Relatividad De Albert Einteins.docx

Relatividad general Ir a la navegaciónIr a la búsqueda Para una presentación accesible y menos técnica, véase Introducción a la relatividad general.

Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el principio de acción a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido nos afectarían inmediatamente, más tarde nos llegarían las de origen electromagnético, que se transmiten a la velocidad de la luz.

La teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916. El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado. La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió también reformular el campo de la cosmología.

Índice   

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1Historia 2Antecedentes 3Principios generales o 3.1Principio de covariancia o 3.2El principio de equivalencia o 3.3La curvatura del espacio-tiempo o 3.4Formulación matemática y consideraciones generales 4Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general

o o o o o





 

   

4.1La derivada covariante 4.2Los principios de general covariancia y de acoplamiento mínimo 4.3El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo 4.4El significado físico del tensor de Ricci 4.5Las ecuaciones de Universo de Einstein  4.5.1Aplicación a fluido perfecto  4.5.2Aplicación a fluido electromagnético o 4.6El tensor de Weyl o 4.7La constante cosmológica o 4.8Resumen 5Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein o 5.1No linealidad o 5.2Soluciones para coordenadas esféricas: Campo exterior o 5.3Soluciones para coordenadas esféricas: Equilibrio estelar o 5.4Soluciones para coordenadas esféricas: Colapso gravitatorio o 5.5Aproximaciones en coordenadas armónicas o 5.6Soluciones relacionadas con los modelos de Universo 6Predicciones de la relatividad general o 6.1Efectos gravitacionales o 6.2Efectos rotatorios o 6.3Otros efectos o 6.4Comprobaciones 7Aplicaciones prácticas 8Relación con otras teorías físicas o 8.1Inercia o 8.2Gravitación o 8.3Electromagnetismo o 8.4Conservación de energía-momentum 9Transición de la relatividad especial a la relatividad general 10Véase también 11Referencias o 11.1Bibliografía 12Enlaces externos

Historia[editar] Poco después de la formulación de la teoría de la relatividad especial en 1905, Albert Einstein comenzó a elucubrar cómo describir los fenómenos gravitatorios con ayuda de la nueva mecánica. En 1907 se embarcó en la búsqueda de una nueva teoría relativista de la gravedad que duraría ocho años. Después de numerosos desvíos y falsos comienzos, su trabajo culminó en noviembre de 1915 con la presentación a la Academia Prusiana de las Ciencias de su artículo, que contenía las que hoy son conocidas como "Ecuaciones de Campo de Einstein". Estas ecuaciones forman el núcleo de la teoría y especifican cómo la densidad local de materia y energía determina la geometría del espacio-tiempo. Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales y muy difíciles de resolver. Einstein utilizó los métodos de aproximación en la elaboración de las predicciones iniciales de la teoría. Pero ya en 1916, el astrofísico Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta no trivial de las Ecuaciones de Campo de Einstein, la llamada Métrica de Schwarzschild. Esta solución sentó las bases para la descripción de las etapas finales de un colapso gravitacional, y los objetos que hoy conocemos como agujeros negros. En el mismo año, se iniciaron los primeros pasos hacia la generalización de la solución de Schwarzschild a los objetos

con carga eléctrica, obteniéndose así la solución de Reissner-Nordström, ahora asociada con la carga eléctrica de los agujeros negros. En 1917, Einstein aplicó su teoría al universo en su conjunto, iniciando el campo de la cosmología relativista. En línea con el pensamiento contemporáneo, en el que se suponía que el universo era estático, agregó a sus ecuaciones una constante cosmológica para reproducir esa "observación". En 1929, sin embargo, el trabajo de Hubble y otros demostraron que nuestro universo se está expandiendo. Esto es fácilmente descrito por las soluciones encontradas por Friedmann en 1922 para la expansión cosmológica, que no requieren de una constante cosmológica. Lemaître utilizó estas soluciones para formular la primera versión de los modelos del Big Bang, en la que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior extremadamente caliente y denso. Einstein declaró más tarde que agregar esa constante cosmológica a sus ecuaciones fue el mayor error de su vida. Durante ese período, la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre las teorías físicas. Fue claramente superior a la gravedad newtoniana, siendo consistente con la relatividad especial y contestaba varios efectos no explicados por la teoría newtoniana. El mismo Einstein había demostrado en 1915 cómo su teoría lograba explicar el avance del perihelio anómalo del planeta Mercuriosin ningún parámetro arbitrario. Del mismo modo, en una expedición de 1919 liderada por Eddington confirmaron la predicción de la relatividad general para la desviación de la luz estelar por el Sol durante el eclipse total de Sol del 29 de mayo de 1919, haciendo famoso a Einstein instantáneamente. Sin embargo, esta teoría ha entrado en la corriente de la física teórica y la astrofísica desarrolladas aproximadamente entre 1960 y 1975, ahora conocido como la edad de oro de la relatividad general. Los físicos empezaron a comprender el concepto de agujero negro, y a identificar la manifestación de objetos astrofísicos como los cuásares. Cada vez más precisas, las pruebas del sistema solar confirmaron el poder predictivo de la teoría, y la cosmología relativista, también se volvió susceptible a encaminar pruebas observacionales.

Antecedentes[editar] Los éxitos explicativos de la teoría de la relatividad especial condujeron a la aceptación de la teoría prácticamente por la totalidad de los físicos. Eso llevó a que antes de la formulación de la relatividad general existieran dos teorías físicas incompatibles: 



La teoría especial de la relatividad, covariante en el sentido de Lorentz, que integraba adecuadamente el electromagnetismo, y que descarta explícitamente las acciones instantáneas a distancia. La teoría de la gravitación de Newton, explícitamente no-covariante, que explicaba de manera adecuada la gravedad mediante acciones instantáneas a distancia (concepto de fuerza a distancia).

La necesidad de buscar una teoría que integrase, como casos límites particulares, las dos anteriores requería la búsqueda de una teoría de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos por Einstein. Además de incluir la gravitación en una teoría de formulación covariante, hubo otra razón adicional. Einstein había concebido la teoría especial de la relatividad como una teoría aplicable sólo a sistemas de referencia inerciales, aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general. La insatisfacción de Einstein con su creencia de que la teoría era aplicable sólo a sistemas inerciales le llevó a buscar una teoría que proporcionara descripciones físicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general. Esta búsqueda era necesaria, ya que según la relatividad especial ninguna información puede viajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relación de causalidad entre dos eventos unidos por un intervalo espacialoide (space-like). Sin embargo, uno de los pilares

fundamentales de la gravedad newtoniana, el principio de acción a distancia, supone que las alteraciones producidas en el campo gravitatorio se transmiten instantáneamente a través del espacio. La contradicción entre ambas teorías es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevaría implícita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de su cono de luz. Einstein resolvió este problema interpretando los fenómenos gravitatorios como simples alteraciones de la curvatura del espacio-tiempo producidas por la presencia de masas. De ello se deduce que el campo gravitatorio, al igual que el campo electromagnético, tiene una entidad física independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas gravitacionales. La presencia de masa, energía o momentum en una determinada región de la variedad tetradimensional, provoca la alteración de los coeficientes de la métrica, en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes. En esta visión, la gravitación sólo sería una pseudo-fuerza (equivalente a la fuerza de Coriolis, o a la fuerza centrífuga) efecto de haber escogido un sistema de referencia no-inercial.

Principios generales[editar] Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes:  



El principio general de covariancia: las leyes de la Física deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas. El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio plano de Minkowski) se aplican localmente para todos los observadores inerciales. La curvatura del espacio-tiempo es lo que observamos como un campo gravitatorio, en presencia de materia la geometría del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partícula en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitatorio sigue una trayectoria geodésica.

Principio de covariancia[editar] Artículo principal: Principio de covariancia

El principio de covariancia es la generalización de la teoría de la relatividad especial, donde se busca que las leyes físicas tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia. Esto último equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles, y desde el punto de vista físico equivalentes. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las ecuaciones tendrán la misma forma matemática y contendrán los mismos términos. Ésta fue la principal motivación de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general. El principio de covariancia sugería que las leyes debían escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes podían proporcionar la "invariancia" de forma buscada, satisfaciéndose el principio físico de covariancia.

El principio de equivalencia[editar]

Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caída libre. Por ello no experimentan gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como de "gravedad cero"). Se dice por ello que son observadores inerciales.

Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad general lo constituye el principio de equivalencia, enunciado por Albert Einstein en el año 1912 y al que su autor calificó como «la idea más feliz de mi vida». Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales. Galileo distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad constante) y cuerpos de movimiento no inercial (sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton (que se remonta a los trabajos del dominico español Domingo de Soto), toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula:

donde a es la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser de origen mecánico, electromagnético o, cómo no, gravitatorio. Según los cálculos de Galileo, la aceleración gravitatoria de los cuerpos era constante y equivalía a 9,8 m/s2 sobre la superficie terrestre. La fuerza con la que un cuerpo era atraído hacia el centro de la Tierra se denominaba peso. Evidentemente, según los principios de la mecánica clásica un cuerpo en caída libre no es un sistema inercial, puesto que se mueve aceleradamente dentro del campo gravitatorio en que se encuentra. Sin embargo, la teoría de la relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espaciotiempo generada por la presencia de materia. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema (localmente) inercial, ya que no está sometido a ninguna fuerza (porque la gravedad tiene este carácter en relatividad general). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no experimenta ninguna aceleración y es incapaz de discernir si está atravesando o no, un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la relatividad especial. El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superficie de la tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleración de origen gravitatorio de unos 9,8 metros por segundo al cuadrado, es decir, "sienten su peso").

