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PROPAGACION Y RADIACION ELECTROMAGNETICA II Miguel Delgado Le´on 28 de Julio del 2005

Cap´ıtulo 1 Cavidades Resonantes Los resonadores de cavidad (cavidades resonantes) son dispositivos muy utilizados en aplicaciones como, almacenamiento de energ´ıa, filtros, sintonia de osciladores, amplificadores sintonizados, frecuencimetros, medida de caracteristica de materiales, etc. A altas frecuencias (100 MHz o mayores) los circuitos RLC son ineficientes cuando se utilizan como resonadores porque las dimensiones del circuito son comparables con la longitud de onda de operaci´on y, en consecuencia ocurre cierta radiaci´on no deseada. A altas frecuencias, los circuitos resonadores RLC son reemplazados por cavidades resonadoras electromagn´eticas.

1.1

Cavidades rectangulares

Las cavidades rectangulares es una gu´ıa de ondas rectangular con los extremos cerrados por paredes conductoras y que se alimentan por un agujero mediante una sonda. Consideraremos las dimensiones de la cavidad como a×b×d y el medio dentro de la cavidad (relleno) tiene una permeabilidad µ y una permitividad ε. Los campos electromagn´eticos dentro de la cavidad estan dados por: ˆ + Ey (x, y, z) y ˆ + Ez (x, y, z) ˆ z E(x, y, z) = Ex (x, y, z) x

(1.1)

H(x, y, z) = Hx (x, y, z) x ˆ + Hy (x, y, z) y ˆ + Hz (x, y, z) ˆ z

(1.2)

y

Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) en coordenadas ⃗ rectangulares tenemos de ∇ · E(r) = 0: ∂Ex ∂Ey ∂Ez + + =0 ∂x ∂y ∂z 1

(1.3)

CAP´ITULO 1. CAVIDADES RESONANTES

2

⃗ y de la ley de Gauss magn´etico ∇ · H(r) = 0: ∂Hx ∂Hy ∂Hz + + =0 ∂x ∂y ∂z

(1.4)

Aplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y de AmpereMaxwell obtenemos 6 ecuaciones, si combinamos estas ecuaciones (queda como tarea) llegamos a: (

)

∂2 ∂ ∂ ∂ ω µε + 2 Hx = jωε Ez + Hz ∂z ∂y ∂x ∂z 2

(

(1.5)

)

∂2 ∂ ∂ ∂ ω µε + 2 Hy = −jωε Ez + Hz ∂z ∂x ∂y ∂z

(1.6)

∂2 ∂ ∂ ∂ ω µε + 2 Ex = −jωµ Hz + Ez ∂z ∂y ∂x ∂z

(1.7)

∂ ∂ ∂2 ∂ Ez ω µε + 2 Ey = jωµ Hz + ∂z ∂x ∂y ∂z

(1.8)

2

(

)

2

(

)

2

Se observa que podemos clasificar en dos modos: modos T E

Hz ̸= 0

Ez = 0

(1.9)

modos T M

Ez ̸= 0

Hz = 0

(1.10)

Estudio de los modos T E Hz ̸= 0

1.2

Reemplazando (1.5) y (1.6) en (1.4), llegamos a la siguiente E.D. (

)

∂2 ∂2 ∂2 + + Hz (x, y, z) + ω 2 µεHz (x, y, z) = 0 2 2 2 ∂x ∂y ∂z

(1.11)

Utilizando la t´ecnica de separaci´on de variables: Hz = X(x)Y (y)Z(z) que reemplazando en la ecuaci´on diferencial y dividiendo por XY Z, obtenemos tres ecuaciones diferenciales, resolviendo cada una de ellas y aplicando condiciones de frontera en x = 0, y = 0 y z = 0, llegamos a: X(x) = a1 cos(kx x) Y (y) = b1 cos(ky y) Z(z) = c1 sen(kz z) (1.12) donde kx2 + ky2 + kz2 = ω 2 µε

(1.13)

1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS T E HZ ̸= 0

3

es la relaci´on de dispersi´on. Aplicando condiciones de frontera en x = a, y = b y z = d encontramos que kx =

mπ a

m = 0, 1, 2, · · ·

nπ b

n = 0, 1, 2, · · ·

)

(

ky =

kz =

lπ d

l = 1, 2, · · ·

(1.14) m y n no pueden ser a la vez cero. Entonces hemos llegado a la soluci´on para los modos T E: (

)

(

mπ nπ lπ Hz (x, y, z) = H0 cos x cos y sen z a b d

)

(1.15)

Tenemos muchas soluciones, cada soluci´on es un modo, la representaci´on de un modo es T Em n l . Las otras componenetes de los campos electromagn´eticos se obtienen reemplazando (1.15) en (1.5) hasta (1.8). La ecuaci´on que relaciona la frecuencia de la onda con el modo T Em n l se obtiene de (1.13) y se transforma en: (

mπ a

)2

(

nπ + b

)2

(

lπ + d

)2

= ω 2 µε

(1.16)

La frecuencia de la onda debe cumplir esta relaci´on, es decir, un valor particular y se le conoce como la frecuencia de resonancia ω = ωr (=2 πfr ) y para el modo T Em n l esta dado en Hz por 1 fr = √ 2 µε

v u( ) u m 2 t

a

( )2

( )2

n + b

+

( )2

( )2

l d

Hz

a, b, d en m. (1.17)

GHz

a, b, d en cm. (1.18)

Tambi´en

v u( ) 2 15 u t m

fr = √

εr

a

n + b

+

l d

La longitud de onda de resonancia se define como fr λr = c λr = √( ) 2 m a

2

+

( )2 n b

+

( )2

m.

(1.19)

l d

Ejemplo Demostrar que para los modos T M una de las componentes de los campos electromagn´eticos es: (

)

(

)

(

nπy lπz mπx sen cos Ez (x, y, z) = E0 sen a b d para m = 1, 2, · · ·, n = 1, 2, · · ·, y l = 0, 1, 2, · · ·

)

(1.20)

CAP´ITULO 1. CAVIDADES RESONANTES

4

1.2.1

Campos Electromagn´ eticos modos T E

Es f´acil obtener las componentes de los campos electromagn´eticos para los modos T E y T M . A continuaci´on muestro un ejemplo como obtener: Ejemplo Obtener la componente Ex para el modo T E. Soluci´ on De (1.7) obtenemos: (

)

∂2 ∂ ω µε + 2 Ex = −jωµ Hz ∂z ∂y 2

(1.21)

donde, de (1.15): Hz = H0 cos(kx x) cos(ky y) sen(kz z), entonces (

)

∂2 ω µε + 2 Ex = jωµky H0 cos(kx x) sen(ky y) sen(kz z) ∂z 2

(1.22)

Ex debe contener sen(kz z) entonces: (

)

ω 2 µε − kz2 Ex = jωµky H0 cos(kx x) sen(ky y) sen(kz z)

(1.23)

despejando Ex y seg´ un (1.13), tenemos: Ex =

jωµky H0 cos(kx x) sen(ky y) sen(kz z) kx2 + ky2

(1.24)

Siguiendo este procedimiento, podemos obtener todos los campos electromagn´eticos para el modo T Em n l Ex =

jωµky H0 cos(kx x) sen(ky y) sen(kz z) kx2 + ky2

Ey = −

jωµkx H0 sen(kx x) sen(ky y) sen(kz z) kx2 + ky2 Ez = 0

Hx = − Hy = −

(1.25)

(1.26) (1.27)

kx kz H0 sen(kx x) cos(ky y) cos(kz z) kx2 + ky2

(1.28)

ky kz H0 cos(kx x) sen(ky y) cos(kz z) + ky2

(1.29)

kx2

Hz = H0 cos(kx x) cos(ky y) sen(kz z)

(1.30)

Tarea Obtener los campos electromagn´eticos para el modo T Mm n l

1.3. FACTOR DE CALIDAD Q

1.3

5

Factor de calidad Q

El factor de calidad Q de una cavidad resonante, es una medida del ancho de banda de la cavidad resonante. Se puede definir como: Q = 2π

Energ´ıa media temporal almacenada en la cavidad Energ´ıa disipada en un periodo

(1.31)

En otras palabras: Q = 2π

W W =ω PL T PL

(1.32)

donde: 1 ∫ 1 ∫ W = We + Wm = ε | E |2 dv + µ | H |2 dv 4 v 4 v

(1.33)

y

1 ∫ PL = Rs | Htang |2 ds (1.34) 2 s Ejemplo Determinar el factor de calidad Q para el modo T E1 0 1 Soluci´ on De (2.11) a (2.16) obtenemos los campos electromagn´eticos. As´ı: (

Ex = 0,

Ez = 0,

)

(

jωµa πx πz Ey = − H0 cos sen π a d

y

(

)

(

a πx πz Hx = − H0 sen cos d a d La energ´ıa el´ectrica es: (

)

(1.35)

)

(1.36)

)

(

)

∫ b ∫ d ε∫ εω 2 µ2 a2 2 ∫ a πz 2 πx | Ey |2 dv = H cos dx dy sen2 dz 0 2 4 v 4π a d 0 0 0 (1.37) εω 2 µ2 a3 b d 2 ε µ2 f 2 3 We = H0 = a bdH0 (1.38) 16π 2 4 La energ´ıa magn´etica es:

We =

µ Wm = 4

∫ { v

| Hx |2 + | Hz |2

}

(

)

µ a2 dv = abd 2 + 1 H02 16 d

(1.39)

si tenemos en cuenta que la frecuencia de la onda es la frecuencia de resonancia y esta dado por: f = fr 1 0 1

1 = √ 2 µε

√

1 a2 1 + ⇒ + 1 = 4µεa2 f 2 a2 d2 d2

(1.40)

CAP´ITULO 1. CAVIDADES RESONANTES

6

que reemplazando en la expresi´on anterior llegamos a: Wm =

ε µ2 f 2 3 a bdH02 4

(1.41)

queda claro que la energ´ıa el´ectrica y la magn´etica son iguales. Entonces: (

)

µ a2 W = We + Wm = 2We = 2Wm = abd 2 + 1 H02 8 d

(1.42)

Las p´erdidas en la superficie de las paredes de la cavidad ser´a: [

∫ a∫ d{ ∫ b∫ d ∫ a∫ b } 1 P L = Rs 2 | Hx |2 + | Hz |2 ds + 2 | Hz |2 ds + 2 | Hx |2 ds 2 0 0 0 0 0 0 (1.43) que reemplazando las expresiones de Hx y Hz en las integrales anteriores obtenemos: [ ] a3 a d a3 b 2 bd P L = Rs H0 + + + 2 (1.44) 2 4d 4 4d

reemplazando W y PL en (2.17) obtenemos: Q=

ωµ(a2 + d2 )abd (a2 + d2 )abd = 2Rs [2b(a3 + d3 ) + ad(a2 + d2 )] δ[2b(a3 + d3 ) + ad(a2 + d2 )] (1.45)

]

Contenido 1 Cavidades Resonantes 1.1 Cavidades rectangulares . . . . . 1.2 Estudio de los modos T E Hz ̸= 0 1.2.1 Campos Electromagn´eticos 1.3 Factor de calidad Q . . . . . . . .

7

. . . . . . . . modos . . . .

. . . . . . TE . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 1 2 4 5