Matrice

MATRICE  a11 A =   a 21

a12   a 22 

MATRICE Tabel de tip matriceal În diverse activităţi practice legate de înregistrarea, gruparea, analiza şi interpretarea datelor referitoare la desfăşurarea unui anumit fenomen de natură tehnică sau economică apare necesitatea organizării acestor date informative în diverse tablouri (tabele) care să servească într-o manieră optimă scopului propus. Să considerăm următoarea situaţie practică: Situaţia vânzărilor la 4 librării dintr-un oraş într-o perioadă de timp este prezentată în tabelul de mai jos, în care se specifică librăria, tipul de carte vândut şi numărul de exemplare vândute din fiecare tip.

Produsul Librăria

Carte şcolară

Literatură Carte Beletristică universală tehnică

Dicţionare

Librăria nr.1

55

14

4

20

2

Librăria nr.2

30

24

0

52

10

Librăria nr.3

45

15

8

40

7

Librăria nr.4

28

10

3

50

9

Din acest tabel putem extrage cu uşurinţă informaţii despre vânzările unor librării citind datele situate pe linii, precum şi informaţii privind vânzările unui anumit tip de carte, la cele 4 librării, extrăgând datele situate pe o anumită coloană.

Exemple: -La librăria nr.2 s-au vândut 30 de exemplare de carte şcolară, 24 de exemplare de literatură universală, nicio carte de tehnică, 52 de cărţi de beletristică şi 10 dicţionare. -Dicţionarele s-au vândut astfel: două dicţionare la librăria nr.1, 10 la librăria nr.2, 7 la librăria nr.3 şi 9 la ultima librărie. -Numărul de 50 situat la intersecţia liniei a patra cu coloana a patra a tabelului reprezintă numărul de cărţi de beletristică vândute la librăria nr.4.

Datele tabelului de mai sus pot fi scrise sub o altă formă, într-un tabel format din 4 linii şi 5 coloane astfel:

 55   30  45   28 

14 4 20 2   24 0 52 10  15 8 40 7   10 3 50 9 

Definiţie: Un tabel în care datele sunt scrise pe linii şi pe coloane se numeşte tabel de tip matriceal.

Un tabel de tip matriceal format din m linii şi n coloane, unde m,n N* are forma următoare: Coloana 1

Coloana 2

Coloana 3

..........

Coloana n

Linia 1 Linia 2 Linia 3 .......... Linia m

Poziţia unei date din tabelul de tip matriceal este bine precizată când se indică linia şi coloana pe care se află. Vom utiliza notaţia literală aij pentru a indica elementul situat la intersecţia liniei i cu coloana j.

Exemplu: Pentru tabelul de tip matriceal de mai sus avem: a11 = 55, a12 = 14, a 23 = 0, a35 = 7, a 44 = 50 etc.

28 = a14 ,8 = a33 ,10 = a 25 ,3 = a 43 ,9 = a 45

etc.

ÎNMULŢIREA MATRICELOR Definiţie: Fie matricele

A = ( aij ) m×n

şi B = ( bij ) n× p

Se numeşte produsul matricelor A şi B (în această ordine) matricea C = ( cij ) m× p ale cărei elemente sunt date de egalităţile: cik = ail blk + ai 2 b2 k + ai 3 b3k + ..... + ain bnk , ∀i ∈ {1,2,...., m}

∀k ∈ {1,2,......, p}

Matricea produs se notează C = A ⋅ B.

şi

Operaţia prin care fiecărei perechi ( A, B ) ∈ M m,n (C ) × M n, p (C ) i se asociază produsul de matrice A ⋅ B se numeşte înmulţirea matricelor. Observaţii: Pentru a obţine elementul situat la intersecţia liniei i cu coloana k în matricea produs AB se face suma tuturor produselor dintre elementele liniei i din matricea A şi elementele omoloage k a matricei B. Omologia dintre elementele liniei i din matricea A şi elementele coloanei k din matricea B se stabileşte astfel: elementului ail îi corespunde elementul blk , elementului

ai 2

îi corespunde elementul b2 k ,....., elementului ain

îi corespunde elementul bnk (vezi diagrama de mai jos).  b1k          b2 k  ail ai 2  ain  ⋅             b nk 

        →  cik         

Regula de înmulţire a două matrice se numeşte pe scurt regula de înmulţire a liniilor cu coloanele sau regula linie-coloană. Din definiţie se observă că produsul AB are sens numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de linii ale matricei B. Rezultă că nu orice două matrice pot fi înmulţite.

Dacă

A, B ∈ M n (C )

atunci are sens produsul AB şi produsul

BA. Aşadar, operaţia de înmulţire a matricelor este peste tot definită în mulţimea M n (c). Exemplu: Să exemplificăm regula înmulţirii a două matrice. Fie matricele:

1 − 1 2  A =  3 0 4

şi

2  2   B = −1 4   5 − 3  

1.Calculăm produsul AB. Avem A ∈ M 2,3 ( R) şi B ∈ M 3, 2 ( R).

Rezultă că

A ⋅ B ∈ M 2, 2 ( R ).

Notăm

 c11 A ⋅ B =   c 21

c12  . c 22 

Aplicând regula de înmulţire linie-coloană se obţine: c11 = a11b11 + a12 b21 + a13b31 = 1 ⋅ 2 + ( − 1) ⋅ ( − 1) + 2 ⋅ 5 = 13 c12 = a11b12 + a12 b22 + a13 b32 = 1 ⋅ 2 + ( − 1) ⋅ 4 + 2 ⋅ ( − 3) = −8

c 21 = a 21b11 + a 22 b21 + a 23b31 = 3 ⋅ 2 + 0 ⋅ ( − 1) + 4 ⋅ 5 = 26

c 22 = a 21b12 + a 22 b22 + a 23b32 = 3 ⋅ 2 + 0 ⋅ 4 + 4 ⋅ ( − 3) = −6

 13 − 8  . Aşadar, AB =   26 − 6 

2.Calculăm produsul B ⋅ A = M 3 ( R ). Avem: 2 2  2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 2 ⋅ ( − 1) + 2 ⋅ 0 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4   8 − 2 1 2     1 − 1 2      =  − 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 − 1 ⋅ − 1 + 4 ⋅ 0 − 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4  =  1 1 1 4  B ⋅ A =  − 1 4  ⋅   5 − 3  3 0 4   5 ⋅ 1 + − 3 ⋅ 3 5 ⋅ − 1 + − 3 ⋅ 0 5 ⋅ 2 + − 3 ⋅ 4   − 4 − 5 − 2       

Se observă că A ⋅ B ≠ B ⋅ A. Aşadar, înmulţirea matricelor nu este operaţie comutativă.