Primitives Tes
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- Words: 4,296
- Pages: 27
Primitives d’une fonction monˆ ome Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. 4x Exercice 1 f : x 7−→ − sur R. 5 Exercice 2 f : x 7−→ 4x3 sur R. Exercice 3 f : x 7−→ −9x2 sur R. 3x2 sur R. 4 12x3 Exercice 5 f : x 7−→ sur R. 25 3x2 Exercice 6 f : x 7−→ − sur R. 4 Exercice 4 f : x 7−→
Exercice 7 f : x 7−→ −8x2 sur R. Exercice 8 f : x 7−→ 8x3 sur R. Exercice 9 f : x 7−→ 4x2 sur R. Exercice 10 f : x 7−→ −3x sur R. 2x sur R. Exercice 11 f : x 7−→ 5 20x Exercice 12 f : x 7−→ sur R. 9 Exercice 13 f : x 7−→ −3x3 sur R. Exercice 14 f : x 7−→ 16x sur R. 15x Exercice 15 f : x 7−→ − sur R. 2 18x2 Exercice 16 f : x 7−→ sur R. 5 Exercice 17 f : x 7−→ −3x sur R. x Exercice 18 f : x 7−→ sur R. 2 3x2 Exercice 19 f : x 7−→ − sur R. 10 2x Exercice 20 f : x 7−→ − sur R. 15 1
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
4x 5
2x2 . 5
Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ 4x3 sur R est
F : x 7−→ x4 .
Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ −9x2 sur R est
F : x 7−→ −3x3 .
Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→
3x2 4
F : x 7−→
x3 . 4
sur R est
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→
12x3 25
F : x 7−→
3x4 . 25
sur R est
Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ −
3x2 4
sur R est F : x 7−→ −
2
x3 . 4
Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ −8x2 sur R est F : x 7−→ −
8x3 . 3
Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ 8x3 sur R est
F : x 7−→ 2x4 .
Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ 4x2 sur R est
4x3 . 3
F : x 7−→ Solution 10 Une primitive F de
f : x 7−→ −3x sur R est F : x 7−→ −
3x2 . 2
Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→
2x 5
F : x 7−→
x2 . 5
sur R est
Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
3
20x 9 10x2 . 9
Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ −3x3 sur R est F : x 7−→ −
3x4 . 4
Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ 16x sur R est
F : x 7−→ 8x2 .
Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
15x 2
15x2 . 4
Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→
18x2 5
F : x 7−→
6x3 . 5
sur R est
Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −3x sur R est F : x 7−→ −
3x2 . 2
Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
4
x 2 x2 . 4
Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ −
3x2 10
sur R est F : x 7−→ −
x3 . 10
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ −
2x 15
F : x 7−→ −
x2 . 15
sur R est
5
Primitives d’une fonction polynˆ ome Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. Exercice 1 f : x 7−→
5x 25 + sur R. 3 6
Exercice 2 f : x 7−→
3x2 2x 1 − − sur R. 5 3 8
Exercice 3 f : x 7−→ −x −
2 sur R. 5
Exercice 4 f : x 7−→ 6 − 6x sur R. Exercice 5 f : x 7−→ − Exercice 6 f : x 7−→
5x sur R. 6
8x 1 − sur R. 3 3
Exercice 7 f : x 7−→ 1 − Exercice 8 f : x 7−→ −
40x sur R. 3
5x2 3x 3 + + sur R. 4 4 4
Exercice 9 f : x 7−→ −8x − Exercice 10 f : x 7−→
8 sur R. 15
4x 2 − sur R. 5 5
Exercice 11 f : x 7−→ −
15x2 8x 2 + + sur R. 2 5 5
Exercice 12 f : x 7−→
5x2 15x 25 + + sur R. 4 2 4
Exercice 13 f : x 7−→
12x 9x2 − sur R. 5 10
Exercice 14 f : x 7−→
2x 2 + sur R. 5 5
1
Exercice 15 f : x 7−→ 8 − Exercice 16 f : x 7−→
32x sur R. 3
16x sur R. 25
Exercice 17 f : x 7−→ −
8x − 2 sur R. 25
Exercice 18 f : x 7−→
4 − 6x sur R. 5
Exercice 19 f : x 7−→
16x2 2x + − 4 sur R. 5 5
Exercice 20 f : x 7−→
5x2 5 + 5x + sur R. 4 2
2
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
5x 25 + 3 6
5x2 25x 5 + − . 6 6 6
Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
3x2 2x 1 − − 5 3 8
x3 x2 x 5 − − + . 5 3 8 8
Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ −x − sur R est F : x 7−→ −
2 5
x2 2x − . 2 5
Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ 6 − 6x sur R est F : x 7−→ −3x2 + 6x +
20 . 3
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→
5x 6
5 5x2 − . 6 12
Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
8x 1 − 3 3
4x2 x 3 − + . 3 3 5 3
Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ 1 − sur R est F : x 7−→ −
40x 3
