Principe D'algebre.pdf

U'At.GKMtK.

X47

nm r~ l'on hnettct.st pose ~"a;==o,.f==– t, ~==–a, ~===–3. ?==:–M, 2'C==0,J'==t, .f==M, .='j.<-==«?, dansl'équation=a*, on trouve!M) 1 1 r 1 ° <~==,~==~y==~,y==~==~, 2''y=='t,~==a, y-~o', ~==a'=s*==o, d'oùl'ondéduit,par la définitiondeslogarithmes,

<'

t ==o, 0-=:–t,

-?==–a, /oy&–=–3, ~w!== -te, M 2"/o~t'==o,~a==t, ~a'=='a, /oya't=~o==w; de là il suit < que les nombrescomprisentreles expressions croissantest et et et ont leurs logaa –, a a a a -L rithmescomprisentreo et– !,– t et –a, –a et–3, 2° queles fractionscomprisesentreles expressions décroissantes t et a, a et a' ou8 de 11 est égala 3 et que n est < a~ou t6 ainsi,le logarithme de'ce logarithme estdonc3. plusunefraction la caractéristique

248

ftUXCtPES Il. /'ro~'<'<~ des ~
337.~e ~artf/oMe d'MM est égal f! la sommedes pro<<«t< ~
u'AmiiMM.

249

/<~ ==/0. y', /o~ est aussi >

et parsuitelog~7 est positif;

si
J

539.Le
~SO PMtSCtPEB est <~a
m

h~~

~=~f==M-T,r~

rel="nofollow">

d'où résultent

~et~ r ? m M S42.Voicideux exemptespropres n faire concevoirle parti que l'onpeuttirer desrégiesprécédentes 9 ~5~T~

Ciclt log log

d

9 C~di 5 o-i-? &'–~c'–/og 5 b-3 /(~ e–~ o-t-a

ft

ù

f

7 log «+4 ==

==
A<

~C'=.

t~c' 543.Leslogarithmesde quatre ~<MM<~en pfopof~oMpar <'oK~<«Men( une quotient e'
l

U'At.diiMK. on aura

A==
~2

t'tttxcffEs

t'unitudu M" ordredécimai==-'== ,ot0 et l'on tirede là, à causede la définitiondes décitogarithme:! maux, <(tsuivideMxcros)==H, ~(i'unitëdun'~ordred6citnai)==–M. Si l'onfait dansces résultatsM==o,K=t, ?==9,M===-3, il vient I===0,t()==-=t, to0=a, t000==3, i==o, o, t==–i, /o,ot==–a, ~o,oot==-'–3. 8i.9.La f-aroc~'fM<~Me dM~ctrt'~Me décimald'MM tiom&fe plus ~<:M~que ~'«K<~se compose~'to'p<: fo", puis,en prenantles logarithmes(548), .?– ~p<M; ainsi, l p, étantcomprisentreM–t et tt, est éga) a ?– plus une fraction;doncla caractéristique de ce logarithmeest M– c'estprëc.sëmcnt ce qu'il fallaitdémontrer. On voit, d'aprèscette proposition,que la caractéristique do est 3 et que cellede /.ay,a6t est t. ~.35.~ S80.La ca)'<:c<<)'<~<~)M << /o~a!'t
O'At.GKBM!. 263 1 1à 1 <~+,==~up==-(~; or, r étantpositifet pluspetitque seraaussi l'expression i et positive plus petiteque l'unité doncta de caractéristique eSt--fa. la caractéristique Ainsi, de
~==-~+')+/

ce qui donnenaissanceil un nouveau genrede logarithmes,car on peut .-egardc.. -(“-]-,) coanne!a caractéristique du logarithmede la fraction, et r comme sa partiedécimale,et alorsla seulese trouvenégative;pour ne caractéristique point-confondre cesnouveauxlogarithmes avecceuxqui sontentièrement on est convenude placerle signe au-dessusde la négatifs, ca.-aet6risti~ que supposons,pour fixerles idées,que ta soit caractéristique -3 et la partiedécimale 0,4567865,on écrira3'456';865 et cetteexpression équivaudra a–3+o,~865. 582. Si FoKmultiplieOM l'on divise une quantité par <Mw<e ~M de n zéros,le ~
284

PRINCIPES

tes membresde choqueéquation, et, en transposant t«"), ~-K==~X ~=~JL ~53. De)u résulteque let /o~(tW~<mM~<Mlest
CHAPITRE VI. CONSTRUCTIONET USAGE DES TABLES DE LOQARtTHMES.

L

nombref
55t. <" PaoBLÈMË. ?'ro!t)'e~' le /o~an t et b> ou a < t et &< auxquelscas,ainsiqu'onFa vudanslest)°*833et 634,lu valeur dez est positive. Onfera;<'==o,.c'==t,a;n=:a,==3, jusqu'à ce que l'onparvienneà deux puissancesconsécutives MetM-}-t 1 de a, qui comprennent le nombreb. Si a est > t, on aurales inégalitésb> a"et < a' ou,en remplaçantb par a*. <~> a"et o~«[°+' de là récitent cellesci ;c:>Metza"+', ou, a* a°+' de ta résultentencore(90,j;j>tt et .
o'Af.&Èexf!.

