Respuesta En Frecuencia De Los Circuitos Amplificadores

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE LOS CIRCUITOS AMPLIFICADORES. 4.1.-- Elementos que varían con la frecuencia en los sistemas amplificadores Todos los elementos pasivos varían sus características electricas en mayor o menor grado con la frecuencia. Las resistencias son los únicos elementos cuyo comportamiento (impedancia) no tendría que varíar con la frecuencia, pero la realidad no es esa, y dependiendo de la tecnología empleada e su construcción así son mayores o menores los efectos parásitos que se muestran en su circuito equivalente.

figura nº 4.1 En este capítulo consideraremos que las resistencias no varían con la frecuencia El resto de los elementos pasivos que normalmente nos encontramos en los sistemas amplificadores (bobinas, condensadores, diodos y transistores), tienen un comportamiento variable con la frecuencia. 4.1.1.-El Condensador Presenta una impedancia que viene dada por la ecuación Zc(ω)=1/jωC Siendo C la capacidad del condensador. Analizando este comportamiento en el dominio de la frecuencia vemos que, normalmente y dependiendo del valor de la capacidad, pueden ser considerados como circuitos abiertos, en caso de frecuencias bajas y cortocircuitos en frecuencias altas.

figura nº 4.2 Este comportamiento, unas veces nos resultará muy útil, pero otras veces nos resultará un gran problema. 4.1.1.1.-Los condensadores de acoplo y desacoplo Son condensadores de valor muy elevado (decenas o centenas de microfaradios), que a frecuencias relativamente bajas se pueden considerar como cortocircuitos. Esta propiedad nos es muy interesante para la determinación del punto de polarización de los transistores que

componen nuestros sistemas de amplificación. Los condensadores de acoplo, nos permiten incluir elementos que influyen en los valores medios de las corrientes que pasan por los transistores, pero no intervienen en los valores de corriente alterna que pasan por los mismos transistores.

figura nº 4.3 Estos condensadores van a influir en nuestro circuito de pequeña señal, cuando la frecuencia de esta sea lo suficientemente baja. La impedancia de estos condensadores será entonces alta y se quedarán con parte de la señal que va al transistor. Este efecto se ve en la figura nº 4.4

figura nº 4.4 Un condensador como el indicado en la figura nº 4.4 se carga según indica la ecuación diferencial dV 1 1 C /dt + /C(Rg +rπ) VC = ( /C(Rg +rπ) )Vg En la figura nº 4.5 se muestra la forma de la tensión en el condensador, según la rapidez con la que varía la señal del generador.

La carga y descarga del condensador se hace a través de las resistencias Rg y rπ. Cuanto mayor el la resistencia, más tiempo tarda el condensador en perder o ganar carga. Se denomina τ C= CRTHC a la constante de tiempo que define la carga o descarga del condensador. Es el tiempo que tarda en asimilar el 63% de la carga en la variación de la tensión el generador. RTHC es la resistencia Thévenin equivalente en bornas del condensador C. En nuestro caso RTHC = Rg + rπ Cuando la constante de tiempo τ C es muy pequeño comparado con el tiempo de variación del generador, la tensión VC es la que se representa en la figura nº 4.5 (a), que equivale al condensador comportándose como un circuito abierto. Según va Aumentando τ C tendremos las tensiones VC que se indican en la figuras (b),(c) y (d). Cuando la constantede tiempo es muy alta figura nº 4.5. (e) la tensión VC llega a ser muy pequeña. figura nº 4.5 Si Vg es una tensión sinusoidal podremos expresar las ecuaciones en el dominio de la frecuencia. Llamaremos RTHC = (Rg+ rπ) y τ C = C·RTHC La tensión Vπ vendrá dada por Vg· jωCrπ Vπ= ------------(1+jωτC ) Pueden darse dos casos 1. Que ωτC<<1. En este caso la tensión viene dada por Vπ=Vg· jωCrπ

2. y la ganancia |AY| = gmωCrπ 3. Que ωτC>>1. En este caso la tensión viene dada por Vg· C rπ Vπ= ---------

