Qcm 25-02-2005

m

m

m

é

ÈSÄY¯¿¡ÐuÍ Æ®ÆdÄÝÁ,Ã Ñ Ët¿ÀËÈ Ñ Ët¿ Ó Ñ ÄÝÈSÄYÂ%ÃÒ¿ Ï Ç Ï ÄÝÈUà Át¿ ¿ Ó ²Ä ŠËkÍ À × × 
ÄzÄ`Á Ë Ï Í ÊSÍ Ë¨ÔoËkÄ`Ä`ÞÝÆd½ÄYÄ`Àß ËkÏ Á¡¿ÐÁkÍ WÀ‡ÄÝ˪ÈSÁ¨ÄYÊS¯ÐS¿¡Ð¦ÔbÍ ÌmÁ ËkÄzÁŠÁkÁkÀÄ ÊSv(t) ½  , Á W Î ` Ä Ý Ë Í À!ÁkĚÐS¯¿ ÓzÄ*ÈW¿ÀWÁÝÂ½Ä ÏkÑwæqÑ`Ï Ä`À‡Ë¨Ì½Ä`ÂËkÄ Ï¨Ï ÄzÁ¨Ë Ï Ä~ÌmÀWÄ Ï Ë¨Ì½Ä`Â × æqÏ Ñ

