Rm_3ero_sec_iiit[1].doc
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
INDICE
Cripto Aritmética ……………………. Logaritmos …………….……………… Estadística ……………………………. Probabilidades ……………………….. Habilidad Operativa …………………. Planteo de Ecuaciones ……………… Miscelánea ……………………………
Razonamiento Matemático
03 09 15 29 36 42 50
1
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.B. TELF.: 540–0814 / 98503121
DPTO.
Razonamiento Matemático
DE
PUBLICACIONES
2
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: CRIPTO ARITMÉTICA Bajo este nombre, que traducido literalmente significa “Aritmética Oculta”, se conoce a un grupo de problemas, la verdad, que todos ellos muy importantes (espero que luego pueda Ud. Compartir mi opinión). Tales problemas se caracterizan, porque se nos dan operaciones aritméticas realizadas entre ciertos números, los cuales en realidad se desconocen, puesto que han sido reemplazados, sus cifras por letras o por otros símbolos. Hallar tales números es el objetivo de nuestro trabajo, a través de un análisis en el que tengamos en cuenta las propiedades de la operación que tenemos en frente, es que cada caso debemos llegar a la solución del problema. Pero mejor empecemos a conocerlos: Ejemplo: Hallar: A + P + A + C + H + E Si:
CHAPE x 3 CHAPE1
Solución Colocando en forma horizontal: 1CHAPE X 3 CHAPE1 (100000 CHAPE ) X3 CHAPE 0 1 300000 3CHAPE CHAPE
299999 10CHAPE
X10 1
3CHAPE
299999 7CHAPE
C 4 CHAPE 42857H 2 a 8 A + P + A + C + H + E = 34
Razonamiento Matemático
P=5 E=7
3
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Supongamos que:
682 170,5 S ; O, R AVE AVE Además O = cero. Hallar: M AV , E
x S, ORRO
Dar como resultado la suma de las cifras enteras del resultado. Rpta.:
abcde x 6 2e2e2e
Rpta.: 6) Hallar: “m + n + p” Si : pmn p
7) Si
*
*
*
*
*
8
*
2 *
*
8
9
2
* *
* *
0 *
*
*
*
*
*
*
*
1
ab
nm mnp
Rpta.:
se x b
a7bc 8caa cbcb
x
24b22
Hallar el valor de: “a.b.c” Rpta.:
cumple que: . Hallar el
c 99
valor de: “a + b + c ” Rpta.: 4) Al dividir aba entre ba ; se obtuvo 6 de cociente y residuo ab . Hallar: (b - a)
8) Si: ab x cd = 450, halle el valor de: (a - b) x (c + d) ; siendo a , b , c, y d cifras significativas. Rpta.: 9) Hallar : M + E + S
Si: M
Rpta.: 5) Hallar abc bde si se cumple que : a ; b ; c ; d ; e ; son diferentes y además:
Razonamiento Matemático
bac 8
2) Hallar la suma de las cifras del producto total, de la siguiente multiplicación:
3) Si
x
M
M
E S E
E S S
Rpta.: 10) Si
:
PARA PARA CATRE
Hallar: T+E+T+A
4
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Rpta.:
Rpta.:
11) Si: FIAT FORD DODGE
Calcular D+E+D+O
12) Indicar la suma de las cifras que faltan en:
* *
*
*
4
* *
*
4
*
* *
4 *
0 7
abc . 19 ..... 541 abc . 13 ..... 107
Calcular la suma de las tres últimas cifras del producto de
Rpta.:
7
16) Si:
abc . 12
Rpta.:
x 1 CHAPE 3
17) Si:
x
CHAPE 1
0
Calcular : A+P+A+C+H+E Rpta.:
13) Si: AMOR ROMA NENE
Hallar N+E+N+E Rpta.:
18) Si: M + A =12 Calcular: MAMA AMAM
Rpta.:
14) Si: UNO U! N! O!
Calcular U+N+O
19) Si: UNI x 156 ....876 Calcular la suma de las 3 últimas cifras del resultado de:
Rpta.: 15) Reconstruir: 5
* *
*
4 5 *
2
*
* *
1 *
* 5
6 3
x
*
y dar como respuesta la suma de cifras del producto.
Razonamiento Matemático
UNI x 468
Rpta.: AVE
x E 428
20) Si: AVE
x V 214
AVE
x A 856
Hallar : EVA Rpta.:
x AVE
5
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Hallar bcc si se sabe que es menor que 500 además: ab0 a0b bc c bcc
a) 250 d) 150
b) 355 e) N.A.
c) 255
a) 10 d) 13
BAB D194
b) 12 e) 15
c) 14
A
A
B
1
7
5
A
a) 8 d) 7
6 1 8
2 4 0
5 9 7
7 + 8 3
Cual es el valor de : + + a) 10 d) 13 4) Si: MIA
b) 11 e) 14
c) 12
572
Hallar el valor de: M+A+M+I b) 19 e) 17
B
b) 5 e) 1
3 AB 2BA 599
b) 9 e) 4
c) 1
7) Calcular la suma de las cifras del resultado de esta operación: 1 2 3 + 3 8 7 4 5 8 a) 20 d) 25
b) 12 e) 17
c) 23
8) ¿Qué cifra corresponde cuadro vacío? 4 3 6 2 1 0
c) 15
a) 7 d) 6
Razonamiento Matemático
c) 9
6) Hallar: A + B ; Si:
a) 5 d) 3
3) Si:
a) 10 d) 20
4
¿Cuál es el valor de: A-B?
2) Hallar: A + B + D ; Si: A 65
5) Si:
b) 5 e) 0
2 2 5
al
6 + 4 0 c) 3
6
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
9) Si: a + b + c = 19 Hallar : abc bca a) 1919 b) 2009 d) 1009 e) 2999 10) ¿Qué número recuadro?
8 3
cab
en
el
b) 432 e) 333
c) 433
11) Dar como resultado la suma de las cifras que debemos escribir en los casilleros en blanco para que la operación sea correcta. 9 6 0 3 + 2 0 0 5 6 4 4 8 a) 17 d) 13
5 9
a) 19 d) 14
b) 18 e) 22
c) 16
14) Si:
+ 3678 4111 a) 124 d) 533
1 8
La suma de las cifras del resultado es:
c) 2919
falta
5 7
b) 15 e) 21
5 + 9 7 ¿Cuál es el valor de: + ? a) 10 d) 7
b) 12 e) 6
c) 8
15) Hallar: A + B ; Si:
4 5 A 6 B 4 1 0 9 8
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
c) 19 16) Calcular : a + b +c + d – e ; en la siguiente operación:
12) Hallar: A + B +C ; si: AA B
4 c
BCC
a) 10 d) 12
b) 8 e) 6
3 5 a
2 b
2 d 8
e 9 0 0 3
c) 9
13) En la sustracción:
Razonamiento Matemático
a) 14 b) 15 d) 17 e) 12 17) Si: m + n + p = 17 Hallar:
c) 16
mon nmp pno pm
7
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Además o = cero (0) a) 1777 b) 1877 d) 1887 e) 1077
5 4 8 3 1 3
c) 1787
18) Hallar: A + B +C ; Si: A3 6
a) 6 d) 5
6 7 C
19) Descubre que símbolo en: 5 6 4 8 8
c) 16
23) Hallar : a + b + c si:
digito a cada 4 1 + 9 4 7
PER
b) 6 e) 7
b) 4 e) 8
POR PE P R PER
c) 7
21) ¿Qué cifra corresponde cuadro vacío?
Razonamiento Matemático
300; además 0 = cero,
en:
c) 4
20) Al sumar: 978 + 243 + 165 + 82 la cifra que representa a las decenas es: a) 5 d) 6
abc x cba = 39483 a) 6 b) 12 c) 14 d) 9 e) 5 24) Hallar: P + E + R, si 150
Y hallar el valor de: + + -
a) 5 d) 3
c) 8
abc x 3 = 2bc1 a) 10 b) 15 c) 20 d) 14 e) 18
1 7 5 6
b) 18 e) 19
b) 7 e) 4
7 + 6 3
22) Hallar : a + b + c , si:
3 8 4
a) 17 d) 15
3 4 8
a) 8 d) 9
b) 10 e) 12
c) 7
25) hallar la suma de las cifras del resultado en: 1edcba x 3 edcba1
al
a) 25 d) 27
b) 23 e) 22
c) 29
8
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Razonamiento Matemático
Tercer Año
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: LOGARITMOS Definición: Logb A = x Se lee: “Logaritmo de A en base b es x” Se cumple que bx = A; donde: A es el número y b es la base. Con: A IR+, b IR+, b 0 1; x IR
Hallar “a” en: Log5 (a-12) = 3 Solución: Como: log5 A = x bx = A Luego:
53 = (a – 12) a = 125 + 12
a = 137 . LEYES BÁSICAS
1. logb a = c bc = a 3. logb 1 = 0 5. logb an = n x logb a 7. logb A x B = logb A + logb B
Razonamiento Matemático
2. logb b = 1 4. b log6 N = N A 6. logb = logb A – logb B B p 8. logbq a
p x logb a q
10
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
9. logB A =
log x A log x B
11. a logb c c logb a
10. logb a x loga b = 1 12. log x A
1 log A x
Cologaritmo
Antilogaritmo
CologbN = logb(1/N) .
antilogb N = bN
* Co logb N logb N * Co log N log N 0 b b
.
* anti logb (logb N) N * log (anti log N) N b b
Logaritmo Decimal logA = x 10x = A .
Base = 10 1. log 1 = 0 2. log 10 = 1 3. 10logA = A
4. log(A x B) = log A + log B 5. log(A B) = log A - log B 6. log Ax = xlogA
Logaritmo Neperiano ln A = x ex = A . Base = e 2,71 1. ln 1 = 0 2. ln e = 1 3.elnA = A
Razonamiento Matemático
4. ln (A x B) = ln A + ln B 5. ln (A B) ln A – ln B 6. ln Ax = x x ln A
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Razonamiento Matemático
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PROBLEMAS PARA LA CLASE 4
3
1) El valor de : 2 2log2 3 2log3 es:
log2 81 27
343log7
10 x 10 x
3
8) Si: log x log x log x 6 0 Hallar el producto de las dos soluciones.
Rpta.: e x y 18
3) Hallar “x ” en:
e
xy
Rpta.:
2
Rpta.: 4) Calcular:
10 x 10 x
Rpta.:
Rpta.: 2) Calcular:
7) Resolver:
9) Si: E8
log3 4 log22
Rpta.:
2
n
log24 log24 .... log24 log24
6
el valor de “n” es: Rpta.:
5) Calcular el valor de: 3 2 2 6 10)6Dada la siguiente ecuación: E log3 2 . log6 log3 . log6 log3 . log2
Rpta.: 28 6) Si: log14 a
Halle: log16 14 en función de “a” Rpta.:
x log 4 log log 3 log log 81
el valor de “x” es: Rpta.: 11) Hallar las raíces siguiente ecuación: log x log
de
la
x
Rpta.:
Razonamiento Matemático
13
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
12) Hallar: log
5
625 7
17) Hallar : “a” en:
Rpta.:
1 log2 (a 4) log2 ( a 3 a 3 )2
13) Resolver: Rpta.:
7 log7 (3 x 19 ) 2log2 ( x 47 ) Rpta.: 14) Hallar
18) Resolver: “a”
log
en:
19) Calcular:
x 81log3 2
15) Calcular:
S 12log12 15 13log13 16 14 log14 17 40log 40 43 Rpta.: 16) Resolver: log x log x log x 5 loga a 24
Rpta.:
Razonamiento Matemático
x 14 1 log1,2
Rpta.:
log19 8a x log4 19 4 Rpta.:
x 7 log
Rpta.:
20) Resolver:
log(ax )
(5 x 4 10 x 2 1)(5a 4 10a2 1) ( x 4 10 x 2 5)(a 4 10a2 5)
Rpta.:
14
lo
Tercer Año
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PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Hallar:
a) 8 b) 16 d) 36 e) 216 7) Resolver:
log 5 125
a) 8 d) 4
b) 12 e) 5
18log18 (13 x 1) 10 x 22
c) 6
a) 3 d) 5
2) Calcular: log64 256 a) 4/3 d) 8/5
b) 3/4 e) 3/8
c) 64
b) 8 e) 7
c) 4
8) Si: a 2 7ab b 2 0 ; hallar el equivalente de: 0,5 (log a + log b)
c) 5/8
3) Calcular:
E log7 7 log9 97 5log5 8
a b a) log 2
b)
a) 15 d) 19
a b log 7
c)
b) 118 e) 16
c) 14
4) Resolver: 8log8 ( x 7 ) 3log3 24 a) 29 d) 18
b) 17 e) 33
c) 31
5) Hallar
“n”:
log 9 (2n) x log 2 9 6 a) 64 d) 128
b) 32 e) 48
c) 16
6) Calcular: x 27log81 6
a b log d) log( a b) 3 e) 7 log(a b) 9) Resolver:
log(7 2 log x ) log 5 2 log(log x )
a) 5 10 7 d) 10 6
b)
7
10 5
c) 10 2
e) 10
10) Hallar “x”
log x (2). log2 ( x ). log4 ( x 11) 5 Razonamiento Matemático
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 1013 b) 1012 c) 1015 d) 1018 e) 1021 11) Hallar la mayor raíz a resolver:
14) Hallar :
m m p m E log log log log n p q m log2 (9 x 1 7 ) log2 (3 x 1 1) log 100
a) 1 d) 4
b) 2 e) 8
c) 3
b)
a b log b e) a c) log
12) Hallar “b” en:
2b 576.3a............(1) log 2 (b a) 4........(2) a) 6 d) 9
log a b b d) log a
a) log ab
b) 4 e) 7
c) 8
log 24 2a
15) Si: log (a+b)=log a + log b Calcular: a) 1 d) 4
a 2 b 2 ab 9
b) 0 e) 5
c) 3
13) Si: log 42 2b log 28 2c
Hallar: log16 a) 4 (a-b+c) c) 2 (a-b+c) e) 2 (a-c-b)
b) 4 (a-c-b) d) 2 (b-a-c)
Razonamiento Matemático
16
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: ESTADÍSTICA INTRODUCCION.En la televisión o en los periódicos muchas veces debes de haber observando diferente información acerca de hechos mediante el uso de cuadros o gráficos parecidos a los siguientes: DISTRIBUCIÓN DEL PRESUPUESTO NACIONAL DEL PRESENTE AÑO
PERÚ: estructura de la población por edad (%) Grupos
1993
2003
0 – 14 15 – 64 65 – mas
37,0 50,3 12,7
29 60,2 10,0
Fuente: INEI Pesca
Salud
E V O L U C I Ó N D E 8% L A P O20% B L A C IÓ N M U N Agricultura D IA L E N L O S Ú L T IM O S 5 0 0 A Ñ O S 14% ( E n m illo n e s d e p e r s o n a s ) Educación
10%
48%
6 0 0Trabajo 0
NIVEL DE POPULARIDAD PRESIDENCIAL Fuente: MEF 40
30
2500
20
400
100 1500
700
1000
10
1600 1700
1E 8 0 0
F1
900
M2
0 0 0A
M
Estas tablas y gráficos se llaman estadísticas. Cada una de ellas lleva en su parte inferior el nombre de quien ha elaborado de dicha información: la fuente. A continuación explicaremos como deben interpretarse la información que contiene cada tipo de gráfica o tabla. 1. DIAGRAMA DE BARRAS Ejemplo 1: Nicolás quiere saber como gasta su dinero, para ello durante un mes anota todo lo que gasta y obtiene el siguiente cuadro. NUEVOS SOLES Comida
Razonamiento Matemático
1500
17
J
J
Tercer Año
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Alquiler Ropa Gasolina
2000 600 1200
Esta tabla datos puede representarse en el siguiente Diagrama de Barras.
gráfico, el cual es llamado
2000
Observa que el diagrama1800 de barras son dos ejes cartesianos. En el eje de las X (eje horizontal) representamos1600 los ítems de gastos y el Y (eje vertical) lo numeramos de tal forma que podamos representar fácilmente las cantidades de dinero que corresponde 1400 1200 a cada ítem. 1000
800 una altura igual a la que indica el eje vertical y que es la En cada ítem la barra alcanza 600 en la tabla. cantidad que le corresponde 400 200 2. GRÁFICO DE SECTORES Comida
Ejemplo:
alquiler
ropa
gasolina
otros
El presupuesto mensual de una familia esta representado del siguiente modo: NUEVOS SOLES Alimentación Alquiler Educación Esparcimiento Movilidad Total
300 450 400 100 100 1350
Podemos Representar la distribución de estas cantidades del siguiente modo: Consideramos que un círculo representa la cantidad total del presupuesto: 360°
Razonamiento Matemático
Presupuesto Mensual = 1350 Nuevos Soles.
18
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Dividimos el círculo en sectores circulares de ángulos proporcionales a las cantidades correspondientes a cada ítem del presupuesto. Es decir, sectores circulares de ángulos tales que:
360 A B C D E 1350 300 450 400 100 100 Obteniendo lo siguiente
360 A 360 x300 A 80 1350 300 1350
360 B 360 x 450 B 120 1350 450 1350
360 C 360x 400 C 106,6 1350 400 1350
360 D 360x100 D 26,7 1350 100 1350
360 E 360x100 E 26,7 1350 100 1350 Luego hacemos el siguiente gráfico llamado Gráfico de Sectores. A l im e n t a c i ó n
A lq u ile r
E s p a r c i m ie n t o E d u c a c ió n M o v i li d a d
3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.
Razonamiento Matemático
19
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Para averiguar el número de personas que habitan cada vivienda en una determinada provincia del país se realizó una encuesta obteniéndose la siguiente tabla: NÚMERO DE HABITANTES POR VIVIENDA 1 2 3 4 5 6
NÚMERO DE VIVIENDAS 10000 35000 55000 60000 25000 15000
El número de viviendas que corresponde a cada tipo se llama “Frecuencia Absoluta” de dicho tipo. Así por ejemplo: 35000 es la frecuencia absoluta de 5. 60000 es la frecuencia absoluta de 4. Para representar los datos de esta tabla se puede hacer el siguiente gráfico llamado “Polígono de Frecuencia” 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 NÚMERO DE HABITANTES POR VIVIENDA
Se observa que el Polígono de Frecuencias obtiene dibujando el diagrama de barras, con las barras punteadas y uniendo los extremos de cada dos barras consecutivas. 4. HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS. Consideremos que la siguiente tabla muestra la cantidad gastada en Nuevos Soles en transporte realizado por un grupo de hombres cierto día: Nuevos Soles 105
Nuevos Soles 323
Razonamiento Matemático
Nuevos Soles 505
Nuevos Soles 720
20
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
110 148 235 280
364 420 480 491
521 575 610 654
752 789 930 374
Observamos que los valores obtenidos varían de 105 al 974. Si quisiéramos hacer un polígono de frecuencia sería muy difícil porque la variación de los valores observados es muy grande. Lo que se puede hacer es agrupar estos valores en clases iguales, por ejemplo, de 500 Nuevos Soles cada clase y hacer la siguiente tabla de frecuencia: Clases Nuevos soles
Número de Hombres o Frecuencia
0 - 199 200 – 399 400 – 599 600 – 799 800 – 999
3 4 6 5 2
Observa que la frecuencia de cada clase son el número de hombres cuyo gasto esta dentro de esta clase. Para representar los datos de esta tabla se puede hacer el siguiente gráfico que se llama “Histograma de Frecuencias” N U M ER O D E H O M BR ES
7 6 5 4 3 2 1 200 400 600 800 1000
NUEVO S SO LES
MODA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.El director del colegio ha realizado una estadística sobre el número de inasistencias a clase durante un mes por parte de sus alumnos y ha obtenido la siguiente tabla de frecuencias: Número de Inasistencias 1
Razonamiento Matemático
Número de Alumnos 20
21
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
2 3 4 5 o más de 5
42 25 11 2
Observemos que 2 es el valor al que le corresponde la mayor frecuencia, es decir, no asistir a clases 2 días al mes es el caso que se presenta con más veces. Entonces decimos que 2 es la moda de esta tabla de frecuencias. MODA de una tabla de frecuencia es el valor al que corresponde Mayor frecuencia. MEDIANA.Al ordenar los datos de menor a mayor y al escoger el valor central habremos hallado la mediana. Ejemplo 1: Hallar la mediana de la siguiente serie: 128 – 110 – 112 – 132 – 120 Ordenemos estos valores de menor a mayor obteniendo: 110 – 112 – 120 – 128 – 132 Escogemos el valor central de esta serie y observamos que la mediana es el número 120. - ¿Qué ocurre si el número de datos es par? Ejemplo 2: Hallar la mediana en la siguiente serie de datos: 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 Lo primero que hacemos es ordenar la serie de datos, en este caso la serie ya estaba ordenada.
Razonamiento Matemático
22
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Como el número Total de datos (N) es 12 entonces los datos centrales que son los que ocupan el lugar n° -6 y el n° -7. Entonces calculamos lo siguiente: Mediana =
77 7 2
MEDIA O VALOR MEDIO DE VARIOS NÚMEROS Ejemplo 1: Un joven observa que su gasto durante la semana pasada la realiza de la siguiente forma: LUNES
MARTES
MIERCOLES
JUEVES
VIERNES
SABADO
DOMINGO
S/. 35
s/.17
s/.20
S/. 31
s/.18
s/.42
s/.23
Observemos que durante la semana este joven tuvo un gasto total de: 35 + 17 + 20 + 31 + 18 + 42 + 23 = s/. 186 Si este gasto mensual lo repartiremos proporcionalmente durante los 7 días de la semana obtenemos:
35 17 20 31 18 42 23 186 S / .26.6 7 7 Entonces decimos que 26.6 nuevos soles es el gasto medio o media de gastos diarios de dicho joven durante la semana pasada. Si X1, X2, X3,…, Xn son n números se llama media o valor medio de dichos números y se designan por x .
x
x1 x2 x3 ... xn n
Es decir, x es la suma de dichos números dividida por el número de ellos MEDIA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.
Razonamiento Matemático
23
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
Ejemplo 1: Se ha observado en un taller los defectos de 100 piezas iguales y se ha obtenido la siguiente tabla de frecuencias: Número de Defectos 0 1 2 3 4
Número de Piezas 8 20 44 20 8
Se llama media o valor medio de esta tabla de frecuencias al número que representamos por x obtenido de la siguiente forma:
x
0 * 8 1* 20 2 * 44 3 * 20 4 * 8 8 20 44 20 8 20 88 60 32 200 2 100 100
Es decir, x es la suma de los productos de los valores por sus frecuencias respectivas divididas por la suma de las frecuencias.
Razonamiento Matemático
24
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE
En el siguiente grafico de sectores informa sobre el número de turistas que visitaron cuatro lugares del territorio peruano durante el ultimo mes, siendo 7200 el número de encuestados.
Se muestra el polígono de frecuencias para una distribución de frecuencias que indica el número de revistas vendidas por una distribuidora; en miles de unidades, durante el mes de Febrero del presente año, siendo: 41 30
50
90
E l n ú m e ro d e p e rs o n a s q u e v is it a r o n e l C u z c o . N ú m e r o d e p e r s o n a s q u e v is it a r o n H u a ra z . N ú m e r o d e p e r s o n a s q u e v is it a r o n C a ja m a rc a . N ú m e r o d e p e r s o n a s q u e v is it a r o n A r e q u ip a .
N d e R e v is ta s v e n d id a s
120
A B C D
20 9 A
B
C
R e v is ta
D
Revista El Gol. Revista Fútbol Total. Revista Todo Deporte. Revista Hinchada.
- Se quiere saber: 1.- ¿Cuántos visitaron Cuzco? 2.-¿Cuántos prefieren Cajamarca? 3.. ¿Cuántos fueron a Huaraz? 4.-¿Qué porcentaje de los encuestados fue a la “Ciudad Blanca”? 5.- ¿Cuál fue el tamaño de la muestra?
Razonamiento Matemático
6.- ¿Cuántas revistas de cada tipo se vendieron? 7.- ¿Cuál fue la frecuencia relativa para la revista más vendida? 8.- Si en Febrero la distribuidora tuvo en el almacén un total de 130 mil revistas, ¿Cuántas se dejaron de vender?
25
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
9.- Los siguientes datos representan las edades de los componentes de un grupo de artistas de teatro: 24
32
28
20
26
16
18
22
27
23
28
12
14
15
25
de los ángulos de mayor y menor abertura. 40 35 30 25 20 15
Calcular la media aritmética de estas edades:
10 5
(L u g a r de R e s id e n c ia ) La San V ic t o r ia J u a n
C a lla o
C om as
* Observa el Histograma siguiente: 14.F r e c u e n c ia d e F a m i lia s
N u m e ro d e P e rs o n a s 50 40 30 20 10 60 65 70 75 80 85
(K g )
10.-¿Cuántos elementos tiene la muestra? 11.- ¿Cuál es la clase modal? 12.- ¿Cuál es la media aritmética? 13.- A partir del siguiente gráfico de barras, construir un diagrama de sectores e indicar la diferencia entre las medidas
Razonamiento Matemático
Tomando como base la información que presenta el siguiente cuadro, indicar la medida del ángulo del valor de mayor frecuencia. Construye un gráfico de sectores e indica la medida del ángulo del sector de mayor área. Nombre de Partido
Perú, avanza Somos Patria Dignidad Nacional Perú Posible Avanzada
Número de Votos 145 75 60 20 300
15.- La siguiente tabla muestra los datos organizados de 50 alumnos a los cuales se les consultó su talla.