τC

4. y la ganacia por gm· C rπ gm· rπ AYo= --------- = --------RTHC τC Se ve cláramente que la ganancia se duplica cuando se duplica la frecuencia, hasta que alcanza el valor de las frecuencias medias. En ese momento permanece constante. Como la ganancia suele ser un número muy grande, definiremos la unidad "decibelio" (dB) como AY (dB) = 20 log | AY | en estas unidades, la expresión de la ganancia queda AY (dB) = 20 log [AYo(RTHC / rπ )] + 20 log ωτC Si duplicamos el valor de la frecuencia, decimos que incrementamos una "octava". Si multiplicamos por 10 el valor de la frecuencia, decimos que incrementamos una "década". La ganancia aumenta 6 dB por octaba, o 20 dB por década. Sin embargo, el efecto capacitivo en los transistores, va a originar grandes pérdidas de ganancia, para valores altos de frecuencia, como veremos al estudiar el modelo de un transistor con la frecuencia.

figura nº 4.6 Supongamos que Vg varía lo suficientemente lento como para que podamos considerarlo como un generador de contínua. El condensador C π se irá cargando hasta que la tensión entre sus bornas sea la tensión del divisor resistivo formado por Rg y rπ. Si una vez totalmente cargado la tensión Vg varía, el condensador modifica su carga hasta volver a tomar la tensión del divisor resistivo.

Un condensador como el indicado en la figura nº 4.6 se carga según indica la ecuación diferencial dV 1 1 π /dt + /Cπ(Rg//rπ) Vπ = ( /CπRg )Vg La carga y descarga del condensador se hace a través de las resistencias Rg y rπ. Cuanto mayor el la resistencia, más tiempo tarda el condensador en perder o ganar carga. RTHC es la resistencia Thévenin equivalente en bornas del condensador C π. En nuestro caso Rg·rπ RTHC= ------Rg + r π Cuando la constante de tiempo τ C es muy pequeña comparado con el tiempo de variación del generador, la tensión Vπ es la que se representa en la figura nº 4.5 (a), que equivale al condensador comportándose como un circuito abierto. Al contrario de lo que ocurre en los condensadores de acolpo, según va aumentando τ C tendremos las tensiones Vπ que se indican en la figura nº 4.5 (b),(c) y (d). Cuando la constantede tiempo es muy alto figura nº 4.5. (e) la tensión Vπ llega a ser muy pequeña. Si Vg es una tensión sinusoidal podremos expresar las ecuaciones en el dominio de la frecuencia. Para simplificar las expresiones denominemos Rg·rπ RTHC= ------Rg + r π La tensión en bornas del condensador RTHC · Vg Vπ= --------------Rg (1+jωτC ) y la ganancia de transconductancia será RTHC · gm AYo gm·Vπ AY = ----------- = --------------- = -----------Vg Rg (1+jωτC ) (1+jωτC ) Vamos a analizar dos casos 1. Que ωτC <<1. En este caso la ganancia no depende de la frecuencia AY = AYo 2. Que ωτC >>1. En este caso la ganancia disminuirá con la frecuencia. Para ωτC >>1, AY (dB) = 20 log AYo - 20 log ωτC La ganancia disminuye 6 dB por octaba, o 20 dB por década.

4.2.-Circuito equivalente de un transistor a frecuencias altas. A la hora de su elección en el diseño, el transistor, como elemento amplificador, es el elemento más crítico en su comportamiento con la frecuencia. Vamos a "modelizar" el transistor cuando aumenta la frecuencia, y así obtener las expresiones que nos permitirán calcular los nuevos valores de ganancia. 4.2.1.-Circuito equivalente de un transistor bipolar. En un transistor bipolar, son dos las tensiones que pueden variar. La tensión Base-Emisor. Es la que genera la corriente de difusión de electrones, desde el emisor a la base en el caso de un NPN, o desde la base al emisor para el caso de PNP. Una variación de esta tensión generará dos variaciones de carga distintas. 1. Por un lado la variación de la carga en la zona de deplexión de la unión EmisorColector. Este efecto equivale al de una capacidad de valor Cjeo Cje= ----------------(1 - VBE/Vje)1/3 2. Siendo Cjeo el valor de la capacidad de la zona de deplexión BaseEmisor para VBE = 0V. Vje es la tensión de la zona de deplexión Base-Emisor, sin polarización. Esta capacidad normalmente es un dato suministrado en las especificaciones técnicas del fabricante del transistor. 3. Por otro lado, la base se ve "inundada" de portadores minoritarios. El valor final de la carga en la base será distinta según el valor de VBE. Este efecto equivale a una capacidad de valor IC Cb=τT·gm =τT · ----VT 4. Siendo τT el "tiempo de tránsito", el tiempo medio que tardan los electrones en cruzar la Base. Este dato viene dado por el fabricante en las hojas técnicas del modelo del transistor. La capacidad total de la base será la suma de estas dos capacidades Cπ = Cb + Cje La tensión Colector-Base. Es la encargada de generar la corriente de arrastre desde la base al colector. Al aumentar la tensión, se produce un vaciamiento de carga y

