Respuesta En Frecuencia

Ejercicio 1 Para hacer el diagrama de Bode, primero se debe trabajar con la función de transferencia hasta obtener la siguiente expresión 1 1 G (ωj ) = 0.04 × × (ωj × 0.2 + 1) (ωj × 0.00025 + 1) Luego aplicando modulo y 20*logaritmo a ambos lados de la igualdad para trabajar en decibeles, queda la suma de tres términos, luego se numeran como se indica a continuación. G (ωj ) decibeles = 20 × log( 0.04 ) + 20 × log (ωj × 0.2 + 1) −1 + 20 × log (ωj × 0.00025 + 1) −1 (1) (2) (3) Luego teniendo en cuenta la aproximación de las asíntotas para valores de w muy alejados de cada valor que acompaña al factor wj, sumando los tres términos, usando el programa Excel se obtuvieron las siguientes graficas de bode. Para realizar el diagrama polar de nyquist aproximado se observo un grafico cartesiano de la amplitud en función del desfasaje, Los dos tipo de diagramas se muestran a continuación. Diagrama de bode Modulo de la función de transferencia (Db) en función de frecuencia de entrada

Angulo de fase vs frecuencia de entrada 0 1E-07

1E-06

0,00001 0,0001

0,001

0,01

0,1

-10

1

10

100

1000

10000

100000 100000 0

1E+07

1E+08

1E+09

-20 -30 -40 -50 -60 -70

Tita 1 Tita 2 Tita3 Tita result

-80 -90 -100 -110 -120 -130 -140 -150 -160 -170 -180

Diagrama de Nyquist

{En este lugar iría el gráfico polar a mano alzada de la amplitud en función del Angulo de defasaje, dio similar a un semicírculo de radio 0.02, falta escanearlo y agregarlo, pero decidí mandarlo igual para saber si el resto esta bien }

2) Usando los comandos ‘bode’ y ‘nyquist’ de Matlab, se pueden obtener los siguientes diagramas.

Salvando las diferencias en la escala se puede observar que los gráficos estimados en principio tienen buena aproximación a los que representa MATLAB.

3) y 4) Para aproximar una función escalón a una sumatoria de senos se puede las series de fourier, recordemos que no aproximan exactamente en todos los puntos de la función escalón, sino que “casi en todos lados”. Como se puede apreciar en el grafico 3.1 donde figuran varias aproximaciones a la función escalón según la cantidad de términos (contando los pares que resultan igual a cero)

Se puede ver como se va aproximando,a medida que aumenta la cantidad de términos, para el alcance de es trabajo practico se decidió usar k= 5 o sea que como solo quedan distinto de cero los términos impares la función elegida será de 3 términos (f entrada) . f (t ) entrada =

4 1 1 × ( sen(ω × t ) + × sen(3 × ω × t ) + × sen(5 × ω × t )) π 3 5

Debido a la propiedad distributiva de la función transformada de La place, Se puede ingresar con el valor de cada frecuencia al diagrama de bode y obtener el valor de desfasaje y de amplificación que sufrirá cada termino independientemente al ingresar al sistema ( Recordando que todos van a ser transformados por la misma función de transferencia ) . Luego Adicionando los tres términos trendemos una función aproximada a la de salida (f salida) f (t ) salida =

4 1 1 × (0.056 × sen(ω × t + −0.91) + × 0.0178 × sen(3 × ω × t − 1.178) + × 0.005 × sen(5 × ω × t − 1.439)) π 3 5

Graficando la función de entrada aprox (en rojo) y la funcion de salida aprox (en azul), se puede observar el desfasaje, y la disminución de amplitud que sufre la onda de entrada aproximada.