20x2 20 +x+ . 3 3
Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
5x2 3x 3 + + 4 4 4
5x3 3x2 3x 1 + + − . 12 8 4 3
Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ −8x − sur R est F : x 7−→ −4x2 −
8 15
8x 4 − . 15 3
Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
4x 2 − 5 5
3 2x2 2x − + . 5 5 10
Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
15x2 8x 2 + + 2 5 5
5x3 4x2 2x + + + 5. 2 5 5
Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
5x2 15x 25 + + 4 2 4
5x3 15x2 25x 5 + + − . 12 4 4 4 4
Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→ −
12x 9x2 − 5 10
3x3 6x2 + + 1. 10 5
Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
2x 2 + 5 5
x2 2x 2 + − . 5 5 5
Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ 8 − sur R est F : x 7−→ 8x −
32x 3 16x2 . 3
Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
16x 25
8x2 2 + . 25 3
Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
8x −2 25
4 4x2 − 2x + . 25 15
Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→
4 − 6x 5
sur R est F : x 7−→ −3x2 +
5
4x + 8. 5
Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
16x2 2x + −4 5 5
16x3 x2 4 + − 4x + . 15 5 15
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
5x2 5 + 5x + 4 2
5x3 5x2 5x + + . 12 2 2
6
Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. 2 96 24x 12x2 96x 192 Exercice 1 f : x 7−→ −6 − − + − sur R. 5 5 5 5 5 Exercice 2 f : x 7−→ 320(8 − 20x)3 sur R. Exercice 3 f : x 7−→ 6(12 − 12x) 12x − 6x2
2
sur R.
Exercice 4 f : x 7−→ −31104x7 sur R. Exercice 5 f : x 7−→ 60(10x + 6)2 sur R. 3 Exercice 6 f : x 7−→ −4(12 − 12x) −6x2 + 12x + 90 sur R. Exercice 7 f : x 7−→ −32(2x + 2)3 sur R. Exercice 8 f : x 7−→ −120000x3 sur R. Exercice 9 f : x 7−→ 48000x2 sur R. Exercice 10 f : x 7−→ 400(12 − 20x)3 sur R. 84 3 sur R. Exercice 11 f : x 7−→ −20(16 − 8x) −4x2 + 16x − 5 Exercice 12 f : x 7−→ −1920x5 sur R. Exercice 13 f : x 7−→ 16(2 − 2x)3 sur R. Exercice 14 f : x 7−→ 60(25 − 5x)3 sur R. Exercice 15 f : x 7−→ −6561x7 sur R. 3 Exercice 16 f : x 7−→ 20(4x + 20) 2x2 + 20x + 55 sur R. Exercice 17 f : x 7−→ −8(10 − 2x)3 sur R. Exercice 18 f : x 7−→ 36(9 − 6x)2 sur R. 2 Exercice 19 f : x 7−→ 90x −5x2 − 2 sur R. Exercice 20 f : x 7−→ −24x 1 − x2
3
1
sur R.
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ −6 sur R est
96 24x − 5 5
2 12x2 96x 192 − + − 5 5 5
12x2 96x 192 F : x 7−→ −2 − + − 5 5 5
3 .
Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ 320(8 − 20x)3 sur R est
F : x 7−→ −4(8 − 20x)4 .
Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ 6(12 − 12x) 12x − 6x2 sur R est
F : x 7−→ 2 12x − 6x2
3
2
.
Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −31104x7 sur R est
F : x 7−→ −3888x8 .
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ 60(10x + 6)2 sur R est
F : x 7−→ 2(10x + 6)3 .
Solution 6 Une primitive F de 3 f : x 7−→ −4(12 − 12x) −6x2 + 12x + 90 sur R est
4 F : x 7−→ − −6x2 + 12x + 90 .
2
Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ −32(2x + 2)3 sur R est
F : x 7−→ −4(2x + 2)4 .
Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ −120000x3 sur R est
F : x 7−→ −30000x4 .
Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ 48000x2 sur R est
F : x 7−→ 16000x3 .
Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ 400(12 − 20x)3 sur R est
F : x 7−→ −5(12 − 20x)4 .
Solution 11 Une primitive F de 84 3 f : x 7−→ −20(16 − 8x) −4x2 + 16x − 5 sur R est
84 F : x 7−→ −5 −4x + 16x − 5 2
Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ −1920x5 sur R est
F : x 7−→ −320x6 .
Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ 16(2 − 2x)3 sur R est
F : x 7−→ −2(2 − 2x)4 . 3
4 .
Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ 60(25 − 5x)3 sur R est
F : x 7−→ −3(25 − 5x)4 .
Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ −6561x7 sur R est F : x 7−→ −
6561x8 . 8
Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→ 20(4x + 20) 2x2 + 20x + 55 sur R est
4 F : x 7−→ 5 2x2 + 20x + 55 .
Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −8(10 − 2x)3 sur R est
F : x 7−→ (10 − 2x)4 .
Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→ 36(9 − 6x)2 sur R est
F : x 7−→ −2(9 − 6x)3 .