26
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Intervalos 136-140 140-144 144-148 148-152 152-156
Frecuencia 12 18 24 16 10
Calcular la suma de las frecuencias acumuladas correspondientes a los tres últimos intervalos 16.- La información obtenida al preguntarle a un grupo de 60 alumnos sobre sus medidas antropométricas y especialmente sobre su peso se obtuvo el siguiente cuadro: Intervalos 30-32 32-34 34-36 36-38 38-40 40-42 42-44
Marcas de Clase 31 33 35 37 39 41 43
Fi 3 6 9 12 15 9 6
Si llamamos FA¡ a la frecuencia acumulada del intervalo ¡ y x¡ a la marca de clase del intervalo ¡, Calcular:
17.-Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: 3;2;0;1;2;3;2;1;3;2;3;4;3;2;2 18.-Determinar la mediana del siguiente conjunto de datos: 10;9;8;10;9;8;7;8;9;8;10;9;8;7; 9;8;7;9;8;10. 19.- Calcular la media aritmética del siguiente grupo de datos: 5;7;8;10;5;8;6;7;9;10;5;6;6;7; 10;9;10;10;11;10. 20.- El siguiente gráfico representa las preferencias de los consumidores de Jabones de tocador. Si aquellos quienes prefieren el jabón cuya marca es “Cutis” son 44, calcular el número total de consumidores.
P ie l 108 Seda 90
30 Angel
30 C u t is
X 2FA 2 X 3 FA 3 X 4 FA 4
Razonamiento Matemático
27
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA
F r e c u e n c ia A b s o lu t a
*
El Histograma siguiente detalla el número de de trabajadores de la empresa “El Molino” y sus edades respectivas (1al 4)
25 20
5) En la siguiente tabla, propón una variable para analizar las frecuencias para cada uno de sus valores y plantea el cálculo de la frecuencia relativa. Formula preguntas sobre el número de datos que hay entre dos valores dados. Valores
15 13 10
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Relativa
5 20 25 30 35 40 45 50
Total 1) ¿Cuál es el número de trabajadores de esta empresa? Rpta.: 2) ¿Cuántos tienen edades menores que 30 años? Rpta.:
Rpta.: 6) En el gráfico adjunto representa las preferencias de 60 lectores sobre las revistas A,B,C y D .De acuerdo con el gráfico, cuantas personas prefieren leer revistas B.
3) ¿Cuántos tienen edades mayor o igual que 40 años?
A
Rpta.: 4) ¿Cuántos trabajadores cuyas edades están comprendidas entre 25 y 35 años se observan?
B
132 108 30 C
90 D
Rpta.: Rpta.:
Razonamiento Matemático
28
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
7) Utiliza la siguiente cuadrícula para dibujar un gráfico de barras que representará la información de ciertos resultados de la aplicación de una encuesta a un número determinado de personas formula preguntas sobre las frecuencias mayor y menor.
9) ¿Cuál es la media aritmética? Rpta.: * En el siguiente gráfico de Sectores:
90º 150
N ú m e r o d e F u t b o lis ta s c o n u n a m a s a e n tre 5 5 y 6 0 k g . N ú m e r o d e F u t b o lis ta s c o n u n a m a s a e n tre 6 0 y 6 5 k g . N ú m e r o d e F u t b o lis ta s c o n u n a m a s a e n tre 6 5 y 7 0 k g .
Rpta.:
Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Número de Libros 1200 1800 2000 1000 500 1500
Para los futbolistas de los diferentes equipos que compiten por un campeonato, corresponde al Histograma dado a continuación: N d e F u t b o lis ta s
8) Una distribución registra las cantidades de libros vendidos durante el primer semestre del año.
Z Y
60
¿Cuál es la moda? Rpta.:
Razonamiento Matemático
Rpta.:
55 60 65 70
(K g )
29
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
10) ¿Cuántos futbolistas tienen una masa entre 55 y 60 kg.?
13) ¿Cuántos futbolistas hay cuyas masas están entre 65 y 70 kg?
Rpta.: Rpta.: 11) ¿Cuál es la frecuencia relativa del número de futbolistas que tienen una masa entre 55 y 60 kg.? Rpta.: 12) ¿Cuál es la frecuencia relativa del número de futbolistas con masa entre 65 y 70 kg?
14) ¿Cuál es la frecuencia relativa del número de futbolistas con masa entre 60 y 65 kg? Rpta.: 15) ¿Cuántos futbolistas tienen una masa entre 60 y 65 kg? Rpta:
Rpta.:
Razonamiento Matemático
30
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: PROBALIDADES Al lanzar una moneda existe la posibilidad de obtener una cara o un sello. Si yo quisiera que la moneda muestre cara, habría una posibilidad entre dos que ocurra. Decimos entonces que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½. Si lanzamos un dado hay seis resultados posibles, cualesquiera de los seis número podría verse. Si quisiéramos que salga un número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 y 6) que se pueden obtener. La probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado será:
3 1 6 2 Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una, la probabilidad de que esta sea de diamante será:
P
13 total de cartas de diamantes 1 52 ( total de cartas) 4
Si en un salón de clases hay 20 alumnos varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad que al salir un alumno del aula, este sea mujer?
P
30 total de mujeres 50 ( total de alumnos )
Recordemos: Probabilidad: Definición clásica La probabilidad de ocurrencias es la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. P
Razonamiento Matemático
n de eventos favorables n de eventos posibles
31
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Donde: 0 P 1 La probabilidad de un evento cualquiera esta comprendido entre 0 y 1; en el caso que sea 0: (cero), es un evento imposible; en el caso de que sea 1, el evento es seguro. Es importante aclarar que esta manera de definir la probabilidad se basa en el supuesto que todos los resultados posibles son igualmente probables, es decir que tienen la misma posibilidad de salir. No ocurre así si es que la moneda esta acuñada de tal forma que es mas pesada hacia un lado, o si el lado esta cargado o las cartas están marcadas. Debemos recordar que: El espacio muestral es el conjunto de todos los casos posibles asociados a un experimento. Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio muestral () seria conjunto de dos elementos: = {cara; sello} Si se lanza un dado, el espacio muestral asociado a este experimento seria: = {1; 2; 3; 4; 5; 6} EVENTOS INDEPENDIENTES Como su nombre lo indica son eventos que no dependen entre si para su ocurrencia; por ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez el resultado del lanzamiento de la primera no afecta en el resultado de ésta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de una moneda dos veces? En el primer lanzamiento la probabilidad de obtener un sello es ½, lo representamos así: P (s1) =
1 2
En el segundo lanzamiento la probabilidad de obtener un sello, dado que en el lanzamiento anterior se obtuvo sello es:
Razonamiento Matemático
32
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
P (s2) =
1 2
Luego la probabilidad que ocurran ambos será: P (s1 s2) = P (s1) x P (s2) (sucesos independientes) = 1/4 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de dos monedas? Definimos: C1 C2 S1 S2 A
: : : :
Obtener cara en el primer lanzamiento Obtener cara en el segundo lanzamiento Obtener sello en el primer lanzamiento Obtener sello en el segundo lanzamiento = C1 C2; B = S1 S2 P (C1 C2) = P (C1) x P (C2) =
1 1 1 2 2 4
P (S1 S2) = P (S1) x P (S2) =
1 1 1 2 2 4
Luego: P (A B) = P (A) + P (B) =
1 1 1 4 4 2
Por que A y B son excluyentes dado que no pueden salir dos caras y dos sellos al mismo tiempo lanzando una monedad dos veces.
Razonamiento Matemático
33
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) si se lanzan 3 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener exactamente 2 caras? Rpta.: 2) Al arrojar 3 monedas al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y un sello? Rpta.: 3) Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos menor a 5? Rpta.: 4) Si tenemos 12 libros en un estante, ¿Cuál es la probabilidad que siempre se incluya un libro determinado en una colección de 5 libros? Rpta.: 5) Al arrojar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número impar no mayor a 3? Rpta.: 6) De una baraja de 52 cartas , se extraen dos a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que
Razonamiento Matemático
dichas cartas espadas? Rpta.:
sean
de
7) Para una rifa se venden 20 cupones, Tino compra dos cupones. Si se ofrecen dos premios, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga sólo uno de los premios?. Rpta.: 8) Un saco contiene 3 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules, todas del mismo tamaño y materia ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y las siguientes azules o blancas al seleccionarse 3 velas sin reposición? Rpta.: 9) Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen 2 personas al azar. Hallar la probabilidad de que uno sea hombre y otro mujer sin ser esposos. Rpta.:
34
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
10) ¿Cuál es la probabilidad de que dos naipes distintos cualesquiera de una baraja de 52 cartas, estén juntos sin tener en cuenta el palo? Rpta.: 11) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras en el lanzamiento de 2 monedas?. Rpta.: 12) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de 3 monedas? Rpta.: 13) ¿Cuál es la probabilidad de que, de una baraja de cartas, al extraer una de ellas se obtenga un AS? Rpta.: 14) Se lanzan al aire dos dados tetraédricos, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 6? Rpta.: 15) En el clásico juego de “Kachito” (5 dados), ¿Cuál es la probabilidad que resulten 5 ases?
Rpta.: 16) En un salón de clases hay 35 alumnos, de los cuales 20 son limeños; ¿Cuál es la probabilidad que al elegir uno al azar resulte no limeño? Rpta.: 17) Considerando a una gestante al azar, ¿Cuál es la probabilidad que nazca varón y mediante cesárea? Rpta.: 18) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar al aire dos monedas? Rpta.: 19) Se lanzan 3 monedas al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara? 20) Para ganar un bingo, un jugador tiene que llenar una cartilla de 20 números. Luego de haber contado 40 , de los 90 bolos, a cierto jugador le falta un número para ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que gane con el siguiente bolo que se cante? Rpta.: }
Razonamiento Matemático
35
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Se lanzan 2 monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos? a) ¼ d) ½
b) 1/6 e) 1/9
c) 1/3
2) Se tiran dos dados al aire. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea múltiplo de 5? a) 1/36 d) 7/36
b) 1/12 e) ¼
c) 5/36
3) Se lanzan 3 monedas al aire ¿Cuál es la probabilidad de obtener no más de una cara? a) 1/8 d) ½
b) ¼ e) 5/8
c) 3/8
4) Se lanza un dado y se desea saber cual es la probabilidad que el número sea compuesto. a) 2/3 d) 5/6
b) ½ e) 1/6
c) 1/3
5) Se lanzan un dado y una moneda; Calcular la probabilidad que resulte cara y un número par. a) 1/4 d) 1/9
b) 1/6 e) 1/3
c) 1/12
Razonamiento Matemático
6) Se lanzan al aire un dado común y uno tetraédrico, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 7? a) 1/4 d) 5/24
b) 1/24 e) 9/24
c) 7/24
7) En una tienda venden únicamente 4 bebidas ¿Cuál es la probabilidad que el próximo comprador elija una de estas 4 bebidas? a) 1/2 d) 2/3
b) 1/3 e) 1
c) 1/4
8) En una caja se tienen 12 bolas negras y 18 azules; ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una al azar, resulte azul? a) 0,2 d) 0,6
b) 0,4 e) 0,3
c) 0,8
9) En una determinada ciudad, de cada 69132 bebés nacidos normalmente, 49380 son de sexo masculino; ¿Cuál es la probabilidad que el próximo bebé a nacer normalmente, sea niña? a) 2/7 d) ½
b) 1/3 e) 1/8
c) 2/5
36
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
10) Si a través de la ventana se observa el paso de las personas (dama ó varón); ¿Qué probabilidad hay que pase una dama? a) 0,2 d) 0,5
b) 0,3 e) 0,6
c) 0,4
11) Una ruleta en forma de esfera de reloj esta distribuida en 12 sectores iguales (numerados del 1 al 12), al que se le adopta un marcador; ¿Cuál es la probabilidad que al girarla, y detenerse, marque un número menor que 6? a) 1/4 d) 1/12
b) 1/3 e) 5/12
c) 1/6
12) Las caras de un lápiz hexagonal se numeran del 1 al 6; ¿Cuál es la probabilidad que al hacerlo rodar se obtenga un número no menor que tres? a) 2/3 d) ¼
b) 1/6 e) 1/36
13) En una reunión social se cuentan 250 caballeros y 300 damas; ¿Cuál es la probabilidad que la primera persona que se retire sea dama? a) 3/10 d) 6/11
c) 2/7
14) En un bingo, un jugador está esperando se “cante” una bola, y de los 40 números ya se anuncian 30; ¿Cuál será la probabilidad que se cante dicha bola? a) ½ d) 1/20
b) 1/5 e) 1/12
c) 1/10
15) En una fiesta, por cada 3 varones, habían 2 mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea una mujer?
c) 1/3
Razonamiento Matemático
b) ½ e) ¼
a) 2/3 d) 3/5
b) ½ e) 2/5
c) 1/3
37
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: HABILIDAD OPERATIVA Ecuación Es la igualdad de dos expresiones algebraicas que sólo se verifica para ciertos valores de la incógnita. La ecuación recibe el nombre de igualdad relativa. Solución o Raíz de una Ecuación Es el conjunto de valores que satisfacen una ecuación. Resolución de una Ecuación Consiste en averiguar por métodos algebraicos para qué valor de la incógnita la igualdad es verdadera. Ecuaciones de Primer Grado Forma. ax b = 0 despejando la incógnita se obtiene su raíz: . x
b . a
Para resolver una Ec. de primer grado se recomienda que las incógnitas estén en un mismo miembros y las cantidades numéricas o conocidas en el otro y así se podrá despejar más fácil.
Ecuaciones de Segundo Grado Forma. ax2 + bx + c = 0 FORMULA GENERAL: 2 raíces x1 y x2 2 . x 1,2 b b 4ac 2a
.
Método del Aspa Simple: x2 + (a + b)x + ab = 0 x + a x + a = 0 x = –a
Razonamiento Matemático
38
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
x
Tercer Año
+ b x + b = 0 x = –b
Cumple que el producto en aspa da el término central Propiedades de las Raíces de una Ecuación de 2do Grado Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0
1ro Suma de raíces:
x1 x2
2do Producto de raíces
x1 . x 2
b a
c a
3ro Diferencia de raíces:
x1 x2
b 2 4ac a
Propiedades del Discriminante (b2 – 4ac) 1) Si. b2 – 4ac = 0 x1 = x2; R 2) Si. b2 – 4ac > 0 x1 = x2; R 3) Si. b2 – 4ac < 0 x1 = x2; C Formación de una Ecuación de 2do grado x2 – (S)x + P = 0 Donde: S = x1 + x2 y P = x1 . x2 Sistema de Ecuaciones Se denomina sistema de ecuaciones, al conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se quieren obtener. Resolver un sistema es encontrar su solución.
Razonamiento Matemático
39
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Hallar la expresión equivalente más simple de:
E
6) Si se cumple que: calcular el valor de:
3n 3 3(3n )
3 3n 1
a
4a
a
2
16a
Rpta.:
Rpta.: 2) Simplificar: F
P
a
a
2 n 3 2 n 2n
7) Calcular E si: E
Rpta.:
32
1 3(2 2 1)(2 4 1)(2 8 1)
Rpta.: 3) Efectuar: 1 S 256
16 16
2 1
8) Calcular S si: S
48(7 2 1)(7 4 1)(7 8 1)(716 1)
Rpta.: Rpta.: 9) Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, hallar la suma de de sus cubos.
4) Efectuar: E 125 9
7 42
0
Rpta.:
Rpta.:
5) Simplificar: R
2
2 2
2
2
2
1
Rpta.:
2
10) La suma de dos números es de 12 y la suma de sus cubos es 576. Hallar el producto de dichos números. Rpta.: 11) Efectuar la expresión: 144 4
Razonamiento Matemático
A
; A 128 49
2 1
40
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
15) ¿Por cuánto debo multiplicar a E para obtener +6?
Rpta.: 12) Efectuar la expresión: 1 42 518 81
1 E 27
0,5 2 4
*
13) efectuar: 1
1 2
1
0 8
3
Rpta.:
Rpta.:
1 3
3 8
1 7
Rpta.:
1
Cuáles de los 4 signos aritméticos: {+; -; x; } debemos colocar en los recuadros en blanco para que la igualdad se mantenga?
16) 17 19 = -2 Rpta.:
14) efectuar:
17) (-3) (-2) = -1 6 1 5 7
8 7
0
Rpta.:
Rpta.: 18) (-15) (+4) (-3) = -63 Rpta.: 19) ( 3)3 = -27 Rpta.: 20) (-5) (+4) (-2) = -22 Rpta.:
Razonamiento Matemático
41
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Razonamiento Matemático
Tercer Año
42
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Efectuar: 9
a) 2 d) 1
7
7
81 7
3
4
3
3 9 7
a) 1 d) 1/2
2
c) 5
a) 17 d) 25
2) reducir:
E 32 32 0,8 32 0,6 32 0,4
a) 16 d) 8
b) 32 e) 1
2,5
c) 2
3) si se sabe que:
A 93
2
5
27 2
Calcule el valor de: a) 4 d) 6
b) 9 e) 1
A
3
4 2
1
1 9
1
1 25
a) 2/3 b) 3/2 d) 1/3 e) 0 5) simplificar:
4 2
c) 1
2 5 x 4 4 x 8 3 x 16 2 32 6
Razonamiento Matemático
c) 42
b) 31 e) 32
c) 33
8) si en un árbol determinado existen: 4 9.6 6.9 4 hojas y en cada rama hay exactamente 1212 hojas: ¿Cuántas ramas, tiene el extraño árbol?
1 6
c) 2
4 2
b) 23 e) 37
7) ¿En cuanto excede la centésima parte de: 47 2 43 2 2( 47)( 43) , a la milésima parte de: (25000,5)2 (24999,5)2 ? a) 29 d) 30
4
4) indicar el triple de la mitad del resultado de efectuar: 1 4
c) 4
6) si la suma de dos números es 7 y su producto es 6, calcular la suma de sus cuadrados.
2
b) 10 e) 2
b) 2 e) 1/16
1
a) 8 b) 9 d) No es Exacto
c) 18 e) Imposible
9) Si la suma de dos números es igual a la raíz cúbica del cuadrado de 27, y el producto de dichos números es la tercera parte de su suma; halle la suma de sus cuadrados.
43
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 3 d) 49
b) 62 e) 75
a) x; d) +;
c) 87
10) Calcule el resultado de:
(1001)(999) (1002)(998)
a) 3 d) 4 *
b) 9 e) 0
2
¿Qué signo aritmético (+;-;x;), hay que colocar en los cuadros de blanco para que la igualdad se mantenga?
c) +; x
13) (2)3 (-24) (-2) = -30 a) +;+;+ d) -;+;-
c) 2
b) ;e) x;-
b) -;-;- c) x;+;e) Ninguno
14) (-10) (+5) (-1) = -14 a) -;d) +;x
b) +;e) -;x
c) +;+
11) (-5) (-16) (+4) (-2) = +82 a) +;-; d) -;-;+
b) x; ;+ e) x;-;
12) 2 5 1 = 9
Razonamiento Matemático
c) -;-;-
15) (-8) (-6) (+2) = 50 a) -;+ d) +;+
b) x; e) -;-
c) x;+
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES OBJETIVO Desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocabulario para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria y sus situaciones problemáticas. PROCEDIMIENTO Para el correcto planteo de una ecuación es necesario tomar en cuenta los siguientes pasos: 1. Lectura detallada del enunciado. 2. Identificación de la(s) incógnita(s) y datos proporcionados. 3. Relacionar las incógnitas y los datos, este paso sería el planteo de la ecuación. 4. Verificar los resultados.
RESPUESTA ACERTADA RESPUESTA ACERTADA Dos aeronautas viajan en globo. Un fuerte viento les arrastra Dos aeronautas viajan globo. Unperdidos. fuerte viento arrastra durante muchas horas, y seenencuentran Hacen les descender muchas sesin encuentran perdidos. descender sudurante aerostato en unhoras, prado,y y, apearse del mismo,Hacen le preguntan a aerostato enque un prado, y, sinpor apearse lasu única persona encuentran allí: del mismo, le preguntan a única persona que encuentran por encontramos? allí: - la Perdone, buen hombre, ¿dónde nos Perdone, lo buen hombre, ¿dónde nos encontramos? El- lugareño piensa un rato y responde: - El Enlugareño un globo.lo piensa un rato y responde: - En un globo. Entonces uno de los aeronautas le dice al otro Entoncesde uno dealos aeronautas le dice al otroéste es idiota. Vámonos aquí preguntarle a otro, porque Vámonos de aquí a preguntarle a otro, porque éste es idiota. - No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático. No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático. - Ah, ¿sí?, ¿Y cómo lo sabes? Ah, ¿sí?, cómo loporque sabes?le hemos hecho una pregunta bien - -Pues muy¿Y sencillo, - Pues que muy cualquier sencillo, porque hemos podría hecho haber una pregunta bien sencilla personalenormal respondido sencilla que cualquier persona normal podría haber respondido inmediata y eficazmente; pero él lo ha pensado largamente, y al inmediata y eficazmente; perocierto, él lo ha pensado largamente, y al final ha dicho algo totalmente absolutamente exacto, pero final ha dicho algo totalmente cierto, absolutamente exacto, pero que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada. que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada.
Razonamiento Matemático
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
FORMA VERBAL
Tercer Año
FORMA SIMBÓLICA
Un número desconocido El triple de un número Una cantidad aumentada en 20 Un número disminuido en 60 60 disminuido en un número Seis veces el número de lápices El exceso de un número sobre 50 es 10 “x” excede a “y” en 8 El doble de un número aumentado en 3 El doble de la suma de un número con 3 “a” es cuadro veces “b” La relación que hay entre 2 números es 2 a 5 La suma de tres números consecutivos es 18 La suma de tres números impares consecutivos es 33 Tres números son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente El doble del cuadrado de un número El cuadrado del doble de un número La cuarta parte de un número La tercer parte de un número sumada con su quinta parte
Razonamiento Matemático
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
EJEMPLO DE APLICACIÓN: 1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18 equivale al triple de su valor. Resolución:
Sea el número: x Según el enunciado del problema: x + 18 = 3x
Resolviendo: 18 = 2x . 9=x . . El número es 9 .
Razonamiento Matemático
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 2) Petita recibió 4 soles y tuvo entonces 4 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido s/.2. ¿Cuántos tenía al principio? 3) Un holgazán duerme normalmente todas las horas de cada día menos la que duerme. ¿Cuántas horas permanece despierto diariamente? 4) Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene? 5) Un estante puede guardar 24 libros de RM y 20 libros de RV ó 36 de RM y 15 de RV. ¿Cuántos libros de RM puede contener el estante? 6) Cuando compro me regalan un cuaderno por cada docena y cuando vendo regalo 4 cuadernos por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo de comprar para vender 1000 cuadernos?
Razonamiento Matemático
7) Mi enamorado es 22 años menor que yo dice cierta dama solterona, y el producto de nuestras edades, excede en 662 a la suma de las edades. ¿Qué edad tiene mi enamorado? 8) Un comerciante compra maletas al precio de s/.20 cada una y además le regalan 4 por cada 19 que compra, recibiendo en total 391 maletas. ¿Cuál fue la inversión del comerciante? 9) Se compra ciertos números de relojes por s/.5625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en soles. ¿Cuántos relojes se han comprado? 10) Una persona tiene s/.20 000 y otra s/. 7500 cada una ahorra anualmente s/.500. ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda? 11) Hallar dos números cuya suma sea 60 y el cociente de sus recíprocas es 3.(Dar como respuesta el quíntuplo del mayor, aumentado en 8).
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
12) Dos llaves llenan un depósito en 6 horas ¿Cuánto tiempo necesitarán cada uno de ellos; separadamente, para llenarlo sabiendo que la primera tarda 5 horas más que la segunda? 13) Hoy gané s/.14 más que ayer y lo que he ganado en los dos días es 25 soles más que los 2/5 de los que gané ayer. ¿Cuánto gane ayer? 14) Si a un número se le quita 30 unidades, queda los 3/5 del número. ¿Qué cantidad se le debe quitar al número inicial para que quede los 2/3 del mismo? 15) Si la mitad del tiempo que ha pasado desde las 7 am., es una tercera parte del tiempo que falta para las 10 pm. ¿Qué hora es? 16)
En una oficina trabajan 9 empleados por cada escritorio; si se ponen dos escritorios más en la oficina, entonces, ahora hay 8 empleados en cada escritorio. ¿’Cuantos empleados hay en dicha oficina?
Razonamiento Matemático
Tercer Año
17) Se sabe que el costo de un pantalón es igual al doble del costo de un camisa, menos 5 soles. Se hace una compra que consta de 5 pantalones y 6 camisas, que origina un monto total de 359 soles. ¿Cuánto cuesta una camisa? 18) En una conferencia el número de varones es al de damas como 7 es a 5; si el exceso del número de varones respecto al de damas es 24,¿Cuántas Damas asistieron? 19) Cuando José nació, su papá y su mamá tenían 30 y 26 años respectivamente. ¿Cuántos años tendrá José cuándo las edades de sus padres sumen 72? 20) Se les debe a dos personas un total de s/.150; si el doble de la deuda menor excede en S/.20 a la deuda mayor aumentada en s/.10: ¿Cuál es la deuda menor? 21) Hace 12 años la suma de edades de A y B era 12 y dentro de 4 años la diferencia de edades será 2. Calcular la edad mayor.
