Proyecto Estabilidad De Sistema.docx

Contenido 𝑇𝑒

Torque electromagnético o eléctrico total

𝑁

Newton

𝑚

Metro

𝜔𝑠𝑚

Velocidad sincrónica de la máquina

𝛿𝑚

Desplazamiento angular del rotor

rad mec

Radianes mecánicos

𝑃𝑚

Potencia de entrada en la flecha de la máquina.

𝑃𝑒

Potencia eléctrica que cruza el entrehierro.

𝑃𝑎

Potencia de aceleración

p.u

Por unidad

𝑃𝑚𝑎𝑥

Potencia eléctrica máxima de salida

𝐻

Constante de inercia

MW

Mega Watts

𝛿

Ángulo del rotor

Lista de figuras

Figura 2. 1 Motor 𝑇𝑚 y 𝑇𝑒 .................................................................................................. 12 Figura 2. 2 Diagrama equivalente para la máquina síncrona. Error! Bookmark not defined. Figura 2. 3 Diagrama fasorial del modelo simplificado. ........ Error! Bookmark not defined. Figura 2. 4 Diagrama fasorial del generador sobreexcitado... Error! Bookmark not defined. Figura 2. 5 Representación circuital de un generador síncrono trifásico. ....Error! Bookmark not defined.

Figura 2. 6 Circuito equivalente del eje directo de la máquina síncrona. ....Error! Bookmark not defined. Figura 2. 7 Sistema simple no lineal. ..................................... Error! Bookmark not defined. Figura 2. 8 Diagrama de reactancias del sistema. .................. Error! Bookmark not defined. Figura 2. 9 Diagrama fasorial del sistema. ............................. Error! Bookmark not defined. Figura 2. 10 Característica potencia – ángulo. ......................... Error! Bookmark not defined.

Resumen

El presente trabajo de investigación está dedicado a dar una descripción breve pero detallada de los aspectos más importantes que engloba el trabajo, y con los cuales se trabaja constantemente a lo largo del mismo. Se inicia el estudio de una de las temáticas de interés en este trabajo, concerniente con la estabilidad de los sistemas eléctricos de potencia, La estabilidad es un problema con el que hay que tratar dentro del contexto del diseño, análisis y

ii

operación de un SEP. Su naturaleza es muy compleja y para un entendimiento pleno de ésta, es necesario realizar un estudio cuidadoso dentro de los sectores de generación, transmisión y distribución, de lo cual se deduce que este fenómeno involucra por completo, en menor o mayor grado, a todos los componentes que conforman el SEP. Se proporcionan algunas definiciones de los términos relacionados con la estabilidad de voltaje, los cuales son mencionados constantemente en trabajos vinculados con este fenómeno, además de examinar algunas cuestiones técnicas referentes al SEP que hay que tomar en consideración

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Introducción

En su contexto más general, un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) puede ser visualizado como la interconexión entre fuentes de generación y áreas de carga a través de líneas de transmisión. Su manejo y operación implica un gran reto, además de que es una tarea compleja que enfrentan los ingenieros e investigadores en el área. Un entendimiento pleno de los diversos problemas de estabilidad que se presentan dentro del SEP, y la manera en que éstos se interrelacionan, es de vital importancia para su funcionamiento adecuado. Es cierto que la estabilidad de un SEP comprende un solo problema. Sin embargo, tratarlo como tal, conduce a un planteamiento intratable debido a la complejidad y dimensiones del modelo resultante. Por esta razón, es de gran utilidad realizar ciertas simplificaciones, las cuales permitan reducir la magnitud del problema captando a detalle sólo los factores que influyen significativamente en el caso de estudio, además de optar por técnicas de análisis convenientes que reúnan las características necesarias para los fines que se persiguen. Consecuentemente con esto surgen áreas de estudio específicas en el campo de la estabilidad de los SEP’s, y con ello la necesidad de establecer sectores definidos para su análisis

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ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

2.1.- Planteamiento del problema de estabilidad.

