Rangul Unei Matrice
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Rangul Unei Matrice as PDF for free.
More details
- Words: 1,317
- Pages: 2
Copyright www.ReferateOnline.com Cel mai complet site cu referate
Rangul unei matrice Se considera o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe. a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A = ∈ M m,n (C) ... ... ... ... a a ... a m1 m2 mn Iar k un numar natural, astfel încât 11. Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural r, 1
Teorema 2: Fie A∈Mm,n(C)si B∈Mn,s(C) doua matrice. Atunci orice minor de ordin k, 1
A
δ δ
= ( a i , j )1 s i B = ( b i , j )1 c e l e d o u a ≤ j≤ m ≤ j≤ n 1 ≤ i≤ n
A
S e
m a t r i c e .
A t u n c i
1 ≤ i≤ s
δ p r o d u s u l
l o r
n n n a1 b k a1 b k . . . a1 b k ∑ ∑ ∑ k 1 k 2 k s k = 1 k = 1 k = 1 ⋅ B = . . . . . . . . . . . . n n n a m b k a m b k . . . a m b k ∑ ∑ ∑ k 1 k 2 k s k = 1 k = 1 k = 1 c o n s i d e r a u n m i n o r d e o r d i n k a l m a t r i c e i A B , s i t u a t l a i n t e r s e c t i
i1 , i
2
a
l i n i i l o r
,… , i k s i c o l o a n e l o r j j 2 ,… , jk 1 ,
n
n
n
a b a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j2 k j 1 1 k
i k k j 1 1 k = 1 n
k = 1 n
k = 1 n
a b a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j k j 2 2 2 k
i k k j 2 1 k = 1 n
k = 1
. . .
. . .
n
k = 1
. . .
. . .
n
a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j k j k 2 k k
a i b k k j 1 k k = 1 D e o a r e c e î n t r
k = 1
f i e c a r e -
o
s u m a
e l e m e n t d e
n
n
k
m i n o r i .
n
k = 1
a
l u i
e s t e
s u m a
a
n t e r m e n i ,
n
s e
p o a t e
d e s c o m p u n e
a b a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j2 k jk 1 1
i k1 k 1 1j 1 k = 1 n
k = 1 n
k = 1 n
a b a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ j2 jk = d 2k 2k
i 2k k j 1 k = 1 n
. . .
k = 1 n
. . .
. . .
k = 1 n
. . .
a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j k j k 2 k k
a i b k k j 1 k k = 1
k = 1
d = bk j bk 11
j ...b k j 22 kk
k = 1
ai k
ai k
... a i k
ai
ai
... a i
11 k 2 1
... ai
k k 1
1 2 k 2 2
... ai
k k 2
1 k k 2 k
... ... ... a i k
k k
Deciδ este o combinatieliniara de minori de ordin k ai matriceiA Consecinta:Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecarei matrice. Demonstratie: Fie A si B doua matrice astfel încât sa putem efectua produsul AB si se presupune ca toti minorii de ordin K ai lui A (sau ai lui B) sunt nuli. Conform teoremei precedente rezulta ca minorii de ordin k ai matricei AB, care sunt combininatii liniare de ordin k ai matricei A (sau a matricei B) sunt , de asemenea, nuli. Dupa definitia rangului unei matrice: ⇒rang (AB)
s e
s c r i e
:
Rangul unei matrice Se considera o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe. a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A = ∈ M m,n (C) ... ... ... ... a a ... a m1 m2 mn Iar k un numar natural, astfel încât 1
Teorema 2: Fie A∈Mm,n(C)si B∈Mn,s(C) doua matrice. Atunci orice minor de ordin k, 1
A
δ δ
= ( a i , j )1 s i B = ( b i , j )1 c e l e d o u a ≤ j≤ m ≤ j≤ n 1 ≤ i≤ n
A
S e
m a t r i c e .
A t u n c i
1 ≤ i≤ s
δ p r o d u s u l
l o r
n n n a1 b k a1 b k . . . a1 b k ∑ ∑ ∑ k 1 k 2 k s k = 1 k = 1 k = 1 ⋅ B = . . . . . . . . . . . . n n n a m b k a m b k . . . a m b k ∑ ∑ ∑ k 1 k 2 k s k = 1 k = 1 k = 1 c o n s i d e r a u n m i n o r d e o r d i n k a l m a t r i c e i A B , s i t u a t l a i n t e r s e c t i
i1 , i
2
a
l i n i i l o r
,… , i k s i c o l o a n e l o r j j 2 ,… , jk 1 ,
n
n
n
a b a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j2 k j 1 1 k
i k k j 1 1 k = 1 n
k = 1 n
k = 1 n
a b a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j k j 2 2 2 k
i k k j 2 1 k = 1 n
k = 1
. . .
. . .
n
k = 1
. . .
. . .
n
a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j k j k 2 k k
a i b k k j 1 k k = 1 D e o a r e c e î n t r
k = 1
f i e c a r e -
o
s u m a
e l e m e n t d e
n
n
k
m i n o r i .
n
k = 1
a
l u i
e s t e
s u m a
a
n t e r m e n i ,
n
s e
p o a t e
d e s c o m p u n e
a b a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j2 k jk 1 1
i k1 k 1 1j 1 k = 1 n
k = 1 n
k = 1 n
a b a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ j2 jk = d 2k 2k
i 2k k j 1 k = 1 n
. . .
k = 1 n
. . .
. . .
k = 1 n
. . .
a i b k . . . a i b k ∑ ∑ ∑ k j k j k 2 k k
a i b k k j 1 k k = 1
k = 1
d = bk j bk 11
j ...b k j 22 kk
k = 1
ai k
ai k
... a i k
ai
ai
... a i
11 k 2 1
... ai
k k 1
1 2 k 2 2
... ai
k k 2
1 k k 2 k
... ... ... a i k
k k
Deciδ este o combinatieliniara de minori de ordin k ai matriceiA Consecinta:Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecarei matrice. Demonstratie: Fie A si B doua matrice astfel încât sa putem efectua produsul AB si se presupune ca toti minorii de ordin K ai lui A (sau ai lui B) sunt nuli. Conform teoremei precedente rezulta ca minorii de ordin k ai matricei AB, care sunt combininatii liniare de ordin k ai matricei A (sau a matricei B) sunt , de asemenea, nuli. Dupa definitia rangului unei matrice: ⇒rang (AB)
s e
s c r i e
:
Related Documents
Rangul Unei Matrice
July 2020 10
Rangul Unei Matrice
May 2020 4
Matrice
June 2020 10
Matrice Dsp.pdf
May 2020 10
Matrice 1
November 2019 17
Matrice-c.docx
May 2020 8More Documents from "AdmxTube"
Tema Drumului
July 2020 12
Quelques Donnees Concern Ant La Coupe De France98
July 2020 11
