Primitives Tes

  • November 2019
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  • Words: 4,296
  • Pages: 27
Primitives d’une fonction monˆ ome Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. 4x Exercice 1 f : x 7−→ − sur R. 5 Exercice 2 f : x 7−→ 4x3 sur R. Exercice 3 f : x 7−→ −9x2 sur R. 3x2 sur R. 4 12x3 Exercice 5 f : x 7−→ sur R. 25 3x2 Exercice 6 f : x 7−→ − sur R. 4 Exercice 4 f : x 7−→

Exercice 7 f : x 7−→ −8x2 sur R. Exercice 8 f : x 7−→ 8x3 sur R. Exercice 9 f : x 7−→ 4x2 sur R. Exercice 10 f : x 7−→ −3x sur R. 2x sur R. Exercice 11 f : x 7−→ 5 20x Exercice 12 f : x 7−→ sur R. 9 Exercice 13 f : x 7−→ −3x3 sur R. Exercice 14 f : x 7−→ 16x sur R. 15x Exercice 15 f : x 7−→ − sur R. 2 18x2 Exercice 16 f : x 7−→ sur R. 5 Exercice 17 f : x 7−→ −3x sur R. x Exercice 18 f : x 7−→ sur R. 2 3x2 Exercice 19 f : x 7−→ − sur R. 10 2x Exercice 20 f : x 7−→ − sur R. 15 1

Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −

4x 5

2x2 . 5

Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ 4x3 sur R est

F : x 7−→ x4 .

Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ −9x2 sur R est

F : x 7−→ −3x3 .

Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→

3x2 4

F : x 7−→

x3 . 4

sur R est

Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→

12x3 25

F : x 7−→

3x4 . 25

sur R est

Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ −

3x2 4

sur R est F : x 7−→ −

2

x3 . 4

Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ −8x2 sur R est F : x 7−→ −

8x3 . 3

Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ 8x3 sur R est

F : x 7−→ 2x4 .

Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ 4x2 sur R est

4x3 . 3

F : x 7−→ Solution 10 Une primitive F de

f : x 7−→ −3x sur R est F : x 7−→ −

3x2 . 2

Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→

2x 5

F : x 7−→

x2 . 5

sur R est

Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

3

20x 9 10x2 . 9

Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ −3x3 sur R est F : x 7−→ −

3x4 . 4

Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ 16x sur R est

F : x 7−→ 8x2 .

Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −

15x 2

15x2 . 4

Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→

18x2 5

F : x 7−→

6x3 . 5

sur R est

Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −3x sur R est F : x 7−→ −

3x2 . 2

Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

4

x 2 x2 . 4

Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ −

3x2 10

sur R est F : x 7−→ −

x3 . 10

Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ −

2x 15

F : x 7−→ −

x2 . 15

sur R est

5

Primitives d’une fonction polynˆ ome Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. Exercice 1 f : x 7−→

5x 25 + sur R. 3 6

Exercice 2 f : x 7−→

3x2 2x 1 − − sur R. 5 3 8

Exercice 3 f : x 7−→ −x −

2 sur R. 5

Exercice 4 f : x 7−→ 6 − 6x sur R. Exercice 5 f : x 7−→ − Exercice 6 f : x 7−→

5x sur R. 6

8x 1 − sur R. 3 3

Exercice 7 f : x 7−→ 1 − Exercice 8 f : x 7−→ −

40x sur R. 3

5x2 3x 3 + + sur R. 4 4 4

Exercice 9 f : x 7−→ −8x − Exercice 10 f : x 7−→

8 sur R. 15

4x 2 − sur R. 5 5

Exercice 11 f : x 7−→ −

15x2 8x 2 + + sur R. 2 5 5

Exercice 12 f : x 7−→

5x2 15x 25 + + sur R. 4 2 4

Exercice 13 f : x 7−→

12x 9x2 − sur R. 5 10

Exercice 14 f : x 7−→

2x 2 + sur R. 5 5

1

Exercice 15 f : x 7−→ 8 − Exercice 16 f : x 7−→

32x sur R. 3

16x sur R. 25

Exercice 17 f : x 7−→ −

8x − 2 sur R. 25

Exercice 18 f : x 7−→

4 − 6x sur R. 5

Exercice 19 f : x 7−→

16x2 2x + − 4 sur R. 5 5

Exercice 20 f : x 7−→

5x2 5 + 5x + sur R. 4 2

2

Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

5x 25 + 3 6

5x2 25x 5 + − . 6 6 6

Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

3x2 2x 1 − − 5 3 8

x3 x2 x 5 − − + . 5 3 8 8

Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ −x − sur R est F : x 7−→ −

2 5

x2 2x − . 2 5

Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ 6 − 6x sur R est F : x 7−→ −3x2 + 6x +