El problema de estabilidad esta concernido con el comportamiento de las máquinas sincrónicas después de haber sido perturbadas. Si la perturbación no involucra cualquier cambio neto en la potencia, las máquinas deben retornar a su estado original. Si existe un desbalance entre la potencia suplida y la carga, creado por un cambio en la carga, en generación, o en las condiciones de la red, un nuevo estado de operación es necesario. En cualquier caso todas las máquinas sincrónicas interconectadas deben permanecer en sincronismo si el sistema es estable; todas ellas deben permanecer operando en paralelo y a la misma velocidad. El transitorio que sigue a una perturbación del sistema es oscilatorio por naturaleza; pero si el sistema es estable, estas oscilaciones serán amortiguadas y llevarán al sistema a una nueva condición de operación y de equilibrio. Estas oscilaciones, sin embargo, son reflejadas como fluctuaciones en el flujo de potencia sobre las líneas de transmisión. Si una interconexión conecta dos grandes grupos de máquinas y experimenta excesivas fluctuaciones de potencia, esta puede ser disparada por su equipamiento de protecciones, de tal modo, que desconecta los dos grupos de máquinas. Este problema refleja la estabilidad de los dos grupos de máquinas, si la interconexión es disparada, los sistemas interconectados deben operar como áreas independientes ya que tienen independencia operativa. La estabilidad del sistema eléctrico de potencia es un importante problema en la seguridad de la operación del sistema, la mayoría de los colapsos causados por inestabilidad ilustran la importancia de este fenómeno. Históricamente, la inestabilidad transitoria ha sido un problema de estabilidad dominante en la mayor parte de sistemas, y ha sido la preocupación de la industria referente a la estabilidad del sistema. La condición necesaria para la satisfactoria operación del sistema es que todas las máquinas sincrónicas, empleadas para la generación de energía eléctrica, permanezcan en sincronismo. Este aspecto de estabilidad es influenciado por la dinámica del ángulo del rotor del generador y las relaciones potencia-ángulo. Las diferentes formas de inestabilidad dependen de la configuración y la operación de los sistemas eléctricos de potencia por lo que es necesario el entendimiento de la complejidad de la operación, diseño y el uso de nuevas tecnologías y controles. Así también el uso consistente 2

de la terminología es requerido para desarrollar el criterio de operación y diseño del sistema, de igual manera, las herramientas analíticas y procedimientos de estudio. Los sistemas de potencia son sometidos a un amplio rango de disturbios, pequeños y grandes. Pequeños disturbios ocurren continuamente en forma de cambios de carga; el sistema puede ser capaz de ajustarse a las condiciones cambiantes y operar satisfactoriamente. Este puede también ser capaz de soportar numerosos disturbios de una naturaleza severa, tal como un corto circuito sobre una línea de transmisión o pérdida de un generador, de una carga grande o de una interconexión entre dos áreas. Un gran disturbio puede conducir a cambios estructurales debido al aislamiento de los elementos fallados. La repuesta del sistema de potencia ante un disturbio puede involucrar a la mayoría del equipo. Para una instancia, una falla sobre un elemento crítico seguido por el aislamiento de los relés de protecciones, causará variaciones en flujos de potencia, voltajes en las barras de la red y velocidades del rotor de las máquinas; debido a las variaciones de voltaje deberán actuar conjuntamente los reguladores de voltaje de generadores y del sistema de transmisión; para las variaciones de velocidad del generador deben actuar los gobernadores (reguladores de velocidad); debido al cambio en la cargabilidad del sistema actuarán los controles de generación; los cambios en voltaje y frecuencia afectarán a las cargas en el sistema en niveles que varían dependiendo de sus características individuales. Adicionalmente, los dispositivos utilizados para proteger a los equipos individualmente podrían responder a variaciones en las variables del sistema y causar el disparo del equipamiento, debilitando al sistema y posiblemente conduciendo a la inestabilidad del sistema. En cualquier situación dada, sin embargo, las respuestas solamente de una cantidad limitada de equipo pueden ser significativas. Por lo tanto, muchas consideraciones se hacen generalmente para simplificar el problema y para centrarse en los factores que influencian el tipo específico de problema de estabilidad. La inestabilidad de un sistema también puede ocurrir sin pérdida de sincronismo, por ejemplo puede llegar a ser inestable por colapso del voltaje, mantener el sincronismo no es el problema en este caso, en su lugar la preocupación radica en la estabilidad y control de voltaje. Esto ha creado la necesidad de revisar la definición y clasificación de estabilidad de sistemas de potencia. [1, 2, 4]. 2.1.1.- Definición de estabilidad.