Solution 19 Une primitive F de 2 f : x 7−→ 90x −5x2 − 2 sur R est
3 F : x 7−→ −3 −5x2 − 2 .
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ −24x 1 − x2 sur R est
F : x 7−→ 3 1 − x2
4
4
3
.
3
Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. Exercice 1 f : x 7−→ −
5 sur ]−∞; 3[. 4(x − 3)3
5 sur ]−5; +∞[. 4(x + 5)2 1 1 Exercice 3 f : x 7−→ sur ; +∞ . 4(1 − 2x)2 2 25 4 Exercice 4 f : x 7−→ − sur −∞; − . 4(5x + 4)2 5 Exercice 2 f : x 7−→ −
Exercice 5 f : x 7−→
2(x − 5)
sur R. − 10x + 26)2 3 3 sur −∞; − . Exercice 6 f : x 7−→ − 5(4x + 3)2 4 5 3 Exercice 7 f : x 7−→ sur −∞; . 2(3 − 5x)2 5 Exercice 8 f : x 7−→
Exercice 9 f : x 7−→
5 (x2
96x 5 (3x2 + 5)2
sur R.
1 sur ]−∞; −1[. 16(x + 1)2
Exercice 10 f : x 7−→ −
Exercice 11 f : x 7−→
8 sur ]5; +∞[. 15(x − 5)3 4(x + 5)
(3x2
Exercice 12 f : x 7−→ −
Exercice 13 f : x 7−→ −
+ 30x + 80)2 3(x − 3)
(x2
− 6x + 11)2
sur R.
sur R.
1 sur ]1; +∞[. 48(x − 1)2 1
1 sur ]−3; +∞[. 3(x + 3)3 6 4 Exercice 15 f : x 7−→ sur − ; +∞ . (6x + 8)2 3 Exercice 14 f : x 7−→ −
Exercice 16 f : x 7−→
x+3 3 (x2
+ 6x + 8)2
sur ]−2; +∞[.
12 2 Exercice 17 f : x 7−→ − sur −∞; − . 5(3x + 2)2 3 5 sur ]−∞; 3[. 16(x − 3)2 5 2 Exercice 19 f : x 7−→ − sur − ; +∞ . (20x + 8)2 5 5 5 Exercice 20 f : x 7−→ sur −∞; . 3(5 − 2x)2 2 Exercice 18 f : x 7−→
2
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ −
5 4(x − 3)3
sur ]−∞; 3[ est 5 . 8(x − 3)2
F : x 7−→ Solution 2 Une primitive F de
f : x 7−→ −
5 4(x + 5)2
sur ]−5; +∞[ est 5 . 4(x + 5)
F : x 7−→ Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→
1 4(1 − 2x)2
1 sur ; +∞ est 2 1 . 8 − 16x
F : x 7−→ Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −
25 4(5x + 4)2
4 sur −∞; − est 5 F : x 7−→
5 . 4(5x + 4)
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→
2(x − 5) 5 (x2
− 10x + 26)2
sur R est F : x 7−→ −
5 (x2
3
1 . − 10x + 26)
Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ −
3 5(4x + 3)2
F : x 7−→
3 . 80x + 60
3 est sur −∞; − 4
Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→
5 2(3 − 5x)2
3 sur −∞; est 5 1 . 6 − 10x
F : x 7−→ Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→
96x 5 (3x2 + 5)2
sur R est
16 . + 25
F : x 7−→ −
15x2
Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→
1 16(x + 1)2
sur ]−∞; −1[ est F : x 7−→ −
1 . 16(x + 1)
Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ −
8 15(x − 5)3
sur ]5; +∞[ est F : x 7−→
4 . 15(x − 5)2
Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→
4(x + 5) (3x2
sur R est F : x 7−→ −
+ 30x + 80)2
2 . 9x2 + 90x + 240 4
Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ −
3(x − 3) (x2 − 6x + 11)2
sur R est F : x 7−→
2 (x2
3 . − 6x + 11)
Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ −
1 48(x − 1)2
sur ]1; +∞[ est 1 . 48(x − 1)
F : x 7−→ Solution 14 Une primitive F de
f : x 7−→ −
1 3(x + 3)3
sur ]−3; +∞[ est 1 . 6(x + 3)2
F : x 7−→ Solution 15 Une primitive F de
6 (6x + 8)2
f : x 7−→ 4 sur − ; +∞ est 3
F : x 7−→ −
1 . 6x + 8
Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→
x+3 3 (x2
+ 6x + 8)2
sur ]−2; +∞[ est F : x 7−→ −
6 (x2
1 . + 6x + 8)
Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −
12 5(3x + 2)2
F : x 7−→
4 . 15x + 10
2 sur −∞; − est 3
5
Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→