2SS

est essentielde remarquerquefa vaicurinconnuede .f doit être ptusgrandequet'unite,car, si )'onavaita-'<(<, il s'ensuivrait et >' .?-)-), ce qui est impossibie;substituantdans l'équation(a),it vientsuccessivement

<;?=,JL.;

désignons,poursimptitier,~-par a'; puis, éievonsles deux membresn lapuissance .f' et transposons; noustrouverons «'== o, (b\) équationdemêmen~turoquecelledontnous sommespartis; en y faisant,commeci-dessus,;ï'=t, <(-'==:<,<==3. ou dcterminerales puissances consécutives M'et }t'1 de a' entre lesquellestesecondmembrea est compris;onaura en conséquence, a uneunitcprès,.f'=M', et par suiteunedeuxièmevaleurde t, sera a ttendu qui tropforte, quecellede est troppetite. Pourapprocher davantage,posons;t'==)~- -~ct substituons dans (b);t'ëquation résuttantepourraêtredéduitede (li)contme cettedernièrel'a ëtede (a);ainsi,en représentant -~7-par a", it vient t r ~=. (c. équationexponentietto que l'on peut traiter commeles prccédentes;soitM"lavaleurentièrede -r" onaura ~"==M", ~'==M'~–– j.==~+J-~a* 'c et, par deuxsubstitutions, une troisièmevaleurde a-; co))e-ci seratrop faiMe;car,de ce quela valeurde.f" est trop petite,il s'ensuitquecelledaj' est tropgrande,et enfinquecellede x est tropfaib!e. Si l'on posedonouveaudansl'équation(c) met=t ~"+y7.

t

ai"p

PRMCtMS

M6 nn nruav onaura

rr r ar, <=«", et, cHappelantK'" la valeurentièreapprochéede x.==?' =n

161 -n ~'==M'+ -7, T=le+ .C p x a;=M"+-4i7. .<* a-==M~T; t

d'en t'ot) conclura,au moyendetroissubstitutionssuccessives, une quatrietnevaleurde x; maiscette valeursera trop forte, commeil estfaciledes'enassureren remontantde la valeur de j- qui est trop faible,à cellede x. Si, en continuantdela sorte, on trouvepour l'une desquanunevaleurentièreexacte,il est visibleque titésx, T', .c" s'il en est autrement, le logarithmede b sera commensomNe; ce toganthnx)sera incommensurabte. Ausurplus,il seratoujourspossibled'estimerle degré d'approximation,car, de ce que les valeursapprochéessuccessives desont alternativement plus petiteset plusgrandesque sa veritablovaleur il suit que l'erreurcommise,en prenant l'une d'ellespourx, est moindreque sa diuercneeia la valeurapprochée précédente. Présentement.,si l'on avait a > t et b < t, ou a < i, et & > t, suppositionsen vertudesquellesla valeurde x est négative(voyezlesn"' 533et S~ onferait.c=–y, ce qui changeraitl'équatione" <=b en b et au= eta''==–; a""==&, d'où -==& aw.b, 7i; au ëtunten tnemeteuipsplus grands ou plus – petitsque t'unitë, cette étjuationexponentiellepourra être résolue par la méthodequel'on vientd'exposer. Soit, pour exemple,il calculerle logarithmede ta, à 0,01 près,dans le systèmedontla baseest 6; si l'on poselog ta==. onauraa résoudrel'équation 6~= ta; on voitsur-te-champque6 est < t a et 6' .> t a doncx= f, a une unité près. les nombresa et

C'ALGÈXM. Faisonsdanscetteéquation.).==.,

-L. ta loi de déductionmentionnée plus haut,

2Sr i1vient,en empluyunt

ou a*'===6;

[!i<:f;)'==(j

or, a' est <: 0 et a' >6; de là résulte, en nous bornantaux 1 1 unités,11:=11; UOI6&, z'= a; cconséquemment 11:=1 ons.quemment 1 ou-1 z~t-4-i, a a ,-L-– 'a 9x près. Posonsencorez'= a-}-n et substituons;noustrouverons < OU a'/ ==9

(6

a

t==a

puis, en observantque est 9, ?"=== t d'ou z't=a- -<==3eti<;c=t-}- L'erreurcommise est moindreque t -{–

t

où-

–

En posantie"=== t-}- y; dans l'équationprécédente,on trouve 3\ 3 t==-3 ou /4\ a:a~ ax \3/ ~) ==-;a' ici, ~est <

et

donc ?'"==i, n une unité près,

~j >

et par suito I .<==,==9, 1 1

1 5 Z'=a4-~==~Ct=!-t-! a a

L'erreurest plus petiteque 14'5 Si l'on fait.== t ~J'4 \9

Il 5

ou -4 i5

–y, on a cette nouvelleéquation ou

3/

–t –

5 ~==! a

3

~=4. ~8~

3'

d'où l'ontire, en négligeantles fractions,;["==!a, attenduque /Q\' /()\' < on a par conséquent que > 18) § J est

