Ft12 Probabilidades-5

ESCOLA SECUNDÁRIA DE MAXIMINOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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escola sec. de maximinos

FICHA DE TRABALHO

PROBABILIDADES-5

1. De quantas maneiras 5 livros de Matemática 4 de Física e 2 de Português podem ser colocados numa prateleira de modo que os livros da mesma matéria fiquem juntos? 2. Sete amigos foram ao cinema. De quantas maneiras diferentes se podem sentar na mesma fila, se dois deles são namorados e querem ficar juntos? 3. Sete amigos vão ao futebol ver um desafio entre o clube Alfa e o clube Beta. Três deles são adeptos do clube Alfa e quatro são adeptos do clube Beta. No estádio sentam-se na mesma fila, uns ao lado dos outros, distribuídos ao acaso. Qual é a probabilidade de os adeptos do clube Alfa ficarem todos juntos? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 4. Com os algarismos 1 , 2 , 3 , 5 , 7 e 8 , quantos números compreendidos entre 300 e 800 se podem formar, com algarismos diferentes? 5. Para organizar uma viagem de fim de curso, os 30 alunos da turma A do 12º ano querem eleger uma comissão de quatro elementos. Quantas comissões podem eleger? 6. De um grupo de 30 pessoas vão ser escolhidos três para formar uma comissão com um presidente, um vogal e um secretário. Quantas comissões se podem formar? 7. De um baralho de cartas, seleccionaram-se seis cartas do naipe de Espadas: Ás, Rei, Dama, Valete, Dez e Nove. Dispõem-se as seis cartas, em fila, em cima de uma mesa. 7.1 Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que as duas cartas do meio sejam o Ás e o Rei (não necessariamente por esta ordem)? 7.2 Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que o Rei não fique ao lado da Dama? 8. Num aldeamento turístico encontram-se reunidos 200 veraneantes de vários países. Sabe-se que 82 falam Português, 38 não falam Inglês e há 62 pessoas que falam Português e Inglês. 8.1 Qual a percentagem de turistas que falam Português mas não falam Inglês? 8.2 Fez-se o sorteio de um bilhete para a entrada num parque aquático. Sabe-se que o vencedor fala Inglês. Qual é a probabilidade de não falar Português? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. 9. Três rapazes e duas raparigas vão dar um passeio de automóvel. Qualquer um dos cinco jovens pode conduzir. De quantas maneiras podem ocupar os cinco lugares, dois à frente e três atrás, de modo a que o condutor seja uma rapariga e ao seu lado viaje um rapaz? 10. Um frigorífico tem cinco prateleiras. Pretende-se guardar, nesse frigorífico, um iogurte, um chocolate e um queijo. De quantas maneiras diferentes se podem guardar os três produtos no frigorífico, sabendo que devem ficar em prateleiras distintas? 11. Uma caixa A contém 2 bolas pretas e 3 bolas brancas e uma caixa B contém 2 bolas pretas e 1 bola branca. Ao acaso seleccionou-se uma das caixas e em seguida retirou-se uma bola dessa caixa. 11.1 Qual a probabilidade da bola ser branca? 11.2 Verificou-se que a bola é preta. Qual a probabilidade de ter saído da caixa A? 12. Numa festa de aniversário deram à Rita dois saquinhos com bombons todos iguais excepto na cor da prata. Assim, o primeiro saco continha 4 bombons verdes e 2 azuis e o segundo saco 5 verdes e 4 azuis. Quando chegou a casa o irmão escolheu um dos sacos e comeu um bombom ao acaso. Se o bombom que o irmão da Rita comeu for verde, qual a probabilidade de que tenha escolhido o 2º saco? 13. Numa caixa há 10 rebuçados de morango, 12 de laranja e 15 de ananás. Tiram-se sucessivamente e sem reposição 3 rebuçados da caixa. Calcule com aproximação às centésimas, a probabilidade de: 13.1 saírem os três rebuçados do mesmo sabor. 13.2 sair um rebuçado de cada sabor.