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La estabilidad de un sistema eléctrico de potencia es la capacidad del sistema de permanecer en un estado de operación en equilibrio bajo condiciones normales de operación y retornar a un estado aceptable de equilibrio después de haber sido sometido a un disturbio físico. El sistema de potencia es un sistema altamente no lineal que opera en un ambiente constantemente cambiante; cargas, salidas de generadores y cambios continuos de los parámetros de operación. Cuando es sometido a un disturbio, la estabilidad del sistema depende de la condición de operación inicial así como de la naturaleza del disturbio. La estabilidad de un sistema eléctrico de potencia es así una característica del movimiento del sistema alrededor de un punto de equilibrio, por ejemplo: la condición inicial de operación. En un punto de equilibrio, las varias fuerzas de oposición que existen en el sistema son iguales instantáneamente (como en el caso de puntos de equilibrio) o sobre un ciclo (como en el caso de variaciones cíclicas lentas debido a continuas fluctuaciones pequeñas en cargas). En un punto de equilibrio, un sistema de potencia puede ser estable para un disturbio físico dado (grande), e inestable para otro. Por lo que es impráctico y no económico diseñar el sistema de potencia para que sea estable para cada posible disturbio. El diseño de contingencias se selecciona sobre una base de las mismas y además que tengan razonablemente alta probabilidad de ocurrencia. Si siguiendo un disturbio el sistema de potencia es estable, este alcanzará un nuevo estado de equilibrio con el sistema íntegramente preservado, con prácticamente todos los generadores y cargas conectados a través del sistema de transmisión. Algunos generadores y cargas pueden ser desconectados por el aislamiento de los elementos fallados o intencional disparo para preservar la continuidad de la operación de la mayoría del sistema. En el otro lado, si el sistema es inestable, este resultará en una situación de aceleramiento o des aceleramiento; por ejemplo, un progresivo incremento en la separación angular de los rotores de los generadores, o un progresivo decremento en los voltajes de barras. Una condición de inestabilidad del sistema puede conducir a efectos en cascada y salida de la mayor parte del sistema de potencia. Los sistemas de potencia experimentan continuamente fluctuaciones de pequeñas magnitudes. Sin embargo, para la determinación de estabilidad cuando es sometido a disturbios específicos, esto es usualmente válido asumir que el sistema esta inicialmente en una condición de operación real de estado estacionario. [1,4]

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El análisis de los problemas de estabilidad, de la identificación de los factores esenciales que contribuyen a la inestabilidad, y de la formación de métodos para mejorar la operación estable es facilitado grandemente por la clasificación de la estabilidad en categorías apropiadas, basadas en las siguientes consideraciones. •

La naturaleza física de la inestabilidad resultante.

•

La severidad de la perturbación considerada. El tamaño del disturbio considerado, que influye el método de cálculo y predicción de la estabilidad.

•

Los componentes, procesos, y el tiempo que debe ser tomado dentro de la consideración en orden de determinar la estabilidad.

•

El método más apropiado de cálculo y predicción de estabilidad.

2.2.- Estabilidad en régimen estacionario, transitorio y dinámico.

Los sistemas de potencia están expuestos y son susceptibles a perturbaciones de diversos tipos y con diversas probabilidades de ocurrencia. Es así que IEEE y el CIGRE en base a la naturaleza del fenómeno físico involucrado, a la magnitud de la perturbación y a la dinámica involucrada, han propuesto la siguiente clasificación. [9]

Estabilidad de ángulo La estabilidad de ángulo es la capacidad que posee un sistema para mantener los generadores en sincronismo luego de la ocurrencia de una perturbación. Esto depende de la capacidad para mantener o restaurar el equilibrio entre el torque electromagnético y mecánico en cada uno de los generadores del sistema. En general, este problema se puede hacer evidente a través de la ocurrencia de oscilaciones angulares y de frecuencia en algunos generadores, lo cual, puede desencadenar en la pérdida del sincronismo de otros generadores. A su vez, la estabilidad de ángulo ha sido dividida en: estabilidad de pequeña señal y estabilidad transitoria.

Estabilidad de ángulo de pequeña señal.

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La estabilidad de pequeña señal se define como la capacidad del sistema de potencia para mantener el sincronismo bajo la presencia de pequeñas perturbaciones; estas perturbaciones ocurren continuamente en el sistema, debido a pequeñas variaciones de carga y generación, las cuales ocurren permanentemente durante la operación diaria de las redes.

