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UNIDAD 1 MATEMÁTICA 

Guía MÓD 1

APROPIACIÓN DEL SENTIDO DE LOS CONOCIMIENTOS POR PARTE DE TODOS LOS ALUMNOS: desafío fundamental de la enseñanza de la matemática SENTIDO DE UN CONOCIMIENTO: relación entre un concepto y los diferentes problemas donde funciona (reconociendo también sus límites, es decir aquellos problemas donde no funciona) comprensión acerca de cómo y por qué funciona de determinadas maneras “El conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un concepto matemático constituirá el sentido de ese concepto para ese alumno.   

El CONCEPTO MATEMÁTICO está en relación directa con su funcionamiento en la resolución de situaciones. [En La medida en que los conocimientos aparezcan como el producto de la propia actividad ante problemas de los q han podido apropiarse, tendrán SIGNIFICADO para los alumnos] [Conocer los LÍMITES de utilización de un conocimiento es también parte de la construcción de su sentido]

PROBLEMAS: aquellos que hacen funcionar a los conocimientos que se quieren enseñar como herramientas de solución. PROBLEMA: toda situación que plantee un desafío al alumno, lo que implica que pueda iniciar un proceso de búsqueda de solución pero que no le sea inmediato o automático el hallazgo de tal solución. Es relativo a los conocimientos del sujeto que lo resolverá [Toda situación q lleve a los alumnos a poner en juego los conocimientos de los q disponen pero q a a vez ofrece algún tipo de dificultad q torna insuficientes dichos conocimientos y fuerza a la búsqueda de soluciones en la q se producen nuevos conocimientos modificando (enriqueciendo o rechazando) los conocimientos anteriores] -

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es necesario realizar una búsqueda de las DIFERENTES CLASES DE SITUACIONES que un concepto permite resolver y de los DIFERENTES GRADOS DE COMPLEJIDAD que involucra su abordaje su resolución pone en juego DIFERENTES RAZONAMIENTOS, es decir permite el ESTABLECIMIENTO DE DIFERENTES RELACIONES. Las distintas clases de problemas posibilitan atrapar DIFERENTES ASPECTOS DE UN CONCEPTO. “HACER FUNCIONAR” UN CONCEPTO DE DIFERENTES MANERAS, cada una de las cuales hace posible establecer algunas PROPIEDADES, RELACIONES y “MODOS DE ENTENDER” ESPECÍFICOS que forman parte del sentido del concepto Es muy importante resolver problemas vinculados a cada uno de los diferentes funcionamientos del objeto que se está estudiando y ESTABLECER RELACIONES ENTRE ESOS FUNCIONAMIENTOS el SENTIDO DE UN CONCEPTO depende, en buena medida, de su relación con aquellas SITUACIONES DONDE FUNCIONA no necesariamente tienen que estar relacionados con situaciones de la vida cotidiana.

ABORDAJE PAULATINO DE LA COMPLEJIDAD: sucesivas aproximaciones parciales a los conceptos. CONSTRUCCIÓN DE UN CONCEPTO: los chicos aplican sus concepciones anteriores para volver significativas las nuevas situaciones: estas concepciones se van formando y transformando por las situaciones con las cuales se han encontrado. AVANCE EN LA APROPIACIÓN DEL SENTIDO DE UN CONCEPTO: trabajo de relación dialéctica entre la RESOLUCIÓN y el ANÁLISIS y la REFLEXIÓN. Ya sea cuando se plantea para una: o o o -

CONSTRUCCIÓN INICIAL EXTENSIÓN a NUEVOS CONTEXTOS REUTILIZACIÓN a los fines de alcanzar un mayor dominio

no se trata de “transferir” un concepto que está completamente elaborado, sino de ENRIQUECER EL SENTIDO del mismo a partir de encontrarlo como medio de solución en un nuevo contexto” (Sadovsky, 1995) Habitualmente en la escuela sólo se presentan problemas en un cierto formato “standard”. Es importante incorporar problemas que posibiliten el desarrollo de capacidades vinculadas con: o selección y organización de la información o diversos soportes o búsqueda de otros datos necesarios o que no tenga solución o tenga más de una, etc.

RESOLUCIÓN AUTÓNOMA: Se busca que en la resolución el niño tenga que tomar decisiones ligadas a los conocimientos que son objeto de enseñanza. -

RELACIÓN ENTRE EL CONOCIMIENTO PUESTO EN JUEGO y LA SITUACIÓN: es CONSTITUTIVA del SENTIDO de un conocimiento. Es fundamental que la toma de decisiones acerca de los conocimientos a utilizar para la resolución de la situación sea del alumno sin indicación del maestro.

INTERVENCIÓN DEL DOCENTE: debe abstenerse de intervenir con relación al conocimiento q quiere q sus alumnos pongan en juego. -

sostener cierta INCERTIDUMBRE en relación con la VALIDEZ o invalidez de la producción y/o afirmaciones de sus alumnos. la toma de decisiones respecto a la RESOLUCIÓN y VALIDACIÓN por parte de los alumnos es un elemento central, dado que en las mismas ponen en juego criterios que constituyen precisamente los conocimientos que se intenta movilizar” (Quaranta y Tarasow, 2001) la necesidad de establecer la validez de procedimientos, opiniones, etc. da lugar a debates colectivos llevando a la producción de argumentaciones. EXPLICITACIONES Y ARGUMENTACIONES también forman parte del SENTIDO DE LOS CONOCIMIENTOS, junto con el USO que de ellos se hace en las resoluciones.

INTERACCIONES SOCIALES ENTRE PARES: elementos esenciales. INTERVENCIONES DOCENTES    

Selección y secuenciación de aspectos de un contenido y de actividades que permitan ponerlos en juego; [Determinar QUÉ se quiere q APRENDAN-Buscar PROBLEMAS, MEDIOS para favorecer su LOGRO] Instalar y sostener al alumno en un cierto funcionamiento autónomo Generar procesos de validación Aportar información y resaltar los diferentes procedimientos utilizados, las conclusiones a las cuales se ha arribado, la relación entre dichas producciones y los saberes matemáticos.

APROPIACIÓN DEL SENTIDO DE LOS CONOCIMIENTOS en las situaciones de enseñanza: dependerá de:  

ELECCIONES que se realicen respecto de los tipos de PROBLEMAS, su secuenciación, sus modos de presentación; INTERACCIONES que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les propongan; Modalidades de INTERVENCIÓN DOCENTE

Si bien la actividad de resolución de problemas constituye un elemento esencial de la producción de conocimientos en la clase de matemáticas, de ninguna manera es suficiente. Además, es NECESARIO UN TRABAJO REFLEXIVO DE ANÁLISIS en relación con los conocimientos que se pusieron en juego en la resolución. Las INTERVENCIONES DOCENTES constituyen ELEMENTOS CRUCIALES 

LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA- GÁLVEZ (II)

1)¿ A que se dedicaban inicialmente los IREM? Los IREM, se dedicaron a complementar la formación matemática de los maestros, incidiendo tanto en el reciclaje de los maestros en servicio como en los programas y la preparación de nuevos maestros, en las escuelas normales. Otro ámbito importante de su actividad fue la producción de materiales de apoyo para el trabajo de los maestros en el aula: texto de matemáticas, fichas de trabajo para los alumnos, juegos y juguetes didácticos, colecciones de problemas y de ejercicios, secuencias de lecciones, etcétera. La producción de estos materiales solía acompañarse de una experimentación rudimentaria, concebida como prueba de su factibilidad y como antecedente para introducir ajustes mínimos, antes de proceder a su difusión dentro del sistema educativo, urgentemente requerida. 2) ¿Quién era Brosseau? Guy Brosseau profesor e investigador del IREM de Burdeos; fue uno de los investigadores que ha liderado la promoción y desarrollo del proyecto, quien propone el estudio de las CONDICIONES en las cuales se constituyen los conocimientos, el control de estas condiciones permitirá reproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar de conocimientos. Ha mostrado la IMPORTANCIA DE LA SITUACIÓN para la ACTUALIZACIÓN Y FUNCIONALIZACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS ESCOLARES. 3) Cómo se relacionan las palabras CONOCIMIENTO, ADAPTACIÓN Y SABER CULTURA? Todo CONOCIMIENTO es una respuesta, una ADAPTACIÓN que la humanidad ha logrado ante situaciones que ha enfrentado o ante problemas que se ha planteado. Los conocimientos, que han surgido en contextos funcionales, como útiles o instrumentos para la adaptación, son transformados posteriormente con el propósito de relacionarlos con otros conocimientos, de conservarlos y de transmitirlos, adoptando la modalidad de OBJETOS CULTURALES. 4) ¿Cómo explica Brousseau la relación entre el conocimiento y saber? CONOCIMIENTO, es el resultado de la adaptación al medio resistente q logra el alumno en las situaciones específicas, y el SABER constituye un producto descontextualizado, despersonalizado, generalizado, objeto cultural 5)¿Cómo demostró Brousseau la importancia de SITUACIONES para la ACTUALIZACIÓN Y FUNCIONALIZACIÓN de los conocimientos escolares? De la siguiente manera: hay niños que, al inicio de la escuela primaria, saben contar hasta determinado número y que, sin embargo, son incapaces de utilizar este conocimiento para constituir una colección de objetos equipotente a una colección dada, bajo una consigna del tipo: “Ve al fondo del salón a buscar las tapas que hagan falta para tapar todas estas botellas” (de Villegas, 1983). Estos niños saben asignar un término de una serie ordenada a cada objeto de una colección, sin repetir ni omitir ninguno: poseen un saber cultural del cómputo numérico. No obstante, NO han aprendido a utilizar este saber como medio para controlar una situación o para resolver un problema (no lo han funcionalizado). Brousseau plantea que es preciso diseñar situaciones didácticas que hagan funcionar el saber, a partir de los saberes definidos culturalmente en los programas escolares. 6) ¿Qué estudios propone Guy Brousseau y en que se basa el mismo? El de las CONDICIONES en las cuales se constituyen los conocimientos; ya que el control de éstas permitirá reproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar de conocimientos. Se parte de la base de que el conocimiento de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas no es un resultado de la fusión de conocimientos provenientes de dominios independientes, como son las matemáticas, la psicología y la pedagogía, sino que requiere de investigaciones específicas 7) ¿En qué TESIS SE APOYA el planteamiento de Brousseau? En la tesis de que el sujeto que aprende necesita CONSTRUIR POR SÍ MISMO sus conocimientos mediante un proceso adaptativo; es decir, producir una génesis artificial de los conocimientos, de que los alumnos/as aprendan haciendo funcionar el saber; o sea, que este último sea como un medio; de seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias que aplica a la resolución del problema planteado por la situación didáctica. 8)¿ Por qué Chevallard advierte que las prácticas rotuladas como "INNOVACIÓN" genera peligrosas confusiones?

