Exercices Primitives

Primitives d’une fonction polynˆ ome Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. Exercice 1 f : x 7−→

1 3x − sur R. 2 2

Exercice 2 f : x 7−→ −2x2 + 2x − Exercice 3 f : x 7−→

1 sur R. 3

1 5x − sur R. 2 3

Exercice 4 f : x 7−→ 5x2 − 4x sur R. Exercice 5 f : x 7−→ 6x − 5 sur R.

1

Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→ −

1 3x − 2 2

3x2 x 5 + + . 4 2 6

Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ −2x2 + 2x − sur R est F : x 7−→ −

1 3

2x3 x 4 + x2 − + . 3 3 3

Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ sur R est F : x 7−→ −

1 5x − 2 3

1 5x2 x + + . 6 2 10

Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ 5x2 − 4x sur R est F : x 7−→

5x3 − 2x2 − 2. 3

Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ 6x − 5 sur R est

3 F : x 7−→ 3x2 − 5x − . 5

2

Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e.   3 1 Exercice 1 f : x 7−→ sur − ; +∞ . (2x + 1)2 2 4 sur ]−∞; 4[. (x − 4)3   1 4 sur − ; +∞ . Exercice 3 f : x 7−→ − 5(4x + 1)2 4

Exercice 2 f : x 7−→ −

Exercice 4 f : x 7−→ − Exercice 5 f : x 7−→ −

5 sur ]−∞; 0[. 4x3 8(x − 3) 5 (x2

− 6x + 5)2

1

sur ]−∞; 1[.

Solutions Solution 1 Une primitive F de 3 (2x + 1)2

f : x 7−→   1 sur − ; +∞ est 2

F : x 7−→ −

3 . 4x + 2

Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ −

4 (x − 4)3

sur ]−∞; 4[ est 2 . (x − 4)2

F : x 7−→ Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ −

4 5(4x + 1)2

  1 sur − ; +∞ est 4 F : x 7−→

1 . 20x + 5

Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −

5 4x3

sur ]−∞; 0[ est F : x 7−→

5 . 8x2

Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→ −

8(x − 3) 5 (x2

− 6x + 5)2

5 (x2

4 . − 6x + 5)

sur ]−∞; 1[ est F : x 7−→

2

Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. 8(x − 5) sur R. − 10x + 28   5 3 Exercice 2 f : x 7−→ sur − ; +∞ . 5x + 3 5

Exercice 1 f : x 7−→ −

Exercice 3 f : x 7−→

x2

2(x − 1) sur ]0; 2[. (x − 2)x

8(x − 1) sur ]−4; 6[. − 2x − 24   6 5 Exercice 5 f : x 7−→ sur −∞; − . 3x + 5 3

Exercice 4 f : x 7−→ −

x2

1

Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ − sur R est

8(x − 5) x2 − 10x + 28 

F : x 7−→ −4 ln

 x2 − 5x + 14 . 2

Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→

5 5x + 3

  3 sur − ; +∞ est 5 F : x 7−→ ln(3(5x + 3)). Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→

2(x − 1) (x − 2)x

sur ]0; 2[ est F : x 7−→ ln(−4(x − 2)x). Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −

x2

8(x − 1) − 2x − 24

sur ]−4; 6[ est 


15 2 F : x 7−→ −4 ln − x − 2x − 24 . 2 Solution 5 Une primitive F de f : x 7−→

6 3x + 5

  5 sur −∞; − est 3 F : x 7−→ 2 ln(−5(3x + 5)).

2

Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e.   16 1 Exercice 1 f : x 7−→ − √ sur ; +∞ . 4 4x − 1   1 32 sur − ; +∞ . Exercice 2 f : x 7−→ − √ 2 16x + 8 Exercice 3 f : x 7−→ − √

9x sur R. 3x2 + 3

4x sur R. 10x2 + 5 q 3 52 (x − 1) sur R. Exercice 5 f : x 7−→ − √ 3x2 − 6x + 4 Exercice 4 f : x 7−→ − √

1

Solutions Solution 1 Une primitive F de f : x 7−→ − √  1 sur ; +∞ est 4

16 4x − 1



√ F : x 7−→ −8 4x − 1.