20 . 3

Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→

5x 6

5 5x2 − . 6 12

Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

8x 1 − 3 3

4x2 x 3 − + . 3 3 5 3

Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ 1 − sur R est F : x 7−→ −

40x 3

20x2 20 +x+ . 3 3

Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −

5x2 3x 3 + + 4 4 4

5x3 3x2 3x 1 + + − . 12 8 4 3

Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ −8x − sur R est F : x 7−→ −4x2 −

8 15

8x 4 − . 15 3

Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

4x 2 − 5 5

3 2x2 2x − + . 5 5 10

Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −

15x2 8x 2 + + 2 5 5

5x3 4x2 2x + + + 5. 2 5 5

Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

5x2 15x 25 + + 4 2 4

5x3 15x2 25x 5 + + − . 12 4 4 4 4

Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→ −

12x 9x2 − 5 10

3x3 6x2 + + 1. 10 5

Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

2x 2 + 5 5

x2 2x 2 + − . 5 5 5

Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ 8 − sur R est F : x 7−→ 8x −

32x 3 16x2 . 3

Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

16x 25

8x2 2 + . 25 3

Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est F : x 7−→ −

8x −2 25

4 4x2 − 2x + . 25 15

Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→

4 − 6x 5

sur R est F : x 7−→ −3x2 +

5

4x + 8. 5

Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

16x2 2x + −4 5 5

16x3 x2 4 + − 4x + . 15 5 15

Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→

5x2 5 + 5x + 4 2

5x3 5x2 5x + + . 12 2 2

6

Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e.   2 96 24x 12x2 96x 192 Exercice 1 f : x 7−→ −6 − − + − sur R. 5 5 5 5 5 Exercice 2 f : x 7−→ 320(8 − 20x)3 sur R. Exercice 3 f : x 7−→ 6(12 − 12x) 12x − 6x2

2

sur R.

Exercice 4 f : x 7−→ −31104x7 sur R. Exercice 5 f : x 7−→ 60(10x + 6)2 sur R. 3 Exercice 6 f : x 7−→ −4(12 − 12x) −6x2 + 12x + 90 sur R. Exercice 7 f : x 7−→ −32(2x + 2)3 sur R. Exercice 8 f : x 7−→ −120000x3 sur R. Exercice 9 f : x 7−→ 48000x2 sur R. Exercice 10 f : x 7−→ 400(12 − 20x)3 sur R.   84 3 sur R. Exercice 11 f : x 7−→ −20(16 − 8x) −4x2 + 16x − 5 Exercice 12 f : x 7−→ −1920x5 sur R. Exercice 13 f : x 7−→ 16(2 − 2x)3 sur R. Exercice 14 f : x 7−→ 60(25 − 5x)3 sur R. Exercice 15 f : x 7−→ −6561x7 sur R. 3 Exercice 16 f : x 7−→ 20(4x + 20) 2x2 + 20x + 55 sur R. Exercice 17 f : x 7−→ −8(10 − 2x)3 sur R. Exercice 18 f : x 7−→ 36(9 − 6x)2 sur R. 2 Exercice 19 f : x 7−→ 90x −5x2 − 2 sur R. Exercice 20 f : x 7−→ −24x 1 − x2

3

1

sur R.

Solutions Solution 1 Une primitive F de  f : x 7−→ −6 sur R est

96 24x − 5 5

 2 12x2 96x 192 − + − 5 5 5

12x2 96x 192 F : x 7−→ −2 − + − 5 5 5 

3 .

Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ 320(8 − 20x)3 sur R est

F : x 7−→ −4(8 − 20x)4 .

Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ 6(12 − 12x) 12x − 6x2 sur R est

F : x 7−→ 2 12x − 6x2

3

2

.

Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −31104x7 sur R est

F : x 7−→ −3888x8 .

Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ 60(10x + 6)2 sur R est

F : x 7−→ 2(10x + 6)3 .

Solution 6 Une primitive F de 3 f : x 7−→ −4(12 − 12x) −6x2 + 12x + 90 sur R est

4 F : x 7−→ − −6x2 + 12x + 90 .

2

Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→ −32(2x + 2)3 sur R est

F : x 7−→ −4(2x + 2)4 .

Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ −120000x3 sur R est

F : x 7−→ −30000x4 .

Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→ 48000x2 sur R est

F : x 7−→ 16000x3 .

Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ 400(12 − 20x)3 sur R est

F : x 7−→ −5(12 − 20x)4 .

Solution 11 Une primitive F de   84 3 f : x 7−→ −20(16 − 8x) −4x2 + 16x − 5 sur R est



84 F : x 7−→ −5 −4x + 16x − 5 2

Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ −1920x5 sur R est

F : x 7−→ −320x6 .

Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ 16(2 − 2x)3 sur R est

F : x 7−→ −2(2 − 2x)4 . 3

4 .

Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ 60(25 − 5x)3 sur R est

F : x 7−→ −3(25 − 5x)4 .

Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ −6561x7 sur R est F : x 7−→ −

6561x8 . 8

Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→ 20(4x + 20) 2x2 + 20x + 55 sur R est

4 F : x 7−→ 5 2x2 + 20x + 55 .

Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −8(10 − 2x)3 sur R est

F : x 7−→ (10 − 2x)4 .

Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→ 36(9 − 6x)2 sur R est

F : x 7−→ −2(9 − 6x)3 .

Solution 19 Une primitive F de 2 f : x 7−→ 90x −5x2 − 2 sur R est

3 F : x 7−→ −3 −5x2 − 2 .

Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ −24x 1 − x2 sur R est

F : x 7−→ 3 1 − x2

4

4

3

.

3

Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. Exercice 1 f : x 7−→ −

5 sur ]−∞; 3[. 4(x − 3)3

5 sur ]−5; +∞[. 4(x + 5)2   1 1 Exercice 3 f : x 7−→ sur ; +∞ . 4(1 − 2x)2 2   25 4 Exercice 4 f : x 7−→ − sur −∞; − . 4(5x + 4)2 5 Exercice 2 f : x 7−→ −

Exercice 5 f : x 7−→

2(x − 5)

sur R. − 10x + 26)2   3 3 sur −∞; − . Exercice 6 f : x 7−→ − 5(4x + 3)2 4   5 3 Exercice 7 f : x 7−→ sur −∞; . 2(3 − 5x)2 5 Exercice 8 f : x 7−→

Exercice 9 f : x 7−→

5 (x2

96x 5 (3x2 + 5)2

sur R.

1 sur ]−∞; −1[. 16(x + 1)2

Exercice 10 f : x 7−→ −

Exercice 11 f : x 7−→

8 sur ]5; +∞[. 15(x − 5)3 4(x + 5)

(3x2

Exercice 12 f : x 7−→ −

Exercice 13 f : x 7−→ −

+ 30x + 80)2 3(x − 3)

(x2

− 6x + 11)2

sur R.

sur R.

1 sur ]1; +∞[. 48(x − 1)2 1

1 sur ]−3; +∞[. 3(x + 3)3   6 4 Exercice 15 f : x 7−→ sur − ; +∞ . (6x + 8)2 3 Exercice 14 f : x 7−→ −

Exercice 16 f : x 7−→

x+3 3 (x2

+ 6x + 8)2

sur ]−2; +∞[.