La inestabilidad de ángulo de pequeña señal, puede producirse de dos formas:

1. Incremento constante de ángulo del rotor del generador debido a la insuficiencia del torque sincronizante. 2. Aumento de la amplitud de las oscilaciones en el rotor del generador, debido a la insuficiencia del torque de amortiguamiento. El tipo de respuesta del sistema ante la inestabilidad de pequeña señal, depende de varios aspectos, tales como: el punto de operación inicial, robustez del sistema de transmisión y el tipo de controles de excitación de los generadores.

Estabilidad transitoria de ángulo. Es la capacidad del sistema de potencia de mantener el sincronismo luego de la ocurrencia de una severa perturbación transitoria, tal como: fallas en líneas de transmisión, pérdidas de generación o de grandes cargas. Las respuestas del sistema para este tipo de perturbaciones implican grandes excursiones de los ángulos de los rotores de los generadores y es influenciada por las relaciones no lineales entre potencia y ángulo. La estabilidad transitoria está estrechamente influenciada por las características inherentes a la no linealidad del sistema y depende además del punto de operación inicial y obviamente de la severidad de la perturbación [7]. El sincronismo es mantenido si la separación angular resultante entre los generadores permanece dentro de ciertos límites admisibles. En estudios de estabilidad transitoria el período de interés usualmente es limitado de 3 a 5 segundos, luego de la ocurrencia de la perturbación, pudiendo extenderse hasta aproximadamente los 10 segundos para muy grandes sistemas con dominantes modos de oscilación inter-área. Para la realización de este tipo de estudios, es necesario el uso de modelos detallados del generador y de los demás equipos del sistema, lo cual, necesariamente conlleva a que, ecuaciones diferenciales sean solucionadas a través de técnicas de integración numérica.

Estabilidad de frecuencia.

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La estabilidad de frecuencia es la capacidad del sistema de potencia para mantener constante la frecuencia luego de la ocurrencia de una severa perturbación, la misma que, por su magnitud genera un significante desbalance entre generación y carga. Por lo tanto, el análisis de la estabilidad de frecuencia se centra en el estudio de las variaciones en la frecuencia del sistema debido a los grandes y repentinos cambios en el equilibrio generación-carga. La frecuencia puede mantener solamente si el balance entre la generación y la carga del sistema pueden ser restauradas tan pronto como sea posible luego de ocurrida la perturbación, con la salida no intencional de la menor cantidad de carga posible. Si el sistema entra en una condición de inestabilidad de frecuencia, la frecuencia puede caer rápidamente o en su defecto puede producirse una oscilación sostenida de frecuencia, lo cual conllevará al disparo de generadores y cargas por actuación de los relés de frecuencia. Los problemas de estabilidad de frecuencia generalmente son asociados con inadecuadas respuestas de los equipos, deficiente coordinación y control de equipos de control o insuficientes reservas de generación. Debe tomarse en cuenta que, cualquier perturbación que pueda ser causante de pérdida significativa de carga o generación puede ser motivo de preocupación respecto de la estabilidad de frecuencia del sistema. [7]

Estabilidad de Tensión. En términos generales, la estabilidad de tensión se define como la capacidad de un sistema de potencia para mantener estables las tensiones en todas las barras luego de haber sido sometido a una perturbación a partir de un punto de operación inicial conocido como caso base. Esto básicamente depende de la capacidad para mantener o restablecer un equilibrio entre la demanda y la generación del sistema de potencia. Un sistema entra en inestabilidad de tensión cuando una perturbación, incremento de carga o cambio en las condiciones del sistema causan una progresiva e incontrolable caída o aumento de tensión en algunas barras. El principal factor causante de la inestabilidad es la incapacidad del sistema de potencia para proveer la demanda de energía reactiva. Sin embargo de aquello, el corazón del problema usualmente es la caída de tensión que ocurre cuando las potencias activa y reactiva fluyen a través de reactancias inductivas asociadas con las redes de transmisión. [5,6,8] Un criterio para la estabilidad de tensión, indica que, en una condición de operación dada para todas las barras del sistema, la magnitud de la tensión de barra (V) incrementa en tanto la inyección de