5 16(x − 3)2
F : x 7−→
5 . 48 − 16x
sur ]−∞; 3[ est
Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ −
5 (20x + 8)2
F : x 7−→
1 . 80x + 32
2 sur − ; +∞ est 5
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→
5 3(5 − 2x)2
F : x 7−→
5 . 30 − 12x
5 sur −∞; est 2
6
Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. 4(x − 2) sur R. 2x2 − 8x + 13 √ 4 3(x − 3) sur R. Exercice 2 f : x 7−→ √ x2 − 6x + 14
Exercice 1 f : x 7−→ √
5(x − 1) Exercice 3 f : x 7−→ √ sur R. 2 x2 − 2x + 2 √ 2(x + 4) Exercice 4 f : x 7−→ − √ sur ]−9; 1[. −x2 − 8x + 9 12 5 sur − ; +∞ . Exercice 5 f : x 7−→ √ 4 8x + 10 Exercice 6 f : x 7−→ − √
5(x − 3) sur ]−2; 8[. −x2 + 6x + 16
√
Exercice 7 f : x 7−→
5x sur ]−∞; 0[. (−x)3/2
12x sur R. 12x2 + 6 4 125 Exercice 9 f : x 7−→ √ sur ; +∞ . 5 2 25x − 20 20 1 Exercice 10 f : x 7−→ √ sur −∞; . 4 5 − 20x √ 3 Exercice 11 f : x 7−→ √ sur ]0; +∞[. 2 x Exercice 8 f : x 7−→ − √
4 Exercice 12 f : x 7−→ − √ sur ]0; +∞[. x 5 Exercice 13 f : x 7−→ √ sur ]3; +∞[. 2 x−3 1
Exercice 14 f : x 7−→ q
x x2 2
sur R. +2
3 sur ]−∞; −5[. −3x − 15 √ 2 5(x + 3) Exercice 16 f : x 7−→ − p sur ]−6; 0[. −x(x + 6) Exercice 15 f : x 7−→ − √
15 sur ]1; +∞[. Exercice 17 f : x 7−→ − √ 2 3x − 3 √ 2 Exercice 18 f : x 7−→ √ sur ]0; +∞[. x Exercice 19 f : x 7−→ √
5 sur ]−∞; 1[. 1−x
Exercice 20 f : x 7−→ √
12 sur ]−1; +∞[. 6x + 6
2
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur R est F : x 7−→ 2
4(x − 2) 2x2 − 8x + 13
p
2x2 − 8x + 13.
Solution 2 Une primitive F de √ 4 3(x − 3) f : x 7−→ √ x2 − 6x + 14 sur R est F : x 7−→ 4
p 3x2 − 18x + 42.
Solution 3 Une primitive F de 5(x − 1) f : x 7−→ √ 2 x2 − 2x + 2 sur R est F : x 7−→
5p 2 x − 2x + 2. 2
Solution 4 Une primitive F de √
f : x 7−→ − √
2(x + 4) −x2 − 8x + 9
sur ]−9; 1[ est F : x 7−→
p −2x2 − 16x + 18.
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ √ 5 sur − ; +∞ est 4
12 8x + 10
√ F : x 7−→ 3 8x + 10.
Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ − √
5(x − 3) −x2 + 6x + 16
sur ]−2; 8[ est F : x 7−→ 5
p
−x2 + 6x + 16. 3
Solution 7 Une primitive F de √
f : x 7−→ sur ]−∞; 0[ est
5x (−x)3/2
√ √ F : x 7−→ 2 5 −x.
Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ − √ sur R est
12x 12x2 + 6
p F : x 7−→ − 12x2 + 6.
Solution 9 Une primitive F de 125 f : x 7−→ √ 2 25x − 20
4 sur ; +∞ est 5
√ F : x 7−→ 5 25x − 20.
Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ √ 1 est sur −∞; 4
20 5 − 20x
√ F : x 7−→ −2 5 − 20x.
Solution 11 Une primitive F de √ 3 f : x 7−→ √ 2 x sur ]0; +∞[ est F : x 7−→
√ √ 3 x.
Solution 12 Une primitive F de 4 f : x 7−→ − √ x sur ]0; +∞[ est
√ F : x 7−→ −8 x. 4
Solution 13 Une primitive F de 5 f : x 7−→ √ 2 x−3 sur ]3; +∞[ est
√ F : x 7−→ 5 x − 3.
Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ q sur R est F : x 7−→
x x2 2
+2
√ p 2 x2 + 4.
Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ − √ sur ]−∞; −5[ est
3 −3x − 15
√ F : x 7−→ 2 −3x − 15.
Solution 16 Une primitive F de √ 2 5(x + 3) f : x 7−→ − p −x(x + 6) sur ]−6; 0[ est
√ p F : x 7−→ 2 5 −x(x + 6).
Solution 17 Une primitive F de 15 f : x 7−→ − √ 2 3x − 3 sur ]1; +∞[ est
√ F : x 7−→ −5 3x − 3.
Solution 18 Une primitive F de √ 2 f : x 7−→ √ x sur ]0; +∞[ est
√ √ F : x 7−→ 2 2 x.