288

MHNOfM

t1 3 “, ~'+.+'+'~==T

3

,)

5 S

5

t3

5 ~'+'=-5'=='+735 -jtj ou M

a L'erreurne peut s'élevera t -t- 7 – t &

Soit a;"==a-r- -7 on trouve,en substituantet on remarquant ~(~ /4

8t\~

o

/a56~'

t)

==§' (~64) "8 il est facilede reconnaîtreque le secondmembreest compris entrele carréet lecubede l'expression renfermée dans la parenthèse donc;e'==2, et de )a ~.+~=~==~ ta 3t ta ,3't a;c=!a4-t –== –. 1 -B===t+ :–==!-{ta ta ,;t y L'erreurestalorsmoindreque t + – – -r ou –; ainsi, .)t tj <~o3 en réduisantla fraction en décimales,ona t9==!,38. 8S8.8' PnoBLÈME. <7M e
et dansle second ~B

t

~-==a ==T––. /'aS

D'ALG&BKE. j~Sg w.m .v.· 1S'! sagtt, par exemple,de deterininerle nombre y qui cornu respond (ogarithmet, t~ du systèmedont ta baseest M on obsorveque ifM& <) ),~j=-–– ==
Cetteegatitdne peut avoirHeuà moinsque les exposantsde ne soientégauxdans lesdeuxmembres eneffet,si q, r. les exposantsde p, par exemple,étaientinégaux, on pourrait diviserpar la plus hautepuissancede ce facteur,et l'onobtiendrait une équationdont l'un dos membresseraitentieret dont l'autreseraitfractionnaire, ce qui est absurde.Conséquemment, ona ~"t~p'wt,

<)'"?== ~'
260 ~tt.i'a-outon ure J~L~~

PMXOPE8

M'

~1–~L '"K

"M'

et par suite

Pt y" p f/" ==. (n r -7-=~T.=~–r p' 857. Lorsquela base est le produit de p~Mt'e«M/
1

C'ALUÈMŒ.

g(~

équationau moyende tauuetteon pourracalculerle logarithme de )i;, quandon conntutraceuxde a et de 3. Soitencoreà trouverle logarithmedo3o. on a 5o.x3*X7,

et, en prenantles logarithmes, /oy 5o~ ~x3'Xy,==~ M~hy 3'-t-/oy 7 '==3~!<-t-}i/o~3-oyy. te Ainsi, logarithmede 5o.)peut se déduireimmédiatement des desnombresx, 3 et 7. iogarithfnes 669.les tablesdontnousferonsconstamment usage,contiennentles logarithmesdécimauxdes nombresentiersdepuis jusces o nt qu'àtoooo; logarithmes septdécimâtes;chaquepagede ces tablesest diviséeen troiscasesséparées, deux a deux, par un doubletrait; chaquecaseest sous-divisee entroiscolonnes la renfermeles nombres;la deuxièmerenferme premièrecolOnne leurslogarithmes;enfin,la troisièmefait connaître lesdifférences entreles logarithmesconsécutifs;cesdifférences exprimentdes dix-mittioniemes et ne sont indiquéesqu'a partirde la case où se trouvele nombre1000,parceque lesprécédentes, commeon le verrabientôt,ne pourraientêtre d'aucuneutilité. S60.PnooLhtR. Connaissantle logarithmed'unnombredans un certain ~~we, ~oMoefle /og<:n
2M!

ftttSCtfM

~
Si

l'onconsidèreen particulierte nombreta, onauradonc, .== =1, 3868" l~~ <.b = o,~8t5ta. cettevaleurdeL,ta s'accorde,à un centièmeprès, aveccelle trouvéea la page258. IH. MK'i~M relatifs à /'MM~<' destables. 661.La différenceentre les logarithmesffe <~eM.c MOM&rM est d'autant plus petite ~)(ecesnombressont jf~M~f«M~et qu'ils diffèrentmoins.En effet,si l'onconsidèrelesdouxnom-' bres~+Det .y, on aura (838) log ~D)-=~( t+-P.), ce qui fait voirque !a différence entreles logarithmesde~+oD et de tendrad'autantplusvers log ou zéroque la fraction – seraplus faible, c'est-à-dire que sera plus grandet quoo seraplus petit. 1. 863.De là résulte,en supposantD= t, quo les
U'ALG~Mt!. g63 entre <~Mtermesde m~mcys?~ <
,==<Xi; w y en et, substituantdanslesdeuxsuites, ~y+", y+an. ~-t-ma ou Y, (g) ~y, y)y)." ou Y, (h) on obtiendrales valeursdes termesdontellessont composées. Celaposé,observons quela sommedesm différences, ~–y.y'–yf, y~–~f' yr"–)" entre les m + termes de la deuxièmeprogression,considères deuxà deux,estégaleà yf–i/ ouY–y, et que par conséquent la moyennearithmétique entretoutescesdifïereDces est ~H~m .ou a. Or, en les mettantsousla forme ~–'),~–')~-(''–t)t'(r-))'°' on voit immédiatement qu'ellesconstituentune progressionpar quotientdont !a raisonest encorer de là il suit que leur moyenneRest compriseentrela plusgrandeet la plus petite, et que l'ona (f–!) R, j'(f–t)f*>R, attenduque Yest >y)'°" si l'on imaginedeuxprogressions Actuellement, par différence ayantpourpremiertermer et pourraisonsY(f – t ) et~-(f– t il est visiblequedeuxtermescorrespondants danscesdeuxsuites les termesdu mêmerangdans(g)et ~h) donc,en comprendront entre les termesdu rangM-1 dans les appelantjr la différence dernières,on aura ~<[~+MY()'–!)]-[~+~ {)-–!)],

M~ l_! ou bien, en réduisant

PMMtPM

~<M(v–~)~–t' (j) Déposonstestermesde (g)et de (h)dansun ordreinverse,de manièreque les termes précédemment du rang ? + <soientdu rangm–tt-t-t puis, imaginonsdeuxnouvelles progressions par ditïérence,ayantpourpremiertermey et pourraisons–y(f–t) et –Y.–'); deuxtermescorrespondants danscottes-ci comprendront encoreteb termesdu mêmerang dans cettes-tà, et par conséquent,il viendra < [ï--(Mt–(f–.)]-[Y-(M~Y~,) 1 les catcuts, ou, en effectuant ~<(~-K)(Y-~)(r-.). (k) Ajoutantles inëgaHtés(j)et (k) membrea membre,on a 3~<:m(Y–)(r–t); or, de l'inégalité(ij on déduit, en remplaçantn par y–.y puis,en substituantdansla précédente et divisantpar a, ~JYcest prëcisément co qu'il s'agissaitdodémontrer. 864. Les(f~'eKCMeK
<=(!

~–

(t) ~==– désignentévidemmentdes nombres plus petits que

et l'unité; il est visibleque la proportion n:

d

(~

t)'ALOÈBM.

265

t.l_JL'

équivautà t'ëquation –))
et, en représentant

par a,

~=. a 9 d, y ou bien encore,si l'onchasselesdénominateurs, <
~=V"~ (<).

j-'==yo')''==j-

dtp i

( <)

ce qui nousapprendque est le ;t-~ termed'uneprogression par quotient,dont le premiertermeest et dont le ?- t* termeest y". Or, si l'on conçoitune progressionpar différencecomposée de y-1 termes, et ayantpour termesextrêmesr et sa raison sera expriméepar -*––– et son p +1" terme par +

(~"–);

donc,a causedu iemmeprécèdent,il viendra

~(/< et, en remplaçante-"– et~'–

par o et "~c, Ht t) !)* Mt C t) .–D–c<–, ou, -–.–<:–, (n) ? M de aprèsavoirdivisépar o; ce qui prouvebien que la différence a

estd'autantmoindreque est plus grandet que o est

q pluspetit.

SC6 MUNCX'ES Mu. PROBLÈME. Déterminerles limitesdes erreurs qua foM peut comMe~'een /f<M
M

c et

e

soient

connues,et qu'ils'agissede calculer-S- d; la proportion(m)fournira-d

d au lieu de-S.

par conséquent,l'erreurcommise,

abstractionfaitedes signes,sera (-~

<

expressionqui,

a causede t'inëgatité(n),est moindre que Dans!e casde o~ x, d estta différence des logarithmesdes nombres~'+ti et y, et tatimitede rerraurestsi l'on fait

rm

~==tuo, on aff=/.tot–too==o,oo~!3y.etparsuito oB –==: o,oo/{3at3?. –––––<– ==o,oooo:u6. a.too ee; L'erreurpeutdoncMuer sur lescent miiiièmes;voitapourquoi l'ona pu se dispenserd'indiquerdans les tables!es différences des logarithmes consécutifs de )oo &tooo,et, a plusforteraison, cellesde t a toc.. il Si l'on posej'=tooo, auquel cas <~==
d soient '< o

D'ALGÈMM.