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potencia reactiva (Q) en esa barra es incrementada; por tanto y análogamente, se puede deducir que, un sistema es inestable en tensión si, para al menos una barra del sistema, la magnitud de la tensión de barra decrece como la inyección de potencia reactiva en la misma barra es incrementada. En forma resumida se puede decir que, un sistema es estable en tensión si la sensibilidad V-Q es positiva para todas las barras y es inestable si la sensibilidad V-Q es negativa para al menos una de las barras. [8] Uno de los posibles resultados de la inestabilidad de tensión es la pérdida de carga en un área o el disparo de líneas de transmisión y demás elementos del sistema por actuación de los elementos de protección, lo que conlleva a salidas de operación en cascada que pueden conducir a la pérdida de sincronismo de algunos generadores. La inestabilidad de tensión esencialmente es un fenómeno local, sin embargo sus consecuencias pueden tener un impacto global. Las caídas progresivas de tensión en las barras pueden también ser asociadas con la pérdida de sincronismo de diversos generadores del sistema, es decir un sistema que presenta problemas de estabilidad de ángulos puede resultar en problemas de estabilidad de tensión y, viceversa, sistemas que presentan un colapso de tensión llevan eventualmente a una separación angular de sus generadores. Cabe aclarar que, las causas para estos dos problemas de estabilidad son completamente diferentes, puesto que, la inestabilidad de tensión se debe principalmente a la ausencia total de un punto de equilibrio después de la ocurrencia de una perturbación, mientas que, la inestabilidad de ángulo se debe básicamente a la ausencia de un par de sincronismo entre varios generadores. [6] Para un mejor análisis, la estabilidad de tensión se lo clasifica en dos grupos: estabilidad de tensión de gran perturbación y estabilidad de tensión de pequeña perturbación.

Estabilidad de tensión de gran perturbación. La estabilidad de tensión de gran perturbación corresponde a la capacidad del sistema para mantener y controlar las tensiones en presencia de grandes perturbaciones, tales como: fallas, pérdidas de generadores o contingencias de líneas importantes. Esta capacidad es determinada por las características de las cargas del sistema y por las interacciones entre los dispositivos de control y protección. La determinación de la estabilidad de tensión para una gran perturbación, requiere de la evaluación del sistema desde el punto de vista dinámico no-lineal y modelamiento detallado a través de un sistema de ecuaciones algebraico-diferencial no lineales. El comportamiento del sistema debe ser

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analizado por un período de tiempo lo suficientemente grande como para permitir la identificación de las interacciones entre los dispositivos de control y protección, tales como: los transformadores con ajuste de la posición del tap y los limitadores de la corriente de campo de los generadores; para tal efecto, el período de estudio puede ir desde unos pocos segundos hasta decenas de minutos. Un criterio para determinar la estabilidad de tensión de gran perturbación de un sistema de potencia indica que, después de haberse producido una perturbación dada y de haberse realizado las acciones de control correspondientes, si la tensión en todas las barras alcanza niveles aceptables, entonces el sistema es considerado estable. Sin embargo, este criterio en la actualidad es discutible, puesto que, un colapso de tensión también puede producirse incluso con niveles altos de tensión en las barras, especialmente cuando existe una elevada compensación de potencia reactiva (capacitores), es por esta razón que, en lugar de niveles de tensión se han definido los márgenes de cargabilidad como criterios para determinar la estabilidad de tensión de un sistema.

Estabilidad de tensión de pequeña perturbación. La estabilidad de tensión de pequeña perturbación corresponde a la capacidad de un sistema de potencia para mantener las tensiones cuando el sistema es sometido a pequeñas perturbaciones, tales como pequeñas variaciones en la carga del sistema. Esta forma de estabilidad es determinada por las características de las cargas y por las interacciones entre los dispositivos de control y protección en un cierto instante de tiempo. Básicamente este concepto es usado para determinar, en cualquier instante, como responde la tensión del sistema ante pequeños cambios en el sistema. Los procesos básicos que contribuyen a la inestabilidad de tensión de pequeña perturbación son esencialmente de naturaleza correspondientes al régimen de estado estable; por lo tanto, los análisis estáticos pueden ser usados efectivamente en la determinación de los márgenes de estabilidad, identificando los factores determinantes del fenómeno y estudiando una amplia variedad de condiciones de operación del sistema, incluyendo un considerable número de escenarios postcontingencia. Un criterio para evaluar la estabilidad de tensión de pequeña perturbación está basado en la sensibilidad entre la magnitud de las tensiones y la inyección de potencia reactiva en las barras, es decir, un sistema es estable respecto a la tensión si la sensibilidad V-Q es positiva para todas las barras y, es inestable si la sensibilidad V-Q es negativa para al menos una de las barras del sistema.

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La estabilidad de los sistemas de potencia se refiere a la capacidad de las máquinas síncronas de pasar luego de una perturbación de un punto de operación de estado estable a otro sin perder sincronismo. Hay tres tipos de estabilidad en los sistemas de potencia: de régimen estacionario, transitorio y dinámico. [5,6]

2.2.1.- Estabilidad en régimen estacionario.