 × ÀÆdÍ ÇSÌm½ĵÄzÁ¨Ëi¿ÀSÌmÆ Ñ ÈUà ÊSÀ8ÆdÍ ÊSÔoÄ`ÆdÄ`ÀË*Ó`Ì Ï Ó`ÊS¯¿Ì Ï ÄµÊSÀSÌ æ Í Ï ÆdÄ«ÈSÍ ÀËšÂ¯¿®ÔbÌmËkÄzÁkÁkÄ\Ô ¿ÊSË ~v = ωR~uθ Í zÄ ÁkËÂ½Ä Ï ¿zÜoÍ ÀMȬÊÓzÄ Ï Ó`½ġÄ`Ë ω ¯¿*ÔbÌmËkÄzÁkÁkÄ¡¿ÀSß ÊS¯¿Ì Ï Ä × ¾š¿ÀWÁÊSÀ ÏkÑwæqÑ`Ï Ä`À‡Ë¨Ì½Ä`ÂUÌmÀWÄ Ï Ë¨Ì½Ä`Â%άÁkÍ À¿ ÓzÓ Ñ Â Ñ`Ï ¿Ë¨Ì½Í À R Ô ¿ÊSË á “ 2ωR~uθ â\“ ~γ~γ == −Rω 2 㠓 ~γ = −Rω2~u~urr + 2Rω~uθ 䋓 ~γ = −Rω2 cos (ωt)~i − Rω2 sin (ωt)~j  ²Í ÊWÁUȬ̽Á¨Ð¦Í ÁkÍ ÀWÁÈUà ÊSÀ~ÐS¯¿À*ÌmÀWÓ`ÂmÌmÀ ÈSÍ ÀËÀWÍ ÊWÁUÐ¦Í ÊSÔoÍ ÀWÁ ¿Ì Ä<Ô ¿ Ì½Ä Â%ÃÒ¿ÀSß Â½ÄÈUà ÌmÀWÓ`ÂmÌmÀ ¿̽ÁkÍ À Í À~¿ÐSЦÄ`ÂmÂ½Ä × Â%ÃÒ¿ÀSß Â½Ä®Ä`À‡Ë Į½īÐS¯¿À0ÌmÀWÓ`ÂmÌmÀ Ä`Ñ ËšÂ%à WÍ ÌmÞ^Í ÀËt¿½Ä,è ÀWæÄ\ÔoÏ Í ÌmË¨Ê Ï Ä/ÏÈSÄ«Æ/¿ ÁkÁkÄ ÁkÄµË Í ÊSÔoç Ä‹Â%ÃÒ¿ Ë α Á¨Ê Ï ÓzĵÐS¯¿À × Ï ¿dÐ¦Í Á¨ÌmË¨Ì½Í À8ÌmÀSÌm˨̯ѿ½īÄzÁ¨Ë²Â%Ã Ï WÍ Ï ÌmÞ^Í À‡Ët¿×Â½Ä ç α = 0è × Ï ¡Í ÊWÁi¿ÊSß ÆdÄ`M ÀËkÍ v ÀWÁiÐ Ï Ï Í ß Ï ÄzÁtÁ¨ÌmÔoÄ`ÆdϨÄ`ÏÀ Ë Â%ÃÒ¿ÀSß Â½Ä α ç ½Ä\ÐS¯¿À8Á,à ÌmÀWÓ`ÂmÌmÀWĵÈSÄ\ÐSÂmÊWÁšÄ`À8ÐSÂmÊWÁsè ×€Ø ¿ Ï Æ®Ì¸Â½ÄzÁ¡Ð Ï Í ÐuÍ ÁkÌmË¨Ì½Í ÀWÁ¡ÁkÊSÌmÔ ¿À‡ËkÄzÁ^Îu¯¿ ç ½ÄzÁsè ɍÊWÄ`ÂmÂ½Ä ç Áwè ÄzÁ¨Ë ç ÁkÍ À‡ËsèÔ Ï ¿Ì½Ä ç Ásè  á “ Ä*ÓzÍbÄ /Ó`̽Ä`ÀË²ÈSÄ Í Ë¨ËkÄ`ÆdÄ`ÀË¡Á¨Ët¿˨̽ɇÊWÄ ¿ÊSß ÆdÄ`ÀËkÄ*Ð Í Ð¦Í Ë¨Ì½Í ÀSÀWÄ`Âm½Ä`ÆdÄ`ÀË*¿^ÔoÄzÓ*Â%ÃÒ¿ÀSß Â½Ä α × â\“ ÄiÓzÍbÄ /Ó`̽Ä`ÀË²ÈSÄ æhæqÏÏ Í Ë¨ËkÄ`ÆdÄ`À‡Ë²È¬ÜbÀ ¿Ʈ̽ɍÊWkÄs kd È Ñ Ð¦Ä`ÀWÈ(È¬Ï ÊMÆ/Ï¿Ë Ñ`Ï Ì¯¿ÊÈSÄzÁŠÐSÀWÄ`ÊWÁ × ã “ Ú À(ß Ñ À Ñ`Ï ¿Â%Î ks > kd × ä‹“ IJÓz͇Ä /Ó`̽Ä`À‡ËÈSÄ æhÏ Í Ë¨ËkÄ`ÆdÄ`À‡ËŠÈ¬Ü‡À ¿Ʈ̽ɇÊWÄ kd ÄzÁ¨ËÐ Ï Í ÐuÍ Ï Ë¨Ì½Í ÀSÀWÄ` i¯¿ æ Í Ï ÓzIJÈSÄ ÏkÑ ¿ Ó`Ë¨Ì½Í À‹ÀWÍ Ï Æ/¿Â½Ä ȬÊ(ÐS¯¿ÀMÌmÀWÓ`ÂmÌmÀ Ñ Á¨Ê Ï Â¯¿µÔoÍ ÌmË¨Ê Ï Ä × Î Î Í ÀË\½ÄzÁ*Æ/¿ ÁkÁtÄzÁ ÄzÁ¨Ð¦ÄzÓ`˨ÌmÔoÄzÁ Î Î ÔoÍ Ì Â½Ä/ÁtÓ  Ñ Æ/¿(ÁkÊSÌmÔ ¿À‡Ësè ×VØ Í Ê Ï  × Â½ ÄzÁ‹ÓzÍ ÐuÏ Í ÐWÁkÁ Ìm˨M  Ì½Í ÀS1ÀWÄ MÏ Î2Í À‘MÊS3˨ÌmÂm̽ÁkÄÙÊSÀ Ï Ä`Ðuå Ï Ä8Ï Í Ï Ë WÍ ÀWÍ Ï Æ Ñ mÓz1Ä`ÀmË ÏkÑ 2 Ä`mÀ 3Mç 1 ËkÏ Ä`ÂiɍÊWÄ M ΊÄ`Ë ~ 1 M2 = (0; 4) Â%à ÊSÀSÌmË Ñ ÄzÁ¨Ë 106 mè !× ÀdÈSÍ ÀSÀWÄ m1 = 2·106 kg Î m2 = 3·106 kg Î Ä`Ë m3 = 1·106 kg × M1~M3 = (12; 0) ç

"