  12 2 Exercice 17 f : x 7−→ − sur −∞; − . 5(3x + 2)2 3 5 sur ]−∞; 3[. 16(x − 3)2   5 2 Exercice 19 f : x 7−→ − sur − ; +∞ . (20x + 8)2 5   5 5 Exercice 20 f : x 7−→ sur −∞; . 3(5 − 2x)2 2 Exercice 18 f : x 7−→

2

Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ −

5 4(x − 3)3

sur ]−∞; 3[ est 5 . 8(x − 3)2

F : x 7−→ Solution 2 Une primitive F de

f : x 7−→ −

5 4(x + 5)2

sur ]−5; +∞[ est 5 . 4(x + 5)

F : x 7−→ Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→

1 4(1 − 2x)2



 1 sur ; +∞ est 2 1 . 8 − 16x

F : x 7−→ Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −

25 4(5x + 4)2

  4 sur −∞; − est 5 F : x 7−→

5 . 4(5x + 4)

Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→

2(x − 5) 5 (x2

− 10x + 26)2

sur R est F : x 7−→ −

5 (x2

3

1 . − 10x + 26)

Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ −

3 5(4x + 3)2

F : x 7−→

3 . 80x + 60

  3 est sur −∞; − 4

Solution 7 Une primitive F de f : x 7−→

5 2(3 − 5x)2

  3 sur −∞; est 5 1 . 6 − 10x

F : x 7−→ Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→

96x 5 (3x2 + 5)2

sur R est

16 . + 25

F : x 7−→ −

15x2

Solution 9 Une primitive F de f : x 7−→

1 16(x + 1)2

sur ]−∞; −1[ est F : x 7−→ −

1 . 16(x + 1)

Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ −

8 15(x − 5)3

sur ]5; +∞[ est F : x 7−→

4 . 15(x − 5)2

Solution 11 Une primitive F de f : x 7−→

4(x + 5) (3x2

sur R est F : x 7−→ −

+ 30x + 80)2

2 . 9x2 + 90x + 240 4

Solution 12 Une primitive F de f : x 7−→ −

3(x − 3) (x2 − 6x + 11)2

sur R est F : x 7−→

2 (x2

3 . − 6x + 11)

Solution 13 Une primitive F de f : x 7−→ −

1 48(x − 1)2

sur ]1; +∞[ est 1 . 48(x − 1)

F : x 7−→ Solution 14 Une primitive F de

f : x 7−→ −

1 3(x + 3)3

sur ]−3; +∞[ est 1 . 6(x + 3)2

F : x 7−→ Solution 15 Une primitive F de

6 (6x + 8)2

f : x 7−→   4 sur − ; +∞ est 3

F : x 7−→ −

1 . 6x + 8

Solution 16 Une primitive F de f : x 7−→

x+3 3 (x2

+ 6x + 8)2

sur ]−2; +∞[ est F : x 7−→ −

6 (x2

1 . + 6x + 8)

Solution 17 Une primitive F de f : x 7−→ −

12 5(3x + 2)2

F : x 7−→

4 . 15x + 10

  2 sur −∞; − est 3

5

Solution 18 Une primitive F de f : x 7−→

5 16(x − 3)2

F : x 7−→

5 . 48 − 16x

sur ]−∞; 3[ est

Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ −

5 (20x + 8)2

F : x 7−→

1 . 80x + 32

  2 sur − ; +∞ est 5

Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→

5 3(5 − 2x)2

F : x 7−→

5 . 30 − 12x

  5 sur −∞; est 2

6

Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. 4(x − 2) sur R. 2x2 − 8x + 13 √ 4 3(x − 3) sur R. Exercice 2 f : x 7−→ √ x2 − 6x + 14

Exercice 1 f : x 7−→ √

5(x − 1) Exercice 3 f : x 7−→ √ sur R. 2 x2 − 2x + 2 √ 2(x + 4) Exercice 4 f : x 7−→ − √ sur ]−9; 1[. −x2 − 8x + 9   12 5 sur − ; +∞ . Exercice 5 f : x 7−→ √ 4 8x + 10 Exercice 6 f : x 7−→ − √

5(x − 3) sur ]−2; 8[. −x2 + 6x + 16



Exercice 7 f : x 7−→

5x sur ]−∞; 0[. (−x)3/2

12x sur R. 12x2 + 6   4 125 Exercice 9 f : x 7−→ √ sur ; +∞ . 5 2 25x − 20   20 1 Exercice 10 f : x 7−→ √ sur −∞; . 4 5 − 20x √ 3 Exercice 11 f : x 7−→ √ sur ]0; +∞[. 2 x Exercice 8 f : x 7−→ − √