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Indicar la cantidad que se debe agregar a los dos términos de la fracción 5/9 para obtener como resultado 0,8. a) 11 d) 14
b) 13 e) 6
b) 40 e) 60
c) 26
3) Un carpintero hizo en total (considerando mesas y sillas) 17 muebles. Si además el exceso de la mitad de la cantidad de las sillas sobre la cantidad de mesas es uno; Calcular la cantidad de sillas confeccionadas. a) 12 d) 13
b) 5 e) 17
a) 2120 d) 800
b) 1100 e) 1300
c) 1200
c) 16
2) Juan y Pedro empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando Pedro ha perdido los ¾ de su dinero, lo que ganó Juan es 24 soles más que la tercera parte de lo que le queda a Pedro. ¿Con cuánto empezaron a jugar? a) 32 d) 36
tiene el doble del cuarto. Calcular el exceso del primero sobre el tercero.
c) 6
4) Entre 4 hermanos tienen 4650 soles; el primero tiene el doble del segundo, éste excede en 200 al tercero y éste a su vez
Razonamiento Matemático
5) Tito y Raúl se ponen a jugar a los dados teniendo ambos una cierta cantidad total de dinero; en cierta jugada, Tito tiene s/.24 que es el doble de lo que tenía Raúl cuando Tito tenía el triple de lo que ahora tiene Raúl. ¿Cuánto tiene ahora Raúl? a) s/.9 d) s/.10
b) s/.6 e) s/.15
c) s/.18
6) Se ha comprado por s/.6000, cierto número de cuadernos, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. Calcular el número de cuadernos. a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
7) Varios amigos alquilaron un ómnibus por $ 400 para una excursión, a pagar por partes iguales, pero faltaron dos de ellos y cada uno de los que
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
asistieron tuvieron que pagar $10 más. ¿Cuantos fueron a la excursión? a) 10 d) 50
b) 20 e) N.A.
c) 30
8) En el primer piso de una biblioteca hay 500 mil libros, en el segundo piso hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercero juntos? a) 20 mil b) 50 mil c) 100 mil d) 75 mil e) 150 mil 9) En un negocio de aves, se venden pavos; gallinas y codornices. Son todos gallinas menos 5; son todos pavos menos 7, y son todos codornices menos 4, si un cliente compró todas las gallinas y codornices entonces a) b) c) d) e)
entre otros elementos 38 motores y 148 llantas. ¿Cuántas motocicletas se ensamblaron?
Compró 8 aves. Sólo quedó 1 pavo. Dejó 3 pavos. Habían 7 pavos. Llevó 16 aves.
10) Para ensamblar 50 vehículos, entre bicicletas, motocicletas y automóviles, se utilizaron
Razonamiento Matemático
a) 10 d) 16
b) 12 e) 24
c) 14
11) Ray no sabe si comprar 56 tajadores o por el mismo costo 8 lápices y 8 lapiceros. Si decidió comprar el mismo número de artículos de cada tipo. ¿Cuántos compro en total? a) 19 d) 18 12)
b) 20 e) 24
c) 21
Si por s/.2 dieran 6 chirimoyas más de las que dan, la media docena costaría 45 céntimos menos. ¿Cuánto pagó por docena y media de chirimoyas? a) s/.3,60 d) s/.1,60
b) s/.2 c) s/.2,40 e) s/.2,20
13) Preguntando a Pablo por la fecha de su matrimonio, éste contestó, la ceremonia se realizó en 1950 cuando la mitad del tiempo transcurrido de aquel año era igual a la cuarta parte de lo que faltaba por transcurrir. La ceremonia tuvo lugar el:
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 29 de Abril a las 2 de tarde. b) 2 de Mayo a las 4 de tarde. c) 17 de Mayo a las 11 de mañana. d) 30 de Mayo a las 9 de mañana. e) 1 de Mayo a las 4 de tarde.
la la la la la
14) Averiguando el número de miembros de una familia, el hijo varón contesta ; tengo doble número de hermanos que hermanas, pero la niña contesto: mis hermanos son el triple de mis hermanas el total de hermanos es: a) 7 d) 11
b) 13 e) 10
15) En un baile Emilio le dice a Verónica, somos el doble o el triple de ustedes. Ella le dice: “Mira allí vienen mis 5 amigas”, con los cuales nadie se quedará sin bailar. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta? a) 10 d) 14
b) 12 e) 50
c) 13
c) 8
Razonamiento Matemático
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
MISCELÁNEA 1) Un estudiante escribe en un cuaderno cada día la mitad de hojas en blanco que posee ese día más 5 hojas, si al cabo de 4 días ha gastado todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenia el cuaderno? a) 20 c) 70 e) 140
b) 40 d) 150
2) En un examen por cada respuesta bien contestada, ganan un punto; por cada respuesta mala pierden un punto; si la nota de un alumno en 20 preguntas fue de 10. ¿Cuántas preguntas contesto mal? a) 5 c) 6 e) 10
b) 4 d) 8
3) Con 3 desarmadores se obtiene un alicate, con 3 alicates un martillo. ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? a) 11 c) 13 e) 15
b) 12 d) 14
Razonamiento Matemático
4) Un frutero debía vender 300 naranjas a razón de 5 por un sol y otras 300 naranjas a razón de 3 por un sol; las vendió todas a razón de 4 por un sol. ¿Gano o perdió? ¿Cuánto? a) no gana ni pierde b) gana 30 c) pierde 30 d) gana 10 e) pierde 10 5) Se contratara un obrero por 63 días con la condición que se le abonara 40 por cada día de trabajo y que él entregara 50 por cada día que deje de trabajar; si debe recibir 1440, ¿Cuántos días tendrá que trabajar? a) 50 b) 51 c) 53 d) 40 e) 43 6) El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre? a) 5 c) 3 e) 4
b) 1 d) 2
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
7) Sabiendo que 2 Kilos de fréjoles cuestan lo mismo que 3Kg.de azúcar, que 4 lápices valen lo que 5 Kg. de azúcar; que 3 cuadernos valen S/. 30 y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costaran 6 Kilos de fréjoles? a) 20 c) 18 e) 33
b) 36 d) 16
8) ¿Qué suma necesitara un gobierno para pagar a 4 coroneles, si el sueldo de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes; el de 5 comandantes al de 12 tenientes; el de 6 tenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan S/. 2400 al mes? a) 106 c) 28800 e) 5000
b) 14400 d) 12348
9) En un zoológico hay leones y gorriones, si en total hay 20 cabezas y 62 patas. ¿Cuántos leones hay? a) 5 c) 11 e) 30
b) 7 d) 28
Razonamiento Matemático
10) Se quiere cubrir una superficie con losetas y se observa que si se quiere formar un cuadro faltan 8 losetas, pero si a este cuadrado se agrega una loseta por lado, faltan 23 ¿Cuantas losetas se tienen? a) 25 c) 24 e) 53
b) 23 d) 41
11) En una empresa con motivo de navidad se reparte una cierta cantidad de dinero entre un grupo de socios y cada uno recibe 5000 soles, pero se habían contado dos de más, por lo que a la hora de hacer el reparto recibe cada uno 5 500 soles. ¿Cuánto dinero se repartió. Dar como respuesta la suma de las cifras? a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
12) Entre “a” personas tenían que pagar una cierta cantidad de dinero; pero resulta que “b” de ellas solo pueden pagar la mitad, obligando de esta manera a que cada una de las personas restantes den “ab” soles más. Hallar el valor de la cantidad de dinero.
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) a(a-b) c) b(a-b)
b) 2a(a-b) d) b2(a-b)
a2 b a 13) Un joven apuesta en la sexta vez y saca “n” soles; si cada vez que apostó perdió la mitad de lo que tenia. ¿Con cuanto entro a apostar, si siempre que lo hace apuesta todo?
e)
16n a) 3 c) 64n
32n b) 3 3n d) 64
8n e) 3 14) La diferencia entre el cuadrado y el triple de un número es 550. Hallar la raíz cuadrada de dicho número. a) 25 c) 5 5 e) 55
b) 5 d) 5
15) Se dispone de S/. 20 000 para la compra de libros si no hacen rebaja, quedarían S/. 2 000, pero si hacen S/. 50 de rebaja por libro, sobrarían S/. 5 000 ¿Cuánto costo cada libro? a) S/. 200 c) S/. 300 e) S/. 150
b) S/. 250 d) S/. 350
Razonamiento Matemático
16) Un comerciante Compra 40 jarrones a S/. 70 cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de S/. 20 por jarrón, se le rompieron 5. ¿A que precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de S/. 810? a) S/. 90 c) S/. 82 e) S/. 130
b) S/. 110 d) S/. 120
17) La suma de 2 números es 288, el cociente 15 y el residuo el mayor posible. Calcular el mayor de los números. a) 271 c) 287 e) 180
b) 217 d) 171
18) Si después de repartir 4827 cuadernos entre cierto número de alumnos; a cada uno le corresponde 7 cuadernos y todavía sobran 312. ¿Cuál es el número de alumnos? a) 645 c) 234 e) 612
b) 546 d) 324
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
19) Si a un número entero se le agrega dos ceros a ala derecha, dicho número aumenta en 78111 unidades. El número mencionado es: a) 789 c) 899 e) 889
b) 879 d) 689
20) Un alumno que ha de multiplicar un número por 50, se olvida de poner el cero a la derecha del producto, ha hallado un producto que se diferencia del verdadero en 11610. ¿Cuál es el multiplicando? a) 528 c) 258 e) 300
b) 825 d) 256
21) Una persona decide ingresar a galería en vez de entrar a platea ahorrando 30 soles. Si los precios de ambas localidades suman 180 soles. ¿Cuánto pago dicha persona, en soles? a) 75 c) 100 e) 80
b) 60 d) 95
Razonamiento Matemático
22) La cifra de las decenas de un número de dos dígitos excede al de las unidades en 3 y la diferencia entre los cuadrados de estas cifras es 15. ¿Cuál es el número? a) 41 c) 63 e) 85
b) 52 d) 74
23) Dividiendo un número por 175 se obtiene 73 de residuo; dividiendo el mismo número por 177 se halla el mismo cociente pero con 11 de residuo, luego el dividiendo es: a) 5490 c) 5670 e) 5948
b) 5498 d) 5673
24) ¿Qué número debe agregarse a 45181 para que todos los dígitos de la suma total sean unos? a) 45180 c) 65930 e) 6505
b) 61930 d) 65986
25) ¿Cuál es el número impar tal que, agregado a los cuatro impares que le siguen dan un total de 905? a) 181 c) 177 e) 183
b) 175 d) 191
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
26) En una división el cociente es 8 y el residuo 20. Sumando el dividiendo, el divisor, el cociente y el residuo, se obtiene un total de 336. El dividiendo es: a) 308 c) 124 e) 296
b) 276 d) 288
27) Después de haber comprado 15 libros del mismo precio, me sobran 38 soles y me faltan 47 soles para poder comprar otro. ¿De que suma disponía? a) 1613 c) 85 e) 1313
b) 1275 d) 1250
28) Una persona nacida en la primera mitad del siglo XIX tenia X años en el año X 2. Dicha persona nació en: a) 1812 c) 1806 e) 1849
b) 1825 d) 1836
29) Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente uno de ellos 200 soles más que el otro. Después de igual número de días reciben 2 4000 y 2 1000 soles, respectivamente. ¿Cuánto gana diariamente cada uno de los obreros?
Razonamiento Matemático
a) 1100 y 1300 b) 2200 y 2400 c) 1600 y 1800 d) 1000 y 1200 e) 1400 y 1600 30) Se han comprado 72 útiles, entre lapiceros y cuadernos. Cada lapicero costo 14 soles y cada cuaderno 36 soles. Si el total de la compra ha sido 1624 soles. ¿Cuántos lapiceros se compró? a) 20 c) 36 e) 56
b) 32 d) 44
31) Un lechero vende el litro de leche pura a 85 soles y echa agua hasta que 125 litros de la mezcla valgan solo 8500 soles. Se desea saber que cantidad de agua agrego, en litros. a) 20 c) 26 e) 25
b) 22 d) 24
32) Debo pagar 250 soles con billetes de cinco soles y diez soles. ¿Cuántos billetes de diez soles debo emplear si en total se usan 35 billetes? a) 15 c) 17 e) 16
b) 13 d) 14
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
33) Camilo desea repartir 200 soles entre sus hijos Timo, Yani y Roxana de manera que Timo reciba 10 soles mas que Yani y que ella reciba 20 soles mas que Roxana ¿Cuál es la suma que tiene Timo y Roxana? a) 80 c) 50 e) 150
b) 70 d) 130
34) Hallar el mayor número total que al dividirlo entre 1420 de un residuo que es igual a 11 veces el valor del cociente. a) 12972 c) 24367 e) 3640
b) 1845 d) 184599
35) La cantidad de dinero que tiene Edy es mayor que 800 soles y menor que 25000 soles en billetes de 10 soles cada uno. Si el número de billetes se cuentan de 6 en 6, en 8 en 8, 10 en 10 y de 12 en 12 siempre sobran 5 pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguna. ¿Cuál es la cantidad de dinero que tiene Edy? a) S/. 14370 c) S/. 16360 e) S/. 14955
b) S/. 19250 d) S/. 12510
Razonamiento Matemático
36) Un individuo compro un pantalón, un par de zapatos y una camisa por 2600 soles. El pantalón vale 900 soles más que el par de zapatos y estos con el pantalón cuestan 1200 más que la camisa. ¿Cuánto cuesta el par de zapatos? a) 200 c) 500 e) 300
b) 400 d) 600
37) Un sastre se da cuenta que tarda 10 segundos para hacer un corte de 3 metros. En una tela de 228 metros, ¿Cuánto tardará en cortar dicha tela? a) 2280seg c) 750seg. e) C y D
b) 760seg. d) 12,5min
38) Renato gana 105 soles por hora y su hermano Christian 95 soles. Después de 25 días Renato, que ha trabajado 4 horas más por día que Christian, ha recibido 11750 soles más. ¿Cuántas horas de trabajo por día ha tenido Renato? a) 6 c) 9 e) 10
b) 8 d) 4
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
39) Al dividir 180 en dos parte tales que al dividir la primera por 11 y la segunda por 23 se tiene que la suma de los cocientes es igual a 12. ¿Cuál es el valor de parte mayor? a) 92 c) 103 e) 114
b) 88 d) 96
40) Dos obreros trabajan juntos ganado uno de ellos S/. 1350 más que el otro. Después de trabajar el mismo número de días reciben S/. 59906 y S/. 47756. ¿Cuál es el número de días? a) 5 c) 9 e) 13
b) 7 d) 11
41) Al repartir desodorantes entre un grupo de personas se observa que si entrega 10 a cada una sobran 30 y si se les da 14 sobran 6 ¿Cuántos desodorantes hay? a) 50 c) 90 e) 180
b) 71 d) 120
42) Se tiene un número de 3 cifras; si se le suma el número que resulta de invertir el orden de las cifras se obtiene 666, pero si se le resta se sabe que
Razonamiento Matemático
la diferencia de las cifras de las unidades es igual a 6. Hallar el número. a) 396 c) 745 e) 462
b) 531 d) 666
43) Salvador decía a sus alumnos; si la cantidad que tengo la multiplicáis por 8 y luego la dividís por 10 y el cociente le multiplicáis por 3 y añadís 36, entonces tendré 180 soles. ¿Qué cantidad tenia el profesor de R. M? a) 58 c) 52 e) 60
b) 60 d) 56
44) Si un cierto número se divide por 7, se suma 12 al cociente y se le agrega una cifra 8 al final del resultado se obtiene el séxtuplo del número dado ¿Cuál es el número? a) 15 c) 27 e) 36
b) 28 d) 42
45) Si a un número entero se le agrega 3 ceros a la derecha, dicho número queda aumentado en 522477 unidades. ¿Cuál es el número?
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 523 c) 235 e) 532
b) 600 d) 325
46) Pamela a cambio de “y” metros de casimir ha entregado “x” metros de paño. ¿Cuánto cuestan 2 metros de casimir si al comprar 3 metros de paño se pagan “3n” soles? a) 2xn/y c) xn /2y e) 2ny/x
b) 2xn/y2 d) xn /3y
47) Se han distribuido 7000 soles entre cuatro personas de la siguiente manera: a la primera 1245. 20 soles, a la segunda, se le dio una cantidad que excede a lo de la primera en 85, 40 soles; a la tercera tanto como a las dos primeras juntas, menos 1000 soles y a la cuarta se le entregó el resto del dinero. ¿Cuánto le correspondió a esta ultima? a) 1575, 80 soles b) 1330, 60 soles c) 1575, 80 soles d) 2848, 20 soles. 48) En cierta feria salen premiados en un juego: 20 adultos, 10 mujeres y 5 niños,
Razonamiento Matemático
recibiendo entre todos ellos un total de 9050 soles. Si sabemos que una mujer recibe tanto dinero como 2 niños y que un adulto recibe tanto como 4 mujeres. ¿Cuál es la diferencia entre lo que reciben 2 adultos y 3 mujeres? a) S/. 400 c) S/. 500 e) S/. 550
b) S/. 300 d) S/. 450
49) Con un cierto número hago las siguientes operaciones: lo elevo al cuadrado al resultado le quito 15 y lo multiplico por 3; al número así obtenido lo divido entre 6 y luego lo elevo al cubo, obteniendo un número al cual luego de aumentarle 19 unidades le extraigo raíz cuadrada para obtener 12 como resultado final., siendo positivo el número que tenia inicialmente, diga: ¿Cuál de los siguientes es el doble de él? a) 10 c) 14 e) 12
b) 6 d) 21
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
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Tercer Año
61
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
50) Carlos tiene un barril de cerveza que esta lleno ½ de lo que no esta lleno. Se extrae una cantidad igual a 1/3 de que no se extrae. ¿Qué parte del volumen del depósito quedara con líquido? a) 1/4 c) 1/5 e) N.A 51) Si:
b) 1/6 d) 1/8
b) 1 d) 1/m
a) 100 c) 60 e) 40
b) 75 d) 80
56) Hallar “a”, si x = 10, en:
7x 5y a 3 x y 27
b) 8 2 d) 4 2
52) Hallar x 1 x 1 1 2 x 1 x 1 x 1 b) 0,3 d) 0,75
53) Hallar “x” al resolver:
“x”
a) 45 c) 70 e) 15
b) 65 d) 55
57) Calcular: si x = -2 a) -1/4 c) 2 e) 512
2 x x
2 2 (1 x )
b) -64 d) 0
58) Hallar: x
xy 2 2
x 1
x y 2 y x
a) 4 c) 2 e) 10
a) m c) -m e) -1/m
x 5 y 28 3x 7y b
Hallar b –a
a) 0,25 c) 0,5 e) 1
x y n 1 m 1 mx ny
55) Calcular: b + y, si x = 12 en:
a 5 2 , a b2 712 b 8
a) 6 2 c) 3 2
54) Hallar :x
b) 6 d) 8
Razonamiento Matemático
a) 3 c) -1 e) 3/4
1 1 ;x 1 2y y
b) -3/4 d) -3
62
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
59) Calcular: x x( x x ), si x = -3 a) 75 c) 78 e) 72
b) 12 d) -84
60) Calcular: ( x 7)28 3 x 15 si: x – 6 = 0 a) 3 c) 5 e) 1
b) 4 d) 2
61) Hallar: (1331)0,1 (1331)2 / 9 a) 5 c) 11 e) 14
b) 8 d) 17
62) Calcular: ( 2
3
2
a) 4 c) 0 e) 8
3 )2
b) 2 d) 6
63) Efectuar: 11 12
a) 6 c) 9 e) 4
2
11 1 3 4
b) 8 d) 10
Razonamiento Matemático
64) Efectuar: ( x 1 y 1)( x 1 y 1) y 2
a) x2 c) x-2 65) Reducir:
b) x d) x-1
2n 7 2n 9 2n 9 2n 11
a) 1 c) 4 e) 16
b) 2 d) 8
66) Calcular el verdadero valor de:
x2 9 , para x = 3 x3 a) 0 c) 6 e) 8
b) 1 d) 4
67) Hallar la suma de las soluciones: (x – 3) (x + 2) = 0 a) 5 c) 1 e) 0
b) -1 d) -5
68) La suma de las raíces de la ecuación: ( x 2 3 x 2)( x 2 7 x 12) 0
a) 8 c) 12 e) 24
b) 10 d) 13
63
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
69) Hallar
“x”:
x 5x x 35 x 3 12 6 a) 420 c) 720
5x 2 7x 2 6 3x x 3 4 12 6
b) 480 d) 840
70) Efectuar: 3 4
1 2 3
a) 6 c) 5 3
74) Resolver:
1 2 3
b) 4 d) 3
a) 2 c) 6 e) 12
b) 4 d) 3
75) Resolver:
3x 2 4x 3 x 3 9 3x 6 3 Luego calcular
71) Hallar: 5 3( 4 3) 1 a) 0,1 c) 0,3 e) 0,5
1
b) 0,2 d) 0,4
72) Calcular:
A
(3 2i)(1 i)7
a) -6-4i c) 6 - 4i
(1 i)5 b) -6+ 4i d) 6 + 4i
73) Calcular: (1 i)16 i16 a) 256 c) 259
b) 257 d) 17
Razonamiento Matemático
x 1
x
x 1 2
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
76) Hallar: a + b a 0, a b a2 0, ef b2 a2ef a) 16 c) 13
b) 14 d) 15
77) Hallar “x”: 1x 4 504(n) a) 3 c) 6 e) 8
b) 4 d) 7
64
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
78) Si: a – b = 4, hallar: ab ba a) 36 c) 38
7 x 1 4 x 3 5 2x 1 4 x 2 3 4 2x 3x
b) 44 d) 46
79) Hallar:
a
+
a) 1 c) -1
b
abb( 7 ) 10a3(5 )
a) 7 c) 9 e) 13 80) Reducir:
84) Resolver:
b) 8 d) 11
2 x 1 3 x 6 3 5 4 3
1 3 2 2 4 1 10 3 5 23
a) 3 c) 7 e) 8
b) 2 d) -2
1/ 2
a) 11 c) 13
b) 12 d) 14
85)
b) 5 d) 6
2(5 x 1) 3(10 x 3) 2 x 6 5 10 2 5 a) 1/5 c) 1/3
b) 2/5 d) 2/3
81) Resolver: 86) ( x 1)2 ( x 1)2 3( x 5 )
x(3 2a ) 1 x( 2 3a ) a 2
a) a c) a + 1
a) 8 c) 15
b) 1 - a d) a - 1
b) 18 d) 24
87) Resolver: ( x 1)3 ( x 1)3 6 x( x 3 )
82) Resolver:
3x 1
2 a) -1 c) 1
5x 4 3
x 2 8
2x 3
b) -2 d) 2
83) Resolver:
Razonamiento Matemático
5
1 10
1 3 1 c) 7 a)
1 5 1 d) 9 b)
88) Resolver: 7( x 3) 5( x 2 1) x 2 5( x 2)
65
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 1 c) -1
b) 2 d) -2
4x 2 1 3x 20 x x 1 4 3 a) 1 b) -1 c) 2 d) -2
5x 8 7x 4 x 1 x2
a) 1 1/2 c) 3 1/2
b) 2 1/2 d) 4 1/2
x 13 50 x 30 5 x x2 a) 5 c) 15
b) 10 d) 20
94) Hallar 2x, si: 4 x 4 x 1 24 a) 1 c) 5
b) 2 d) 7
95) Resolver:
91) Resolver:
1 7 11 2 3x 5x 60 a) 1 c) 3
d) 4
93) Resolver:
89) Calcular: 23x, si
90) Hallar x:
c) 3
2 x 1 4 x 80
b) 2 d) 4
92) Resolver:
3x 1 2x 7 x 2x 1 6 a) 1 b) 2
Razonamiento Matemático
a) 1 c) 3
b) 2 d) 4
96) Hallar: x xx2 2 a) 2 c) 2
b) 1 d) 4
66
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
97)
Se definen las operaciones:
5 de la 3 edad que tú tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tú tienes. ¿Cuántos años tienes?
a
representa los
= 2a - ab b x * y = x + y + ( x ? y) p ? q = p2 – 2q Hallar el valor de:
?
(4 *
5?12
1
a) 20 c) 60 e) 50 98)
99)
a) 52 años c) 48 años e) 30 años
2
3 * 2
b) 40 d) 30
Dentro de 4 años tendré el doble de la edad que tuve hace 4 años. Qué edad tendré dentro de 12 años? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 28 Determine el valor de:
2
2
.
a) 2 c) 3 2 e) 5 2
2
2 2
.
2
100) Yo tengo 45 años y mi edad
2
2
b) 2 2 d) 4 2
101) La velocidad de un bote cuando navega a favor de la corriente del río es de 60 km/h, pero cuando navega contra la corriente, su velocidad es de 22 km/h. ¿Cuál es la velocidad del bote en aguas tranquilas? a) 40 km/h c) 42 km/h e) 44 km/h
b) 41 km/h d) 43 km/h
102) Nuestras edades sumarán dentro de 10 años 84, pero hace 9 años nuestras edades se diferenciaban en 22 años. ¿Cuál es la edad del mayor? a) 40 c) 42 e) 44
Razonamiento Matemático
b) 50 años d) 39 años
b) 41 d) 43
67
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
103) Un alumno comienza a almorzar antes de las 2:00 p.m. cuando las manecillas del reloj forman un ángulo de 90º y termina después de las 2:00 p.m., cuando las manecillas del reloj indican sentidos opuestos. ¿Cuánto tiempo utiliza para almorzar? (en minutos).