En este tipo de estabilidad se involucran cambios en los puntos de operación lentos o graduales. Los estudios de la estabilidad en régimen estacionario, se efectúan casi siempre mediante algún programa de flujos de potencia y garantizan que los ángulos de fase a través de las líneas de transmisión no sean demasiado grandes, además que los voltajes del nodo estén cerca de los valores nominales y que los generadores, líneas de transmisión, transformadores y otro equipo no estén sobrecargados. [2,6]

2.2.2.- Estabilidad en régimen transitorio. Se relaciona con trastornos mayores, como la pérdida de generación, operaciones de desconexión de líneas, fallas y cambios de carga repentinos. Después de una perturbación, frecuencias de la máquina síncrona experimentan desviaciones transitorias de la frecuencia síncrona (60 Hz) y cambian los ángulos de potencia de la máquina. El objetivo de estudiar la estabilidad transitoria es determinar si las máquinas regresarán o no a una frecuencia síncrona con nuevos ángulos de potencia de estado permanente. También son de interés los cambios de flujos de potencia y voltajes del nodo. [6]

2.2.3.- Estabilidad en régimen dinámico.

La estabilidad dinámica involucra un tiempo más largo, casi siempre de varios minutos. Los controles pueden afectar la estabilidad dinámica aun cuando se conserve la estabilidad transitoria. La acción de los gobernadores de turbina, sistemas de excitación, transformadores con cambio de derivaciones y controles provenientes de un centro de despacho de los sistemas de potencia puede interactuar para estabilizar o desestabilizar un sistema de potencia varios minutos después de que ocurrió la perturbación [7].

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2.3.- Dinámica del rotor y la ecuación de oscilación.

La ecuación que gobierna el movimiento del rotor de una máquina sincrónica se basa en un principio elemental de dinámica que establece que el torque de aceleración es el producto del momento de inercia del rotor por su aceleración angular. En el sistema de unidades MKS (metro, kilogramo, segundo), se puede escribir esta ecuación para el generador sincrónico en la forma: j

𝑑2 𝜃𝑚 𝑑𝑡 2

= 𝑇𝑎 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒 (𝑁𝑚)

(1)

Dónde: 𝑗 Es igual a momento total de inercia de la masa del rotor (𝑘𝑔 ∗ 𝑚2 ), 𝜃𝑚 Es el desplazamiento angular del rotor con respecto al eje estacionario, en radianes mecánicos (𝑅𝑎𝑑), 𝑡 Es igual al tiempo, en segundos (𝑠). 𝑇𝑎 Es el Torque de aceleración total, en (𝑁 − 𝑚), 𝑇𝑚 Es el torque mecánico suministrado por la fuente de energía mecánica menos el torque de retardo debido a las pérdidas rotacionales, en (𝑁 − 𝑚), 𝑇𝑒 Es el torque electromagnético o eléctrico total, en (𝑁 − 𝑚).

Se considera que el torque mecánico 𝑇𝑚 y el eléctrico 𝑇𝑒 son positivos para un generador sincrónico. Esto significa que 𝑇𝑚 es el torque resultante que tiende a acelerar el rotor en la dirección positiva 𝜃𝑚 de rotación, como se muestra en la figura 3.18 a). Bajo la operación en estado estable del generador, 𝑇𝑚 y 𝑇𝑒 son iguales y el torque de aceleración 𝑇𝑎 es cero. En este caso, no hay aceleración o desaceleración de la masa del rotor y la velocidad constante que resulta es la velocidad sincrónica. La masa rotatoria que incluye el rotor del generador y la fuente de energía mecánica está en sincronismo con las otras máquinas que operan a velocidad sincrónica en un sistema de potencia. La fuente de energía mecánica puede ser una hidroturbina o una turbina de vapor para las que existen modelos de diferentes niveles de complejidad que representan sus efectos sobre la variable 𝑇𝑚 . Para el caso de estudio se considera que 𝑇𝑚 es constante, esta suposición no es muy válida para generadores, aun cuando la entrada desde la fuente de energía mecánica se controle con gobernadores, los

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gobernadores no actúan hasta después de que se ha percibido un cambio en la velocidad. El torque eléctrico 𝑇𝑒 corresponde a la potencia neta de entrehierro en la máquina, por lo tanto, toma en cuenta la potencia de salida total del generador más las pérdidas |𝑖|2 𝑅 en el devanado de la armadura. En un motor sincrónico, la dirección del flujo de potencia es opuesta a la del generador. De esta manera, para un motor 𝑇𝑚 y 𝑇𝑒 en la ecuación 3.16 son de signo contrario, como se muestra en la figura 2.1. b). Entonces, 𝑇𝑒 corresponde a la potencia del entrehierro suministrada por el sistema eléctrico para impulsar el rotor, mientras 𝑇𝑚 representa al torque contrario de la carga y las pérdidas rotacionales que tienden a retardar al rotor.

Figura 2. 1 Motor 𝑻𝒎 y 𝑻𝒆

Como 𝜃𝑚 se mide con respecto al eje de referencia estacionario sobre el estator, es una medición absoluta del ángulo del rotor. En consecuencia, continuamente se incrementa con el tiempo aun a velocidad sincrónica constante. Como es de interés la velocidad del rotor relativa a la sincrónica, es más conveniente medir la posición angular del rotor con respecto al eje de referencia que rota a la velocidad sincrónica. Por lo tanto, se define:

𝜃𝑚 = 𝜔𝑠𝑚 𝑡 + 𝛿𝑚

(2)

Dónde:

𝜔𝑠𝑚 es la velocidad sincrónica de la máquina (rad mec ∗ seg), 𝛿𝑚 es el desplazamiento angular del rotor, en radianes mecánicos, desde el eje de referencia que rota sincrónicamente. Las derivadas de la ecuación (2) con respecto al tiempo son:

12

𝑑𝜃𝑚 𝑑𝑡

= 𝜔𝑠𝑚 +

𝑑𝛿𝑚

(3)

𝑑𝑡

Y 𝑑2 𝜃𝑚 𝑑𝑡 2

=

𝑑2 𝛿𝑚

La ecuación 3 muestra la velocidad angular del rotor, dada por velocidad sincrónica 𝜔𝑠𝑚 sólo cuando

𝑑𝛿𝑚 𝑑𝑡

(4)

𝑑𝑡 2 𝑑𝜃𝑚

es cero. Por lo tanto,

, es constante e igual a la

𝑑𝑡 𝑑𝛿𝑚 𝑑𝑡

representa la desviación

que hay de la velocidad del rotor con respecto a la sincrónica y sus unidades son radianes mecánicos por segundo. La ecuación 4 representa la aceleración del rotor medida en radianes mecánicos por segundo al cuadrado. Al sustituir la ecuación 4 en la ecuación 1, se obtiene: 𝐽

𝑑2 𝛿𝑚 𝑑𝑡 2

= 𝑇𝑎 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒

(𝑁𝑚)

(5)

(𝑁𝑚)

(6)

Es conveniente, debido a la facilidad en la notación, introducir: 𝑑𝜃𝑚

𝜔𝑚 =

𝑑𝑡

Para la velocidad angular del rotor. Se recuerda, de la dinámica elemental, que la potencia es igual al torque por la velocidad angular y así, al multiplicar la ecuación 5 por 𝜔𝑚 , se obtiene: 𝐽𝜔𝑚

𝑑2 𝛿𝑚 𝑑𝑡 2

= 𝑃𝑎 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒

(𝑊)

(7)

Dónde: 𝑃𝑚 Es igual a la Potencia de entrada en la flecha a las menores pérdidas rotacionales de la máquina, 𝑃𝑒 Es igual a la Potencia eléctrica que cruza el entrehierro, 𝑃𝑎 Es igual a la potencia de aceleración que toma en cuenta cualquier desbalance entre las cantidades anteriores. Por lo general se desprecian las pérdidas rotacionales y las pérdidas |𝑖|2 𝑅 de la armadura y se considera que 𝑃𝑚 es la potencia suministrada por la fuente de energía mecánica y 𝑃𝑒 la salida de potencia eléctrica. El coeficiente 𝐽𝜔𝑚 es el momento angular del rotor; a la velocidad sincrónica 𝜔𝑠𝑚 , este coeficiente se denota con M y se llama constante de inercia de la máquina. Las unidades en las

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que se expresa M corresponden a las de 𝐽 y 𝜔𝑚 y se expresa en joule-segundo por radián mecánico y así, se puede escribir:

𝑀

𝑑2 𝛿𝑚 𝑑𝑡 2

= 𝑃𝑎 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒

(𝑊)