Ejemplos de sistemas inerciales según el Principio de Equivalencia

¿Es inercial? (Principio de Equivalencia)

Sistema

¿Es inercial? (Mecánica newtoniana)

Cuerpo en caída libre

Sí

No

Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre

No

Sí

Planeta orbitando alrededor del sol

Sí

No

Nave precipitándose hacia la tierra

Sí

No

Cohete despegando desde una base de lanzamiento

No

No

Aunque la mecánica clásica tiene en cuenta la aceleración medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (p.e. un astrónomo); el Principio de Equivalencia, contrariamente, toma en consideración la aceleración experimentada por un observador situado en el sistema en cuestión: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar. La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos últimos supuestos su aparición es debida a la elección de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la superficie de una esfera en rotación). En el caso de la gravedad, únicamente percibimos la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en reposo sobre la superficie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que sí lo es (un cuerpo en caída libre). Aunque el principio de equivalencia fue históricamente importante en el desarrollo de la teoría, no es un ingrediente necesario de una teoría de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teorías métricas de la gravedad, como la teoría relativista de la gravitación prescindan del principio de equivalencia. Además conviene señalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnéticos, por ejemplo una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitirá radiación, a diferencia de una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de

equivalencia a pesar de su equivalencia histórica no es parte esencial de una teoría relativista de la gravitación.

La curvatura del espacio-tiempo[editar] Artículo principal: Curvatura del espacio-tiempo

La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: la contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 "Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz".1 Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del tetramomentum la energía conservada del fotón permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es decir, se halla en caída libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida fórmula de la física cuántica, la energía de un fotón es igual a su frecuencia v multiplicada por la constante de Planck h: E = hν.

En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un fotón que escapa del campo gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra. En este caso, la onda electromagnética pierde progresivamente energía y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol.

Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: el astrónomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se corre hacia el azul.2 Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones:

donde

es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo

gravitatorio (en este caso un astrónomo), región donde se encuentra éste,

el potencial gravitatorio de la

la energía conservada del fotón,

frecuencia de emisión,

es la frecuencia percibida por el observador (y

corrida hacia el azul) y

la constante de Planck.

la

Ahora bien, en el párrafo anterior hemos demostrado que la energía conservada del fotón permanece invariante. Por tanto, ¿cómo es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medición de la energía obtenidos por el astrónomo ( ) y la energía conservada del fotón ( )? La única manera de resolver esta contradicción es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuación:

puede escribirse de este modo:

Es decir, la frecuencia es igual al número de ciclos que tienen lugar en un determinado período (generalmente, un segundo). Donde es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria de éste), mientras que es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre). De ahí se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matemáticas:

En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo de procesos dinámicos:

En la imagen, dos partículas en reposo relativo, en un espacio-tiempo llano.

Se representan en este esquema dos partículas que se acercan entre sí siguiendo un movimiento acelerado. La interpretación newtoniana supone que el espacio-tiempo es llano y que lo que provoca la curvatura de las líneas de universo es la fuerza de interacción gravitatoria entre ambas partículas. Por el contrario, la interpretación einsteiniana supone que las líneas de universo de estas partículas son geodésicas ("rectas"), y que es la propia curvatura del espacio tiempo lo que provoca su aproximación progresiva.

La contracción del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmada experimentalmente en el año 1959 por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagnéticos a una cierta altura y se procedió a emitir radiación desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones habían experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a través del campo gravitatorio terrestre. Hoy en día, el fenómeno de la contracción del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisión extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la señal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ahí que las

ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situación exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre. Desde un punto de vista teórico, el artículo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aún mayor. Pues, la contracción del tiempo conllevaba también, en virtud de los principios de la relatividad especial, la contracción del espacio. De ahí que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas. En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima a través de este espacio tiempo-curvado. Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein. Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.

Formulación matemática y consideraciones generales[editar] Artículo principal: Introducción matemática a la relatividad general

No te preocupes por tus problemas con las matemáticas; te aseguro que los míos son mucho mayores. A. Einstein, en una carta a una niña de nueve años.

Matemáticamente, Einstein conjeturó que la geometría del universo deja de ser euclidiana por la presencia de masas. Einstein modelizó que el universo era un tipo de espacio-tiempo curvo mediante una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía-momento en dicho punto. Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura "le dice a la materia como moverse", y de forma recíproca la "materia le dice al espacio como curvarse". En términos más precisos las trayectorias de las partículas se ven afectadas por la curvatura, y la presencia de muchas partículas en una región altera notoriamente la curvatura. La relatividad general se distingue de otras teorías alternativas de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura. Aunque todavía no existe una teoría cuántica de la gravedad que incorpore tanto a la mecánica cuántica como a la teoría de la relatividad general y que proponga una ecuación de campo gravitatorio que sustituya a la de Einstein, pocos físicos dudan que una teoría cuántica de la gravedad pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.

Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general[editar] Artículo principal: Introducción matemática a la relatividad general

La derivada covariante[editar]

Los cuerpos en caída libre (como las naves en órbita) son sistemas inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula (

). Por ello, no

experimentan ningún tipo de aceleración inercial provocada por la "fuerza gravitatoria". Sin embargo, un observador externo, como un astrónomo situado en la Tierra, puede observar cómo dicho cuerpo en caída libre se aproxima a la Tierra con una aceleración creciente (de ahí que la derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea diferente a cero -

-)

Dice la leyenda apócrifa que fue la manzana de un árbol la que provocó que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitación universal. Y es que los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan, como consecuencia de la fuerza aparente gravitatoria, una aceleración inercial de

(y por lo tanto

la derivada covariante de su velocidad también tiene ese valor

3

). Sin

embargo, dichos objetos, puesto que están en reposo, tienen una aceleración

relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, la derivada ordinaria de su velocidades cero (

)

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la teoría de la relatividad general es el de derivada covariante (a veces impropiamente llamada conexión afín), que fue definida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática. Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que si consideramos que está en caída libre, progresivamente se irá aproximando al origen del campo gravitatorio, y el observador externo detectará que tiene una aceleración constante g. 4 es la Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad ó aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados) y que a diferencia de la derivada ordinaria, no detectará ninguna aceleración, a menos que el piloto encienda los motores o que algún meteorito lo impacte.

En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración son idénticos, y sobre la base de este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo está en caída libre tiene una aceleración ordinaria que depende de la masa del cuerpo sobre el cual está cayendo, pero su aceleración inercial es nula, a menos que se le aplique alguna otra fuerza. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoría el concepto de derivada covariante. Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta. La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial, ya que la percepción del espacio-tiempo dependerá de la velocidad del observador comóvil:

Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componente :

de la derivada parcial de

respecto a

. De este modo:

Realizamos un intercambio de índices ( por ) en el último término del segundo miembro de la ecuación:

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:

Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente

de la

tetravelocidad ( ) y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:

Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en caída libre) , esta última ecuación toma la siguiente forma:

Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.

Con ayuda de la ecuación de las líneas geodésicas podemos determinar la aceleración radial y angular de la Tierra respecto al Sol. Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los símbolos de Christoffel aumentan conforme nos acercamos al Sol, de ello se deduce que la aceleración de la Tierra es máxima en las proximidades del perihelio, exactamente tal y como predicen las leyes de Newton5 y Kepler.6

A los lectores principiantes puede chocarles la propia definición de los símbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio euclideo, la derivada de una base (por ejemplo respecto a otra coordenada

)

(pongamos ) es siempre cero, por la simple razón de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin embargo, esto no sucede así en las variedades curvas, como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales casos, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que son funciones de las

derivadas del tensor métrico. La relación matemática entre estas dos magnitudes matemáticas se expresa mediante la siguiente ecuación:

Los símbolos de Christoffel constituyen el parámetro principal que determina cuán grande es el grado de curvatura existente en una región determinada y con su ayuda podemos conocer cuál va a ser la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espaciotemporal, la Teoría de la Relatividad afirma que la curvatura viene originada por la presencia de tetramomentum y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel.

Los principios de general covariancia y de acoplamiento mínimo[editar] Artículo principal: Principio de

acoplamiento mínimo En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modifican mediante el Principio de acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones: 

La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.



La métrica de Minkowski es sustituida por una formulación general del tensor métrico.

De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:

Ley de conservación de la energía:

Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes electromagn éticas en general no experimenta n modificacio nes debidas a la curvatura gravitatoria:

Derivada covariante

Alteración de las leyes físicas producida por la curvatura Objeto o ley físicomatemática

Espacio- Espaciotiempo tiempo llano curvo

¿Se produce alteración por la curvatura?

Ley de conservación de la energía

Sí

Tensor electromagnético

No

Ecuaciones de Maxwell

No

Velocidad de la luz

No

Ecuación de un sistema inercial

Sí

Aceleración

Sí

Volumen

Sí



E c u

a c i ó n l í n e a s g e o d é s i c a s

E l t e n s o r d e R i e m a n n y l a

c u r v a t u r a d e l a s l í n e a s d e u n i v e r s o [ e d i t a r ]

V é a n s e t a m b i é n :

T e n s o r d e c u r v a t u r a ,

T r a n s p o r t e p a r a l e l o

y

F u e r z a d e m a r e a .

A p r o x i m a c i ó n

d e

d o s

g e o d é s i c a s

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v e r d e )

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s u p e r

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( p r i m e r o

r o s a ,

l u e g o

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r e s i v a m e n t e

c o n t r a y é n d o s e

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P o l o

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s i g u i e n d o

l a

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p a u t a s

m a r c a d a s

p o r

e l

t e n s o r

d e

R i e

m a n n .

