Probstat_minggu Ke-5.pptx

Teori probabilitas. Kemungkinan munculnya suatu kejadian .

Teori probabilitas/peluang  Merupakan teori dasar dalam pengambilan keputusan

yang memiliki sifat ketidakpastian.

Ada 3 pendekatan: Pendekatan klasik Pendekatan empiris Pendekatan subyektif

Pendekatan Klasik  Apabila suatu peristiwa (Event) E dapat terjadi sebanyak h

jumlah dari sejumlah n kejadian yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi maka probabilitas peristiwa E atau P(E) dapat dirumuskan : P(E) = h/n

Misalnya: bila sekeping koin dilempar sekali, maka secara logika dikatakan bahwa masing-masing sisi mempunyai peluang yang sama, yaitu 0,5 karena koin hanya terdiri atas dua sisi masing-masing, dan masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul atau dicatat. P(A) = P(B) = 0,5.

Pendekatan Empiris  Perumusan perhitungan berdasarkan pendekatan empiris

adalah atas dasar pengertian frekuensi relatif.  Pendekatan ini dilakukan karena pendekatan perhitungan klasik dipandang memiliki beberapa kelemahan.  Dalam kenyataan, syarat yang ditetapkan jarang dapat dipenuhi.  Suatu peristiwa E mempunyai h kejadian dari serangkaian n kejadian dalam suatu percobaan, maka peluang E merupakan frekuensi relatif h/n, dinyatakan sebagai: P(E) = lim (h/n) untuk n mendekati nilai tak terhingga.

Pendekatan Subyektif Pada pendekatan subyektif, beberapa orang dapat saja memiliki keyakinan yang berbeda terhadap terjadinya suatu peristiwa, meskipun informasi yang diterima berkaitan dengan peristiwa tersebut adalah sama. Hal tersebut disebabkan karena setiap orang berpikir dam mempunyai keyakinan yang berbeda terhadap suatu masalah yang sama.

Pendekatan Subyektif Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut: Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak).

Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1, 0 ≤ P(E) ≤ 1

Pendekatan Subyektif  Jika P = 0 disebut probabilitas kemustahilan artinya

kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi.  Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi.  Jika 0 < P < 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atas peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.  Jika kemungkinan terjadinya peristiwa E disebut P(E) akan besarnya probabilitas bahwa peristiwa E tidak terjadi adalah: P(E) = 1 – P(E)

Peristiwa Saling Lepas (mutually exclusive)  Dua peristiwa merupakan peristiwa yang mutually

exclusive jika terjadinya peristiwa yang satu menyebabkan tidak terjadinya peristiwa yang lain. Peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan, peristiwa saling asing.  Jika peristiwa A danb B saling lepas, probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah: P(A U B) = P(A) + P(B)

Contoh Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwaperistiwanya adalah:  A = peristiwa mata dadu 2 muncul  B = mata dadu lebih dari 4 muncul Tentukan probabilitasnya dari kejadian P(A U B):  P(A) = 1/6 dan P(B) = 2/6  P(A U B) = 1/6 + 2/6 = 3/6

Peristiwa tidak saling lepas (non ecxclusive)  Dua peristiwa dikatakan non exclusive, bila dua

peristiwa tidak saling lepas atau kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi bersamaan.  Dirumuskan sebagai berikut:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Contoh  Setumpuk kartu bridge yang akan diambil salah satu

kartunya. Berapa probabilitasnya dalam sekali pengambilan tersebut diperoleh kartu Ace atau kartu Diamond? Dimisalkan : A = kartu Ace D = kartu Diamond  Maka P(A U D) = P(A) + P(D) – P(A ∩ D) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52

Peristiwa bebas (independent)  Peristiwa terjadi atau tidak terjadi tidak

mempengaruhi dan tidak dipengaruhi peristiwa lainnya.  Apabila A dab B dua peristiwa yang independent, maka

probabilitas bahwa keduanya akan terjadi bersamasama dirumuskan sebagai berikut: P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Contoh  Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 30 barang

rusak. Berapa probabilitasnya dalam tiga kali pengambilan terdapat rusak 1.  Jawab : Dimisalkan A = bagus , B = rusak Maka P(A) = 0,7 dan P(B) = 0,30

Peristiwa bersyarat(dependent)  Terjadi jika peristiwa yang satu mempengaruhi/merupakan

syarat terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas bahwa B akan terjadi bila diketahui bahwa A telah terjadi ditulis sebagai berikut: P(B/A)

 Dengan demikian probabilitas bahwa A dan B akan terjadi

dirumuskan sebagai berikut: P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