14. Lançaram-se dois dados, de cores diferentes, com as faces numeradas de 1 a 6. Determine, na forma de fracção irredutível, a probabilidade de sair: 14.1 as duas faces com números iguais. 14.2 produto par. 14.3 soma inferior a 5, sabendo que num dos dados saiu face 1. 15. Num curso superior existem dez disciplinas de índole literária, das quais três são de literatura contemporânea. Um estudante pretende inscrever-se em seis disciplinas desse curso. Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas de literatura contemporânea? 16. Seis amigos entram numa pastelaria para tomar café e sentam-se ao acaso numa mesa rectangular com três lugares de cada lado, como esquematizado na figura junta. Determina a probabilidade de dois desses amigos, a Joana e o Rui, ficarem sentados em frente um ao outro. 17. Uma embalagem contém doze pastilhas com igual aspecto exterior, sendo 3 de ananás, 3 de cereja, 3 de laranja e três de morango. Esvaziando a embalagem após a compra e retirado quatro pastilhas ao acaso, qual é a probabilidade de retirar uma de cada sabor? 18. Uma das provas de um campeonato de atletismo é a estafeta 4 × 100 metros planos em que cada equipa participa com 4 atletas. O clube “Pés Voadores” vai participar na prova, dispondo de 10 atletas para formar a equipa de estafeta. 18.1 Quantos conjuntos diferentes é possível constituir para formar a equipa de estafeta deste clube? 18.2 Formada a equipa é necessário estabelecer a ordem de participação dos atletas que a constituem. Por razões tácticas escolheu-se o João Rui para iniciar a prova, podendo os restantes atletas da equipa participar em qualquer posição. De quantas formas diferentes se pode organizar esta equipa? 18.3 Ao todo vão competir na prova 6 equipas de clubes diferentes. A colocação das equipas pelas 8 pistas é feita por sorteio. Qual é a probabilidade de que a equipa dos “Pés Voadores” corra na pista 1 não ficando nenhuma equipa na pista 2? 19. O Departamento de Matemática de uma escola é constituído por 25 professores, sendo 8 homens e 17 mulheres. O 12º ano é leccionado por um grupo de 6 professores que vão ser escolhidos aleatoriamente. 19.1 Calcule a probabilidade de cada um dos dois acontecimentos: A: o grupo é formado só por mulheres. B: no grupo há 2 homens e 4 mulheres. 19.2 O Dr. Vítor e a Dr.ª Augusta fazem parte do grupo de professores de Matemática da escola. Determina a probabilidade, em forma de percentagem, de: 19.2.1 a Dr.ª Augusta fazer parte do grupo. 19.2.2 pelo menos um deles fazer parte do grupo. 20. No caminho de casa para a escola, a Margarida passa por três semáforos que funcionam independentemente. A probabilidade de cada um estar vermelho é 0,4 ; 0,2 e 0,5 respectivamente. Calcule, com aproximação às centésimas, a probabilidade de a Margarida: 20.1 encontrar todos os sinais vermelhos. 20.2 encontrar apenas 1 semáforo vermelho. 21. Um fiscal do Ministério das finanças vai inspeccionar a contabilidade de sete empresas, das quais três são clubes de futebol profissional. A sequência segundo a qual as sete empresas vão ser feitas é aleatória. Qual é a probabilidade de que as três primeiras empresas inspeccionadas sejam exactamente os três clubes de futebol? 22. Realizou-se um estudo sobre a idade dos taxistas de uma cidade, tendo-se observado que 70% tem mais de 40 anos, sendo 60% destes, proprietários do veículo que conduzem. Dos taxistas com idade não superior a 40 anos, apenas 20% são proprietários. 22.1 Escolhido um taxista ao acaso qual é a probabilidade de ele não ser proprietário do veículo que conduz? 22.2 Escolhe-se aleatoriamente um taxista e verifica-se que ele é proprietário do táxi que conduz. Qual é a probabilidade de ter mais de 40 anos?