L a m e d i c i ó n d e l a c u r v a t u r a d e c u a l q u i e r v a r i e

d a d ( y a s e t r a t e d e l e s p a c i o t i e m p o , d e u n a e s f e r a o

d e u n a s i l l a d e m o n t a r ) v i e n e d e t e r m i n a d a p o r e l t e n s

o r d e c u r v a t u r a o t e n s o r d e R i e m a n n , q u e e s u n a f u n c i

ó n d e l o s s í m b o l o s d e C h r i s t o f f e l y s u s d e r i v a d a s d e

p r i m e r o r d e n . E l t e n s o r d e R i e m a n n t i e n e u n a i m p o r t a n c

i a f u n d a m e n t a l a l a h o r a d e c a l c u l a r l a d e s v i a c i ó n d e

d o s l í n e a s e n o r i g e n p a r a l e l a s c u a n d o s e d e s p l a z a n a

t r a v é s d e u n a s u p e r f i c i e c u r v a . E s b i e n s a b i d o q u e e

n u n a v a r i e d a d l l a n a l a s l í n e a s p a r a l e l a s j a m á s s e c o

r t a n , s i n e m b a r g o e s t a r e g l a n o r i g e e n e l c a s o d e l a

s s u p e r f i c i e s c u r v a s d e g e o m e t r í a e l í p t i c a . S u p o n g a m o

s q u e d o s v i a j e r o s s a l e n d e l E c u a d o r e n d i r e c c i ó n n o r

t e . E n a m b o s c a s o s , e l á n g u l o q u e l a t r a y e c t o r i a d e s

u b a r c o f o r m a c o n e l E c u a d o r e s i n i c i a l m e n t e d e 9 0 º ,

p o r l o q u e s e t r a t a d e d o s l í n e a s p a r a l e l a s . S i n e m b a

r g o , c o n f o r m e l o s v i a j e r o s s e v a n d e s p l a z a n d o h a c i a e

l n o r t e , s u d i s t a n c i a r e c í p r o c a s e h a c e c a d a v e z m á s

p e q u e ñ a h a s t a q u e s e h a c e n u l a e n e l P o l o N o r t e , q u e

e s d o n d e s e c o r t a n s u s t r a y e c t o r i a s d e v i a j e . P a r a c a

l c u l a r l a t a s a d e a p r o x i m a c i ó n e n t r e l a s d o s g e o d é s i c

a s u t i l i z a m o s l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :

d o n d e

y

r e p r e s e n t a n e l r e c o r r i d o d e s d e e l E c u a d o r d e a m b a s l í

n e a s g e o d é s i c a s y

l a d i s t a n c i a d e s e p a r a c i ó n e n t r e

e l l a s .

A c e l e r a c i ó n

r e c í p r o c a

d e

d o s

l í n e a s

d e

u n i v e r s o

g e o d é s i c a s .

C o m

o

v e m o s ,

c o n f o r m e

s e

a v a n z a

e n

l a

c o o r

d e n a d a

t e m p o r a l ,

e l

t e n s o r

d e

R i e m a n n

c u r v a

l a s

g e o d é s i c a s

y

p r o v o c a

e l

a c e r

c a m i e n t o

r e c í p r o c o

d e

l a s

d o s

p a r t í c u l

a s .

E n e l e s p a c i o t i e m p o , q u e t a m b i é n e s u n a v a r i e d a

d c u r v a , l a s c o s a s f u n c i o n a n d e u n m o d o p a r e c i d o : e l

t e n s o r d e R i e m a n n d e t e r m i n a l a a c e l e r a c i ó n r e c í p r o c a

e n t r e l a s l í n e a s d e u n i v e r s o d e d o s s i s t e m a s i n e r c i a l

e s ( p . e . d o s a s t e r o i d e s q u e s e a c e r c a n p r o g r e s i v a m e n t

e c o m o c o n s e c u e n c i a d e s u m u t u a a t r a c c i ó n g r a v i t a t o r i

a ) . P a r a c a l c u l a r d i c h a a c e l e r a c i ó n , a p l i c a m o s d e n u e

v o l a c o n o c i d a f ó r m u l a , m o d i f i c á n d o l a l i g e r a m e n t e :

d o n d e

e s u n p a r á m e t r o a f í n ( e l t i e m p o l o c a l ) y

y

s o n l o s v e c t o r e s d e c u a d r i v e l o c i d a d d e a m b o s c u e

r p o s q u e , s e g ú n e l e s q u e m a d e M i n k o w s k i , e q u i v a l e n g e

o m é t r i c a m e n t e a c a m p o s v e c t o r i a l e s t a n g e n t e s a a m b a s

l í n e a s d e u n i v e r s o .

F u e r z a s

d e

m a r e

a .

T o d o e s t o n o s c o n e c t a c o n l o q u e e n f í s i c a n e w t o n i

a n a s e d e n o m i n a n f u e r z a s d e m a r e a , r e s p o n s a b l e s d e m ú

l t i p l e s f e n ó m e n o s a s t r o n ó m i c o s y c u y a b a s e t e ó r i c a r e

p o s a e n e l p l a n t e a m i e n t o s i g u i e n t e : S u p o n g a m o s q u e u n

a d e t e r m i n a d a n a v e e s p a c i a l e s t á c a y e n d o a u n a g u j e r o

n e g r o . E s e v i d e n t e q u e l a p r o a d e l a n a v e e x p e r i m e n t

a u n a f u e r z a g r a v i t a t o r i a m á s i n t e n s a q u e l a p o p a , p o

r e l s i m p l e h e c h o d e q u e l a p r i m e r a e s t á m á s p r ó x i m a

q u e l a s e g u n d a a l h o r i z o n t e d e s u c e s o s . S i l a d i f e r e n

c i a d e a c e l e r a c i o n e s e n t r e l a p r o a y l a p o p a e s l o s u

f i c i e n t e m e n t e i n t e n s a , l a n a v e p u e d e l l e g a r a d i s t o r s

i o n a r s e y q u e b r a r s e d e f i n i t i v a m e n t e . E l g r a d i e n t e g r a v

i t a t o r i o e s t a m b i é n r e s p o n s a b l e d e l c i c l o d e m a r e a s :

L a s z o n a s d e l a t i e r r a m á s c e r c a n a s a l a L u n a , e x p e r i

m e n t a n u n a m a y o r a t r a c c i ó n g r a v i t a t o r i a q u e l a s m á s l

e j a n a s a e l l a , l o q u e p r o v o c a q u e e l a g u a d e l m a r s e

a c u m u l e e n a q u e l l a s á r e a s d e l a s u p e r f i c i e t e r r e s t r e

q u e e s t á n a l i n e a d a s c o n l a L u n a . E n r e l a t i v i d a d g e n e r a

l , l a a c e l e r a c i ó n d e m a r e a v i e n e o r i g i n a d a p o r e l t e n

s o r d e R i e m a n n . H a y u n a c o r r e s p o n d e n c i a c a s i n a t u r a l

e n t r e l a s e c u a c i o n e s n e w t o n i a n a s y l a s r e l a t i v i s t a s .

E n e f e c t o , l a e c u a c i ó n n e w t o n i a n a u t i l i z a d a p a r a c o m p

u t a r l a s f u e r z a s d e m a r e a e s l a s i g u i e n t e :

d o n d e a

e s l a a c e l e r a c i ó n d e m a r e a ,

e l p o t e n c i a l g r a v i t a t o

r i o y

l a d i s t a n c i a e n t r e l a s d o s p a r t í c u l a s . L a s f

u e r z a s d e m a r e a v i e n e n d e t e r m i n a d a s p o r l a s d e r i v a d a s

d e s e g u n d o o r d e n d e l p o t e n c i a l g r a v i t a t o r i o . D e s d e e l

p u n t o d e v i s t a r e l a t i v i s t a , l a s f u e r z a s d e m a r e a v i e

n e n d e t e r m i n a d a s p o r e l t e n s o r d e R i e m a n n y s i l a r e g

i ó n d e l e s p a c i o t i e n e u n a e s c a s a d e n s i d a d d e c u a d r i m o

m e n t o y u n a d i s t r i b u c i ó n u n i f o r m e d e l a c u r v a t u r a , l o

s c o m p o n e n t e s a q u é l t o m a n a p r o x i m a d a m e n t e l o s v a l o r e s

s i g u i e n t e s :

para el resto de los índices

D e m o s t r a c i ó n [ o c u l t a r ] L a s e x p r e s i o n

e s q u e r e l a c i o n a n e l t e n s o r d e R i e m a n n c o n l o s s í m b o l o s

d e C h r i s t o f f e l s o n l a s s i g u i e n t e s :

E n u n m a r c o d e L o r e

n t z , d o n d e s e h a c e n n u l o s l o s c o e f i c i e n t e s d e l o s s í m b o l

o s d e C h r i s t o f f e l p e r o n o a s í s u s p r i m e r a s d e r i v a d a s , l a

f ó r m u l a p a r a e l c á l c u l o d e l t e n s o r d e c u r v a t u r a q u e d a s

i m p l i f i c a d a :

S i e l e s p a c i o t i e m p o e s n e w t o n i a n o o c u a s

i n e w t o n i a n o ( p o c a d e n s i d a d d e c u a d r i m o m e n t o , f l u i d o s n o

r e l a t i v i s t a s ) l o s ú n i c o s c o e f i c i e n t e s n o n u l o s d e l o s s í

m b o l o s d e C h r i s t o f f e l s o n l o s c o r r e s p o n d i e n t e s a

. T e n

e m o s p u e s : de lo contrario

Significado físico de los diferentes tensores de la Relatividad general

Tensor

Notación

Significado

físico

Derivada ordinaria

Aceleración medida por un observador externo en reposo

Derivada covariante

Aceleración inercial medida por un observador comóvil, situado en la propia línea de universo del cuerpo observado

Tensor métrico

Distancia (o, en su caso, intervalo) entre dos puntos (eventos) del espacio(tiempo)

Tensor de tensión energía

Presencia inmediata de cuadrimomento en una región del espaciotiempo

Tensor de Riemann

Aceleración recíproca de dos líneas de universo

Tensor de Ricci

Aceleración de un volumen (3 dimensiones) o un hipervolumen

(4 dimensiones)

Escalar de Ricci

Aceleración de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen

Tensor de Weyl

Fuerzas de marea generadas por las ondas gravitatorias

Principales ecuaciones de la relatividad general

Denominación Desarrollo

Significado físico

Ecuaciones de universo de Einstein

Contracción de un fluido como consecuencia de la presencia inmediata de cuadrimomento

Ecuación de las líneas geodésicas

Movimiento de un sistema inercial en el espacio-tiempo

Desviación geodésica

Fuerzas de marea entre dos partículas que caen en un mismo campo gravitatorio

son la presión y la densidad a una distancia r del centro del astro. es la masa encerrada en una esfera de radio r.

