Rangul Unei Matrice
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Rangul Unei Matrice as PDF for free.
More details
- Words: 1,018
- Pages: 2
Rangul unei matrice a11 a A = 21 ... am1
a12 a22 ... am 2
... a1n ... a2 n ∈ M m , n ( C) ... ... ... am n
Se considera o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe. Iar k un numar natural, astfel încât 1
ai1, j1 ai2, j1 ... a ik , j1
ai1, j2 ai2, j2 ... aik , j2
ai1, jk ... ai2, jk ∈ M m , n ( C) ... ... ... aik , jk ...
intersectia acelor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k: al carei determinant se numeste minor de ordin k al matricei A Se observa ca din matricea A se pot obtine Cmk Cnk minori de ordin k ai matricei. Se considea A=Om,n o matrice cu m linii si n coloane. Cum matricea A elemente nenule, exista minori nenuli de un anumit ordin k>1. Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural r, 1
Fie A = (a i , j )1≤ j≤m si B = (b i , j )1≤ j≤n cele doua matrice. Atunci produsul lor se scrie : 1≤i≤ n
1≤i≤ s
n n n ∑ a 1k b k1 ∑ a 1k b k2 ... ∑ a 1k b ks k =1 k =1 k =1 A⋅B= ... ... ... ... n n n a mk b k1 ∑ a mk b k2 ... ∑ a mk b ks k∑ k =1 k =1 =1 Se considera un minor δ de ordin k al matricei AB , situat la intersectia liniilor
i1 , i 2 ,… , i k si coloanelor j1 , j2 ,… , jk n
∑ a i k bk j
k =1 n
1
1
n
∑ ai k bk j
k =1 n
1
2
∑ a i2k b k j1 ∑ a i2k b k j2
k =1 n
...
k =1 n
...
∑ a ik k b k j1 ∑ a ik k b k j2
k =1
... ... ... ...
k =1
n
∑ a i1k b k jk
k =1 n
∑ a i2k b k jk
k =1 n
...
∑ a ik k b k jk
k =1
Deoarece fiecare element a lui δ este suma a n termeni, δ se poate descompune într - o suma de n k minori. n
n
k =1 n
k =1 n
∑ a i1k1 b k 1j1 ∑ a i1k b k j2
...
∑ a i2k b k j1
∑ a i2k b k j2
...
...
...
k =1 n
...
k =1 n
∑ a ik k b k j1 ∑ a ik k b k j2
k =1
...
k =1
n
∑ a i1k b k jk
k =1 n
∑ a i2k b k jk
k =1 n
=d
...
∑ a ik k b k jk
k =1
d = bk j bk 11
j ...b k j 22 k k
ai k
ai k
... a i k
ai
ai
... a i
1 1 k 2 1
... ai
k k 1
1 2 k 2 2
... ai
k k 2
1 k k 2 k
... ... ... a i k
k k
Deci δ este o combinatie liniara de minori de ordin k ai matricei A Consecinta:Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecarei matrice. Demonstratie: Fie A si B doua matrice astfel încât sa putem efectua produsul AB si se presupune ca toti minorii de ordin K ai lui A (sau ai lui B) sunt nuli. Conform teoremei precedente rezulta ca minorii de ordin k ai matricei AB, care sunt combininatii liniare de ordin k ai matricei A (sau a matricei B) sunt , de asemenea, nuli. Dupa definitia rangului unei matrice: ⇒rang (AB)
a12 a22 ... am 2
... a1n ... a2 n ∈ M m , n ( C) ... ... ... am n
Se considera o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe. Iar k un numar natural, astfel încât 1
ai1, j1 ai2, j1 ... a ik , j1
ai1, j2 ai2, j2 ... aik , j2
ai1, jk ... ai2, jk ∈ M m , n ( C) ... ... ... aik , jk ...
intersectia acelor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k: al carei determinant se numeste minor de ordin k al matricei A Se observa ca din matricea A se pot obtine Cmk Cnk minori de ordin k ai matricei. Se considea A=Om,n o matrice cu m linii si n coloane. Cum matricea A elemente nenule, exista minori nenuli de un anumit ordin k>1. Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural r, 1
Fie A = (a i , j )1≤ j≤m si B = (b i , j )1≤ j≤n cele doua matrice. Atunci produsul lor se scrie : 1≤i≤ n
1≤i≤ s
n n n ∑ a 1k b k1 ∑ a 1k b k2 ... ∑ a 1k b ks k =1 k =1 k =1 A⋅B= ... ... ... ... n n n a mk b k1 ∑ a mk b k2 ... ∑ a mk b ks k∑ k =1 k =1 =1 Se considera un minor δ de ordin k al matricei AB , situat la intersectia liniilor
i1 , i 2 ,… , i k si coloanelor j1 , j2 ,… , jk n
∑ a i k bk j
k =1 n
1
1
n
∑ ai k bk j
k =1 n
1
2
∑ a i2k b k j1 ∑ a i2k b k j2
k =1 n
...
k =1 n
...
∑ a ik k b k j1 ∑ a ik k b k j2
k =1
... ... ... ...
k =1
n
∑ a i1k b k jk
k =1 n
∑ a i2k b k jk
k =1 n
...
∑ a ik k b k jk
k =1
Deoarece fiecare element a lui δ este suma a n termeni, δ se poate descompune într - o suma de n k minori. n
n
k =1 n
k =1 n
∑ a i1k1 b k 1j1 ∑ a i1k b k j2
...
∑ a i2k b k j1
∑ a i2k b k j2
...
...
...
k =1 n
...
k =1 n
∑ a ik k b k j1 ∑ a ik k b k j2
k =1
...
k =1
n
∑ a i1k b k jk
k =1 n
∑ a i2k b k jk
k =1 n
=d
...
∑ a ik k b k jk
k =1
d = bk j bk 11
j ...b k j 22 k k
ai k
ai k
... a i k
ai
ai
... a i
1 1 k 2 1
... ai
k k 1
1 2 k 2 2
... ai
k k 2
1 k k 2 k
... ... ... a i k
k k
Deci δ este o combinatie liniara de minori de ordin k ai matricei A Consecinta:Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecarei matrice. Demonstratie: Fie A si B doua matrice astfel încât sa putem efectua produsul AB si se presupune ca toti minorii de ordin K ai lui A (sau ai lui B) sunt nuli. Conform teoremei precedente rezulta ca minorii de ordin k ai matricei AB, care sunt combininatii liniare de ordin k ai matricei A (sau a matricei B) sunt , de asemenea, nuli. Dupa definitia rangului unei matrice: ⇒rang (AB)
Related Documents
Rangul Unei Matrice
July 2020 10
Rangul Unei Matrice
May 2020 4
Matrice
June 2020 10
Matrice Dsp.pdf
May 2020 10
Matrice 1
November 2019 17