Pro Bab 1

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1º) En familias de tres hijos, se estudia la distribución de sus sexos. Por ejemplo (V,M,M) significa que el mayor es varón y los otro dos mujeres. a) Construye el espacio muestral b) Construye los sucesos A=”La menor es mujer” y B= ”El mayor es varón” c) Quién es A∪ B 2º) Consideremos, entre los habitantes de un municipio, los sucesos: A = {ser socio del casino}, B = {ser socio del club de fútbol local} y C = {ser socio de alguna asociación juvenil}. a) Expresa en función de A, B y C las situaciones. 1º)Ser socio de alguna de esas asociaciones. 2º)Ser socio de las tres asociaciones. 3º)Ser socio sólo del casino. 4º)Ser socio de como máximo, una o dos asociaciones. 5º)No ser socio de ninguna de las tres. b) Describe el significado de los sucesos siguientes: 1. A∪ B∪ C ; 2. (A∪ B∪ C)' ; 3. A∪ B-C 4.A∩ B∩ C 5. C-(A∪ B) 6. (A∩ B) ∪ (A∩ C) ∪ (B∩ C) Solución : a) 1º) Alguna de las tres : A∪ B∪ C. 2º) Ser socio de las tres: A∩ B∩ C. 3º) Sólo del casino : A∩ Bc∩ Cc. 4º) A∪ B∪ C- (A∩ B∩ C). 5º)De ninguna de las tres: (A∪ B∪ C)c= Ac∩ Bc∩ Cc. b) 1. Pertenecer, al menos, a una asociación. 2. No ser socio de ninguna. 3. No ser de ninguna asociación juvenil, pero sí de alguna de las otras dos. 4. Ser socio de las tres asociaciones. 5. Pertenecer sólo a la asociación juvenil 6. Ser socio de, al menos, dos asociaciones. 3º) Si los sucesos A, B y C representan: A = {llueva hoy}, B = {llueva mañana}, C = {llueva pasado mañana} a) Expresa mediante las operaciones con sucesos las situaciones siguientes: 1. Llueva uno de esos tres días, por lo menos. 2. Llueva hoy, pero no mañana ni pasado. 3. No llueva ninguno de los tres días. 4. Llueva, como máximo dos de esos tres días. 5. Llueva hoy, pero no mañana b) Explica el significado de: 1. (A∩ B)- C (A∪ B)-C 3. A∪ B∪ Cc 4.(A∩ B)∪ C 5º) (A∪ B)c 3º)a) Probabilidad de sacar o un as o un rey en una extracción de la baraja b) Probabilidad de sacar un as o una espada Soluc. : a)1/5 ; b)13/40 4º) a) Se lanzan 4 monedas al aire , halla la probabilidad de : a1) obtener ,a lo sumo, tres caras . a2) obtener dos caras .

b) Probabilidad de obtener al menos un 6 al lanzar 3 veces un dado .¿Y si lo lanzamos Soluc. : a1)15/16 ; a2)6/16 ; b) 91/216 ; 1-(5/6)n

n veces ? .

5º) Halla la probabilidad de los siguientes sucesos : a) Salga un número impar al lanzar un dado b) Salga al menos una cara en 2 lanzamientos de una moneda c) Salga un as ,el 7 de copas o el 5 de oros al sacar una sola carta . d) La suma de 2 dados sea 5 Soluc. : a)1/2 ; b)3/4 ; c)3/20 ; d) 1/9 6º) Las probabilidades de los sucesos A, B y A∩ B son, respectivamente P(A) = 1/ 3 P(B)= 2/5 P(A∩ B)= 1/15 . Con estos datos, calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos : 1º) Que se cumpla alguno de los sucesos A o B. 2º) Que no se cumpla A y sí B. 3º) Que no se cumplan los dos a la vez. 4º) Que no se cumpla ni A ni B. Soluc. : 1º) 2/3 ; 2º)1/3 ; 3º) 14/15 ; 4º) 1/3