5
Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur ]−∞; 1[ est
5 1−x
√ F : x 7−→ −10 1 − x.
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur ]−1; +∞[ est
12 6x + 6
√ F : x 7−→ 4 6x + 6.
6
Exercice 7 f : x 7−→ −8x2 sur R. Exercice 8 f : x 7−→ 8x3 sur R. Exercice 9 f : x 7−→ 4x2 sur R. Exercice 10 f : x 7−→ −3x sur R. 2x sur R. Exercice 11 f : x 7−→ 5 20x Exercice 12 f : x 7−→ sur R. 9 Exercice 13 f : x 7−→ −3x3 sur R. Exercice 14 f : x 7−→ 16x sur R. 15x Exercice 15 f : x 7−→ − sur R. 2 18x2 Exercice 16 f : x 7−→ sur R. 5 Exercice 17 f : x 7−→ −3x sur R. x Exercice 18 f : x 7−→ sur R. 2 3x2 Exercice 19 f : x 7−→ − sur R. 10 2x Exercice 20 f : x 7−→ − sur R. 15 1
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
4x 5
2x2 . 5
Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ 4x3 sur R est
F : x 7−→ x4 .
Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ −9x2 sur R est
F : x 7−→ −3x3 .
Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→
3x2 4
F : x 7−→
x3 . 4
sur R est
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→
12x3 25
F : x 7−→
3x4 . 25
sur R est
Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ −
3x2 4
sur R est F : x 7−→ −
2
x3 . 4
Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ −8x2 sur R est F : x 7−→ −
8x3 . 3
Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ 8x3 sur R est
F : x 7−→ 2x4 .
Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ 4x2 sur R est
4x3 . 3
F : x 7−→ Solution 10 Une primitive F de
f : x 7−→ −3x sur R est F : x 7−→ −
3x2 . 2
Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→
2x 5
F : x 7−→
x2 . 5
sur R est
Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
3
20x 9 10x2 . 9
Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ −3x3 sur R est F : x 7−→ −
3x4 . 4
Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ 16x sur R est
F : x 7−→ 8x2 .
Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
15x 2
15x2 . 4
Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→
18x2 5
F : x 7−→
6x3 . 5
sur R est
Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −3x sur R est F : x 7−→ −
3x2 . 2
Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
4
x 2 x2 . 4
Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ −
3x2 10
sur R est F : x 7−→ −
x3 . 10
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ −
2x 15
F : x 7−→ −
x2 . 15
sur R est
5
Primitives d’une fonction polynˆ ome Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. Exercice 1 f : x 7−→
5x 25 + sur R. 3 6
Exercice 2 f : x 7−→
3x2 2x 1 − − sur R. 5 3 8
Exercice 3 f : x 7−→ −x −
2 sur R. 5
Exercice 4 f : x 7−→ 6 − 6x sur R. Exercice 5 f : x 7−→ − Exercice 6 f : x 7−→
5x sur R. 6
8x 1 − sur R. 3 3
Exercice 7 f : x 7−→ 1 − Exercice 8 f : x 7−→ −
40x sur R. 3
5x2 3x 3 + + sur R. 4 4 4
Exercice 9 f : x 7−→ −8x − Exercice 10 f : x 7−→
8 sur R. 15
4x 2 − sur R. 5 5
Exercice 11 f : x 7−→ −
15x2 8x 2 + + sur R. 2 5 5
Exercice 12 f : x 7−→
5x2 15x 25 + + sur R. 4 2 4
Exercice 13 f : x 7−→
12x 9x2 − sur R. 5 10
Exercice 14 f : x 7−→
2x 2 + sur R. 5 5
1
Exercice 15 f : x 7−→ 8 − Exercice 16 f : x 7−→
32x sur R. 3
16x sur R. 25
Exercice 17 f : x 7−→ −
8x − 2 sur R. 25
Exercice 18 f : x 7−→
4 − 6x sur R. 5
Exercice 19 f : x 7−→
16x2 2x + − 4 sur R. 5 5
Exercice 20 f : x 7−→
5x2 5 + 5x + sur R. 4 2
2
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
5x 25 + 3 6
5x2 25x 5 + − . 6 6 6
Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
3x2 2x 1 − − 5 3 8
x3 x2 x 5 − − + . 5 3 8 8
Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ −x − sur R est F : x 7−→ −
2 5
x2 2x − . 2 5
Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ 6 − 6x sur R est F : x 7−→ −3x2 + 6x +
20 . 3
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→
5x 6
5 5x2 − . 6 12
Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
8x 1 − 3 3
4x2 x 3 − + . 3 3 5 3
Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ 1 − sur R est F : x 7−→ −
40x 3
20x2 20 +x+ . 3 3
Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
5x2 3x 3 + + 4 4 4
5x3 3x2 3x 1 + + − . 12 8 4 3
Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ −8x − sur R est F : x 7−→ −4x2 −
8 15
8x 4 − . 15 3
Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
4x 2 − 5 5
3 2x2 2x − + . 5 5 10
Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
15x2 8x 2 + + 2 5 5
5x3 4x2 2x + + + 5. 2 5 5
Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
5x2 15x 25 + + 4 2 4
5x3 15x2 25x 5 + + − . 12 4 4 4 4
Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→ −
12x 9x2 − 5 10
3x3 6x2 + + 1. 10 5
Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
2x 2 + 5 5
x2 2x 2 + − . 5 5 5
Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ 8 − sur R est F : x 7−→ 8x −
32x 3 16x2 . 3
Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
16x 25
8x2 2 + . 25 3
Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −
8x −2 25
4 4x2 − 2x + . 25 15
Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→
4 − 6x 5
sur R est F : x 7−→ −3x2 +
5
4x + 8. 5
Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
16x2 2x + −4 5 5
16x3 x2 4 + − 4x + . 15 5 15
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→
5x2 5 + 5x + 4 2
5x3 5x2 5x + + . 12 2 2
6
Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. 2 96 24x 12x2 96x 192 Exercice 1 f : x 7−→ −6 − − + − sur R. 5 5 5 5 5 Exercice 2 f : x 7−→ 320(8 − 20x)3 sur R. Exercice 3 f : x 7−→ 6(12 − 12x) 12x − 6x2
2
sur R.
