..., Un a,

a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b

Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah : Un = a+ (n -1)b Suku Tengah ( Ut) Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika, maka terdapat hubungan. 2b = a + c atau 2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi Contoh : -4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika karena 2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32 b. Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan aritmatika, maka terdapat hubungan. b + c = a + d atau jumlah suku tengah = jumlah suku tepi Contoh : 3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena 11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23 Contoh : Deret Aritmatika ( Deret Hitung ) Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3, …,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupaka deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn. Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un Rumus jumlah n suku pertama adalah : Sn = 1 n{2a + (n −1)b} 2 1 Sn = n( a +Un ) 2

Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri Barisan Geometri Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ), ditulis : R=

Un U n −1

Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1 Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka : U1, U2, U3, ..., Un a, ar, ar2 , … ,arn – 1 Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah : Un = arn-1 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri. Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupaka deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un Rumus jumlah n suku pertama adalah :

(

)

(

)

a r n −1 ; jika , r > 1dan r −1 a 1− rn Sn = ; jika , r < 1. 1− r Sn =

4. Deret Geometri Takhingga Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + … a ( r n − 1) Jika r ≥ 1, maka , S ∞ = lim it = ∞, karena .r ∞ n →∞ r −1 it Jika r < 1, maka S ∞ = lim n →∞

a (1 − r n ) a = , karena r ∞ mendekati 0. 1− r 1− r

Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk S∞ =

a 1−r

r <1, r ≠0adalah

: