Probabilidades

Profesora: Mariela Escobar E.

• Fórmula de Laplace. • Iteración de experimentos sencillos • Nociones de combinatoria y su aplicación en el calculo de probabilidad ( IMÁGENES) • Sucesos independientes y probabilidad condicional • Organización y representación de datos en tablas y gráficos.

Si lanzamos una moneda 200 veces y anotamos los resultados del suceso sello, después de 10, 20, 30, … 200 lanzamientos, se puede observar que dividiendo el número de veces que salió sello y el número de veces que lanzamos la moneda, tiende a estabilizarse hacia el valor 0,5. En general, cuanto mayor sea el número de pruebas realizadas, el suceso se acerca a un cierto número que llamaremos Probabilidad del Suceso.

Son aquellos experimentos en los que se sabe lo que sucederá antes de efectuar el experimento. Por ejemplo, dejar en la superficie del agua una bola de plomo y observar si se hunde.

Los experimentos aleatorios son aquellos experimentos en los que, a pesar de conocer todos los resultados posibles, no se puede predecir cuál de ellos se va a obtener. Por ejemplo, extraer una carta de una baraja, lanzar un dado, extraer una bola de una urna.

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio .

El espacio muestral asociado al experimento de lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior es : S= { C, S } Siendo: C = “cara” S = “sello”

Si se considera el experimento de lanzar dos monedas sobre una mesa y anotar los resultados de las caras superiores, el espacio muestral es: S= { CC, CS, SC, SS } siendo C = “cara” S = “sello”

¿Cuál es el espacio muestral al lanzar dos dados? El espacio muestral es:(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (3,5) ; (3,6) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6) ; (5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6) ; (6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)

Es el que nunca sucede. No se presenta al realizar un experimento aleatorio.

Está formado por todos los resultados posibles del experimento. Coincide con el espacio muestral y siempre ocurre.

Una forma sencilla de obtener el espacio muestral es mediante el diagrama de árbol: 1ª Moneda

2ª Moneda

Resultado

C

CC

S

CS

C

SC

S

SS

C

S

FÓRMULA DE LAPLACE

La probabilidad de un suceso A es el cuociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles (espacio muestral) La probabilidad del suceso A se representa por P(A) Número de casos favorables al suceso A P(A ) = Número de casos posibles

¿Cuál es la probabilidad qué al lanzar un dado se obtenga un número par? El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Sea A el suceso : “obtener un número par” , entonces A = { 2, 4, 6} 3 1 luego P(A) = = 6 2

• Y ¿cuál es la probabilidad de qué se obtenga un un múltiplo de 3? •Sea C el suceso: “obtener un múltiplo de 3”, entonces C = { 3, 6 }. 2 1 •Luego P(C) = = 6

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CUMPLEAÑOS En un curso con 30 estudiantes. ¿Apostarías a favor o en contra que dos de ellos estén de cumpleaños el mismo día? Lo veremos después…

PROBABILIDAD CONDICIONAL, INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Probabilidad Condicional

Ejemplo: Consideremos un lote de 100 artículos que contiene 20 defectuosos y 80 no defectuosos. Se eligen dos artículos al azar.

Definamos los siguientes sucesos: A = { el primer artículo es defectuoso} B = { el segundo artículo es defectuoso}   Si escogemos con sustitución, cada vez que elegimos en el lote, hay 20 artículos defectuosos de un total de 100. Por lo tanto P(A) = P(B) = 20/100  

En cambio, si elegimos sin sustitución, los resultados no son completamente inmediatos. Como antes A = { el primer artículo es defectuoso} B = { el segundo artículo e defectuoso} Todavía es verdad que P(A) = 20 / 100, pero ¿cuál es el valor de P(B)? Para ese cálculo, deberíamos conocer la composición del lote cuando se elige el segundo artículo. En otras palabras, deberíamos saber si el suceso A ocurrió o no. Esto nos lleva al concepto de probabilidad condicionada.

Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento E. Indiquemos con P(B/A) la probabilidad condicional del suceso B dado que A ha ocurrido En el ejemplo anterior P(B/A) = 19/99 Porque si A ha ocurrido, entonces al sacar por segunda vez quedan solo 99 artículos de los cuales 19 son defectuosos.  

Cuando se calcula P(B/A) se está calculando P(B) con respecto al espacio muestral reducido al conjunto A en vez del espacio muestral original .

 

 

Ejemplo Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1,x2), en donde xi es el resultado del i-ésimo dado i =1,2. Por lo tanto el espacio muestral es S = { (x1,x2 ) / xi ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6} }, el cual tiene 36 elementos.