!ÄzÁ¨ËÝÁkÌmË¨Ê Ñ G ÎS½ÄiÓzÄ`ÀË Ï Ä\ÈSÄiÆ/¿ ÁkÁkÄiȬÊ(Á¨Ü¬Á¨Ëkå`ÆdÄiÓzÍ ÀWÁ¨Ë¨ÌmË¨Ê Ñ Ð ¿ Ï Â½ÄzÁ  Æ/¿ ÁkÁtÄzÁ  á “ M~1 G = (2; 2) â\“ M 1) 㠓 M~~11GG == (2; 2) 䋓 M~1 G = (3; ( 21 ; 21 ) ×ÈS ÄYÀ«Â½Í ÐuÀSÄ`ß ÀWÊWȬÄ`ÊSÊ Â½ÄŠÁkÌmÎ Æ®Ä`˖ÐS½ɍĊÊSÄzÌ Á¨Ë–ÄzÓzÁkËkÍ ÄŠÀWÁ¨Ëk˨Ä`ÌmÀW˨ÊȬÊÑ ÈUà ÊSÀ®ÀWÄYÀWÍ Æ/ËkÄ ¿ ÁkÁkÄ Â%ÃÒm¿ÀSß Í Â½ÁkIJÓ`ÌmÄ`ÂmÀÂ¯¿Ë À‡ÄŠË¿½ÄÊ«ÛWÇuÂ Í Ä`ÊS˸˖¯¿¡ÈUà ÔoÊSÄ À«Ë¨ÛW̽Ó^ÂW¿ÈS½ÄYÄ Æ/ V¿ ¿šÁkÆ/ÁtÄ¿ À ÁkÑ Átß Ä ÂmÌmßoÄ^Ák¿ÊSÇSÇSÂ½Ä ÌmË Î ÊSÀWÄ æ Í Ï ÓzÄ¡ÈSÏ Ä `æqÏ Í Ë¨ËkÄ`ÆdÄ`Ï ÀË f~ = −k~v× ÎbÍ  k ÄzÁ¨ËθÊSÀWÄ¡ÓzÍ ÀWÁ¨Ët¿ÀÏ ËkÄ × ¾i¿ÀWÁÂ½Ä ÏkÑwæÏ Ñ`Ï Ä`ÀË¨Ì½Ä`× Â¦ÌmÀWÄ Ï Ë¨Ì½Ä`¦ËkÄ mÏ¨Ï ÄzÁ¨Ë Ï Ä Î Â%Ã Ñ É‡Ê ¿Ë¨Ì½Í À!È¬Ì Ñ`Ï Ä`À‡Ë¨Ì½Ä`Âm½Ä\ȬÊMÆdÍ ÊSÔoÄ`ÆdÄ`À‡Ë¡ÄzÁkË á “ θ¨ + g θ = 0 â\“ θ¨ − g` cosθ + k θ˙ = 0 ` m 㠓 θ˙ + mg sinθ = 䋓 θ¨ + gk`sinθ + k 0θ˙ = 0 ` m × ÀMÐ ¿ Ï ¿ Ó ÊS˨̽Á¨ËkÄ\Á^ÃÒ¿Æ~ÊWÁkÄ × ¿µË Ï ¿ ¼ÄzÓ`ËkÍ Ì Ï Ä\ÄzÁ¨ËÝÈ Ñ Ó Ï ÌmËkÄiÐ ¿ Ï Â½ÄzÁ Ñ ÉÊ ¿Ë¨Ì½Í ÀWÁ²Á¨ÊSÌmÔ ¿À‡ËkÄzÁ 
