por lo tanto una disminución de la capacidad de la unión Base_Colector. Esta capacidad vendrá dada por Cµo Cµ= ----------------(1 + VCB/Vjc)1/3 Siendo Cµo el valor de la capacidad de la zona de deplexión Colector-Base para VCB = 0V. Vjc es la tensión de la zona de deplexión Colector-Base, sin polarización. Esta capacidad normalmente es un dato suministrado en las especificaciones técnicas del fabricante del transistor. 4.2.1.1.-Amplificador en emisor común El circuito equivalente de un transistor bipolar con la frecuencia es el indicado en la figura nº 4.7

figura nº 4.7 4.2.1.1.1.-Ganancia de corriente del transistor con la salida en cortocircuito. Resulta muy útil estudiar el comportamiento del transistor en pequeña señal, cuando cortocircuitamos la salida. El esquema está representado en la figura nº 4.8

figura nº 4.8 La ecuación del nodo de entrada es Ig= Vπ[(rπ)-1 + jω(Cπ + Cµ)] La corriente que pasa por el cortocircuitro es Io= (gm - jωCµ)Vπ (gm - jωCµ)rπ gmrπ(1 - jωCµ/gm) I AI = ( o / Ig) = ------------------------ = -----------------------[1 + jω(Cπ + Cµ)rπ] [1 + jω(Cπ + Cµ)rπ] Si llamamos βo = gmrπ ω z = gm / C µ ωβ = 1/(Cπ + Cµ)rπ Tendremos βo (1 - jω/ωz ) AI = --------------[1 + jω/ωβ] como ωz >> ωβ podemos aproximar la ganancia a

βo AI = ------------[1 + jω/ωβ] 4.2.1.1.2.-Pulsación de ganancia unidad Es aquella pulsación a la que la ganancia vale 1. En nuestro caso cuando ωT = βo ωβ gm gm ----------------------------ωT=2πfT = = (Cπ + Cµ)] (Cb + Cje + Cµ)] La pulsación de ganancia unidad depende del punto de polarización, es decir de IC. Para corrientes de colector muy pequeñas, Cb << Cje + Cµ, mientras que para corrientes grandes Cb >> Cje + Cµ, y como Cb=τT(IC/VT) y gm =(IC/VT), ωT se aproxima a 1/τT asintóticamente. Para calcular las pulsaciones de corte nos ayudaremos del siguiente teorema 4.2.1.1.3.-Teorema de Miller En un sistema si conocemos la tensión en los nodos de una rama, podemos sustituir dicha rama en otras dos ramas que comparten el nodo de referencia del sistema. La transformación se muestra en el circuito de la figura nº 9

figura nº 4.9 Si llamamos AV = VB/VA, se deduce facilmente que VA-VB=I1·Z VA= I1·Z1 VB= - I1·Z2 De estas ecuaciones deducimos que -Z Z1= ---------(AV - 1) y que ZAV Z2= ---------(AV - 1) Si la ganancia es muy alta, Z1 tiende a cero y Z2 tiende a Z.

Por lo tanto, y siempre que la ganancia sea alta (>10), tendremos el circuito equivalente de la figura nº 10

figura nº 4.10 Las constantes de tiempo de cada condensador serán: 1. τC1 = rπ[Cπ + Cµ(1+gmrπ)]. Por lo que ω1=(2πrπ[Cπ + Cµ(1+gmrπ)])-1 2. τC2 = roCπ . Por lo que ω2=(2πroCπ )-1 La frecuencia de corte superior resultante es superior al resultado que obtendríamos por el cálculo de los τC de cada condensadore. Hacer los problemas propuestos 4.2.1.2.-Amplificador en base común El circuito equivalente en pequeña señal es el mostrado en la figura nº 4.11

figura nº 4.11 Aplicando movilidad de generadores se obtiene el esquema de la figura nº 12

figura nº 4.12 Aplicando el teorema de Miller podemos poner como buena aproximación, el circuito equivalente como el indicado en la figura nº 13

figura nº 4.13 Las constantes de tiempo de cada condensador serán: 1. τC1 = [rπ // gm-1// (rο/Av)]Cπ Por lo que ω1=(2π[rπ // gm-1// (rο/Av)]Cπ)-1 2. τC2 = (ro//RC)Cµ = RCCµ. Por lo que ω2=[2π(ro//RC)Cµ ]-1 La frecuencia de corte superior quedará fijada por aquel tiempo que sea mayor. 4.2.1.3.-Amplificador en colector común El esquema equivalente es el mostrado en la figura nº 14.