Solution 2 Une primitive F de f : x 7−→ − √   1 sur − ; +∞ est 2

32 16x + 8

√ F : x 7−→ −4 16x + 8.

Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ − √ sur R est F : x 7−→ −3

9x 3x2 + 3

p 3x2 + 3.

Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ − √ sur R est

4x 10x2 + 5

r F : x 7−→ −2

2x2 1 + . 5 5

Solution 5 Une primitive F de q 3 52 (x − 1) f : x 7−→ − √ 3x2 − 6x + 4 sur R est

r F : x 7−→ −

15x2 − 15x + 10. 2

2

Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e.
2 Exercice 1 f : x 7−→ −6(30 − 6x) −3x2 + 30x − 75 sur R.  Exercice 2 f : x 7−→ 6

2x 4 − 3 3



x2 4x 4 − + 3 3 3

2 sur R.

Exercice 3 f : x 7−→ 6(10 − 2x)2 sur R. Exercice 4 f : x 7−→ −12(2x − 1)2 sur R.
2

Exercice 5 f : x 7−→ 3(−12x − 48) −6x2 − 48x − 96

1

sur R.

Solutions Solution 1 Une primitive F de
2

f : x 7−→ −6(30 − 6x) −3x2 + 30x − 75 sur R est


3

F : x 7−→ −2 −3x2 + 30x − 75

.

Solution 2 Une primitive F de  f : x 7−→ 6

2x 4 − 3 3

sur R est

 F : x 7−→ 2



x2 4x 4 − + 3 3 3

x2 4x 4 − + 3 3 3

2

3 .

Solution 3 Une primitive F de f : x 7−→ 6(10 − 2x)2 sur R est

F : x 7−→ −(10 − 2x)3 .

Solution 4 Une primitive F de f : x 7−→ −12(2x − 1)2 sur R est

F : x 7−→ −2(2x − 1)3 .

Solution 5 Une primitive F de
2

f : x 7−→ 3(−12x − 48) −6x2 − 48x − 96 sur R est


3

F : x 7−→ −6x2 − 48x − 96

2

.

Primitives d’une fonction Sujets Pour chacun des exercices ci-dessous, d´eterminez une primitive F de f sur l’intervalle consid´er´e. √ √√ 2 20 6e5 6 −x −2x (x + 1) √ Exercice 1 f : x 7−→ sur ]−2; 0[. −x2 − 2x 3

√

2

9e 2 x +6x+11 (x + 3) √ Exercice 2 f : x 7−→ sur R. 2 x2 + 6x + 11 √ √√ 2 10 3e2 3 x +6x+8 (x + 3) √ Exercice 3 f : x 7−→ sur ]−∞; −4[. x2 + 6x + 8 √ √√   3 40 5e5 5 4x−3 √ sur ; +∞ . Exercice 4 f : x 7−→ 4 4x − 3 4

Exercice 5 f : x 7−→ −128e−2(4x−1) (4x − 1)3 sur R.

1

Solutions Solution 1 Une primitive F de √ √√ 2 20 6e5 6 −x −2x (x + 1) √ f : x 7−→ −x2 − 2x sur ]−2; 0[ est F : x 7−→ −4e5

√ √ 6 −x2 −2x

.

Solution 2 Une primitive F de 3

√

2

9e 2 x +6x+11 (x + 3) √ f : x 7−→ 2 x2 + 6x + 11 sur R est

3

√

F : x 7−→ 3e 2

x2 +6x+11

.

Solution 3 Une primitive F de √ √√ 2 10 3e2 3 x +6x+8 (x + 3) √ f : x 7−→ x2 + 6x + 8 sur ]−∞; −4[ est F : x 7−→ 5e2

√ √ 3 x2 +6x+8

.

Solution 4 Une primitive F de √ √√ 40 5e5 5 4x−3 √ f : x 7−→ 4x − 3  3 sur ; +∞ est 4 

F : x 7−→ 4e5

√ √ 5 4x−3

.

Solution 5 Une primitive F de 4

f : x 7−→ −128e−2(4x−1) (4x − 1)3 sur R est

4

F : x 7−→ 4e−2(4x−1) .

2