r(t) = a θ(t) = b + ct2 z(t) = d − 4act2 

Í a Î b Ä`Ë c ÁkÍ À‡ËÝÐ¦Í Á¨ÌmË¨Ì æ ÁŠÄ`˲ÓzÍ ÀWÁ¨Ët¿ÀËkÁ × V¿«Ë Ï ¿ ¨ÄzÓ`ËkÍ Ì Ï Ä*ȬÊ(Ð ¿ Ï ¿ Ó‡ÊS˨̽Á¨ËkĵÄzÁ¨Ë á “ÝÊSÀWÄ*È Í ÌmËkÄ â\“ÝÊSÀ(ÓzÄ Ï Ï Ó`Â½Ä ã “ÝÊSÀWÄ*Á¨ÐSÌ Ï ¿Â½Ä ä‹“ŠÊSÀWÄ  Ñ Âm̽ÓzÄ × Âm ÌmÇ À ÄdÏ ÄzȬÁkÊ ÁkÍ Ï ÄzËiÁtÁkÄzÍ Á¨ËšË Û Ñ Ä ¿Ê0ÄzÁkÐSÁkÍ Â¯¿ æË*Í ÄzÀWÁ¨È0Ë~ÈUÁkÊSà ÊSÐSÀWÐuÄ®Í Á ÐS̽åzÈSÓzÄ®Ä × Æ/ ¿ ÀWÁkÄ«ÁkÄ«ÇSÀÌmÂmÂ½Ä®ß ÂmÈSÌmßoÄ«Ä^¿Æ/ÇS¿ ½ċÁtÁkÄ`Ä Ë~MÁt¿ÄzÓzÁ¨Í Ë*ÀW¿Á¨Ët˨Ët¿¿ À‡ÓËk Ä°Ñ ÈSÄ Ä ‹Â%¿ÃÅÐSÄ ¬ÐuË Ä`ÏkÂ–Ñ Æ®Ô ¿ÌmÊSË Ñ Ë Ï À&À Ï ß ÂmÌmßoÄ/Ï Â½Äz× Á Í Ï Ë¨ËkÄ`ÆdÏ Ä`ÀËkÁ –ÃÅÍ Ìmß ÌmÀWÑ Ä‹ÈSÄdÂ%ÃÒ¿ SÄ®ÔoÄ Ñ Ë¨Ì½Ó^¿ ÄzÁ¨Ë~½ÄdÐ¦Í ÌmÀË\ÍbÓzÓ`ÊSÐ Ï Ð ¿ ¯¿ÇSÌmÂmÂ½Ä k× × Ë¨Ì ÄdÏ Á¨Ê ¯¿‹ÇSÌmÂmÂ½Ä®Ð¦Í Ê Ï Â¯¿‹ÐS¯Oz Â½Í Ï ÁkɇÊÃÅÄ`ÂmÑ Â½Ä®ÄzÁ¨Ë*Ä`À Ñ æqÉ‡Ï ÊSÌmÂmÌmÇ Ï Ä × À0 ¿ ÓzÄ Ï Ä`À z0 ÀWÍ À0À‡ÊS¿Ê0Ñ ËkÄ`Æ®Ï ÐWÁ t = 0 Ï Ï Ï Ä`Ë~Í À:¯¿ Ó WÄ¿zÔoÄzÓ/ÊSÀWÄdÔbÌmËkÄzÁkÁkÄ®ÌmÀSÌm˨̯¿Â½Ä Ä°Á¨ÜbÁkËkå`ÆdÄdÄzÁ¨Ë\¿ÐSЦÄ`Â Ñ Í ÁkÓ`ÌmÂm¯¿ËkÄ`Ê Ï  ¿ Ï ÆdÍ ÀS̽ɍÊWÄ ÎÄ`Ë Â%Ã Ñ É‡Ê ¿Ë¨Ì½Í À!ȬÊ(ÆdÍ ÊSÔoÄ`ÆdÄ`ÀËšÈSĚ¯¿«ÇSÌmÂm½ÄiÄzÁ¨Ë²z˙ÈS0Í × ÀSÀ Ñ ÄiÐ ¿ Ï









À ¿ÐSÐuÄ`Âm½Ä



¯¿ ÉÊ ¿À‡Ë¨ÌmË Ñ pk/M ÎYÄ`ËMÍ À Ï ¿ ÐSЦÄ`Âm½Ä0ɇÊWÄ cosh x = (ex + e−x)/2 ÎÝÄ`Ë × Í À(ÆdÍ ÊSÔoÄ`ÆdÄ`ÀËšÁkÄ`Â½Í ÀMÂ%ÃÒ¿ SÄ Oz zÄ Á¨Ëª¿Â½Í Ï Á²ÈSÍ ÀSÀ Ñ Ð ¿ Ï

ω (ex − e−x )/2 

á “ â\“ 㠓 ‹ä “

M z¨ + kz = 0



z˙0 ω sinh ωt = z0 sinh ωt + zω˙0 cosh ωt = z0 cos ωt + zω˙0 sin ωt = z0 sin ωt + zω˙0 cos ωt

z(t) = z0 cosh ωt + z(t) z(t) z(t)