Exercice 4 f : x 7−→ −31104x7 sur R. Exercice 5 f : x 7−→ 60(10x + 6)2 sur R. 3 Exercice 6 f : x 7−→ −4(12 − 12x) −6x2 + 12x + 90 sur R. Exercice 7 f : x 7−→ −32(2x + 2)3 sur R. Exercice 8 f : x 7−→ −120000x3 sur R. Exercice 9 f : x 7−→ 48000x2 sur R. Exercice 10 f : x 7−→ 400(12 − 20x)3 sur R. 84 3 sur R. Exercice 11 f : x 7−→ −20(16 − 8x) −4x2 + 16x − 5 Exercice 12 f : x 7−→ −1920x5 sur R. Exercice 13 f : x 7−→ 16(2 − 2x)3 sur R. Exercice 14 f : x 7−→ 60(25 − 5x)3 sur R. Exercice 15 f : x 7−→ −6561x7 sur R. 3 Exercice 16 f : x 7−→ 20(4x + 20) 2x2 + 20x + 55 sur R. Exercice 17 f : x 7−→ −8(10 − 2x)3 sur R. Exercice 18 f : x 7−→ 36(9 − 6x)2 sur R. 2 Exercice 19 f : x 7−→ 90x −5x2 − 2 sur R. Exercice 20 f : x 7−→ −24x 1 − x2
3
1
sur R.
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ −6 sur R est
96 24x − 5 5
2 12x2 96x 192 − + − 5 5 5
12x2 96x 192 F : x 7−→ −2 − + − 5 5 5
3 .
Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ 320(8 − 20x)3 sur R est
F : x 7−→ −4(8 − 20x)4 .
Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ 6(12 − 12x) 12x − 6x2 sur R est
F : x 7−→ 2 12x − 6x2
3
2
.
Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −31104x7 sur R est
F : x 7−→ −3888x8 .
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ 60(10x + 6)2 sur R est
F : x 7−→ 2(10x + 6)3 .
Solution 6 Une primitive F de 3 f : x 7−→ −4(12 − 12x) −6x2 + 12x + 90 sur R est
4 F : x 7−→ − −6x2 + 12x + 90 .
2
Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ −32(2x + 2)3 sur R est
F : x 7−→ −4(2x + 2)4 .
Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ −120000x3 sur R est
F : x 7−→ −30000x4 .
Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ 48000x2 sur R est
F : x 7−→ 16000x3 .
Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ 400(12 − 20x)3 sur R est
F : x 7−→ −5(12 − 20x)4 .
Solution 11 Une primitive F de 84 3 f : x 7−→ −20(16 − 8x) −4x2 + 16x − 5 sur R est
84 F : x 7−→ −5 −4x + 16x − 5 2
Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ −1920x5 sur R est
F : x 7−→ −320x6 .
Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ 16(2 − 2x)3 sur R est
F : x 7−→ −2(2 − 2x)4 . 3
4 .
Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ 60(25 − 5x)3 sur R est
F : x 7−→ −3(25 − 5x)4 .
Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ −6561x7 sur R est F : x 7−→ −
6561x8 . 8
Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→ 20(4x + 20) 2x2 + 20x + 55 sur R est
4 F : x 7−→ 5 2x2 + 20x + 55 .
Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −8(10 − 2x)3 sur R est
F : x 7−→ (10 − 2x)4 .
Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→ 36(9 − 6x)2 sur R est
F : x 7−→ −2(9 − 6x)3 .
Solution 19 Une primitive F de 2 f : x 7−→ 90x −5x2 − 2 sur R est
3 F : x 7−→ −3 −5x2 − 2 .
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ −24x 1 − x2 sur R est
F : x 7−→ 3 1 − x2
4
4
3
.