, es la distancia al objeto atraído, y es un vector de unidad identificando la dirección al objeto masivo.

, es el tensor de campo electromagnético, y , es una cuadricorriente.

es el cuadrimomento del objeto cargado.

Campo gravitatorio Ir a la navegaciónIr a la búsqueda Para Para la aceleración gravitacional, véase Intensidad del campo gravitatorio. En física, el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas que representa la gravedad. Si se dispone en cierta región del espacio una masa alrededor de

, el espacio

adquiere ciertas características que no disponía cuando no estaba

.

Este hecho se puede comprobar acercando otra masa

y constatando que se produce la

interacción. A la situación física que produce la masa

se la denomina campo gravitatorio.

Afirmar que existe algo alrededor de campo cuando se coloca la otra masa prueba.

es puramente especulativo, ya que solo se nota el , a la que se llama masa testigo o masa de

El tratamiento que recibe el campo gravitatorio es diferente según las necesidades del problema:

 

En física newtoniana o física clásica el campo gravitatorio viene representado por un campo vectorial. En física relativista, el campo gravitatorio viene representado por un campo tensorial de segundo orden.

Índice     

1Campo gravitatorio en la física clásica o 1.1Campos gravitatorios 2Potencial gravitatorio o 2.1Líneas de campo 3Campo gravitatorio en física relativista 4Véase también 5Referencias

Campo gravitatorio en la física clásica[editar]

Podemos asociar a cada punto del espacio el vector intensidad del campo gravitatorio creado en el por la presencia de una masa M. El conjunto de todos estos vectores en los distintos puntos del espacio constituye un Campo Gravitatorio.

En física newtoniana, el campo gravitatorio se representa mediante un campo vectorial conservativo cuyas líneas de campo son abiertas. Puede definirse como la fuerza por unidad de masa que experimentará una partícula puntual en presencia de una distribución de masa. Sus dimensiones son, por lo tanto, las de una aceleración, aunque se suele utilizar la dimensión de fuerza por unidad de masa -que es equivalente- y expresar su intensidad en N/kg (newtons/kilogramo). Matemáticamente, la intensidad masas cualquiera se define como:

del campo gravitatorio producido por una distribución de

donde:



es una masa de prueba



es la fuerza gravitatoria que actúa sobre la masa de prueba

Los campos gravitatorios son aditivos. La intensidad del campo gravitatorio creado por una distribución de masa es igual a la suma vectorial de las intensidades de los campos creados por sus diferentes elementos constitutivos.

Campos gravitatorios[editar] El campo

creado por una masa puntual

o por una esfera homogénea de

masa en un punto exterior a la esfera está dirigido hacia su centro y viene dado por la expresión: (1) donde es la distancia del punto al centro de la esfera. Esta ecuación (1), por la que el campo decrece según la ley de la inversa del cuadrado solo es válida puntos exteriores a la esfera.

Cálculo del campo gravitatorio creado por una distribución continua de materia.

En el interior de la esfera se puede demostrar que el campo varía según una ley dependiente de la distribución de masa; así, para el caso de una esfera homogénea de radio , crece linealmente desde cero en el centro de la esfera hasta su superficie, donde vale: (2) El campo

creado por una distribución de masa totalmente general en un punto del

espacio se determina mediante integración, sumando vectorialmente las aportaciones de porciones infinitesimales de masa: (3) El interés de describir la interacción gravitatoria mediate un campo radica en la posibilidad de expresar la interacción gravitacional como el producto de dos términos, uno que

depende del valor local del campo y otro una propiedad escalar que representa la respuesta del objeto que sufre la acción del campo. Por ejemplo, el movimiento de un planeta se puede describir como el movimiento orbital del planeta en presencia de un campo gravitatorio creado por el Sol. La divergencia y el rotacional del campo gravitatorio valen:

La primera nos indica que sus fuentes u orígenes son escalares (la masa) y el segundo nos indica que es conservativo.

Potencial gravitatorio[editar] Artículo principal: Potencial gravitatorio

Circulación entre dos puntos de un campo de fuerzas centrales. El resultado no depende del camino seguido, sino tan solo de las posiciones de los dos puntos. En consecuencia, el campo de fuerzas centrales es conservativo.

Podemos demostrar que el campo gravitatorio es conservativo sin más que comprobar su circulación entre dos puntos genéricos A y B es independiente del camino o trayectoria que sigamos. En efecto, calculando dicha circulación (trabajo por unidad de masa), y de acuerdo con la notación reflejada en la figura, obtenemos:

Esto es, el trabajo(la circulación) realizado por el campo es función únicamente de los valores que toma una cierta función escalar de punto en los extremos de la trayectoria, con independencia del camino seguido. Esa función escalar se denomina potencial gravitatorio y, en el caso del campo creado por una masa puntual (o una distribución esférica de masa) viene expresado por:

De este modo,

donde el signo negativo indica que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria representa una disminución del potencial gravitatorio. Esto es, si la partícula se mueve en la dirección del campo, el trabajo que este realiza sobre ella es positivo y su potencial gravitatorio disminuye. Así a cada punto del espacio se le puede asignar un potencial gravitatorio relacionado con la densidad de la distribución de masa mediate su laplaciano y con el campo gravitatorio mediante su gradiente por:

Líneas de campo[editar] Artículo principal: Línea de fuerza

Una línea de fuerza o línea de campo, normalmente en el contexto del electromagnetismo, es la curva cuya tangente proporciona la dirección del campo en ese punto. Como resultado, también es perpendicular a las líneas equipotenciales en la dirección convencional de mayor a menor potencial. Suponen una forma útil de esquematizar gráficamente un campo, aunque son imaginarias y no tienen presencia física.

Campo gravitatorio en física relativista[editar] En la teoría de la relatividad general el campo gravitatorio no se describe como un campo de fuerzas, sino que las trayectorias curvas que los cuerpos siguen en el espacio tridimensional, son solo un reflejo de que el espacio-tiempo es curvo. De acuerdo con la teoría de la relatividad general, una partícula puntual en caída libre en un campo gravitatorio está siguiendo una línea de mínima curvatura, llamada geodésica, sobre un espacio-tiempo curvo. Por tanto, la curvatura de las trayectorias tridimensionales se debe a que la línea más recta posible en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones no se proyecta como una recta, vista desde el espacio tridimensional.

El campo gravitatorio se interpreta en relatividad como la curvatura del espacio-tiempo que, en presencia de materia, deja de ser plano. Allí donde el espacio-tiempo no es plano, se percibe ese hecho como campo gravitatorio local, y viceversa, allí donde se percibe campo gravitatorio se tiene una geometría curva del espacio-tiempo. Así, la teoría relativista de Einstein del campo gravitatorio es una teoría de la estructura geométrica local del espacio-tiempo. En esta teoría el tensor de curvatura de Ricci está asociado al tensor de energíamomento de la materia:

Donde: son las componentes del tensor de curvatura de Ricci. son las componentes del tensor métrico que permite medir distancias en el espacio-tiempo curvo. es el escalar de curvatura de Ricci. son las componentes del tensor de energía-impulso de la materia que crea el campo. son la constante de la gravitación universal y la velocidad de la luz.

Véase también[editar]   

Gravedad Intensidad del campo gravitatorio Ley de gravitación universal

Referencias[editar]  



Landau & Lifshitz, Teoría clásica de los campos, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4. Fernández Rañada, Antonio (2005). Fondo de Cultura Económica, ed. Dinámica Clásica (1ª edición). México, D. F. pp. 302304. ISBN 84-206-8133-4. Ortega, Manuel R. (1989-2010). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-4044290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84604-4445-7.

Categorías: 

Gravedad



Teoría del potencial



Mecánica

Teoría de la relatividad especial (Redirigido desde «Teoría especial de la relatividad»)

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Teoría de la Relatividad, parte de Walk of Ideas, en la Isla de los Museos(Berlín). Festejando el Año mundial de la física 2005 en el centenario de la publicación de la ecuación más famosa del mundo.

No debe confundirse con Teoría de la relatividad general. La teoría de la relatividad especial, también llamada teoría de la relatividad restringida, es una teoría de la física publicada en 1905 por Albert Einstein.1 Surge de la observación de que la velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referencia inerciales y de obtener todas las consecuencias del principio de relatividad de Galileo, según él, cualquier experimento realizado, en un sistema de referencia inercial, se desarrollará de manera idéntica en cualquier otro sistema inercial. La teoría es "especial", ya que sólo se aplica en el caso especial donde la curvatura del espacio-tiempo debido a la gravedad es despreciable.23 Con el fin de incluir la gravedad, Einstein formuló la relatividad general en 1915. La relatividad general es capaz de manejar marcos de referencia acelerados, algo que no era posible con las teorías anteriores.4 La Teoría de la relatividad especial estableció nuevas ecuaciones que facilitan pasar de un sistema de referencia inercial a otro. Las ecuaciones correspondientes conducen a fenómenos que chocan con el sentido común, como son la contracción espacial, la dilatación del tiempo, un límite universal a la velocidad, la equivalencia entre masa y energía o la relatividad de la simultaneidad entre otros, siendo la fórmula E=mc2 o la paradoja de los gemelos dos de los ejemplos más conocidos.5 La relatividad especial tuvo también un impacto en la filosofía, eliminando toda posibilidad de existencia de un tiempo y de un espacio absoluto en el conjunto del universo.