sinh x =

ž
×  ÓzÍ Ï ÐWÁ«ÈSÄ/Æ/¿ ÁtÁkÄzÁ m1 Î m2 ÎÄ`Ë m3 ÁtÍ ÀË«Á¨ÌmË¨Ê Ñ ÁµÂ½Í ÌmÀ ÈSċËkÍ ÊSË«Ó ¿Æ®ÐÈSÄ æ Í Ï ÓzÄzÁ ç P F~ext = ~0 è × –à ÊSÀ&ÈSÄzÁiÓzÍ ÐWÁ\ÓzÍ Æ®Ð Ä`ÀWÈ " ÄzÁkÁkÍ ËkÁ Φ½ÄzÁ  Æ/¿ ÁkÁkÄzÁiÁkÍ À‡Ë\¿˨Ët¿ Ó Ñ ÄzÁ\Ä`ÀWÁkÄ`Æ~ÇSÂ½Ä ÎÈSÄ«ËkÄ`ÂmÂ½Ä Ï Ï Ï Ï  t = 0 × ÁkÍ Ï ËkÄdɇÊWī½ÄzÁ " Ï ÄzÁtÁkÍ Ï ËkÁ~ÁkÍ À‡Ë~ÓzÍ Æ®Ð Ï ÄzÁkÁ Ñ Á ç ÔoÍ Ì Ï Â½Ä®ÁkÓ Ñ Æ/¿oèwÎVÄ`Ë*Â%ÃÅÄ`ÀWÁkÄ`Æ\ÇS½Ä/ÄzÁ¨Ëµ¿Ê Ï Ä`ÐuÍ Á~ÈW¿ÀWÁ*Â½Ä Ïk¯¿«ÑwæÈÑ`Ï Ä`ËkÀÄ`ÀË¨Ì½ËkÄ`Ä\ÂUÈSÌmÀWÄzÄ Á Ï Ë¨Ì½ÄzÄ`ÁkÂUÁtÍÓzÍ ËkÀWÁ Á¨Ì½È Ñ`ÏkÑ × t = 0+ ΍½IJÂm̽Ä`ÀMÁkIJÓ^¿ ÁtÁkÄ ÎÄ`ËY½ÄzÁ  ÓzÍ Ï ÐWÁYÁ^Ã Ñ Â½Í Ìmß ÀWÄ`À‡ËÝÁkÍ ÊWÁÂ%ÃÅÄ ¦Ä`ˊÈSÄ Ñ Ï Ï × 

ÀRÈSÍ ÀSÀWÄ Î¸Ä`Ë À»¿ Ä`ÐuÍ Ë Â½ÄzÁ ÔoÄzÓ`ËkÄ`Ê Á®ÔbÌmËkÄzÁkÁkÄ Â%à ÓWÄ`ÂmÂ½Ä ÎÁ¨Ê Ï Â½ÄzÁ ÁkÓ Ñ Æ/¿ ÁªÓ`ÌnÕmÈSÄz2ÁkÁk=Í ÊWÁm× 1¾¡Ì Ï ÄiÓzmÄ`Âm3ÊSÌV=Í Ê!3mÓzÄ`1Ê × MɍÊSÌUЦÄ`Ï ÊSÔoÄ`ÀÏ Ë¡Ñ ÓzÍ Ï¨Ï Äz Á¨ÐuÍ ÀWÈ Ï Ä Ï µÂ¯¿ ÏkÑ ¿ÂmÌmË Ñ × Ñ



ž ž × á
¤ x™ ™›h£C›^•  ›,ŸV™ × V¿vËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ&¿^Ô ¿ÀWÓzÄ  ÊSÀWÄ0ԇÌmËkÄzÁtÁkÄ8ÓzÍ ÀWÁ¨Ët¿ÀËkÄ:ÈSÄ 0, 5 ms−1 ×ŠÚ Âm½Ä"ÄzÁ¨Ë Ð¦Í Ê Ï Á¨ÊSÌmԇ̽īР¿ Ï  ÓSÌmÂm½ÄdɇÊSÌ¿zÔ ¿ÀWÓzÄ é æ Í Ì½ÁšÐSÂmÊWÁiÔbÌmËkÄ ÎUÄ`ËiɍÊS̖ÄzÁk˚ÁkÌmË¨Ê Ñ 90 m ÈSÄ Ï¨Ï Ì½å Ï Ä«Â¯¿‹ËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ  Â%à ÌmÀWÁ¨Ët¿À‡Ë t = 0 ×  ÊMÇ¦Í ÊS˪ÈSÄiÓzÍ Æ~ÇS̽Ä`ÀÙÈSÄiËkÄ`Æ®ÐWÁ  ÓSÌmÂmÂ½Ä Ï ¿Ë¨Ë Ï ¿ÐSЦÄwÕ%˼Õ%Ìm¯¿«ËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ  á “ t = 20 s â\“ t = 18 s 㠓 䋓 tt == 8,212ss ž¬  × À Ñ Ë¨ÊWȬ̽Ċ½ĪȬ̽Á¨ÐuÍ ÁkÌmË¨Ì æ Ä ¬Ð Ñ`Ï ÌmÆdÄ`À‡Ët¿Â Ï Ä`Ð ÏkÑ ÁkÄ`À‡Ë Ñ Á¨Ê Ï Â½ÄªÁkÓ  Ñ Æ/¿iÓ`ÌnÕÈSÄzÁtÁkÍ ÊWÁ ×! À®ÆdÍ ÇSÌm½IJ¿˨Ët¿ Ó Ñ  ÊSÀ Ï ÄzÁkÁkÍ Ï Ë¸ÄzÁ¨Ë<Ð¦Í Á Ñ Á¨Ê Ï ÊSÀ®Ët¿ÐS̽Á Ï Í ÊS¯¿À‡Ë ²Ô‡ÌmËkÄzÁkÁtÄÓzÍ ÀWÁkËt¿ÀËkÄ ç ÓzÄYȬ̽Á¨Ð¦Í Á¨ÌmË¨Ì æ ÆdÍbÈ Ñ Âm̽ÁkÄÂ½Ä æhÏ Í Ë¨ËkÄ`ÆdÄ`À‡Ë ÈSĸÂ%ÃÒ¿ Ï Ó WÄ`ËÁ¨Ê Ï Â¯¿ÝÓzÍ Ï ÈSÄ Ñ Â¯¿ Á¨Ë¨Ì½É‡ÊWÄȬÊ~Ô‡Ì½Í Â½Í ÀµÄ`ËÐuÄ Ï ÆdÄ`ËÈSĖÓzÍ Æ®Ð Ï Ä`ÀWÈ Ï Ä¯¿ÝÓzÍ Æ®ÐSÂ½Ä ¬ÌmË Ñ È¬Ê~ÁkÍ À Ñ Æ®Ì½Ásè × 