figura nº 4.14 Este esquema puede simplificarse al esquema que se representa en la figura nº 15.

figura nº 4.15 A frecuencias altas, los circuitos a considerar para el cálculo de las τ son: Para la τCµ:

figura nº 4.16 Despreciando ro por estar en paralelo con RE, tendremos que la resistencia equivalente que ve el condensador Cµ hacia el sistema es RTHCµ = Rg // [rπ + (1+gmrπ)RE ] τCµ =CµRTHCµ = Cµ{Rg // [rπ + (1+gmrπ)RE ]} Para la τCπ:

figura nº 4.17 Despreciando ro por estar en paralelo con RE, tendremos que la resistencia equivalente que ve el condensador Cπ hacia el sistema es RTHCπ = rπ // [(Rg + RE )/(1+gmRE)] τCπ = CπRTHCπ = Cπ {rπ // [(Rg + RE )/(1+gmRE)]} 4.3.-Respuesta amplitud/frecuencia de un sistema amplificador Un sistema amplificador tiene una respuesta como la mostrada en la figura nº 18.

figura nº 4.18 4.3.1.-Cálculo de frecuencia de corte a frecuencias bajas La ganancia es expresada como: Amedia -----------------------A (jw)= (1+ωC1/jw)(1+ωC2/jw) La ganacia tiende a cero cuando la frecuencia tiende a cero. La frecuencia de corte se fija cuando |(1+ωC1/jw)(1+ωC2/jw)|=21/2

Si despreciamos el término ωC1ωC2 / w2 <<1, tendremos |1+(ωC1+ωC1) /jw|=21/2. Por lo que la frecuencia de corte será la suma de las frecuencias de carga y descarga de los condensadores. Es decir: 2πfC=(τC1)-1 + (τC2)-1 Generalizando para N condensadores de acoplo o desacoplo, podemos encontrar la frecuencia de corte, a frecuencias bajas y de una forma aproximada. con la expresión 1 N 2πfC=

Σ

----

k=1 τCk Cada vez que introducimos un condensador más, desplazamos la frecuencia de corte a un valor mayor. 4.3.2.-Cálculo de las frecuencias de corte a frecuencias altas La ganancia a frecuencias altas tiene una expresión de la forma Abaja(1+jw/ωCero) A (jw)= -----------------------(1+jw/ωC1)(1+jw/ωC2) La ganancia tiende a cero cuando la frecuencia tiende a infinito. La frecuencia de corte se fija cuando |(1+jw/ωC1)(1+jw/ωC2)|=21/2 ya que ωCero >>ωC1, ωC2 Si despreciamos el término w 2/ ωC1ωC2<<1, tendremos |1+jw [(ωC1)-1+(ωC1)-1]|=21/2. Por lo que la frecuencia de corte será la suma de las frecuencias de carga y descarga de los condensadores. Es decir: 2πfC = (τC1 + τC2)-1 Generalizando para N condensadores de acoplo o desacoplo, podemos encontrar la frecuencia de corte, a frecuencias bajas y de una forma aproximada. con la expresión 2πfC= (ΣNk=1τCk)-1 Cada vez que introducimos un condensador más, desplazamos la frecuencia de corte a un valor menor. 4.3.3.-Diagramas de Bode Es la representación gráfica de la ganancia del sistema de amplificación en función de la frecuencia. Definimos tres partes 1. La respuesta del amplificador a frecuencias bajas. Se fija la frecuencia de corte inferior con los condensadores de desacoplo. Normalmente una frecuencia será mucho mayor que las otras. Las pendientes de las rectas van siendo 20 dB mayores según se van añadiendo las frecuencias de corte de los distintos condensadores.