8 11 3 c) 47 11 7 e) 43 11 a) 42
5 11 1 d) 49 11 b) 45
104) Un señor tiene 52 años y sus hijos 10; 7 y 4 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble de la suma de la edad de sus hijos?. a) 1 año c) 3 años e) 5 años
b) 2 años d) 4 años
105) Dos ciclistas están separados por una distancia de 2800 m. SI va uno al encuentro del otro, necesitarían 70 segundos, pero si el más veloz persigue al otro lo
Razonamiento Matemático
alcanzaría en 200 segundos. ¿Cuál es la velocidad del más rápido?. a) 25 m/s c) 29 m/s e) 35 m/s
b) 27 m/s d) 31 m/s
106) Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, 4 y cuando tu tengas los 3 de mi edad, nuestras edades sumarán 90 años. ¿Qué edad tienes?. a)28 c) 20 e) 18
b) 16 d) 24
107) Si:
x
y = x y * (x + y )
a * b = 2a + 3b c a lc u la r : a) 30 c) 28 e) 26
2
3 b) 29 d) 27
108) Si a la edad que tengo le sumo la que tendré dentro de 5 años y le resto el doble de la edad que tuve hace 4 años, obtendré la edad que tengo. ¿Cuál es mi edad?.
68
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 11 c) 13 e) 15
total utilizó 13 h. ¿Cuál es la longitud de la pendiente? a) 200 km. b) 300 km. c) 400 km. d) 500 Km. e) 600 Km.
b) 12 d) 14
109) Un ómnibus interprovincial debe dejar pasajeros en todos los pueblos designados por letras sin repetir el camino entre los pueblos y utilizando todos los caminos.
A B
D
C
E
Entonces es correcto: a) Es imposible. b) Empieza en A y termina en E. c) Empieza en C y termina en E. d) La posible secuencia es: A; C; E; D; B; D;A. e) Absurdo. 110) Un tren sube una pendiente con una velocidad de 25 km/h y la desciende con una velocidad de 40 km/h. Si en
Razonamiento Matemático
111) Yo tengo el cuádruple de la edad que tú tenías cuando yo tenía los 2/3 de tu edad actual, pero cuanto tú tengas los 5/4 de mi edad, tu edad y la mía sumarán 110 años. ¿Cuál es mi edad?. a) 10 c) 30 e) 50
b) 20 d) 40
112) En un mapamundi con escala 1:27 750 000 la distancia entre Lima y Brasilia es de 8,8 cm. ¿Cuál es la distancia real entre éstas ciudades?. a) 2572 Km. b) 2502 Km. c) 2492 Km. d) 2452 Km. e) 2442 Km. 113) Un reloj marca exactamente la medianoche cuando realmente son las 12:24 a.m. Si este reloj se adelanta 3 minutos cada 5 horas, cuando vuelva a marcar la hora exacta, ¿qué hora será? a) 1:00 p.m.
b) 2:00 p.m.
69
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
c) 3:00 p.m. d) 4:00 p.m. e) 5 p.m. x + 1 S i: x = x - 1 , p a r a x = 1 114)
h a lla r :
a
a2 1 a1
a) a
b)
a 1 c) a 1
a 1 d) a 1
e)
115) Si:
a2 1 a2 1
1 1 1 1 6 y 5 a b a b
Calcular: a) 30 c) 61 e) 1
b2 a2 a 2b 2
b) -11 d) 11
116) Si A x B = 1000000, donde tanto A como B no terminan en cero, calcular A + B. Dar como respuesta la suma de cifras del resultando. a) 31 c) 29 e) 30
b) 27 d) 28
Razonamiento Matemático
117) En (0; 1; 2) se define el operador * según la tabla adjunta. Calcular: 21 * 12 * 0 1 2
0 0 1 2
a) 200 c) 101 e) 110
1 1 2 10
2 2 10 11
b) 111 d) 100
118) Memín tiene seis años menos que Luchín. Cuando Luchín tenía la mitad de edad que tiene Memín, éste último tenía la octava parte de la que tiene aquél. ¿Cuánto suman ambas edades, actualmente? a) 18 c) 46 e) 42
b) 40 d) 48
119) Entre las 16:00 y las 17:00 h. ¿a qué hora las agujas de un reloj (minutero y horario) forman un ángulo de 76º por primera vez? a) 16:06 h c) 16:12 h
b) 16:08 h d) 16:09 h
70
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
e) 16:10 h 120) Dos móviles P y Q están separados inicialmente 12 Km. uno del otro y van a su mutuo encuentro, tardando 8 minutos en cruzarse, desde el instante de su partida. Si el que va a menor velocidad lo hace a 40 Km/h; luego del cruce, ¿en qué tiempo estarán separados 18 km?. a) 16 min c) 12 min e) 18 min
b) 15 min d) 24 min
n 1 125 3 4
2 .5
a) 1 c) 9 e)
n
n 1 25 2
5
2n
.3 2
b) 4 d) 5 5
122) Efectuar: F = (m + n) (m2 + n2) (m4 + n4) + n8 Si m – n = 1 a) 1 c) n e) m8
a) 500 g c) 750 g e) 10 Kg.
b) 250 g d) 1 Kg.
124) Sabiendo que:
y:
121) Reducir: R=
123) Una estatua de 4 m. de alto pesa 1000 Kg. ¿Cuánto pesará un modelo de la misma estatua hecho con el mismo material, pero de 4 dm de alto?
b) m d) n8
Razonamiento Matemático
Calcular: a) 5 c) -3 e) 6
x
=x
=x+2
3
+ 2 b) 3 d) -2
125) Si: x+ y = a; xy = 1; a 2 + b2 = a2b2 entonces x3 + y3 es igual a: a) ab b) a2b2 - 3 2 2 c) ab(a b -1) d) ab (a2b2 - 3) e) 1 126) Una pequeña aeronave puede volar a 320 km/h si no hay viento. El viento está soplando con una velocidad constante de 40 km/h. El tiempo total que toma un
71
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
viaje con el viento en contra es 135 minutos. ¿Cuánto tiempo, en minutos, demorará el viaje de regreso con el viento soplando a favor, sin tener en cuenta el tiempo que tarda la nave en despegar y aterrizar? a) 115 c) 114 e) 112
b) 105 d) 125
127) ¿Cuáles de las siguientes figuras se pueden dibujar de un solo trazo; es decir, sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por la misma línea?.
(I)
129) Cada factor de las multiplicaciones 10 x 11 y 17 x 6 se aumenta en un mismo número, de modo que los productos resulten iguales. ¿Cuál es ese número? a) 2 c) 6 e) 10
130) Sean m y n dos números naturales, primos entre sí, tales que m2 – n2 = 39 y m > n. la suma de posibles valores de m es: a) 34 c) 29 e) 28
(II)
b) 4 d) 8
b) 32 d) 26
131) Calcular x Z, tal que:
(III)
a) I y II c) II y III e) Todas
x + x2 + x3 + x4 = 210 + 29 + 2.32 b) I y III d) Sólo I
128) Si a # b = 2b+1, cuando a > b y a # b = ab + 1, cuando a < b. Determinar el valor de x en: (2 # 3) # x = 3 # 2 a) 1 c) 1/2 e) 2/3
b) 2 d) 3/2
Razonamiento Matemático
a) 5 c) 7 e) 9
b) 8 d) 6
132) Si a + a-1 = 3, calcular a3 + a-3 a) 9 c) 18 e) 21
b) 27 d) 15
133) Un turista gasta diariamente la mitad de lo que tenía al final del día anterior, más $
72
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
50. Si después del cuarto día ya no tiene dinero, ¿cuánto tenía al principio?. a) $ 6400 c) $ 1500 e) $ 3600
b) $ 6300 d) $ 6000
134) ¿Cuántos números enteros n, cumplen: n200 < 5300? a) 23 c) 22 e) 19
b) 24 d) 25
243
5 5 55 5
a) 1 c) 3 e) 1/3
b) 2 d) 1/2
136) Sabiendo que:
a*b2 3 a * b = 3a + 4b a+b=
calcular: 5 + 7 a) 18 c) 15 e) 20
a) c-2 c) c2 e) h-2
b) 1 d) h2
138) ¿A qué hora del día ocurre que, el número de horas que faltan transcurrir es igual al cuádruple del número de horas que faltan para que sean las 17h15 min? a) 15 h b) 16 h c)14 h 50 min d) 15 h 25 min e) 16 h 35 min
135) Simplificar: 5 55 5
137) Si a2 + b2 = c2 y ab = ch, entonces a-2 + b-2 es:
b) 12 d) 10
139) Cuando Julio tenía siete años menos que la edad actual de Fito, éste tenía dos años menos de lo que tiene Lalo, el cual era un año menor que Julio en ese entonces. Cuando Julio tenga un año más de lo que tiene Fito, éste será tres años mayor que Lalo. Actualmente las edades de los tres amigos suman 52 años. Calcular la edad actual de Fito. a) 16 c) 18 e) 20
b) 17 d) 19
140) Se definen:
Razonamiento Matemático
73
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
x + x
durante el año pasado. Calcular el promedio mensual, en soles.
= 2x - 1
x + 1 = 3x - 2 90
C a l c u la r : 3
a) 10 c) 8 e) 13
+
7
b) 9 d) 11
141) Si a aa = 2, calcular el valor de: a
a aa 1 1 a
a) 1 c) 4 e) 64
b) 2 d) 16
142) Un móvil debía cubrir la distancia entre dos ciudades en 40 minutos, pero tuvo un contratiempo y se detuvo 10 minutos en el trayecto, para luego retomar su camino con una velocidad equivalente a dos tercios de la anterior, llegando veinte minutos atrasado. ¿A los cuántos minutos se detuvo? a) 20 min c) 15 min e) 18 min
b) 10 min d) 25 min
143) El siguiente gráfico indica los volúmenes de venta de determinado artículo,
Razonamiento Matemático
70 60 50 40 30 20 En Fe M a Ab M a Ju Jl Ag Se O c N o D i
a) 52900 c) 47000 e) 46500
M e ses
b) 52500 d) 45200
144) Si x3 + y3 = x + y; x -y, calcular: E=
x2 y2 3 xy 1 1 xy x y 2
a) 0 c) 2 e) -2
b) 1 d) -1
145) Si a y b son números reales positivos, y cada una de las ecuaciones x2 + ax + 2b = 0; x2 + 2bx + a = 0 tiene raíces reales, entonces el menor valor posible de a + b es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
74
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
146) El resto de dividir:
a 1 a 2 a 3 a 4 7 a 2 5a 9 es: a) 21 c) 23 e) 20
147) Si:
b) 22 d) 24
ax b ax b
a) 36
a = x b
Calcular: 2 . 3 . 4 … 10 . a) 45 c) 55 e) 75
150) Mientras iba a cenar poco después de las 6:00 p.m., un hombre observa que las agujas de su reloj forman un ángulo de 110º. Al regresar antes de las 7:00 p.m., él nota que otra vez las agujas forman un ángulo de 110º. El número de minutos que estuvo afuera es:
b) 50 d) 65
al dividir
x2 y5
a) 111 c) 391 e) 356
b) 245 d) 208
152) Si: x y z 1 1 1 = 8; y z x
149) Si
Razonamiento Matemático
xm yn
es xr y120. Calcular m + n + r
Calcular: F(0) + F(1) + F(2)
f(x) = ax2 + bx + c; f(-1) = 12 f(0) = 5 y f(2) = -3. Calcular a + b + c a) -4 b) -2 c) 0 d) 1 e) 2
d) 42,4
151) El término central del cociente notable generado
F(x+1) = F(x) + 2x + 4 y F(0) = 5.
b) 28 d) 29
b) 40
c) 42 e) 45
148) Si:
a) 26 c) 31 e) 27
2 3
donde x y z 0, calcular: P=
x
y z x 1 y 1 z 1
a) 9 c) 1/3
b) 3 d) 3xyz
75
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
e)
xyz 3
sumarán 42 años”. ¿Cuál es la edad de Jorge?.
153) La división:
m n x 3 n q x 2 n q x m n x 2 n2 es exacta.
Calcular: a) 0,1 c) 0,3 e) 0,5 154) Resolver: a) ]2; 1] c) [3; 7] e) 0
n2 m 2 q2
b) 0,2 d) 0,4 7 x<2
b) [2; 7] d) ]0; 5]
155) Si: b – c < a < b + c; a2 > b2 + c2 , a = x + 1, b = x, c = x – 1, x > 0 Calcular a + b + c, sabiendo que es entero. a) 3 c) 7 e) 9
b) 6 d) 8
156) Juan le dice a Jorge: “Mi edad es el triple de la que tú tenías cuando yo tenía tu edad, y cuando tú tengas mi edad, ambas edades
Razonamiento Matemático
a) 18 años c) 14 años e) 15 años
b) 16 años d) 12 años
157) Si: mn = nm = 2. Calcular mn mnmn a) 16 c) 4 m e) 4
b) 8 d) 4n
158) Calcular a, si: F(F(F(a))) = 298 y F(x) = 2(2x+1) a) 4 c) 8 e) 3
b) 2 d) 6
159) Si la ecuación: 3 2nx 2 = x es de x n primer grado en x, señalar el valor de n+x.
2 -
a) 3,2 c) 4,2 e) 1,6
b) 2,1 d) 3,5
160) A las 19:00 h parte de una ciudad A con dirección a B, un automóvil a 60 km/h, y luego de recorrer 30 km. descansa 40 min. Para
76
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
luego continuar su recorrido con igual velocidad. A las 09:25 h parte de A con dirección a B, otro auto a 80 km/h. ¿A qué hora se encuentran?. a) 14:00 h c) 14:50 h e) 16:40 h
b) 3,5 d) 2,25
F ila 2 F ila 3
a) 2456 c) 2556 e) 2756
b) 2511 d) 2656
164) El resultado de: E=
8
8
8
8
8
8
es: 2 3.2n
162) Entre las 10:00 y las 11:00 h. ¿cuál es la hora en que el minutero y horario forman un ángulo de 47º por primera vez? a) 10:40 h c) 10:42 h e) 10:39 h
F ila 1
b) 13:40 h d) 14:40 h
161) Si a * b = c, entonces a = bc Calcular: 25 * 5 + 3 * 9 a) 2,75 c) 5 e) 2,5
Calcular la suma de los tres números de tres cifras.
b) 10:44 h d) 10:46 h
163) Utilizando sólo dígitos del 1 al 9 inclusive, sin repetirlos, colocar un dígito en cada cuadradito, de modo que la suma en las tres filas sea la misma. Además, los números de tres cifras determinados en cada fila deben ser los mayores posibles.
Razonamiento Matemático
Calcular el valor de n a) 9 c) 13 e) 14
b) 12 d) 16
165) Hallar el mayor valor de m, si la ecuación en x: 2x2 + (m + 1) x + 3(m - 5) =0 tiene una raíz que es doble de la otra. a) 8 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19 1 1 4ab , calcular: 166) Si: a b
77
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
N=
a2 b2 ab
ab a2 b2
a) 3,5 c) 5,5 e) 7,5
a2
b2
L=
1
4
m
1 calcular: m , sabiendo m que es positivo. a) 2 c) 4 e) 4
b) 2 d) 3
3
3 3
168) Calcular el valor de x, en: 7
a) -3 c) 1 e) 6
a 2 b2
5x 52 5 x 516
5 1
a) 9 c) 8 e) 11
b) -1 d) 3
170) Si: a + b + c = 0, calcular el valor de:
b) 4,5 d) 6,5
m
167) Si:
a b 2
b) 10 d) 7
169) Si: x-1 + y-1 = (x + y)-1
a b a c b c b a c a c b
a) -1 c) -3 e) -5
b) -2 d) -4
171) Si n 0, efectuar:
n
2
2
1 n2 1 n n a) 7 c) 9 e) 11
2
n 4 6n 2 9 2
n 3 b) 8 d) 10
172) Si: 2a – 1 = 2a + 1 + 1 - a 3
=1
Calcular: 7 . a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
Calcular: F=
x y 12
x 12 y 12
x6y6
Razonamiento Matemático
78
n 2 2
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
173) En un orfanato se comparten canicas, de tal manera que al primero le toco 1, al segundo 2, al tercero 3 y así sucesivamente. Si en total se repartieron 1830 canicas. ¿Cuántas canicas le toco al penúltimo? a) 59 c) 61 e) N.A
b) 60 d) 58
174) Complete las siguientes tabla de equivalencias:
4
11
13
17
21
7
21
25
33
X
a) 46 c) 43 e) 41
b) 45 d) 42
175) ¿Cuál de las siguientes expresiones equivale a: a) (* 1)* c)
**
* 1
b) (* * 1) *
(* * ) * *
d)
cuantos días podrá hacer la obra A trabajando solo? a) 10 5/11 días b) 10 10/11 días c) 10 4/11 días d) 11 10/11 días. e) 10 3/11 días. 177) En una fiesta un grupo de hombres y mujeres decide bailar de la siguiente manera: Un hombre baila con 5 mujeres, otro con 6 mujeres y así sucesivamente hasta que el ultimo hombre baila con todas las mujeres, si h representa el números de hombres y m el representa el números de mujeres, entonces: a) h = m c) h = m – 4 5 e) N.A
178) ¿Cuál de las expresiones dadas representa el producto de los “n” primeros números impares.
*
(* * * ) * e) N.A 176) A y B hace una obra en 6 2/3 días; A y C, en 4 4/5 días; A, B y C en 3 3/4 días. ¿En
Razonamiento Matemático
b) h = m/5 d) h = m -
a)
( 2n 1)! 2 n (n 1)!
b)
( 2n)! 2 n (n)!
79
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
c)
2 n1 n! (n 1)!
necesitarán, si se quiere colocar una tuerca a cada perno, al tenerse 600 y 300 gr. de pernos y tuercas respectivamente.
d)
(2n)! n
2 (n 1)! e) N.A 179) En la figura la suma de los ángulos señalados será:
a) 720° c) 360° e) No se puede.
b) 180° d) 540°
180) El promedio de 100 números es 40, si el promedio de 20 de ellos es 30. ¿Cuál es el promedio de los otros? a) 41 c) 43 e) N.A
b) 42 d) 42.5
181) Al compararse los pesos de pernos y tuercas se saben que el peso de 5 pernos menos 2 gr. es mayor que el peso de 3 tuercas; pesan menos 11 gr. y una tuerca pesa mas de 3 gr. Hallar cuantas tuercas se
Razonamiento Matemático
a) 300 tuercas b) 150 tuercas c) 125 tuercas d) 1 tuerca. e) N.A 182) Lida le dice a Juan. Yo tengo los nueve décimo de la edad que tu tenias, cuando yo tenia la edad que tu tienes, y si tuvieras la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 35 años. ¿Cuál es la diferencia de edades entre Juan y Lidia? a) 2 b) 3 c) 1 d) Tiene la misma edad e) No mencionado 183) Una caja contiene 2,400 pesetas en billetes de 25 y 100 pesetas; doble número de los primeros que los segundos. ¿Cuántos hay de cada clase? a) 32 y 18 c) 32 y 19 e) 31 y 19. 184) Se define las operaciones:
b) 32 y 16 d) 30 y 18 siguientes
80
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
P.....Q
P P
3 , 2
siendo:
e) 7.5°
Hallar: 10 _ _ _ 1´000,000
se cumple: 6! ! ! 5! ! 4! ! ! n! (5!1)!24! ! 3! ! ! ! Luego n toma el valor de:
a) 13 c) 12/13 e) N.A
a) 2 c) 4 e) 6
x y
187) Si
x y 2
b) 13/12 d) 25
185) ¿Cuál es el numero cuya mitad mas su duplo, mas su tercera parte, mas su triple equivale a 1435? a) 286 c) 246 e) N.A
b) 326 d) 243
186) En la figura las coordenadas de los puntos A y B son (3,2) y (3,4) respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo AOB?
y B A 0 a) 10° c) 15°
x C b) 22.5° d) 18°
Razonamiento Matemático
b) 3 d) 5
188) En un laboratorio se comparan 2 muestras, una luna y otra de un asteroide x, obteniéndose por conclusiones que: la muestra lunar es nueve veces mayor que la del asteroide, y si hubieren transcurrido diez siglos, seria por lo menos siete veces mayor. Encontrar la mínima antigüedad del asteroide x. a) 6,000 años b) 900 años c) 3,000 años d) 7,000 años e) 1,000 años. 189) De un depósito de 50lts. De capacidad, lleno de vino de primera clase, se saca una cierta cantidad de vino y reemplaza por vino de segunda clase, luego se saca la misma cantidad de la mezcla y se reemplaza, quedando esta ultima mezcla, con solo 20 partes de vino de primera clase. Hallar la
81
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
cantidad de líquido que se saco cada vez. a) 113.2 c) 100 e) 50
b) 13.2 d) 200
190) Yolanda le dijo a Gloria: cuando tenias mi edad, yo tenia la edad que tiene Doli quien tenia 5 años. Si nuestras edades son como 3 es a 2, encuentre la edad de Doli. a) 4 años b) 8 años c) 15 años d) 12 años e) No mencionada. 191) A una cantidad le quito el 20% y luego el 30% quedándome 420 soles. ¿Cuál es dicha cantidad? a) 700 c) 800 e) N.A
b) 750 d) 1,500
192) En la fracción A/B inicialmente los valores “A” y “B” son -1/2 y 2/3, enseguida “A” aumenta hasta 2/3 al mismo tiempo que “B” disminuye hasta -1/2. ¿Cuál es la variación total que experimenta la fracción? a) Aumenta en 7/12 b) disminuye en 7/12 c) aumenta en 3/12 d) disminuye en1
Razonamiento Matemático
e) No varía. 193) ¿Cuál es el menor perímetro que puede tener un rectángulo cuya área es 777 m2, si sus lados expresados en metros son números enteros? a) 524 m. c) 110m. e) 114 m.
b) 116 m. d) 256 m.
194) Descomponer un numero a en dos partes que sean entre si como m es a n ¿Cuáles son estas partes?
mn
am
mn
m
a) m n ; m n b) m n ; m n
mn mn
c) m n ; m n
am
an
d) m n ; m n e) N.A 195) Que porcentaje del área no sombreada es1 el0 márea sombreada?
4m 4m a) 25% c) 50% e) 700/12%
3m b) 22.5% d) 700/13%
82
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
196) Un asunto fue sometido a votación de 600 personas y se perdió; habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el que había sido perdido y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? a) 80 b) 50 c) 200 d) 150 e) 100 197) Una persona gasta la mitad de lo que ganaba en su alimento, y el 173 en sus otros gastos, después de 40 días ha ahorrado 30 pesetas. ¿Cuánto gana por día? a) 2.5 c) 10 e) N.A
b) 7.5 d) 4.5
a) 150 b) 900 c) 200 d) 100 e) N.A 200) Tres personas acordaron pesarse juntas y lo hicieron de la siguiente manera: la primera persona con la segunda que resulta “x” kilos, la segunda con la tercera que resulto “y” kilos, la tercera persona con la primera resulto “z” kilos. ¿Cuánto pesa la primera? a) x + z +3y c) (x+z—y)/2 e) x + y + 2z
b) x+ z -2y d) x + z –y
201) Todo joven tiene:
198) El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora baja el nivel del agua la mitad de la altura, mas un metro. ¿Qué espesor tenia la capa de agua? a) 10 c) 18 e) N.A
le corresponde a uno de ellos sea el óctuplo de los que le corresponde a la segunda. Si con la mitad de lo que le corresponde a la segunda se compro un Sándwich. ¿Cuánto costo dicho sándwich?
b) 14 d) 22
199) Se reparten 1,800 caramelos de tal forma que la parte que
Razonamiento Matemático
a) Figura b) Admiradores c) Simpatías d) Cabellos e) Zapatos 202) Un ferrocarril va de un punto A a otro B distante 280Km., con 275 pasajeros, recauda un boletaje la suma de 4942. siendo el precio del boleto por persona y por Km. de 0.10 en primera clase, de 0.075 en segunda clase y de 0.055 en
83
Tercer Año
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tercera clase sabiendo que por 7 pasajeros de segunda clase viajan 18 en tercera clase. ¿Cuántas personas hay en cada clase? a) 25, 70 y 140 b) 20, 70 y 180 c) 25, 70 y 180 d) 25, 70 y 185 e) 20, 65 y 180 203) Si se verifica 4m 4m
que:
npq
npq n
npq
4m
npq pq
Ud.
m npq
a) 0 c) 2 e) F.D
El
valor
205) Si al restar menos uno a un número obtenemos 2. ¿Cuál es el número?
206) Indicar hay.
b) 1 d) 2 cuantas
funciones
de:
m npq
b) 1 d) (mpq)2
204) Un estudiante recibió de su padre una cantidad para cubrir los gastos durante el tiempo que demoran las oposiciones a una cierta carrera. El estudiante gastó 126 soles diariamente y tuvo que pedir prestado 1.710 soles. Si su gasto diario hubiera sido de 90 soles. Se encontraría con un sobrante de 1.350 soles. ¿Cuántos días duraron las oposiciones y que cantidad recibió de su padre el estudiante? a) 80 y 9200
d) 80 y 9000
a) 0 c) -1 e) N.A
4m
halle
c) 85 y 8000 e) 60 y 7200
b) 85 y 9000
Razonamiento Matemático
a) 1 c) 3 e) N.A
b) 2 d) 4
207) Una empresa contrata a un obrero por 63 días en la siguiente condición: Por cada día que trabaja la empresa, le abona 1.600 soles por cada día que no trabaja el obrero le
84
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
paga a la empresa 800 soles. ¿Cuántos días trabajo, si el obrero le pago a la empresa 4.800? a) 8 c) 44 e) N.A
b) 6 d) 19
Razonamiento Matemático
85
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INDICE
Cripto Aritmética ……………………. Logaritmos …………….……………… Estadística ……………………………. Probabilidades ……………………….. Habilidad Operativa …………………. Planteo de Ecuaciones ……………… Miscelánea ……………………………
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03 09 15 29 36 42 50
1
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IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.B. TELF.: 540–0814 / 98503121
DPTO.