Porque en la educación, cualquier transformación de las normas vigentes puede ser catalogada como “innovación”, aun cuando su único aval sea el prestigio social de quien la propone. Por ello, atribuye este fenómeno a la ausencia de una historia en el dominio educativo, de un tiempo endógeno que permita constituir en progresión la simple sucesión cronológica de los hechos, lo que equivale a mencionar la ausencia de tradición en la elaboración científica de la problemática. 9) ¿Cuál es el objetivo fundamental de la DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA? Averiguar CÓMO FUNCIONAN LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS, cuáles de las características de cada situación resultan determinantes para la evolución del comportamiento de los alumnos y de sus conocimientos. 10)¿Cómo define Brousseau a la "SITUACIÓN DIDÁCTICA"? "Un Conjunto de relaciones establecidas y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido e en vías de constitución". 11) ¿Cuál es, según Brousseau, un MOMENTO FUNDAMENTAL de la investigación en Didáctica? El ANÁLISIS A PRIORI DE LA SITUACIÓN. El investigador debe prever los efectos de la situación que ha elaborado, antes de probarla en el aula. Así luego podrá contrastar sus previsiones con los comportamientos observados. 12) ¿Qué es lo que debe tener presente el investigador para diseñar y estudiar una situación didáctica? El CARÁCTER INTENCIONAL, el haber sido construido con el propósito explícito de que alguien aprenda algo, analizar a priori la situación, prever los efectos de la situación que ha elaborado, antes de ponerla a prueba en el aula, solo posteriormente podrá constatar sus previsiones con los comportamientos observados. 13) ¿Qué EJEMPLO DE SITUACIÓN DIDÁCTICA plantea? Consigna: “este es el dibujo de un rompecabezas con algunas medidas de sus partes. Hay que fabricar un rompecabezas que sea igual a este pero más grande, de manera que de un lado que en este rompecabezas mide 3 cm, y en el otro mida 5 cm. La consigna es fácilmente comprendida por niños del último grado de primaria y pone en juego, en primera instancia la estrategia de base que consiste en agregar 2 cm (puesto que 3 +2 =5) a cada uno de los lados de las figuras que componen un rompecabezas dado. El fracaso de esta estrategia constituye una gran sorpresa con lo cual vuelven a insistir, procurando efectuar las medidas con mayor precisión, hasta que dan cuenta que deben buscar otra estrategia, cuyo desarrollo contribuirá a la construcción… 14)¿Cuántos y cuáles son los TIPOS DE SITUACIONES que produce Brousseau para su estudio experimental? Se clasifican 4 tipos de situaciones: 1. Las situaciones de ACCIÓN: se genera una interacción entre los alumnos y el medio físico. Los alumnos toman decisiones para organizar su actividad de resolución del problema planteado. 2. Las situaciones de FORMULACIÓN: el objetivo es la comunicación de informaciones entre alumnos, adecuando su lenguaje a las mismas. 3. Las situaciones de VALIDACIÓN: se trata de convencer a los interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen, elaborando pruebas para demostrarlas. 4. Las situaciones de Institucionalización: se intenta que los alumnos de la clase asuman la significación socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos (en los tres pasos anteriores) .Ejemplificar cada una de ellas. En el cine "Las Aves", hay una sala con 12 filas de 10 butacas cada una ¿Cuántas personas entran en la sala? 1- Aquí cada alumno trata de buscar el recurso, herramienta, conocimiento que le permita resolver la situación. Por ejemplo: sumar uno por uno; sumar 12 veces 10, utiliza la multiplicación. 2- En este momento, los alumnos, deben poder utilizar lenguaje propio del área de matemática, que han aprendido anteriormente, para comentarles a sus compañeros que han hecho. Por ejemplo: "Utilicé la operación de suma para saber cuantas personas entran, ya que hay que saber el total d personas" 3- Los alumnos tiene que, a través de sus conocimientos matemáticos previos, explicar el procedimiento que realizaron. 4- Aquí es cuando los alumnos pueden dar cuenta del contenido que han aprendido. Esto se logra a partir de la/s intervenciones del docente. 15) Plantear una ESCENA/ACTIVIDAD (sintética y simple) donde se pueda observar alguno o todos los tipos de situaciones que clasifica Brousseau. Actividad: “Juego de lo más cerca posible” Se le presentará a los alumnos diferentes recursos de cálculo: mental, algorítmico, con calculadora, etcétera. Consigna: Para jugar, júntense en grupos de cuatro compañeros. Van a necesitar un mazo de 24 tarjetas con los números 500, 1000, 5000, 10.000, 15.000, 40.000 otro par de cartas de 10, 20 hasta 90 y otro par de 1, 2, hasta 9. Tienen que mezclar todas las cartas y ponerlas en una pila boca abajo. Un jugador debe sacar las cuatro primeras cartas de la pila colocarlas boca arriba, en el centro para que todos las vean. La carta con el número mayor se separa de las otras tres. Luego, cada uno de los jugadores tiene que escribir un cálculo con los otros tres números. El resultado de ese cálculo tiene que estar lo más cerca posible del número de la carta separada, pero puede ser mayor o menor que este. Gana 2 puntos el que obtiene el resultado más cercano. Si hay más de un jugador que haya obtenido el mismo resultado, cada uno de ellos obtiene un punto. Se juega hasta terminar con las cartas y gana el jugador que sumó más puntos en total. Fundamentación de la actividad:

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Resolver problemas que involucren distintos sentidos de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias y cálculos posibles.

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Establecer relaciones entre los datos en función de lo que se propone resolver.

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Seleccionar y usar variadas estrategias de cálculo para sumar, restar, multiplicar y dividir de acuerdo con la situación y con los números involucrados.

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Elaborar estrategias personales para la resolución de problemas y modos de comunicar procedimientos y resultados.

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Valorar el intercambio de ideas, el debate y la confrontación de posiciones respecto de una supuesta verdad.

Conclusión de la actividad: Al finalizar la actividad se buscará obtener información acerca de qué conocimientos disponen los alumnos para luego realizar, en caso de que sea necesario, los ajustes pertinentes. Una vez adquirida esta información, se podrá retomar sobre lo elaborado manteniendo la misma temática de trabajo, pero modificando el contexto, tipos de tareas, utilizando otros juegos, etc., logrando así completar la secuencia. 16) ¿Cómo el SISTEMA EDUCATIVO organiza la enseñanza de los temas incluidos en los programas escolares? A través de una DETERMINADA CONCEPCIÓN DE LOS PROCESOS DE ADQUISICIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS. Hasta la fecha ha predominado una concepción según la cual basta con descomponer un saber, en su modalidad cultural, en pequeños trocitos aislados, y luego organizar su ingestión por los alumnos, en períodos breves y bien delimitados, según secuencias determinadas sobre la base del análisis del propio saber. Esta manera de organizar la enseñanza no atribuye importancia al contexto específico donde los conocimientos son adquiridos, ni a su significación y valor funcional, durante su adquisición. 17) ¿A qué SITUACIÓN se trata de enfrentar a los alumnos? (Brousseau) A una situación que evolucione de tal manera que EL CONOCIMIENTO QUE SE QUIERE QUE APRENDAN SEA EL ÚNICO MEDIO EFICAZ PARA CONTROLAR DICHA SITUACIÓN. La situación proporciona la significación del conocimiento para el alumno/a; o sea, que el alumno/a construye un conocimiento contextualizado. 18) ¿Cómo deben ser diseñadas las SITUACIONES DIDÁCTICAS según Brousseau? Por qué? De forma tal que hagan funcionar el saber a partir de los contenidos culturales establecidos en los programas escolares. El por qué se apoya en los aportes de Piaget, quien afirma que el sujeto que aprende necesita construir por sí mismo sus conocimientos a partir de un proceso adaptativo. 19) ¿Que es la GÉNESIS ARTIFICIAL? Proceso de aprendizaje mediante el cual el conocimiento no es enseñado directa o indirectamente por el docente, sino que aparece de forma progresiva en el sujeto que aprende a través de confrontaciones con diferentes obstáculos que se le van presentando durante una actividad y que provoca la modificación en el alumno y favorece la aparición de los conceptos deseados como un medio de seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias que aplica a la resolución del problema planteado por la situación didáctica 20) ¿Cómo se deberían ANALIZAR LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS? Identificando las variables didácticas y el estudio, tanto teórico como experimental, de sus efectos. Lo importante son los intervalos de valores de estas variables que resultan determinantes para la aparición del conocimiento de lo que se pretende enseñar. Se trata de PRECISAR LAS CONDICIONES de las que depende que sea ESE el conocimiento que interviene y no otro. Por otro lado, hay que subrayar la importancia de la situación fundamental (aquello que es capaz de engendrar a todas las demás 21) ¿Que son las VARIABLES DE COMANDO? Las que pueden ser manipuladas por el maestro para hacer evolucionar los comportamientos de los alumnos y provocar la génesis escolar del/los concepto/s que se pretende/n enseñar. Su identificación es importante; según Artigue (1984), determinar cómo el uso de variables de comando de la situación puede provocar, en clase, los cambios de estrategia, cómo se podría controlar en el proceso, por la manipulación de estos comandos, un origen escolar del concepto, aparece como mucho más importante que tratar de precisar en detalles las etapas del desarrollo psicogenético. 22) ¿Cuáles son las características principales de la INTERACCIÓN SUJETO-SITUACIÓN?

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Los alumnos SE RESPONSABILIZAN DE LA ORGANIZACIÓN DE SU ACTIVIDAD para tratar de resolver el problema propuesto, es decir, formulan proyectos personales.

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La actividad de los alumnos está orientada hacia la obtención de un resultado preciso, previamente explicitado y que puede ser identificado fácilmente por los propios alumnos. Los alumnos DEBEN ANTICIPAR Y LUEGO VERIFICAR LOS RESULTADOS DE SU ACTIVIDAD.

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La resolución del problema planteado implica la toma de múltiples decisiones por parte de los alumnos, y la posibilidad de conocer directamente LAS CONSECUENCIAS DE SUS DECISIONES A FIN DE MODIFICARLAS, PARA ADECUARLAS al logro del objetivo perseguido. Es decir, se permite que los alumnos intenten resolver el problema varias veces.

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Los alumnos pueden RECURRIR A DIFERENTES ESTRATEGIAS para resolver el problema planteado, estrategias que corresponden a diversos puntos de vista sobre el problema. Es indispensable que, en el momento de plantear el problema, los alumnos DISPONGAN AL MENOS DE UNA ESTRATEGIA (estrategia de base) para que puedan comprender la consigna y comenzar su actividad de búsqueda de la solución.

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La MANIPULACIÓN DE LAS VARIABLES DE COMANDO permite modificar las situaciones didácticas bloqueando el uso de algunas estrategias y generando condiciones para la aparición y estabilización de otras (subyacentes al conocimiento que se quiere enseñar).

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Los alumnos establecen RELACIONES SOCIALES DIVERSAS: comunicaciones, debates o negociaciones con otros alumnos y con el maestro, etcétera.

23) ¿Qué es la “SITUACIÓN FUNDAMENTAL”? Y, ¿en qué radica su importancia? En relación al conocimiento que se quiere enseñar: capaz de engendrar a todas las demás. Cuando es posible hacerla coincidir con cualquier situación en la que intervenga ese conocimiento, mediante el juego de las variables presentes en ella. 24) ¿En qué consiste el fenómeno denominado "OBSOLESCENCIA" según Brousseau? Se genera cuando un maestro conduce una misma situación didáctica durante varios años sucesivos, provocando que su gestión empeore debido a que realiza cambios sutiles en la situación para reproducir la historia de los comportamientos de los alumnos, obstaculizando así el curso natural de los procesos intelectuales. 25) ¿Cuáles son las INTERVENCIONES que debe realizar el DOCENTE en sus clases? Entendemos que existen ciertos momentos en una clase de matemática donde el protagonismo del docente es sumamente crucial. En la etapa de preparación profesional futura que corresponde a la práctica misma, uno de los aspectos sobre los que centramos nuestra atención corresponde al conocimiento didáctico que se debe tener a la hora de llevar adelante un trabajo colectivo de discusión; - el docente debe realizar una SELECCIÓN Y SECUENCIACIÓN de aspectos de un contenido de actividades que permitan ponerlos en juego; - SOSTENER AL ALUMNO en un cierto funcionamiento autónomo frente a las actividades de resolución ; - GENERAR PROCESOS DE VALIDACIÓN en las clases. (apropiacion del sentido de conocimiento, y apropiacion en las situaciones de enseñanza ) e INSTITUCIONALIZACIÓN 26) ¿Cuáles son los BENEFICIOS AL UTILIZAR “PROBLEMAS” en la ejercitación matemática? Hacen funcionar el conocimiento. Las estrategias para resolver problemas posibilitan atrapar diferentes aspectos de un concepto. A partir de los problemas los alumnos utilizarán saberes previos e iniciarán un proceso de búsqueda de solución para los nuevos problemas. Un problema se propone para el abordaje de un contenido de acuerdo a los conocimientos que permiten poner en juego en su resolución. Permiten primeras construcciones en relación con un contenido y su reutilización 27) ¿A qué CONCLUSIÓN llega luego de haber leído el texto y los aportes de las compañeras? Que este tipo de situaciones no se encuentra frecuentemente en la enseñanza tradicional de las matemáticas, en las cuales el maestro provoca, recibe, corrige e interpreta todas las respuestas de los alumnos. Nos encontramos en la difícil tarea de poder movilizar a los docentes, al menos generar la inquietud de buscar nuevas formas de enseñar la matemática. Tarea difícil, ya que implica el abandono de prácticas fuertemente arraigadas. Considero que el texto explica de manera precisa aspectos, que en principio, no son tenidos en cuenta en el trabajo de situaciones problemáticas en el ámbito escolar. El aporte del mismo es relevante para el conocimiento y manejo de la didáctica de la matemática. Esto último es fundamental a la hora de trabajar con aquellos niños que presentan dificultades en sus aprendizajes y en la comprensión del funcionamiento del saber matemático   

APRENDER (por medio de) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-CHARNAY (III)

Hacer matemática es resolver problemas. Las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas permitirán a los alumnos construir el sentido Son los problemas que les han dado origen (y los que ha planteado a continuación) los que han dado sentido a las matemáticas producidas

SENTIDO DE UN CONOCIMIENTO MATEMÁTICO se define por: –La colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; - La colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, –El conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma… Dos niveles: EXTERNO: campo de utilización. [Nociones matemáticas como HERRAMIENTAS, RECURSOSSENTIDO] INTERNO: cómo y por qué funciona.[Nociones matemáticas como ELEMENTOS DE UN CORPUS reconocido científica y socialmenteOBJETO]  [Una construcción que toma en cuenta el sentido de los conocimientos, necesita a la vez, producir la articulación de esos conocimientos con el saber constituido] “CONTRATO DIDÁCTICO”: conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro, y que regulan el funcionamiento de la clase y las relaciones maestro-alumnos-saber, definiendo así los roles de cada uno y la repartición de las tareas (hay algunas diferencias con la q da Sadosky)

MODELO NORMATIVO

INCITATIVO

APROXIMATIVO/APROPIATIVO

EN QUÉ SE CENTRA EL MODELO

En el CONTENIDO -Se trata de aportar, comunicar un saber a los alumnos

En el ALUMNO -Se pregunta al alumno sobre sus intereses, necesidades, entorno

En la CONSTRUCCIÓN del SABER por el alumno -Parte de concepciones existentes en el alumno y las pone a prueba

ROL DEL ALUMNO

-aprende, escucha, debe estar atento -imita, se entrena, se ejercita, -aplica

-Busca, organiza -Estudia, aprende

-Ensaya, busca, propone situaciones, las confronta con los compañeros, las defiende o discute

ROL DEL DOCENTE

-muestra las nociones, las introduce, provee ejemplos

-Escucha, suscita curiosidad, ayuda a utilizar fuentes de información -Responde a demandas, remite a herramientas de aprendizaje, busca una mejor motivación

-Propone y organiza situaciones con obstáculos. Organiza las diferentes fases -Organiza la comunicación. Propone elementos convencionales del saber

LUGAR DEL PROBLEMA ¿PARA QUE SE UTILIZA?

CRITERIO de aprendizaje -UTILIZACIÓN de los conocimientos para el alumno, CONTROL para el docente

MÓVIL del aprendizaje -Relacionado con necesidades de la vida y el entorno

RECURSO del aprendizaje. FUENTE, LUGAR y CRITERIO de la elaboración del saber

CONCEPCIÓN del SABER

Ya está ACABADO, CONSTRUIDO

Ligado a las NECESIDADES de la VIDA Y EL ENTORNO

Considerado con su LÓGICA PROPIA

CÓMO SE LOGRAN LOS APRENDIZAJES

Por reproducción, imitación. Se transmiten aprendizajes acabados, construidos

Por elaboración más activa del alumno con la guía del docente

A través de la resolución de problemas elegidos por el docente, en interacción con sus compañeros

CONDUCTAS QUE PROMUEVE

MECANISMOS: -lecciones (adquisición) -ejercicios (ejercitación) SENTIDOS: problemas

MOTIVACIÓN: situación de la vida MECANISMO: -aporte de conocimientos -práctica, ejercicios RESIGNIFICACIÓN: problemas

ACCIÓN: situación –problema (busca procedimiento de resolución) FORMULACIÓN: formulac-confrontac de procedimientos, puesta a prueba VALIDACIÓN: nva situación con difer obstáculos: nvos procedimientos, etc INSTITUCIONALIZACIÓN: -Nueva herramienta -Ejercitación -Síntesis, lenguaje convencional -Problemas: evaluac para el maestro, resignificación para el alumno

Ninguna

No es importante

Fundamental

IMPORTANCIA DEL TRABAJO GRUPAL

El acto pedagógico en toda su complejidad utiliza elementos de cada uno de los modelos, pero cada uno hace una elección, consciente o no y de manera privilegiada, de uno de ellos. Tres elementos privilegiados para diferenciar estos tres modelos: – El comportamiento del docente frente a los ERRORES de sus alumnos – Las prácticas de utilización de la EVALUACIÓN – El rol y el lugar que el maestro asigna a la actividad de RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELECCIÓN basada en CÓMO APRENDEN LOS ALUMNOS 1)

2) 3)

4) 5) 6)

Los CONOCIMIENTOS no se apilan, no se acumulan, sino que PASAN DE ESTADOS DE EQUILIBRIO A ESTADOS DE DESEQUILIBRIO, los conocimientos anteriores son cuestionados, y luego se pasa a una fase de reorganización de los conocimientos (reestructuraciones) El ROL DE LA ACCIÓN en el aprendizaje: acción con una finalidad, problematizada, tendiente a una tarea de constatación. rol de ANTICIPACIÓN Sólo hay APRENDIZAJE cuando el alumno percibe un problema para resolver... ... es decir cuando reconoce EL NUEVO CONOCIMIENTO COMO MEDIO DE RESPUESTA A UNA PREGUNTA. Resultado de una interacción sujeto-medio. Lo que da sentido a los conceptos o teorías son los problemas que permiten resolver. CONFLICTO COGNITIVO: surge cuando el sujeto percibe los límites de sus conocimientos anteriores y debe elaborar nuevas herramientas para resolver la situación. Preferir la motivación propia de la actividad propuesta a la externa (necesidades de la vida corriente) Las PRODUCCIONES del alumno son una información sobre su "ESTADO DE SABER". Producciones erróneas corresponden a una manera de conocer Los CONCEPTOS MATEMÁTICOS NO ESTÁN AISLADOS. Campos de conceptos entrelazados. Redes La INTERACCIÓN SOCIAL es un ELEMENTO IMPORTANTE en el aprendizaje. Relaciones maestro-alumnos y alumnosalumnos

Relación entre la SITUACIÓN-PROBLEMA y los ALUMNOS: – La actividad debe proponer un verdadero problema por resolver para el alumno: debe ser comprendido por todos. – Debe permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores –Debe ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a hacer evolucionar los conocimientos anteriores

–La sanción (la validación) no venga del maestro, sino de la situación misma. Relación DOCENTE-ALUMNO: – Una DISTINCIÓN neta debe ser establecida entre LOS APORTES DEL DOCENTE y las PRUEBAS q los ALUMNOS aportan. Los alumnos deben percibir que les es más conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que afirman que solicitar pruebas a los otros. Relación MAESTRO-SITUACIÓN –

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El Maestro debe ubicar la situación propuesta en el cuadro del aprendizaje apuntado, distinguir el OBJETIVO INMEDIATO de los OBJETIVOS MÁS LEJANOS, elegir ciertos parámetros de la situación (idea de “VARIABLES DIDÁCTICAS” de la situación). – El CONOCIMIENTO considerado debe ser el MÁS ADAPTADO para resolver el problema propuesto (desde el punto de vista de los alumnos). – Le corresponde observar las INCOMPRENSIONES, los ERRORES SIGNIFICATIVOS, analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboración de nuevas situaciones. – Provocar o hacer la SÍNTESIS Sólo hay problema si el alumno percibe una dificultad