Índice  





1Historia 2Postulados o 2.1Principio de relatividad o 2.2Covariancia de Lorentz 3Transformaciones de Lorentz o 3.1Simultaneidad o 3.2Dilatación del tiempo y contracción de la longitud 4Cantidades relativistas







  

o 4.1Composición de velocidades o 4.2Masa, momento y energía relativista o 4.3Cantidad de movimiento o 4.4Equivalencia de masa y energía o 4.5Fuerza 5La geometría del espacio tiempo o 5.1Causalidad física o 5.2Imposibilidad de movimientos más rápidos que la luz 6Formulación matemática de la relatividad especial o 6.1Métrica y transformación de coordenadas o 6.2Cuadrivelocidad y cuadriaceleración o 6.3Cuadrimomento o 6.4Cuadrifuerza 7Temas avanzados o 7.1Unificando el electromagnetismo  7.1.1Electromagnetismo o 7.2Sistemas no inerciales y relatividad especial o 7.3Relatividad general 8Tests de postulados de la relatividad especial 9Véase también 10Referencias o 10.1Bibliografía o 10.2Enlaces externos

Historia[editar] Artículo principal: Historia de la relatividad especial

A finales del siglo XIX los físicos pensaban que la mecánica clásica de Newton, basada en la llamada relatividad de Galileo Galilei (origen de las ecuaciones matemáticas conocidas como transformaciones de Galileo), describía los conceptos de velocidad y fuerza para todos los observadores (o sistemas de referencia). Sin embargo, Hendrik Lorentz y un poco antes Woldemar Voigt habían comprobado que las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan el electromagnetismo, no cumplían las transformaciones de Galileo cuando el sistema de referencia inercial varía (por ejemplo, cuando se considera el mismo problema físico desde el punto de vista de dos observadores que se mueven uno respecto del otro). En particular las ecuaciones de Maxwell parecían requerir que la velocidad de la luz fuera constante (razón por la que se interpretó que esa velocidad se refería a la velocidad de la luz respecto al éter). Sin embargo, el experimento de Michelson y Morley sirvió para confirmar que la velocidad de la luz permanecía constante para cualquier velocidad y movimiento relativo al supuesto éter omnipresente y, además, independientemente del sistema de referencia en el cual se medía (contrariamente a lo esperado de aplicar las transformaciones de Galileo) .6 Por tanto la hipótesis del éter quedaba descartada y se abría un problema teórico grave asociado a las transformaciones de Galileo. Hendrik Lorentz ya había encontrado que las transformaciones correctas que garantizaban la invariancia no eran las de Galileo, sino las que actualmente se conocen como transformaciones de Lorentz. Durante años las transformaciones de Lorentz y los trabajos de Henri Poincaré sobre el tema quedaron inexplicados hasta que Albert Einstein, un físico desconocido hasta 1905, sería capaz de darles una interpretación considerando el carácter relativo del tiempo y el espacio. Einstein también había sido influido por el físico y filósofo Ernst Mach.7 Einstein leyó a Ernst Mach cuando era estudiante y ya era seguidor suyo en 1902, cuando vivía en Zúrich y se reunía regularmente con sus amigos Conrad Habicht y Maurice Solovine (Véase Academia

Olimpia).8 Einstein insistió para que el grupo leyese los dos libros que Mach había publicado hasta esa fecha: El desarrollo de la mecánica (título original, Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Leipzig, 1883) y El análisis de las sensaciones (Die Analyse der Empfindungen und das Verhältnis des Physischen zum Psychischen, Jena, 1886).7 Einstein siempre creyó que Mach había estado en el camino correcto para descubrir la relatividad en parte de sus trabajos de juventud, y que la única razón por la que no lo había hecho fue porque la época no fue la propicia.9 El artículo de 1905 de Einstein, titulado Zur Elektrodynamik bewegter Körper,1 cambió radicalmente la percepción del espacio y el tiempo que se tenía en ese entonces. En ese artículo Einstein introducía lo que ahora conocemos como teoría de la relatividad especial. Esta teoría se basaba en el principio de relatividad y en la constancia de la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia inercial. De ello Einstein dedujo las ecuaciones de Lorentz. También reescribió las relaciones del momento y de la energía cinéticapara que éstas también se mantuvieran invariantes. La teoría permitió establecer la equivalencia entre masa y energía y una nueva definición del espacio-tiempo. De ella se derivaron predicciones y surgieron curiosidades. Como ejemplos, un observador atribuye a un cuerpo en movimiento una longitud más corta que la que tiene el cuerpo en reposo y la duración de los eventos que afecten al cuerpo en movimiento son más largos con respecto al mismo evento medido por un observador en el sistema de referencia del cuerpo en reposo. En 1912, Wilhelm Wien, premio Nobel de Física de 1911, propuso a Lorentz y a Einstein para este galardón por la teoría de la relatividad, expresando Aunque Lorentz debe ser considerado como el primero en encontrar la expresión matemática del principio de la relatividad, Einstein consiguió reducirlo desde un principio simple. Debemos pues considerar el mérito de los dos investigadores como comparable. Wilhelm Wien10

Einstein no recibió el premio Nobel por la relatividad especial pues el comité, en principio, no otorgaba el premio a teorías puras. El Nobel no llegó hasta 1921, y fue por su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico.11

Postulados[editar] Artículo principal: Postulados de la Relatividad Especial

Velocidad de la luz desde la Tierra a la Luna, situada a más de 380.000 km.





Primer postulado. Principio especial de relatividad: Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda considerar como absoluto. Segundo postulado. Invariancia de c: La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz.12

La fuerza del argumento de Einstein está en la forma en que se deducen de ella resultados sorprendentes y plausibles a partir de dos simples hipótesis y cómo estas predicciones las confirmaron las observaciones experimentales.5 Matemáticamente hablando, en ambos postulados, tomados en conjunto, implicaban que cualquier ley física debía ser invariante respecto a una transformación de Lorentz. Es decir, que en todos los sistemas inerciales la forma matemática de las ecuaciones debía ser forminvariante de Lorentz.

Cuando se aplican estos dos principios a las ecuaciones de Maxwell se ve que éstas sólo son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz, lo que implica que el intervalo de tiempo entre dos sucesos o la distancia entre dos puntos deben ser relativos al observador. Es decir, no todos los observadores medirán el mismo intervalo de tiempo entre dos sucesos o la misma longitud para un mismo objeto. Ese carácter no absoluto, sino relativo del espacio y el tiempo, que es una consecuencia de requerir que las medidas tomadas por diferentes observadores dejen invariantes las ecuaciones de Maxwell es la fuente de todos los resultados sorprendentes de la teoría de la relatividad. Cuando se examinan las leyes de Newton y otras leyes del movimiento de la mecánica clásica se aprecia que estas deben ser modificadas para ser también invariantes según las mismas transformaciones que las ecuaciones de Maxwell.

Principio de relatividad[editar] Artículo principal: Principio de relatividad

Henri Poincaré, matemático francés, sugirió a finales del siglo XIX que el principio de relatividad establecido desde Galileo (la invariancia galileana) se mantiene para todas las leyes de la naturaleza. Joseph Larmor y Hendrik Lorentz descubrieron que las ecuaciones de Maxwell, la piedra angular del electromagnetismo, eran invariantes solo por una variación en el tiempo y una cierta unidad longitudinal, lo que produjo mucha confusión en los físicos, que en aquel tiempo estaban tratando de argumentar las bases de la teoría del éter, la hipotética substancia sutil que llenaba el vacío y en la que se transmitía la luz. El problema es que este éter era incompatible con el principio de relatividad. En su publicación de 1905 en electrodinámica, Albert Einstein explicó que, con las transformaciones hechas por Lorentz, este principio se mantenía perfectamente invariable. La contribución de Einstein fue el elevar este axioma a principio y proponer las transformadas de Lorentz como primer principio. Además descartó la noción de tiempo absoluto y requirió que la velocidad de la luz en el vacío sea la misma para todos los observadores, sin importar si éstos se movían o no. Esto era fundamental para las ecuaciones de Maxwell, ya que éstas necesitan de una invarianza general de la velocidad de la luz en el vacío.

Covariancia de Lorentz[editar] Artículo principal: Covariancia de Lorentz

La teoría de la relatividad especial además busca formular todas las leyes físicas de forma que tengan validez para todos los observadores inerciales. Por lo que cualquier ley física debería tener una forma matemática invariante bajo unas transformaciones de Lorentz.

Transformaciones de Lorentz[editar]

Diferentes sistemas de referencia para un mismo fenómeno. Artículo principal: Transformación de Lorentz

Como se ha mencionado, los físicos de la época habían encontrado una inconsistencia entre la completa descripción del electromagnetismo realizada por Maxwelly la mecánica clásica. Para ellos, la luz era una onda electromagnética transversal que se movía por un sistema de referencia privilegiado, al cual lo denominaban éter. Hendrik Antoon Lorentz trabajó en resolver este problema y fue desarrollando unas transformaciones para las cuales las ecuaciones de Maxwell quedaban invariantes y sin necesidad de utilizar ese hipotético éter. La propuesta de Lorentz de 1899, conocida como la Teoría electrónica de Lorentz, no excluía —sin embargo— al éter. En la misma, Lorentz proponía que la interacción eléctrica entre dos cuerpos cargados se realizaba por medio de unos corpúsculos a los que llamaba electrones y que se encontraban adheridos a la masa en cada uno de los cuerpos. Estos electrones interactuaban entre sí mediante el éter, el cual era contraído por los electrones acorde a transformaciones específicas, mientras estos se encontraban en movimiento relativo al mismo. Estas transformaciones se las conoce ahora como transformaciones de Lorentz. La formulación actual fue trabajo de Poincaré, el cual las presentó de una manera más consistente en 1905. Se tiene un sistema S de coordenadas y un sistema S' de coordenadas las ecuaciones que describen la transformación de un sistema a otro son:

, de aquí

donde

es el llamado factor de Lorentz y

es la velocidad de la luz en el vacío.