(8)

Aunque se ha usado 𝑀 en esta expresión, en sentido estricto el coeficiente no es una constante porque 𝜔𝑚 no es igual a la velocidad sincrónica en todas las condiciones de operación. Sin embargo, en la práctica, 𝜔𝑚 no difiere de manera significativa de la velocidad sincrónica cuando la máquina esta estable, y se prefiere el uso de la ecuación 8 porque es más conveniente utilizar la potencia en los cálculos que el torque. Frecuentemente, en los datos de las máquinas que se suministran para realizar estudios de estabilidad, se encuentra otra constante que se relaciona con la inercia, esta se llama constante 𝐻 y se define por:

𝐻=

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑀𝑒𝑔𝑎𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑖𝑛𝑐𝑟𝑜𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑀𝑉𝐴

𝐻=

1 2 𝐽𝜔𝑠𝑚 2

𝑠𝑚𝑎𝑞

=

1 𝐽𝜔𝑠𝑚 2

𝑠𝑚𝑎𝑞

(9)

Donde maq S es la capacidad trifásica de la máquina en megavoltamperios. Al despejar M en la ecuación 9, se obtiene. 𝑀=

2𝐻 𝜔𝑠𝑚

𝑆𝑚𝑎𝑞

𝑀𝐽/ 𝑟𝑎𝑑 mecánicos

(10)

Y si se sustituye M en la ecuación 8, se encuentra: 2𝐻 𝑑 2 𝛿𝑚 𝜔𝑠𝑚

𝑑𝑡 2

=

𝑃𝑎 𝑆𝑚𝑎𝑞

=

𝑃𝑚 −𝑃𝑒 𝑆𝑚𝑎𝑞

(11)

Esta ecuación conduce a un resultado muy simple. Obsérvese que 𝛿𝑚 se expresa en radianes mecánicos en el numerador de la ecuación 11 y 𝜔𝑠𝑚 se expresa en radianes mecánicos por segundo en el denominador. Por lo tanto se puede describir la ecuación de la forma: 2𝐻 𝑑2 𝛿𝑚 𝜔𝑠𝑚

𝑑𝑡 2

= 𝑃𝑎 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒

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𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑

(12)

Entonces, siempre que 𝛿 y 𝜔𝑠𝑚 tengan unidades consistentes, que pueden ser grados mecánicos o eléctricos, o bien, radianes; 𝐻 y 𝑡 tienen unidades consistentes porque los megajoules por megavoltamperios están en unidades de tiempo en segundos 𝑃𝑎 , 𝑃𝑚 y 𝑃𝑒 deben estar en por unidad o en la misma base de 𝐻. Cuando se asocia el subíndice m con 𝜔, 𝜔𝑠 , 𝛿 , se indica que deben usarse unidades mecánicas; de otra manera, estarían implicadas las unidades eléctricas. En consecuencia 𝜔𝑠 es la velocidad sincrónica en unidades eléctricas. Para un sistema que tiene frecuencia eléctrica de 𝑓 Hertz, la ecuación 12 da: 𝐻 𝑑2 𝛿 𝜋𝑓 𝑑𝑡 2

= 𝑃𝑎 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒

𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑

(13)

Donde 𝛿 está en radianes eléctricos, mientras que: 𝐻

𝑑2 𝛿

180𝑓 𝑑𝑡 2

= 𝑃𝑎 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒

𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑

(14)

Se aplica cuando 𝛿 está en grados eléctricos. La ecuación 12, llamada ecuación de oscilación de la máquina, es la ecuación fundamental que gobierna la dinámica rotacional de la máquina sincrónica en los estudios de estabilidad. Se observa que esta ecuación es diferencial de segundo orden que se puede escribir como dos ecuaciones diferenciales de primer orden: 2𝐻 𝑑𝜔 𝜔𝑠 𝑑𝑡

= = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 𝑑𝛿 𝑑𝑡

= 𝜔 − 𝜔𝑠

𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑

(15) (16)

En las 𝜔, 𝜔𝑠 𝑦 𝛿 que involucr

[8]

V. Ajjarapu, “Computacional techniques for voltage stability assessment and control”, Iowa State University - USA, 2006.

[9] IEEE-CIGRE classification (IEEE/CIGRE Join Task Force on Stability Terms and Definitions, “Definitions and Classification of Power Systems Stability”, IEEE Trans. Power Systems and CIGRE Technical Brochure 231, 2003).

15

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