OBJETIVOS de la actividad de resolución de problemas: Metodológicos: aprender a resolver problemas, investigar Cognitivos: se apunta a un conocimiento  Nuevo  Problemas para resignificación Cuestiones que se le presentan al DOCENTE: o Elección de enseñar una determinada concepción del conocimiento considerado (actualidad, evolución…) o Elección de la serie de situaciones a proponer a los alumnos para su adquisición o Elección de una puesta en marcha pedagógica. Etapas: INVESTIGAR, FORMULAR, VALIDAR, INSTITUCIONALIZAR, EVALUAR  ACTUALIZACIÓN CURRICULAR- Municipalidad Ciudad Buenos Aires 1995 [ ] (La mayoría de los conceptos coinciden con los 2 textos anteriores, x eso se colocan en ellos entre [ ]) APRENDER MATEMÁTICA: construir el sentido de los conocimientos ACTIVIDAD MATEMÁTICA ESENCIAL: resolución de problemas y reflexión alrededor de ellos ORGANIZACIÓN de la CLASE: 1°FASE: ACCIÓN El maestro expone la consigna, distribuye el material, presenta el problema a resolver Los alumnos, individual o en pequeños grupos, intentan encontrar la solución. Las respuestas o soluciones pueden incluir errores y dudas 2°FASE: FORMULACIÓN Lo producido será debatido x toda la clase, para ello deberán encontrar la forma de comunicar 3°FASE: CONFRONTACIÓN-VALIDACIÓN Argumentación sobre el problema. Confrontación y comparación de sus procedimientos sobre los que deben justificar su validez 4°FASE: INSTITUCIONALIZACIÓN El docente intenta resaltar el aprendizaje previsto en los objetivos. Se desprende a partir de las producciones lo que deben retener. “SACAR DEL CONTEXTO del problema el saber producido para reconocer algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable”. Identificación del saber q puede ser utilizado en otras ocasiones. o La toma en cuenta “OFICIAL” por el alumno del objeto de conocimiento y por el maestro del aprendizaje del alumno es un FENÓMENO SOCIAL muy importante y una FASE ESENCIAL del proceso didáctico 

El texto continúa explicando cómo se tratarán los diversos bloques de la matemática 

LA TEORÍA de SITUACIONES DIDÁCTICAS: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la Matemática. P. Sadosky

Brousseau: ENSEÑANZA: proceso centrado en la PRODUCCIÓN de los conocimientos matemáticos en el ámbito escolar. Supone establecer nuevas relaciones, transformar y reorganizar otras. Implica validarlos según las normas y los procedimientos aceptados por la comunidad matemática -Toma las HIPÓTESIS CENTRALES de la epistemología genética de Piaget como marco para modelizar la producción de conocimientos CONOCIMIENTO MATEMÁTICO: a partir de reconocer, abordar y resolver problemas. MATEMÁTICA: conjunto organizado de saberes producidos por la cultura o

El sujeto produce conocimiento como resultado de la ADAPTACIÓN a un “medio” resistente con el que interactúa

-Para todo conocimiento es posible construir una SITUACIÓN FUNDAMENTAL, que puede comunicarse sin apelar a dicho conocimiento y para la cual éste determina la estrategia óptima

-Diferencia entre CONOCIMIENTO q se produce en una situación particular y Saber estructurado y organizado a partir de sucesivas interpelaciones, generalizaciones, puestas a punto, interrelaciones y descontextualizaciones de las elaboraciones q son producto de situaciones específicas. 

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El sujeto en interacción con un medio resistente obtiene conocimientos q le permiten controlar la situación y q tienen una referencia en el saber matemático. Estos conocimientos se producen en un CONTEXTO PARTICULAR y están dirigidos a cumplir una FINALIDAD. NO es reconocible de manera inmediata su pertenencia al discurso de la disciplina, se requiere de un TRABAJO de REFLEXIÓN sobre las situaciones. El trabajo de CONVERSIÓN de CONOCIMIENTOS en SABERES se dan a través de PROCESOS COLECTIVOS de debates gestionados por el docente, pero q suponen siempre RECONSTRUCCIONES PERSONALES (noción de CONTRATO didáctico).

SITUACIÓN DIDÁCTICA: para la TEORÍA de SITUACIONES, es un SISTEMA conformado por 2 TIPOS DE INTERACCIONES BÁSICAS q no pueden concebirse de manera independiente: 1.

Interacción del ALUMNO con una PROBLEMÁTICA: q ofrece resistencias y retroacciones sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego. Necesita de un - MEDIO pensado y sostenido con una INTENCIONALIDAD DIDÁCTICA. Las interacciones ALUMNO-MEDIO se describen a partir del concepto teórico de SITUACIÓN ADIDÁCTICA (interacción entre un sujeto y un medio a propósito de un conocimiento), q modeliza una actividad de producción de conocimiento por parte del alumno de manera independiente de la mediación docente. Incluye una PROBLEMÁTICA INICIAL y un CONJUNTO de RELACIONES matemáticas q se van modificando a medida q el sujeto produce conocimientos en el transcurso de la situación, transformando la realidad con la q interactúa. Compromete esencialmente su sistema de conocimientos. El alumno debe saber q el conocimiento nuevo a adquirir está enteramente justificado por la lógica interna de la situación y q puede adquirirlo sin atender a razones didácticas. El docente NO explicita cuáles son los conocimientos q el alumno debe movilizar. -Lograr un COMPROMISO intelectual del alumno con el medio es RESPONSABILIDAD del alumno y del docente. -En este modelo “Situación” el SUJETO es u n “sistema de conocimientos”. Dos CONDICIONES son inherentes a la noción de situación adidáctica.  ELECCIÓN MÚLTIPLE: el sujeto debe poder elegir entre varias estrategias, entendiendo q cuando se hace una opción, rechaza otras alternativas, de modo de provocar un Juego de ANTICIPACIONES y DECISIONES a partir del cual el sujeto va modificando sus esquemas y produciendo conocimiento. Requiere de tiempos más o menos prolongados. La situación se implementa varias veces cambiando cada vez algunas condiciones (VARIABLES DIDÁCTICAS). Las nuevas relaciones amplían el espectro de posibles q el alumno puede concebir y dan lugar al rechazo conciente de las decisiones erróneas.  FINALIDAD: tarea q explícitamente se solicita al alumno, q puede identificarse en términos de acción y debe poder identificarse de manera independiente del conocimiento matemático a producir. Ofrece un espacio para la VALIDACIÓN: la lectura de las retroacciones del medio en términos de “distancia” a la finalidad buscada, habilita al sujeto para conocer la PERTINENCIA DE SUS DECISIONES y evolucionar en sus conocimientos. Esta lectura supone una CONFRONTACIÓN entre la ANTICIPACIÓN y la CONSTATACIÓN q da lugar a un PROCESO de ANÁLISIS de las relaciones puestas en juego y de BÚSQUEDA de elementos q ayuden a modificar las decisiones sancionadas como erróneas.

2.

Interacción del DOCENTE con el ALUMNO a propósito de la interacción del alumno con la problemática matemática (el medio). Se explica a través del concepto de: -CONTRATO DIDÁCTICO: elaboraciones con respecto a un conocimiento matemático en particular, q se producen cuando cada uno de los interlocutores de la relación didáctica interpreta las intenciones y expectativas –explícitas e implícitas- del otro, en el proceso de comunicación. Se negocian significados, se transmiten expectativas mutuas, se sugieren o se infieren modos de hacer, se comunican o se interpretan NORMAS MATEMÁTICAS. Dichas elaboraciones intervienen en la conceptualización q el alumno logra alcanzar. Una parte de las ideas matemáticas de los alumnos son producto de inferencias q, por provenir de lo q el docente expresa, pero no necesariamente dice, escapan generalmente a su control. Los alumnos se hacen representaciones internas acerca de lo que está permitido y lo q no es posible, con relación a cierta cuestión matemática. Elaboran un conjunto de normas q monitorean su accionar en el sentido q habilitan ciertas posibilidades e inhiben otras. El contrato didáctico q subyace al funcionamiento de los objetos matemáticos está regido por REGLAS de naturaleza muy diferentes q se refieren tanto a los CONCEPTOS como a las NORMAS q comandan los modos de abordar los problemas. El alumno justifica algunas y otras no, pero las acepta y las pone en juego sin mayores cuestionamientos Esta noción tb explica las REGULACIONES del DOCENTE, q tienen como doble referencia a la clase y a la disciplina matemática. El docente tiende a suponer q controla las elaboraciones del alumno a través de lo q se va haciendo explícito en la clase. En el momento en q el estudiante pone en juego una conducta inesperada por él, toma conciencia de q muchas de las construcciones del alumno escapan completamente al control del profesor. Cuando uno de los actores hace algo con respecto al conocimiento q es inesperado por el otro, se produce una RUPTURA. El conocimiento será lo q resolverá la crisis nacida de estas rupturas q no pueden estar predefinidas.



Lo DIDÁCTICO: consustancial a la existencia de una intención

DISEÑO Y ESTUDIO de una SITUACIÓN DIDÁCTICA-CONOCIMIENTO A PRIORI: tener presente el modelo permitirá hacer un ANÁLISIS respecto de:  Qué MOTIVACIÓN COGNITIVA conduce a producir tal o cual estrategia como solución  Xq una solución puede leerse en términos de un CONJUNTO DE CONOCIMIENTOS PUESTOS EN JUEGO

 

Xq la producción de un cierto conocimiento sería un MEDIO MÁS ECONÓMICO O MÁS AJUSTADO q otro Qué elementos de una situación devolverían al alumno información sobre los resultados y CÓMO PODRÍAN EVOLUCIONAR LOS CONOCIMIENTOS iniciales puestos en juego

CONJUNTO DE OBSERVABLES (aquello q el sujeto cree comprobar en el objeto). Puede construirse a partir del conocimiento a priori. Indispensables para interpretar lo q suceda efectivamente en el aula.  Las situaciones q se diseñan no pueden determinar el proceso de aprendizaje, pero en el momento q se elaboran es fértil pensarlas como si realmente lo determinaran, porque de esa manera se afinan al máximo los análisis q permiten anticipar las potencialidades de la situación Resumiendo: 

Sin las INTERACCIONES CON UN MEDIO se desdibuja tanto el papel de los conceptos matemáticos como medio de resolución de problemas como la posibilidad de poner en juego herramientas de validación propias de la disciplina.