Í Æ®ÐSËkĊËkÄ`À‡ÊdÈSÄzÁ¸Â½Í ̽Á–ÈSÄ æhÏ Í Ë¨ËkÄ`ÆdÄ`À‡ËkÁÄ`À‡Ë Ï ÄŠÂ½ÄYÆdÍ ÇSÌm½ĊÄ`˸½ÄYËt¿ÐS̽Á ç ¿zÔoÄzÓ ÉÊSÌÓzÍ Ï¨Ï ÄzÁkÐuÍ ÀWÈM½ĚƮ̽Ä`Ê µÂ%ÃÅÄ ¬Ð Ñ`Ï Ì½Ä`ÀWÓzÄ × x(t) 







kd < k s

èwÎ ÓWÍ Ì½ÁkÌ Ï ½Â ÄYß Ï ¿ÐWÄ

ž × ¡¾ Ä`Ê :Æ/¿ ÁkÁkÄzÁ«È¬Ì Ñ`Ï Ä`À‡ËkÄzÁ m Ä`Ë M ÁtÍ ÀË Ï Ä`ÂmÌ Ñ ÄzÁµÐ ¿ Ï ÊSÀWċÓzÍ Ï ÈSÄ Ï Í ÊS¯¿À‡ËdÁ¨Ê Ï " Ð¦Í ÊSÂm̽ÄzÁ ç ÔoÍ Ì Ï Â½Ä ÁkÓ  Ñ Æ/¿oè × ÀÙÁ¨ÊSÐSÐuÍ ÁtÄ~ɇÊWÄ*¯¿dÓzÍ Ï ÈSĵÄ`˪½ÄzÁªÐuÍ ÊSÂm̽ÄzÁ¡ÁkÍ À‡Ë¡ÈSÄ~Æ/¿ ÁkÁkÄiÀ Ñ ß ÂmÌmßoÄ^¿ÇSÂ½Ä Î¦Ä`˲ɇÊà ÌmÂVÀà Ü!¿dÐ ¿ Á ÈSÄ æqÏ Í Ë¨ËkÄ`ÆdÄ`ÀËkÁ ×



ÊWÄ`Âm½Ä*ÄzÁ¨ËŠÂ%ÃÒ¿ ÓzÓ Ñ Â Ñ`Ï ¿Ë¨Ì½Í À8ÈSĚ¯¿«Æ/¿ ÁkÁtÄ á “ ~γ = m−M ~g â\“ ~γ = ~0m 㠓 ~γ = m−M ~g 䋓 ~γ = ML +m −L M ~g 1