267

données,etqu'it s'agissede déterminer- n. La proportion(m) fournit

o uu lieu de p; t'erreur commise u M f~- ?/ \M sera donc,a causede (n., moindreque dans l'hypothèse -~– de D==!, cettelimitedevient V Dansto cas de '=" ooo, on a t –– :=s = ––––– = 0 a.tooo O.OOOU on pourraitdonccomptersur les trois premièresdécimâtessi la 7

fraction-S-était entièrement connue;maiscommeellese déduit de l'équation ~=~:< q ?q et que la tablene donneque le premierou les deux premiers chiffressignificatifs de la différence d, il s'ensuitqu'engénéral on ne sera certainquede l'exactitude de la premièredécimale. IV. Usagedes tables. 566.
M8 nuKcn'tM ? pour MMMMt~' de dilférenceC~e /Mdeuxnombre' Ct!tiers t'MM'<'Mt!<
o,oooto6g

o,~

.< 7

t Il

f,

d'où l'ontire ;=='o,ooooy483,ou bien,en supprimantla huitièmedecima)e,.c==o,ooooy48; conséquemment

`

/.4o6t,y==/.4o6t-t-.r==3,6u8633o-{-o,oooo~8=3,6o8yoy8; sij'ometsmaintenantla virguledans le premiermembre,ce qui revienta augmenterlesecondmembred'unounité, il vient /.4o6t7== 4,60870~8. S68.8' CAS.?'<'OMee~ le ~ayt
e t)

b

e

O'At.CÈBM.

2C9

W.a3 ~<==~'65–y==it,f~83~–o,8.;5oQ8u4 ==t,3y:!385go. 2°<. ~=/.45t–~tCit3~!<,65~y6u–3,Bto3t85 ==–o,55(n<{ao.

Si la caracléristique de ce dernierlogarithme devaitêtreseule négative,onferaitusagede la règlesuivante,dans laquelleon désignesousle nomdu eom~'me~ d'unnombrele restequel'on obtienten le retranchantdo to le logarithmed'une /fat~oK e~tégalCMlogarithme<<M ttW)M~a<exr, augmentédu complém
370 pMxctpEs q; élattb. rld"I.t1Iu. J"u,1. Si la 1~*ir.,oâ».. f/M-e/o~afK/tmM pour 1. différencede co?MM!«< a MH< «tt;~ de
C'AM~BBK.

g7)

t de rangsversla gauche Kaucheque nuet'ena aioutéd'unités virguled'autant ajouted'unités au logarithmedonne. Soit, pour exemple,le logarithmenégatif–a~MMot~;j'y ajoutea-}-~ ou 6 unités,ce qui donne3,5~3tg86;or, celogarithmecorrespondau nombre3~3, à une unitéprès; doncle nombrecherchéest o.oo~ à un tnittioniefnc prés. 573. 3' CAS.Trouverle Mom&re à un loga.~M< co~e~oH<< f«/tM<dont~tcarac~W.~MeestK~a~eeetla partie <
272

pMuctPEs correspond,<"au logatithmedécimal4.s6y9Ha3; 2' a – a,5y83138 3° a 3,4670899. Rép.4. <8539;2° o,ooa6.;o5;3'0,00x93~. CHAPITRE VII. APPLICATIONS DE LA THÈOKtË CES LOCAMTUMM.

I. Usagedes ~o~oft~~Men arithmétique, 879.MULTIPLICATION. Onprend la sommedes logarithmes des nombresque l'on veut multiplierpour avoir le logarithme(te leurproduit(331);on cherchele nombrequi lui correspondc'est le produitdemandé. Soità effectuerle produit3~x46ayX5/{M); ona

<(~aX46ayX54!t9)~ ~9-)-~697+~.5439 ==a,534o96t+3,6659995+3,98 ==9,9340454; en suivantla règledu n" 6~0, on trouveque 9,9340454estle logarithmede 8S9to3oooo;tel est doncle produit cherchéà tooooprès. Lorsqueles facteurssont plus petits que l'unité, il est plus simpled'opérerparcomplémentvoiciun exemple ~iZL)=,~i~/2ZL a3 d t t5a a3 467à 46y3;S~d t5a' 4673 46~3 ==<.a3+comp.<. )5a–to+/. tyt+co~46y3–to ==f,36t~84+7,8t8t564t+a,939996tt+6,33o4o4ao–ao ==3,~43x8456ou 3,y43a846 cedernierlogarithmecorrespond au nombreo,oo553ya. ona doncle produitdemandéa o.ouooootprès. On retranchele logarithmedu diviseurde celui 580.Dn'tSMff. du dividendepour avoirle logarithmedu quotient(838) on trouvele nombrequi répondce dernier,et on a le quotient cherché;si le dividendeest moindrequele diviseur,il est plus expéditifde faireusagedescompléments. ~J(35a 45)==~.35~–<.45=3,54654s66–t,6533ta:t.· '==o,89333ot5=~.y,8aM. ==' de là 35a et 45 y,8aaa.