Contrario a nuestro conocimiento actual, en aquel momento esto era una completa revolución, debido a que se planteaba una ecuación para transformar al tiempo, cosa que para la época era imposible. En la mecánica clásica, el tiempo era un invariante. Y para que las mismas leyes se puedan aplicar en cualquier sistema de referencia se obtiene otro tipo de invariante a grandes velocidades (ahora llamadas relativistas), la velocidad de la luz.

Simultaneidad[editar] Directamente de los postulados expuestos arriba, y por supuesto de las transformaciones de Lorentz, se deduce el hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dos acontecimientos hayan ocurrido al mismo tiempo en diferentes lugares. Si dos sucesos ocurren simultáneamente en lugares separados espacialmente desde el punto de vista de un observador, cualquier otro observador inercial que se mueva respecto al primero los presencia en instantes distintos.13 Matemáticamente, esto puede comprobarse en la primera ecuación de las transformaciones de Lorentz:

Dos eventos simultáneos verifican (con

, pero si sucedieron en lugares distintos

), otro observador con movimiento relativo obtiene

caso

y

. Sólo en el

(sucesos simultáneos en el mismo punto) no ocurre esto.

El concepto de simultaneidad puede definirse como sigue. Dados dos eventos puntuales E1 y E2, que ocurre respectivamente en instantes de tiempo t1 y t2, y en puntos del espacio P1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2), todas las teorías físicas admiten que estos sólo pueden darse una, de tres posibilidades mutuamente excluyentes:14 1. Es posible para un observador estar presente en el evento E1 y luego estar en el evento E2, y en ese caso se afirma que E1 es un evento anterior a E2. Además si eso sucede no puede existir otro observador que verifique 2. 2. Es posible para un observador estar presente en el evento E2 y luego estar en el evento E1, y en ese caso se afirma que E1 es un evento posterior a E2. Además si eso sucede no puede existir otro observador que verifique 1. 3. Es imposible para algún observador puntual, estar presente simultáneamente en los eventos E1 y E2. Dado un evento cualquiera, el conjunto de eventos puede dividirse según esas tres categorías anteriores. Es decir, todas las teorías físicas permiten fijado un evento, clasificar a los demás eventos: en (1) pasado, (2) futuro y (3) resto de eventos (ni pasados ni futuros). En mecánica clásica esta última categoría está formada por los sucesos llamados simultáneos, y en mecánica relativista eventos no relacionados causalmente con el primer evento. Sin embargo, la mecánica clásica y la mecánica relativista difieren en el modo concreto en que esa división entre pasado, futuro y otros puede hacerse y en si dicho carácter es absoluto o relativo de dicha partición.

Dilatación del tiempo y contracción de la longitud[editar] Artículos principales: Dilatación del tiempo y Contracción de la longitud.

Como se dijo previamente, el tiempo en esta teoría deja de ser absoluto como se proponía en la mecánica clásica. O sea, el tiempo para todos los observadores del fenómeno deja de ser el mismo. Si tenemos un observador inmóvil haciendo una medición del tiempo de un acontecimiento y otro que se mueva a velocidades relativistas, los dos relojes no tendrán la misma medición de tiempo. Mediante la transformación de Lorentz nuevamente llegamos a comprobar esto. Se coloca un reloj ligado al sistema S y otro al S', lo que nos indica que tiene las transformaciones y sus inversas en términos de la diferencia de coordenadas:

y

. Se

Gráfico que explica la contracción de Lorentz.

Si despejamos las primeras ecuaciones obtenemos para sucesos que satisfagan De lo que obtenemos que los eventos que se realicen en el sistema en movimiento S' serán más largos que los del S. La relación entre ambos es esa . Este fenómeno se lo conoce como dilación del tiempo. Si se dice que el tiempo varía a velocidades relativistas, la longitud también lo hace. Un ejemplo sería si tenemos a dos observadores inicialmente inmóviles, éstos miden un vehículo en el cual solo uno de ellos "viajará" a grandes velocidades, ambos obtendrán el mismo resultado. Uno de ellos entra al vehículo y cuando adquiera la suficiente velocidad mide el vehículo obteniendo el resultado esperado, pero si el que esta inmóvil lo vuelve a medir, obtendrá un valor menor. Esto se debe a que la longitud también se contrae. Volviendo a las ecuaciones de Lorentz, despejando ahora a x y condicionando a

se obtiene:

de lo cual podemos ver que existirá una disminución debido al cociente. Estos efectos solo pueden verse a grandes velocidades, por lo que en nuestra vida cotidiana las conclusiones obtenidas a partir de estos cálculos no tienen mucho sentido.

Un buen ejemplo de estas contracciones y dilataciones fue propuesto por Einstein en su paradoja de los gemelos, y verificado experimentalmente por la anomalía en el tiempo de vida de los muones, producidos por los rayos cósmicos.15

Cantidades relativistas[editar]

El pájaro se mueve con velocidad v respecto al sistema S. Sin embargo, desde el punto de vista del piloto del avión, el pájaro se aleja de él a una velocidad v′ mayor, dada por las fórmulas del texto.

Composición de velocidades[editar] La composición de velocidades es el cambio en la velocidad de un cuerpo al ser medida en diferentes sistemas de referencia inerciales. En la física prerelativista se calculaba mediante , donde v′ es la velocidad del cuerpo con respecto al sistema S′, u la velocidad con la que este sistema se aleja del sistema "en reposo" S, y v es la velocidad del cuerpo medida en S. Sin embargo, debido a las modificaciones del espacio y el tiempo, esta relación no es válida en Relatividad Especial. Mediante las transformadas de Lorentz puede obtenerse la fórmula correcta:

Al observar con cuidado esta fórmula se nota que si tomamos para el cuerpo una velocidad en el sistema S igual a la de la luz (el caso de un fotón, por ejemplo), su velocidad en S′ sigue siendo v′=c, como se espera debido al segundo postulado. Además, si las velocidades son muy pequeñas en comparación con la luz, se obtiene

que esta fórmula se aproxima a la anterior dada por Galileo.

Masa, momento y energía relativista[editar] Artículo principal: Masa relativista

El concepto de masa en la teoría de la relatividad especial tiene dos bifurcaciones: la masa invariante y la masa relativista aparente. La masa relativista aparente es la masa aparente que va a depender del observador y se puede incrementar dependiendo de su velocidad, mientras que la invariante es independiente del observador e invariante. Matemáticamente tenemos que:

donde

es la masa relativista

aparente, es la invariante y es el factor de Lorentz. Notemos que si la velocidad relativa del factor de Lorentz es muy baja, la masa relativa tiene el mismo valor que la masa invariante pero si ésta es comparable con la velocidad de la luz existe una variación entre ambas. Conforme la velocidad se vaya aproximando a la velocidad de la luz, la masa relativista tenderá a infinito.

Cantidad de movimiento[editar] Artículo principal: Cantidad de movimiento

Al existir una variación en la masa relativista aparente, la cantidad de movimiento de un cuerpo también debe ser redefinida. Según Newton, la cantidad de movimiento está definida por donde era la masa del cuerpo. Como esta masa ya no es invariante, nuestra nueva "cantidad de movimiento relativista" tiene el factor de Lorentz incluido así:

Sus consecuencias las veremos con más detenimiento en la sección posterior de fuerza.

Equivalencia de masa y energía[editar] Artículo principal: Equivalencia entre masa y

energía

Equivalencia entre masa y energía.

La relatividad especial postula una ecuación para la energía, la cual inexplicablemente llegó a ser la ecuación más famosa del planeta, E = mc2. A esta ecuación también se la conoce como la equivalencia entre masa y energía. En la relatividad, la energía y el momento de una partícula están relacionados mediante la ecuación:

Esta relación de energíamomento formulada en la relatividad nos permite observar la independencia del observador tanto de la energía como de la cantidad de momento. Para velocidades no relativistas, la energía puede ser aproximada mediante una expansión de una serie de Taylor así

encontrando así la energía cinética de la mecánica de Newton. Lo que nos indica que esa mecánica no era más que un caso particular de la actual relatividad. El primer término de esta aproximación es lo que se conoce como la energía en reposo (energía potencial), ésta es la cantidad de energía que puede medir un observador en reposo de acuerdo con lo postulado por Einstein. Esta energía en reposo no causaba conflicto con lo establecido anteriormente por Newton, porque ésta es constante y además persiste la energía en movimiento. Einstein lo describió de esta manera: Bajo esta teoría, la masa ya no es una magnitud inalterable pero sí una magnitud dependiente de (y

asimismo, idéntica con) la cantidad de energía.16 Albert Einstein

Fuerza[editar] En mecánica newtoniana la fuerza no relativista puede obtenerse simplemente como la derivada temporal del momento lineal: , Pero contrariamente postula la mecánica newtoniana, aquí el momento no es simplemente la masa en reposo por la velocidad. Por lo que la ecuación ya no es válida en relatividad. Si introducimos la definición correcta del momento lineal, usando la masa aparente relativista entonces obtenemos la expresión relativista correcta:

donde es la masa relativista aparente. Calculando la fuerza anterior se observa el hecho que la fuerza podría no tener necesariamente la dirección de la aceleración, como se deduce desarrollando la ecuación anterior:

Introduciendo las aceleraciones normal y tangencial:

Existen dos casos particulares de movimiento de una partícula donde la fuerza es siempre

paralela a la aceleración, que son el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y el movimiento circular uniforme; en el primer caso el factor de proporcionalidad es

y el en

segundo

La geometría del espacio tiempo[editar] Artículo principal: Espacio-

tiempo de Minkowski La relatividad especial usa tensores y cuad rivectores para representar un espacio pseudoeuclídeo. Este espacio, sin embargo, es similar al espacio euclídeo tridimensio nal en muchos aspectos y es relativamente fácil trabajar en él. El tensor métrico que da la distancia elemental (ds) en un espacio euclídeo se define como:

donde son diferenciales de las tres

coordenadas cartesianas espaciales. En la geometría de la relatividad especial, se añade una cuarta dimensión imaginaria dada por el producto ict, donde t es el tiempo, c la velocidad de la luz e i la unidad imaginaria: quedando el intervalo relativista, en forma diferencial, como:

El factor imaginario se introduce para mostrar el carácter pseudoeuclí deo de la geometría espaciotiemporal. Si se reducen las dimensione s espaciales a 2, se puede hacer una representaci ón física en un espacio tridimension al,

Con o dual.