3
Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. Exercice 1 f : x 7−→ −
5 sur ]−∞; 3[. 4(x − 3)3
5 sur ]−5; +∞[. 4(x + 5)2 1 1 Exercice 3 f : x 7−→ sur ; +∞ . 4(1 − 2x)2 2 25 4 Exercice 4 f : x 7−→ − sur −∞; − . 4(5x + 4)2 5 Exercice 2 f : x 7−→ −
Exercice 5 f : x 7−→
2(x − 5)
sur R. − 10x + 26)2 3 3 sur −∞; − . Exercice 6 f : x 7−→ − 5(4x + 3)2 4 5 3 Exercice 7 f : x 7−→ sur −∞; . 2(3 − 5x)2 5 Exercice 8 f : x 7−→
Exercice 9 f : x 7−→
5 (x2
96x 5 (3x2 + 5)2
sur R.
1 sur ]−∞; −1[. 16(x + 1)2
Exercice 10 f : x 7−→ −
Exercice 11 f : x 7−→
8 sur ]5; +∞[. 15(x − 5)3 4(x + 5)
(3x2
Exercice 12 f : x 7−→ −
Exercice 13 f : x 7−→ −
+ 30x + 80)2 3(x − 3)
(x2
− 6x + 11)2
sur R.
sur R.
1 sur ]1; +∞[. 48(x − 1)2 1
1 sur ]−3; +∞[. 3(x + 3)3 6 4 Exercice 15 f : x 7−→ sur − ; +∞ . (6x + 8)2 3 Exercice 14 f : x 7−→ −
Exercice 16 f : x 7−→
x+3 3 (x2
+ 6x + 8)2
sur ]−2; +∞[.
12 2 Exercice 17 f : x 7−→ − sur −∞; − . 5(3x + 2)2 3 5 sur ]−∞; 3[. 16(x − 3)2 5 2 Exercice 19 f : x 7−→ − sur − ; +∞ . (20x + 8)2 5 5 5 Exercice 20 f : x 7−→ sur −∞; . 3(5 − 2x)2 2 Exercice 18 f : x 7−→
2
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ −
5 4(x − 3)3
sur ]−∞; 3[ est 5 . 8(x − 3)2
F : x 7−→ Solution 2 Une primitive F de
f : x 7−→ −
5 4(x + 5)2
sur ]−5; +∞[ est 5 . 4(x + 5)
F : x 7−→ Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→
1 4(1 − 2x)2
1 sur ; +∞ est 2 1 . 8 − 16x
F : x 7−→ Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −
25 4(5x + 4)2
4 sur −∞; − est 5 F : x 7−→
5 . 4(5x + 4)
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→
2(x − 5) 5 (x2
− 10x + 26)2
sur R est F : x 7−→ −
5 (x2
3
1 . − 10x + 26)
Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ −
3 5(4x + 3)2
F : x 7−→
3 . 80x + 60
3 est sur −∞; − 4
Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→
5 2(3 − 5x)2
3 sur −∞; est 5 1 . 6 − 10x
F : x 7−→ Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→
96x 5 (3x2 + 5)2
sur R est
16 . + 25
F : x 7−→ −
15x2
Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→
1 16(x + 1)2
sur ]−∞; −1[ est F : x 7−→ −
1 . 16(x + 1)
Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ −
8 15(x − 5)3
sur ]5; +∞[ est F : x 7−→
4 . 15(x − 5)2
Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→
4(x + 5) (3x2
sur R est F : x 7−→ −
+ 30x + 80)2
2 . 9x2 + 90x + 240 4
Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ −
3(x − 3) (x2 − 6x + 11)2
sur R est F : x 7−→
2 (x2
3 . − 6x + 11)
Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ −
1 48(x − 1)2
sur ]1; +∞[ est 1 . 48(x − 1)
F : x 7−→ Solution 14 Une primitive F de
f : x 7−→ −
1 3(x + 3)3
sur ]−3; +∞[ est 1 . 6(x + 3)2
F : x 7−→ Solution 15 Une primitive F de
6 (6x + 8)2
f : x 7−→ 4 sur − ; +∞ est 3
F : x 7−→ −
1 . 6x + 8
Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→
x+3 3 (x2
+ 6x + 8)2
sur ]−2; +∞[ est F : x 7−→ −
6 (x2
1 . + 6x + 8)
Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −
12 5(3x + 2)2
F : x 7−→
4 . 15x + 10
2 sur −∞; − est 3
5
Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→
5 16(x − 3)2
F : x 7−→
5 . 48 − 16x
sur ]−∞; 3[ est
Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ −
5 (20x + 8)2
F : x 7−→
1 . 80x + 32
2 sur − ; +∞ est 5
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→