M'ALd~HE. y~ ~O~t )~~ t~~t 2' ~em~. <(45{)SC~K) =a/{59-~ comp. 86~– t o ==a,6Gt8tay-}-(),o6338~–toc=.n,~5f98.~==~.o,o53na. et par suite 86~9==o,u53na. Mt. FoMMATtot OESpNssANCEx. Onmu)tip)ic)e togarithnte du nombredonnépar l'exposantde ta puissanceque l'onveutcalculer,afin d'obtenirle iogarithftx;de cettepuissance(MO);on chercheensuite&que!nombrece togarithtneappartient. 'f~. /.3'~== ~.3==tyX o,~y)ata5==8,n fo6ta ==/.tagt~oooo; consequemment3"==ta9~oooo. r

q

r

2'

/(~-)'==y(/.35+cc~J.6a-to) ==y (: ,5/}4o68o/{-(8,aoy6o83! – to; = y(–j-o,y5 t6y635) ¡ '=="y+5,a6ty344 ==~t73~==<.o,ot8}!y. 35 d'où resutto(–)

==o,ot8ay.

682.ExTUACTio~t CESHAONEs. Ondivisele logarithme du nombre donnepar Findicede la racineque t'en veutextraire,pour déterminerle logarithmede cetteracine(S4<);on chercheaprès celale nombrequi lui correspond. iM < t*7– ~.36a? 3,55o5~76 ~'Ar. /36ay==

–~–~==

-i–L-.i<-=-(,()'; :J

e=~.5,t5ta.

donc 36ay=s5,t5ta. t

~.a-r-co~3-.o 3 y y = o,3o t o3ooo-}-<),5aa8y8y5– t o <),8:;3t)o8y5–(o

QdJ:'X..l. ~~i/ Y3

t3,8a3go8?5–t~ == ==–––z––L t.~844.-at

.,9~844.

~o,g43ya.

par conséquent)~' n '=='0,~7! 48

2*~

PRMOPRS

Kot 683.

e*t~t~)-t«t-j~t Soit a déterminer

en prenant

te 4* terme

35():!y::aMï: on aura logarithmes,

les

de

ta proportion

(M3)

t'equi-diftërenee

~56Jty:<sMt. d'où d'on

l'on

tire

~=<.t7+~.a56t–<.356~t,a3o4<;89+3,4o84o96 –a,55t/{5oo==a,o8y.{o83 et par

suite

684.

=='~

taa.a~

.<'=='!aa,ag.

Soit

les nombres

~nHa

à

9,

et

8y

trouver

une

moyenne auM (845)

on

53a;

entre

proportionncHe

~9X8~+~d~a o,Q54a4a5

d'où

l'on

t+t,9395t9a5+a,y:5gn

=t,8y3aa44=.683. !a moyenne que

conclut

II..R~oM<w

585.

cherchée

~Ma~ott~ des

Soit

d'abord

63

est

~,683.

e~oneM~MM


~er

~ym'<
résoudre

~M
du

M~e~<e~

ordre

premier

a'=A, dans

laquelle

prend

les

a et

& désignent des

logarithmes log

des

deux

quantités

d'où

a=~

it

membres,

si

données

t'on

vient

.r==
Ainsi,

de

l'équation

/.a3

886.

Soit,

on

y'==a3,

'T7'°o~45o<)8. en second

<
(ht

tire

et de

.f~.y==~K3,

la

t,36tya~8

à tirer

lieu, second

!a

valeur

do x dans

~~«0-

ordre
e!)e devient, l'exposant

en de

prenant

les logarithmes

et en

regardant

a, &
e

ou

c & M~O

&'comme

U'ALCÈMOB. t.. < ~t

~,),)Si l'on prend de nouveaules logarithmes,on trouve, après avoirdivisépar a x ~og'<'–o~ log G N87.En traitant~xe~'oM e~oKeK«e//e<<M ~o<~Me o?'~

a~=d commeles précédentes, on ondéduit A
log (~

688.Fil s'agissaitde résoudrauneéquationde la forme a'"+"e=~ on prendraitencorejes logarithmesdesdeux membreset l'on aurait (?.?-(-?)
2m et en divisantpar log a, puis,en prenantles logarithmes, x~–

(~i~4")'–

~FM–~ a ~0<jf
s

270

PMSCtfM

UI. jK~M
des ~Ma~e

(/<-)'tt<eM ~'o~MM

~eM
par

M/«
~«0
590. PaoBLÈME YII. D~ermtH~ les deux formules

Reprenons

<=o~ nous tirerons d'abord

a e< n, coMttawetX du ne 8100

), r e< s.

(a) ~)==h--
(b)

a=/)~–t(f–t); les logarithmes de !a première

ensuite prenant nous aurons

aux

<<~ o-(K-.t)

et transposant,

fi=~

d'ou Il log

<–~

«'


(/)--M')
59<. PMBLÈME VH!. De'<
et n~
1=

'1

f

892. PMBLÈME IX. D~e~Mer On déduit

~==

< r

n e< r, <'omM<M
de (b) et

par

)'=/o~

suite

de place les membres

changeant il vient,

a

~(~–<+a]–/o.
/o~ a-{-(t!–t)

i

($-.0)–

de (a) et prenant log )'=/oy

les logarithmes,

1,

d'oit n =

~o~ 1+ ~f

693. tMM.&Mt!

s r

“

~~(.!–s,–
X. D~efouMef

On tire imtnédiatement

log

n

de l'équation ~–o 1'-1 i

s, eotH)OMMM< a, (b)

e<

r.