Se puede ver que las geo désicas con medida cero forman un cono dual definido por la ecuació n

L a e c u a c i ó n a n t e r i

o r e s l a d e c í r c u l o c o n

. S i s e e x t i e n d e l o a n t e r i o

r a l a s t r e s d i m e n s i o n e s e s p a c i a l e s , l a s g e o d é s i c a s n

u l a s s o n e s f e r a s c o n c é n t r i c a s , c o n r a d i o = d i s t a n c i a

= c p o r t i e m p o .

E s f e r a s

c o n c é n t r i c a s .

E s t e d o b l e c o n o d e d i s t a n c i a s n u l a s r e p r e s e n t a e l

h o r i z o n t e d e v i s i ó n d e u n p u n t o e n e l e s p a c i o . E s t o

e s , c u a n d o s e m i r a a l a s e s t r e l l a s y s e d i c e : L a e s t r

e l l a d e l a q u e e s t o y r e c i b i e n d o l u z t i e n e X a ñ o s , s e

e s t á v i e n d o a t r a v é s d e e s a l í n e a d e v i s i ó n : u n a g e o d

é s i c a d e d i s t a n c i a n u l a . S e e s t á v i e n d o u n s u c e s o a

m e t r o s , y

s e g u n d o s e n e l p a s a d o . P o r e s t a r a z ó n ,

e l d o b l e c o n o e s t a m b i é n c o n o c i d o c o m o c o n o d e l u z (

E l p u n t o i n f e r i o r d e l a i z q u i e r d a d e l d i a g r a m a i n f e r i

o r r e p r e s e n t a l a e s t r e l l a , e l o r i g e n r e p r e s e n t a e l o b

s e r v a d o r y l a l í n e a r e p r e s e n t a l a g e o d é s i c a n u l a , e l

" h o r i z o n t e d e v i s i ó n " o c o n o d e l u z ) . E s i m p o r t a n t e n

o t a r q u e s ó l o l o s p u n t o s i n t e r i o r e s a l c o n o d e l u z d e

u n e v e n t o p u e d e n e s t a r e n r e l a c i ó n c a u s a l c o n e s e e v

e n t o .

C a u s a l i d a d f í s i c a [ e d i t a r ] A r t í c u l o p r i n c i p a l :

P

r i n c i p i o d e C a u s a l i d a d

U n

e v e n t o

e n

u n

c o n o

d e

l u z

t e m p o r a l .

P r e v i o a e s t a t

e o r í a , e l c o n c e p t o d e c a u s a l i d a d e s t a b a d e t e r m i n a d o :

p a r a u n a c a u s a e x i s t e u n e f e c t o . A n t e r i o r m e n t e , g r a c i

a s a l o s p o s t u l a d o s d e L a p l a c e , s e c r e í a q u e p a r a t o d

o a c o n t e c i m i e n t o s e d e b í a o b t e n e r u n r e s u l t a d o q u e p o

d í a p r e d e c i r s e . L a r e v o l u c i ó n e n e s t e c o n c e p t o e s q u e

s e " c r e a " u n c o n o d e l u z d e p o s i b i l i d a d e s ( V é a s e g r á

f i c o a d j u n t o ) . S e o b s e r v a e s t e c o n o d e l u z y a h o r a u n

a c o n t e c i m i e n t o e n e l c o n o d e l u z d e l p a s a d o n o n e c e s a

r i a m e n t e n o s c o n d u c e a u n s o l o e f e c t o e n e l c o n o d e l

u z f u t u r o . D e s l i g a n d o a s í l a c a u s a y e l e f e c t o . E l o b

s e r v a d o r q u e s e s i t ú a e n e l v é r t i c e d e l c o n o y a n o p u

e d e i n d i c a r q u é c a u s a d e l c o n o d e l p a s a d o p r o v o c a r á e

l e f e c t o e n e l c o n o d e l f u t u r o .

I m p o s i b i l i d a d d e m

o v i m i e n t o s m á s r á p i d o s q u e l a l u z [ e d i t a r ] A s u m

i e n d o e l p r i n c i p i o d e c a u s a l i d a d e i n g n o r a n d o c i e r t a s

p o s i b i l i d a d e s r e l a c i o n a d a s c o n e l m o v i m i e n t o s u p e r l u

m í n i c o , o b t e n e m o s q u e n i n g u n a p a r t í c u l a d e m a s a p o s i t

i v a e n r e p o s o p u e d e v i a j a r m á s r á p i d o q u e l a l u z . E n

p a r t i c u l a r , l a r e l a c i ó n e n t r e l a e n e r g í a c i n é t i c a K n

e c e s a r i a p a r a a c e l e r a r r e c t i l í n e a m e n t e u n a p a r t í c u l a

d e s d e e l r e p o s o h a s t a u n a c i e r t a v e l o c i d a d v v i e n e e x

p r e s a d a p o r l a e c u a c i ó n :

A q u í p u e d e v e r s e c l a r a m e n t

e q u e p a r a c u a l q u i e r v a l o r f i n i t o d e K s e c u m p l i r á q u

e v < c . O t r a m a n e r a d e v e r e s t a i m p o s i b i l i d a d e s u s a

r e l p r i n c i p i o d e c a u s a l i d a d , y a p l i c a r l o a l m o v i m i e n

t o m á s r á p i d o q u e e l d e l a l u z . I m a g í n e s e u n c u e r p o q

u e e x p e r i m e n t a u n a f u e r z a d u r a n t e u n a c a n t i d a d i n f i n i

t a d e t i e m p o . T e n e m o s e n t o n c e s q u e p a r a u n m o v i m i e n t o

r e c t i l í n e o :

D e l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r s e d e d u c e q u e

l a " i n e r c i a e f e c t i v a " , e n t e n d i d a

c o m o l a r e s i s t e n c i a

q u e o p o n e e l c u e r p o a s e r a c e l e r a d o F / a , i r á

a u m e n

t a n d o

i n d e f i n i d a m e n t e a

m e d i d a q u e v s e a c e r c a a c . P o

r o t r a p a r t e , e s t a c o n c l u s i ó n d e p e n d e

c r í t i c a m e n t e d e

l a a s u n c i ó n d e c a u s a l i d a d . A s í e n

m e c á n i c a c u á n t i c a

e s t a a s u n c i ó n n o s e c o n s i d e r a , p o r l o q u e a l g u n a s p a r

t í c u l a s v i r t u a l e s n o e s t á n s u j e t a s a e s a r e s t r i c c i ó n .

A d e m á s e x i s t e n p r o p u e s t a s t e ó r i c a s q u e p o s t u l a n l a e

x i s t e n c i a d e p a r t í c u l a s h i p o t é t i c a s q u e p o d r í a n v i a j a

r

m á s r á p i d o q u e l a l u z , l o s t a q u i o n e s ,

n a t u r a l m e n t e

e n e s a s t e o r í a s n o s e

a s u m e e l p r i n c i p i o d e c a u s a l i d a

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f o r m a p l a n t e a d a a q u í .

F o r m u l a c i ó n

m a t

e m á t i c a

d e l a

r e l a t i v i d a d

e s p e c i a l [ e

d i t a r ] L a r e l a t i v i d a d e s p e c i a l a p e s a r d e p o d e r s e r d

e s c r i t a c o n f a c i l i d a d p o r

m e d i o d e l a

m e c á n i c a c l á s i c

a y s e r d e f á c i l

e n t e n d i m i e n t o , t i e n e u n a

c o m p l e j a

m a

t e m á t i c a d e p o r

m e d i o . A q u í s e d e s c r i b e a l a r e l a t i v i

d a d e s p e c i a l e n l a

f o r m a d e l a c o v a r i a n c i a d e L o r e n t z

. L a p o s i c i ó n d e u n e v e n t o e n e l

e s p a c i o t i e m p o e s t á

d a d o p o r u n v e c t o r c o n t r a v a r i a n t e

c u a t r i d i m e n s i o n a l ,

s u s

c o m p o n e n t e s s o n :

Personas: Arthur Eddington | Albert Einstein | Hendrik Lorentz | Hermann Minkowski | Bernhard Riemann | Henri Poincaré Relatividad: Teoría de la relatividad | Principio de relatividad | sistema de referencia | sistema de referencia inercial |E=mc² | Pruebas de la relatividad especial Física: mecánica newtoniana | espacio-tiempo | velocidad de la luz | cosmología física | efecto Doppler | ecuaciones relativistas de Euler | éter (física) | taquión | teoría relativista de la gravitación Matemáticas: espacio de Minkowski | cono de luz | grupo de Lorentz | grupo de Poincaré | geometría | tensor

Principio de equivalencia Ir a la navegaciónIr a la búsqueda El principio de equivalencia es el principio físico de la relatividad general y de varias otras teorías métricas de la gravedad. El principio afirma que: «un sistema inmerso en un campo gravitatorio es puntualmente indistinguible de un sistema de referencia no inercial acelerado».1 Así, fijado un determinado acontecimiento instantáneo de naturaleza puntual (un evento o suceso) en el seno de un campo gravitatorio, dicho acontecimiento puede ser descrito por un observador acelerado situado en ese punto como si se moviera libremente . Es decir, existe cierto observador acelerado que no tiene forma de distinguir si las partículas se mueven o no dentro de un campo gravitatorio. Por ejemplo: si caemos tras una piedra desde un acantilado, la veremos descender con velocidad constante, exactamente igual que si no existiera el campo gravitatorio que nos hace caer. Lo mismo les ocurre a los astronautas en torno a su nave, donde les parece que todo flota como si no cayera hacia la Tierra siguiendo su órbita. Este principio fue utilizado por Albert Einstein para intuir que la trayectoria de las partículas en caída libre en el seno de un campo gravitatorio depende únicamente de la estructura métrica de su entorno inmediato o, lo que es igual, del comportamiento de los metros y los relojes patrones en torno suyo. Formalmente suelen presentarse tres tipos de principio de equivalencia para formular las leyes del movimiento de los cuerpos: 

Débil o principio de equivalencia de Galileo.

