Problemas Sobre Conjuntos

PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS Ejercicio 1 Encuentra la cardinalidad del conjunto que consta de los números enteros mayores que -2 y menores que 11. Solución: El conjunto es: {-1,0,1,2,3.4,5.6,7,8,9,10}. La cardinalidad del conjunto es 12.

Ejercicio 2 2. Si A= {3, 4.5, 15, 7/8} y B = {-3, 15, 4.5}. Probar que B c A. Solución: Los elementos de B son -3, 15, 4.5 y todos ellos son también elementos de A.

Ejercicio 3 3. Si A= {1,2/1, 1/3, 3/2} y B= {2/3, 3/2, 1, ¼, ½, 5/2, -1}. Encontrar B/A. Solución: Los elementos que están en B y no están en A son: B/A= {2/3, ¼, 5/2, /1}.

Ejercicio 4 4. Juan, José, Luis, Mario, Alfredo, Rubén, Roberto, Bruno, Adrián, Fernando, Daniel y Andrés estudian en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubén y Roberto practican natación. José, Mario, Alfredo Roberto, Bruno y Andrés juegan fútbol. ¿Cuáles niños hacen deporte? Solución: Llamamos A al conjunto de niños que nadan, es decir: A={Juan , Luis, Mario, Rubén, Roberto} Y B al de los niños que juegan fútbol: B={José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés} Ahora formamos la colección de niños que practican algún deporte:

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{Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto, José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés}.

Ejercicio 5 Los miembros del consejo de seguridad de la ONU durante 1997 son Japón, Kenia, Polonia, Portugal, República de Corea, Federación Rusa, Suecia, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, Chile, China, Costa Rica, Egipto, Francia y Guinea-Bissau. De ellos Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, China y Francia son miembros permanentes. Por otra parte, Portugal, Chile, Coste Rica, Francia y Guinea-Bissau tienen por idioma oficial una lengua romance. ¿Qué países son miembros permanentes y tienen una lengua romance por idioma? Solución: Llamamos A al conjunto de miembros permanentes de l Consejo de Seguridad de la ONU, es decir: A = {Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, China, Francia} Y B al conjunto de países cuyo idioma una lengua romance, o sea: B = {Portugal, Chile, Costa Rica, Francia, Guinea-Bissau} Los países que son miembros permanentes y cuyo idioma es una lengua romance son los que están en ambos conjuntos, llamemos C a dicho conjunto, entonces: C = {Francia}

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Ejercicio 6 En una sección de 45 alumnos, 24 juegan futbol, de los cuales 12 solo juegan futbol, 25 juegan basket, 10 solo basket, 19 juegan voley y 5 solo voley. Ademas 5 juegan futbol, basket y voley, y 9 juegan futbol y basket. Si todos practican por lo menos un deporte: -¿Cuántos juegan basket y voley? -¿Cuántos juegan futbol y no basket? -¿Cuántos juegan voley y no basket?

Luego sumamos todos los subconjuntos del conjunto basquet que tiene 25 alumnos inscritos, entonces: (7-x) + 5 + (9-x) + 10 = 25 31 - 2x = 25 6 = 2x 3=x denotemos: B: Basquet V: Voley F: Futbol Por lo tanto: i. B y V : 5 + (9-x) , pero x = 3 , entonces : B y V = 11 ii. F y noB: 12 + x , entonces : F y noB = 15 iii. V y noB 5 + x , entonces : V y noB = 8

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Ejercicio 7 En una encuesta se tiene los siguientes resultados: 60 no hablan ingles, 70 no hablan francés, 60 hablan ingles o francés. Si entre los 100 encuestados ninguno habla otro idioma además del materno. ¿Cuantos hablan a lo mas 2 idiomas?. 1.- No entiendo la frase " Si entre los 100 encuestados ninguno habla otro idioma además del materno." Si me olvido de ella e interpreto que entre 100 encuestados 40 hablan inglés(60 no), 30 hablan francés(70 no)y que 60 hablan inglés o francés, tengo los conjuntos:

I = 40 F = 30 IUF =60 ( I unión F) La unión de dos conjuntos es igual a la suma de los elementos de cada uno de ellos menos el conjunto intersección de ambos, en este caso la intersección será el conjunto, al que llamaré X, de personas que hablan francés e inglés, es decir: X = I + F - IUF = 40 + 30 -60 = 10 personas hablan F e I

Ejercicio 8 En una reunión de 120 personas se observa: El 45% de las personas fuman, 20 Técnicos fuman y representa el 40% de todos los técnicos presentes en la reunión. El 40 % de los no técnicos son biólogos, de los cuales el 25% no fuman. ¿Cuantos no son técnicos, ni biólogos y fuman? Total de asistentes T= 120 45% T = 54 = F ( fuman) Técnicos = 20 /0,4 = 50 Fuman 20 No Técnicos = 70 40% de 70 = 28 = B ( Biologos) Fuman 21 54 - ( 20+21) = 13 fuman y no son ni técnicos ni biologos

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Ejercicio 9 Se requieren 20 técnicos que cumplan con estas características y deben de estar en un lapso de 2 años.