La SITUACIÓN es una INTERACCIÓN: frente a un problema el sujeto ELIGE una alternativa matemática entre varias posibles, la PONE en JUEGO y ANALIZA los resultados de sus acciones reafirmando sus decisiones o rectificándolas, produciendo CONOCIMIENTO q modifica el medio. Para ello 2 CONDICIONES son indispensables: 1. Q el SUJETO –alumno convocado a aprender- se ubique en una POSICIÓN de PRODUCCIÓNN 2. Q el PROBLEMA y el modo de plantearlo ofrezcan la POSIBILIDAD de q el sujeto VALIDE sus acciones. -Las dos condiciones NO “garantizan” q el alumno aprenda, ningún modelo teórico podría garantizar el trabajo personal q supone aprender.



Sin las RETROACCIONES de quienes comparten la misma comunidad ni la MEDIACIÓN de quienes representan el saber cultural, las respuestas particulares NO se insertan en un sistema organizado de conocimientos q permite abordar cuestiones q van mucho más allá del contexto q las hizo observables. Las INTERACCIONES SOCIALES son CONDICIÓN NECESARIA para la emergencia y elaboración de cuestiones matemáticas

SITUACIÓN FUNDAMENTAL (adidáctica): problemática q permite la emergencia de un conocimiento, es decir, el conocimiento en cuestión aparece como la ESTRATEGIA ÓPTIMA para resolver el problema involucrado. “Cada conocimiento puede caracterizarse por una o más situaciones adidácticas que preservan su sentido y q llamaremos situaciones fundamentales" Tener en cuenta 3 cuestiones: -

Brousseau presenta esta idea como un AXIOMA, el modelo lo considera como condición de partida No cualquier situación adidáctica característica de un conocimiento puede ser objeto de trabajo de un alumno. Para algunos conocimientos no sería productivo concebir su entrada a la enseñanza a través del canal de situaciones Adidácticas La noción de ESTRATEGIA ÓPTIMA es relativa a un sistema de conocimientos (un sujeto) y no puede ser considerada independientemente del mismo. Para un mismo problema pueden considerarse diferentes situaciones q dependen del sistema de conocimientos que entra en interacción con el problema.

-

DEVOLUCIÓN e INSTITUCIONALIZACIÓN del docente: En la “situación adidáctica” el alumno interactúa en forma autónoma con un cierto medio resistente cuyo núcleo es un problema matemático. Brousseau señala la necesidad de ADAPTARSE a un medio como CONDICIÓN de aprendizaje. Uno de los ROLES del docente es DEVOLVER al alumno la RESPONSABILIDAD de hacerse cargo del problema q le propone olvidando la intencionalidad didáctica del mismo, es decir, q éste produzca sus conocimientos como respuesta personal a una pregunta y los haga funcionar o los modifique como respuesta a las exigencias del medio y no a un deseo del maestro. DEVOLUCIÓN: actividad mediante la cual el docente intenta q el alumno tome el problema como suyo, se sienta el único responsable de resolverlo y q luego de resolverlo se convierta en un problema “universal”, libre de presupuestos didácticos. INSTITUCIONALIZACIÓN: ´consideración “oficial” del objeto de enseñanza por parte del alumno y del aprendizaje del alumno por parte del maestro. Fenómeno social muy importante y fase esencial del proceso didáctico. -Perrín Glorian y Margolinas: DEVOLUCIÓN como un PROCESO de NEGOCIACIÓN con el alumno, q se sostiene durante todo el transcurso de la situación adidáctica. -Perrín Glorian: para que la DEVOLUCIÓN sea POSIBLE y q el alumno pueda articular los conocimientos producidos en la situación adidáctica con la institucionalización q realiza el docente, es necesario que el alumno tenga un PROYECTO de APRENDIZAJE q le permita iniciar desde el vamos un proceso de DESCONTEXTUALIZACIÓN de los conocimientos q va a producir, el cual es construido por el alumno con colaboración del docente, lo cual hace pensar en la Institucionalización y la Devolución como procesos imbricados e incluso contemporáneos. PROYECTO del ALUMNO: abarca el DESEO de aprender y la representación que tiene del SABER CULTURAL q estructura los objetos matemáticos con los q está tratando (relacionada con lo que ha ido organizando y estructurando como producto de su práctica escolar), la cual incluye las EXPECTATIVAS que piensa que se tienen sobre él respecto del conocimiento en cuestión. Esa IMAGEN CULTURAL q el alumno elaboró interviene y condiciona su producción. DEVOLUCIÓN exige q el docente garantice también ciertas CONDICIONES sobre el plano de las NORMAS matemáticas necesarias para el trabajo de los alumnos en el problema. Estas REGLAS necesarias para abordar una tarea dependen del tipo de enfoque q hacen los alumnos y del tipo de interacciones q se producen entre ellos, por eso no pueden establecerse a priori.  

La INTERACCIÓN ADIDÁCTICA ofrece formas de validación de la producción matemática a través de las propiedades matemáticas del medio. Cuando el alumno accede a algún aspecto del conocimiento a través de la interpretación q hace de la intención del docente establece muchas veces REGLAS FALSAS. Sin embargo, el alumno NO podría aprender si no se jugara la INTENCIONALIDAD DEL DOCENTE en la RELACIÓN DIDÁCTICA y por otro lado, los conocimientos q el alumno necesita sobrepasan completamente lo q pudo haber construido como producto de sus interacciones adidácticas.

RETROACCIONES de los PARES: tanto cuando los alumnos colaboran entre sí para resolver un problema como cuando comparten estrategias de los problemas ya resueltos, los modos de abordar de unos pueden MODIFICAR EL SISTEMA DE DECISIONES de los otros. Quien debe interpretar o considerar los planteos de los pares lo hace con un NIVEL DE INCERTIDUMBRE tal que puede requerir la movilización de relaciones nuevas ya sea para modificar las decisiones tomadas previamente o para producir argumentos q refuten la objeción. La INTERACCIÓN ENTRE SOLUCIONES DIFERENTES puede ser fuente de nuevos problemas, algunos de los cuales sólo podrán ser planteados por el docente q es el único q los reconoce como tales. MARCO EPISTÉMICO del alumno: los procesos de producción de conocimientos en el aula están también atravesados por un sistema de normas y creencias q de alguna manera orientan el tipo de exploración, abordaje, búsqueda y validación. Las elaboraciones q hacen los alumnos como producto de sus prácticas, respecto del modo de abordar cuestiones matemáticas, van constituyendo “un modo natural de trabajo” compartido por un lado y, generalmente implícito por otro, q condiciona sus producciones.  La diferencia entre “ALUMNO” y “SUJETO EPISTÉMICO” advierte sobre el peligro de cargar en la cuenta del sistema de conocimientos del alumno cuestiones q este último pone en juego cuando trata de interpretar lo q se espera de él en tanto alumno de la clase, pero acerca de las cuales no tiene necesariamente una convicción profunda. Tanto para el investigador como para el docente, es difícil jugar la diferencia teórica en el proceso de interpretación de las producciones de los estudiantes.  Yackel y Cobb plantean el origen social de las normas específicas de la actividad matemática en una clase, hablan de NORMAS SOCIOMATEMÁTICAS: resultado de las interacciones en la clase entre el docente y los alumnos, en un trabajo en el q muchas veces los estudiantes reelaboran las normas a partir de la interpretación de gestos sutiles del docente q legitiman o no ciertos procedimientos (relacionado con concepto de contrato didáctico) Entre las NORMAS q los niños elaboran hay las que: Pueden reconocerse como REGLAS del TRABAJO MATEMÁTICO Otras q son necesarias para q los alumnos construyan una representación de la actividad matemática y están en la conciencia del docente como reglas ÚTILES PARA EL TRABAJO EN EL AULA aunque no serían fácilmente reconocibles por una comunidad matemática externa a la clase. Un grupo q surgen de la INTERPRETACIÓN q los niños hacen DE LAS PRÁCTICAS EN LAS Q PARTICIPAN sin q puedan en muchísimos casos someterlas a la discusión del conjunto de la clase. MEMORIA DIDÁCTICA: Es necesario tener en cuenta desde la enseñanza no solamente los “temas” vinculados con un cierto concepto a enseñar q los alumnos hayan podido estudiar anteriormente, sino también LO Q CONCRETAMENTE HAYAN HECHO al respecto. Según Brousseau los DOCENTES ENSEÑAN LAS ARTICULACIONES NECESARIAS A LA MANERA DE SABERES (Y NO DE CONOCIMIENTOS), es decir, se basan más en los usos culturales q en las condiciones en las q los estudiantes aprendieron. Esto produce una RUPTURA entre el discurso del docente y los conocimientos de los alumnos q se manifiesta muchas veces como “OLVIDO”. Los alumnos dicen no haber estudiado un asunto porque no lo reconocen cuando el docente lo presenta de un modo q NO tiene en cuenta las situaciones específicas en las q tuvieron oportunidad de aprenderlo. Esto lleva a los docentes a prestigiar MODOS “ÚNICOS” de referirse a los objetos matemáticos, de modo q los alumnos puedan reconocerlos en diferentes circunstancias, lo q reduce enormemente el alcance y la complejidad de los conceptos. Perrín Glorian identifica un tipo de SITUACIONES q llama de EVOCACIÓN q apuntan a fortalecer los procesos de despersonalización y descontextualización de conocimientos. Tipos: Las q evocan una situación de acción NO inmediatamente después de realizada sino otro día: ofrecen la oportunidad de RECONSTRUIR el papel q tienen para el aprendizaje los problemas abordados. Las q se refieren a una serie de problemas sobre un tema q ha abarcado un período prolongado de tiempo: apuntan a INTEGRAR una serie de problemas en un proceso q se interioriza con un nuevo sentido. RELACIÓN entre lo DIDÁCTICO y lo ADIDÁCTICO: El alumno produce conocimiento en el marco de la SITUACIÓN DIDÁCTICA, en el marco de debates en los q intervienen alumnos y docente. Pero para q esto ocurra es necesario q lo haga desde una posición en la cual sus conocimientos interactúan con los del docente en un tipo de interacción q preserva la AUTONOMÍA INTELECTUAL del alumno respecto del docente. La SITUACIÓN ADIDÁCTICA supone la interacción de un alumno con una problemática de manera independiente de la mediación docente pero en realidad se refiere más a una posición q sostienen el alumno y el docente, más q concebirla en términos de intervención o no intervención del docente. Esta posición es sostenida por el tipo de reconocimiento q hace el docente del alumno, alimentando la interacción de éste con su problemática. Este modo de intervención puede enriquecer la calidad de las relaciones q el alumno establezca en su interacción con el medio. Reflexiones finales  La TEORÍA DE LAS SITUACIONES coloca “marcas” q nutren la necesaria reflexión del docente, q también es un intelectual.  La noción de SITUACIÓN FUNDAMENTAL pone una “señal” q convoca a conocer, para cada grupo de conceptos qué problemas matemáticos darían lugar a construcciones potentes en el aula.  La relación entre CONOCIMIENTO y SABER advierte sobre la reducción q supone pensar un proceso de enseñanza sólo centrado en la resolución de problemas. Las REFLEXIONES juegan un papel fundamental en la calidad de los conocimientos q se elabora.  Los conceptos de ADIDACTICIDAD y de DEVOLUCIÓN nos hacen tomar conciencia de la necesidad de construir una posición del alumno como sujeto q entabla con el docente un intercambio intelectual, siendo esa construcción responsabilidad de la enseñanza.  La noción de CONTRATO DIDÁCTICO pone en primer plano el papel de la interacción con el docente, q no sólo se nutre de lo q se dice explícitamente sino también de lo que se calla, se espera, se sugiere, se intenta.  Las INTERACCIONES hablan del proceso de producción en clase como una trama compleja no reductible a ninguna de sus partes.