Consideremos los sucesos siguientes: A = { (x1,x2) / x1+x2 = 10} = {(4,6) , (5,5), (6.4)}

B= { (x1,x2) / x1> x2} = {(2,1) , (3,1), (4.1),............} A ∩ B = {(6.4)} Entonces: P(A) = 3/36 P(B) = 15/36 P (A ∩ B) = 1/36 P(B/A) = 1/3 P(A/B) = 1/15 Se puede ver que se cumple:

P(A /B)= P( P(B /A)= P(

A∩ ∩ A

B)/P(B) B)/P(A)

Esto que ocurrió para ejemplos particulares, nos motiva a definir probabilidad condicionada. Para justificar la definición que daremos, volvamos al concepto de frecuencia relativa:

 

Supongamos que se ha repetido n veces un experimento E . Sean n A , n B y n A∩B el número respectivo de veces que los sucesos B han ∩ A, B y A ocurrido en las n repeticiones. Entonces relativa

n A∩B nA

representa la frecuencia

de B entre los resultados en que A ocurrió.  

Se tiene la siguiente relación: n A ∩B n A ∩B n f A ∩B = = nA nA n fA

en donde f A∩B y f A son las frecuencias relativas de los sucesos A ∩ B y A, respectivamente. Como ya lo hemos indicado si n, el número de repeticiones es grande f A∩B estará próximo a P ( A ∩ B ) y f A estará próximo a P(A). n A∩B Por lo tanto, la relación anterior sugiere que nA estará próxima a P ( B / A).

Definición P(B/A)=P(A ∩ B)/P(A) siendo P ( A ) > 0.

Ejemplo Supongamos que una oficina tiene 100 máquinas calculadoras. Algunas de estas máquinas son eléctricas (E), mientras que las otras son manuales (M). Además, algunas son nuevas (N) mientras que las otras son usadas (U). La tabla siguiente nos da el número de máquinas de cada categoría.

N U

E 40

M 30

70

20

10

30

60

40

100

Una persona entra en la oficina, escoge una máquina al azar y descubre que es nueva. ¿Cuál es la probabilidad de que sea eléctrica? En términos de la notación introducida queremos calcular P ( E / N ).

N U

E 40

M 30

70

20

10

30

60

40

100

Considerando el espacio muestral reducido N (es decir, las 70 máquinas nuevas) se tiene que 40 4 = P(E/N)= 70 7

Ahora si utilizamos condicionada se tiene: P(E ∩ N)/P(N)

la

fórmula

40 100 4 = 70 100 = 7

de

probabilidad

La consecuencia más importante de la definición de probabilidad condicional se obtiene escribiéndola de la siguiente manera:

P( A ∩ B) = P( B / A)·P( A)

Lo que equivale a:

P ( A ∩ B )= P ( A / B )·P ( B ) Esto se conoce como el teorema de multiplicación de probabilidades y se puede aplicar para conocer la probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos sucesos A y B.

Ejemplo

En un lote de 100 artículos, se tienen 20 artículos defectuosos y 80 sin defectos. Si escogemos 2 artículos al azar, sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?  Solución: Definamos los sucesos A y B como sigue: A = { el primer artículo es defectuoso} B = { el segundo artículo es defectuoso} Entonces

19 20 P ( A ∩ B) = P ( B / A) P( A) = · = 0.038 99 100

Sucesos Independientes

Ejemplo: Se lanza un dado normal dos veces, consideremos los siguientes sucesos: A = { sale Nº par en el primer dado} B = { sale 5 o 6 en el segundo dado} Intuitivamente vemos que la ocurrencia o no ocurrencia de los sucesos A y B no está relacionada. P(A) = 18 P(B) = 12 36

P(B/A) = P( A ∩ B) P(A/B) =

P( B)

36

6 36 = = 0 .5 12 36

P ( A ∩ B ) 6 36 = = 0.3 P ( A) 18 36

= P(A) = P(B)

En ambos casos

P( A ∩ B) = P( A)·P( B) Definición: Los sucesos A y B son independientes si

P( A ∩ B) = P( A)·P( B) Es decir, P( A / B ) = P(A)

y

P( B / A ) = P(B)

CUMPLEAÑOS En un curso con 30 estudiantes. ¿Apostarías a favor o en contra que dos de ellos estén de cumpleaños el mismo día?

Solución:

Primero es necesario contar todos los posibles cumpleaños. Como cualquier día del año puede ser el cumpleaños de cada uno de los 30 estudiantes y si en un año hay 365 días, entonces las posibilidades combinatorias son 365 30.    

Sea A el suceso que no hayan dos cumpleaños el mismo día, entonces calcular la probabilidad de que hayan dos cumpleaños el mismo día equivale a calcular P (Ac ) = 1 – P(A) El número de elementos de A es: 365 · 364 ·363 ·...............· 336 (en total 30 factores) Luego 365·364·363·........·336 P ( A)= = 0.25 365·365·365·.......·365 Así la probabilidad de que dos cumpleaños coincidan es: 1 – 0.25 = 0.75 ¡Hay un 75% de probabilidad de que dos estudiantes cumplan el mismo día!