 Sedang probabilitas A akan terjadi jika diketahui bahwa B telah

terjadi ditulis sebagai berikut: P(A/B)

 Maka probabilitas B dan A akan terjadi dirumuskan sebagai

berikut: P(A ∩ B) = P(B) x P(A/B)

Contoh  Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas pertama berisi 4 bola putih dan

2 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing tas tersebut, hitunglah probabilitasnya bahwa:  Keduanya bola putih  Keduanya bola hitam

 Jawab:  Misalnya A1 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih dari tas

pertama dan A2 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih di tas kedua, maka: P(A1 ∩ A2) = P(A1) x P(A2/A1) = 4/6 X 3/8 = 1/4

 Misalnya A1 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari

tas pertama (berarti terambilnya bola hitam) dan A2 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka: P(A1 ∩ A2) = P(A1) x P(A2/A1) = 2/6 x 5/8 = 10/48 = 5/24

Harapan Matematis  Jika P1, P2…..Pk merupakan probabilitas terjadinya

peristiwa maka E1, E2 …… Ek dan andaikan V1, V2…….Vk adalah nilai yang diperoleh jika masingmasing peristiwa diatas terjadi, maka harapan matematis untuk memperoleh sejumlah nilai adalah: E(V) = P1V1 + P2V2 + …… PkVk

Kemungkinan kejadian  Suatu nilai ataupun kejadian akan muncul,

ditunjukkan dengan suatu nilai kemungkinan yang besarnya dari nol sampai dengan satu.  Nilai nol sama sekali tidak akan muncul dan nilai satu

pasti akan muncul. P (x ) adalah kemungkinan suatu nilai x akan keluar. 0 ≤ P (x ) ≤ 1

Contoh 1 Cara penentuan P(x)

Contoh 2 Variasi ukuran

Frekuensi relatif ukuran : Didapat dengan membagi jumlah masing-masing ukuran dengan jumlah keseluruhan pengukuran. Variansi Ukuran : Diperoleh pengurangan rata-rata ukuran dengan masingmasing ukuran. Dengan menganggap rata-rata merupakan nilai yang dicari, nilai masing-masing variasi ukuran bisa didapat.

Frekwensi yang diharapkan : Diperoleh dengan menganggap distribusi variasinya normal dan dicari dengan rumus fungsi distribusi normal dengan nilai simpangan baku dan nilai rata-rata yang telah dihitung.

32 2, 52 32 2, 53 32 2, 54 32 2, 55 32 2, 56 32 2, 57 32 2, 58 32 2, 59 32 2, 60 32 2, 60 32 2, 61 32 2, 62 32 2, 63 32 2, 64

Jumlah ukuran

Grafik distribusi data 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 18

14

1 15

9

5

3

0

Ukuran

14 10 6 3 1 1

Variasi ukuran

0. 06 4

0. 03 4 0. 04 4 0. 05 4

0. 00 4 0. 01 4 0. 02 4

-0 .0 06

-0 .0 16

-0 .0 26

-0 .0 36

-0 .0 46

-0 .0 56

-0 .0 66

Frekuensi relatif

Grafik variasi ukuran 0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

Variasi ukuran

0. 06 4

0. 03 4 0. 04 4 0. 05 4

0. 00 4 0. 01 4 0. 02 4

-0 .0 06

-0 .0 16

-0 .0 26

-0 .0 36

-0 .0 46

-0 .0 56

-0 .0 66

Frekuensi relatif

Grafik variabel kontinyu 0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

Keterangan gambar grafik (1), (2), (3) Gambar (1) dan Gambar (2) merupakan grafik distribusi variabel diskrit. Gambar (3) merupakan grafik distribusi variabel kontinu. Dari grafik Gambar (1) dan Gambar (2) dapat dilihat bentuk dan ukuran sama sehingga dapat disimpulkan bahwa sifat distribusi ukuran dan variasi ukuran sama.

Distribusi data dan variasi ukuran Data ukuran maupun data variasinya dapat disajikan dalam bentuk grafik:  Sumbu menggambarkan nilai ukuran maupun variasi

ukuran(Gambar 1)  Sumbu menggambarkan jumlah ukuran maupun frekuensi relatif (Gambar 2).

Lakukan kajian literatur 1. Berikan konfirmasi definisi dan berikan contohnya terhadap beberapa peristiwa berikut : tidak saling lepas (non exclusive), bebas (independent) dan bersyarat (dependent). 2. Jelaskan bagaimana menentukan nilai kemungkinan yang diharapkan (di kolom terakhir contoh 2) .  Saudara boleh menggunakan referensi apapun,  Pada pertemuan ini diberikan buku ebook

“Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers”, TT Soong