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MÓDULO 2- GUÍA

CONTAR: actividad realizada por todas las culturas para diferenciar e identificar cantidades. Los niñosdeben aprender:    

La serie numérica de su propia cultura Cómo utilizar dicha serie para ponerla en correspondencia con los objetos Métodos para diferenciar los objetos ya contados de los que quedan por contar Significado cardinal del conteo

Los primeros usos de los NOMBRES DE LOS NÚMEROS tienen lugar en diferentes contextos:  Usos de la secuencia  Usos en situaciones de conteo  Usos cardinales 

Desde los 2 a los 8 años se irán desarrollado e interrelacionando progresivamente



El APRENDIZAJE no es sólo un proceso de imitación sino de una actividad de ATRIBUCIÓN DE SIGNIFICADO por parte de los sujetos. Los ERRORES que cometen son el resultado de una búsqueda de significado. Resultan de una APLICACIÓN SOBREGENERALIZADA DE REGLAS COMO RESULTADO DE UN INTENTO POR COMPRENDER.

Cuando se trata de determinar el CARDINAL DE UNA COLECCIÓN diferentes procedimientos son posibles:   

SUBITIZACIÓN: reconocimiento inmediato de pequeñas cantidades EVALUACIÓN GLOBAL: estimación aproximada CONTEO: determinar en forma precisa el cardinal Además de aprender los nombres de los números que se utilizan en su cultura supone: o HACER CORRESPONDER CADA NÚMERO CON CADA ÍTEM a contar (será necesario controlar los elementos que ya han sido contados y los que quedan aún por contar) o respetar el ORDEN DE LA SECUENCIA numérica o comprender el VALOR CARDINAL DEL ÚLTIMO NÚMERO mencionado FUNCIONES del conteo:   

saber CUÁNTOS OBJETOS HAY en una colección; COMPARAR colecciones CONSTRUIR una colección con cantidad determinada  Situaciones de la vida extraescolar  Descubrir sus usos  Problemas q ponen en juego dos o más colecciones  TAMAÑO: variable didáctica o Subitización o Correspondencia término a término o Tamaño relativo: “contar todo” y “contar desde un número

ESCRITURA Y NUMERACIÓN: muy pronto los niños comienzan a comprender que ambos sistemas de representación se rigen POR PRINCIPIOS DIFERENTES y a tratar de descubrir dichos principios. 



HUGHES: “pongan algo en el papel para indicar cuántos bloques había sobre la mesa”. TIPOS de respuestas: o Idiosincrásicas o Pictográficas o Icónicas o Simbólicas SINCLAIR: o Representación global de la cantidad o Única figura o Correspondencia término a término o Aparición de las cifras o Cardinal únicamente o Cardinal acompañado del nombre de los objetos

HIPÓTESIS ORIGINALES: antes de poder leer y escribir los números convencionalmente, los niños construyen hipótesis que les permiten de alguna manera comparar, producir e interpretar los números escritos 1.

2.

3.

4.

CANTIDAD DE CIFRAS DE LOS NÚMEROS como criterio para compararlos: a mayor cantidad de cifras, mayor es el número -En números con gran diferencia en sus valores absolutos, los niños pueden guiarse por estos últimos en lugar de la cantidad de cifras POSICIÓN QUE OCUPAN LAS CIFRAS -En números con la misma cantidad de cifras, consideran la primera de ellas. En los casos en que los números comienzan con la misma cifra, consideran la siguiente y así... Esto pone de manifiesto que los niños RECONOCEN QUE las CIFRAS TIENEN DIFERENTE VALOR SEGÚN LA POSICIÓN -un número es mayor que otro porque “está después” o “LO DECÍS DESPUÉS CUANDO CONTÁS” NUDOS (10, 100, 1000…): escritura convencional de los nudos antes que la de los intervalos entre ellos  los niños NO aprenden los números en orden, sino que se apropian antes de la escritura convencional de los nudos CONSTRUYEN IDEAS para PRODUCIR e INTERPRETAR NÚMEROS basándose en este conocimiento de la escritura convencional de los nudos y en la numeración oral, también -Creen que existe una CORRESPONDENCIA ESTRICTA entre la NUMERACIÓN ESCRITA y la HABLADA.

5.

CONFLICTO COGNITIVO: las hipótesis que el niño pone en juego, frente a algunos números muchas veces entran en contradicción al enfrentarse con las escrituras convencionales. Posibles REACCIONES:  NO tomen conciencia de esta contradicción y se CENTREN EN UNO DE LOS CRITERIOS  A partir de la toma de conciencia de esta contradicción, INTENTEN MODIFICAR de alguna manera sus ESCRITURAS NUMÉRICAS para reducirlas: quitarles ceros  CAMBIAN la INTERPRETACIÓN DEL NÚMERO que escribieron, atribuyéndole un valor mayor al que le corresponde  Son COMPENSACIONES PARCIALES 

COMPENSACIÓN TOTAL: utilizar la información de los nudos para determinar la cantidad de cifras de un número 

Es necesario generar CONDICIONES DIDÁCTICAS que permitan que los niños los pongan en juego, que se permita hacerlos vivir provisoriamente en las aulas, generar su CONFRONTACIÓN con las escrituras e interpretaciones de los compañeros y con escrituras e interpretaciones convencionales para que puedan avanzar progresivamente hacia una mayor comprensión del funcionamiento de dicho sistema



En una PROGRESIÓN que avance desde el uso a la REFLEXIÓN y la búsqueda de REGULARIDADES, se progresará poco a poco hacia la COMPRENSIÓN de las OPERACIONES ARITMÉTICAS

Análisis crítico a la enseñanza usual La “entrada” a la enseñanza de los números a partir de su ORGANIZACIÓN en UNIDADES, DECENAS, CENTENAS, etc. Varios argumentos apoyan la idea de NO comenzar desde allí:   

Primer argumento, PERSPECTIVA PSICOGENÉTICA: Hoy sabemos que no son los aspectos desde los cuales los niños se aproximan inicialmente a los números sino que llegan a comprender esta organización del sistema de numeración después de mucho trabajo y reflexión Segundo argumento, PUNTO DE VISTA MATEMÁTICO:. Los agrupamientos recursivos suponen operaciones multiplicativas y también potenciaciones, operaciones muy complejas para los niños en el inicio de su escolaridad Tercer argumento, RESULTADOS DE LA ENSEÑANZA: el hecho de que se haya enseñado a estos niños el concepto de decena no basta para que esto se constituya en un conocimiento operativo. Ellos no logran diferenciar las decenas de las unidades. Este abordaje es estéril, obstaculiza la comprensión del funcionamiento de los números y las operaciones

Análisis del RECURSO A LOS MATERIALES CONCRETOS: -Los niños aprenden a “jugar al juego que se les propone” con el material concreto. Esto NO revierte en una MEJOR COMPRENSIÓN de los números NI que puedan ESTABLECER RELACIONES ENTRE LO QUE HACEN con el material y LO QUE VIENEN PENSANDO. ABORDAJE DIDÁCTICO DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN QUE SE PROPONE: Presentar a los niños situaciones donde deban:    

COMPARAR y ORDENAR números escritos OPERAR con números escritos PRODUCIR ESCRITURAS numéricas INTERPRETAR ESCRITURAS numéricas  Trabajar DE ENTRADA CON LA NUMERACIÓN ESCRITA y con toda su complejidad. Esto implica permitir que los números “vivan” dentro de las salas de Jardín y las aulas de EGB del mismo modo que lo hacen fuera  “Del USO a la REFLEXIÓN y de la reflexión a la búsqueda de REGULARIDADES

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MÓDULO 3- GUÍA

La escuela recurre a la CUENTA como único recurso. Existen otros recursos de cálculo: el REPERTORIO ADITIVO, los CONOCIMIENTOS sobre la ORGANIZACIÓN del SISTEMA de NUMERACIÓN. No hay datos de investigación psicológica ni didáctica que avalen esta progresión: MATERIAL CONCRETO, REPRESENTACIÓN GRÁFICA y, finalmente SIMBÓLICA. Proponemos que BUSQUEN DIFERENTES CAMINOS DE RESOLUCIÓN. Permitir que quien lo requiera recurra a materiales concretos para buscar resultados no implica que el docente lo proponga a la clase. Objetivo de la enseñanza: que los niños COMPRENDAN QUE LA ANTICIPACIÓN ES POSIBLE, que es posible conocer los resultados de una acción que aún no se ha realizado o no resulta directamente accesible. Será necesario cuidar que el uso de material concreto que se proponga no impida la puesta en juego de anticipaciones Interjuego entre: ANTICIPACIONES e INFORMACIÓN que surja a partir de los resultados, escrituras, análisis, discusiones, comprobaciones, etc. promoverá el AVANCE DE LOS CONOCIMIENTOS Importancia de proponer la ANTICIPACIÓN DE LOS RESULTADOS aun cuando esté previsto hacer luego COMPROBACIONES EMPÍRICAS. En este juego de ANTICIPACIÓN-VALIDACIÓN ARGUMENTATIVA-CORROBORACIÓN EMPÍRICA, los niños irán descubriendo que los resultados que obtienen son una consecuencia necesaria de haber puesto en funcionamiento ciertas HERRAMIENTAS DEL APARATO MATEMÁTICO Si no hay ARTICULACIÓN entre ANTICIPACIÓN Y CORROBORACIÓN EMPÍRICA los resultados no se integran a ninguna organización de conocimiento específica COMPROBACIONES EMPÍRICAS hacen posible una interacción entre los MODELOS MATEMÁTICOS QUE LOS NIÑOS VAN ELABORANDO y los ASPECTOS DE LA REALIDAD que son modelizables a través de las herramientas matemáticas