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DE
PUBLICACIONES
2
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TEMA: CRIPTO ARITMÉTICA Bajo este nombre, que traducido literalmente significa “Aritmética Oculta”, se conoce a un grupo de problemas, la verdad, que todos ellos muy importantes (espero que luego pueda Ud. Compartir mi opinión). Tales problemas se caracterizan, porque se nos dan operaciones aritméticas realizadas entre ciertos números, los cuales en realidad se desconocen, puesto que han sido reemplazados, sus cifras por letras o por otros símbolos. Hallar tales números es el objetivo de nuestro trabajo, a través de un análisis en el que tengamos en cuenta las propiedades de la operación que tenemos en frente, es que cada caso debemos llegar a la solución del problema. Pero mejor empecemos a conocerlos: Ejemplo: Hallar: A + P + A + C + H + E Si:
CHAPE x 3 CHAPE1
Solución Colocando en forma horizontal: 1CHAPE X 3 CHAPE1 (100000 CHAPE ) X3 CHAPE 0 1 300000 3CHAPE CHAPE
299999 10CHAPE
X10 1
3CHAPE
299999 7CHAPE
C 4 CHAPE 42857H 2 a 8 A + P + A + C + H + E = 34
Razonamiento Matemático
P=5 E=7
3
Tercer Año
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PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Supongamos que:
682 170,5 S ; O, R AVE AVE Además O = cero. Hallar: M AV , E
x S, ORRO
Dar como resultado la suma de las cifras enteras del resultado. Rpta.:
abcde x 6 2e2e2e
Rpta.: 6) Hallar: “m + n + p” Si : pmn p
7) Si
*
*
*
*
*
8
*
2 *
*
8
9
2
* *
* *
0 *
*
*
*
*
*
*
*
1
ab
nm mnp
Rpta.:
se x b
a7bc 8caa cbcb
x
24b22
Hallar el valor de: “a.b.c” Rpta.:
cumple que: . Hallar el
c 99
valor de: “a + b + c ” Rpta.: 4) Al dividir aba entre ba ; se obtuvo 6 de cociente y residuo ab . Hallar: (b - a)
8) Si: ab x cd = 450, halle el valor de: (a - b) x (c + d) ; siendo a , b , c, y d cifras significativas. Rpta.: 9) Hallar : M + E + S
Si: M
Rpta.: 5) Hallar abc bde si se cumple que : a ; b ; c ; d ; e ; son diferentes y además:
Razonamiento Matemático
bac 8
2) Hallar la suma de las cifras del producto total, de la siguiente multiplicación:
3) Si
x
M
M
E S E
E S S
Rpta.: 10) Si
:
PARA PARA CATRE
Hallar: T+E+T+A
4
Tercer Año
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Rpta.:
Rpta.:
11) Si: FIAT FORD DODGE
Calcular D+E+D+O
12) Indicar la suma de las cifras que faltan en:
* *
*
*
4
* *
*
4
*
* *
4 *
0 7
abc . 19 ..... 541 abc . 13 ..... 107
Calcular la suma de las tres últimas cifras del producto de
Rpta.:
7
16) Si:
abc . 12
Rpta.:
x 1 CHAPE 3
17) Si:
x
CHAPE 1
0
Calcular : A+P+A+C+H+E Rpta.:
13) Si: AMOR ROMA NENE
Hallar N+E+N+E Rpta.:
18) Si: M + A =12 Calcular: MAMA AMAM
Rpta.:
14) Si: UNO U! N! O!
Calcular U+N+O
19) Si: UNI x 156 ....876 Calcular la suma de las 3 últimas cifras del resultado de:
Rpta.: 15) Reconstruir: 5
* *
*
4 5 *
2
*
* *
1 *
* 5
6 3
x
*
y dar como respuesta la suma de cifras del producto.
Razonamiento Matemático
UNI x 468
Rpta.: AVE
x E 428
20) Si: AVE
x V 214
AVE
x A 856
Hallar : EVA Rpta.:
x AVE
5
Tercer Año
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PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Hallar bcc si se sabe que es menor que 500 además: ab0 a0b bc c bcc
a) 250 d) 150
b) 355 e) N.A.
c) 255
a) 10 d) 13
BAB D194
b) 12 e) 15
c) 14
A
A
B
1
7
5
A
a) 8 d) 7
6 1 8
2 4 0
5 9 7
7 + 8 3
Cual es el valor de : + + a) 10 d) 13 4) Si: MIA
b) 11 e) 14
c) 12
572
Hallar el valor de: M+A+M+I b) 19 e) 17
B
b) 5 e) 1
3 AB 2BA 599
b) 9 e) 4
c) 1
7) Calcular la suma de las cifras del resultado de esta operación: 1 2 3 + 3 8 7 4 5 8 a) 20 d) 25
b) 12 e) 17
c) 23
8) ¿Qué cifra corresponde cuadro vacío? 4 3 6 2 1 0
c) 15
a) 7 d) 6
Razonamiento Matemático
c) 9
6) Hallar: A + B ; Si:
a) 5 d) 3
3) Si:
a) 10 d) 20
4
¿Cuál es el valor de: A-B?
2) Hallar: A + B + D ; Si: A 65
5) Si:
b) 5 e) 0
2 2 5
al
6 + 4 0 c) 3
6
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
9) Si: a + b + c = 19 Hallar : abc bca a) 1919 b) 2009 d) 1009 e) 2999 10) ¿Qué número recuadro?
8 3
cab
en
el
b) 432 e) 333
c) 433
11) Dar como resultado la suma de las cifras que debemos escribir en los casilleros en blanco para que la operación sea correcta. 9 6 0 3 + 2 0 0 5 6 4 4 8 a) 17 d) 13
5 9
a) 19 d) 14
b) 18 e) 22
c) 16
14) Si:
+ 3678 4111 a) 124 d) 533
1 8
La suma de las cifras del resultado es:
c) 2919
falta
5 7
b) 15 e) 21
5 + 9 7 ¿Cuál es el valor de: + ? a) 10 d) 7
b) 12 e) 6
c) 8
15) Hallar: A + B ; Si:
4 5 A 6 B 4 1 0 9 8
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
c) 19 16) Calcular : a + b +c + d – e ; en la siguiente operación:
12) Hallar: A + B +C ; si: AA B
4 c
BCC
a) 10 d) 12
b) 8 e) 6
3 5 a
2 b
2 d 8
e 9 0 0 3
c) 9
13) En la sustracción:
Razonamiento Matemático
a) 14 b) 15 d) 17 e) 12 17) Si: m + n + p = 17 Hallar:
c) 16
mon nmp pno pm
7
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Además o = cero (0) a) 1777 b) 1877 d) 1887 e) 1077
5 4 8 3 1 3
c) 1787
18) Hallar: A + B +C ; Si: A3 6
a) 6 d) 5
6 7 C
19) Descubre que símbolo en: 5 6 4 8 8
c) 16
23) Hallar : a + b + c si:
digito a cada 4 1 + 9 4 7
PER
b) 6 e) 7
b) 4 e) 8
POR PE P R PER
c) 7
21) ¿Qué cifra corresponde cuadro vacío?
Razonamiento Matemático
300; además 0 = cero,
en:
c) 4
20) Al sumar: 978 + 243 + 165 + 82 la cifra que representa a las decenas es: a) 5 d) 6
abc x cba = 39483 a) 6 b) 12 c) 14 d) 9 e) 5 24) Hallar: P + E + R, si 150
Y hallar el valor de: + + -
a) 5 d) 3
c) 8
abc x 3 = 2bc1 a) 10 b) 15 c) 20 d) 14 e) 18
1 7 5 6
b) 18 e) 19
b) 7 e) 4
7 + 6 3
22) Hallar : a + b + c , si:
3 8 4
a) 17 d) 15
3 4 8
a) 8 d) 9
b) 10 e) 12
c) 7
25) hallar la suma de las cifras del resultado en: 1edcba x 3 edcba1
al
a) 25 d) 27
b) 23 e) 22
c) 29
8
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Razonamiento Matemático
Tercer Año
9
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: LOGARITMOS Definición: Logb A = x Se lee: “Logaritmo de A en base b es x” Se cumple que bx = A; donde: A es el número y b es la base. Con: A IR+, b IR+, b 0 1; x IR
Hallar “a” en: Log5 (a-12) = 3 Solución: Como: log5 A = x bx = A Luego:
53 = (a – 12) a = 125 + 12
a = 137 . LEYES BÁSICAS
1. logb a = c bc = a 3. logb 1 = 0 5. logb an = n x logb a 7. logb A x B = logb A + logb B
Razonamiento Matemático
2. logb b = 1 4. b log6 N = N A 6. logb = logb A – logb B B p 8. logbq a
p x logb a q
10
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
9. logB A =
log x A log x B
11. a logb c c logb a
10. logb a x loga b = 1 12. log x A
1 log A x
Cologaritmo
Antilogaritmo
CologbN = logb(1/N) .
antilogb N = bN
* Co logb N logb N * Co log N log N 0 b b
.
* anti logb (logb N) N * log (anti log N) N b b
Logaritmo Decimal logA = x 10x = A .
Base = 10 1. log 1 = 0 2. log 10 = 1 3. 10logA = A
4. log(A x B) = log A + log B 5. log(A B) = log A - log B 6. log Ax = xlogA
Logaritmo Neperiano ln A = x ex = A . Base = e 2,71 1. ln 1 = 0 2. ln e = 1 3.elnA = A
Razonamiento Matemático
4. ln (A x B) = ln A + ln B 5. ln (A B) ln A – ln B 6. ln Ax = x x ln A
11
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Razonamiento Matemático
Tercer Año
12
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 4
3
1) El valor de : 2 2log2 3 2log3 es:
log2 81 27
343log7
10 x 10 x
3
8) Si: log x log x log x 6 0 Hallar el producto de las dos soluciones.
Rpta.: e x y 18
3) Hallar “x ” en:
e
xy
Rpta.:
2
Rpta.: 4) Calcular:
10 x 10 x
Rpta.:
Rpta.: 2) Calcular:
7) Resolver:
9) Si: E8
log3 4 log22
Rpta.:
2
n
log24 log24 .... log24 log24
6
el valor de “n” es: Rpta.:
5) Calcular el valor de: 3 2 2 6 10)6Dada la siguiente ecuación: E log3 2 . log6 log3 . log6 log3 . log2
Rpta.: 28 6) Si: log14 a
Halle: log16 14 en función de “a” Rpta.:
x log 4 log log 3 log log 81
el valor de “x” es: Rpta.: 11) Hallar las raíces siguiente ecuación: log x log
de
la
x
Rpta.:
Razonamiento Matemático
13
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
12) Hallar: log
5
625 7
17) Hallar : “a” en:
Rpta.:
1 log2 (a 4) log2 ( a 3 a 3 )2
13) Resolver: Rpta.:
7 log7 (3 x 19 ) 2log2 ( x 47 ) Rpta.: 14) Hallar
18) Resolver: “a”
log
en:
19) Calcular:
x 81log3 2
15) Calcular:
S 12log12 15 13log13 16 14 log14 17 40log 40 43 Rpta.: 16) Resolver: log x log x log x 5 loga a 24
Rpta.:
Razonamiento Matemático
x 14 1 log1,2
Rpta.:
log19 8a x log4 19 4 Rpta.:
x 7 log
Rpta.:
20) Resolver:
log(ax )
(5 x 4 10 x 2 1)(5a 4 10a2 1) ( x 4 10 x 2 5)(a 4 10a2 5)
Rpta.:
14
lo
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Hallar:
a) 8 b) 16 d) 36 e) 216 7) Resolver:
log 5 125
a) 8 d) 4
b) 12 e) 5
18log18 (13 x 1) 10 x 22
c) 6
a) 3 d) 5
2) Calcular: log64 256 a) 4/3 d) 8/5
b) 3/4 e) 3/8
c) 64
b) 8 e) 7
c) 4
8) Si: a 2 7ab b 2 0 ; hallar el equivalente de: 0,5 (log a + log b)
c) 5/8
3) Calcular:
E log7 7 log9 97 5log5 8
a b a) log 2
b)
a) 15 d) 19
a b log 7
c)
b) 118 e) 16
c) 14
4) Resolver: 8log8 ( x 7 ) 3log3 24 a) 29 d) 18
b) 17 e) 33
c) 31
5) Hallar
“n”:
log 9 (2n) x log 2 9 6 a) 64 d) 128
b) 32 e) 48
c) 16
6) Calcular: x 27log81 6
a b log d) log( a b) 3 e) 7 log(a b) 9) Resolver:
log(7 2 log x ) log 5 2 log(log x )
a) 5 10 7 d) 10 6
b)
7
10 5
c) 10 2
e) 10
10) Hallar “x”
log x (2). log2 ( x ). log4 ( x 11) 5 Razonamiento Matemático
15
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 1013 b) 1012 c) 1015 d) 1018 e) 1021 11) Hallar la mayor raíz a resolver:
14) Hallar :
m m p m E log log log log n p q m log2 (9 x 1 7 ) log2 (3 x 1 1) log 100
a) 1 d) 4
b) 2 e) 8
c) 3
b)
a b log b e) a c) log
12) Hallar “b” en:
2b 576.3a............(1) log 2 (b a) 4........(2) a) 6 d) 9
log a b b d) log a
a) log ab
b) 4 e) 7
c) 8
log 24 2a
15) Si: log (a+b)=log a + log b Calcular: a) 1 d) 4
a 2 b 2 ab 9
b) 0 e) 5
c) 3
13) Si: log 42 2b log 28 2c
Hallar: log16 a) 4 (a-b+c) c) 2 (a-b+c) e) 2 (a-c-b)
b) 4 (a-c-b) d) 2 (b-a-c)
Razonamiento Matemático
16
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: ESTADÍSTICA INTRODUCCION.En la televisión o en los periódicos muchas veces debes de haber observando diferente información acerca de hechos mediante el uso de cuadros o gráficos parecidos a los siguientes: DISTRIBUCIÓN DEL PRESUPUESTO NACIONAL DEL PRESENTE AÑO
PERÚ: estructura de la población por edad (%) Grupos
1993
2003
0 – 14 15 – 64 65 – mas
37,0 50,3 12,7
29 60,2 10,0
Fuente: INEI Pesca
Salud
E V O L U C I Ó N D E 8% L A P O20% B L A C IÓ N M U N Agricultura D IA L E N L O S Ú L T IM O S 5 0 0 A Ñ O S 14% ( E n m illo n e s d e p e r s o n a s ) Educación
10%
48%
6 0 0Trabajo 0
NIVEL DE POPULARIDAD PRESIDENCIAL Fuente: MEF 40
30
2500
20
400
100 1500
700
1000
10
1600 1700
1E 8 0 0
F1
900
M2
0 0 0A
M
Estas tablas y gráficos se llaman estadísticas. Cada una de ellas lleva en su parte inferior el nombre de quien ha elaborado de dicha información: la fuente. A continuación explicaremos como deben interpretarse la información que contiene cada tipo de gráfica o tabla. 1. DIAGRAMA DE BARRAS Ejemplo 1: Nicolás quiere saber como gasta su dinero, para ello durante un mes anota todo lo que gasta y obtiene el siguiente cuadro. NUEVOS SOLES Comida
Razonamiento Matemático
1500
17
J
J
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Alquiler Ropa Gasolina
2000 600 1200
Esta tabla datos puede representarse en el siguiente Diagrama de Barras.
gráfico, el cual es llamado
2000
Observa que el diagrama1800 de barras son dos ejes cartesianos. En el eje de las X (eje horizontal) representamos1600 los ítems de gastos y el Y (eje vertical) lo numeramos de tal forma que podamos representar fácilmente las cantidades de dinero que corresponde 1400 1200 a cada ítem. 1000
800 una altura igual a la que indica el eje vertical y que es la En cada ítem la barra alcanza 600 en la tabla. cantidad que le corresponde 400 200 2. GRÁFICO DE SECTORES Comida
Ejemplo:
alquiler
ropa
gasolina
otros
El presupuesto mensual de una familia esta representado del siguiente modo: NUEVOS SOLES Alimentación Alquiler Educación Esparcimiento Movilidad Total
300 450 400 100 100 1350
Podemos Representar la distribución de estas cantidades del siguiente modo: Consideramos que un círculo representa la cantidad total del presupuesto: 360°
Razonamiento Matemático
Presupuesto Mensual = 1350 Nuevos Soles.
18
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Dividimos el círculo en sectores circulares de ángulos proporcionales a las cantidades correspondientes a cada ítem del presupuesto. Es decir, sectores circulares de ángulos tales que:
360 A B C D E 1350 300 450 400 100 100 Obteniendo lo siguiente
360 A 360 x300 A 80 1350 300 1350
360 B 360 x 450 B 120 1350 450 1350
360 C 360x 400 C 106,6 1350 400 1350
360 D 360x100 D 26,7 1350 100 1350
360 E 360x100 E 26,7 1350 100 1350 Luego hacemos el siguiente gráfico llamado Gráfico de Sectores. A l im e n t a c i ó n
A lq u ile r
E s p a r c i m ie n t o E d u c a c ió n M o v i li d a d
3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.
Razonamiento Matemático
19
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Para averiguar el número de personas que habitan cada vivienda en una determinada provincia del país se realizó una encuesta obteniéndose la siguiente tabla: NÚMERO DE HABITANTES POR VIVIENDA 1 2 3 4 5 6
NÚMERO DE VIVIENDAS 10000 35000 55000 60000 25000 15000
El número de viviendas que corresponde a cada tipo se llama “Frecuencia Absoluta” de dicho tipo. Así por ejemplo: 35000 es la frecuencia absoluta de 5. 60000 es la frecuencia absoluta de 4. Para representar los datos de esta tabla se puede hacer el siguiente gráfico llamado “Polígono de Frecuencia” 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 NÚMERO DE HABITANTES POR VIVIENDA
Se observa que el Polígono de Frecuencias obtiene dibujando el diagrama de barras, con las barras punteadas y uniendo los extremos de cada dos barras consecutivas. 4. HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS. Consideremos que la siguiente tabla muestra la cantidad gastada en Nuevos Soles en transporte realizado por un grupo de hombres cierto día: Nuevos Soles 105
Nuevos Soles 323
Razonamiento Matemático
Nuevos Soles 505
Nuevos Soles 720
20
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
110 148 235 280
364 420 480 491
521 575 610 654
752 789 930 374
Observamos que los valores obtenidos varían de 105 al 974. Si quisiéramos hacer un polígono de frecuencia sería muy difícil porque la variación de los valores observados es muy grande. Lo que se puede hacer es agrupar estos valores en clases iguales, por ejemplo, de 500 Nuevos Soles cada clase y hacer la siguiente tabla de frecuencia: Clases Nuevos soles
Número de Hombres o Frecuencia
0 - 199 200 – 399 400 – 599 600 – 799 800 – 999
3 4 6 5 2
Observa que la frecuencia de cada clase son el número de hombres cuyo gasto esta dentro de esta clase. Para representar los datos de esta tabla se puede hacer el siguiente gráfico que se llama “Histograma de Frecuencias” N U M ER O D E H O M BR ES
7 6 5 4 3 2 1 200 400 600 800 1000
NUEVO S SO LES
MODA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.El director del colegio ha realizado una estadística sobre el número de inasistencias a clase durante un mes por parte de sus alumnos y ha obtenido la siguiente tabla de frecuencias: Número de Inasistencias 1
Razonamiento Matemático
Número de Alumnos 20
21
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
2 3 4 5 o más de 5
42 25 11 2
Observemos que 2 es el valor al que le corresponde la mayor frecuencia, es decir, no asistir a clases 2 días al mes es el caso que se presenta con más veces. Entonces decimos que 2 es la moda de esta tabla de frecuencias. MODA de una tabla de frecuencia es el valor al que corresponde Mayor frecuencia. MEDIANA.Al ordenar los datos de menor a mayor y al escoger el valor central habremos hallado la mediana. Ejemplo 1: Hallar la mediana de la siguiente serie: 128 – 110 – 112 – 132 – 120 Ordenemos estos valores de menor a mayor obteniendo: 110 – 112 – 120 – 128 – 132 Escogemos el valor central de esta serie y observamos que la mediana es el número 120. - ¿Qué ocurre si el número de datos es par? Ejemplo 2: Hallar la mediana en la siguiente serie de datos: 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 Lo primero que hacemos es ordenar la serie de datos, en este caso la serie ya estaba ordenada.
Razonamiento Matemático
22
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Como el número Total de datos (N) es 12 entonces los datos centrales que son los que ocupan el lugar n° -6 y el n° -7. Entonces calculamos lo siguiente: Mediana =
77 7 2
MEDIA O VALOR MEDIO DE VARIOS NÚMEROS Ejemplo 1: Un joven observa que su gasto durante la semana pasada la realiza de la siguiente forma: LUNES
MARTES
MIERCOLES
JUEVES
VIERNES
SABADO
DOMINGO
S/. 35
s/.17
s/.20
S/. 31
s/.18
s/.42
s/.23
Observemos que durante la semana este joven tuvo un gasto total de: 35 + 17 + 20 + 31 + 18 + 42 + 23 = s/. 186 Si este gasto mensual lo repartiremos proporcionalmente durante los 7 días de la semana obtenemos:
35 17 20 31 18 42 23 186 S / .26.6 7 7 Entonces decimos que 26.6 nuevos soles es el gasto medio o media de gastos diarios de dicho joven durante la semana pasada. Si X1, X2, X3,…, Xn son n números se llama media o valor medio de dichos números y se designan por x .
x
x1 x2 x3 ... xn n
Es decir, x es la suma de dichos números dividida por el número de ellos MEDIA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.
Razonamiento Matemático
23
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
Ejemplo 1: Se ha observado en un taller los defectos de 100 piezas iguales y se ha obtenido la siguiente tabla de frecuencias: Número de Defectos 0 1 2 3 4
Número de Piezas 8 20 44 20 8
Se llama media o valor medio de esta tabla de frecuencias al número que representamos por x obtenido de la siguiente forma:
x
0 * 8 1* 20 2 * 44 3 * 20 4 * 8 8 20 44 20 8 20 88 60 32 200 2 100 100
Es decir, x es la suma de los productos de los valores por sus frecuencias respectivas divididas por la suma de las frecuencias.
Razonamiento Matemático
24
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE
En el siguiente grafico de sectores informa sobre el número de turistas que visitaron cuatro lugares del territorio peruano durante el ultimo mes, siendo 7200 el número de encuestados.
Se muestra el polígono de frecuencias para una distribución de frecuencias que indica el número de revistas vendidas por una distribuidora; en miles de unidades, durante el mes de Febrero del presente año, siendo: 41 30
50
90
E l n ú m e ro d e p e rs o n a s q u e v is it a r o n e l C u z c o . N ú m e r o d e p e r s o n a s q u e v is it a r o n H u a ra z . N ú m e r o d e p e r s o n a s q u e v is it a r o n C a ja m a rc a . N ú m e r o d e p e r s o n a s q u e v is it a r o n A r e q u ip a .
N d e R e v is ta s v e n d id a s
120
A B C D
20 9 A
B
C
R e v is ta
D
Revista El Gol. Revista Fútbol Total. Revista Todo Deporte. Revista Hinchada.
- Se quiere saber: 1.- ¿Cuántos visitaron Cuzco? 2.-¿Cuántos prefieren Cajamarca? 3.. ¿Cuántos fueron a Huaraz? 4.-¿Qué porcentaje de los encuestados fue a la “Ciudad Blanca”? 5.- ¿Cuál fue el tamaño de la muestra?
Razonamiento Matemático
6.- ¿Cuántas revistas de cada tipo se vendieron? 7.- ¿Cuál fue la frecuencia relativa para la revista más vendida? 8.- Si en Febrero la distribuidora tuvo en el almacén un total de 130 mil revistas, ¿Cuántas se dejaron de vender?
25
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
9.- Los siguientes datos representan las edades de los componentes de un grupo de artistas de teatro: 24
32
28
20
26
16
18
22
27
23
28
12
14
15
25
de los ángulos de mayor y menor abertura. 40 35 30 25 20 15
Calcular la media aritmética de estas edades:
10 5
(L u g a r de R e s id e n c ia ) La San V ic t o r ia J u a n
C a lla o
C om as
* Observa el Histograma siguiente: 14.F r e c u e n c ia d e F a m i lia s
N u m e ro d e P e rs o n a s 50 40 30 20 10 60 65 70 75 80 85
(K g )
10.-¿Cuántos elementos tiene la muestra? 11.- ¿Cuál es la clase modal? 12.- ¿Cuál es la media aritmética? 13.- A partir del siguiente gráfico de barras, construir un diagrama de sectores e indicar la diferencia entre las medidas
Razonamiento Matemático
Tomando como base la información que presenta el siguiente cuadro, indicar la medida del ángulo del valor de mayor frecuencia. Construye un gráfico de sectores e indica la medida del ángulo del sector de mayor área. Nombre de Partido
Perú, avanza Somos Patria Dignidad Nacional Perú Posible Avanzada
Número de Votos 145 75 60 20 300
15.- La siguiente tabla muestra los datos organizados de 50 alumnos a los cuales se les consultó su talla.