 

Principio de equivalencia de Einstein. Principio de equivalencia fuerte.

Índice 



   

1Formulaciones del principio de equivalencia o 1.1Principio de equivalencia débil o 1.2Principio de equivalencia de Einstein o 1.3Principio de equivalencia fuerte 2Consecuencias del principio de equivalencia o 2.1Movimiento a lo largo de geodésicas o 2.2Anulación puntual del campo gravitatorio o 2.3Lagrangiano del campo gravitatorio 3Críticas 4Véase también 5Referencia 6Enlaces externos

Formulaciones del principio de equivalencia[editar] Principio de equivalencia débil[editar] La formulación débil se puede enunciar de la siguiente manera: «El movimiento de cualquier partícula de prueba en caída libre es independiente de su composición y estructura». Este principio se remonta al libro de Galileo Galilei Diálogos sobre las dos nuevas ciencias, en el cual Galileo narra que después de realizar varios experimentos con diferentes tipos de materiales, llega a la conclusión de que en un medio sin resistencia todos los cuerpos caen con la misma aceleración. Esto se puede ver de la siguiente manera, la segunda ley del movimiento de Isaac Newton,

donde la masa inercial es la resistencia de un cuerpo a ser acelerado. Por otro lado, de la ley de gravitación universal de Newton se cumple que:

Para un objeto en caída libre, es decir, sin más fuerzas actuando en él, se tiene la igualdad de ambas fórmulas:

por lo que el principio de equivalencia en forma débil especifica la igualdad entre las masas inercial y gravitacional, volviéndolas indistinguibles.

Esta formulación ha sido probada a gran precisión desde los experimentos de Eötvos y es uno de los principios más probados de la física.

Principio de equivalencia de Einstein[editar]

La formulación de Einstein se obtiene al incorporar la relatividad especial al principio de equivalencia de Galileo. Formalmente puede enunciarse de la manera siguiente: El resultado de cualquier experimento no gravitacional en un laboratorio desplazándose en un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad del laboratorio o de su localización en el espacio-tiempo. Esta es la forma más usual del principio de equivalencia. Otra forma de formular el principio de equivalencia fuerte es que en una vecindad lo suficientemente pequeña del espacio-tiempo, las leyes de la físicano gravitacionales obedecen las leyes de la relatividad especial en un marco de referencia en caída libre o marco geodésico, es decir un marco de referencia cuyo origen de coordenadas se mueve a lo largo de una línea geodésica. Existen otras formulaciones similares de este principio como esta otra: Las propiedades de un sistema no inercial son las mismas que un sistema inercial cuando existe un cierto campo gravitatorio Nótese que un sistema no inercial puede ser idéntico a un campo gravitatorio de cierto tipo; sin embargo, eso no implica que cualquier campo gravitacional sea equivalente a un sistema no inercial (en particular, el campo gravitatorio terrestre no puede ser sustituido por un sistema de aceleración uniforme debido a que su tensor de Riemann no es nulo).

Principio de equivalencia fuerte[editar] El principio de equivalencia fuerte se formula de la siguiente manera: El movimiento gravitacional de un cuerpo de prueba depende únicamente de su posición inicial en el espacio tiempo y no de su constitución, y el resultado de cualquier experimento local, gravitacional o no, en un laboratorio moviéndose en un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad del laboratorio y de su localización en el espacio-tiempo. Es decir, en un marco de referencia en caída libre, y en una vecindad lo suficientemente pequeña del espacio-tiempo, todas las leyes de la física obedecen las leyes de relatividad especial. En esta definición el término «local» debe entenderse como experimento que sólo involucra a una partícula puntual (para cuerpos o campos extensos aparecen fuerzas de marea que permitirían distinguir ambos casos). El principio de equivalencia fuerte sugiere que la gravedad es de naturaleza puramente geométrica (esto es, la métrica determina los efectos de la gravedad) y no contiene ningún campo adicional asociado con ella.

Consecuencias del principio de equivalencia[editar] Movimiento a lo largo de geodésicas[editar] La relatividad general, como teoría física de interacción que es, se compone de dos partes. La primera permite calcular, mediante la ecuación de Einstein, la curvatura del espacio-tiempo a partir de una distribución de energía. La segunda determina el movimiento de una masa prueba en un espaciotiempo curvo, y es la ecuación de la geodésica. El principio de equivalencia afirma que en un sistema de referencia en caída libre se anulan los efectos de la gravedad, y la física que allí se mida es coherente con la relatividad especial. Desarrollando matemáticamente este enunciado se concluye que la trayectoria de una masa en un campo gravitatorio es una geodésica en el espacio-tiempo.

De este modo, se podría decir que el principio de equivalencia, junto con el principio de relatividad especial son los únicos principios físicos sobre los que se apoya la relatividad general, ya que la ecuación de Einstein no está basada en ningún principio, sino que está deducida de una manera heurística.

Anulación puntual del campo gravitatorio [editar] El principio de equivalencia establece la existencia de un sistema acelerado donde puntualmente el campo gravitatorio no se detecta, es decir, es puntualmente nulo. Ese sistema acelerado precisamente aquel en el que los símbolos de Christoffel de la métrica se anulan. Es decir, ese sistema de coordenadas donde el campo gravitatorio es puntualmente indetectable en el punto p, satisface que: (*) El hecho anterior junto con el hecho de que el lagrangiano debe ser un escalar físico independiente del sistema de referencia escogido, que el lagrangiano del campo gravitatorio no puede formarse exclusivamente a partir del tensor métrico y los símbolos de Christoffel , puesto que entonces debido a que este es nulo para el sistema de coordenadas considerado anteriormente, la variación sería idénticamente nula para todos los observadores, lo cual no tiene sentido físico. Debe notarse además que la anulación en la ecuación (*) sólo se da un punto o conjunto finito de puntos, pero si se considera un entorno suficientemente grande alrededor de un punto la anulación no es estricta, razón por la cual el principio de equivalencia sólo es estricamente cierto para experimentos de «tipo puntual», no medidas sobre una región suficientemente amplia.

Lagrangiano del campo gravitatorio[editar] La posibilidad de elegir un sistema de referencia acelerado donde los símbolos de Christoffel sean nulos, implica que el lagrangiano del campo gravitatorio relativista debe estar formado por derivadas de orden superior a uno del tensor métrico y, por tanto, el principio de equivalencia implica que el lagrangiano debe ser algún escalar relacionado con la curvatura. En efecto, la forma más común de escribir el lagrangiano del campo gravitatorio es:

Donde son la curvatura escalar y el determinante del tensor métrico, y la integral anterior se extiende sobre una cierta región del espacio-tiempo.

Críticas[editar] Si bien el principio de equivalencia fue históricamente importante para formular la teoría de la gravitación, sólo es estrictamente válido para fenómenos de naturaleza puntual. Por ejemplo, en un campo gravitatorio como el terrestre, si un observador está dentro de un ascensor en caída libre y sitúa dos partículas en el aire, verá que éstas, a medida que el ascensor se

acerca a la Tierra, siguen trayectorias ligeramente convergentes hacia el centro de la Tierra (y no estrictamente paralelas) y, por tanto, verá que las dos partículas se acercan entre sí muy lentamente [en una magnitud mayor de la predicha por su mutua atracción gravitatoria]. Ese efecto será percibido por el observador como una fuerza de marea, que le permitirá darse cuenta que está dentro de un campo gravitatorio. Por el contrario, la tasa de acercamiento sería diferente en un ascensor que realmente esté flotando en el espacio vacío lejos de los campos gravitatorios. Este efecto numéricamente es muy pequeño y difícil de medir en la práctica, pero estrictamente sugiere que, en una región no infinitesimal del espacio-tiempo, un sistema acelerado y un campo gravitatorio de cierto tipo sí son distinguibles. Otro ejemplo aún más claro es un observador encerrado dentro del ascensor en caída libre, junto a una partícula eléctrica.2 Aunque el observador esté en reposo respecto a la partícula, observará que la partícula emite una radiación por culpa de que el campo eléctrico de la misma está siendo deformado por el campo gravitatorio. En el mismo experimento realizado en un ascensor fuera de un campo gravitatorio, el observador no detectará ninguna emisión de radiación si la partícula está en reposo respecto a él (nuevamente la potencia radiada por la partícula es muy pequeña en el ascensor cayendo y es casi inapreciable, aunque existente).

Véase también[editar]  

principio de Mach relatividad general

Referencia[editar] 1.

2.

↑ Localmente el principio no es cierto, ya que dado un punto del espaciotiempo, localmente el tensor de curvatura de Riemann para un campo gravitatorio no sería nulo, pero sí podría ser nulo en el segundo caso. ↑ A. A. Logunov, 1998

Enlaces externos[editar]  

Recientes Experimentos sobre el Principio de Equivalencia Kraiselburd, Lucila (03 de 2012). Violación del Principio de Equivalencia en teorías con α variable. p. 100. Categorías: 

Relatividad general



Principios y leyes físicas