SENTIDO DE ESTAS OPERACIONES: configurado x: - complejo conjunto de aspectos vinculados a los problemas -recursos de cálculo -escrituras aritméticas TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES: El pensamiento sólo es conceptual si obedece simultáneamente a criterios de orden teóricos y prácticos (Vergnaud) DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA: aproximación operatoria y psicogenética. Vergnaud considera al CONOCIMIENTO: una función adaptativa a una situación específica, en sincronía de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau, 

CONSTRUCCIÓN DE SABERES se alcanza a través de la INTERACCIÓN entre LA SITUACIÓN y el CONOCIMIENTO. La situación es inductora del conocimiento, y a su vez el conocimiento permite actuar sobre la situación

“CAMPO CONCEPTUAL es un espacio de problemas o de situaciones problemas cuyo tratamiento implica conceptos y procedimientos de varios tipos en estrecha relación” Dos puntos fundamentales en la construcción del aprendizaje matemático: -la interconexión entre conceptos matemáticos -la evolución psicogenética de quien aprende Al estudiar un CONCEPTO se deberá por lo tanto abarcar: - situaciones que lo dotan de sentido - conjunto de propiedades y relaciones invariantes asociadas (invariantes operatorias) - significantes lingüísticos y simbólicos CAMPO ADITIVO: conteo, adición, sustracción, conservación de cantidades discretas y continuas, numeración natural, elaboración de soluciones canónicas, compresión de representaciones simbólicas, axiomas y teoremas de la geometría algebraica ADICIÓN: permite resolver problemas de -reunión de colecciones disjuntas - en los que una cantidad inicial es incrementada por otra -de reunión de subclases comprometidas por una categoría superior SUSTRACCIÓN se pueden reconocer dos sentidos: -de diferencia: ligado a las acciones de perder, disminuir, etc. -de complemento: vinculado a las acciones de completar, alcanzar, etc CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS (Vergnaud) se basa en la estructura semántica de los enunciados, y en los diferentes razonamientos que dicha estructura moviliza por parte del sujeto que los resuelve. Distingue el papel que juegan los números dentro de los problemas, en algunos casos los mismos números representan MEDIDAS y en otros, TRANSFORMACIONES 1.

COMPOSICIÓN DE MEDIDAS : dos medidas se combinan para formar otra medida a. puede resolverse con una ADICIÓN b. puede resolverse a través de una SUSTRACCIÓN. BÚSQUEDA del COMPLEMENTO. -por SOBRECONTEO -por estrategia basada en el CÁLCULO  En situaciones donde hay una transformación: ESTADO INCIAL –TRANSFORMACIÓN – ESTADO FINAL Según que la transformación sea positiva o negativa y el lugar de la incógnita, en el estado final, en la transformación o en el estado inicial, es posible distinguir 6 problemas diferentes.

2.

RELACIÓN ENTRE DOS MEDIDAS: interviene una RELACIÓN ESTÁTICA entre ambas medidas. Cuantificar la distancia entre ellas.  Según el lugar de la incógnita y según la comparación sea planteada en términos positivos o negativos, puede dar lugar a 6 problemas diferentes.  Presentan mayores dificultades que las anteriores COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES: dos transformaciones se componen para dar lugar a otra transformación.  Las transformaciones elementales pueden ser positivas o negativas: pueden ser ambas del mismo signo – positivas o negativas- o de signo contrario. Éstas presentan mayores dificultades PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN ESTADOS RELATIVO: requieren de números con signo para poder ser expresados

3.

4. 

NO es posible establecer una jerarquía absoluta entre los problemas y deducir un orden de aprendizaje

OTRAS CLASIFICACIONES: Riley et. al y Carpenter y Moser. Cuatro categorías de problemas de suma y resta:  CAMBIO  COMPARACIÓN  COMBINACIÓN  IGUALACIÓN  Comenzar SIMULTÁNEAMENTE con problemas que involucren tanto SUMAS como RESTAS correspondientes a aquellas clases que revisten menor complejidad  El alumno debe BUSCAR UN CAMINO PERSONAL hacia la solución recurriendo a los conocimientos de los cuales dispone. HACER EVOLUCIONAR paulatinamente esos procedimientos  Desde las INTERVENCIONES DIDÁCTICAS, se intentará HACER EVOLUCIONAR LOS PROCEDIMIENTOS basados en el conteo hacia procedimientos que recurran al cálculo ESCRITURAS ARITMÉTICAS: múltiples funciones: COMUNICARSE con otros HERRAMIENTAS para modelizar aspectos de la realidad, anticipar y calcular.  Traducir por escrito los términos de un problema o relaciones entre los números depende de un aprendizaje. Es necesario que puedan ser evocadas mediante palabras antes de poder ser traducidas mediante signos. Evitar hacer manipular al alumno marcas escritas vacías de sentido. Construcción de un REPERTORIO ADITIVO: conjunto de resultados de sumas y restas que conocen de memoria o pueden reconstruir a partir de aquellos que han memorizado. De ninguna manera es una repetición mecánica, sino x la toma de conciencia. La memorización es necesaria para alivianar los procesos de cálculo.

Introducción de los ALGORITMOS: se apoyará en un recorrido profundo y extenso sobre las descomposiciones aditivas que vienen realizando los niños. Lleva tiempo: -Invitar, ante situaciones más complejas, a buscar estrategias - Búsqueda de estrategias personales más económicas, entre las cuales se hallan los -Descubrimiento de regularidades del sistema de numeración algoritmos convencionales: “parar” la cuenta, -Construcción de un repertorio aditivo composiciones y descomposiciones aditivas MULTIPLICACIÓN entre números naturales como ADICIÓN DE SUMANDOS IGUALES: implica un REDUCCIONISMO DE LOS SENTIDOS Primer sentido: PROPORCIONAL Segundo sentido: FUNCIONAL Tercer sentido: COMBINATORIO: ya la multiplicación no puede ser concebido sólo como una suma reiterada  La multiplicación es una operación en sí misma que en algunos casos puede ser sustituida por adiciones Cuarto sentido: PRODUCTO DE MEDIDAS. 

El abordaje reiterado de ciertos sentidos y la OMISIÓN SISTEMÁTICA de otros torna sumamente endeble la lógica interna del campo conceptual.

DIVISIÓN: dos sentidos PROBLEMAS DE REPARTO: 1. “REPARTIR” :el reparto implica una distribución equitativa de elementos 2. “PARTIR”: implica armar grupos de una cantidad fija de elementos: El cociente ya no cuenta elementos sino que cuenta conjuntos. El conjunto inicial ha quedado “PARTIDO” PROBLEMAS DE ITERACIÓN: restas sucesivas. 

Un SABER ADQUIERE SENTIDO por: - los problemas que resuelve - aquello que NO resuelve - la consistencia que adquiere el saber - la proyección en nuevos saberes que habilita.



Dos NIVELES (Charnay): -Nivel EXTERNO: campo de UTILIZACIÓN -Nivel INTERNO: cómo y por qué FUNCIONA

#1 ANEXO 1 - FICHA DE CÁTEDRA 1 ANEXO1 Ante las PRUEBAS PIAGETIANAS las posibles respuestas de los niños son:  NO CONSERVACIÓN (hasta los 4, 5 años aproximadamente -Los juicios son no conservadores para las dos situaciones: “Hay más rojas porque las azules están todas juntas”, etc. La cuestión de cuotidad puede ser resuelta correctamente o no. -Conductas intermedias: Las colecciones son constituidas mediante una correspondencia término a término correcta.  CONSERVACIÓN: A) Juicio es conservador para una de las situaciones, pero no conservadora para la otra. B) Dudas y oscilaciones del juicio durante cada situación. Las respuestas de conservación no están justificadas por argumentos expresos y completos C) Conservación: (aproximadamente desde los cinco años). Las dos situaciones dan lugar a juicios estables de conservación que son justificados por: -Argumento de” identidad”: xq ni se puso ni se sacó nada -Argumento de “reversibilidad”: se podrían poner también las otras en un montón -Argumento de “compensación”: las rojas son una larga línea, pero hay espacios entre las fichas. FICHA DE CÁTEDRA 1 CUOTIDAD: comprensión de los niños que pueden anticipar que ambos grupos tendrán el mismo número de objetos (si los contaran, llegarían al mismo número) pero aun así, en uno de los grupos hay más o menos que en el otro. Mucho antes de alcanzar la conservación de las cantidades discretas, los niños construyen una multiplicidad de conocimientos numéricos sumamente relevantes Numerosos resultados y avances acerca de la adquisición progresiva del conteo. Fuertes debates. Tres posiciones respecto al modo de entender la relación entre el desarrollo de los procedimientos de conteo y su comprensión: “LOS PRINCIPIOS PRIMERO”: los niños disponen muy precozmente de los principios básicos que orientan el conteo, y desarrollarán luego los procedimientos en base a ellos. Gelman Para poder contar, los niños deben dominar cinco principios básicos que disponen desde muy pequeños: CORRESPONDENCIA UNO A UNO: el niño comprende que debe contar todos los objetos y sólo una vez cada uno. ORDEN ESTABLE: la serie de números debe repetirse siempre en el mismo orden. CARDINAL: el último número del conteo representa el valor de la colección. ABSTRACCIÓN DE LAS DIFERENCIAS: el número de una colección es independiente de las cualidades de sus elementos; IRRELEVANCIA DEL ORDEN: el orden en el cual se cuentan los elementos de una colección no incide en el resultado Según  Los errores que cometen los niños cuando cuentan no invalidan la hipótesis de los principios. Tales dificultades se deben a competencias procedural y práctica (relativas a la planificación del desarrollo de la acción y a la comprensión de las necesidades de la tarea) que se desarrollan con posterioridad a la competencia conceptual de la cual dependen los principios básicos. El DESARROLLO DEL CONTEO IMPLICA EL PERFECCIONAMIENTO DE PROCEDIMIENTOS, no el desarrollo de nuevos conceptos. A)

1) 2) 3) 4) 5)



Esta posición no explica cómo se construyen estos principios. Baroody (1991): actualmente, no se cuentan con evidencias que prueben que los principios se adquieren antes que los procedimientos

LOS PROCEDIMIENTOS PRIMERO”: quienes sostienen que los niños aprenden primero los procedimientos y, luego, construyen los aspectos conceptuales vinculados con ellos. Aprenderían a contar de memoria, por imitación y posteriormente, induciría los principios como resultado de estos procedimientos de conteo. Además de los principios de Gelman, Briar y Siegler mencionan otras características comunes pero no esenciales del conteo: DIRECCIÓN STANDARD: el conteo comienza desde uno de los extremos del grupo de objetos ADYACENCIA: se cuentan sucesivamente los objetos contiguos SEÑALAMIENTO: los objetos que son contados se señalan sólo una vez B)

  