siguientes

7º) Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Se hacen dos extracciones sin devolución . Halla la probabilidad de : a) Las 2 bolas sean negras . b) La primera sea negra y la segunda blanca c) Una sea negra y otra sea blanca d) Ninguna sea negra e) Alguna sea negra Soluc. : a)1/10 ; b)3/10 ; c)3/5 ; d) 3/10 ; e) 7/10 Responde a las mismas cuestiones si las bolas se devuelven a la urna . Soluc. : a)4/25 ; b)6/25 ; c)12/25 ; d) 9/25 ; e) 16/25 8º) Se lanza un dado dos veces. a) Probabilidad de que la suma sea cuatro. b) Si la suma ha sido 4, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido un 1 en el primer lanzamiento ? Soluc. : a)1/12; b) 2/3

9º) Una urna contiene 4 bolas blancas y 2 negras ; otra urna contiene 3 blancas y 5 negras. Si se saca una bola de cada urna, halla la probabilidad de : a) Ambas sean blancas b) Ambas sean negras c) Una sea blanca y otra negra Soluc. : a)1/4 ; b)5/24 ; c)13/24 10º) Una encuesta revela que el 35% de los habitantes de Madrid oye la cadena SER, el 28% la cadena COPE y el 10% ambas emisoras. Se elige al azar uno de estos ciudadanos, halla la probabilidad de : a) que escuche una de estas emisoras de radio b) que no escuche ninguna de estas emisoras c) que escuche sólo una de las dos . Soluc. : a)0,53 ; b)0,47 ; c)0,43 11º) Sean dos sucesos A y B con probabilidades p(A)=0,7; p(B)=0,6; p(Ac∪ Bc)=0,58. ¿Son A y B independientes? Soluc.: Sí 12º) Una urna A tiene 6 bolas blancas y 4 negras; una segunda urna B tiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se selecciona una urna al azar y de ella se extraen 2 bolas sin reemplazamiento. Halla la probabilidad de : a) las dos bolas sean blancas b) las dos bolas sean del mismo color c) las do bolas sean de distinto color . Soluc. : a)0,4 ; b)0,49 ; c)0,51 13º) De una baraja española de 40 cartas se eligen al azar simultáneamente 4 cartas. Halla la probabilidad de : a) que al menos salgan dos reyes b) tres de las cuatro cartas sean del mismo palo Soluc. : a)0,042 ; b)0,16 14º) La probabilidad del suceso A es 2/3 ,la del suceso B es 3/4 y la de la intersección es 5/8 . Halla la probabilidad de : a) que se verifiquen alguno de los dos b) que no ocurra B c) que no se verifique ni A ni B d) que ocurra A si se ha verificado B Soluc. : a)0,79 ; b)0,25 ; c)0,21 ; d) 0,83 15º) En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: P(rey)=0,15 , P(bastos)=0,3 , P( no sea ni rey ni bastos)=0,6. ¿Está entre ellas el rey de bastos?. En caso afirmativo, ¿cuál es su probabilidad? Soluc. : Si; P(rey∩ bastos)=0,05 16º) El despertador de Javier no funciona muy bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0,2 , pero si no suena la probabilidad de que llegue tarde a clase es 0,9. Halla la probabilidad de : a) que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador b) que llegue temprano a clase. (Probabilidad total) c) Si sabes que Javier ha llegado tarde a clase ¿ cuál es la probabilidad de que haya sonado su despertador ? . Soluc. : a)0,16; b)0,66 ; c) 0,47 17º) La probabilidad de que un globo sonda sea recuperado es 1/9. Si se lanzan 3 globos halla la probabilidad de recuperar : a) sólo un globo . b) los tres globos. c) al menos uno . Soluc. : a)0,26 ; b)0,00137 ; c)0,298 18º) En una ciudad en la que hay el doble número de hombres que de mujeres, hay una epidemia .El 6%

delos hombres y el 11% de las mujeres están enfermos . Se elige al azar una persona .Halla la probabilidad de : a) Sea hombre b) Esté enfermo c) Sea hombre ,sabiendo que está enfermo Soluc. : a)0,667 ; b)0,0767 ; c)0,52 19º) a) Un ratón huye de un gato .Pueden entrar por uno de tres callejones A, B ó C .En cada uno de ellos el gato puede alcanzarlo o no .Se conocen las siguientes probabilidades : P(entren por A)=P(A)=0,3 ; P(B)=0,5 ; P(C)=0,2 ; P(lo cace habiendo entrado en A) = P(D/A)=0,4 ; P(D/B)O,6 ; P(D/C)=0,1 ,donde D={ el gato caza al ratón} .Halla la probabilidad de que el gato cace al ratón . (Probabilidad total) b) Si al poco rato vemos al gato con el ratón en las fauces ,halla la probabilidad de que lo haya cazado en cada uno de los callejones (A, B, C) . (Bayes) Soluc. : a)0,44 ; b)P(A/D)=0,2727 ; P(B/D)=0,6818 ; P(C/D)=0,0455 20º) La probabilidad de que al llamar a la centralita del instituto, el teléfono comunique es 0,3; la probabilidad de que el telefonista nos diga que la extensión a la que llamamos está comunicando es 0,2. Halla la probabilidad de que comuniquemos con la extensión deseada. Soluc. : 0,56 21º) Un tirador tiene una probabilidad de hacer blanco igual a 2/3. ¿ Cuál será la probabilidad de acertar al blanco en tres tiros ? Soluc. : 26/27 22º)Una urna contiene 6 bolas blancas y 8 negras. Se extraen 7 bolas. ¿ Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 sean blancas si : a) se devuelven a la urna b) sin reemplazamiento Soluc. : a)

7 !.8 3 .6 4 4 !. 3!.14 7

b) 35/143

23)De un grupo de 12 estudiantes 8 son sobresalientes. Se eligen 9 estudiantes al azar . Halla la probabilidad de que haya 5 sobresalientes . Soluc. : 14/55 24) En un sanatorio se atienden 4 tipos de enfermedades ; las probabilidades de que un enfermo ingrese con cada una de las enfermedades son p(E1)= 0,2 , p(E2) = 0,05, p(E3)= 0,6 y p(E4)= 0,15 . Las probabilidades de curación para cada enfermedad son, respectivamente, 0,8 ; 0,75 ; 0,2 y 0,3 . Halla la probabilidad de curación de un enfermo que ingresa en el sanatorio sin saber su enfermedad . Soluc. : 0,3625 25º) Tenemos 3 urnas con la composición U1={ 1B, 2N, 3R} , U2={2B, 3N, 4R} y U3={4B, 7N, 5R }. Se elige una urna al azar y se saca una bola . Halla la probabilidad de que : a) sea roja . Soluc.: 0,419 ; b) si ha salido bola B, proceda de U3 . Soluc.: 0,3913 26º) Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna B, 6 blancas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser negras. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la B. Soluc.: 56/101 27º) De los sucesos A y B se sabe que p(A)=0,4; p(B)=0,5 y p(A’∩ B’ )=0,3. Halla: a) p(A∪ B) ; b) p(A∩ B). Soluc.: a) 0,7; b) 0,2 *28º) En una urna hay 2 bolas blancas y 3 negras. Dos personas sacan, alternativamente, una bola de cada una sin reemplazamiento. Gana la primera que saque una bola blanca. Halla la probabilidad de que gane la persona que empieza el juego. Soluc.: 3/5 *29º) Un hombre tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces a lo sum. Cada apuesta es de 1000 ptas. Empieza a jugar con 1000 ptas. y dejará de jugar cuando pierda las 1000 ptas. o tenga 3000 ptas. a) Halla el espacio muestral de los resultados posibles. b) Probabilidad de que gane las 3000 ptas. c) Probabilidad de que pierda las 1000 ptas que tiene.

Soluc.: a) …. ; b) 5/16; c) 21/32 30º) Dos personas juegan a obtener la puntuación más alta lanzando sus dados A y B. El dado A tiene cuatro caras con la puntuación 6 y las otras dos caras con la puntuación 10. El dado B tiene una cara con la puntuación 3, cuatro caras con puntuación 6 y la otra con puntuación 12. ¿ Qué jugador tiene más probabilidad de ganar? Soluc.: p(A)=7/18 y p(B)=1/6 luego A tiene más probabilidad de ganar