877 D'ALO~BM. desdeuxmembresde (a), on si ensuiteon prendles logarithmes obtient d'oll ?==) r4- + logl"loya ~==:~s-H
278 t'tuscu'Eit s'éièvoà A joo, en sortequet'escompte on dohorsd'unesomme do Soufrancsest tropfortd'unfranc. Si l'intérêt,au lieud'être relatifù un an, t'était&un nombre de jours m, on observerait que Hntéretjournalierd'un francest r M5, et par conséquent, il summitde retnptacer dansles résuttutsprécédents r parnr 365. M&.PMBLÈMË. D~efmwerla relation qui existeentre~m<e'r~OMttMe~ d'MKfranc, une somme~«e~coK~ea, nombre n des années~eKd
1

~A==~0+M~(t-}-r). (c) Onpeutdoncdéterminer l'unequelconque desquatrequantités A,a, n, r quandlestroisautressontdonnées.Delà résuttontles solutionsdesquatrequestionssuivantes <° De(ermtnpfla MmmeApro~M)<e par une ~<M)ttKt a.~ac~e ) en intérêt composé,à raison r pour un franc,pendant n r années. L'inconnueAest donnéepar ta formule(c).Supposons
O'AMÈMRË.

279

~t't. ~t ~'<M~ ~~<~t~~< t'AOCettequestionconstituela règle d'escomptecomposé;l'escompte,commepourl'intérêtsimple,est exprimépar A–a. 3" Déterminerle nombredes années n pendantlesquelles une sommea doit ~?'e placéeen M~ composéet a MMOM de r pour un franc, a/ÎMdeproduire une sommeA.Ondéduit de i'ëquation(c) ~A–/0?0 a ~(' Si l'on demandait!e nombred'annéesessentielpour que la sommea devintp fois plus grande,c'est-à-direpourque Fonait log A==~ ~-}-/o~a; il suffiraitde substituercette A'==)MtOU valeurde log Adanscelle de M,ce qui donnerait log p ~(.+n Si l'on supposep=2 etf=:o,o5, il vient«'=' 14 ans '"°~' Si l'on supposeencorep=~toooooo et fc=o,o5, on trouve n-a83 ans z mois. 4" Déterminerle
à calculerla valeurde i-~ queje désignepar et cetie-ci~en'ira K; on auraalors t~-f==t{, d'oùf==K–t et joof=~too(K–i). UnM~OMtK,qui doit A/f., veutse KMfef 896.PROBLÈME. enn paiementségauxeffectués
380

PtUKCH'tM o~t-t.

a't-f-f;–a

"T~ et de là

=-~+'

ou

a

[[. ,t]~ r)

]

Il,

n.

u,<=~ rel="nofollow"> .'+'')'– ou, en prenantles logarithmes,
U'ALGÈBM. S!8< cerner de c/
» a log 604. PnoBLÈME. Un po!'
log b

FIN DU TROISIÈME ET DEHMER UVRË.

TABLE DESMATiËRES. LIVRE1" CHAPITRE 1~. A'O~OM
Butdet'Atgebre. De quelques autres notttiom de t'ttgtbre. B"difMrentetetp
t 8 0 9

CHAPITRE H. ~
el ~OM~~e~oM a~e&r~MM.

B~ducticndMtefmettemMtbtM. AMit!ono)gAb)-iquc. SouttMOieoat~brique.

«f <S

CHAPITRE 111. ~M/C~OM 1. tt. t!t. IV. V. Yt.

~~n'~MC.

MuhtptieittiondetmonemM. Mu))ipticot)ondMj)t)ynemM. Sur te produit de p)ttticur:pe
10 <8 <8 ~9 S2

CHAPITRE IV. D/~tOH algébrique. f. Il. tV.

DivitiendMtnenomet. Det'expoMnto. Tt)e<)riedetexpeMnt<Mej;
g)! M 97 M

284 V. VI.

TABLEDESMA'ftÈHM. Kemarquci sur la divition des poiynutoe" Sur la difKrcneedes puissancesm de deux quantité*

P<~M. 33 SU

CHAPITRE V. ~rac~OM /<~a/M. 1. tt. H). )V.

Ori~inede
38 39 40
CHAPITRE VI. Formation ~M /)M/M
Ge<)eM))te' Sur les puissancesdes nombre! Toute! les puissances d'une fraetioMirréductible
1. Il. ttt. IV. V. V).

<3 ~4
VII,

de la racine carrée (/es nom&rM.