Total de personas entrevistadas: 40 Personas que hablan español : 25 Personas solteras:24 Personas que pueden reemplazarse:25 Personas solteras que hablan español:17 Personas soltera que pueden reemplazarse:20 Personas que hablan español y pueden reemplazarse:18 Personas que son irreemplazables, no hablan español y son casadas: 6 observando estos resultados se pregunta. ¿En el presente, dispone la compañía de los 20 técnicos que cumplan con los 3 requisitos necesarios? Si todavía no se tiene completo ese grupo de 20 personas ¿podrá completarse con los candidatos que hablen español y puedan reemplazarse, pero que no sean solteros? Sale con un diagrama de Venn, más algunas ecuaciones. Supongamos tres círculos (en el diagrama) que se interceptan. Uno de los círculos corresponde a los que hablan español (E), otro a los solteros (S) y el otro a los que pueden reemplazarse (R). Fuera de este diagrama hay 6 personas (por dato), que no hablan español, son casadas e irreemplazables. De modo que, en total debes poner 40 - 6 = 34 personas en los círculos. 1) Simbología. E = personas que hablan español solamente (en el diagrama no se interceptan con los otros círculos) S = personas que son solteros solamente R = personas que son reemplazables solamente SE = personas que son solteros y hablan español (solo la intercepción entre E y S sin contar la zona común SER) SR = personas que son solteros y pueden reemplazarse ER = personas que hablan español y pueden reemplazarse. SER = personas que cumplen las tres condiciones (la única zona en común) 2) Ecuaciones: Se debe cumplir: E + S + R + SE + SR + ER + SER = 34 (usaré paréntesis para facilitar los cálculos, teniendo en cuenta los otros datos) (E + ER) + (S + SE) + (R + SR) +SER = 34 (Ecuación 1) Los que hablan español, por dato son 25 y están formados por: E + SE + ER + SER = 25 (Ecuación 2)

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Los que son solteros, 24, serían: S + SE + SR + SER = 24 (Ecuación 3) Los que pueden reemplazarse, 25, son: R + SR + ER + SER = 25. (Eccuación 4) Solteros que hablan español (17 según datos): SE + SER = 17 (Ecuación 5) De aquí concluimos que: SE = 17 - SER (Ecuación 6) Solteros que pueden reemplazarse (20) SR + SER = 20 (Ecuación 7) SR = 20 - SER (Ecuación 8) Pueden reemplazarse y hablan español, 18: ER + SER = 18 (Ecuación 9) ER = 18 - SER (Ecuación 10) 3) Análisis de las ecuaciones. Ecuación 2: E + SE + ER + SER = 25 (Acomodamos con paréntesis) E + (SE + SER) + ER = 25 Lo que está en el paréntesis vale 17, según ecuación 5 E + 17 + ER = 25 E + ER = 8 (Ecuación 11) Ecuación 3: S + SE + SR + SER = 24 (Acomodamos) S + (SR + SER) + SE = 24 Lo del paréntesis vale 20, por ecuación 7 S + 20 + SE = 24 S + SE = 4 (Ecuación 12) Ecuación 4: R + SR + ER + SER = 25 (Acomodamos) R + (ER + SER) + SR = 25 Lo del paréntesis vale 18 por ecuación 9 R + 18 + SR = 25 R + SR = 7 (Ecuación 13) Reemplazamos en la ecuación 1, los valores dados por las ecuaciones 11, 12 y 13: (E + ER) + (S + SE) + (R + SR) + SER = 34 8 + 4 + 7 + SER = 34 SER = 34 - 19 SER = 15 -6-

15 personas cumplen con las tres condiciones. La primera respuesta sería no, la compañía no dispone de los 20 técnicos que cumplan con los 3 requisitos necesarios. Para responder la otra pregunta hay que completar las zonas del diagrama; pero esto ya es inmediato: De ecuación 6 tenemos: SE = 17 - SER SE = 17 - 15 SE = 2 De ecuación 8 tenemos: SR = 20 - SER SR = 20 - 15 SR = 5 De ecuación 10 tenemos: ER = 18 - SER ER = 18 - 15 ER = 3 De ecuación 11 E + ER = 8 E+3=8 E=5 De ecuación 12: S + SE = 4 S+2=4 S=2 De ecuación 13: R + SR = 7 R+5=7 R=2 En resumen tenemos entonces (sería conveniente que completes las zonas del diagrama) E=5 S =2 R=2 SE = 2 SR = 5 ER = 3 SER = 15 Como se puede comprobar, la suma da 34, los que hablan español son 25 (E, ER, SE, SER) los solteros 24 (S, SE, SR, SER) los reemplazables 25 (R, SR, ER, SER) -7-

solteros que hablan español 17 (SE, SER) solteros reemplazables 20 (SR, SER) reemplazables que hablan español 18 (ER, SER) La segunda pregunta también es negativa. Quieres completar con candidatos que hablen español y puedan reemplazarse, pero que no sean solteros; es decir con los ER que son 3. Ya tienes 15, si añadimos estos 3, no llegamos a los 20 necesarios.

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