26
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Intervalos 136-140 140-144 144-148 148-152 152-156
Frecuencia 12 18 24 16 10
Calcular la suma de las frecuencias acumuladas correspondientes a los tres últimos intervalos 16.- La información obtenida al preguntarle a un grupo de 60 alumnos sobre sus medidas antropométricas y especialmente sobre su peso se obtuvo el siguiente cuadro: Intervalos 30-32 32-34 34-36 36-38 38-40 40-42 42-44
Marcas de Clase 31 33 35 37 39 41 43
Fi 3 6 9 12 15 9 6
Si llamamos FA¡ a la frecuencia acumulada del intervalo ¡ y x¡ a la marca de clase del intervalo ¡, Calcular:
17.-Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: 3;2;0;1;2;3;2;1;3;2;3;4;3;2;2 18.-Determinar la mediana del siguiente conjunto de datos: 10;9;8;10;9;8;7;8;9;8;10;9;8;7; 9;8;7;9;8;10. 19.- Calcular la media aritmética del siguiente grupo de datos: 5;7;8;10;5;8;6;7;9;10;5;6;6;7; 10;9;10;10;11;10. 20.- El siguiente gráfico representa las preferencias de los consumidores de Jabones de tocador. Si aquellos quienes prefieren el jabón cuya marca es “Cutis” son 44, calcular el número total de consumidores.
P ie l 108 Seda 90
30 Angel
30 C u t is
X 2FA 2 X 3 FA 3 X 4 FA 4
Razonamiento Matemático
27
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA
F r e c u e n c ia A b s o lu t a
*
El Histograma siguiente detalla el número de de trabajadores de la empresa “El Molino” y sus edades respectivas (1al 4)
25 20
5) En la siguiente tabla, propón una variable para analizar las frecuencias para cada uno de sus valores y plantea el cálculo de la frecuencia relativa. Formula preguntas sobre el número de datos que hay entre dos valores dados. Valores
15 13 10
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Relativa
5 20 25 30 35 40 45 50
Total 1) ¿Cuál es el número de trabajadores de esta empresa? Rpta.: 2) ¿Cuántos tienen edades menores que 30 años? Rpta.:
Rpta.: 6) En el gráfico adjunto representa las preferencias de 60 lectores sobre las revistas A,B,C y D .De acuerdo con el gráfico, cuantas personas prefieren leer revistas B.
3) ¿Cuántos tienen edades mayor o igual que 40 años?
A
Rpta.: 4) ¿Cuántos trabajadores cuyas edades están comprendidas entre 25 y 35 años se observan?
B
132 108 30 C
90 D
Rpta.: Rpta.:
Razonamiento Matemático
28
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
7) Utiliza la siguiente cuadrícula para dibujar un gráfico de barras que representará la información de ciertos resultados de la aplicación de una encuesta a un número determinado de personas formula preguntas sobre las frecuencias mayor y menor.
9) ¿Cuál es la media aritmética? Rpta.: * En el siguiente gráfico de Sectores:
90º 150
N ú m e r o d e F u t b o lis ta s c o n u n a m a s a e n tre 5 5 y 6 0 k g . N ú m e r o d e F u t b o lis ta s c o n u n a m a s a e n tre 6 0 y 6 5 k g . N ú m e r o d e F u t b o lis ta s c o n u n a m a s a e n tre 6 5 y 7 0 k g .
Rpta.:
Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Número de Libros 1200 1800 2000 1000 500 1500
Para los futbolistas de los diferentes equipos que compiten por un campeonato, corresponde al Histograma dado a continuación: N d e F u t b o lis ta s
8) Una distribución registra las cantidades de libros vendidos durante el primer semestre del año.
Z Y
60
¿Cuál es la moda? Rpta.:
Razonamiento Matemático
Rpta.:
55 60 65 70
(K g )
29
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
10) ¿Cuántos futbolistas tienen una masa entre 55 y 60 kg.?
13) ¿Cuántos futbolistas hay cuyas masas están entre 65 y 70 kg?
Rpta.: Rpta.: 11) ¿Cuál es la frecuencia relativa del número de futbolistas que tienen una masa entre 55 y 60 kg.? Rpta.: 12) ¿Cuál es la frecuencia relativa del número de futbolistas con masa entre 65 y 70 kg?
14) ¿Cuál es la frecuencia relativa del número de futbolistas con masa entre 60 y 65 kg? Rpta.: 15) ¿Cuántos futbolistas tienen una masa entre 60 y 65 kg? Rpta:
Rpta.:
Razonamiento Matemático
30
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: PROBALIDADES Al lanzar una moneda existe la posibilidad de obtener una cara o un sello. Si yo quisiera que la moneda muestre cara, habría una posibilidad entre dos que ocurra. Decimos entonces que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½. Si lanzamos un dado hay seis resultados posibles, cualesquiera de los seis número podría verse. Si quisiéramos que salga un número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 y 6) que se pueden obtener. La probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado será:
3 1 6 2 Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una, la probabilidad de que esta sea de diamante será:
P
13 total de cartas de diamantes 1 52 ( total de cartas) 4
Si en un salón de clases hay 20 alumnos varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad que al salir un alumno del aula, este sea mujer?
P
30 total de mujeres 50 ( total de alumnos )
Recordemos: Probabilidad: Definición clásica La probabilidad de ocurrencias es la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. P
Razonamiento Matemático
n de eventos favorables n de eventos posibles
31
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Donde: 0 P 1 La probabilidad de un evento cualquiera esta comprendido entre 0 y 1; en el caso que sea 0: (cero), es un evento imposible; en el caso de que sea 1, el evento es seguro. Es importante aclarar que esta manera de definir la probabilidad se basa en el supuesto que todos los resultados posibles son igualmente probables, es decir que tienen la misma posibilidad de salir. No ocurre así si es que la moneda esta acuñada de tal forma que es mas pesada hacia un lado, o si el lado esta cargado o las cartas están marcadas. Debemos recordar que: El espacio muestral es el conjunto de todos los casos posibles asociados a un experimento. Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio muestral () seria conjunto de dos elementos: = {cara; sello} Si se lanza un dado, el espacio muestral asociado a este experimento seria: = {1; 2; 3; 4; 5; 6} EVENTOS INDEPENDIENTES Como su nombre lo indica son eventos que no dependen entre si para su ocurrencia; por ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez el resultado del lanzamiento de la primera no afecta en el resultado de ésta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de una moneda dos veces? En el primer lanzamiento la probabilidad de obtener un sello es ½, lo representamos así: P (s1) =
1 2
En el segundo lanzamiento la probabilidad de obtener un sello, dado que en el lanzamiento anterior se obtuvo sello es:
Razonamiento Matemático
32
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
P (s2) =
1 2
Luego la probabilidad que ocurran ambos será: P (s1 s2) = P (s1) x P (s2) (sucesos independientes) = 1/4 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de dos monedas? Definimos: C1 C2 S1 S2 A
: : : :
Obtener cara en el primer lanzamiento Obtener cara en el segundo lanzamiento Obtener sello en el primer lanzamiento Obtener sello en el segundo lanzamiento = C1 C2; B = S1 S2 P (C1 C2) = P (C1) x P (C2) =
1 1 1 2 2 4
P (S1 S2) = P (S1) x P (S2) =
1 1 1 2 2 4
Luego: P (A B) = P (A) + P (B) =
1 1 1 4 4 2
Por que A y B son excluyentes dado que no pueden salir dos caras y dos sellos al mismo tiempo lanzando una monedad dos veces.
Razonamiento Matemático
33
Tercer Año
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PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) si se lanzan 3 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener exactamente 2 caras? Rpta.: 2) Al arrojar 3 monedas al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y un sello? Rpta.: 3) Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos menor a 5? Rpta.: 4) Si tenemos 12 libros en un estante, ¿Cuál es la probabilidad que siempre se incluya un libro determinado en una colección de 5 libros? Rpta.: 5) Al arrojar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número impar no mayor a 3? Rpta.: 6) De una baraja de 52 cartas , se extraen dos a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que
Razonamiento Matemático
dichas cartas espadas? Rpta.:
sean
de
7) Para una rifa se venden 20 cupones, Tino compra dos cupones. Si se ofrecen dos premios, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga sólo uno de los premios?. Rpta.: 8) Un saco contiene 3 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules, todas del mismo tamaño y materia ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y las siguientes azules o blancas al seleccionarse 3 velas sin reposición? Rpta.: 9) Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen 2 personas al azar. Hallar la probabilidad de que uno sea hombre y otro mujer sin ser esposos. Rpta.:
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Tercer Año
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10) ¿Cuál es la probabilidad de que dos naipes distintos cualesquiera de una baraja de 52 cartas, estén juntos sin tener en cuenta el palo? Rpta.: 11) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras en el lanzamiento de 2 monedas?. Rpta.: 12) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de 3 monedas? Rpta.: 13) ¿Cuál es la probabilidad de que, de una baraja de cartas, al extraer una de ellas se obtenga un AS? Rpta.: 14) Se lanzan al aire dos dados tetraédricos, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 6? Rpta.: 15) En el clásico juego de “Kachito” (5 dados), ¿Cuál es la probabilidad que resulten 5 ases?
Rpta.: 16) En un salón de clases hay 35 alumnos, de los cuales 20 son limeños; ¿Cuál es la probabilidad que al elegir uno al azar resulte no limeño? Rpta.: 17) Considerando a una gestante al azar, ¿Cuál es la probabilidad que nazca varón y mediante cesárea? Rpta.: 18) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar al aire dos monedas? Rpta.: 19) Se lanzan 3 monedas al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara? 20) Para ganar un bingo, un jugador tiene que llenar una cartilla de 20 números. Luego de haber contado 40 , de los 90 bolos, a cierto jugador le falta un número para ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que gane con el siguiente bolo que se cante? Rpta.: }
Razonamiento Matemático
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Tercer Año
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PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Se lanzan 2 monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos? a) ¼ d) ½
b) 1/6 e) 1/9
c) 1/3
2) Se tiran dos dados al aire. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea múltiplo de 5? a) 1/36 d) 7/36
b) 1/12 e) ¼
c) 5/36
3) Se lanzan 3 monedas al aire ¿Cuál es la probabilidad de obtener no más de una cara? a) 1/8 d) ½
b) ¼ e) 5/8
c) 3/8
4) Se lanza un dado y se desea saber cual es la probabilidad que el número sea compuesto. a) 2/3 d) 5/6
b) ½ e) 1/6
c) 1/3
5) Se lanzan un dado y una moneda; Calcular la probabilidad que resulte cara y un número par. a) 1/4 d) 1/9
b) 1/6 e) 1/3
c) 1/12
Razonamiento Matemático
6) Se lanzan al aire un dado común y uno tetraédrico, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 7? a) 1/4 d) 5/24
b) 1/24 e) 9/24
c) 7/24
7) En una tienda venden únicamente 4 bebidas ¿Cuál es la probabilidad que el próximo comprador elija una de estas 4 bebidas? a) 1/2 d) 2/3
b) 1/3 e) 1
c) 1/4
8) En una caja se tienen 12 bolas negras y 18 azules; ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una al azar, resulte azul? a) 0,2 d) 0,6
b) 0,4 e) 0,3
c) 0,8
9) En una determinada ciudad, de cada 69132 bebés nacidos normalmente, 49380 son de sexo masculino; ¿Cuál es la probabilidad que el próximo bebé a nacer normalmente, sea niña? a) 2/7 d) ½
b) 1/3 e) 1/8
c) 2/5
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Tercer Año
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10) Si a través de la ventana se observa el paso de las personas (dama ó varón); ¿Qué probabilidad hay que pase una dama? a) 0,2 d) 0,5
b) 0,3 e) 0,6
c) 0,4
11) Una ruleta en forma de esfera de reloj esta distribuida en 12 sectores iguales (numerados del 1 al 12), al que se le adopta un marcador; ¿Cuál es la probabilidad que al girarla, y detenerse, marque un número menor que 6? a) 1/4 d) 1/12
b) 1/3 e) 5/12
c) 1/6
12) Las caras de un lápiz hexagonal se numeran del 1 al 6; ¿Cuál es la probabilidad que al hacerlo rodar se obtenga un número no menor que tres? a) 2/3 d) ¼
b) 1/6 e) 1/36
13) En una reunión social se cuentan 250 caballeros y 300 damas; ¿Cuál es la probabilidad que la primera persona que se retire sea dama? a) 3/10 d) 6/11
c) 2/7
14) En un bingo, un jugador está esperando se “cante” una bola, y de los 40 números ya se anuncian 30; ¿Cuál será la probabilidad que se cante dicha bola? a) ½ d) 1/20
b) 1/5 e) 1/12
c) 1/10
15) En una fiesta, por cada 3 varones, habían 2 mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea una mujer?
c) 1/3
Razonamiento Matemático
b) ½ e) ¼
a) 2/3 d) 3/5
b) ½ e) 2/5
c) 1/3
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Tercer Año
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TEMA: HABILIDAD OPERATIVA Ecuación Es la igualdad de dos expresiones algebraicas que sólo se verifica para ciertos valores de la incógnita. La ecuación recibe el nombre de igualdad relativa. Solución o Raíz de una Ecuación Es el conjunto de valores que satisfacen una ecuación. Resolución de una Ecuación Consiste en averiguar por métodos algebraicos para qué valor de la incógnita la igualdad es verdadera. Ecuaciones de Primer Grado Forma. ax b = 0 despejando la incógnita se obtiene su raíz: . x
b . a
Para resolver una Ec. de primer grado se recomienda que las incógnitas estén en un mismo miembros y las cantidades numéricas o conocidas en el otro y así se podrá despejar más fácil.
Ecuaciones de Segundo Grado Forma. ax2 + bx + c = 0 FORMULA GENERAL: 2 raíces x1 y x2 2 . x 1,2 b b 4ac 2a
.
Método del Aspa Simple: x2 + (a + b)x + ab = 0 x + a x + a = 0 x = –a
Razonamiento Matemático
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
x
Tercer Año
+ b x + b = 0 x = –b
Cumple que el producto en aspa da el término central Propiedades de las Raíces de una Ecuación de 2do Grado Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0
1ro Suma de raíces:
x1 x2
2do Producto de raíces
x1 . x 2
b a
c a
3ro Diferencia de raíces:
x1 x2
b 2 4ac a
Propiedades del Discriminante (b2 – 4ac) 1) Si. b2 – 4ac = 0 x1 = x2; R 2) Si. b2 – 4ac > 0 x1 = x2; R 3) Si. b2 – 4ac < 0 x1 = x2; C Formación de una Ecuación de 2do grado x2 – (S)x + P = 0 Donde: S = x1 + x2 y P = x1 . x2 Sistema de Ecuaciones Se denomina sistema de ecuaciones, al conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se quieren obtener. Resolver un sistema es encontrar su solución.
Razonamiento Matemático
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Tercer Año
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PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Hallar la expresión equivalente más simple de:
E
6) Si se cumple que: calcular el valor de:
3n 3 3(3n )
3 3n 1
a
4a
a
2
16a
Rpta.:
Rpta.: 2) Simplificar: F
P
a
a
2 n 3 2 n 2n
7) Calcular E si: E
Rpta.:
32
1 3(2 2 1)(2 4 1)(2 8 1)
Rpta.: 3) Efectuar: 1 S 256
16 16
2 1
8) Calcular S si: S
48(7 2 1)(7 4 1)(7 8 1)(716 1)
Rpta.: Rpta.: 9) Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, hallar la suma de de sus cubos.
4) Efectuar: E 125 9
7 42
0
Rpta.:
Rpta.:
5) Simplificar: R
2
2 2
2
2
2
1
Rpta.:
2
10) La suma de dos números es de 12 y la suma de sus cubos es 576. Hallar el producto de dichos números. Rpta.: 11) Efectuar la expresión: 144 4
Razonamiento Matemático
A
; A 128 49
2 1
40
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
15) ¿Por cuánto debo multiplicar a E para obtener +6?
Rpta.: 12) Efectuar la expresión: 1 42 518 81
1 E 27
0,5 2 4
*
13) efectuar: 1
1 2
1
0 8
3
Rpta.:
Rpta.:
1 3
3 8
1 7
Rpta.:
1
Cuáles de los 4 signos aritméticos: {+; -; x; } debemos colocar en los recuadros en blanco para que la igualdad se mantenga?
16) 17 19 = -2 Rpta.:
14) efectuar:
17) (-3) (-2) = -1 6 1 5 7
8 7
0
Rpta.:
Rpta.: 18) (-15) (+4) (-3) = -63 Rpta.: 19) ( 3)3 = -27 Rpta.: 20) (-5) (+4) (-2) = -22 Rpta.:
Razonamiento Matemático
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Razonamiento Matemático
Tercer Año
42
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Efectuar: 9
a) 2 d) 1
7
7
81 7
3
4
3
3 9 7
a) 1 d) 1/2
2
c) 5
a) 17 d) 25
2) reducir:
E 32 32 0,8 32 0,6 32 0,4
a) 16 d) 8
b) 32 e) 1
2,5
c) 2
3) si se sabe que:
A 93
2
5
27 2
Calcule el valor de: a) 4 d) 6
b) 9 e) 1
A
3
4 2
1
1 9
1
1 25
a) 2/3 b) 3/2 d) 1/3 e) 0 5) simplificar:
4 2
c) 1
2 5 x 4 4 x 8 3 x 16 2 32 6
Razonamiento Matemático
c) 42
b) 31 e) 32
c) 33
8) si en un árbol determinado existen: 4 9.6 6.9 4 hojas y en cada rama hay exactamente 1212 hojas: ¿Cuántas ramas, tiene el extraño árbol?
1 6
c) 2
4 2
b) 23 e) 37
7) ¿En cuanto excede la centésima parte de: 47 2 43 2 2( 47)( 43) , a la milésima parte de: (25000,5)2 (24999,5)2 ? a) 29 d) 30
4
4) indicar el triple de la mitad del resultado de efectuar: 1 4
c) 4
6) si la suma de dos números es 7 y su producto es 6, calcular la suma de sus cuadrados.
2
b) 10 e) 2
b) 2 e) 1/16
1
a) 8 b) 9 d) No es Exacto
c) 18 e) Imposible
9) Si la suma de dos números es igual a la raíz cúbica del cuadrado de 27, y el producto de dichos números es la tercera parte de su suma; halle la suma de sus cuadrados.
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 3 d) 49
b) 62 e) 75
a) x; d) +;
c) 87
10) Calcule el resultado de:
(1001)(999) (1002)(998)
a) 3 d) 4 *
b) 9 e) 0
2
¿Qué signo aritmético (+;-;x;), hay que colocar en los cuadros de blanco para que la igualdad se mantenga?
c) +; x
13) (2)3 (-24) (-2) = -30 a) +;+;+ d) -;+;-
c) 2
b) ;e) x;-
b) -;-;- c) x;+;e) Ninguno
14) (-10) (+5) (-1) = -14 a) -;d) +;x
b) +;e) -;x
c) +;+
11) (-5) (-16) (+4) (-2) = +82 a) +;-; d) -;-;+
b) x; ;+ e) x;-;
12) 2 5 1 = 9
Razonamiento Matemático
c) -;-;-
15) (-8) (-6) (+2) = 50 a) -;+ d) +;+
b) x; e) -;-
c) x;+
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES OBJETIVO Desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocabulario para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria y sus situaciones problemáticas. PROCEDIMIENTO Para el correcto planteo de una ecuación es necesario tomar en cuenta los siguientes pasos: 1. Lectura detallada del enunciado. 2. Identificación de la(s) incógnita(s) y datos proporcionados. 3. Relacionar las incógnitas y los datos, este paso sería el planteo de la ecuación. 4. Verificar los resultados.
RESPUESTA ACERTADA RESPUESTA ACERTADA Dos aeronautas viajan en globo. Un fuerte viento les arrastra Dos aeronautas viajan globo. Unperdidos. fuerte viento arrastra durante muchas horas, y seenencuentran Hacen les descender muchas sesin encuentran perdidos. descender sudurante aerostato en unhoras, prado,y y, apearse del mismo,Hacen le preguntan a aerostato enque un prado, y, sinpor apearse lasu única persona encuentran allí: del mismo, le preguntan a única persona que encuentran por encontramos? allí: - la Perdone, buen hombre, ¿dónde nos Perdone, lo buen hombre, ¿dónde nos encontramos? El- lugareño piensa un rato y responde: - El Enlugareño un globo.lo piensa un rato y responde: - En un globo. Entonces uno de los aeronautas le dice al otro Entoncesde uno dealos aeronautas le dice al otroéste es idiota. Vámonos aquí preguntarle a otro, porque Vámonos de aquí a preguntarle a otro, porque éste es idiota. - No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático. No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático. - Ah, ¿sí?, ¿Y cómo lo sabes? Ah, ¿sí?, cómo loporque sabes?le hemos hecho una pregunta bien - -Pues muy¿Y sencillo, - Pues que muy cualquier sencillo, porque hemos podría hecho haber una pregunta bien sencilla personalenormal respondido sencilla que cualquier persona normal podría haber respondido inmediata y eficazmente; pero él lo ha pensado largamente, y al inmediata y eficazmente; perocierto, él lo ha pensado largamente, y al final ha dicho algo totalmente absolutamente exacto, pero final ha dicho algo totalmente cierto, absolutamente exacto, pero que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada. que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada.
Razonamiento Matemático
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FORMA VERBAL
Tercer Año
FORMA SIMBÓLICA
Un número desconocido El triple de un número Una cantidad aumentada en 20 Un número disminuido en 60 60 disminuido en un número Seis veces el número de lápices El exceso de un número sobre 50 es 10 “x” excede a “y” en 8 El doble de un número aumentado en 3 El doble de la suma de un número con 3 “a” es cuadro veces “b” La relación que hay entre 2 números es 2 a 5 La suma de tres números consecutivos es 18 La suma de tres números impares consecutivos es 33 Tres números son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente El doble del cuadrado de un número El cuadrado del doble de un número La cuarta parte de un número La tercer parte de un número sumada con su quinta parte
Razonamiento Matemático
46
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
EJEMPLO DE APLICACIÓN: 1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18 equivale al triple de su valor. Resolución:
Sea el número: x Según el enunciado del problema: x + 18 = 3x
Resolviendo: 18 = 2x . 9=x . . El número es 9 .
Razonamiento Matemático
47 9 10
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 2) Petita recibió 4 soles y tuvo entonces 4 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido s/.2. ¿Cuántos tenía al principio? 3) Un holgazán duerme normalmente todas las horas de cada día menos la que duerme. ¿Cuántas horas permanece despierto diariamente? 4) Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene? 5) Un estante puede guardar 24 libros de RM y 20 libros de RV ó 36 de RM y 15 de RV. ¿Cuántos libros de RM puede contener el estante? 6) Cuando compro me regalan un cuaderno por cada docena y cuando vendo regalo 4 cuadernos por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo de comprar para vender 1000 cuadernos?
Razonamiento Matemático
7) Mi enamorado es 22 años menor que yo dice cierta dama solterona, y el producto de nuestras edades, excede en 662 a la suma de las edades. ¿Qué edad tiene mi enamorado? 8) Un comerciante compra maletas al precio de s/.20 cada una y además le regalan 4 por cada 19 que compra, recibiendo en total 391 maletas. ¿Cuál fue la inversión del comerciante? 9) Se compra ciertos números de relojes por s/.5625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en soles. ¿Cuántos relojes se han comprado? 10) Una persona tiene s/.20 000 y otra s/. 7500 cada una ahorra anualmente s/.500. ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda? 11) Hallar dos números cuya suma sea 60 y el cociente de sus recíprocas es 3.(Dar como respuesta el quíntuplo del mayor, aumentado en 8).
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
12) Dos llaves llenan un depósito en 6 horas ¿Cuánto tiempo necesitarán cada uno de ellos; separadamente, para llenarlo sabiendo que la primera tarda 5 horas más que la segunda? 13) Hoy gané s/.14 más que ayer y lo que he ganado en los dos días es 25 soles más que los 2/5 de los que gané ayer. ¿Cuánto gane ayer? 14) Si a un número se le quita 30 unidades, queda los 3/5 del número. ¿Qué cantidad se le debe quitar al número inicial para que quede los 2/3 del mismo? 15) Si la mitad del tiempo que ha pasado desde las 7 am., es una tercera parte del tiempo que falta para las 10 pm. ¿Qué hora es? 16)
En una oficina trabajan 9 empleados por cada escritorio; si se ponen dos escritorios más en la oficina, entonces, ahora hay 8 empleados en cada escritorio. ¿’Cuantos empleados hay en dicha oficina?
Razonamiento Matemático
Tercer Año
17) Se sabe que el costo de un pantalón es igual al doble del costo de un camisa, menos 5 soles. Se hace una compra que consta de 5 pantalones y 6 camisas, que origina un monto total de 359 soles. ¿Cuánto cuesta una camisa? 18) En una conferencia el número de varones es al de damas como 7 es a 5; si el exceso del número de varones respecto al de damas es 24,¿Cuántas Damas asistieron? 19) Cuando José nació, su papá y su mamá tenían 30 y 26 años respectivamente. ¿Cuántos años tendrá José cuándo las edades de sus padres sumen 72? 20) Se les debe a dos personas un total de s/.150; si el doble de la deuda menor excede en S/.20 a la deuda mayor aumentada en s/.10: ¿Cuál es la deuda menor? 21) Hace 12 años la suma de edades de A y B era 12 y dentro de 4 años la diferencia de edades será 2. Calcular la edad mayor.