2. La respuesta del amplificador a frecuencias medias. Es constante 3. La respuesta del amplificador a frecuencias altas. La frecuencia de corte se fija con las capacidades de los transistores. Las pendientes de las rectas van siendo 20 dB mayores según se van añadiendo las frecuencias de corte de los distintos condensadores. en la figura se muestra una hoja para pintar el diagrama de la ganancia.

figura nº 4.19 4.3.3.1.-Diagrama de Bode de amplitud de la ganancia. Trazado asintótico de las funciones de transferencia de un sistema amplificador. Hemos visto que la respuesta de un amplificador a bajas frecuencias es de la forma Amedia A (jw)= -----------------------(1+ωC1/jw)(1+ωC2/jw) Si calculamos el valor de A(jw) en decibelios A (dB)= 20 log |Amedia| - 20 log |(1+ωC1/jw)| - 20 log |(1+ωC2/jw)| Cuando ωC/w <<1 (es decir w>>ωC, -frecuencias medias-), 20 log 1= 0, mientras que cuando ωC/w >>1 (es decir w<<ωC, -la frecuencia tendiendo a cero-) 20 log (ωC/w) va creciendo con una pendiente de 20 dB década. Por lo tanto A (dB) disminuye según baja la frecuencia, a razón de 20 dB década.

Para una w> que la pulsación de corte mayor, podemos aproximar la ganancia al valor de la ganancia a frecuencias medias. Si exite una frecuencia de corte dominante (mucho mayor que las otras), sabremos que la ganancia, realmente, está a 3 dB del balor que marca el diagrama de Bode. Si no existe una frecuencia dominante, la frecuencia de corte está dada por la expresión 1 N 2πfC=

Σ

----

k=1 τCk y el diagrama de Bode presentará la ganancia a frecuencias medias hasta esta frecuencia. para w < que la frecuencia de corte más baja caerá a N·20 dB siendo N el número de frecuencias de corte (nº de condensadores de acoplo o desacoplo). Entre estos dos valores, podremos aproximar el diagrama por una recta. Para frecuencias alta el tratamiento es similar al de las frecuencias bajas. La expresión de la ganancia puede aproximarse a Abaja -----------------------A (jw)= (1+jw/ωC1)(1+jw/ωC2) El diagrama de Bode presentará la ganancia a frecuencias medias hasta la recuencia de corte superior. A partir de la última frecuencia el diagrama caerá con una pendiente de N·20 dB Siendo N el número de frecuencias de corte calculado (nº de capacidades que influyen a frecuencia alta). Entre estos dos valores podemos aproximar por una recta. 4.3.3.2.-Diagrama de Bode de fase de la ganancia. Para la fase podemos aproximar la variacón de la fase como una recta. En baja frecuencia, la fase para cada frecuencia de corte es actg [−ωC/w] = - actg [ωC/w] cuando w tiende a cero el -angulo baja 90º pasando por 45º a la frecuencia de corte. a figura resultante es una máscara de valores máximos de la ganancia en el sistema amplificador. Podemos aproximar en una recta entre w/10 y 10w, como se indica en el ejemplo de la figura nº 20

figura nº 4.20 Este procedimiento lo podemos generalizar para N frecuencias de corte. En la figura nº 21 se muestra el ejemplo de (w/10) y (w/50) como actg (w/10) - actg (w/50)

figura nº 4.21

4.3.3.3.-Los ceros en la función de transferencia (Ganancia) Para analizar cuales son las pulsaciones o frecuencias a las que la ganancia del sistema amplificador presenta ceros, es decir, que no hay tensión de salida, vamos a considerar que sólo tendremos condensadores. Estos condensadores estarán asociados a una resistencia, bien en serie, formando una Zs, bien en paralelo, formando una Zp. En la figura nº 22 se muestran estas asociaciones.

figura nº 4.22 Las impedancias equivalentes son Zs= (1+ sCsRs)/sCs Zp= Rp/(1+ sCpRp) Para el sistema estas impedancias se comportan como se indica en la figura nº 23.

figura nº 4.23 La Zs en paralelo asocia a la función de transferencia su cero, mientras que la Zp asocia su polo, como cero de transmisión, en una asociación en serie.

figura nº 4.24 4.4.-Referencias Circuitos Microelectrónicos Análisis y Diseño (Muhammad H. Rashid) Capítulo 14 páginas 723-756

Circuitos Electrónicos. Análisis, Simulación y Diseño (Norbert R.Malik) Capítulo 8 páginas 565 -629. Microelectrónica. Circuitos y Dispositivos (Mark N. Horenstein) Capítulo 9 páginas 565-644. Microelectrónica (Jacob Millman & Aivin Grabel) Capítulo 11 páginas 447 -494