m

Í ÇWÁtÄ Ï Ô Ñ Ä*ÈW¿ÀWÁÝÂ½Ä ÏkÑwæÑ`Ï Ä`ÀË¨Ì½Ä`ÂÌmÀWÄ Ï Ë¨Ì½Ä`ÂËkÄ Ï¨Ï ÄzÁ¨Ë Ï Ä 

2

D

m

ž  × á ¤ h™ ™› h£R›^•  ›,Ÿ™ ×  Ê 5eme Á¨Ì½åzÓ`½ċ¿zÔ ¿ÀË
× Õ ¡× Î Ñ ÀWÍ À ÈUÃ Ú Â Ñ Ä ÎVÊSÀ&ß Ï ÄzÓ Î¿ Ñ ÀWÍ ÀWÓ Ñ È¬ÌmÔoÄ Ï Á Ð ¿ Ï ¿ ÈSÍ SÄzÁ°ËkÄ`ÀWÈW¿ÀË 8Ð Ï Í ÊSÔoÄ Ï ÉÊWÄM½Ä!ÆdÍ ÊSÔoÄ`ÆdÄ`ÀËÄzÁ¨Ë/ÌmÆ®Ð¦Í ÁkÁ¨ÌmÇSÂ½Ä × –à ÊSÀ‘ÈSÄ!ÓzÄzÁ/Ð ¿ Ï ¿ ÈSÍ ¬ÄzÁ‹ÄzÁ¨Ë ɇÊà ÓSÌmÂm½ġÀWÄ ¿Ë¨Ë ¿Ð¦Ä ¿ ¨¿Æ/¿̽Á¯¿*ËkÍ Ë¨ÊWÄ ÔoÍ Ì ÉÊWÄzÁ¨Ë¨Ì½Í À é é è À‹Ä UÄ`Ë^ÎÐ¦Í Ê É‡Êà ÓSÌmÂmÂ½Ä ¿Ë¨Ë ¿Ð¦Ä ¯¿!Ëk Í Ï Ë¨ÊWÄ ÎÌmÂ æ ¿Ï ÊSË\Ï ÈUÃÒ¿Ç¦Ï Í Ï È É‡Êà ÌmŠ¿˨ËkÄ`ÌmÏß ÀWݽç Ä°Ð¦Í Ï ÌmÀË«ÈSÄ°È Ñ Ð ¿ Ï Ë®×‡Ú ÈSċÓzÄ`Âm½ÄwÕÓ`Ì × VÏ Í Ï ÁkɍÊ à ÌmÂÝ¿¿Ë¨Ï ËkÄ`ÌmÀÏ ËdÓzÄ Ð¦Í ÌmÀË^ά¯¿µËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ*¿µÐ Ï Í ß Ï ÄzÁkÁ Ñ ÈSÄ 9 m ×SØ Í Ê ÏÝÏ ¿Ë¨Ë Ï ¿ÐuÄ Ï Â¯¿µËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ Î¬ÌmÂÈSÍ ÌmËÝÄ`ÀWÓzÍ Ï ÄšÐ ¿ Ï ÓzÍ Ê Ï Ì Ï ÓzÄzÁ 9 m à Æ/¿̽Á*ÊSÀWÄ æ Í Ì½Á\ɍÊà Ìm½ÄzÁ\¿Ð ¿ Ï ÓzÍ Ê Ï ÊWÁ,ÎV¯¿ËkÍ Ï Ë¨ÊWċ¿(Ä`ÀWÓzÍ Ï Ä‹¿zÔ ¿ÀWÓ Ñ àÄ`Ë\¿ÌmÀWÁkÌÈSÄdÁ¨ÊSÌmËkÄ ×m×m×Ø ÊS̽ÁkɇÊÃÅÍ À ЦÄ`ÊSË ÏkÑ ÌmË Ñ`Ï Ä Ï ÓzÄ Ï ¿̽ÁkÍ ÀSÀWÄ`ÆdÄ`À‡Ë ²Â%à ÌmÀ¬ÛWÀSÌ%Î  Ó SÌmÂm½ÄYÀWÄ Ï ¿Ë¨Ë Ï ¿ÐuÄ Ï ¿ k¿Æ/¿̽Á<¯¿²ËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ ×  ÂSÈSÄ`Ô Ï ¿²ËkÍ Ê ¨Í Ê Ï Á Ð ¿ Ï ÔoÄ`ÀSÌ Ï ÈUÃÒ¿ÇuÍ Ï ÈM¿ʋÐuÍ ÌmÀ‡ËŠÉÊWIJ¯¿*ËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ¡Ôb̽Ä`ÀËŠÈSġɍÊSÌm˨ËkÄ Ï ÎbÄ`ˊÓzÄ`Âm½ÄwÕÓ`ÌU¿Ê Ï ¿~Ð Ï Ì½ÁÊSÀ°Ð¦Ä`ÊÈUÃÒ¿zÔ ¿ÀWÓzÄ × ÊWÄiЦÄ`ÀWÁkÄ`ÞiÔoÍ ÊWÁªÈSÄiÓzÄ*Ð ¿ ¿ ÈSÍ SÄ  á “ ÄzÓ`ÌUÄzÁ¨ËYÊSÀÄ ¬Ä`Æ®ÐS½ĚÆdÏ Í À‡Ë Ï ¿ÀËݽÄzÁÂmÌmÆ®ÌmËkÄzÁŠÈSġ¯¿*ÀWÍ Ë¨Ì½Í À(ÈSIJÔbÌmËkÄzÁkÁkÄ ×¬Ú À ÏkÑ ¿ÂmÌmË Ñ ÎbÌmÂ æ ¿ÊSËÊS˨ÌmÂm̽ÁkÄ Ï ÎYÄ`ˋÓ WÍ Ì½Á¨Ì Ï Â½ÄÓzÄ`À‡Ë Ï ÄÙÈSÄÆ/¿ ÁkÁkÄÙÓzÍ Æ®ÆdÄ8Á¨Ü¬Á¨Ëkå`ÆdÄ × ÀÖÈ Ñ È¬ÊSÌmË pG = R γdt = 0 ¿Ê p = m dx/dt Ð¦Í ÌmÀË²ÈSÄ Ï Ä`ÀWÓzÍ ÀË Ï Ä Î¦ÈSÍ ÀWÓ  Ó SÌmÂmÂ½Ä Ï ¿Ë¨Ë Ï ¿ЦÄ\¯¿«ËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ~Æ  ÆdÄ\Á^à ÌmÂÈSÍ Ìm˲Р¿ Ï ÓzÍ Ê Ï Ì Ï ÊSÀÀWÍ Æ~Ç Ï Ä\ÌmÀ¬ÛWÀSÌ ÈUà ÌmÀËkÄ Ï Ô ¿Âm½ÄzÁ × â\“ Ú UÄzÓ`˨ÌmÔoÄ`ÆdÄ`ÀË^Î  Ó SÌmÂm½Ä*ÀWÄ Ï ¿Ë¨Ë Ï ¿Ð¦Ä Ï ¿ k¿Æ/¿̽Áݯ¿µËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ × ã “ ÌVÍ ÀÆ~ÊSÂm˨ÌmÐSÂm̽Ä\Â½Ä Ï ¿̽ÁkÍ ÀSÀWÄ`ÆdÄ`À‡Ë ®Â%à ÌmÀ¬ÛWÀSÌ%ÎW¯¿®Ët¿ÌmÂm½Ä\ÈSÄiÂ%à ÌmÀËkÄ Ï Ô ¿Âm½Ä\ËkÄ`ÀWÈ(ÔoÄ Ï Á 0 ç dx → 0è ×²Ï ÄzÁ¨ËYÓzÍ ÀWÁ¨Ët¿ÀËkÄ ÎSÈSÍ ÀWÓ Ìu½IJËkÄ`Æ®ÐWÁŠÈSÄ¡Ð ¿ ÓzÍ Ê ÁŠÈSÄzÁÌmÀËkÄ Ô ¿Âm½ÄzÁŠËkÄ`ÀWȋÔoÄ Á ÎS¿Â½Í Á Ó SÌmÂmÂ½Ä v ЦÄ`ÊS˖Р¿ Ï ÓzÍ Ê Ï Ì Ï ÊSÀdÀWÍ Æ\dtÇ Ï →ÄÝÌmÀ¬0ÛW× ÀSÌ ÈUà ÌmÀ‡ËkÄ Ï Ô ¿Âm½ÄzÁÄ`ÀdÏ ÊSÀdËkÏ Ä`Æ®ÐWÁ–ÛWÀSÌ × Ï ¾šÍ ÀWÓ  Ó SÌmÂmÂ½Ä Ï Ï ¿Ë¨Ë 0Ï ¿ÐuÄÝÏ Â¯¿šËkÍ Ï Ë¨ÊWÄ × ä‹“ ÄzÓ`ÌSÆdÄ`˸Ä`ÀdÈ Ñwæ ¿ÊS˸¯¿¡Æ Ñ Ó^¿ÀS̽ɇÊWÄYÀWÄ ŠËkÍ ÀS̽Ä`ÀSÀWÄ ÎÄ`Ë<ÌmÂ æ ¿ÊSË æ ¿Ì Ï ÄŠ¿ÐSЦÄ` ªÂ¯¿ Ï Ä`¯¿˨ÌmÔbÌmË ÑYÏ ÄzÁ¨Ë Ï Ä`ÌmÀ‡ËkÄ Ð¦Í Ê ÏŠÏkÑ ÁkÍ ÊWÈ Ï Ä~ÓzĚР¿ Ï ¿ ÈSÍ ¬Ä ×