C) PUNTO DE VISTA “INTERACCIONISTA”: los procedimientos y la comprensión de los principios se encuentran íntimamente vinculados y se alimentan recíprocamente a medida que avanzan. Sophian (1991) El niño no atribuye de entrada un significado cardinal a su conteo. Sin embargo, utiliza los números con un significado cardinal en contextos que no involucran el conteo (por ejemplo, la edad, los precios, etc.). Progresivamente debe aprender que el nuevo procedimiento de conteo que ha aprendido corresponde a “otras cosas” que él ya sabe sobre los números. Deberá descubrir que contar es uno de los usos del número y que tiene una significación cardinal importante . El niño aprendería la regla de “la última palabra del conteo constituye la respuesta a la pregunta ¿”cuántos?”” como un procedimiento antes de llegar a comprender sus implicancias conceptuales USOS del CONTEO  Crear colecciones equivalentes  Comparar colecciones  Inferir el cardinal de una colección a partir del cardinal de otra colección equivalente 

El desempeño de un mismo chico no será idéntico en diferentes situaciones de conteo, puesto que no todas encierran el mismo nivel de complejidad. Desde la enseñanza proponer SITUACIONES QUE OFREZCAN ALGUNA DIFICULTAD a su actividad de conteo VARIADAS

PROGRESOS EN EL DOMINIO del CONTEO: PRIMERA HERRAMIENTA para RESOLVER PROBLEMAS SENCILLOS QUE INVOLUCRAN SUMAS Y RESTAS o RECONTANDO todos los objetos o SOBRECONTEO: cuando tengan que agregar un número mayor a otro advertirán que es más económico agregar 2 a 8 que 8 a 2. Involucra el uso de la PROPIEDAD CONMUTATIVA o DESCONTEO: para resolver problemas que involucran sustracciones o CONTEO DE A MÁS DE UN ELEMENTO 

El CONTEO involucra objetos o trazas de los objetos con los cuales los niños imitan de algún modo las transformaciones involucradas en la situación. El conteo permite de algún modo recorrer cada uno de los elementos involucrados en la situación.

PROCEDIMIENTOS BASADOS EN EL CÁLCULO: se basan en las TRANSFORMACIONES que pueden operarse SOBRE los números, sobre las relaciones directas entre las cantidades a partir de SUS REPRESENTACIONES NUMÉRICAS sin pasar por la construcción física de una o varias colecciones o recuperar RESULTADOS que tenga DISPONIBLES en su memoria: REPERTORIO ADITIVO o RELACIONES ENTRE LOS NÚMEROS: “como 6+4=10, uno menos”; o “5+3=8, uno más, nueve” 

Cálculo y conteo NO se oponen. Es posible: - estrategias de cálculo para los números pequeños -estrategias basadas en el conteo con números más difíciles - recurrir al conteo para controlar una resolución

Relaciones entre el PROGRESO EN EL DOMINIO DEL RECITADO DE LA SERIE y del CONTEO CORDÓN: Los nombres de números no pueden diferenciarse LISTA INDIVISIBLE: -Los nombres de los números están diferenciados (SECUENCIA) - Los números se dicen en correspondencia biunívoca con objetos (SECUENCIA-CONTEO) - El conteo de objetos tiene un resultado cardinal (SECUENCIA-CONTEO-CARDINAL) CADENA DIVISIBLE: pueden comenzar la serie en otro número, no necesariamente desde el comienzo. Por SOBRECONTEO pueden resolver problemas sencillos de adición y sustracción. La significación de la serie y el conteo comienzan a fusionarse. (CARDINAL- SECUENCIA.CONTEO) CADENA NUMERABLE: Se fusionan las significaciones de la serie, el conteo y la cardinalidad. Los números también son objetos que se pueden contar en situaciones de adiciones y sustracciones. (SECUENCIA.CONTEO.CARDINAL) CADENA BIDIRECCIONAL: -Cada número se concibe como incluyendo a todos los anteriores. Es uno mayor que el anterior y uno menor que el siguiente, en el sentido CARDINAL y ORDINAL - Cada número puede concebirse como dan-do lugar a diferentes DESCOMPOSICIONES (SECUENCIA.CONTEO.CARDINAL)  El niño adquiere la serie numérica, como herramienta para contar. Progresivamente va perfeccionando su dominio sobre ella, adquiriendo mayor extensión y flexibilidad: -Hacerla funcionar en “BLOQUE”, - DETENERSE EN UN NÚMERO DETERMINADO, -“ENTRAR” EN CUALQUIER PUNTO de ella, recorrerla en forma ascendente y descendente - NÚMEROS se convierten en OBJETOS PASIBLES DE SER CONTADOS #3 CONSTRUIR una colección con CANTIDAD DETERMINADA:

-Tomar en cuenta los CONOCIMIENTOS NUMÉRICOS de los niños no sólo en el momento inicial sino a lo largo de todo el proceso:  Muchas situaciones de la VIDA EXTRAESCOLAR: al mismo tiempo q se apropia de los números deberá DESCUBRIR sus USOS: o Como MEMORIA o Posibilidad de ANTICIPAR RESULTADOS 

Si el DESAFÍO es q los niños otorguen SENTIDO será necesario enfrentarlos con DIFERENTES CLASES de SITUACIONES q puedan resolver a través de DIFERENTES PROCEDIMIENTOS desde los CONOCIMIENTOS Q DISPONEN y poder hacer EVOLUCIONAR dichos procedimientos y los conocimientos vinculados con ellos a través de situaciones q les planteen NUEVOS DESAFÍOS. o

o o



Problemas q ponen en juego DOS o MÁS COLECCIONES: -Requieren COMPARAR cuantitativamente dos o más colecciones -ARMAR UNA COLECCIÓN q tenga TANTOS ELEMENTOS COMO otra dada -COLECCIÓN q tenga el DOBLE (TRIPLE) de elementos q otra dada -COMPLETAR una colección para IGUALARLA con otra colección dada. Problemas q implican una REFERENCIA ORDINAL Problemas q involucran una ANTICIPACIÓN DE RESULTADOS -Problemas relativos a DESPLAZAMIENTO sobre una PISTA -Q involucran la REUNIÓN de dos o más COLECCIONES -Q involucran la DIVISIÓN de una COLECCIÓN en 2 subcolecciones DISJUNTAS -Q involucran la PARTICIÓN de una colección en subcolecciones EQUIVALENTES

Para resolver los diferentes problemas podrán poner en juego diversos procedimientos: o PROCEDIMIENTOS NUMÉRICOS: diferentes maneras de cuantificar una colección. El TAMAÑO es una VARIABLE DIDÁCTICA. -SUBITIZACIÓN: colecciones muy pequeñas -CORRESPONDENCIA TÉRMINO A TÉRMINO: colecciones mayores. Si estuvieran separadas las colecciones los NÚMEROS permiten recordar cuántos elementos hay -TAMAÑO RELATIVO de los números: relación entre “contar todo” y “contar desde un número” 

1° año EGB: desde el dominio progresivo del CONTEO se avanzará hacia la utilización de estrategias basadas en el CÁLCULO 

#2 FICHA de CÁTEDRA N°2

Nuestro sistema de numeración escrita, POSICIONAL Y DE BASE 10, constituye una creación socio-histórica. Constituye un objeto cultural. Este sistema es sumamente económico para representar las cantidades y operar con ellas. Al mismo tiempo, es de suma complejidad. Su escritura esconde la información acerca de su organización: cuál es el valor correspondiente a cada posición. Es lo que vuelve a nuestros números tan económicos pero a su vez nada transparentes y, por lo tanto, complejos de comprender por quienes se acercan inicialmente a ellos. 

FICHA de CÁTEDRA N°3

Sistema de numeración egipcio Escritura correspondiente

Sistema chino

de

numeración

numérica

Nuestro sistema de numeración 30

Mayor o menor cantidad de caracteres diferentes requeridos en cada sistema ¿Utilizan agrupamientos? ¿Qué tipos de agrupamientos? ¿Es posicional? Operaciones que subyacen a la organización de sus símbolos

aditivo

Aditivo y multiplicativo

Diferentes pueblos descubrieron el principio de posición: los babilonios, los chinos, los mayas, los hindúes La aparición del cero ha sido impulsada por las necesidades de los sistemas posicionales. La potencialidad de esta invención para la realización de los cálculos fue descubierta en la India (Siglo V). Los árabes lo introdujeron en Europa (fines del siglo X). Las grandes ventajas de nuestro sistema de numeración moderna provienen de la combinación del principio de posición y el cero. L a evolución de los sistemas de numeración obedece a la búsqueda de poder representar la mayor cantidad de números con la mayor economía de signos posibles



LOS NIÑOS, LOS MAESTROS Y LOS NÚMEROS

TIPOS de PROBLEMAS q puedan dar sentido a los procedimientos numéricos utilizados y a las designaciones orales o escritas utilizadas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Los números movilizados como MEMORIA de CANTIDAD Como MEMORIA de POSICIÓN Como RECURSO para ANTICIPAR ANTICIPAR el número de ELEMENTOS Q SE VA A OBTENER o que hay q AGREGAR a una de las colecciones PARA OBTENER OTRA. Establecer el número de elementos de UNA DE LAS DOS SUBCOLECCIONES Problemas de CANJE De PARTICIÓN de una colección en partes equivalentes o no.  OTROS TEXTOS

CUOTIDAD: comprensión de los niños q en las Pruebas Piagetianas pueden anticipar q ante una transformación ambos grupos tendrán el mismo número de objetos (si los contaran llegarían al mismo número) pero aun así, en uno de los grupos hay más o menos q en el otro. CONTEO, adquisición progresiva: 3 POSICIONES: A.

LOS PRINCIPIOS PRIMERO (GELMAN): los niños disponen muy precozmente de los principios básicos que orientan el conteo, y desarrollarán luego los procedimientos en base a ellos 1. CORRESPONDENCIA uno a uno 2. ORDEN ESTABLE 3. CARDINAL 4. ABSTRACCIÓN de DIFERENCIAS 5. IRRELEVANCIA del ORDEN 

B.

Según Baroody no se cuentan con evidencias q prueben q los principios se adquieren antes q los procedimientos

LOS PROCEDIMIENTOS PRIMERO (BRIARS y SIEGLER): Los niños aprenderían a contar de memoria, por imitación, sin que este conocimiento esté vinculado a una comprensión conceptual y, posteriormente, induciría los principios como resultado de estos procedimientos de conteo. Además de los principios de Gelman, otros no esenciales: dirección standard adyacencia señalamiento

C. Punto de vista INTERACCIONISTA (SOPHIAN): los procedimientos y la comprensión de los principios se encuentran íntimamente vinculados y se alimentan recíprocamente a medida que avanzan 

1° año EGB: desde el dominio del CONTEO se avanzará hacia la utilización de estrategias basadas en el CÁLCULO