4 Exercice 12 f : x 7−→ − √ sur ]0; +∞[. x 5 Exercice 13 f : x 7−→ √ sur ]3; +∞[. 2 x−3 1

Exercice 14 f : x 7−→ q

x x2 2

sur R. +2

3 sur ]−∞; −5[. −3x − 15 √ 2 5(x + 3) Exercice 16 f : x 7−→ − p sur ]−6; 0[. −x(x + 6) Exercice 15 f : x 7−→ − √

15 sur ]1; +∞[. Exercice 17 f : x 7−→ − √ 2 3x − 3 √ 2 Exercice 18 f : x 7−→ √ sur ]0; +∞[. x Exercice 19 f : x 7−→ √

5 sur ]−∞; 1[. 1−x

Exercice 20 f : x 7−→ √

12 sur ]−1; +∞[. 6x + 6

2

Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur R est F : x 7−→ 2

4(x − 2) 2x2 − 8x + 13

p

2x2 − 8x + 13.

Solution 2 Une primitive F de √ 4 3(x − 3) f : x 7−→ √ x2 − 6x + 14 sur R est F : x 7−→ 4

p 3x2 − 18x + 42.

Solution 3 Une primitive F de 5(x − 1) f : x 7−→ √ 2 x2 − 2x + 2 sur R est F : x 7−→

5p 2 x − 2x + 2. 2

Solution 4 Une primitive F de √

f : x 7−→ − √

2(x + 4) −x2 − 8x + 9

sur ]−9; 1[ est F : x 7−→

p −2x2 − 16x + 18.

Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ √   5 sur − ; +∞ est 4

12 8x + 10

√ F : x 7−→ 3 8x + 10.

Solution 6 Une primitive F de f : x 7−→ − √

5(x − 3) −x2 + 6x + 16

sur ]−2; 8[ est F : x 7−→ 5

p

−x2 + 6x + 16. 3

Solution 7 Une primitive F de √

f : x 7−→ sur ]−∞; 0[ est

5x (−x)3/2

√ √ F : x 7−→ 2 5 −x.

Solution 8 Une primitive F de f : x 7−→ − √ sur R est

12x 12x2 + 6

p F : x 7−→ − 12x2 + 6.

Solution 9 Une primitive F de 125 f : x 7−→ √ 2 25x − 20 

 4 sur ; +∞ est 5

√ F : x 7−→ 5 25x − 20.

Solution 10 Une primitive F de f : x 7−→ √   1 est sur −∞; 4

20 5 − 20x

√ F : x 7−→ −2 5 − 20x.

Solution 11 Une primitive F de √ 3 f : x 7−→ √ 2 x sur ]0; +∞[ est F : x 7−→

√ √ 3 x.

Solution 12 Une primitive F de 4 f : x 7−→ − √ x sur ]0; +∞[ est

√ F : x 7−→ −8 x. 4

Solution 13 Une primitive F de 5 f : x 7−→ √ 2 x−3 sur ]3; +∞[ est

√ F : x 7−→ 5 x − 3.

Solution 14 Une primitive F de f : x 7−→ q sur R est F : x 7−→

x x2 2

+2

√ p 2 x2 + 4.

Solution 15 Une primitive F de f : x 7−→ − √ sur ]−∞; −5[ est

3 −3x − 15

√ F : x 7−→ 2 −3x − 15.

Solution 16 Une primitive F de √ 2 5(x + 3) f : x 7−→ − p −x(x + 6) sur ]−6; 0[ est

√ p F : x 7−→ 2 5 −x(x + 6).

Solution 17 Une primitive F de 15 f : x 7−→ − √ 2 3x − 3 sur ]1; +∞[ est

√ F : x 7−→ −5 3x − 3.

Solution 18 Une primitive F de √ 2 f : x 7−→ √ x sur ]0; +∞[ est

√ √ F : x 7−→ 2 2 x.

5

Solution 19 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur ]−∞; 1[ est

5 1−x

√ F : x 7−→ −10 1 − x.

Solution 20 Une primitive F de f : x 7−→ √ sur ]−1; +∞[ est

12 6x + 6

√ F : x 7−→ 4 6x + 6.

6

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