5 3(5 − 2x)2
F : x 7−→
5 . 30 − 12x
5 sur −∞; est 2
6
Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. 4(x − 2) sur R. 2x2 − 8x + 13 √ 4 3(x − 3) sur R. Exercice 2 f : x 7−→ √ x2 − 6x + 14
Exercice 1 f : x 7−→ √
5(x − 1) Exercice 3 f : x 7−→ √ sur R. 2 x2 − 2x + 2 √ 2(x + 4) Exercice 4 f : x 7−→ − √ sur ]−9; 1[. −x2 − 8x + 9 12 5 sur − ; +∞ . Exercice 5 f : x 7−→ √ 4 8x + 10 Exercice 6 f : x 7−→ − √
5(x − 3) sur ]−2; 8[. −x2 + 6x + 16
√
Exercice 7 f : x 7−→
5x sur ]−∞; 0[. (−x)3/2
12x sur R. 12x2 + 6 4 125 Exercice 9 f : x 7−→ √ sur ; +∞ . 5 2 25x − 20 20 1 Exercice 10 f : x 7−→ √ sur −∞; . 4 5 − 20x √ 3 Exercice 11 f : x 7−→ √ sur ]0; +∞[. 2 x Exercice 8 f : x 7−→ − √
4 Exercice 12 f : x 7−→ − √ sur ]0; +∞[. x 5 Exercice 13 f : x 7−→ √ sur ]3; +∞[. 2 x−3 1
Exercice 14 f : x 7−→ q
x x2 2
sur R. +2
3 sur ]−∞; −5[. −3x − 15 √ 2 5(x + 3) Exercice 16 f : x 7−→ − p sur ]−6; 0[. −x(x + 6) Exercice 15 f : x 7−→ − √
15 sur ]1; +∞[. Exercice 17 f : x 7−→ − √ 2 3x − 3 √ 2 Exercice 18 f : x 7−→ √ sur ]0; +∞[. x Exercice 19 f : x 7−→ √
5 sur ]−∞; 1[. 1−x
Exercice 20 f : x 7−→ √
12 sur ]−1; +∞[. 6x + 6
2
Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur R est F : x 7−→ 2
4(x − 2) 2x2 − 8x + 13
p
2x2 − 8x + 13.
Solution 2 Une primitive F de √ 4 3(x − 3) f : x 7−→ √ x2 − 6x + 14 sur R est F : x 7−→ 4
p 3x2 − 18x + 42.
Solution 3 Une primitive F de 5(x − 1) f : x 7−→ √ 2 x2 − 2x + 2 sur R est F : x 7−→
5p 2 x − 2x + 2. 2
Solution 4 Une primitive F de √
f : x 7−→ − √
2(x + 4) −x2 − 8x + 9
sur ]−9; 1[ est F : x 7−→
p −2x2 − 16x + 18.
Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ √ 5 sur − ; +∞ est 4
12 8x + 10
√ F : x 7−→ 3 8x + 10.
Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ − √
5(x − 3) −x2 + 6x + 16
sur ]−2; 8[ est F : x 7−→ 5
p
−x2 + 6x + 16. 3
Solution 7 Une primitive F de √
f : x 7−→ sur ]−∞; 0[ est
5x (−x)3/2
√ √ F : x 7−→ 2 5 −x.
Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ − √ sur R est
12x 12x2 + 6
p F : x 7−→ − 12x2 + 6.
Solution 9 Une primitive F de 125 f : x 7−→ √ 2 25x − 20
4 sur ; +∞ est 5
√ F : x 7−→ 5 25x − 20.
Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ √ 1 est sur −∞; 4
20 5 − 20x
√ F : x 7−→ −2 5 − 20x.
Solution 11 Une primitive F de √ 3 f : x 7−→ √ 2 x sur ]0; +∞[ est F : x 7−→
√ √ 3 x.
Solution 12 Une primitive F de 4 f : x 7−→ − √ x sur ]0; +∞[ est
√ F : x 7−→ −8 x. 4
Solution 13 Une primitive F de 5 f : x 7−→ √ 2 x−3 sur ]3; +∞[ est
√ F : x 7−→ 5 x − 3.
Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ q sur R est F : x 7−→
x x2 2
+2
√ p 2 x2 + 4.
Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ − √ sur ]−∞; −5[ est
3 −3x − 15
√ F : x 7−→ 2 −3x − 15.
Solution 16 Une primitive F de √ 2 5(x + 3) f : x 7−→ − p −x(x + 6) sur ]−6; 0[ est
√ p F : x 7−→ 2 5 −x(x + 6).
Solution 17 Une primitive F de 15 f : x 7−→ − √ 2 3x − 3 sur ]1; +∞[ est
√ F : x 7−→ −5 3x − 3.
Solution 18 Une primitive F de √ 2 f : x 7−→ √ x sur ]0; +∞[ est
√ √ F : x 7−→ 2 2 x.
5
Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur ]−∞; 1[ est
5 1−x
√ F : x 7−→ −10 1 − x.
Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur ]−1; +∞[ est
12 6x + 6
√ F : x 7−→ 4 6x + 6.
6
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