49
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Indicar la cantidad que se debe agregar a los dos términos de la fracción 5/9 para obtener como resultado 0,8. a) 11 d) 14
b) 13 e) 6
b) 40 e) 60
c) 26
3) Un carpintero hizo en total (considerando mesas y sillas) 17 muebles. Si además el exceso de la mitad de la cantidad de las sillas sobre la cantidad de mesas es uno; Calcular la cantidad de sillas confeccionadas. a) 12 d) 13
b) 5 e) 17
a) 2120 d) 800
b) 1100 e) 1300
c) 1200
c) 16
2) Juan y Pedro empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando Pedro ha perdido los ¾ de su dinero, lo que ganó Juan es 24 soles más que la tercera parte de lo que le queda a Pedro. ¿Con cuánto empezaron a jugar? a) 32 d) 36
tiene el doble del cuarto. Calcular el exceso del primero sobre el tercero.
c) 6
4) Entre 4 hermanos tienen 4650 soles; el primero tiene el doble del segundo, éste excede en 200 al tercero y éste a su vez
Razonamiento Matemático
5) Tito y Raúl se ponen a jugar a los dados teniendo ambos una cierta cantidad total de dinero; en cierta jugada, Tito tiene s/.24 que es el doble de lo que tenía Raúl cuando Tito tenía el triple de lo que ahora tiene Raúl. ¿Cuánto tiene ahora Raúl? a) s/.9 d) s/.10
b) s/.6 e) s/.15
c) s/.18
6) Se ha comprado por s/.6000, cierto número de cuadernos, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. Calcular el número de cuadernos. a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
7) Varios amigos alquilaron un ómnibus por $ 400 para una excursión, a pagar por partes iguales, pero faltaron dos de ellos y cada uno de los que
50
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
asistieron tuvieron que pagar $10 más. ¿Cuantos fueron a la excursión? a) 10 d) 50
b) 20 e) N.A.
c) 30
8) En el primer piso de una biblioteca hay 500 mil libros, en el segundo piso hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercero juntos? a) 20 mil b) 50 mil c) 100 mil d) 75 mil e) 150 mil 9) En un negocio de aves, se venden pavos; gallinas y codornices. Son todos gallinas menos 5; son todos pavos menos 7, y son todos codornices menos 4, si un cliente compró todas las gallinas y codornices entonces a) b) c) d) e)
entre otros elementos 38 motores y 148 llantas. ¿Cuántas motocicletas se ensamblaron?
Compró 8 aves. Sólo quedó 1 pavo. Dejó 3 pavos. Habían 7 pavos. Llevó 16 aves.
10) Para ensamblar 50 vehículos, entre bicicletas, motocicletas y automóviles, se utilizaron
Razonamiento Matemático
a) 10 d) 16
b) 12 e) 24
c) 14
11) Ray no sabe si comprar 56 tajadores o por el mismo costo 8 lápices y 8 lapiceros. Si decidió comprar el mismo número de artículos de cada tipo. ¿Cuántos compro en total? a) 19 d) 18 12)
b) 20 e) 24
c) 21
Si por s/.2 dieran 6 chirimoyas más de las que dan, la media docena costaría 45 céntimos menos. ¿Cuánto pagó por docena y media de chirimoyas? a) s/.3,60 d) s/.1,60
b) s/.2 c) s/.2,40 e) s/.2,20
13) Preguntando a Pablo por la fecha de su matrimonio, éste contestó, la ceremonia se realizó en 1950 cuando la mitad del tiempo transcurrido de aquel año era igual a la cuarta parte de lo que faltaba por transcurrir. La ceremonia tuvo lugar el:
51
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 29 de Abril a las 2 de tarde. b) 2 de Mayo a las 4 de tarde. c) 17 de Mayo a las 11 de mañana. d) 30 de Mayo a las 9 de mañana. e) 1 de Mayo a las 4 de tarde.
la la la la la
14) Averiguando el número de miembros de una familia, el hijo varón contesta ; tengo doble número de hermanos que hermanas, pero la niña contesto: mis hermanos son el triple de mis hermanas el total de hermanos es: a) 7 d) 11
b) 13 e) 10
15) En un baile Emilio le dice a Verónica, somos el doble o el triple de ustedes. Ella le dice: “Mira allí vienen mis 5 amigas”, con los cuales nadie se quedará sin bailar. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta? a) 10 d) 14
b) 12 e) 50
c) 13
c) 8
Razonamiento Matemático
52
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
MISCELÁNEA 1) Un estudiante escribe en un cuaderno cada día la mitad de hojas en blanco que posee ese día más 5 hojas, si al cabo de 4 días ha gastado todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenia el cuaderno? a) 20 c) 70 e) 140
b) 40 d) 150
2) En un examen por cada respuesta bien contestada, ganan un punto; por cada respuesta mala pierden un punto; si la nota de un alumno en 20 preguntas fue de 10. ¿Cuántas preguntas contesto mal? a) 5 c) 6 e) 10
b) 4 d) 8
3) Con 3 desarmadores se obtiene un alicate, con 3 alicates un martillo. ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? a) 11 c) 13 e) 15
b) 12 d) 14
Razonamiento Matemático
4) Un frutero debía vender 300 naranjas a razón de 5 por un sol y otras 300 naranjas a razón de 3 por un sol; las vendió todas a razón de 4 por un sol. ¿Gano o perdió? ¿Cuánto? a) no gana ni pierde b) gana 30 c) pierde 30 d) gana 10 e) pierde 10 5) Se contratara un obrero por 63 días con la condición que se le abonara 40 por cada día de trabajo y que él entregara 50 por cada día que deje de trabajar; si debe recibir 1440, ¿Cuántos días tendrá que trabajar? a) 50 b) 51 c) 53 d) 40 e) 43 6) El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre? a) 5 c) 3 e) 4
b) 1 d) 2
53
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
7) Sabiendo que 2 Kilos de fréjoles cuestan lo mismo que 3Kg.de azúcar, que 4 lápices valen lo que 5 Kg. de azúcar; que 3 cuadernos valen S/. 30 y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costaran 6 Kilos de fréjoles? a) 20 c) 18 e) 33
b) 36 d) 16
8) ¿Qué suma necesitara un gobierno para pagar a 4 coroneles, si el sueldo de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes; el de 5 comandantes al de 12 tenientes; el de 6 tenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan S/. 2400 al mes? a) 106 c) 28800 e) 5000
b) 14400 d) 12348
9) En un zoológico hay leones y gorriones, si en total hay 20 cabezas y 62 patas. ¿Cuántos leones hay? a) 5 c) 11 e) 30
b) 7 d) 28
Razonamiento Matemático
10) Se quiere cubrir una superficie con losetas y se observa que si se quiere formar un cuadro faltan 8 losetas, pero si a este cuadrado se agrega una loseta por lado, faltan 23 ¿Cuantas losetas se tienen? a) 25 c) 24 e) 53
b) 23 d) 41
11) En una empresa con motivo de navidad se reparte una cierta cantidad de dinero entre un grupo de socios y cada uno recibe 5000 soles, pero se habían contado dos de más, por lo que a la hora de hacer el reparto recibe cada uno 5 500 soles. ¿Cuánto dinero se repartió. Dar como respuesta la suma de las cifras? a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
12) Entre “a” personas tenían que pagar una cierta cantidad de dinero; pero resulta que “b” de ellas solo pueden pagar la mitad, obligando de esta manera a que cada una de las personas restantes den “ab” soles más. Hallar el valor de la cantidad de dinero.
54
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) a(a-b) c) b(a-b)
b) 2a(a-b) d) b2(a-b)
a2 b a 13) Un joven apuesta en la sexta vez y saca “n” soles; si cada vez que apostó perdió la mitad de lo que tenia. ¿Con cuanto entro a apostar, si siempre que lo hace apuesta todo?
e)
16n a) 3 c) 64n
32n b) 3 3n d) 64
8n e) 3 14) La diferencia entre el cuadrado y el triple de un número es 550. Hallar la raíz cuadrada de dicho número. a) 25 c) 5 5 e) 55
b) 5 d) 5
15) Se dispone de S/. 20 000 para la compra de libros si no hacen rebaja, quedarían S/. 2 000, pero si hacen S/. 50 de rebaja por libro, sobrarían S/. 5 000 ¿Cuánto costo cada libro? a) S/. 200 c) S/. 300 e) S/. 150
b) S/. 250 d) S/. 350
Razonamiento Matemático
16) Un comerciante Compra 40 jarrones a S/. 70 cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de S/. 20 por jarrón, se le rompieron 5. ¿A que precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de S/. 810? a) S/. 90 c) S/. 82 e) S/. 130
b) S/. 110 d) S/. 120
17) La suma de 2 números es 288, el cociente 15 y el residuo el mayor posible. Calcular el mayor de los números. a) 271 c) 287 e) 180
b) 217 d) 171
18) Si después de repartir 4827 cuadernos entre cierto número de alumnos; a cada uno le corresponde 7 cuadernos y todavía sobran 312. ¿Cuál es el número de alumnos? a) 645 c) 234 e) 612
b) 546 d) 324
55
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
19) Si a un número entero se le agrega dos ceros a ala derecha, dicho número aumenta en 78111 unidades. El número mencionado es: a) 789 c) 899 e) 889
b) 879 d) 689
20) Un alumno que ha de multiplicar un número por 50, se olvida de poner el cero a la derecha del producto, ha hallado un producto que se diferencia del verdadero en 11610. ¿Cuál es el multiplicando? a) 528 c) 258 e) 300
b) 825 d) 256
21) Una persona decide ingresar a galería en vez de entrar a platea ahorrando 30 soles. Si los precios de ambas localidades suman 180 soles. ¿Cuánto pago dicha persona, en soles? a) 75 c) 100 e) 80
b) 60 d) 95
Razonamiento Matemático
22) La cifra de las decenas de un número de dos dígitos excede al de las unidades en 3 y la diferencia entre los cuadrados de estas cifras es 15. ¿Cuál es el número? a) 41 c) 63 e) 85
b) 52 d) 74
23) Dividiendo un número por 175 se obtiene 73 de residuo; dividiendo el mismo número por 177 se halla el mismo cociente pero con 11 de residuo, luego el dividiendo es: a) 5490 c) 5670 e) 5948
b) 5498 d) 5673
24) ¿Qué número debe agregarse a 45181 para que todos los dígitos de la suma total sean unos? a) 45180 c) 65930 e) 6505
b) 61930 d) 65986
25) ¿Cuál es el número impar tal que, agregado a los cuatro impares que le siguen dan un total de 905? a) 181 c) 177 e) 183
b) 175 d) 191
56
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
26) En una división el cociente es 8 y el residuo 20. Sumando el dividiendo, el divisor, el cociente y el residuo, se obtiene un total de 336. El dividiendo es: a) 308 c) 124 e) 296
b) 276 d) 288
27) Después de haber comprado 15 libros del mismo precio, me sobran 38 soles y me faltan 47 soles para poder comprar otro. ¿De que suma disponía? a) 1613 c) 85 e) 1313
b) 1275 d) 1250
28) Una persona nacida en la primera mitad del siglo XIX tenia X años en el año X 2. Dicha persona nació en: a) 1812 c) 1806 e) 1849
b) 1825 d) 1836
29) Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente uno de ellos 200 soles más que el otro. Después de igual número de días reciben 2 4000 y 2 1000 soles, respectivamente. ¿Cuánto gana diariamente cada uno de los obreros?
Razonamiento Matemático
a) 1100 y 1300 b) 2200 y 2400 c) 1600 y 1800 d) 1000 y 1200 e) 1400 y 1600 30) Se han comprado 72 útiles, entre lapiceros y cuadernos. Cada lapicero costo 14 soles y cada cuaderno 36 soles. Si el total de la compra ha sido 1624 soles. ¿Cuántos lapiceros se compró? a) 20 c) 36 e) 56
b) 32 d) 44
31) Un lechero vende el litro de leche pura a 85 soles y echa agua hasta que 125 litros de la mezcla valgan solo 8500 soles. Se desea saber que cantidad de agua agrego, en litros. a) 20 c) 26 e) 25
b) 22 d) 24
32) Debo pagar 250 soles con billetes de cinco soles y diez soles. ¿Cuántos billetes de diez soles debo emplear si en total se usan 35 billetes? a) 15 c) 17 e) 16
b) 13 d) 14
57
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
33) Camilo desea repartir 200 soles entre sus hijos Timo, Yani y Roxana de manera que Timo reciba 10 soles mas que Yani y que ella reciba 20 soles mas que Roxana ¿Cuál es la suma que tiene Timo y Roxana? a) 80 c) 50 e) 150
b) 70 d) 130
34) Hallar el mayor número total que al dividirlo entre 1420 de un residuo que es igual a 11 veces el valor del cociente. a) 12972 c) 24367 e) 3640
b) 1845 d) 184599
35) La cantidad de dinero que tiene Edy es mayor que 800 soles y menor que 25000 soles en billetes de 10 soles cada uno. Si el número de billetes se cuentan de 6 en 6, en 8 en 8, 10 en 10 y de 12 en 12 siempre sobran 5 pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguna. ¿Cuál es la cantidad de dinero que tiene Edy? a) S/. 14370 c) S/. 16360 e) S/. 14955
b) S/. 19250 d) S/. 12510
Razonamiento Matemático
36) Un individuo compro un pantalón, un par de zapatos y una camisa por 2600 soles. El pantalón vale 900 soles más que el par de zapatos y estos con el pantalón cuestan 1200 más que la camisa. ¿Cuánto cuesta el par de zapatos? a) 200 c) 500 e) 300
b) 400 d) 600
37) Un sastre se da cuenta que tarda 10 segundos para hacer un corte de 3 metros. En una tela de 228 metros, ¿Cuánto tardará en cortar dicha tela? a) 2280seg c) 750seg. e) C y D
b) 760seg. d) 12,5min
38) Renato gana 105 soles por hora y su hermano Christian 95 soles. Después de 25 días Renato, que ha trabajado 4 horas más por día que Christian, ha recibido 11750 soles más. ¿Cuántas horas de trabajo por día ha tenido Renato? a) 6 c) 9 e) 10
b) 8 d) 4
58
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
39) Al dividir 180 en dos parte tales que al dividir la primera por 11 y la segunda por 23 se tiene que la suma de los cocientes es igual a 12. ¿Cuál es el valor de parte mayor? a) 92 c) 103 e) 114
b) 88 d) 96
40) Dos obreros trabajan juntos ganado uno de ellos S/. 1350 más que el otro. Después de trabajar el mismo número de días reciben S/. 59906 y S/. 47756. ¿Cuál es el número de días? a) 5 c) 9 e) 13
b) 7 d) 11
41) Al repartir desodorantes entre un grupo de personas se observa que si entrega 10 a cada una sobran 30 y si se les da 14 sobran 6 ¿Cuántos desodorantes hay? a) 50 c) 90 e) 180
b) 71 d) 120
42) Se tiene un número de 3 cifras; si se le suma el número que resulta de invertir el orden de las cifras se obtiene 666, pero si se le resta se sabe que
Razonamiento Matemático
la diferencia de las cifras de las unidades es igual a 6. Hallar el número. a) 396 c) 745 e) 462
b) 531 d) 666
43) Salvador decía a sus alumnos; si la cantidad que tengo la multiplicáis por 8 y luego la dividís por 10 y el cociente le multiplicáis por 3 y añadís 36, entonces tendré 180 soles. ¿Qué cantidad tenia el profesor de R. M? a) 58 c) 52 e) 60
b) 60 d) 56
44) Si un cierto número se divide por 7, se suma 12 al cociente y se le agrega una cifra 8 al final del resultado se obtiene el séxtuplo del número dado ¿Cuál es el número? a) 15 c) 27 e) 36
b) 28 d) 42
45) Si a un número entero se le agrega 3 ceros a la derecha, dicho número queda aumentado en 522477 unidades. ¿Cuál es el número?
59
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 523 c) 235 e) 532
b) 600 d) 325
46) Pamela a cambio de “y” metros de casimir ha entregado “x” metros de paño. ¿Cuánto cuestan 2 metros de casimir si al comprar 3 metros de paño se pagan “3n” soles? a) 2xn/y c) xn /2y e) 2ny/x
b) 2xn/y2 d) xn /3y
47) Se han distribuido 7000 soles entre cuatro personas de la siguiente manera: a la primera 1245. 20 soles, a la segunda, se le dio una cantidad que excede a lo de la primera en 85, 40 soles; a la tercera tanto como a las dos primeras juntas, menos 1000 soles y a la cuarta se le entregó el resto del dinero. ¿Cuánto le correspondió a esta ultima? a) 1575, 80 soles b) 1330, 60 soles c) 1575, 80 soles d) 2848, 20 soles. 48) En cierta feria salen premiados en un juego: 20 adultos, 10 mujeres y 5 niños,
Razonamiento Matemático
recibiendo entre todos ellos un total de 9050 soles. Si sabemos que una mujer recibe tanto dinero como 2 niños y que un adulto recibe tanto como 4 mujeres. ¿Cuál es la diferencia entre lo que reciben 2 adultos y 3 mujeres? a) S/. 400 c) S/. 500 e) S/. 550
b) S/. 300 d) S/. 450
49) Con un cierto número hago las siguientes operaciones: lo elevo al cuadrado al resultado le quito 15 y lo multiplico por 3; al número así obtenido lo divido entre 6 y luego lo elevo al cubo, obteniendo un número al cual luego de aumentarle 19 unidades le extraigo raíz cuadrada para obtener 12 como resultado final., siendo positivo el número que tenia inicialmente, diga: ¿Cuál de los siguientes es el doble de él? a) 10 c) 14 e) 12
b) 6 d) 21
60
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Razonamiento Matemático
Tercer Año
61
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
50) Carlos tiene un barril de cerveza que esta lleno ½ de lo que no esta lleno. Se extrae una cantidad igual a 1/3 de que no se extrae. ¿Qué parte del volumen del depósito quedara con líquido? a) 1/4 c) 1/5 e) N.A 51) Si:
b) 1/6 d) 1/8
b) 1 d) 1/m
a) 100 c) 60 e) 40
b) 75 d) 80
56) Hallar “a”, si x = 10, en:
7x 5y a 3 x y 27
b) 8 2 d) 4 2
52) Hallar x 1 x 1 1 2 x 1 x 1 x 1 b) 0,3 d) 0,75
53) Hallar “x” al resolver:
“x”
a) 45 c) 70 e) 15
b) 65 d) 55
57) Calcular: si x = -2 a) -1/4 c) 2 e) 512
2 x x
2 2 (1 x )
b) -64 d) 0
58) Hallar: x
xy 2 2
x 1
x y 2 y x
a) 4 c) 2 e) 10
a) m c) -m e) -1/m
x 5 y 28 3x 7y b
Hallar b –a
a) 0,25 c) 0,5 e) 1
x y n 1 m 1 mx ny
55) Calcular: b + y, si x = 12 en:
a 5 2 , a b2 712 b 8
a) 6 2 c) 3 2
54) Hallar :x
b) 6 d) 8
Razonamiento Matemático
a) 3 c) -1 e) 3/4
1 1 ;x 1 2y y
b) -3/4 d) -3
62
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
59) Calcular: x x( x x ), si x = -3 a) 75 c) 78 e) 72
b) 12 d) -84
60) Calcular: ( x 7)28 3 x 15 si: x – 6 = 0 a) 3 c) 5 e) 1
b) 4 d) 2
61) Hallar: (1331)0,1 (1331)2 / 9 a) 5 c) 11 e) 14
b) 8 d) 17
62) Calcular: ( 2
3
2
a) 4 c) 0 e) 8
3 )2
b) 2 d) 6
63) Efectuar: 11 12
a) 6 c) 9 e) 4
2
11 1 3 4
b) 8 d) 10
Razonamiento Matemático
64) Efectuar: ( x 1 y 1)( x 1 y 1) y 2
a) x2 c) x-2 65) Reducir:
b) x d) x-1
2n 7 2n 9 2n 9 2n 11
a) 1 c) 4 e) 16
b) 2 d) 8
66) Calcular el verdadero valor de:
x2 9 , para x = 3 x3 a) 0 c) 6 e) 8
b) 1 d) 4
67) Hallar la suma de las soluciones: (x – 3) (x + 2) = 0 a) 5 c) 1 e) 0
b) -1 d) -5
68) La suma de las raíces de la ecuación: ( x 2 3 x 2)( x 2 7 x 12) 0
a) 8 c) 12 e) 24
b) 10 d) 13
63
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
69) Hallar
“x”:
x 5x x 35 x 3 12 6 a) 420 c) 720
5x 2 7x 2 6 3x x 3 4 12 6
b) 480 d) 840
70) Efectuar: 3 4
1 2 3
a) 6 c) 5 3
74) Resolver:
1 2 3
b) 4 d) 3
a) 2 c) 6 e) 12
b) 4 d) 3
75) Resolver:
3x 2 4x 3 x 3 9 3x 6 3 Luego calcular
71) Hallar: 5 3( 4 3) 1 a) 0,1 c) 0,3 e) 0,5
1
b) 0,2 d) 0,4
72) Calcular:
A
(3 2i)(1 i)7
a) -6-4i c) 6 - 4i
(1 i)5 b) -6+ 4i d) 6 + 4i
73) Calcular: (1 i)16 i16 a) 256 c) 259
b) 257 d) 17
Razonamiento Matemático
x 1
x
x 1 2
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
76) Hallar: a + b a 0, a b a2 0, ef b2 a2ef a) 16 c) 13
b) 14 d) 15
77) Hallar “x”: 1x 4 504(n) a) 3 c) 6 e) 8
b) 4 d) 7
64
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
78) Si: a – b = 4, hallar: ab ba a) 36 c) 38
7 x 1 4 x 3 5 2x 1 4 x 2 3 4 2x 3x
b) 44 d) 46
79) Hallar:
a
+
a) 1 c) -1
b
abb( 7 ) 10a3(5 )
a) 7 c) 9 e) 13 80) Reducir:
84) Resolver:
b) 8 d) 11
2 x 1 3 x 6 3 5 4 3
1 3 2 2 4 1 10 3 5 23
a) 3 c) 7 e) 8
b) 2 d) -2
1/ 2
a) 11 c) 13
b) 12 d) 14
85)
b) 5 d) 6
2(5 x 1) 3(10 x 3) 2 x 6 5 10 2 5 a) 1/5 c) 1/3
b) 2/5 d) 2/3
81) Resolver: 86) ( x 1)2 ( x 1)2 3( x 5 )
x(3 2a ) 1 x( 2 3a ) a 2
a) a c) a + 1
a) 8 c) 15
b) 1 - a d) a - 1
b) 18 d) 24
87) Resolver: ( x 1)3 ( x 1)3 6 x( x 3 )
82) Resolver:
3x 1
2 a) -1 c) 1
5x 4 3
x 2 8
2x 3
b) -2 d) 2
83) Resolver:
Razonamiento Matemático
5
1 10
1 3 1 c) 7 a)
1 5 1 d) 9 b)
88) Resolver: 7( x 3) 5( x 2 1) x 2 5( x 2)
65
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 1 c) -1
b) 2 d) -2
4x 2 1 3x 20 x x 1 4 3 a) 1 b) -1 c) 2 d) -2
5x 8 7x 4 x 1 x2
a) 1 1/2 c) 3 1/2
b) 2 1/2 d) 4 1/2
x 13 50 x 30 5 x x2 a) 5 c) 15
b) 10 d) 20
94) Hallar 2x, si: 4 x 4 x 1 24 a) 1 c) 5
b) 2 d) 7
95) Resolver:
91) Resolver:
1 7 11 2 3x 5x 60 a) 1 c) 3
d) 4
93) Resolver:
89) Calcular: 23x, si
90) Hallar x:
c) 3
2 x 1 4 x 80
b) 2 d) 4
92) Resolver:
3x 1 2x 7 x 2x 1 6 a) 1 b) 2
Razonamiento Matemático
a) 1 c) 3
b) 2 d) 4
96) Hallar: x xx2 2 a) 2 c) 2
b) 1 d) 4
66
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
97)
Se definen las operaciones:
5 de la 3 edad que tú tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tú tienes. ¿Cuántos años tienes?
a
representa los
= 2a - ab b x * y = x + y + ( x ? y) p ? q = p2 – 2q Hallar el valor de:
?
(4 *
5?12
1
a) 20 c) 60 e) 50 98)
99)
a) 52 años c) 48 años e) 30 años
2
3 * 2
b) 40 d) 30
Dentro de 4 años tendré el doble de la edad que tuve hace 4 años. Qué edad tendré dentro de 12 años? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 28 Determine el valor de:
2
2
.
a) 2 c) 3 2 e) 5 2
2
2 2
.
2
100) Yo tengo 45 años y mi edad
2
2
b) 2 2 d) 4 2
101) La velocidad de un bote cuando navega a favor de la corriente del río es de 60 km/h, pero cuando navega contra la corriente, su velocidad es de 22 km/h. ¿Cuál es la velocidad del bote en aguas tranquilas? a) 40 km/h c) 42 km/h e) 44 km/h
b) 41 km/h d) 43 km/h
102) Nuestras edades sumarán dentro de 10 años 84, pero hace 9 años nuestras edades se diferenciaban en 22 años. ¿Cuál es la edad del mayor? a) 40 c) 42 e) 44
Razonamiento Matemático
b) 50 años d) 39 años
b) 41 d) 43
67
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
103) Un alumno comienza a almorzar antes de las 2:00 p.m. cuando las manecillas del reloj forman un ángulo de 90º y termina después de las 2:00 p.m., cuando las manecillas del reloj indican sentidos opuestos. ¿Cuánto tiempo utiliza para almorzar? (en minutos).