Principethodamentaax. Extractionde la raeineearrcede<nombres entiers surla regtopreeedente. Remorques Extractiondela racinecarréeparapproximation. Extractiondela racinecarréedesfraction' Extractiondola racinecarréedesnombreseomptexm.

89 SS 97 o7 00 M

CHAPITRE Vin. &<M~OM t. Il. nt. IV. V. VI.

racine CMMyM<~ MOM~M.

Prtneinet fondamentaux. Extractionde la racine eubinnedM nombresenttert. Remarquessur la règle précédente. Extractionde )t racine cubiquepar approximation. Extrteti"n de la racine cubique des fraction< Extractionde la racine cubique des nombrescomplexes

03 M 60 07 08 7)

28B

TABLE MS MAT~BM.

CHAPITRE IX. Extraction

<~ racines
algébriques,

L )i)ftrMtio))de!M<;it)Mdettt)ot)omM. t). Extractiondela racioecarréedet polynomcs. 111. E)ttroet!en<)e)arae)))oeuhiqMedetp<)t)'t)en)M.

paon. pf)~<. 71 7< ?0

CHAPITRE X. ?V~oWe
77 M 80 81 M 88 M 84 8t 8!! 80 88

au Cliapitre ~Y. ~M/tM< DëmoMtretteoélémentaire de h formutedn binômede ~w<eM.

89

UVRE! CHAPITRE r. Notions ;M'<<M«MHrM. t. t!. ttt.

M<e)M)!oudetprobtemM. Notion.glln6rolo. sur lus IIquolions. TraMforntttioMdeseqMtieM.

93 M 97

CHAPITRE MM<MM/Cinconnue. ~M
2M if. )tt. tV. V.

TAM,BPE8MATtÈM9. <*t<M. M<etu(ie«dMtqMttontdttpfemierd~r~nne toute inconnue lui K~~otutiendo ptmieur) probtemMdeuttet()ot)t)
7~'Ma~o~ et~o&~MM t. tt. Ut. !V. V.

~M~cM~

f/
inconnues.

ÉquMi~MdupMmietdey
~7 121 <2t <S8 M3

CHAPITRE IV. Discussion des problèmes. t. Il. Mt. IV. V.

i~ )M <S9

CM'id~ratiM~g&n~rtttM. Sur)<motHtioMn~atiMt. PMbtëmedotceurfieM. AutMprobttme. Pfob)AtaeM)')e
~0

CHAPITRE V. Discussion ~~ra~

n. t!t. IV.

des ~M~M<

du premier <

Discussiondos ~quotiont&une seule Inconnue D!teMMiendes
t<9

CHAPITRE V!. JS~M
problèmes du MCOH~<~f~

d une soute Inconnue.

Mietotton ot discussiondet équationstocamptAta~ Résolutiondei Aqattiem centpMtetdu seconddegr< Relationsentre les McinMet les MeOteieat!).

<09 <7t <70

TABLEPE8MATtÈBM. IV. V.

287 p. <~M

KeM)utio(tdeque)quetprob)~Met. )!MMtt«.

<77 <M

CHAPITRE VII. Discussion dell <~M~/OM et des ~'O~MM du second degré. 1. Autre tnan~fe de présenter la théoriedet équations du second i88 deaX. Il. DiteuMiondMretine! <M t)t. DittMtioKdes problèmesdu Meonddegft. i96 CHAPITRE VU!. 7!~oA«
LIVREIII. CHAPITRE I". Rapports ~;M'0/K)~t'<MM/!W
RepporttpafdttKrettce. Proportion*pe)'<)!
S06 307 210

CHAPITRE H. /<M'~ t. n. tH. !V. V. Yt.

et proportions par ?MO~M<.

Rapportspar quotient. Propo)'tieneptr<juot!<)nt. Sytt~medepfopetlioM. Changementsqu'on pem foiredans une propeftiox. St)ttedtrappo)'b<'gtt)x. EïereieM.

9Ht M5 8)? 8i9 2M 2M

CHAPITRE t!I. P<'O~~M«!K<par <&~WMC. t. Il.

D
29)t S20

TABLE DES MATIÈRES.

t)t. IV.

j P''e'e
SS OM

CHAPITRE CHAPI'fRE IV. 1V.

1. ¡

PrO~CMtO/M par ~MO~~ Il. t!). IV.

Miaitien et notation. ~tMf
gg~ gg)} 858 2~ n~g

i

CHAPITRE V. TA~oWedes /o~afM<MM. Il. ttt.

~P~Nit)ti<'M. ~<'t'<et)«j;)trithmM. Du systèmede logarithmesdont la base est <0

n~/ 2m

CHAPITRE VI. 1.

Ht. !V. V.

H ï }

Co~/WCf
{

il;

CHAPITRE V!I. ~~C
la ~o~

des /OyOf~~MM.

Usagedei tego-ithmMen orithmdt~ue. · Résolutiondes équationsMponemiettei. M
373 374 270 m ~u

1.

I. ¡

ftN DE LA TABLE. Il 3i