23. Seja B o conjunto dos números de quatro algarismos diferentes, menores que 3000, que se podem formar com os algarismos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 e 7. 23.1 Verifique que o conjunto B tem 240 elementos. 23.2 Escolhe-se ao acaso, um elemento de B. Qual é a probabilidade de que esse elemento seja um número par? 23.3 Escolhem-se, ao acaso, três elementos de B. Qual é a probabilidade de todos eles serem maiores do que 2000? 24. Uma turma de uma escola tem 27 alunos: 15 raparigas e 12 rapazes. O delegado de turma é um rapaz. Pretende-se constituir uma comissão para organizar um passeio. A comissão deve ser formada por 4 raparigas e 3 rapazes. Acordou-se que um dos 3 rapazes da comissão será necessariamente o delegado de turma. 24.1 Quantas comissões diferentes se podem formar? 24.2 Admita que os 7 elementos da comissão, depois de constituída vão posar para uma fotografia, colocando-se uns ao lado dos outros. Supondo que eles se colocam ao acaso, qual é a probabilidade de as raparigas ficarem todas juntas? 25. Numa turma de 25 jovens, as suas idades e sexos estão distribuídos como indica a tabela: Idade rapazes raparigas 15 4 2 16 5 4 17 6 4 25.1 Pretende-se escolher um jovem para representar a turma. Sabendo que esse representante é escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que tenha 16 anos ou seja rapariga? 25.2 Ao escolher dois jovens ao acaso, qual é a probabilidade de eles serem de sexo diferente e terem a mesma idade? 26. Na figura está representado um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto 3 num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares. 1 26.1 Pretende-se numerar as doze faces do poliedro, com os números de 1 a 12 P Q (um número diferente em cada face). Como se vê na figura, duas das faces do poliedro já estão numeradas, com os números 1 e 3. 26.1.1 De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números? 26.1.2 De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números, de forma a que, nas faces de uma das pirâmides, fiquem só números ímpares e, nas faces da outra pirâmide, fiquem só números pares? 26.2 Considera agora o poliedro num referencial o. n. Oxyz , de tal forma que o vértice P coincida com a origem do referencial, e o vértice Q esteja no semi-eixo positivo Oy. Escolhidos ao acaso três vértices distintos, qual é a probabilidade de estes definirem um plano paralelo ao plano de equação y = 0 ? 27. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. Cada naipe tem três figuras: Rei, Dama e Valete. 27.1 Retirando, ao acaso seis cartas de um baralho completo, qual é a probabilidade de entre elas, haver só um Rei? 27.2 De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Sejam E1, C2 e F2 os acontecimentos: E1 : sair espadas na primeira extracção ; C2: sair copas na segunda extracção F2 : sair uma figura na segunda extracção. Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P(( F2 ∩ C 2 ) | E1 ) . O valor pedido deverá resultar apenas da interpretação do significado de P(( F2 ∩ C 2 ) | E1 ) , no contexto da situação descrita. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite o raciocínio que efectuou. 28. Considere o seguinte problema: Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente, cinco jovens irão ficar sem bilhete. Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas? 12 C10 ×13 C10 × 2 × 10!×10! Uma resposta correcta para este problema é: 25 C 20 × 20! Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: referência à regra de Laplace , explicação do número de casos possíveis e explicação do número de casos favoráveis.

SOLUÇÕES: 1) 34 560 2) 1 440 3) 1/7 4) 60 5) 27 405 6) 24 360 7) 48 8.1) 10% 8.2) 62% 9) 36 10) 60 11.1) 7/15 11.2) 3/8 12) 5/11 13.1) 0,1 13.2) 0,23 14.1) 1/6 14.2) 3/4 14.3) 5/11 15)140 16) 1/5 17) 9/55 18.1) 210 18.2) 6 18.3) 1/28 19.1) p(A)=7% ; p(B)=38% 19.2.1) 24% 19.2.2) 43% 20.1) 0,04 20.2) 0,46 21) 144/5 040 22.1) 52% 22.2) 87,5% 23.1) 240 23.2) 100/240 23.3) 0,12 24.1) 75 075 24.2) 4/35 25.1) 3/5 25.2) 13/75 26.1.1) 3 628 800 26.1.2) 103 680 26.2) 1/15 27.1) 0,34 BOM TRABALHO!