8 11 3 c) 47 11 7 e) 43 11 a) 42
5 11 1 d) 49 11 b) 45
104) Un señor tiene 52 años y sus hijos 10; 7 y 4 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble de la suma de la edad de sus hijos?. a) 1 año c) 3 años e) 5 años
b) 2 años d) 4 años
105) Dos ciclistas están separados por una distancia de 2800 m. SI va uno al encuentro del otro, necesitarían 70 segundos, pero si el más veloz persigue al otro lo
Razonamiento Matemático
alcanzaría en 200 segundos. ¿Cuál es la velocidad del más rápido?. a) 25 m/s c) 29 m/s e) 35 m/s
b) 27 m/s d) 31 m/s
106) Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, 4 y cuando tu tengas los 3 de mi edad, nuestras edades sumarán 90 años. ¿Qué edad tienes?. a)28 c) 20 e) 18
b) 16 d) 24
107) Si:
x
y = x y * (x + y )
a * b = 2a + 3b c a lc u la r : a) 30 c) 28 e) 26
2
3 b) 29 d) 27
108) Si a la edad que tengo le sumo la que tendré dentro de 5 años y le resto el doble de la edad que tuve hace 4 años, obtendré la edad que tengo. ¿Cuál es mi edad?.
68
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 11 c) 13 e) 15
total utilizó 13 h. ¿Cuál es la longitud de la pendiente? a) 200 km. b) 300 km. c) 400 km. d) 500 Km. e) 600 Km.
b) 12 d) 14
109) Un ómnibus interprovincial debe dejar pasajeros en todos los pueblos designados por letras sin repetir el camino entre los pueblos y utilizando todos los caminos.
A B
D
C
E
Entonces es correcto: a) Es imposible. b) Empieza en A y termina en E. c) Empieza en C y termina en E. d) La posible secuencia es: A; C; E; D; B; D;A. e) Absurdo. 110) Un tren sube una pendiente con una velocidad de 25 km/h y la desciende con una velocidad de 40 km/h. Si en
Razonamiento Matemático
111) Yo tengo el cuádruple de la edad que tú tenías cuando yo tenía los 2/3 de tu edad actual, pero cuanto tú tengas los 5/4 de mi edad, tu edad y la mía sumarán 110 años. ¿Cuál es mi edad?. a) 10 c) 30 e) 50
b) 20 d) 40
112) En un mapamundi con escala 1:27 750 000 la distancia entre Lima y Brasilia es de 8,8 cm. ¿Cuál es la distancia real entre éstas ciudades?. a) 2572 Km. b) 2502 Km. c) 2492 Km. d) 2452 Km. e) 2442 Km. 113) Un reloj marca exactamente la medianoche cuando realmente son las 12:24 a.m. Si este reloj se adelanta 3 minutos cada 5 horas, cuando vuelva a marcar la hora exacta, ¿qué hora será? a) 1:00 p.m.
b) 2:00 p.m.
69
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
c) 3:00 p.m. d) 4:00 p.m. e) 5 p.m. x + 1 S i: x = x - 1 , p a r a x = 1 114)
h a lla r :
a
a2 1 a1
a) a
b)
a 1 c) a 1
a 1 d) a 1
e)
115) Si:
a2 1 a2 1
1 1 1 1 6 y 5 a b a b
Calcular: a) 30 c) 61 e) 1
b2 a2 a 2b 2
b) -11 d) 11
116) Si A x B = 1000000, donde tanto A como B no terminan en cero, calcular A + B. Dar como respuesta la suma de cifras del resultando. a) 31 c) 29 e) 30
b) 27 d) 28
Razonamiento Matemático
117) En (0; 1; 2) se define el operador * según la tabla adjunta. Calcular: 21 * 12 * 0 1 2
0 0 1 2
a) 200 c) 101 e) 110
1 1 2 10
2 2 10 11
b) 111 d) 100
118) Memín tiene seis años menos que Luchín. Cuando Luchín tenía la mitad de edad que tiene Memín, éste último tenía la octava parte de la que tiene aquél. ¿Cuánto suman ambas edades, actualmente? a) 18 c) 46 e) 42
b) 40 d) 48
119) Entre las 16:00 y las 17:00 h. ¿a qué hora las agujas de un reloj (minutero y horario) forman un ángulo de 76º por primera vez? a) 16:06 h c) 16:12 h
b) 16:08 h d) 16:09 h
70
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
e) 16:10 h 120) Dos móviles P y Q están separados inicialmente 12 Km. uno del otro y van a su mutuo encuentro, tardando 8 minutos en cruzarse, desde el instante de su partida. Si el que va a menor velocidad lo hace a 40 Km/h; luego del cruce, ¿en qué tiempo estarán separados 18 km?. a) 16 min c) 12 min e) 18 min
b) 15 min d) 24 min
n 1 125 3 4
2 .5
a) 1 c) 9 e)
n
n 1 25 2
5
2n
.3 2
b) 4 d) 5 5
122) Efectuar: F = (m + n) (m2 + n2) (m4 + n4) + n8 Si m – n = 1 a) 1 c) n e) m8
a) 500 g c) 750 g e) 10 Kg.
b) 250 g d) 1 Kg.
124) Sabiendo que:
y:
121) Reducir: R=
123) Una estatua de 4 m. de alto pesa 1000 Kg. ¿Cuánto pesará un modelo de la misma estatua hecho con el mismo material, pero de 4 dm de alto?
b) m d) n8
Razonamiento Matemático
Calcular: a) 5 c) -3 e) 6
x
=x
=x+2
3
+ 2 b) 3 d) -2
125) Si: x+ y = a; xy = 1; a 2 + b2 = a2b2 entonces x3 + y3 es igual a: a) ab b) a2b2 - 3 2 2 c) ab(a b -1) d) ab (a2b2 - 3) e) 1 126) Una pequeña aeronave puede volar a 320 km/h si no hay viento. El viento está soplando con una velocidad constante de 40 km/h. El tiempo total que toma un
71
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
viaje con el viento en contra es 135 minutos. ¿Cuánto tiempo, en minutos, demorará el viaje de regreso con el viento soplando a favor, sin tener en cuenta el tiempo que tarda la nave en despegar y aterrizar? a) 115 c) 114 e) 112
b) 105 d) 125
127) ¿Cuáles de las siguientes figuras se pueden dibujar de un solo trazo; es decir, sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por la misma línea?.
(I)
129) Cada factor de las multiplicaciones 10 x 11 y 17 x 6 se aumenta en un mismo número, de modo que los productos resulten iguales. ¿Cuál es ese número? a) 2 c) 6 e) 10
130) Sean m y n dos números naturales, primos entre sí, tales que m2 – n2 = 39 y m > n. la suma de posibles valores de m es: a) 34 c) 29 e) 28
(II)
b) 4 d) 8
b) 32 d) 26
131) Calcular x Z, tal que:
(III)
a) I y II c) II y III e) Todas
x + x2 + x3 + x4 = 210 + 29 + 2.32 b) I y III d) Sólo I
128) Si a # b = 2b+1, cuando a > b y a # b = ab + 1, cuando a < b. Determinar el valor de x en: (2 # 3) # x = 3 # 2 a) 1 c) 1/2 e) 2/3
b) 2 d) 3/2
Razonamiento Matemático
a) 5 c) 7 e) 9
b) 8 d) 6
132) Si a + a-1 = 3, calcular a3 + a-3 a) 9 c) 18 e) 21
b) 27 d) 15
133) Un turista gasta diariamente la mitad de lo que tenía al final del día anterior, más $
72
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
50. Si después del cuarto día ya no tiene dinero, ¿cuánto tenía al principio?. a) $ 6400 c) $ 1500 e) $ 3600
b) $ 6300 d) $ 6000
134) ¿Cuántos números enteros n, cumplen: n200 < 5300? a) 23 c) 22 e) 19
b) 24 d) 25
243
5 5 55 5
a) 1 c) 3 e) 1/3
b) 2 d) 1/2
136) Sabiendo que:
a*b2 3 a * b = 3a + 4b a+b=
calcular: 5 + 7 a) 18 c) 15 e) 20
a) c-2 c) c2 e) h-2
b) 1 d) h2
138) ¿A qué hora del día ocurre que, el número de horas que faltan transcurrir es igual al cuádruple del número de horas que faltan para que sean las 17h15 min? a) 15 h b) 16 h c)14 h 50 min d) 15 h 25 min e) 16 h 35 min
135) Simplificar: 5 55 5
137) Si a2 + b2 = c2 y ab = ch, entonces a-2 + b-2 es:
b) 12 d) 10
139) Cuando Julio tenía siete años menos que la edad actual de Fito, éste tenía dos años menos de lo que tiene Lalo, el cual era un año menor que Julio en ese entonces. Cuando Julio tenga un año más de lo que tiene Fito, éste será tres años mayor que Lalo. Actualmente las edades de los tres amigos suman 52 años. Calcular la edad actual de Fito. a) 16 c) 18 e) 20
b) 17 d) 19
140) Se definen:
Razonamiento Matemático
73
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
x + x
durante el año pasado. Calcular el promedio mensual, en soles.
= 2x - 1
x + 1 = 3x - 2 90
C a l c u la r : 3
a) 10 c) 8 e) 13
+
7
b) 9 d) 11
141) Si a aa = 2, calcular el valor de: a
a aa 1 1 a
a) 1 c) 4 e) 64
b) 2 d) 16
142) Un móvil debía cubrir la distancia entre dos ciudades en 40 minutos, pero tuvo un contratiempo y se detuvo 10 minutos en el trayecto, para luego retomar su camino con una velocidad equivalente a dos tercios de la anterior, llegando veinte minutos atrasado. ¿A los cuántos minutos se detuvo? a) 20 min c) 15 min e) 18 min
b) 10 min d) 25 min
143) El siguiente gráfico indica los volúmenes de venta de determinado artículo,
Razonamiento Matemático
70 60 50 40 30 20 En Fe M a Ab M a Ju Jl Ag Se O c N o D i
a) 52900 c) 47000 e) 46500
M e ses
b) 52500 d) 45200
144) Si x3 + y3 = x + y; x -y, calcular: E=
x2 y2 3 xy 1 1 xy x y 2
a) 0 c) 2 e) -2
b) 1 d) -1
145) Si a y b son números reales positivos, y cada una de las ecuaciones x2 + ax + 2b = 0; x2 + 2bx + a = 0 tiene raíces reales, entonces el menor valor posible de a + b es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
74
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
146) El resto de dividir:
a 1 a 2 a 3 a 4 7 a 2 5a 9 es: a) 21 c) 23 e) 20
147) Si:
b) 22 d) 24
ax b ax b
a) 36
a = x b
Calcular: 2 . 3 . 4 … 10 . a) 45 c) 55 e) 75
150) Mientras iba a cenar poco después de las 6:00 p.m., un hombre observa que las agujas de su reloj forman un ángulo de 110º. Al regresar antes de las 7:00 p.m., él nota que otra vez las agujas forman un ángulo de 110º. El número de minutos que estuvo afuera es:
b) 50 d) 65
al dividir
x2 y5
a) 111 c) 391 e) 356
b) 245 d) 208
152) Si: x y z 1 1 1 = 8; y z x
149) Si
Razonamiento Matemático
xm yn
es xr y120. Calcular m + n + r
Calcular: F(0) + F(1) + F(2)
f(x) = ax2 + bx + c; f(-1) = 12 f(0) = 5 y f(2) = -3. Calcular a + b + c a) -4 b) -2 c) 0 d) 1 e) 2
d) 42,4
151) El término central del cociente notable generado
F(x+1) = F(x) + 2x + 4 y F(0) = 5.
b) 28 d) 29
b) 40
c) 42 e) 45
148) Si:
a) 26 c) 31 e) 27
2 3
donde x y z 0, calcular: P=
x
y z x 1 y 1 z 1
a) 9 c) 1/3
b) 3 d) 3xyz
75
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
e)
xyz 3
sumarán 42 años”. ¿Cuál es la edad de Jorge?.
153) La división:
m n x 3 n q x 2 n q x m n x 2 n2 es exacta.
Calcular: a) 0,1 c) 0,3 e) 0,5 154) Resolver: a) ]2; 1] c) [3; 7] e) 0
n2 m 2 q2
b) 0,2 d) 0,4 7 x<2
b) [2; 7] d) ]0; 5]
155) Si: b – c < a < b + c; a2 > b2 + c2 , a = x + 1, b = x, c = x – 1, x > 0 Calcular a + b + c, sabiendo que es entero. a) 3 c) 7 e) 9
b) 6 d) 8
156) Juan le dice a Jorge: “Mi edad es el triple de la que tú tenías cuando yo tenía tu edad, y cuando tú tengas mi edad, ambas edades
Razonamiento Matemático
a) 18 años c) 14 años e) 15 años
b) 16 años d) 12 años
157) Si: mn = nm = 2. Calcular mn mnmn a) 16 c) 4 m e) 4
b) 8 d) 4n
158) Calcular a, si: F(F(F(a))) = 298 y F(x) = 2(2x+1) a) 4 c) 8 e) 3
b) 2 d) 6
159) Si la ecuación: 3 2nx 2 = x es de x n primer grado en x, señalar el valor de n+x.
2 -
a) 3,2 c) 4,2 e) 1,6
b) 2,1 d) 3,5
160) A las 19:00 h parte de una ciudad A con dirección a B, un automóvil a 60 km/h, y luego de recorrer 30 km. descansa 40 min. Para
76
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
luego continuar su recorrido con igual velocidad. A las 09:25 h parte de A con dirección a B, otro auto a 80 km/h. ¿A qué hora se encuentran?. a) 14:00 h c) 14:50 h e) 16:40 h
b) 3,5 d) 2,25
F ila 2 F ila 3
a) 2456 c) 2556 e) 2756
b) 2511 d) 2656
164) El resultado de: E=
8
8
8
8
8
8
es: 2 3.2n
162) Entre las 10:00 y las 11:00 h. ¿cuál es la hora en que el minutero y horario forman un ángulo de 47º por primera vez? a) 10:40 h c) 10:42 h e) 10:39 h
F ila 1
b) 13:40 h d) 14:40 h
161) Si a * b = c, entonces a = bc Calcular: 25 * 5 + 3 * 9 a) 2,75 c) 5 e) 2,5
Calcular la suma de los tres números de tres cifras.
b) 10:44 h d) 10:46 h
163) Utilizando sólo dígitos del 1 al 9 inclusive, sin repetirlos, colocar un dígito en cada cuadradito, de modo que la suma en las tres filas sea la misma. Además, los números de tres cifras determinados en cada fila deben ser los mayores posibles.
Razonamiento Matemático
Calcular el valor de n a) 9 c) 13 e) 14
b) 12 d) 16
165) Hallar el mayor valor de m, si la ecuación en x: 2x2 + (m + 1) x + 3(m - 5) =0 tiene una raíz que es doble de la otra. a) 8 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19 1 1 4ab , calcular: 166) Si: a b
77
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
N=
a2 b2 ab
ab a2 b2
a) 3,5 c) 5,5 e) 7,5
a2
b2
L=
1
4
m
1 calcular: m , sabiendo m que es positivo. a) 2 c) 4 e) 4
b) 2 d) 3
3
3 3
168) Calcular el valor de x, en: 7
a) -3 c) 1 e) 6
a 2 b2
5x 52 5 x 516
5 1
a) 9 c) 8 e) 11
b) -1 d) 3
170) Si: a + b + c = 0, calcular el valor de:
b) 4,5 d) 6,5
m
167) Si:
a b 2
b) 10 d) 7
169) Si: x-1 + y-1 = (x + y)-1
a b a c b c b a c a c b
a) -1 c) -3 e) -5
b) -2 d) -4
171) Si n 0, efectuar:
n
2
2
1 n2 1 n n a) 7 c) 9 e) 11
2
n 4 6n 2 9 2
n 3 b) 8 d) 10
172) Si: 2a – 1 = 2a + 1 + 1 - a 3
=1
Calcular: 7 . a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
Calcular: F=
x y 12
x 12 y 12
x6y6
Razonamiento Matemático
78
n 2 2
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
173) En un orfanato se comparten canicas, de tal manera que al primero le toco 1, al segundo 2, al tercero 3 y así sucesivamente. Si en total se repartieron 1830 canicas. ¿Cuántas canicas le toco al penúltimo? a) 59 c) 61 e) N.A
b) 60 d) 58
174) Complete las siguientes tabla de equivalencias:
4
11
13
17
21
7
21
25
33
X
a) 46 c) 43 e) 41
b) 45 d) 42
175) ¿Cuál de las siguientes expresiones equivale a: a) (* 1)* c)
**
* 1
b) (* * 1) *
(* * ) * *
d)
cuantos días podrá hacer la obra A trabajando solo? a) 10 5/11 días b) 10 10/11 días c) 10 4/11 días d) 11 10/11 días. e) 10 3/11 días. 177) En una fiesta un grupo de hombres y mujeres decide bailar de la siguiente manera: Un hombre baila con 5 mujeres, otro con 6 mujeres y así sucesivamente hasta que el ultimo hombre baila con todas las mujeres, si h representa el números de hombres y m el representa el números de mujeres, entonces: a) h = m c) h = m – 4 5 e) N.A
178) ¿Cuál de las expresiones dadas representa el producto de los “n” primeros números impares.
*
(* * * ) * e) N.A 176) A y B hace una obra en 6 2/3 días; A y C, en 4 4/5 días; A, B y C en 3 3/4 días. ¿En
Razonamiento Matemático
b) h = m/5 d) h = m -
a)
( 2n 1)! 2 n (n 1)!
b)
( 2n)! 2 n (n)!
79
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
c)
2 n1 n! (n 1)!
necesitarán, si se quiere colocar una tuerca a cada perno, al tenerse 600 y 300 gr. de pernos y tuercas respectivamente.
d)
(2n)! n
2 (n 1)! e) N.A 179) En la figura la suma de los ángulos señalados será:
a) 720° c) 360° e) No se puede.
b) 180° d) 540°
180) El promedio de 100 números es 40, si el promedio de 20 de ellos es 30. ¿Cuál es el promedio de los otros? a) 41 c) 43 e) N.A
b) 42 d) 42.5
181) Al compararse los pesos de pernos y tuercas se saben que el peso de 5 pernos menos 2 gr. es mayor que el peso de 3 tuercas; pesan menos 11 gr. y una tuerca pesa mas de 3 gr. Hallar cuantas tuercas se
Razonamiento Matemático
a) 300 tuercas b) 150 tuercas c) 125 tuercas d) 1 tuerca. e) N.A 182) Lida le dice a Juan. Yo tengo los nueve décimo de la edad que tu tenias, cuando yo tenia la edad que tu tienes, y si tuvieras la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 35 años. ¿Cuál es la diferencia de edades entre Juan y Lidia? a) 2 b) 3 c) 1 d) Tiene la misma edad e) No mencionado 183) Una caja contiene 2,400 pesetas en billetes de 25 y 100 pesetas; doble número de los primeros que los segundos. ¿Cuántos hay de cada clase? a) 32 y 18 c) 32 y 19 e) 31 y 19. 184) Se define las operaciones:
b) 32 y 16 d) 30 y 18 siguientes
80
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
P.....Q
P P
3 , 2
siendo:
e) 7.5°
Hallar: 10 _ _ _ 1´000,000
se cumple: 6! ! ! 5! ! 4! ! ! n! (5!1)!24! ! 3! ! ! ! Luego n toma el valor de:
a) 13 c) 12/13 e) N.A
a) 2 c) 4 e) 6
x y
187) Si
x y 2
b) 13/12 d) 25
185) ¿Cuál es el numero cuya mitad mas su duplo, mas su tercera parte, mas su triple equivale a 1435? a) 286 c) 246 e) N.A
b) 326 d) 243
186) En la figura las coordenadas de los puntos A y B son (3,2) y (3,4) respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo AOB?
y B A 0 a) 10° c) 15°
x C b) 22.5° d) 18°
Razonamiento Matemático
b) 3 d) 5
188) En un laboratorio se comparan 2 muestras, una luna y otra de un asteroide x, obteniéndose por conclusiones que: la muestra lunar es nueve veces mayor que la del asteroide, y si hubieren transcurrido diez siglos, seria por lo menos siete veces mayor. Encontrar la mínima antigüedad del asteroide x. a) 6,000 años b) 900 años c) 3,000 años d) 7,000 años e) 1,000 años. 189) De un depósito de 50lts. De capacidad, lleno de vino de primera clase, se saca una cierta cantidad de vino y reemplaza por vino de segunda clase, luego se saca la misma cantidad de la mezcla y se reemplaza, quedando esta ultima mezcla, con solo 20 partes de vino de primera clase. Hallar la
81
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
cantidad de líquido que se saco cada vez. a) 113.2 c) 100 e) 50
b) 13.2 d) 200
190) Yolanda le dijo a Gloria: cuando tenias mi edad, yo tenia la edad que tiene Doli quien tenia 5 años. Si nuestras edades son como 3 es a 2, encuentre la edad de Doli. a) 4 años b) 8 años c) 15 años d) 12 años e) No mencionada. 191) A una cantidad le quito el 20% y luego el 30% quedándome 420 soles. ¿Cuál es dicha cantidad? a) 700 c) 800 e) N.A
b) 750 d) 1,500
192) En la fracción A/B inicialmente los valores “A” y “B” son -1/2 y 2/3, enseguida “A” aumenta hasta 2/3 al mismo tiempo que “B” disminuye hasta -1/2. ¿Cuál es la variación total que experimenta la fracción? a) Aumenta en 7/12 b) disminuye en 7/12 c) aumenta en 3/12 d) disminuye en1
Razonamiento Matemático
e) No varía. 193) ¿Cuál es el menor perímetro que puede tener un rectángulo cuya área es 777 m2, si sus lados expresados en metros son números enteros? a) 524 m. c) 110m. e) 114 m.
b) 116 m. d) 256 m.
194) Descomponer un numero a en dos partes que sean entre si como m es a n ¿Cuáles son estas partes?
mn
am
mn
m
a) m n ; m n b) m n ; m n
mn mn
c) m n ; m n
am
an
d) m n ; m n e) N.A 195) Que porcentaje del área no sombreada es1 el0 márea sombreada?
4m 4m a) 25% c) 50% e) 700/12%
3m b) 22.5% d) 700/13%
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Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
196) Un asunto fue sometido a votación de 600 personas y se perdió; habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el que había sido perdido y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? a) 80 b) 50 c) 200 d) 150 e) 100 197) Una persona gasta la mitad de lo que ganaba en su alimento, y el 173 en sus otros gastos, después de 40 días ha ahorrado 30 pesetas. ¿Cuánto gana por día? a) 2.5 c) 10 e) N.A
b) 7.5 d) 4.5
a) 150 b) 900 c) 200 d) 100 e) N.A 200) Tres personas acordaron pesarse juntas y lo hicieron de la siguiente manera: la primera persona con la segunda que resulta “x” kilos, la segunda con la tercera que resulto “y” kilos, la tercera persona con la primera resulto “z” kilos. ¿Cuánto pesa la primera? a) x + z +3y c) (x+z—y)/2 e) x + y + 2z
b) x+ z -2y d) x + z –y
201) Todo joven tiene:
198) El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora baja el nivel del agua la mitad de la altura, mas un metro. ¿Qué espesor tenia la capa de agua? a) 10 c) 18 e) N.A
le corresponde a uno de ellos sea el óctuplo de los que le corresponde a la segunda. Si con la mitad de lo que le corresponde a la segunda se compro un Sándwich. ¿Cuánto costo dicho sándwich?
b) 14 d) 22
199) Se reparten 1,800 caramelos de tal forma que la parte que
Razonamiento Matemático
a) Figura b) Admiradores c) Simpatías d) Cabellos e) Zapatos 202) Un ferrocarril va de un punto A a otro B distante 280Km., con 275 pasajeros, recauda un boletaje la suma de 4942. siendo el precio del boleto por persona y por Km. de 0.10 en primera clase, de 0.075 en segunda clase y de 0.055 en
83
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
tercera clase sabiendo que por 7 pasajeros de segunda clase viajan 18 en tercera clase. ¿Cuántas personas hay en cada clase? a) 25, 70 y 140 b) 20, 70 y 180 c) 25, 70 y 180 d) 25, 70 y 185 e) 20, 65 y 180 203) Si se verifica 4m 4m
que:
npq
npq n
npq
4m
npq pq
Ud.
m npq
a) 0 c) 2 e) F.D
El
valor
205) Si al restar menos uno a un número obtenemos 2. ¿Cuál es el número?
206) Indicar hay.
b) 1 d) 2 cuantas
funciones
de:
m npq
b) 1 d) (mpq)2
204) Un estudiante recibió de su padre una cantidad para cubrir los gastos durante el tiempo que demoran las oposiciones a una cierta carrera. El estudiante gastó 126 soles diariamente y tuvo que pedir prestado 1.710 soles. Si su gasto diario hubiera sido de 90 soles. Se encontraría con un sobrante de 1.350 soles. ¿Cuántos días duraron las oposiciones y que cantidad recibió de su padre el estudiante? a) 80 y 9200
d) 80 y 9000
a) 0 c) -1 e) N.A
4m
halle
c) 85 y 8000 e) 60 y 7200
b) 85 y 9000
Razonamiento Matemático
a) 1 c) 3 e) N.A
b) 2 d) 4
207) Una empresa contrata a un obrero por 63 días en la siguiente condición: Por cada día que trabaja la empresa, le abona 1.600 soles por cada día que no trabaja el obrero le
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
paga a la empresa 800 soles. ¿Cuántos días trabajo, si el obrero le pago a la empresa 4.800? a) 8 c) 44 e) N.A
b) 6 d) 19
Razonamiento Matemático
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